集合\(\mathbb{Q}\)の任意のデデキント切断\(\left(A,B\right)\)について\(A\)に最大元が存在するかしないかで2通り、\(B\)に最小元が存在するかしないかで2通りで合計4通りあるが、(1)は起こらないので(2)(3)(4)のうちどれかを満たす。(1)\(A\)に最大元、\(B\)に最小元がある。(2)\(A\)には最大元があるが、\(B\)には最小元がない。(3)\(A\)には最大元がないが、\(B\)には最小元がある。(4)\(A\)に最大元がなく、\(B\)にも最小元がない。B\)が存在すると仮定する。B=\mathbb{Q}\)となり矛盾。故に\(A\)に最大元、\(B\)に最小元があることはない。