上の式は標本の\(y\)の重み付き合計として書き換えることができる。ここで、ウェイトは\(y\)に依存してない。このウェイトがすべての\(y\)について同じくらい効率的だとはいえないが、それはデザイン・ベースのウェイトでもそうである。超母集団(\(y\)モデル)アプローチでは、バイアスとバリアンスのような統計的特性は、観察された標本ユニットの集合に条件づけられた形でに条件づけられた形で計算される。準ランダム化推定量は、推定された包含確率の逆数をウェイトとして用いているだけならば、\(E_M(y|\mathbf{x})\)が共変量に依存する\(y\)モデルの下ではバイアスを持つだろう。その結果、準ランダム化アプローチだけを使うより、\(y\)モデル・アプローチを使って推定量を構築したほうが、推定はよりpreciseになる。[うーむ、なにいってのかよくわからん。準ランダム化アプローチは共変量分布を潰した周辺分布をみていて、超母集団アプローチは共変量で条件付けた条件付き分布をみている。ウェイトが正しかったらバイアスはないと思うんだけど。階層回帰モデリング事後層別は、すべての(離散)カリブレーション変数とその交互作用への線形回帰とみることができる。カリブレーション変数\(\mathbf{x}_i\)は\(p\)個の二値変数だとしよう。以下、\(p\)次交互作用まで延々続く、という感じ。レイキングってのはこのモデルの交互作用を全部削ったやつだ。共変量の組み合わせ(\(2^p\)通り)を\(h\)と書こう。\(P_h\)とはその組み合わせが母集団に占める割合、\(\hat{\mu}_h\)はそこに属する個体の\(\mu_{yi}\)の推定量である。\(\mu_{yi}\)は上のような線形回帰じゃなくて、一般化線形回帰に拡張してもよい。事後層別とレイキングの中間をとってもよい。priorsだと\(\sigma^2\)と\(\tau^2\)が近いときに平滑化しすぎてしまうことがわかっている[\(h\)間で共通の事前分布を使っていると\(\mu_h\)が\(\mu\)に向かって縮小しすぎるってことかな?]。N_h/n_h\)の情報を入れてやると良いということがわかっている。h’|\)の関数にするとか。Forecasting)のMRPである。[2012年大統領選の予測で成功したという話。中略]彼らのアプローチでは\(P_h\)を確率標本から推測し、その不確実性を無視していた。ベイジアン有限母集団推測アプローチでちゃんとやってたらもっと良かっただろう。\mathbf{Y}\)が手に入り、確率標本のデザイン変数が\(Z\)だとする。非標本を\(ns\)であらわす。\)について考えよう。[えーっと、非標本の共変量分布を予測したいと。そこで、非標本について、共変量と(確率標本の)デザイン変数の同時分布を推測しましょうと。それはわかんないけど、確率標本における同時分布ならわかる。共変量とデザイン変数の組み合わせの下での、非確率標本の条件付き同時分布ならなんとかわかる方法がある。その二つを掛けて、デザイン変数のほうで積分して周辺化すればいいじゃん。あっれー、左辺にある\(X_s\)というのがわからないー。Z_p)\)はベイジアン・ブートストラップでドローできる。\)は有限母集団ベイジアン・ブートストラップという方法でドローできる。[ここからの説明が全然わかんなくなっちゃったので断念。非確率標本からの推測には準ランダム化アプローチと超母集団アプローチがある。どちらも長所と短所がある。準ランダム化アプローチは、\(y\)と無関係に包含確率を推測するから、どんな\(y\)の推定にも使える。超母集団アプローチでは個別の\(y\)についてモデルをつくり、\(y\)の母集団構造を説明しているからモデル分散は小さい。重要な共変量を見落としていたりしたときにバイアスが生じる。どっちがよいかは今後の課題である。手に入る共変量が非確率標本の選択メカニズムを捉え損なっていることに対する結果の敏感性をどう評価するかというのも今後の課題である。細かいとこよくわかんなかったんだけど(特にMRPの拡張のところ)、勉強になりましたですー。複雑な抽出デザインのデータ分析では、よくデザインベース推測とモデルベース推測という言葉が使われる。おおざっぱに言っちゃうと、抽出デザインに基づき標本包含確率の逆数でウェイティングするのが前者、抽出デザインに用いた変数を投入したアウトカムについての回帰モデルを組んじゃうのが後者。非確率標本の場合、もはやデザインベース推測という概念は成り立たないんだけど(標本包含確率はもはやわからない)、それでもリファレンスデータを使ってなんとかして標本包含確率を推測しようというアプローチがあるわけだ(この論文でいう「準ランダム化アプローチ」)。アウトカムについての回帰モデルを作るというアプローチも依然としてある。これがこの論文で「超母集団アプローチ」と呼ばれるところが私などには分かりにくく感じられるのだが(論文中にも説明はない)、有限母集団のアウトカム・ベクトルを確率変数として捉えているから、きちんと定式化しようと思ったら、頻度主義の立場からはもはや超母集団を呼び寄せるしかない、というところがこの言葉の由来なんだろうな。