\alpha_j\)の関数としてモデル化される。\(\beta\)と誤差項の分布パラメータが最尤法ないし制約付き最尤法で導出される。\(\beta\)の推定値についての推論(SEとか)の精度は、誤差と\(\alpha_j\)の分布を正しく指定したかどうかに依存する。\alpha_j)\)のモデルの係数でもあるし\(E(Y_{ij}|X_{ij})\)のモデルの係数でもあるってことね]。ブートストラップやサンドイッチ推定量を使えば、\(E(Y_{ij}|X_{ij})\)のモデルが正しいことだけに依存する頑健推定が可能である。ロジスティック回帰の場合、ランダム効果モデルの係数と母集団平均モデルの係数は異なる。\alpha_j\)のもとでの\(Y_{ij}\)の確率密度を\(\alpha_j\)の確率密度を通じて平均したものである。\(X_{ij}\)のもとで\(Y_{ij}\)の同じ周辺分布を提供する\(f\)と\(h\)の組み合わせは無数にありうる。nonidentifiableである。いうモデルを使うときは、誤差とランダム効果の同時分布の誤指定のせいで、推定と推論が過度に誤りませんように、と祈るしかない。母集団平均モデル母集団平均モデル(周辺モデルともいう)は、共変量の変化のもとでの母集団平均の変化について述べる。係数推定には一般化推定方程式(GEE)が使われることが多いが、最尤法も使えるので、GEEとモデルを混同しないように。GEEアプローチは分布の仮定を必要としない。必要とするのは、(1)関心あるパラメータ(ここでは\(E(Y_{ij}|X_{ij})\)のモデルのパラメータ)についての提案と、(2)もし真のパラメータをいれたら0になるような関数を見つけること、だけである。線型モデルの場合、推定方程式アプローチは特定の混合モデルと実務的にみて同じ推定量を提供することが多い。単純なランダム切片線型モデルは、すべての事例で地域内の分散共分散が等しく、地域をまたいだ事例間には相関がないと仮定する。推定値はGEEでの交換可能作業相関モデルと等しくなる。このように、特定の状況下では、GEEと混合モデルの推定値は同じである。\(\beta\)の推定値についての推論を行うときには話が異なる。推定方程式アプローチでは尤度を指定しないので、推定値についての最尤推論はできない。かわりに頑健推論かサンドイッチ推論を使う。これらの推定量は漸近的に線型である(推定量は漸近的に、iidな確率変数の合計として書ける。curveを閉形式で書ければ、データの背後にある分布について仮定することなく、\(\hat{\beta}\)についての頑健推論が可能になる。ノンパラメトリック・ブートストラップという手もある。地区を復元抽出し、オリジナルのデータと同じサイズの擬似母集団をつくり、オリジナルのデータでやったのと同じ推定をやる。いずれにせよ、地区の数が十分多いことが必要。母集団平均モデルここからは、上で挙げた犯罪率と歩行の関係を例にして、パラメータ解釈上のちがいを示そう。\(\beta_1\)は、地区の効果を固定したときの、犯罪率の1単位増大に伴う歩行の対数オッズ比である。\(\beta^{*}_1\)は、犯罪率が1単位異なる地区で暮らす人の間での歩行の確率を比べている。ロジスティック回帰の場合、\(\beta_0\)と\(\beta^{*}_0\)は理論的には異なる。線型モデル・対数線型モデルの場合は、数値的に同じ事である。ロジスティック回帰に話を戻すと、真のモデルが単純なランダム切片モデルであるとき、母集団平均モデルでのオッズ比は混合モデルでのオッズ比に比べて1に近づく。具体的にいうと、\(X_{ij}\)が犯罪率の高低を表す二値だとして、ランダム切片ロジスティック回帰モデルの傾きは、ある地区の犯罪率が高いときの歩行と低い時の歩行をを比べた対数オッズ比を地区内で平均したものである。母集団平均ロジスティック回帰モデルの傾きは、犯罪率が高い地区と低い地区の間で歩行の確率を比べた対数オッズである。典型的なクロス・セクショナルな地区レベルデータ(\(X_{ij}\)がある\(j\)のなかで共通)の場合、ランダム効果モデルにおける連関の推定値は、異なる地区を通じた比較から得るしかない(地区内の対数オッズは直接には推定できないから)。従って、傾きの推定値はランダム効果の分布についての仮定に依存する。ランダム効果の正規性の仮定である。したランダム効果モデルから得られる地区間変動の量の推定は、これらの仮定があまり破られていないという仮定に依存する。projectionとしての回帰モデルそもそも分析とは、(1)関心ある科学的問いを提案し、(2)その問いに関する関心あるパラメータを決め、(3)推定量を定め(ここで経験的には識別不能な仮定が必要になるかもしれない)、(4)推定値と適切な注意書きを報告する、というものである。混合モデルのような潜在変数モデルは常に、データからは検証できない仮定を必要とする。尤度ベースの推論が信頼できる推論であるためには、モデルは近似であってはだめで、共変量と潜在変数のもとでの平均モデルの真の形式でなければならない。モデル選択を支える十分な理論がないとき、推定された回帰は、せいぜい条件付き平均の近似にすぎない。固定効果の部分が正しくモデル化されていないときはもちろん、潜在変数の部分が正しくモデル化されていないときも、固定効果の推定値をどう解釈したら良いのかわからなくなる。真の母集団平均モデルの近似を推定することを正当化することは容易である。このアプローチなら、モデルの特定は不要である。[...中略...]たとえば、単純な反復無し測定構造を考えよう。\sigma^2)$$とする。ここから得られたデータに線型モデルをあてはめてしまったとする。c_1\)であるとする。(3)真のモデルから得られた現実のデータ、(4)データにあてはめた線型モデル、は異なる。仮に、関心あるパラメータが\(Y\)の真の条件つき平均であると考える人がいたら、その人はほぼ常に誤る。関心あるパラメータはなんらかの小さなモデル集合への真実のprojectionだと考える人であれば、合理的な推定値を得られる事が多い。真のモデルが次の混合モデルである場合を考えよう。