値を代入する(1)から始めます。ここは実際に値を代入して,順番に求めていきましょう。(答え)積の式を置き換えていく(2)に進みます。ついての規則性を考えましょう。すると$b_n=\cfrac{1}{a_n}+1$が成り立ちます。自然数であることを示せば良いです。そこで数学的帰納法を用いてみましょう。とき(*)は成り立つ。自然数+自然数だから,これも自然数になる。すべて自然数ってことになる。ついて(*)が成り立つ。使っても大丈夫ということになります。かけると$a_nb_n=1+a_n$となるので,代入して$b_na_{n+1}=1+a_n-1=a_n$となる。成り立つことになります。(答え)極限を求める(3)に進みます。極限を求めることは同じです。極限を考えれば答えが出せそうです。このとき,過去に作った式を利用できないか考えてみるクセをつけましょう。(3)を解いているときには(1),(2)がヒントになるものです。収束しますかね?そうそう,それが仮定ってヤツ。あとはそれが正しいことを示せば良い。単調増加の数列であることを示せばよいということです。ついての漸化式を作ることです。単調増加であると言えます。方が大きいということが言えれば良いわけです。単調増加であると言えます。よって$a_n-\cfrac{1}{b_n}<a_n$が成り立ちます。逆数をとると,不等号の向きが逆になることに注意。