なるとき\(\mathcal{A}\)は有限性をもつという。X\)が\(\preceq\)に関して全順序となるとき、すなわち全順序部分集合\(\left(C,\preceq\right)\)となるとき、\(C\)は\(X\)の鎖(チェイン)という。\(\left(X,\preceq\right)\)の任意の鎖\(C\)が\(X\)に上界をもつとき\(\left(X,\preceq\right)\)を帰納的順序集合という。半順序集合\(\left(X,\preceq\right)\)があり、任意の全順序部分集合\(\left(C,\preceq\right)\)について、\(X\)での上界をもつとき、帰納的順序集合という。集合族\(\mathcal{A}\)が有限性をもつとき、\(\mathcal{A}=\emptyset\)または\(\emptyset\in\mathcal{A}\)となる。なるので、\(\mathcal{A}=\emptyset\)または\(\emptyset\in\mathcal{A}\)となる。\)とすると右辺は成り立つが\(A\notin\mathcal{A}\)なので\(\Leftarrow\)は成り立っていない。\(2^{\mathbb{N}}\text{は}\)有限性を持つ集合\(A\)があるとき、\(2^{A}\)は有限性を持つ。集合\(A,B\)があるとき、\(2^{A}\cup2^{B}\)は有限性を持つ。\text{は}\)有限性を持たない。