?めっちゃヤバくないですか?例えば、我々は小学5年生で分数の割り算を習います。÷\dfrac{4}{7}=\dfrac{5}{7}×\dfrac{7}{4}$$=\dfrac{5}{4}$これと似たようなことが群でも成り立つというのが第三同型定理の主張です。この定理を見たときはま、マジかよ!!群でも約分っぽいことできるのかよ!と大興奮しました。次は具体例を見ていこうと思います。群論を学んでいると、剰余類という概念が出てきます。ガロア理論の主役、群論の華と言っても過言ではない正規部分群。初学だと、なんであんな定義になっているのか謎だと思います。群論を進めていくと、いずれは同型写像や準同型写像と出会います。群論や線形代数をやっていると、いずれ出会うのが「像」と「核」です。群論を学ぶ上で一つのピークとなるのが準同型定理です。数式を見ているだけだと準同型定理の便利さやすごさは見...準同型定理の具体例ここでは、第三同型定理の具体例を見ていきます。その前に、もう一度主張を確認しておきましょう。N$は$G$は正規部分群であるとする。G/H$が成り立つ今回の具体例は、1の12乗根で考えていこうと思います。$\zeta_{12}$を1の12乗根とします。\dfrac{2\pi}{12}$です。\zeta_{12}^{11}\rbrace$としましょう。複素数平面上に$G$の元を図示すると、以下のように正12角形ができあがります。するとこれは掛け算×に関して群となります。これは複素数平面上では正六角形になります。これは複素数平面上で正三角形となります。H$は見たまんまですね。×は交換法則を満たすので、$H$と$N$は$G$の正規部分群となります。正規部分群の性質から、$G/N$と$H/N$と$G/H$はそれぞれ剰余群となります。こいつらを具体的に見ていきましょう。$G/N$について、定義から順番に考えていきましょう。\rbrace$です。今回は×についての群なので、演算は〇ではなく×です。×記号は省略することが多いので、今回は省略して書こうと思います。$したがって、$\zeta_{12}^4N=N$となり、同様に$\zeta_{12}^5N=\zeta_{12}N$$\zeta_{12}^6N=\zeta_{12}^2N$$\zeta_{12}^7N=\zeta_{12}^3N$$\zeta_{12}^8N=\zeta_{12}^4N=N$$\zeta_{12}^9N=\zeta_{12}^2N$$\zeta_{12}^{10}N=\zeta_{12}^3N$$\zeta_{12}^{11}N=N$と分かります。\rbrace$となります。\rbrace$です。\rbrace$となります。\rbrace$から$(G/N)/(H/N)$を考えていきましょう。\rbrace$となります。\rbrace$となります。\rbrace$です。ここで、$\zeta_{12}^4N=N$であったことを思い出しましょう。\rbrace$$=H/N$となります。\rbrace$$=\zeta_{12}(H/N)$となります。\zeta_{12}(H/N)\rbrace$と分かります。$G/H$はどうでしょうか?これも定義から考えていきましょう。\zeta_{12}^{11}H\rbrace$となります。=H$よって、$\zeta_{12}^3H=\zeta_{12}H$$\zeta_{12}^4H=H$$\zeta_{12}^5H=\zeta_{12}H$$\zeta_{12}^6H=H$$\zeta_{12}^7H=\zeta_{12}H$$\zeta_{12}^8H=H$$\zeta_{12}^9H=\zeta_{12}H$$\zeta_{12}^{10}H=H$$\zeta_{12}^{11}H=\zeta_{12}H$$\zeta_{12}^5H=\zeta_{12}H$です。\rbrace$となります。(H/N))=xH$という写像を定めれば、これが同型写像になります。証明に進んでいきましょう。N$は$G$は正規部分群であるとする。