従って、\(M\:\subset\:F\)です。M\))可能性があることになります。条件はフェルマーの条件より厳格です。値にかかわらず示せるのです。以上の奇数の合成数とする。表されているものとする。いかなる数であっても成り立つのがポイントです。実際に計算をしてみます。ある奇数の合成数とします。\(3771\)個です。ものをリストアップすると、次の5つだけです。)無いことがわかります。主張しているわけです。条件にとっての「カーマイケル数のような数」はあり得ないことです。この定理によって、素数判定の信頼度を示すことができます。比喩で言うと次のとおりです。\(100\)個入っています。箱は「素数箱」と「合成数箱」の区別がありますが、そのどちらかは見た目で判別できません。\(75\)個の赤玉が入っています。箱の上面には穴があって、そこから手を入れて玉を取り出し、色を確認した後、玉を箱に戻す(そしてかき混ぜる)ことができます。この確認は繰り返しができて、その繰り返しで、箱が素数箱か合成数箱かを判断します。最初に取り出した玉が赤玉なら、箱は合成数箱だとわかります。白玉だと、素数箱の可能性が高いものの、断言はできない。従って2回目の確認をします。2回続けて白だと、素数箱である可能性がぐんと高まります。2回目が赤だと合成数箱です。このようにして、赤が出ればその時点で合成数箱と判断し、白が出続ければ確認を繰り返します。あり、以降、どんどん減っていくので、ある回数で打ち切って素数箱と判断します。素数判定をするアルゴリズムが次です。合成数と判定してアルゴリズムを終了する。素数と判定してアルゴリズムを終了する。以下であることが保証されます。\(10\)進数で\(25\)桁の数です。\(300\)メートルしか進まない時間です。\(138\)億年程度と言われています。その3倍近い数字です。