Springer.仕事の都合で共和分システムについて勉強する必要が生じ、積んでおいてあった本の該当章を読んでみた。高い本だったので元を取らねばならん。モデルは変数は複数だが方程式としては1本である。余計な話ですね]多方程式時系列モデルは変数の短期的関係と長期的関係を捉える力を持っており、多変量時系列モデルと比べてパラメータの効率性でも適合度でも予測性能でも優れている。本章は頻度主義的なアプローチに焦点をあてる。ベイジアンなアプローチは次の章[状態空間モデルの章]でやる。ここからは6つのステップに分けて説明するぞ。グレンジャー因果性検定そもそも、パフォーマンスがマーケティング活動によって駆動されているという伝統的な市場反応モデルの仮定は正しいのか。マーケティング活動は過去のパフォーマンスとか競合の活動とか同じ会社の別の部門の活動とか小売とかによって駆動されているのかもしれない。いう内生性を説明しておかないと誤った結論を招く。原理的には、マーケティング変数・パフォーマンス変数の間のありうるすべての相互作用を複雑な同時方程式モデルで指定すればよい。残念ながら、マーケティング理論というのはそこまで頼りにならないし、モデルの識別のために疑わしい制約を課する羽目になる。データに基づき因果性の方向を絞りたい。いうわけで、グレンジャー因果性検定を使って内生性の存在を確かめよう。y_{t-k})$$が5%有意水準でいえたなら、\(x\)は\(y\)に対してグレンジャー因果性を持つわけです。これは結構タフなテストである。\(y_t\)の予測に\(x_t\)を使えるわけじゃない点に注意。測定頻度が低いときには余計しんどい。そこでグレンジャー同時因果性検定という提案もあるけれど、単に相関が非ゼロかどうかを調べているだけになるので解釈上の問題がある。グレンジャー因果性検定はペアワイズの検定である。\(x\)が\(y\)に対してグレンジャー因果性を持っていたとしても実は背後に共通の原因\(z\)があるだけかもしれない。二重プレホワイトニング法がある。漸近的には同一だが、有限標本ではGrangerの方法の検定力が高い[←へー]。マーケティング分野でのグレンジャー因果性検定の適用例を紹介しよう。コカ・コーラは全社でグレンジャー因果性を活用しているそうだぞ。モデルに変数をどのように入れるかを決めるために、単位根と共和分について調べよう。単位根検定は3章で説明したので本章では共和分について説明する。複数の進化的な変数の間に共和分があるとは、それらが長期均衡に制約されていることを意味する。共和分があるとき、ある変数のレベルから他の変数のレベルを予測できる。うっかり差分をとってシステムに入れると情報を捨てることになる。均衡を表す式を共和分方程式という。\(\epsilon\)を均衡誤差という。これは定常でなければならない。al.(2000)の方法(構造ブレークを許す)。関心ある共和分を3つに分けて考えよう。パフォーマンス変数間の共和分。工場へのオーダーと消費者需要とか。ある変数を予測するためには他の変数を監視する必要がある。中間変数と最終パフォーマンス変数との共和分がブランドの成長とともにどう変容していくかというのは今後の重要な研究課題だ[どうやら著者の博論のテーマだったらしい]。マーケティング変数間の共和分。値上げと共に広告予算を増やすとか、競合同士のマーケティング活動とか。マーケティング変数とパフォーマンス変数の共和分。過去の売上で広告予算を決めているとか。供給側から見ると、マーケターが目標と実績の差を減らそうとしていると共和分が生じる。需要側からみると、売上を高く維持しようとすると価格と売上は共和分する。JMR)は、長期的マーケティング効率性について次の4つの戦略シナリオを提示している。売上は定常、マーケティングも定常。確立された市場・ブランドでは最も典型的なシナリオ。キャンペーンは一時的な効果しか持たない。売上とマーケティングに共和分がある。マーケティング支出を増やすとパフォーマンスは永続的に上がるが、その上昇を維持するには支出を高いまま維持する必要がある。売上は進化的だが[←単位根を持つってことですよね]、マーケティングは定常。一発のキャンペーンが永続的な効果を持つ。長期的マーケティング効率の聖杯である。新興市場、新ブランド、小ブランド、外的環境が実質的に変化しているとき、などにおいてみられる。売上は定常だがマーケティングは進化的。競合がマーケティングコストを引き上げているときに生じる。VARとVEC[この節が本章のキモであろう。さあ気合入れましょう]VARMAモデルまず、単変量の時系列分析を\(n\)本の時系列変数の方程式からなるシステムに拡張します。\(\epsilon_t\)はホワイトノイズ。[落ち着け、まだ難しい話はしてない。単なるARMA(p,q)のベクトル版だ]VARMAモデルのマーケティングへの適用はなくはないけど少ない。(1)異なる関係が、内生変数間の同じ関係につながる(識別できない)。(2)非線形なMA項を含んでいるので、条件付き尤度か正確尤度が必要になる。(3)パラメータを解釈しにくい。(4)共通の確率的トレンドや共和分を分析するのに不便。VARモデルそこでVARモデルの登場です。MA項を反転してAR項に移す。\epsilon_t$$構造VARモデルもっとわかりやすく書き換える。この形式だと制約を掛けやすい。制約の掛け方には大きく4つある。ある変数群が別の変数群の原因にはなっても結果にはならない、という制約。面食らったが、落ち着いて考えるとこういうことだ。VARモデルの左辺の行列\(A\)の非対角要素は\(y_t\)の要素間のラグ0のパスを表しているわけだ。\(y_t\)の要素が上から順に原因から結果へと並べてあるのなら、\(A\)の上三角の非対角要素はゼロで埋められる。いうことですよね先生]K-モデル。式に行列\(K\)をかけ、直交正規誤差ベクトルを生成する[わ、わからん...]C-モデル。直交正規撹乱項をモデル化する。[わからん...]AB-モデル。K-モデルとC-モデルを含む。[わからんーー]いずれもラグの数や動的効果の正確な形式に制約を掛けているわけではない点に注意。した制約に対しては、経済理論というのはラグについてはなにも教えてくれないし、効果の減衰が時間を問わず同じだという仮定は乱暴だという批判がある。VARモデラーは同時関係と誤差共分散行列に制約を掛けることを好むようである。制約の掛け方については全く理解できなかった。床に積み上げられた時系列分析の本をめくったが、どれも難しそう。(1997)という本が挙げられていた]SVARモデルのマーケティングへの適用例も多くない。(1)ラグ変数間の多重共線性がきついので、係数の解釈がややこしい。(2)適切に制約されたVARモデルであっても、他のパラメータ推定値については依然として欠落変数バイアスがあるかも。制約の仕方を変えたいくつかのモデルを推定して比較すればいいんだけど、すごく精緻な手続きになるし、モデル間で推定値を比較する際の基準がない。誘導型VARモデル別に制約をかける気が無いんなら、次のようにも書き換えられる。いうモデルを誘導型という。対角行列ではないことに注意。誘導型のよい点は、右辺が\(t\)の時点で決まっていること。誤差に相関があろうがOLS推定量は一致推定量だし、漸近的に有効でもある。パラメータ数も少ない。一部の変数を内生変数ではなく外生変数として扱ってもパラメータ数は減る。これをVARXモデルという。外生とみなしてよいかどうかの検定が必要。動的システムモデルの精神からいえば、すべての変数は外生だとはっきりするまでは内生である。\(y\)の\(x\)への回帰で\(x\)が外生であるとはどういうことか。それは分析の目的による。\(x\)の\(y\)に対する効果の推定値について推論するときの外生性。関心あるパラメータが、条件付き分布のパラメータという観点から一意に表現できると云うこと。\(x\)の下での\(y\)について予測するときの外生性。弱い外生性に加えてグレンジャー因果性がないこと。回帰係数が\(x\)の周辺分布の変化に対して構造的に不変であるかどうかを検定するときの外生性。推定された効果が市場のプレイヤーの決定ルールが変わっても変わらないことを意味する。分析の目的によっては、他の変数からのグランジャー因果性がないとは云えない変数であっても外生変数とみなしちゃっていいのか...]マーケティングへの適用では、条件付き予測が大事なので、少なくとも強外生性が求められる。強外生性の検討には、弱外生性の検定(Wu-Hausman検定など)とグランジャー因果性検定の両方を使う。いうやり方では、実際には大抵の変数は外生だといえなくなる。重要でない変数はまず外生だということにしておいてとりあえず推定し、ひとつづつ内生にしていくという手もある。いうセキララな話が聞きたかったんですよ、先生ありがとう]VARにおけるラグ選択ラグの数は多いほうが説明力はあがるし残差のホワイトノイズ性も高くなるんだけど、予測力はかえって下がるし外生変数もいれにくくなる。手っ取り早い決め方は、\(p+1\)個めのラグを自由推定した場合のML推定量\(\delta_u\)と0に制約した場合のML推定量\(\delta_r\)を比べることである。Likelihood(\delta_r)]$$LR統計量は漸近的にカイ二乗分布に従うので簡単に検定できる。\(p\)をひとつづつ増やしながら検定していけばよい。いうのはソフトが自動でやってくれる。問題は、この手法があてにならんし、リサーチャーのやりたいこととも合ってないかもしれないということである(リサーチャーは予測性能だけに関心がある、とか)。いうわけで、情報量基準のほうがよく用いられている。あるけど、目的によって使い分けるべし。予測性能が問題なら1期先MSEを重視すべきである。Cov(p)|$$が最小となる\(p\)を選べばよい。pK^2$$もこっちの観点である。\(T\)が大きければどっちも同じである。[←へええ]もしも正しい次数を選びたいのなら、BICかHQがよい。AICと比べて罰則が強い。HQよりBICのほうがさらに強いのだが、\(T\)が大きければたいして変わらない。現実には漸近特性より小標本特性に気を配るべきである。その意味ではどちらの目的でもBICがおすすめ。いくつかの指標を比べ、いくつかの\(p\)についてVARモデルを比べ、FPE/AIC最小の\(p\)とBIC最小の\(p\)の間で選ぶとよい。変数のなかに進化的なのがありしかし共和分がない場合、進化的変数については差分をとる。[恥ずかしながら、この箇所が以前から腑に落ちない。回帰の場合でいうと、単位根を持つ2変数だけ差分を取ったモデルも組もうと思えば組めるけど、3つ全部差分を取ったモデル(ないし取らなかったモデル)とは意味が全然ちがってくるじゃないですか。いや、係数を解釈する気がなくてIRFだけ見ている分には構わないんだろうか?]しかし共和分の場合はレベルも差分も大事なので情報を捨てたくない。そこでベクトル誤差修正モデル(VECモデル)を使う。\(C\)は長さ\(n\)のベクトル。\(\alpha\)は長さ\(n\)のベクトルで、調整係数という。\(e_{t-1}\)は長期均衡からみた誤差。e_{t-1}\)は市場のプレイヤーによる学習と調整を表す。[恥ずかしながらここも以前から腑に落ちていない箇所だ。欠点がある(ショックがより持続的になっちゃうとか)。季節ダミーを使うことが多い。拡張の提案はたくさんある。二重非対称SVARモデルなど。時間独立な反応という仮定を緩和する。インパルス反応関数を時間や履歴に依存させるわけだ。変数の数が多いときにどうにかする。インパルス応答関数VARモデルの係数は解釈できない。インパルス応答関数(IRF)に関心がもたれる。定常ならば普通はショックはいずれ消えるが、単位根を持っていたら永続的影響があることが多い。競合のマーケティングアクション\(cm\)があるとしよう(すべて対数とする)。現在の実現値を大文字で書く。いうことだと思うんだけど、そんなら式のなかのサメーションは\(k=1\)から始まらないと変な感じだ。1\)のもとでの売上の条件付き偏差に関心があるとしよう。なる[誘導型に書き換えるとこうなるってことでしょうね]。売上が進化的なら、我々がモデルに含めているのは1階差分だから、IRFはいずれ0になる。この場合はIRFを累積しないといけない。売上の変化に対する即時効果しかない場合(完全ヒステレシスという)、IRFはその時点以外はゼロとなる。あるのは売上の変化にネガティブな動的効果がある場合で(部分ヒステレシス)、IRFはその時点で上がって次の時点で下がって元に戻る。以上は両側対数をとっている場合の話である。片側だと解釈は難しくなる。我々がモデルに含めているのは1階差分だから、IRFは永続的変化を表わしていることに注意。0\)だったらってことだよね?]。これは売上の変化だけを許したシミュレーションである。同様のシミュレーションを、競合の変化を許した場合、自社のサポートを許した場合についても行って比較することができる。売上のみを動かしたときの効果と比べて、ネットの効果は5倍ちかくも大きいし長持ちする(競合のせいもあるが、自社のサポートのせいもある)。IRFを使う際は同時効果の因果的方向をリサーチャーが決めないといけない。代替案として、残差共分散行列における同時ショックをデータから求めるという手もある(一般化IRF)。最近のマーケティング論文ではよく使われる。予測誤差分散の分解ある変数(売上)の予測誤差を過去の各変数のショックに分解するのが予測誤差分散分解(FEVD)である。標準的には識別のために因果的順序付けが必要になるが、それを不要な一般化FEVD(GFEVD)というのもある。このやりかただと、初期ショックがすべての内生変数に即時的に影響しうる(するとは限らないけれど)。重回帰かVARかを問わず、そもそも分散を分解して重要性とみなすというのが本当に役立つ場面があるのか、昔っから腑に落ちないんですよね。研究者のなかには、誘導型モデルのようにエビデンスベースドなモデルはデータの記述に過ぎず、政策への示唆としては信用できないという人もいる。ルーカス曰く、政策の変化は計量経済学モデルの構造を体系的に変える。エージェントは前向き(forward-looking)なのであり、新しい政策にあわせて期待し行動する。本章で述べた時系列モデルは過去の相関パターンの後ろ向きな要約にすぎない。ルーカス批判は政策のいかなる変化にもあてはまるのではなくて、大きな変化のみに当てはまる話である。大きな変化があるとしても、ルーカス批判は政策分析における予測モデルの価値を下げるものではない。モデルの解釈を他のモデルの解釈と比べるべきである。他のモデルとして人気があるのは、仮定ベースのモデル、いわゆる構造モデルである(構造VARモデルと混同しないように)。構造モデルとは、いま検討している政策に対して不変であるような、エージェントの「テイストとテクノロジー」を特徴づける目的関数を形式化したモデルである。マーケティングでいえば、構造モデルとは、制約の下で目的関数を最大化する、消費者とマーケターの最適意思決定を形式化したモデルである。政策変化への反応を予測するためには、構造モデルはテイストとテクノロジーのすべての関連する諸側面を反映していなければならない。リサーチャーがすべきこと。政策分析に使うモデルは、まずは記述モデルであり予測モデルでなければならない。政策シミュレーションのためのモデルは、さらに政策について、パラメータが定数である式を持たなければならない(それが可能ならばルーカス批判はあてはまらなくなる)。同様に、期待と内生性を明示的に組み込んだ仮定ベースのモデルも作れる。結局のところ、モデルの予測妥当性は、大きな政策変化が起きたときにはじめてわかる。市場反応モデルよりゲーム理論的な予測のほうがあたったという報告もある。逆に、計量経済学ではルーカス批判は実証的にはほとんど問題にならないという報告もある。まとめると、モデラーは仮説を強く同定すること(ふつう予測性能は下がる)と、合理的消費者・マーケターについての明示的で理論に基づく基本要素を得るというベネフィットとのトレードオフに直面する。最終的にどちらを取るかは、モデルの目的、そして個人の好みの問題である。————–やれやれ、疲れた...私の学力不足が邪魔しただけで、解説としては非常にわかりやすかったと思う。最後のルーカス批判の節、勉強になりました。研究者諸君、このくらい丁寧に説明してくれたまえ。(態度が大きい)構造VARモデルの識別の話が全然理解できなかったけど、これは別に勉強しないと。日々のマーケティングリサーチでは、ここでいうところの構造モデル(エージェントの合理的意思決定ルールを明示的に組み込んだモデルのことですよね)を用いることはないと思うんだけど、なぜだろうか。そもそも消費者をその非合理性まで含めて理解しようとしているからですかね?いや、ちょっとまてよ。ま、ここでいう「構造モデル」という言葉は計量経済学の文脈を強く反映していると思うので、他の分野に広げるとだんだん言葉の遊びになっていくような気もするけれど、ちょっと気になるところである。