A\)となることは同値である。A=\infty\)と定める。A=-\infty\)と定める。空集合\(\emptyset\)に対する上限は\(\sup\emptyset=-\infty\)と定めることが多い。A\)となることは同値である。A=-\infty\)と定める。A=\infty\)と定める。空集合\(\emptyset\)に対する下限は\(\inf\emptyset=\infty\)と定めることが多い。(1)\(\Rightarrow\)(a)が成り立っているときは\(a\)は\(A\)の上界となる。(b)が成り立っているときに\(A\)の上界の最小値が\(a\)でないと仮定する。すると、\(a\)より小さい\(A\)の上界\(p\)が存在し、\(p=a-\epsilon\)となる。A\)が存在するので\(p\)は\(A\)の上界ではないので矛盾。これより、仮定が間違いなので\(\Rightarrow\)が成り立つ。A\)は\(A\)の上界なので、(a)を満たす。A-\frac{\epsilon}{2}=b\)となるので(b)を満たす。これより、\(\Leftarrow\)は成り立つ。-故に\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)となる。(2)(1)と同様にすればいい。