定義\(X\)を区間(ベクトル空間の凸集合)として、関数\(f\)を実数値関数とする。X\)に対し、2点\(\left(x_{1},f\left(x_{1}\right)\right),\left(x_{2},f\left(x_{2}\right)\right)\)を結ぶ線分の常に下側または同じ値のとき凸関数という。X\)に対し、2点\(\left(x_{1},f\left(x_{1}\right)\right),\left(x_{2},f\left(x_{2}\right)\right)\)を結ぶ線分の端を除き常に上側にあるとき狭義凸関数という。X\)に対し、2点\(\left(x_{1},f\left(x_{1}\right)\right),\left(x_{2},f\left(x_{2}\right)\right)\)を結ぶ線分の常に上側または同じ値のとき凹関数という。X\)に対し、2点\(\left(x_{1},f\left(x_{1}\right)\right),\left(x_{2},f\left(x_{2}\right)\right)\)を結ぶ線分の端を除き常に下側にあるとき狭義凹関数という。x_{2}\)を満たす\(x\)が\(x=tx_{1}+\left(1-t\right)x_{2}\)として関数\(f\left(x\right)\)がそれより常に上側か下側かということである。凸関数を関数が下に凸・上に凹という。凹関数を関数が下に凹・上に凸という。関数\(f\)が凸関数であるとき\(-f\)は凹関数となる。関数\(f\)が狭義凸関数であるとき\(-f\)は狭義凹関数となる。関数\(f\)が準凸関数であるとき\(-f\)は準凹関数となる。関数\(f\)が凹関数であるとき\(-f\)は凸関数となる。関数\(f\)が狭義凹関数であるとき\(-f\)は狭義凸関数となる。関数\(f\)が準関数であるとき\(-f\)は準凸関数となる。任意の\(x_{1},x_{2}\)に対し\(\left(x_{1},f\left(x_{1}\right)\right),\left(x_{2},f\left(x_{2}\right)\right)\)を結ぶ線分が関数の上側または同値であるとき凸関数となる。任意の\(x_{1},x_{2}\)に対し\(\left(x_{1},f\left(x_{1}\right)\right),\left(x_{2},f\left(x_{2}\right)\right)\)を結ぶ線分が関数の下側または同値であるとき凹関数となる。逆向きは一般的に成り立たない。定義より狭義凸関数\(\Rightarrow\)凸関数は明らかで、凸関数\(\Rightarrow\)準凸関数も明らかである。同様に狭義凹関数\(\Rightarrow\)凹関数\(\Rightarrow\)準凹関数も定義より明らかである。逆向きは一般的に成り立たない反例は\(f\left(x\right)=x\)は凸関数でも凹関数でもあるが、狭義凸関数でも狭義凹関数でもない。\(f\left(x\right)=H_{0}\left(x\right)\)は準凸関数でも準凹関数でもあるが、凸関数でも凹関数でもない。ここで\(H_{0}\left(x\right)\)はヘヴィサイト関数である。凸関数であるが狭義凸関数でない例は\(f\left(x\right)=x,f\left(x\right)=-x\)である。凹関数であるが狭義凹関数でない例は\(f\left(x\right)=x,f\left(x\right)=-x\)である。\(f\left(x\right)=H_{0}\left(x\right)\)は準凸関数でもあり準凹関数でもあるが、凸関数でも狭義凸関数でも凹関数でも狭義凹関数でもない。\(f\left(x\right)=-H_{0}\left(x\right)-H_{0}\left(1-x\right)+1\)は準凸関数であるが凸関数でも狭義凸関数でもない。\(f\left(x\right)=H_{0}\left(x\right)+H_{0}\left(1-x\right)-1\)は準凹関数であるが凹関数でも狭義凹関数でもない。任意の正の真分数はエジプト式分数で表せる。