$$G_{pi}(s)=K_p(1+\frac{\frac{K_i}{K_p}}{s})$$$$\frac{K_i}{K_p}=T_i$$とします。$$G_{pi}(s)=K_p(1+\frac{T_i}{s})$$つぎに()内を分数だけにします。$$G_{pi}(s)=K_p(\frac{s+T_i}{s})$$さて、この伝達関数を見て000ボード線図を想像しましょう。なるでしょうか?分母=0となる周波数がポール周波数です。分母はsなので、0Hz時点にポールがいることになります。分子=0となる周波数がゼロ周波数です。f=-T_i$$$$f=-\frac{T_i}{j2\pi}$$どういう理屈か忘れましたが、周波数が負っつーことはないので、正の値にします(おいおい)。理屈を追っかけたら正の値になるはずです。$$f=\frac{T_i}{2\pi}$$つまり0Hzからポールがあって、Ti/2πHz時点でゼロ点がいるって感じですね。絵にするとこんな感じです↓。これは連続時間系の話ですが、この特性は離散時間系でも変わりません。ゼロ点周波数が変わりますが、0Hzで-20dB/decで落ちて行って、ゼロ点でバキッと真っ直ぐになるのは変わりません。ADコンバータで値を取ってぇ、デジタル回路でごちゃごちゃ計算してぇってやってるタイプは離散時間系です。離散時間系PI制御を考えるさきほどまでは連続時間系の話です。離散時間系だと∫がΣになります↓。↑においてT周期ごとに加算していく加算器がΣです。N回目のPI制御器出力u[n]はどうなるかをブロック線図を見ながら式にしてみましょう。$$u[n]={K_p*e[n]+K_i*T\sum_{0}^{n}e[n]}$$離散時間系はZ変換します↓。ラプラス変換の離散時間版がZ変換です。Z変換はz=e^stとすると変換できます。)Z変換表を見ながらZ変換します。ΣのZ変換ってどうやるの?はここ見ながらやりました。$$U[z]=K_p*E(z)+\frac{K_i}{1-z^{-1}}*E(z)$$伝達関数の形にします。出力/入力の形にします↓。\frac{K_i}{1-z^{-1}}$$これを周波数領域に持っていきます。z^-1=e^(-sT)とすることで置き換えれます。$$G(s)=K_p+\frac{K_i}{1-e^{-sT}}$$これが離散時間系PI制御器の伝達関数です。先ほどと同様に伝達関数を弄って、ボード線図がどうなるかを考えましょう。$$G(s)=K_p(1+\frac{\frac{K_i}{K_p}}{1-e^{-sT}})$$Ki/Kp=Tiとします。$$G(s)=K_p(1+\frac{T_i}{1-e^{-sT}})$$つぎに()内を分数だけにします。$$G(s)=K_p(\frac{1-e^{-sT}+T_i}{1-e^{-sT}})$$さて伝達関数が分数の形になったので、ポールとゼロ周波数を求めましょう。分母=0で求められます。$$1-e^{sT}=0$$$$e^{sT}=1$$両辺を自然対数logeを付けます。$$log_e(e^{sT})=log_e(1)$$$$sT=0$$つまりポールは0Hzですね。$$1-e^{-sT}+T_i=0$$$$e^{-sT}=1+T_i$$両辺を自然対数logeを付けます。$$log_e(e^{-sT})=log_e(1+T_i)$$$$-sT=log_e(1+T_i)$$$$s=-\frac{log_e(1+T_i)}{T}$$s=jωなので$$jω=-\frac{log_e(1+T_i)}{T}$$ω=2πfなので$$j2πf=-\frac{log_e(1+T_i)}{T}$$$$f=-\frac{log_e(1+T_i)}{j2πT}$$ん~これたしか-が消えるはず。いう理屈で-が消えるんだっけな。(おいおい)$$f=\frac{log_e(1+T_i)}{2πT}$$ですね。これをボード線図にするとこうです↓。エクセルでやる必要がない人はここで終了です。matlabやらpythonやらでbode(G)とコマンド打ったら一撃でボード線図が出てきますので、確かめてみて下さい。以下はエクセルでやりたい!!という変態向けです。離散時間系PI制御伝達関数を実部と虚部に分ける計算をするまずs=jωなので代入します。$$ここでオイラーの公式↓を使ってe^jωTを変換します。K_p+\frac{K_i}{1-(cos(-ωT)+jsin(-ωT))}$$次に負角の公式を使います↓。負角の公式$$sin(-θ)=-sinθ$$$$cos(-θ)=cosθ$$$$G(s)=K_p+\frac{K_i}{1-(cos(ωT)-jsin(ωT))}$$分母の()を展開します。$$G(s)=K_p+\frac{K_i}{1-cos(ωT)+jsin(ωT)}$$では分母の虚数を消しに行きましょう。分子分母に1-cos(ωT)-jsin(ωT)を掛けます。)}$$地道に展開します。$$G(s)=K_p+\frac{K_i*(1-cos(ωT)-jsin(ωT))}{1-2cos(ωT)+cos^2(ωT)-j^2sin^2(ωT)}$$$$G(s)=K_p+\frac{K_i*(1-cos(ωT)-jsin(ωT))}{1-2cos(ωT)+cos^2(ωT)+sin^2(ωT)}$$ややこしくなってきたので、分母だけ見ます。2-2cos(ωT)$$すっきりしたので戻します。}$$さぁあとちょっとです。実部と虚部に分けましょう。$$G(s)=K_p+\frac{K_i}{2}-j\frac{K_i*sin(ωT}{2(1-cos(ωT))}$$実部が出ましたね↓。\frac{Ki}{2}$$もう一工夫で虚部だけ見ましょう。$$Im=-\frac{K_i*sin(ωT}{2(1-cos(ωT))}$$倍角の公式を使う準備をします。$$Im=-\frac{K_i*sin(2*\frac{ωT}{2}}{2(1-cos(2*\frac{ωT}{2}))}$$とりあえず、ややこしいのでωTpwm/2=θとします。$$Im=-\frac{K_i*sin2θ}{2(1-cos2θ)}$$$$Im=-\frac{K_i}{2}\frac{sin2θ}{1-cos2θ}$$さぁ倍角の公式を使いましょう。倍角の公式$$sin2x=2sinxcosx$$$$cos2x=2cos^2x-1=1-2sin^2x$$$$Im=-\frac{K_i}{2}\frac{2sinθcosθ}{1-(1-2sin^2θ)}$$$$Im=-\frac{K_i}{2}\frac{2cosθ}{2sinθ}$$$$Im=-\frac{K_i}{2}\frac{cosθ}{sinθ}$$ありゃーシンプルになりましたね。三角関数の関係式$$tanθ=\frac{sinθ}{cosθ}$$$$Im=-\frac{K_i}{2}\frac{1}{tanθ}$$θ=wTpwm/2なので元に戻します。$$Im=-\frac{K_i}{2}\frac{1}{tan(\frac{ωT}{2})}$$はい。伝達関数に戻しましょう。$$G(s)=K_p+\frac{K_i}{2}-j\frac{K_i}{2}\frac{1}{tan(\frac{ωT}{2})}$$G(s)の絶対値は実部と虚部の二乗を足した√です。$$|G(s)|=\sqrt{Re^2+Im^2}$$んで、ゲインをdB表記にするには20log|G(s)|です。$$20log|G(s)|=20log(\sqrt{Re^2+Im^2})$$√は^(1/2)のことでlogの前に出せます。$$20log|G(s)|=10log(Re^2+Im^2)$$はい。これで最初の結論に出てきた式が全て出てきました。?しんどくなかったですか?私はとてもしんどかったです。最後に皆様、こんなことせずにパソコンに計算させる方法を学びましょう。誰かの参考になれば幸いです。よる非絶縁型降圧スイッチングレギュレータの伝達関数の導出みなさま、お疲れ様です。本記事は非絶縁降圧スイッチングレギュレータの勉強をしてみよう。いう記事の第7回目です。今日はDCDCをやってる人は見たことがあるであろう、以下のType3補償器と言われる電圧アンプの伝達関数を導出してみよう。Type3補償器の伝達関数わかんねー。いう方は読んで頂けれ...パワーエレクトロニクス【インバーター】単相インバーターの制御設計をしてみる【PR制御】みなさま、お疲れ様です。インバーターの勉強する記事5回目です。本日はRC回路の伝達関数の求め方を記事にまとめてみようと思います。【LLCコンバータ】出力電圧Gvf(s)の周波数特性の負荷依存性を調べるみなさま、お疲れ様です。本記事はLLCコンバータを勉強する記事9回目です。非対称ハーフブリッジLLCコンバータが本記事の対象です。本日はLR回路の伝達関数の求め方を記事にまとめてみようと思います。defined.")}))}();。