A\right)_{n\in\mathbb{N}}\)の極限\(a\)が\(A\)に含まれることは同値である。-第1可算公理という条件を省いた一般の位相空間では\(\Rightarrow\)が成り立つが逆は一般的に成り立たない。逆が一般的に成り立たないことを反例で示す。補有限位相\(\left(\mathbb{R},\mathcal{O}_{c}\right)\)で部分集合を\(\left[0,1\right]\in\mathbb{R}\)として点列を\(\left(a_{n}=\frac{1}{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)とすると収束先は0となる。このとき、点列\(a_{n}\)も収束先0も\(\left[0,1\right]\)の元であるが、補有限位相をとっているので\(\left[0,1\right]\)は閉集合ではない。従って逆は一般的に成り立たない。-第1可算公理という条件を省いた一般の位相空間では点列を有向点族またはフィルターにすると\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。A^{a}\)となる。条件より、\(A\)は閉集合なので\(A=A^{a}\)となる。A^{a}=A\)となる。故に\(\Rightarrow\)は成り立つ。