写像に用いる言葉、例えば合成(合成関数)全射、単射(一対一ともいう)、全単射(双射、一対一対応ともいう)逆(逆関数)などはそのまま用いることができる。「数」に値を取る関数に特有の(つまり、一般の写像では成り立つとは限らない)性質もある。}はグラフと呼ばれる平面上の図表(英語版)で特徴づけられる。函数を書き表すために標準的な方法がいくつかある。一般的によく知られる記法は、函数名と引数を明示する式を用いて函数を定義する、いわゆる函数記法である。函数記法には、「函数それ自身」と「函数の値」の区別ができないという問題点がある。後者のローマン体は例えば函数名の省略形で函数を表記する際などに用いられる。対して何をするのかという形で行われる。加えその正弦をとるというより単純な複数の手続きの合成として考えることができる。誤解のおそれのない場合、例えば複数文字の函数記号を用いる函数について、引数を明示する丸括弧は省略してよい。元に写す」)が用いられる。x,\end{aligned}}}のように書けばよい。函数記号や定義域および終域については省略される。そのような記法は、函数の任意の引数における値だけが等式で与えられている状況がよくあるので、その際に特別な函数記号を用意しなくてよいため有用である。fxのように書かれる。複数の引数を持つ函数において、それら引数が「真の変数」と媒介変数(パラメータ)に分けられるとき、真の変数ではないことを区別するために助変数を添字にすることがしばしば行われる(実際にはパラメータというものは、一つの問題を考察している間は何らかの値に固定されているものと見なされるような変数を言うのである)。同じ値で置き換える必要があることを示すために、用いられている。区別することができる。)}f(u)\,du}と書く場合などが挙げられる。数学の特定の分野では、その他の特別な記法が使われたりもする。線型代数学や関数解析学では線型写像をベクトル[要曖昧さ回避]に作用させるときに、それらの間に成り立つ双対性を明らかにするために内積の記法が用いられる(量子力学でも同様のブラ-ケット記法が用いられる)。数理論理学や計算理論ではラムダ計算の記法が、函数の抽象化や適用(英語版)などの基本概念を明示的に表すために用いられる。圏論やホモロジー代数学では、上で見た函数の矢印記法を延長あるいは一般化するように、函数からなる図式およびそれらの合成が可換図式を満たすという意味でどのような可換性を持つかという形で記述される。(陰に陽に)関係付ける方法を特定あるいは記述するやり方は様々である。定義の一部としてその特定法や記述法は言及される。有限集合上で定義された函数の場合には、定義域の各点に割り当てられる終域の元を全て書き並べることで函数を定義することができる。f(1)=2,f(2)=3,f(3)=4}として与えることができる。算術やその他既知の函数を組み合わせた式(ただし手続き的な操作や無限個の組み合わせではない閉じた形の式(英語版))によって函数が与えられることも多い。そのような式からは、定義域の任意の元の値から函数の値を計算することができる。\{1,2,3\})}とも定義できる。この方法で函数を定義したとき、その函数がどのような集合上で定義されているかの決定が難しい場合がときどき生じる。定義式が割り算を含む場合には、分母が零になるような変数の値は定義域から除かなければならない。代表的な関数とその具体例の一覧表を掲げる[13][19]。全てのものを網羅しているわけではないことに注意されたい。定数)と書ける函数を言う。一般に、多項式函数は加法・減法・乗法と非負整数冪乗のみを含む式で定義することができる函数である。f(x)=(x-1)(x^{3}+1)+2x^{2}-1}など。有理関数は多項式函数と同じ条件からさらに除法を許すようなものである。{2}{x-1}}}など。代数関数はさらに冪根や多項式の根をとる操作が許される。4]には、さらに対数や指数関数などが含まれる。写す函数として定まる。自然対数函数は正の実数全体の成す集合から実数全体の成す集合への全単射であるから、逆を持ち、それは指数函数と呼ばれる実数全体から正の実数全体への函数である。全単射となり、その意味での逆函数を持つということは起こり得る。逆三角関数はこのような仕方で定義される。陰伏的に定まるとの意味で陰関数と呼ぶ。5]陰函数定理は点の近傍における陰函数の存在と一意性を保証する緩やかな可微分性条件を提供するものである。適当な函数の原始函数として沢山の函数が定義できる。なるものとして定義される。このような方法で定義される函数の例である。一般に、ほとんどの特殊関数を含めた多くの函数は微分方程式の解として定義される。なる唯一の函数として定義することができる。冪級数はその収束域を定義域として函数を定義することに利用できる。{x^{n}}{n!}}}と定義できる。冪級数の係数列は極めて任意に決めることができるから、「収束冪級数の和として書ける函数」は大抵既にどこか別の場所で定義されていたり、係数列もその別な定義に基づく何らかの計算できまるなどしているものである。冪級数はそのような函数の定義域を拡大することに利用できる。典型的には、実変数の函数が適当な区間上でテイラー展開の和と等しいとき、その級数を用いて直ちに適当な複素領域(つまり、級数の収束円板)上の複素変数函数に定義域を拡大することができる。これはさらに解析接続を用いて複素平面上のさらに大きな領域へ拡大できる。三角函数の定義に一般的に用いられる方法である。定義域が非負整数であるような函数(つまり数列)はしばしば漸化式によって定義される。0!=1}によって決まる。編集グラフは函数の直観的描像を与えるために広く用いられる。グラフからは、例えば函数がどのように増減するかといった函数の性質を読み取ることができて、函数の理解に役立つ。函数によっては、その表現に棒グラフなども利用できる。X\}}のことである。持つ点と同一視することができる。このような函数(の一部分)の表示法の一環として、プロット図を書くことができる(こういったプロット図もまた「函数のグラフ」として至る所で良く用いられる)。違った座標系を使って函数の図示をすることもできる。持つ点の全体で、直交座標系に表せばよく知られたように放物線になる。持つ点をプロットしたならば、この場合のグラフはフェルマー螺旋(英語版)になる。引数のとる値と函数のとる値を表の形に書きならべることに依って函数を表現することもできる。定義域が有限ならば、このやり方で函数を完全に特定することができる。25によって表すことができる。定義域が連続的な場合には、定義域の特定の値に対する函数の値しか表には表示することができない。中間の値が必要となったときには、補間を使って函数の値を評価することは可能である。0.961662計算機や電卓の登場以前には、対数や三角函数などの函数に対するこのような数表がしばしば編纂され出版されていた。有限集合、あるいは自然数または整数全体で定義された函数を表示するのに、棒グラフもまたよく用いられる。長方形として表現できる。編集17世紀にはじまった函数の概念は、新しい無限小解析の基礎付けとなった(函数概念の歴史(英語版)を参照)。当時は、実変数の実数値関数しか考えられておらず、どの函数も滑らかな関数であることが仮定されていたが、直に多変数複素関数に定義が拡張されていった。19世紀後半には数学的に厳密な函数の定義が導入され、任意の定義域および終域を持つ函数も扱われ始めた。いまや函数は数学のあらゆる分野において用いられる。初歩の基礎解析学では単に「函数」といえば一変数の実数値函数の意味である。函数、つまり実数全体の成す集合を終域とし実数からなる適当な区間を含む部分集合を定義域とする函数を言う。以下本節では、そのような函数を単に函数と呼ぶことにする。数学及びその応用分野において最もよく扱われる函数はさらに適当な正則性条件(連続や微分可能関数あるいは解析関数など)が課せられる。このような正則性があることによって、函数はそのグラフを用いてよく視覚化することができる。以下、適当な区間上で微分可能であるような函数だけを扱う。函数は点ごとの演算が備わっている。定義域の交わりを定義域とする函数が得られる。関数の零点を除いたものになる。多項式からは実数全体で定義された多項式函数が定まる。ふたつの多項式函数の商である有理函数は(ゼロ除算が起きないように)補有限の実数を定義域とする。除く実数直線全体を定義域に持つ。実可微分函数の導函数もまた実函数である。実連続函数の原始函数はもとの函数が連続となる任意の開区間上で可微分な実函数を与える。おいて零となるもの(自然対数函数)は正の実数全体の成す集合上で微分可能である。選び方に依らず一定であるときである。その函数がその区間で微分可能ならば、その区間上で微分係数の符号が一定であるときに単調となる。このような方法で、逆三角函数は三角函数が単調となる区間上で三角函数の逆函数として与えられる。自然対数函数は正の実軸上で単調で値域は実数直線全体となるから、その逆函数である指数函数は実数全体から正の実数全体への全単射であることが分かる。他にも多くの実函数が陰函数定理(逆函数は陰函数の特別の場合)から、あるいは微分方程式の解として、定義される。x}}(0)=0}から定まる。終域の元がベクトル[要曖昧さ回避]となっているような函数はベクトル値函数と呼ばれる。ベクトル値函数は、(例えば物理的性質をモデル化するような)応用において特に有用で、例えば流束の各点においてその点での速度ベクトルを割り当てる函数はベクトル値函数になる。解析学あるいはより具体的に関数解析学において、特定の性質を共有するスカラー場またはベクトル値の函数からなり線型位相空間を成すような集合を関数空間と呼ぶ。関数の台付き(つまり、適当なコンパクト空間の外側では常に零となる)滑らかな実函数全体の成す集合は、シュワルツ超函数論の基盤となる函数空間を成す。函数空間ではその代数的および位相的性質を利用して函数の性質を調べることができるようになるから、より進んだ解析学において函数空間は基本的な役割を果たすことになる。常微分方程式や偏微分方程式における解の存在や一意性を言うすべての定理は函数空間を調べることで得られた結果である。変数によって値が決定される関数を多変数関数という。これは複数の数の集合たちの直積集合から数の集合への写像であると解釈される。ベクトル[要曖昧さ回避]の集合を定義域とする独立変数をもつ関数と解釈することもある。x_{n})}のように書かれる。y=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}は二変数関数である。多価関数の価数と呼ぶ。正の実数にその平方根を与える操作は正と負の二つ値を持つので、二価関数である。多価関数に対し、普通の一つの値しか返さない関数は一価関数といわれる。多変数関数は独立変数がベクトルに値をとるものと解釈できるということを上に述べたが、逆に従属変数がベクトルの値を持つような写像も考えられ、それをベクトル値関数という。ベクトル値関数が与えられたとき、像のベクトルに対してその各成分をとり出す写像を合成することにより、通常の一価関数が複数得られる。定義域を共有するいくつかの関数を一つのベクトルとしてまとめて扱ったものがベクトル値関数であるということができる。{1+x^{2}}})}として扱うことができる。B)\end{cases}}}と見なすこともある。リーマン面上の一価関数と見なすなど、定義域を広げて一価にする手法は解析的な関数に対してしばしば用いられる。いくつかの関数関係を定義することもある。独立に別々の値をとることはできない。値によってとりうる値の制約を受けるからである。表されているなどと言い表す。陰伏的に得られるという。関数の概念を広くとらず、一価で連続である場合や一価正則な場合などに考察を限ることはしばしば行われることであるが、そのような仮定のもとでは陰関数から陰伏的に得られる陽関数は一つとは限らず、一般に一つの陰関数は(定義域や値域でより分けることにより)複数の陽関数に分解される。このとき、陰伏的に得られた個々の陽関数をもとの陰関数の枝という。陰関数の複数の枝を総じて扱うならば、陰関数の概念から多価関数の概念を得ることになる。{1+x^{2}}}}をもつ二価関数である。媒介変数を導入して関係式を分解し、各変数を媒介変数の陽関数として表すことによって、陰関数を表すこともある。陰伏的な関数関係が表されていると考えるのである。関数は実質的に数の組あるいは数列と呼ばれるものになる(適当な演算をいれてベクトルと見ることもできる)。^{n}}のかたちに表すのである。s_{n}}という関数を考えていることに他ならない。