この\(\delta\)を開被覆\(\mathcal{U}\)のルベーグ数という。通常距離をとり、\(X=\left[0,3\right]\)とするとコンパクト空間となる。開被覆を\(\left[0,2\right),\left(1,3\right]\)として、\(\delta=1\)とする。すると、\(A=\left(0,1\right)\)とすると\(U=\left[0,2\right)\)を選べば、\(\diam\left(\left(0,1\right)\right)<1\rightarrow\left(0,1\right)\subseteq\left[0,2\right)\)が成り立つ。\(A=\left[1,2\right)\)とすると\(U=\left[0,2\right)\)を選べば、\(\diam\left(\left[1,2\right)\right)<1\rightarrow\left[1,2\right)\subseteq\left[0,2\right)\)が成り立つ。\(A=\left(1,2\right]\)とすると\(U=\left(1,3\right]\)を選べば、\(\diam\left(\left(1,2\right]\right)<1\rightarrow\left(1,2\right]\subseteq\left(1,3\right]\)が成り立つ。\(A=\left(2,2\right]\)とすると\(U=\left(1,3\right]\)を選べば、\(\diam\left(\left(2,3\right]\right)<1\rightarrow\left(1,2\right]\subseteq\left(1,3\right]\)が成り立つ。なるように成り立つという意味である。\subseteq\mathcal{U}\)を選び\(X\subseteq\bigcup_{k=1}^{n}U_{k}\)とできる。U_{k}\right)\)とおくと、\(f\)はコンパクト集合上で連続なので最小値\(\delta\)が存在し、\(\delta>0\)となる。B_{\delta}\left(x_{0}\right)\)となる。U_{m}\right)\)を満たす。U_{m}\)となる。U_{m}\)となり題意は成り立つ。U\)が成り立つと仮定する。ここで各\(A_{n}\)から1点\(a_{n}\)を選ぶと、その点列\(\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)は点列コンパクト空間なのである部分列\(\left(a_{n\left(k\right)}\right)_{k\in\mathbb{N}}\)が存在しある点\(a\)に収束する。U'\)となるが仮定に矛盾。故に背理法より題意は成り立つ。全有界ならば有界である。$\left(X,2^{X}\right)$は離散距離空間$\left(X,d\right)$で距離化可能である。X,d'\right)$上の連続関数である。