辞書式順序(1)半順序集合\(\left(X,\preceq_{X}\right),\left(Y,\preceq_{Y}\right)\)を半順序集合とする。x_{2}\)である。Y,\preceq\right)\)は半順序集合となる。Y,\preceq\right)\)となる。(2)狭義半順序集合\(\left(X,\prec_{X}\right),\left(Y,\prec_{Y}\right)\)を狭義半順序集合とする。ここで\(\left(x_{1},y_{1}\right)\preceq\left(x_{2},y_{2}\right)\)は(1)と同じ定義とする。Y,\prec\right)\)は狭義半順序集合となる。Y,\prec\right)\)となる。Y,\prec\right)\)は狭義半順序集合となる。Y,\preceq\right)\)は半順序集合となる。なるので反射律を満たす。なるので反対称律を満たす。なるので推移律を満たす。満たすのでこの辞書式順序の2項関係は半順序集合となる。Y,\preceq\right)\)は完全律を満たし全順序集合となる。y_{1}\prec_{Y}y_{2}\right)\)となる。Y\)上の2項関係\(\prec\)は狭義半順序関係を満たす。Y,\prec\right)\)は狭義半順序集合となる。Y,\prec\right)\)は狭義全順序集合となる。有限性をもつ空でない集合族$\mathcal{A}$に対し、包含関係を順序とする半順序集合$\left(\mathcal{A},\subseteq\right)$に極大元が存在する。