昇降演算子と呼ばれる。4.\(\hat{l}_z\)の固有値\(\mu\)の下限と上限\(\mu\)を増やしたり減らしたりできるようになったわけだが、\(\mu\)には上限や下限はないだろうか。そこで\(\hat{l}_z^+\ket{\lambda\mu}\)の「長さ」を計算してみよう。長さは必ず0以上だから、その条件から何か言えるかもしれないのだ。\(\braket{\lambda\mu}{\lambda\mu}\)は必ず0以上である。\hbar\mu\)が必ず0以上でないといけない。あり、これが\(\mu\)の上限を示す式である。\(\mu\)の下限を示す式が得られる。