国レベル、四半期の広告決定のこと。以下、四半期を\(q\)とする。”static”と”dynamic”と呼ぶのは、ブランド・エクイティは短期的には固定だが長期的には変化すると企業が考えていると我々が仮定しているからである。投資は四半期、収穫は週次ということになる。[この仮定が合理的であるというdefendに1段落割かれている。えーっと、この論文における企業には「値下げ販促はエクイティを毀損するからやめようぜ」という発想はない、ってことでいいんでしょうか]モデル。(=\{1,2\})\)とする。消費者\(i\)は各週にたかだか1個買うとする。外部選択肢\(0\)というのを考える。\(i\)が店舗\(j\)で\(n\)を買う効用、ならびに買わない効用を次式とする。\{0,1,\ldots,M\}\)は当該の四半期における企業のブランド・エクイティの状態で、状態\(0\)は非上市を表す。\omega_2)\)と書く。\(B\)はブランド・エクイティ状態をブランド・エクイティ(実数値)にマップする関数。\(B(0)=-\infty\)とし、残りはあとで考えることにします。以下では簡略のため、\(\omega_n\)のことを「ブランド・エクイティ」と呼んじゃうことがあるのでよろしく。\(p_{jn}\)は価格[あとで出てくるけど、価格は完全に合理的に決まる]。p_{j2})\)と書く。\sigma_{\zeta}^2)\)にIIDに従うとする。\zeta_{j2})\)と書く。その確率分布を\(f_\zeta(\zeta_j)\)と書く。\xi’_{ij}\)は個人レベルの店舗購入見込み[\(\xi’_{ij}\)のプライムは転置じゃなくて、\(\xi_{ij}\)とは別の記号という意味らしい]。\epsilon_{ij0}\)がそれぞれ極値分布になるとする。correlatedを表す[←ここが理解できていなかったことにあとで気がついて悶絶したのであった。\(\sigma\)は個人x店舗レベルの誤差と個人x店舗x企業レベルの誤差の相対的サイズを表すスケールパラメータで、これが小さいときほど、個人x店舗x企業の選好が企業間で相関する、ということだと思う]。\epsilon_{ij2}\)はtype1極値分布にIIDに従うとする[ロジットモデルを組む気か...]。すると需要はこうなる。\sigma_m^2)\)にIIDに従うとする。確率分布を\(f_m(m_j)\)と書く。\(C_j\)は第1式の分数部分の分母を2企業ぶん足した奴(ほんとは価格やら状態やショックやらに依存するが略記する)。?これブランド選択の多項ロジットモデルですよね。\epsilon_{ijn}\)が誤差で、それがちゃんと極値分布に従ってんですよね。\(1-\sigma\)で割るんだろう?しばらくディスプレイを眺めて突然気がついた。誤差がIIDじゃないわ。\(\xi_{ij}\)が効いているではないか。これ、ポテチ買いますか、買うとしたらどっちのブランドを買いますか、という2段のネステッド・ロジットモデルなんだけど、わざわざネストの効用の式を書かずに、しれっと\(D_{jn}\)と\(D_{j0}\)の2本の式で書き下ろしているのだ。虎の穴とかあるの?)、とにかくネステット・ロジット・モデルなんだろうな、ブランドの効用はこうなるんだろうな、ということで、先に進もう...]価格は週次の利益を最大化する価格となるとする。\(p_{j,-n}\)は競合の価格。SD\(\sigma_c\)の対数正規分布にIIDに従うとする。確率分布を\(f_c(c_j)\)と書く。[ここもしばし固まってしまった。なんで店舗x週xブランド別の利益の最大化という観点から価格が決まるんだろう。たしかに価格の係数\(\kappa\)はブランド間で共通だけど、それでも式の中に\(\exp\)が入っているから、それぞれのブランドの売上を最大化する価格ベクトルと、カテゴリの売上を最大化する価格ベクトルは、必ずしも同じじゃないんじゃないかな。私の勘違いか、そんなことはたいした問題じゃないのかのどっちかだろうけど...]ここから、状態\(\omega\)の下での唯一のナッシュ均衡解が得られます。それって自明なの?]推定。[略]こうやって式を変形するとデータから需要を推定できるんです...[略]価格に内生性があるので(企業は\(\zeta_{inj}\)を予測して値付けするかもしれない)、OLS推定ではバイアスがかかるかもしれない。そこで道具変数として、(1)他の街のブランド価格、(2)同じチェーンの他の店舗でのブランド価格、(3)同じチェーンの同じ街の他の店舗でのブランド価格、を用意した。(1)(2)はコストショックを共有しているが需要ショックは共有していないと仮定する。各期の\(B(\omega_n)\)はこう推定されました。[略]限界費用も期待利益も推定されました。シェア、期待利益の曲面がカラーで掲載されている。いずれも\(\omega_1\)とともに高くなり、\(\omega_2\)とともにわずかに低くなる。関数\(B\)はまだ決めてないんだから。ブランド管理の動的モデルさて、ブランド・エクイティについて品質ラダーというフレームワークを使う。これはもともとはR&D投資の研究で、R&Dによる品質の変化をハシゴの上り下りのように捉えたものだ。本研究では広告によるエクイティの変化をハシゴの上り下りのように捉える。[入出力関係が階段状の関数になるということだろうか?]前の節ではブランドエクイティを連続的に推定した。0\)は離散化したときの間隔の幅、\(l\)は離散的ブランドエクイティ状態の最小値。この式は、それぞれの推定されたブランドエクイティを、それにいちばん近い離散的なブランドエクイティへと離散化することを意味している。[つまり、さっき推定したのはやっぱし\(B(\omega_n)\)で、その裏に離散的な順序変数\(\omega_n\)があると考えるってことね。これだとただの線形変換じゃないですか。厳密さをかなぐり捨ててる感じがして途方に暮れる]\(w\)と\(l\)を決めたい。\(w\)はできるだけ小さくしたいけど、このあとのモデルの定式化の都合で、\(\omega_n\)の期の間の変動はたかだか2単位までにしたい。l=-0.319\)ってことにします。[...ここで、両端の扱いをどうするかという細かい話。いうわけで、\(\omega_n\)は35段階の変数とします。ぶっちゃけていうと識別のための工夫なのかなあ?]このモデルでは、ブランド・エクイティは3つの力によって変動する。外部財の品質による変化。これは両方の企業に効く。[そうそう!このメモをとりながら、最近筒型のポテチってあんまり見かけないなあと思ってたんだけど、袋ポテチが昔より美味しくなってたり、競合カテゴリが増えてたりしてるからじゃないかしらん。私カルディのタコチップをよく買ってるけど、ああいうの昔はなかったですよね]各四半期を前半と後半にわける。企業は前半では\(\omega\)と広告効果(後述)を観察し、広告支出を決める。企業ショックとカテゴリショックが決まりアウトカムが決まる。新しい状態\(\omega’\)が決まる。後半では、上市してない企業が上市するかどうか決める。新しい状態\(\omega”\)が決まる。\eta$$が与えられる。\(\gamma_n\)が広告効果です。\theta(\omega_n))\)からドローする。(1)広告意思決定というものは確率的に決まってる面があるから。(2)広告支出の解を閉形式で書けるようになり助かるから。(3)パラメータ\(k\)で、どこまで小さな\(\alpha_n\)を認めるかを決められるから。(4)これから示すようにガンマ分布パラメータを\(\omega_n\)で決めるので、内生性が生まれるから。