条件$f_1(x)=x$,$g_1(x)=1$$f_{n+1}(x)=f_n(x)+xg_n(x)$,$g_{n+1}(x)=g_n(x)-xf_n(x)$で定める。n\theta=g_n(\tan\theta)\cos^n\theta$が成り立つことを示せ。異なる実数解の個数を求めよ。値が分かるという関係になっています。おいて考えるところに注意しましょう。とき,(*)は成り立つ。かけ算の微分なので公式を使います。$\{f(x)g(x)\}’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$$=\{f_{k+1}(x)\}’+(x)’g_{k+1}(x)+x\{g_{k+1}(x)\}’$(*)が成り立つと仮定しているので,これを代入します。これを用いて$=(k+1)g_k(x)+g_k(x)-xf_k(x)+x\{-(k+1)f_k(x)\}$共通因数をまとめていきます。とき,(*)は成り立つ。おいて$\{f_{n+1}(x)\}’=(n+1)g_n(x)$,$\{g_{n+1}(x)\}’=-(n+1)f_n(x)$が成り立つ。n\theta=g_n(\tan\theta)\cos^n\theta$が成り立つことを示せ。ここもやはり数学的帰納法を用いて証明していきますが,左辺から右辺を証明しようとするとうまくいきません。そこで,等式の証明では右辺から左辺を証明するという方法もあったことを思い出しましょう。とき,(*)は成り立つ。