@Phys_KM間違い等あればTwitterで教えていただけると幸いです。このサイトはjavascriptによって数式を表示させています。javaをオンにしないと正しく閲覧できません。量子力学において、「測定」や「観測」という行為は特別な意味を持ちます。測定は系の状態を変化させてしまうからです。最初は例をとって説明します。この状態を何らかの方法で測定して、\(\ket{0},\ket{1}\)のどちらが出るか観測するという実験を考えましょう。結果は確率的に現れます。量子力学的な観測の後には観測された状態に状態が「収縮」します。この場合だと、\(\ket{0}\)が観測された!という実験結果が出ればそのqubitは\(\ket{0}\)に、逆に\(\ket{1}\)が観測された!という実験結果が出ればそのqubitは\(\ket{1}\)になってしまうのです。このことを演算子を使って定式化するため、次のような射影演算子を導入します。なって、確かに測定結果に対応して状態を収縮させられることがわかります。見てみると、この演算子が収縮させた状態には、確率振幅\(\alpha,\beta\)の情報が入っていて、特にその大きさの二乗は測定結果の得られる確率になっていますね。このことを踏まえて、次で一般的な測定を定義しましょう。\ket{1}\bra{1}\)のセット\(\{M_0,M_1\}\)があれば、結果\(0,1\)を得る確率も、測定後の状態も定義することができます。一般化すると、「測定」とは、ある結果を得る確率や測定後の状態と次のように紐付いた、ある演算子\(\{M_i\}\)の集合であると考えれば良さそうです。M_i\ket{\psi}}.\tag{3}\]これを密度演算子でも定式化しておきます。M_i)}.\tag{5}\]とすれば全く同じことを表せるでしょう。この演算子の集合\(\{M_i\}\)はどのような性質を持つべきでしょうか?確率の性質から考えると、どのような性質を持つべきか決定することができます。M_i\ket{\psi}\)は必ず0以上でなくてはなりません。M_i\)は半正定値であるということです。I\)であれば、この式が満たされますね。M_i\)は全て半正定値。I\)を満たしていれば、\(\{M_i\}\)という集合は「測定」と呼ぶにふさわしい性質を持つのです。POVMとは、上で定義した「測定」とは少し違う測定の一種です。M_i\)だけで、\(M_i\)単体で現れたのは、測定後の状態を定義するところだけでした。光子を検出する実験のように、測定後の状態がそもそも問題とならない場合もあります。して、この\(E_i\)だけを問題にすれば良いはずです。この演算子の集合\(\{E_i\}\)をPOVMと呼びます。\(\{E_i\}\)は、\(\{M_i\}\)と同様に以下の性質を満たすべきです。\(E_i\)は全て半正定値。M_i\)の満たす性質として考えましたが、一般には逆に、この性質を満たす\(\{E_i\}\)をPOVMといいます。それにしても、なぜPOVMなんて言うのでしょうか?これは、確率が「測度」という数学によってきれいに定式化されるからだと思っています。いうことなんでしょう。trace)を説明しましょう。\(A,B\)という2つの量子系があって、その合成系が密度演算子で\(\rho^{AB}\)という状態にいるとします。考える問題は、\(B\)を無視して\(A\)だけを見た時、その状態\(\rho^A\)はどのように表されるべきか?というものです。実験するにあたっても、量子力学の基礎としても、非常に重要な問題です。この問題を考えるには、ここまでに定義してきた測定の理論を使います。\(A\)に対するある測定\(\{M^A_i\}\)を考えて、この測定に対して\(\rho^{AB}\)と\(\rho^A\)が与える結果が全く変わらなければ、\(\rho^A\)には\(\rho^{AB}\)の部分系としての資格があるといえるでしょう。そこでそのような\(\rho^A\)を探します。測定\(\{M^A_i\}\)は\(A\)に対してしか作用しないので、このままでは\(\rho^{AB}\)の測定とは言えません。I^B\}\)を定義します。