高校の数学IIで対称式について習います。そこで、経験的に「対称式は全て基本対称式で表すことができる」という事実を悟ると思うのですが、それを証明できる人はほとんどいないと思います。+\beta$は対称式です。+\beta$は対称式ではありません。この2つの違いは何か?それは、文字を入れ替えて等しいかどうかという点です。+\beta$については、$\alpha$と$\beta$を入れ替えることができます。\beta^2+\alpha$対称式を定義するにあたっては、多変数の表記を使います。そんなに難しくはないのですが、慣れが必要なので具体例を確かめておきましょう。$x$についての多項式を$f(x)=x^2+x+3$みたいな感じで$f(x)$と表しました。文字が増えても同じノリで表すことができます。y)=x^2+y^2+3xy$みたいな感じです。これで対称式を定義する準備ができました。短くまとめると、文字の入れ替えで不変に保たれる多項式のことを対称式といいます。\alpha_n)$を対称式であるという。ちなみに、$n$個の文字の並び替えは、全部で$n!$通りあります。対称式というのは、結構キツイ条件であることが分かりますね。対称式のうち、基本的なものを基本対称式と言います。\beta$が基本対称式です。\gamma$が基本対称式となります。基本対称式は、古典的な方程式論と密接な関りがあるので、すこし紹介しておこうと思います。2次方程式の解と係数の関係を思い出してみましょう。簡略のため、最高次の係数は1とします。\beta$とします。すると、因数定理より$x^2+ax+b=(x-\alpha)(x-\beta)$が成り立ちます。\beta$は基本対称式そのものですよね。方程式の解と係数の関係に登場するやつらのことだったのです。このことをもう少し詳しく解説した記事があるので、よければご覧ください。今回は、解と係数の関係について扱っていきます。ふつう、方程式について考えるときは、まず方程式が与えられて、それを解いて解を求...対称式と基本対称式に慣れよう!対称式と基本対称式に慣れるのには問題演習が一番です。+\beta$に注目しましょう。一方で、$\alpha^2+\beta^2$は2次の式です。次数を上げる必要があります。次数を上げることができるのはどれか、ということを考えましょう。+\beta$を二乗します。\beta$を移項すれば完了です。+\beta^3$を基本対称式で表せ(問題2の解説)ほぼ問題1と同じノリです。+\beta)$となります。\gamma^3+\beta^3\gamma+\beta\gamma^3$を基本対称式で表せ(問題3の解説)お気づきでしょうか問題3が問題1や問題2と比べて別次元に難しいということに。難しい問題に出会ったときの対処法は、難しい原因を分析する、です。今回の問題が難しい原因はなんでしょう?一つは、文字が3つである点です。問題1と問題2では文字が2つだったのに、いきなり3つになったらそりゃ難しいです。そこで、今回は文字3つなんですが、なんとか文字2つの話に落とし込めないかな?という発想でアプローチしていくことになります。ここで、注意点が1つ。それは、文字が2つの場合の基本対称式と、3つの場合の基本対称式は異なるという点です。\beta\gamma$の3つです。そこで、便宜上こいつらに添え字を振って区別することにしましょう。「対称」という言葉は英語でシンメトリーというので、$s$を使うことにします。\beta\gamma$としましょう。あと、文字が2つの場合の基本対称式を文字で置く必要があります。苦肉の策でチェックをつけて対処することにします。\beta$とします。\gamma^3+\beta^3\gamma+\beta\gamma^3$とします。文字3つの対処は難しいので、まずは$\gamma=0$を代入して2変数で考えます。\beta^3$これなら2文字の基本対称式$\breve{s_1}$と$\breve{s_2}$で表せます。\beta\rbrace$$=\breve{s_2}(\breve{s_1}^2-2\breve{s_2})$ここから少しアクロバティックなことをします。\gamma)-s_2(s_1^2-2s_2)$というものを考えます。$\breve{s_1}$ではなく$s_1$を、$\breve{s_2}$ではなく$s_2$を使っている点に気を付けてください。文字2つの基本対称式ではなく、文字3つの基本対称式を使うわけです。本来3つの文字の話をしていたので、話を元に戻しているイメージです。\gamma)-s_2(s_1^2-2s_2)$とおきます。$s_2s_1^2-2s_2$を計算しましょう。\gamma^2$です。\gamma)=s_2(s_1^2-2s_2)-s_3s_1$となります。\gamma^3+\beta^3\gamma+\beta\gamma^3$は基本対称式で表されました!はい。実はこれで対称式の基本定理の証明の核心部分は終わりました。\gamma$で因数分解できること(青色マーカーのところです)4完了では証明に移っていきましょう。文字が$n$この場合は文字が$n-1$この場合を使いそうですすなわち、数学的帰納法を用います。s_n)$で表すことができる。s_n)$となる$g$が存在するよ、という主張です。(証明)文字の個数$n$についての数学的帰納法で示す。$n=1$のときに対称式の基本定理が成り立つことを示すこのとき、文字は$\alpha_1$のみである。1つの文字の入れ替え方は、入れ替えないという1通りしかない。ゆえに$\alpha_1$の多項式は全て対称式となる。文字が1つの場合の基本対称式は、$s_1=\alpha_1$である。$n=k$で対称式の基本定理が成り立つと仮定し、$n=k+1$でも成り立つことを示す。\alpha_{k+1})$を任意にとる。s_{k+1}$で表されればよい。\alpha_k)$とおく。帰納法の仮定より、文字が$k$この場合の基本対称式で表すことができる。\breve{s_k})$が存在する。s_k)$と定義する。\alpha_{k+1})$は$k+1$この文字についての対称式となっている。s_k)$に$\alpha_{k+1}=0$を代入する。\alpha_{k+1})$は$\alpha_{k+1}$で割り切れなくてはならない。\alpha_{k+1}$は対等でなければならない。\alpha_{k+1}$のすべてで割り切れなければならない。\alpha_{k+1})$となる。\alpha_{k+1})$も対称式である。\alpha_{k+1})$が基本対称式で表されればよい。\alpha_{k+1})$が定まる。2$1と2より、数学的帰納法から、対称式の基本定理は成り立つ。(証明終了)まとめいかができたか?高校数学でたまに使う対称式の基本定理。存在は知っていても、証明は教えて貰えない定理ナンバーワン(マスタノ調べ)です。※サイト次回のコメントで使用するためブラウザーに自分の名前、メールアドレス、サイトを保存する。上に表示された文字を入力してください。