(7)を少し変形して、(8)のような形にすれば、\(\rho^A\)がどのように表されるべきかわかります。以下では、\(\{\ket{a}\},\{\ket{b}\}\)を\(A,B\)の正規直交基底とします。定義すれば、この\(\rho_A\)は\(\rho^{AB}\)と全く変わらない確率を与えることがわかるでしょう。そこで、(11)式を部分系の定義とします。この定義に使われている部分系に関するトレース\(\Tr_B\)が部分トレースです。簡単な例で部分系を計算してみましょう。\(\{\ket{b_0},\ket{b_1}\}\)とします。\(\ket{\psi^{AB}}=\ket{a_0}\ket{b_1}\)という状態。この結果は\(A\)だけを見れば\(\ket{\psi^A}=\ket{a_0}\)となっていることを示しています。\(\ket{\psi^{AB}}=\ket{a_0}\ket{b_1}\)でしたので当然ですね。次はエンタングルした状態をやってみましょう。