位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)があるとき、ある距離空間\(\left(X,d\right)\)がありその距離空間での開集合族\(\mathcal{O}_{d}\)が\(\mathcal{O}=\mathcal{O}_{d}\)となるとき、\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)は距離化可能であるという。距離化可能でないときは距離化不可能という。}\right)\)は離散距離によって距離化可能である。\)も開集合となり、その補集合の\(\emptyset\)も開集合となる。}\)となり、位相空間での開集合と一致するので、題意は成り立つ。\right)\right)\)は距離化不可能である。\right)\right)\)が距離化可能であると仮定する。\)であるので、\(0<d\left(a,b\right)<\epsilon\)となるが、\(\epsilon\rightarrow0\)とすると\(d\left(a,b\right)=0\)となるので矛盾。\)に含まれてないので矛盾。\right)\right)\)は距離化不可能である。