(8年ぶり2回目)仕事の都合でGelmanらのMRP(マルチレベル回帰・事後層別)についてちょっとだけお話しする機会があって、資料を準備していてふと気がついたんだけど、Gelmanさんが前に書いた”Struggles...”という面白い論文があった。あれはMRPの萌芽だったんじゃないだろうか。あの論文ではそうは呼ばれていなかったけど。153-164.私は2014年にメモをとりながら読み終えている。メモを読み返してみると、手法提案論文というよりはもっと大きな枠組みを提示した論文なのだが、確かに、MRPの基本アイデア(非確率標本に対する階層回帰と事後層別)が提示されている。いうわけで、今回ざっと再読したのだが、当時と現在とでは関心の持ち方も少し変わっているし、昔のブログ記事を書き換えるのもなんなので、もう一度メモをとってみた。単純な平均や割合の推定を別にすれば、ウェイトをどう使えばいいのかはっきりしないことが多い。魅力的な代替案として、ウェイティングのかわりに回帰モデリングをするという手があるが、膨大な交互作用をどう扱うかによって結果はどうにでも変わってしまう。本論文は、標本と母集団の間の差を調整するひとつの戦略として、事後層別と階層回帰の併用を提案する。標本から母集団の量を推定する[数値例。エスニシティ、年齢、教育の分布が母集団に合うようにしたウェイトをがついている。(b)2時点を縦に積み、ウェイトに使った共変量と時点を説明変数として線形回帰(ロジスティック回帰)したときの時点の係数、を比べている。2001年の割合は78%、差は3.4%。(b)の線形回帰では時点の係数は6.6%。8年前に読んだときは「うーんなんで違うんだろう」と思ったけれど、今読んでみると当然だという気がする。事後層別とウェイティング通常、モデルに基づく推測というものは、データ収集時のデザインが「無視可能」だと暗黙のうちに想定している(BDA2の7章をみよ)。回帰の文脈でいえば、標本抽出なり無回答なりに影響するすべての変数が含まれているという想定であり、標本抽出の文脈でいえば、事後層別セルのなかでは抽出確率が等しいという想定である。ここで、ウェイティングと事後層別を統一的に扱う枠組みを導入しておこう。\(X\)は標本において観察され、母集団について同時分布が既知だとする。母集団は十分に大きいとする。標本サイズを\(n_j\)とする。(古典的な層別抽出も事後層別の一種と考えるわけだ)。(未知な場合も多いが、その推定の話は脇に置いておく)。