既約剰余類群の同型関係、\((Z/p_1p_2p_3Z)^{*}\cong(Z/p_1Z)^{*}\times(Z/p_2Z)^{*}\times(Z/p_3Z)^{*}\)を利用して、問題を置き換えます。それぞれの群位数は、\(\begin{eqnarray}&&\:\:|(Z/p_1p_2p_3Z)^{*}|&=\varphi(p_1p_2p_3)\\&&&=(p_1-1)(p_2-1)(p_3-1)\\\end{eqnarray}\)\(|(Z/p_1Z)^{*}|=\varphi(p_1)=p_1-1\)\(|(Z/p_2Z)^{*}|=\varphi(p_2)=p_2-1\)\(|(Z/p_3Z)^{*}|=\varphi(p_3)=p_3-1\)であり、\(|(Z/p_1p_2p_3Z)^{*}|=|(Z/p_1Z)^{*}|\cdot|(Z/p_2Z)^{*}|\cdot|(Z/p_3Z)^{*}|\)が成り立ちます。条件は次のように言い換えられます。\(a^{2^rk}\equiv-1\:\:(\mr{mod}\:p_3)\)が成り立つ。仮定して一般性を失うことはありません。e_1+e_2+e_3\)が成り立ちます。