最初の球面の裏側と表側が、すっかり入れ替わっているのです。出来たことになります。ここで、n重トーラスとは、n個の穴のあるトーラスのことです。ところで、3次元球面から球体を取り除いた残りの部分は、球体に変形することが出来ます。ように、球面の裏返しが出来るからです。このことは、3次元球面が2つの球体に分解できることを意味します。逆に言うと、2つの球体を貼り合わせると、3次元球面が出来ることになります。この辺りのことを、右の図を用いて、詳しく説明します。1つの3次元球面があるとします。右の図では、3次元球面を、便宜的に、雲のような形に表しました。)次に、3次元球面から、球体を刳り抜き、取り出します。球体を除去した3次元球面では、球体を除去した境界が球面になっています。この球面を裏返します。球面の外側の3次元領域が、球面の内側の3次元領域に変わります。境界である球面の裏返しを行うことで、球体に変わります。2つの球体を貼り合せることで、元の3次元球面に戻ります。)同様にして、トーラス体を除去した3次元球面は、トーラス体に変形できることがわかります。裏返しが出来るからです。3次元球面は、2つのトーラス体に分解できることがわかります。3次元球面は、2つのn重トーラス体に分解できることがわかります。『Mは種数nのヒーガード分解を持っている』、と言います。ヒーガード分解を持ちます。ヒーガード分解の出来る最小の種数を、ヒーガード種数と呼んでいます。一般に、任意の向き付け可能な閉3次元多様体は、ヒーガード分解を持っています。n重トーラス体(n≧2)は種数nのハンドル体です。いくつかの3次元多様体について、ヒーガード分解やヒーガード種数を紹介しておきます。3次元球面は、任意のn(n≧0)に対して種数nのヒーガード分解を持っており、ヒーガード種数は0です。種数1のヒーガード分解を持っており、ヒーガード種数は1です。分解を持っており、ヒーガード種数は2です。ヒーガード種数は3です。ところで、種数1のヒーガード分解が出来る3次元多様体のことを、レンズ空間と呼んでいます。言う記号で表されます。整数で、2つのハンドル体の貼り合わせ方を表すものです。