あとは調和振動子のときとおんなじような論法が使える。\ket{\lambda\mu}\to\ket{\lambda,\mu\pm\hbar}\)のように、\(\pm\hbar\)の固有値をもつ状態を作り出せることに注意すると、\(\mu\)の最大値が\(\mu_\text{max}=\lambda'\)、\(\mu\)の最小値が\(\mu_\text{min}=-\lambda'\)でない限り、(10)と矛盾する結果が得られてしまうのだ。整数倍であることが期待される。l\)という整数\(m\)を使って書けるはずである。(なぜならそれ以外の半端な\(\mu\)が紛れ込んでいると、(10)の条件を満たせなくなるから。これで固有値を決めることができた。ここまで\(\ket{\lambda\mu}\)を使って角運動量演算子\(\hat{l}^2,\hat{l}_z\)の同時固有状態を表してきたが、通常は(11),(12)の整数\(l,m\)をつかって\(\ket{lm}\)と表すことが多いだろうから、それを使ってまとめておこう。6.見逃していた可能性(11)式を導くときに、見逃していたところがあるのだが、気づいただろうか。「\(\mu_\text{max}=\lambda'\),\(\mu_\text{min}=-\lambda'\)ならば、\(\lambda'=l\hbar\)の\(l\)が整数となっていることが期待される」、と書いたが、実はそれ以外にも可能である。それは\(l=1/2,3/2,\ldots\)のような半整数だ。これを使っても、\(\mu\)の最小値と最大値の条件に関して特に矛盾が起きないことはすぐにわかるだろう。物理的には意味のないものであると考えられていた。シュレディンガー方程式の球対称な解が、\(l\)が整数だけをとる球面調和関数であったことからそのように考えられたのだろう。球面調和関数は角度成分について完全系をなしていて、他の固有関数が入る余地もなさそうだったのだ。色々な実験がなされていくにつれ、\(l=1/2,3/2,\ldots\)という可能性を取り入れなければ説明できない現象が現れ始めた。それは現在ではスピンと呼ばれるものである。このような\(l\)に対しては、波動関数を書くことができない。(少なくとも僕の知る範囲では。したらできる人もいるかもしれないが。考えてみるのも面白いだろう。