検定をベイズ・ファクターでやるにはどうすればよいかという解説論文。イントロダクション本論文は、パラメトリックなベイズ・ファクター(BF)をランク・ベースの手法に拡張する。ランク・ベースの手法は、外れ値とか分布の仮定からの逸脱とかに強く、単調変換に対して不変である。世の中には本質的に順序尺度であるデータも多いので便利である(リッカート尺度とか)。(ピアソンの相関係数のランク・ベース版)。これらは頻度主義のパラダイムで開発されたので、BFの求め方はまだ提案されてない。ここで難しいのは、尤度関数がなにかがはっきりしないということだが、なんらかの潜在的なデータがあってそれは正規分布に従っていると考えればどうにかなる。関心あるパラメータを\(\theta\)とする。問題は、ランク・ベース手法の場合尤度\(f(data|\theta)\)がわからんということだ。そこで潜在正規フレームワークを使う。[ここで歴史のレビュー。メモ省略]2標本の場合について考える。右辺第2項は潜在正規構造を表す。第1項は指標関数のセットで、観察された順位を観察されていない潜在正規スコアに結びつけている。z^y\)を生成するMCMCサンプラーを構築できる。\)がデータにおける順序情報を保持することを保証する。上閾値\(b^x_i\)によって切断されるということである。[一本目の式はこういうことだ。\ldots\)を振って(小さい順に順位を振る)、元のスコアは消してしまったとする。\(r^x_i\)の背後にあったスコア\(z^x_i\)はどんな値か。それはわからないんだけど、すくなくともこういうことはいえる。俺の順位が\(r^x_i\)だとしよう。r^x_{n_1}\)から、俺の順位\(r^x_i\)よか若い奴らを抜き出してくる。そいつらが持っていたスコアのなかで一番大きい奴を\(a^x_i\)とする。それは俺が持っていたスコアより必ず小さい、つまり俺のスコアの下限だ]このように、潜在変数のある値の上限と下限はその潜在変数の他の値で決まるので、MCMCにおいては強い自己相関が生じる[そうそう、気持ち悪いよね...]。これに対処するため、自己相関を消すステップを追加する。J.Math.Psych.)をみよ。\theta_0\)の予測性能をなんらかの\(H_1\)の予測性能と比べるBFを求めることもできる。BFは、関心ある仮説のオッズが事前から事後へと変化した程度であると解釈できる。\(BF_{10}=7\)だったら、\(H_1\)の下でのデータのもっともらしさは\(H_0\)の下でのもっともらしさの7倍だということである。ネストされたモデルであれば、BFはSavege-Dickey密度比を使って簡単に手に入る。CogPsy)というのがreferされている。ふたつを積み上げて順位に変換して切り離す。\(y_i\)の順位を\(r^y_i\)とする。n_2\)に直した]。n_2/2\)と比べる。\(U\)はサンプルサイズに依存するので、かわりにその標準化された効果量である点双列相関(2値変数と順序変数の連関の指標)を使おう。ふたつの検定手法があるとき、同じレベルの検定力に到達するために必要な観察数の比をAREという。sum検定のAREはおよそ0.955。下がらないことがわかっている。分布が裾を引くとAREは1より大きくなる。さあ!これをベイズ化します。Z^y_n)\)のなかでの順序である。誤記だろうな...]\(\delta\)の事前分布は尺度\(\gamma\)のコーシー分布にしたいのだが、計算を簡単にするため上のようにする。PsychonomicBull.Rev.)というのがreferされている。これ読んでおいたほうがよさそうだ...]で、次のようにGibbsサンプリングする。校正してほしい...]個々の\(x_i\)について切断正規分布をつくって、そこから潜在変数スコアをサンプリングする。$$\(\delta\)のサンプリング。$$\(g\)のサンプリング。\right)$$[途中から写経になっちゃったんだけど、1と2の式がどうにも納得いかない。\)のみに依存して決まることになるのではなかろうか。\)にも依存するのではないかと思う。新しく得るサンプル、\(z^x_i\)は前のイテレーションで得たサンプルということではないかと想像しているんだけど(きちんと説明されてない)、\(Z^x_i\)が\(z^x_i\)に条件付けられるっていうのはおかしい(実のところ、\(Z^x_i\)はいろんなものに条件付けらているけど\(z^x_i\)だけは関係ないのではないかしらん)。辛いなあ...]シミュレーション。uniform2群が同じ分布に従うか、片方の群は正規分布かそれぞれ1000個データを生成した。それぞれについてUとかBFとかを求めた。\)をとり、縦軸に\(BF_{01}\)をとると、左右対称の山形となり、\(\rho_{rb}=0\)でBFが最大になる。\(n\)が大きいと山が真ん中に集中する。そりゃまあそうなってほしいですよね。今度はパラメトリックなBFと提案手法のBFを比べてみる。散布図を書くと大体一致するが、提案手法のほうが安定している。提案手法は分布形の影響をあまりうけない。[実データ分析例の短い紹介。結論このフレームワークでは潜在正規分布を仮定したけど、別の他の分布でも良い。順位和検定で2群を比較するかわりにBFを求めたい、それもできるかぎり手っ取り早く求めたい、という問題なのである。なにかの一般化線型モデルでBICを求めてBFを近似するとして、その一般化線形モデルってなんだろう。順序反応を目的変数にした比例オッズモデルに、説明変数として名義変数を入れたときのBICと入れないときのBICを求めればよいのだろうか。