巡回群ではありません。2つの既約剰余類群の直積と同型であり、\((Z/p_1p_2Z)^{*}\cong(Z/p_1Z)^{*}\times(Z/p_2Z)^{*}\)と表せます。ここで、\(f\::\:a\:\longrightarrow\:(a_{p_1},\:a_{p_2})\)の写像を定義すると、この写像は1対1(全単射)で、同型写像であり、上の「直積と同型」の式が成り立ちます。いうように演算を保存するので、演算してから写像した結果と写像してから演算した結果は同じです。素数なので、生成元をもつ巡回群です。それぞれの群位数は、\(\begin{eqnarray}&&\:\:|(Z/p_1p_2Z)^{*}|&=\varphi(p_1p_2)\\&&&=(p_1-1)(p_2-1)\\\end{eqnarray}\)\(|(Z/p_1Z)^{*}|=\varphi(p_1)=p_1-1\)\(|(Z/p_2Z)^{*}|=\varphi(p_2)=p_2-1\)であり、\(|(Z/p_1p_2Z)^{*}|=|(Z/p_1Z)^{*}|\cdot|(Z/p_2Z)^{*}|\)が成り立ちます。\(H_1\subset(Z/p_1Z)^{*}\)\(H_2\subset(Z/p_2Z)^{*}\)です。書くと、\(f\::\:a\:\longrightarrow\:(a_{p_1},\:\:a_{p_2})\)の写像は1対1対応であり(=中国剰余定理)、集合の元の数については、\(|H|=|H_1|\cdot|H_2|\)が成り立ちます。以上を踏まえて証明に進みます。y\:\:(\mr{mod}\:p_2)\)が言えます。y\:\:(\mr{mod}\:p_1p_2)\)も言えます。素数という前提では等価です。条件は次のように言い換えることができます。\(a^{2^rk}\equiv-1\:\:(\mr{mod}\:p_2)\)が成り立つ。\(M_2\)とすると、元の数については、\(|M|=|M_1|\cdot|M_2|\)が成り立ちます。\(A_2\)とします。(\(e_2\geq1,\:k_2\):奇数)とします。入れ替えてもよいので、こうすることで一般性は失われません。関係を整理しておきます。p_2-1\\&&&=(2^{e_1}k_1+1)\cdot(2^{e_2}k_2+1)-1\\&&&=2^{e_1+e_2}k_1k_2+2^{e_1}k_1+2^{e_2}k_2\\&&&=2^{e_1}(2^{e_2}k_1k_2+k_1+2^{e_2-e_1}k_2)\\\end{eqnarray}\)と計算されます。