以上で、演算で閉じていて、単位元と逆元の存在がいえるので、\(\sg_{ij}\:\:(i=1,2,3,4)\:\:(j=0,1,2,3,4)\)は群を構成することがわかります。共役な解の巡回置換で表現します。\(1:\al,\:2:\al\zeta,\:3:\al\zeta^2,\:4:\al\zeta^3,\:5:\al\zeta^4\)です。巡回置換で表現すると、\(\tau_1=\:e\)\(\tau_2=(2,\:3,\:5,\:4)=\tau\)\(\tau_3=(2,\:4,\:5,\:3)=\tau^3\)\(\tau_4=(2,\:5)(3,\:4)=\tau^2\)となります。同様にして、\(\sg_j(\al)=\al\zeta^j\)なので、\(\sg_0=\:e\)\(\sg_1=(1,\:2,\:3,\:4,\:5)=\sg\)\(\sg_2=(1,\:3,\:5,\:2,\:4)=\sg^2\)\(\sg_3=(1,\:4,\:2,\:5,\:3)=\sg^3\)\(\sg_4=(1,\:5,\:4,\:3,\:2)=\sg^4\)です。計算すると、次のようになります。\(=\left(\begin{array}{c}1&2&3&4&5\\3&1&4&2&5\end{array}\right)\)\(=(1\:3\:4\:2)=\sg_{32}\)となって、確かに成り立っています。\(=(1,\:4,\:5,\:2)^{-1}\)\(=(2,\:5,\:4,\:1)\)\(=(1,\:2,\:5,\:4)\)となり、成り立っています。&i=1,2,3,4\\&&&j=0,1,2,3,4\}\\\end{eqnarray}\)とおくと、\(G=\mr{Gal}(\bs{Q}(\zeta,\al)/\bs{Q})\)であることがわかりました。正規部分群になります。正規部分群になるからです。正規部分群であることは、計算でも確かめられます。s}\tau^i\)が成り立ちます。正規部分群の定義を満たします。