t(p-1)\)が得られました。条件を満たす数の比率は、\(\begin{eqnarray}&&\:\:\dfrac{|M|}{n-1}&\leq\dfrac{t(p-1)}{tp^2-1}\\&&&=\dfrac{p-1}{p^2-\dfrac{1}{t}}\\\end{eqnarray}\)となります。ついても単調減少です。ときで、\(\dfrac{t(p-1)}{tp^2-1}\leq\dfrac{1}{4}\)です。未満であることが証明されました。ちなみに、この証明はフェルマの条件しか使っていません。いうことは、平方因子をもつ数はカーマイケル数にはなりえないことが分かります。以上の奇数の合成数とする。表されているものとする。証明のポイントは2つあります。なる項は1つしかありません。すると、\(|A_2|=\displaystyle\sum_{r=0}^{e-1}|A_2(r)|\)が成り立ちます。すると、\(\begin{eqnarray}&&\:\:|M|&=|A_1|+|A_2|\\&&&=|A_1|+\displaystyle\sum_{r=0}^{e-1}|A_2(r)|\\\end{eqnarray}\)です。このことを以下の証明で利用します。奇数\(\bs{)}\)」での証明と同じように、巡回群の性質を利用することです。