A\)でもあるので\(A^{a}=A\)となるので\(A\)は閉集合となる。故に\(\Leftarrow\)は成り立つ。\(\Leftrightarrow\)これらより\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)となる。$の各項$a_{n}$の絶対値をとった総和が$\sum_{k=1}^{\infty}\left|a_{n}\right|<\infty$となるとき、$\sum_{k=1}^{\infty}a_{n}$は絶対収束するという。