行列や群論を少し勉強しようとしたことある人ならなんとなく、この成り立たないという感覚は納得できると思う。実数と複素数だけの世界しか知らない人にとっては交換法則が成り立たない体系なんてあるの?と思うかもしれないが、全然ある。四元数においてもこういう条件をつけてあげないと他の現象が成り立たなくなってしまうということだ。\}を基底とする実数体上の4次元ベクトル空間であるという。\end{align}なんだか積に関しては難しいように書かれているが、ただ、書き下しているだけである。-jiなどになる点さえ注意して、積の順序さえ崩さなければ同じような式が出来上がる。実数で成り立っていた、展開公式なども積の交換法則が成り立たなくなると、連動して成り立たないこともあるので実数と同じように成り立つとは思わないこと。(s,v)のように描かれる。(x,y,z)を表している。略記で記法するとシンプルになる。\end{align}実数や三次元ベクトルを次のような四次元数と同一視することとする。0)と実数sを同一視する。0)と実数0を同一視する。0)と実数1を同一視する。v)と三次元ベクトルvをを同一視する。quaternion)と呼ばれる。\end{align}ちなみに、スカラー倍も成り立つ。共役の複素数てきなかんじの、四元数の共役の四元数も定義する。qの共役の四元数とする。|v|^2)^(1/2)と定義して、これをqの絶対値と呼ぶ。1のときは先ほど出てきた、単位四元数と呼ばれる。これは四次元ベクトルの長さ(ノルム)と捉えても大丈夫。1(単位元)複素数では乗法の単位元は1となっている。biを考えると、|z|も零でない。逆数であることがわかる。\frac{\bar{z}}{|z|^2}これをもとにさ、零でない四元数の逆数を定義しようとする。四元数による割り算はこの逆数を掛ける演算とする。もつ、これを四元数の逆数と呼ぶ。四元数を使った回転表現を理解するには決して直感的ではないため、準備が必要である。qpq^{-1}と表せれる。これが回転と結びつくのは全然直感的でないため、まずは、ロドリゲスの回転公式を使って、四元数と結びつけて成り立つことを見ていく。平行成分と直行成分eを単位ベクトル、vを零でない任意のベクトルとしたときに、vは一般にeと平行な成分v_{\parallel}と直行する成分v_{\perp}に分解できる。\theta)e(単位ベクトルeとの射影をとっている)はeと平行な成分である。ここで\thetaはeとvのなす角である。\end{align}直行していることがわかる。\frac{u}{|u|}として同様に計算すればできる。\end{align}直行する座標ベクトル空間内の同一平面上でない零でない3本のベクトルは基底ベクトルになる。空間内の任意のベクトルをkの3本のベクトルで表せるということ。wは直行して、空間内の基底となる。外積を使っていることから明らかである。外積による回転の公式と呼ばれるらしい。イメージとして以下のような感じ。r^`をp^`としたときの状態。https://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/physics/category/physical_math/linear_algebra/henkan-tex.cgi?target=/math/physics/category/physical_math/linear_algebra/rodrigues_rotation_matrix.htmlp^`をいきなりpとaベクトルで表すことを考えると難しいので、わかるところから探す。p_{\perp}とp_{\parallel}もとりあえずわかる。p_{\perp}も導出できる。p_{\perp}で表すことを考える。ここでは、p_{\parallel}をaと平行な方向とする。p_{\perp}で表すことを考える。p_{\parallel}なことはわかる。|p_{\perp}|である。|p^`_{\perp}|が求めれられる。p_{\perp})になることがわかる。p_{\perp})となる。上式の右辺をaとpで次は表すことを考える。p_{\perp})が成り立つ。\end{align}よってロドリゲスの公式が証明された。ロドリゲスの回転公式は最終的なベクトルがどうであれ、幾何的理解より、回転を表していることは理解できる。ロドリゲスの回転公式を見出すためにさらに準備する。