区間\(I\)で連続な関数列\(f_{n}\left(x\right)\)があるとき、\(f_{n}\left(x\right)\)が\(f\left(x\right)\)に一様収束するならば、\(f_{n}\left(x\right)\)は\(f\left(x\right)\)に各点収束し\(I\)で連続になる。逆は一般的に成り立たない。連続な関数列\(f_{n}\left(x\right)\)が\(f\left(x\right)\)に各点収束しただけでは\(f\left(x\right)\)が連続とは限らない。区間\(\left[0,\infty\right)\)で関数列\(f_{n}\left(x\right)=x^{n}H_{0}\left(1-x\right)+H_{1}\left(x-1\right)\)は連続で\(f\left(x\right)=H_{1}\left(x-1\right)\)に各点収束するが、\(f\left(x\right)\)は連続でない。\(H_{c}\left(1-x\right)\)はヘヴィサイドの階段関数である。任意の\(\epsilon\)で成り立つので同じ\(\epsilon\)を使う。なるので、関数\(f\left(x\right)\)は\(x_{0}\)で連続となる。\(x_{0}\)は\(I\)の任意の点で成り立つので\(f\left(x\right)\)は\(I\)で連続となる。\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない関数列\(f_{n}\left(x\right)\)が\(f\left(x\right)\)に各点収束して連続であっても\(f\left(x\right)\)が一様収束するとは限らない。すると、関数列\(f_{n}\left(x\right)\)は\(f\left(x\right)=0\)に各点収束するので連続である。なるので関数列\(f_{n}\left(x\right)\)は\(f\left(x\right)=0\)に一様収束しない。