b_{n}\)とする。\](3)最大元\(\max_{n\in\mathbb{N}}a_{n},\max_{n\in\mathbb{N}}b_{n},\max_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}b_{n}\right)\)が存在するとする。\](4)最小元\(\min_{n\in\mathbb{N}}a_{n},\min_{n\in\mathbb{N}}b_{n},\min_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}b_{n}\right)\)が存在するとする。\](1)で等号が成り立たない例\(a_{n}=\delta_{1,n},b_{n}=\delta_{2,n}\)とすると\(\sup_{n\in\mathbb{N}}a_{n}=1,\sup_{n\in\mathbb{N}}b_{n}=1,\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}b_{n}\right)=\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(\delta_{1,n}\delta_{2,n}\right)=0\)となるので、等号が成り立たない。b_{n}\)の条件がないと成り立たない。(1)は、\(a_{n}=b_{n}=-\delta_{1,n}\)とすると左辺は\(\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}b_{n}\right)=\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(\delta_{1,n}\delta_{1,n}\right)=1\)となり、右辺は\(\sup_{n\in\mathbb{N}}a_{n}\sup_{n\in\mathbb{N}}b_{n}=\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(-\delta_{1,n}\right)\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(-\delta_{1,n}\right)=0\)となり\(\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}b_{n}\right)>\sup_{n\in\mathbb{N}}a_{n}\sup_{n\in\mathbb{N}}b_{n}\)となるからである。(2)は\(a_{n}=b_{n}=-\delta_{1,n}\)とすると左辺は\(\inf_{n\in\mathbb{N}}a_{n}\inf_{n\in\mathbb{N}}b_{n}=\inf_{n\in\mathbb{N}}\left(-\delta_{1,n}\right)\inf_{n\in\mathbb{N}}\left(-\delta_{1,n}\right)=\left(-1\right)\cdot\left(-1\right)=1\)となり右辺は\(\inf_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}b_{n}\right)=\inf_{n\in\mathbb{N}}\left(\delta_{1,n}\delta_{1,n}\right)=0\)となり\(\inf_{n\in\mathbb{N}}a_{n}\inf_{n\in\mathbb{N}}b_{n}>\inf_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}b_{n}\right)\)となるからである。-\(\max_{n\in\mathbb{N}}a_{n},\max_{n\in\mathbb{N}}b_{n}\)が存在しても\(\max_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}b_{n}\right)\)が存在するとは限らない。なるので、\(\max_{n\in\mathbb{N}}a_{n}=1,\max_{n\in\mathbb{N}}b_{n}=1\)であるが\(\max_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}b_{n}\right)\)は存在しない。-\(\max_{n\in\mathbb{N}}a_{n},\max_{n\in\mathbb{N}}a_{n}+b_{n}\)が存在しても\(\max_{n\in\mathbb{N}}b_{n}\)が存在するとは限らない。なるので\(\max_{n\in\mathbb{N}}a_{n}=2,\max_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}+b_{n}\right)=1\)であるが\(\max_{n\in\mathbb{N}}b_{n}\)は存在しない。b_{k}\leq\sup_{n\in\mathbb{N}}b_{n}\)となる。従って題意は成り立つ。b_{k}\)となる。ここから(1)と同様にすればいい。b_{k}\leq\max_{n\in\mathbb{N}}b_{n}\)となる。従って題意は成り立つ。b_{k}\)となる。ここから(3)と同様にすればいい。なるので題意は成り立つ。なるので題意は成り立つ。$の各項$a_{n}$の絶対値をとった総和が$\sum_{k=1}^{\infty}\left|a_{n}\right|<\infty$となるとき、$\sum_{k=1}^{\infty}a_{n}$は絶対収束するという。\]無限正項級数は順序変更出来る無限正項級数は順序変更できる。