現高知県宿毛市)に生まれました。歳で目付役として大坂に宿毛蔵屋敷を建てるなど主家の財政再建に尽力し、若くして実業家としての才能を発揮しました。明治に入ってから後藤象二郎の引き立てにより大阪府少参事や大蔵省六等出仕をつとめます。明治7(1874)年、後藤から蓬莱社の高島炭鉱の経営を任され鉱山開発を行います。明治14(1881)年、蓬莱社は多額の負債を背負い、これらの炭鉱を三菱の岩崎弥太郎にやむなく譲渡します。(現唐津市)に芳谷炭坑を開鉱します。政治家としては、明治14(1881)年、板垣退助を総理とする自由党が結成され竹内も参加します。明治15(1882)年、板垣が岐阜で暴漢に襲われ「板垣死すとも自由は死せず」という名文句を吐いた時、彼を抱きかかえたのは綱でした。年間の退去を命ぜられます。このとき彼が身を寄せたのが横浜太田町(現在の横浜市中区)の吉田健三邸でした。綱は貿易商で実業家の吉田健三と親交が厚く、後に内閣総理大臣を務めた五男・茂を吉田家へ養子に出しています。立候補して当選し、自由党土佐派を率いました。在職はわずかに1期で、次期選挙には再出馬を断っています。説いて政府と議会多数派の自由党との連携を策しています。綱は実業家としても多くの実績を残しました。務め、明治36(1903)年京仁鉄道を京釜鉄道に合併させております。身近なところでは常総鉄道(現関東鉄道)の初代社長を務めました。芳谷炭坑を始め各地で手がけた鉱山業は長男明太郎に受け継がれます。