\)なので準開基となる。\)が\(\mathcal{C}\)の元の積集合で表せないので準開基とはならない。(1)\(\Rightarrow\)条件より\(\mathcal{B}\)は開基であるので\(\mathcal{B}\)の任意の元は開集合となる。任意の開集合\(U\in\mathcal{O}\)について、ある\(\mathcal{B}\)の部分集合\(\mathcal{B}'\subseteq\mathcal{B}\)が存在し、\(\mathcal{B}\)は開基なので\(U=\bigcup_{B\in\mathcal{B}'}B\)とできる。従って、\(\Rightarrow\)が成り立つ。U\)となるようにできる。\subseteq\mathcal{B}\)とおくと\(U=\bigcup_{B\in\mathcal{B}'}B\)となる。\subseteq\mathcal{B}\)とおくと\(U=\bigcup_{B\in\mathcal{B}'}B\)となり、\(\mathcal{B}\)の任意の元は開集合なので、\(\mathcal{B}\)は開基となる。故に\(\Leftarrow\)が成り立つ。\(\Leftrightarrow\)これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。O}B_{x}\)となる。X}\mathcal{B}_{x}\)は開基となる。X\)として、\(x\)の近傍\(U_{x}\)をとると、ある部分集合\(\mathcal{U}\subseteq\mathcal{B}\)が存在し、\(U_{x}\)の内部\(U_{x}^{i}=\bigcup_{u\in\mathcal{U}}U\)となる。U_{x}\)となる。\)は基本開近傍系となる。