同時に成り立つことはありません。k_2\)として一般性を失いません。k_0\:\:(k_0\):奇数\()\)と表します。k_0\)が成り立ち、\(\dfrac{k_1}{\mr{gcd}(k,\:k_1)}\geq\dfrac{k_1}{k_0}=q\geq3\)となります。ここから、\(\mr{gcd}(k,\:k_1)\leq\dfrac{1}{3}k_1\)が得られます。k_2\)をもとに、\(|A_1|=\mr{gcd}(k,\:k_1)\cdot\mr{gcd}(k,\:k_2)\)を評価すると、\(|A_1|\leq\dfrac{1}{3}k_1k_2\)となります。導出した、\(|A_2|\leq\dfrac{4^{e_1}-1}{3}\mr{gcd}(k,\:k_1)\cdot\mr{gcd}(k,\:k_2)\)までは全く同じです。k_2\)によって評価すると、\(|A_2|\leq\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{4^{e_1}-1}{3}k_1k_2\)が成り立ちます。\dfrac{|M|}{(p_1-1)(p_2-1)}\\&&&=\dfrac{|M|}{2^{e_1}k_1\cdot2^{e_2}k_2}\\&&&\leq\dfrac{1}{2^{e_1+e_2}}\cdot\dfrac{1}{3}\left(1+\dfrac{4^{e_1}-1}{3}\right)\\&&&=\dfrac{1}{2^{2e_1}}\cdot\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{2+4^{e_1}}{3}\\&&&=\dfrac{1}{4^{e_1}}\cdot\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{2+4^{e_1}}{3}\\&&&=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{2}{3\cdot4^{e_1}}+\dfrac{1}{3}\right)\\\end{eqnarray}\)となります。未満であることが証明されました。3個以上の相異なる奇素数の積に素因数分解される場合です。ケースと(全く同じではないが)同様になります。以上の奇数の合成数とする。表されているものとする。