あり、従って可解ではありません(65G)。特別な形の5次方程式は可解です。取り上げ、ガロア群を分析します。方程式のガロア群を分析することに意味があるのかどうか、疑ってしまいます。ガロア群は可解な5次方程式のガロア群としては最も複雑なのです。単純・複雑さと、ガロア群の単純・複雑さはリンクしません。ガロア群を計算します。\(x^4+x^3+x^2+x+1=0\)の根です。7.1節で計算したように、たとえば、\(\zeta=\dfrac{1}{4}(-1+\sqrt{5}+i\sqrt{10+2\sqrt{5}})\)です。\(\al=\sqrt[5]{2}\)とします。解は、\(\al,\:\:\al\zeta,\:\:\al\zeta^2,\:\:\al\zeta^3,\:\:\al\zeta^4\)の5つです。\(\begin{eqnarray}&&\:\:\bs{L}&=\bs{Q}(\al,\:\al\zeta,\:\al\zeta^2,\:\al\zeta^3,\:\al\zeta^4)\\&&&=\bs{Q}(\zeta,\al)\\\end{eqnarray}\)です。して、\(\bs{Q}\:\subset\:\bs{F}\:\subset\:\bs{L}\)という、体の拡大で作られたものと見なせます。いう4次多項式なので、拡大次数は、\([\:\bs{F}:\:\bs{Q}\:]=4\)です。\(4\)個あります。添加した単拡大体です。従って、\([\:\bs{L}\::\:\bs{F}\:]=5\)です。拡大次数の連鎖律(33H)により、\([\:\bs{L}\::\:\bs{Q}\:]=[\:\bs{L}\::\:\bs{F}\:]\cdot[\:\bs{F}\::\:\bs{Q}\:]=20\)がわかります。