\right)\)と仮定する。\)に対し、命題\(P\left(a\right)\)は真である。このとき\(P\left(b\right)\)も真になるが\(P\left(b\right)\)は偽としていたので矛盾。合成写像は順序写像になる。有限性をもつ空でない集合族$\mathcal{A}$に対し、包含関係を順序とする半順序集合$\left(\mathcal{A},\subseteq\right)$に極大元が存在する。