有界実数列は収束する部分列を持つ。ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理は距離関数によっては成り立ちません。離散距離空間\(\left(\mathbb{R},d_{0}\right)\)で点列\(\left(\frac{1}{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)は有界実数列ですが、収束する部分列をもちません。I_{0}=\left[b_{0},c_{0}\right]\)と表される。区間\(I_{k}=\left[b_{k},c_{k}\right]\)に無限個の項があるとき、区間を半分に分割するとどちらかには無限個の項が存在するのでそれを\(I_{k+1}\)とする。区間縮小法により、\(I_{k}\)はある実数\(a\)に収束する。I_{k}\)が存在する。I_{k}\)を選ぶことができる。c_{k}\)となるので挟み撃ちの原理より\(a_{n(k)}\)は\(a\)に収束する。