いう話がでてきて、そこでこの論文がよく引用されている。第一著者のGodambeさんという人は推定方程式アプローチの理論で有名な人らしい。第二著者はHorvitz-Thompson推定量のThompsonとは別人の模様。いうのは、もう、一行づつ読んでいくしかない。標本調査で、超母集団モデルのパラメータなり、そのモデルに基づく母集団特性関数なりを推定したい場面を考える。Vではなくてvが使われているが、わかりにくいので勝手に変える]。目的は標本から\(\beta\)を推定することだったり、有限母集団からの\(\beta\)のOLS推定値\(\beta_N\)を推定することだったりする。\(\beta\)みたいなパラメータを推定する最適な手続きを考える際には、標本に基づく推定量\(\hat{\beta}_s\)が、所与の抽出デザインのもとで\(\beta_N\)の(ほぼ)不偏な推定量になっているか、が問題になる。抽出デザインとモデルの下で、デザイン不偏でありかつ同時MSEが最小である推定量のことを最適と呼ぶ。本論文では推定関数の理論を用いて、最適性基準の応用範囲を拡張する。長さ\(N\)の母集団ベクトルを\(\mathbf{y}\)とする(要素\(y_i\)はベクトルかもしれない)。\{\xi\}\)のメンバーであることがわかっているとする。この\(C\)のことを超母集団モデルという。\(\theta\)が超母集団パラメータだとしよう。\theta)\)が以下を満たすとき、それを不偏推定関数という。\(E_\xi\)は\(\xi\)のもとでの期待値を表す。そんなに難しいことはいってない。推定関数とは、それが0になるという方程式を解けばその解が推定量になるような関数のことだ。0\)を解くじゃないですか、あの左辺を推定関数と呼んでいるわけね。ここでいっているのは、モデルはなんだかわからんけれど、ありうるすべてのモデルを通じて期待値をとったとき、推定関数に真の\(\theta\)を放り込んで得られる量の期待値は0であってほしい、ということだ。\theta)\)は、以下の条件を満たすときに最適であるという。0\)を最適推定方程式といい、その解を最適推定値という。ここが全然わかんないんだよな。\theta_N)=0\)の解\(\theta_N(\mathbf{y})\)は以下の2つの特徴を同時に持つ。\(\mathbf{y}\)のすべての要素が既知のとき、\(\theta_N(\mathbf{y})\)は超母集団パラメータ\(\theta\)の推定値である。\(\mathbf{y}\)が未知のとき、\(\theta_N(\mathbf{y})\)は調査母集団のパラメータの定義となる。[前者はいいとして、後者の言葉遣いがちょっとわかりにくい。回帰モデルで、「もし母集団が利用可能だったら得られていたはずの\(\beta\)の推定値」のことをセンサス・パラメータっていうことがあるじゃないですか。いう意味でパラメータと言っているのだと思う。うーん、やっぱりちょっと腑に落ちない。デザイン・ベース・アプローチなら、有限母集団平均は定数であってモデルで定義されるものではないじゃないですか。モデル・ベース・アプローチでも、有限母集団の母平均とはデータ生成プロセスを\(N\)回動かして得た\(y_i\)の実現値たちの平均だ、と考えるのが普通ではないかと思う(だから「有限母集団平均を予測する」という言い方になる)。y_N\)が独立だとしよう。いくつかの重要な事例では、最適推定関数\(g^*\)が以下の形をとる。0\)であるようななんらかの実関数で、\(C\)によって一意に定まる。[書き方が小難しくて困るが、最適推定関数が個体レベルのなにかの関数の合計になることがあるよ、ということであろう]最適推定関数が存在しないこともある。いうより狭い概念を使うことがある。0\)だから自動的に不偏推定関数となる。[推定関数が、\(y_i\)を関数にいれて(返し値の期待値はゼロ)、パラメータで決まる個人別定数で重みづけて足し上げるという関数であったら、それを線形不偏推定関数というよ、ということであろう]ここからは、次のようなクラス\(C\)に注目しよう。\)が線形最適である十分条件は以下を満たすことである。\theta)\)が\(\theta\)の線形最適推定関数であることを示せる。y_N\)が利用可能ならば超母集団パラメータ\(\theta\)の推定値だし、そうでなければ調査母集団ベクトル\(\mathbf{y}\)のパラメータである。事例\(C\)が以下を満たすすべての\(\xi\)からなるとしよう。y_i-\theta\)は線形最適である。y_N\)がiidなら、この\(g^*\)は\(\theta\)の最適推定関数である。