\(F_{20}\:\sp\:C_5\:\sp\:\{\:e\:\}\)\(F_{20}\:\sp\:D_{10}\:\sp\:C_5\:\sp\:\{\:e\:\}\)という部分群の列(可解列)が存在することになり、これらの部分群は可解群です。3つしかないことが知られています。ガロア群は、可解なガロア群の全部を含んでいるのでした。一般的に、ある5次方程式が与えられたとき、そのガロア群を決定するには少々複雑な計算が必要です。可解な5次方程式の解を四則演算とべき根で表現するための計算手法も複雑で、この記事では省略します。ここでは、可解な5次方程式の例をあげておきます。あることが知られています。この方程式は実数解が1つで、虚数解が4つです。近似値と厳密値を求めてみると次のようになります。この厳密値は本当かと心配になりますが、検算してみると正しいことが分かります。高校数学で理解するガロア理論(7)可解性の判定」に書きました。根で表されているとする。