自己同型写像に延長します。一致するものが必ず存在します。し、\(\sg_{ij}=\sg_j\cdot\tau_i\)\((i=1,2,3,4)\:\:(j=0,1,2,3,4)\)と定義します。e=e\)\(\sg_{ij}(\zeta)=\tau_i(\zeta)=\zeta^i\)\(\sg_{ij}(\al)=\sg_j(\al)=\al\zeta^j\)となります。\(\begin{eqnarray}&&\:\:\sg_{ij}(\al\zeta)&=\sg_j\tau_i(\al\zeta)\\&&&=\sg_j(\al\zeta^i)\\&&&=\al\zeta^j\zeta^i\\&&&=\al\zeta^{i+j}\\\end{eqnarray}\)です。5次方程式の解を共役な解に移す写像なので、その合成写像もまた、解を共役な解に移す写像ですが(=閉じている)、次のように計算で確認することができます。生成元とする巡回群です。ここで、\(\tau\sg=\sg^2\tau\)が成り立ちます。\(\begin{eqnarray}&&\:\:\tau\sg(\al\zeta)&=\tau_2\sg_1(\al\zeta)\\&&&=\tau_2(\al\zeta\cdot\zeta)=\tau_2(\al\zeta^2)\\&&&=\al\zeta^4\\&&\:\:\sg^2\tau(\al\zeta)&=\sg_1^{\:2}\tau_2(\al\zeta)\\&&&=\sg_1^{\:2}(\al\zeta^2)\\&&&=\sg_1(\al\zeta\cdot\zeta^2)\\&&&=\al\zeta\cdot\zeta\cdot\zeta^2\\&&&=\al\zeta^4\\\end{eqnarray}\)と計算できるので、\(\tau\sg(\al\zeta)=\sg^2\tau(\al\zeta)\)が成り立つからです。一般化すると、\(\tau^i\sg^j=\sg^k\tau^i\:\:(k=2^{i}j)\)と計算できます。部分は、\(\tau_c\sg_b=\tau\cd\tau\sg\cd\sg\)の形をしています。関係を繰り返し使って、\(\tau_c\sg_b=\sg\cd\sg\tau\cd\tau\)の形に変形できます。いうことは、\(\sg_{cd}\sg_{ab}=\sg\cd\sg\tau\cd\tau\)にまで変形できます。閉じていることがわかります。b,d\leq4)\)となります。\(\sg_{(ac)(bc+d)}(\al\zeta)=\al\zeta^{ac+bc+d}\)なので、\(\sg_{cd}\sg_{ab}=\sg_{(ac)(bc+d)}\)です。