3)$のスカラー倍で表されます。問題は101112だと思います。これは、こんなからくりがあります。「線形従属な奴らは同一直線状、または同一平面上にいる」ということになります。一般の線形空間ではこのようなイメージを持つことができません。なんとなくのイメージを一般化して、数学の言葉で記述する必要があります。いる」を一般化したのが「線形従属」だと思ってください。一般化に当たっては、「スカラー倍の和」がどうなっているか、に着目していくことになります。線形独立と線形従属が今回の記事のメインの内容ですが、これらについて解説するにあたっては、まず線形結合という用語を理解しておく必要があります。初めは線形結合の定義から紹介していこうと思います。線形結合の定義です(線形結合の定義)$F$を体とし、$V$を$F$上の線形空間とする。「スカラー倍の和のことを線形結合と呼んでいる」と押さえていただければと思います。ここで具体例を見ていきましょう。$xy$平面$\mathbb{R}^2$を考えます。\rbrace$です。$\mathbb{R}^2$は$\mathbb{R}$上の線形空間です。3)$とか、これらは全て線形結合です。次は線形独立についてです。線形独立が今回の記事では一番重要な内容で、今後にもつながっていきますので、しっかり押さえていきましょう。(線形独立の定義)$F$を体とし、$V$を$F$上の線形空間とする。$は線形独立であるという。具体例を見ていきましょう。具体例1まずは$xy$平面ですね。\mathbb{R}^2$を取ります。これが線形独立であることを示しましょう。\mathbb{R}$を取ります。0)$が成り立つのが$a_1=a_2=0$のときのみであることを示せばよいです。0)$となり、$a_1=a_2=0$です。1)$は線形独立です。具体例2$xy$座標平面や$xyz$座標空間の例は冒頭で確認してあるので、ちょっと趣向を変えたものにもチャレンジしてみようと思います。\rbrace$と表されるのでした。ここで、$1$と$\sqrt{2}$が線形独立であることを示そうと思いますその際、$\sqrt{2}$が無理数であることを用いるので、あしからず。\mathbb{Q}$をとり、$a_1×1+a_2×\sqrt{2}=0$が成り立つのが$a_1=a_2=0$のときのみであることを示します。背理法でアタックしましょう。すると、$a_1×1+a_2×\sqrt{2}=0$より、$a_2\sqrt{2}=-a_1$なので、$\sqrt{2}=-\dfrac{a_1}{a_2}$となります。有理数$\mathbb{Q}$は四則演算で閉じているので、$-\dfrac{a_1}{a_2}$は有理数です。したがって、$\sqrt{2}$は有理数であるということになりますが、これは矛盾です。よって、背理法より$a_2=0$となります。$a_1×1+a_2×\sqrt{2}=0$に$a_2=0$を代入すると、$a_1×1=0$となり、$a_1=0$です。したがって、$a_1×1+a_2×\sqrt{2}=0$が成り立つのは$a_1=a_2=0$のときのみであることが確認でき、$1$と$\sqrt{2}$は線形独立と分かります。線形独立でないとき、線形従属です。これで十分なんですが、もう少し丁寧に表現すると以下のようになります。(線形従属の定義)$F$を体とし、$V$を$F$上の線形空間とする。$は線形従属であるという。a_nx_n=o$が成り立ってしまうなら線形従属だよ!というイメージです。具体例にいきましょう!具体例1$\mathbb{R}^3$について考えます。\mathbb{R}^3$が線形従属であることを示しましょう。\mathbb{R}$を取ります。c$で$0$にならないやつがいることが示せればよいです。0)$について、$x$座標の値を比較すると、$a+3b-3c=0$...1$y$座標の値を比較すると、$2a-2b+10c=0$...2$z$座標の値を比較すると、$3a+b+7c=0$...3となります。123の3元一次連立方程式を解けばよいです。行列が使えると速いですが、ここは地道にやっていきましょう。未知数が3つもあるのは嫌です。$c$は定数扱いとし、$a$と$b$を未知数と思いましょう。1より$a+3b=3c$...42を2で割って$a-b+5c=0$から、$a-b=-5c$...54ー5より、$4b=8c$よって、$b=2c$これを5に代入$a-2c=-5c$$a=-3c$$3a+b+7c=0$...3に$b=2c$と$a=-3c$を代入。$-9c+2c+7c=0$$(-9+2+7)c=0$$0c=0$あれ?と思いませんでしたか?このままでは、$c$の値が決定できません。どこか計算を間違えたのか?いいえ。これであっているんです。ここでは深く触れませんが「連立方程式は、いつもきれいに解けるとは限らないんです!」(連立方程式が解けるための必要十分条件は行列の階数で記述されます。)今回は、$c$の値は決定できません。$0c=0$という式は、$c$がどんな値でも成立します。$c$は、任意の値でよいのです。0)$が成り立ちます。定義からこれは線形従属と分かります。具体例2$\mathbb{Q}(\sqrt{2})$についても考えてみましょう。5\sqrt{2}$が線形従属であることを示します。\mathbb{Q}$を取ります。c$のどれか一つでも0でないやつがいることを確認すればよいです。c$が0ではありません。よって、定義からこれは線形従属です。・スカラー倍の和を線形結合という以上を押さえていただければと思います。次回は線形独立を上手く使って「次元」というとてもロマンのある概念を定義していきます。その際「基底」という概念が活躍します。※サイト次回のコメントで使用するためブラウザーに自分の名前、メールアドレス、サイトを保存する。上に表示された文字を入力してください。