条件1の下で、以下が成り立つ。[読んでもわからんだろうからパス][補題2が示しているのはこういうことだと思う。引き続き、確率標本か非確率標本かは問わず、\(y_i\)と一次包含確率が条件1に示した(たぶんマイルドな)制約のもとにある、とだけ仮定する。そのときHT推定量のバイアスは上界を持つ。\(k_y\)と\(p\)、そして「一次包含確率が0の人の割合」\(\bar{e}\)で決まる。0\)となるから、それだけでHT推定量は不偏推定量になる]ふたつの補題は、標本分布の位置と幅についての制御を提供している。これらを合わせると、母平均からの偏差についての制御が得られる。本論文の主たる結果に到達した。条件1のもとで、MSEの上界は以下となる。MSEを二乗バイアスと分散に分解し、補題1と補題2の上界を適用する。\infty\)ならば、二次平均において[MSEでみたときに、ということだと思う]、HT推定量は母平均に収束する。因果推論の文脈ではHT推定量をIPW推定量ということがある。この文脈では、標本が無限の超母集団からiid標本であるといえるような漸近レジームに焦点が当てられてきた。このレジームでは、デザインベースの観点が持つニュアンスの一部が失われてしまう[標本抽出の文脈では抽出がiidでないほうがむしろ普通だしね]。そのかわり、包含確率と推定量の効率性に焦点が当てられてきた。(2013)は、因果的な量のHT推定量の有限標本特性についてデザインベース・フレームワークで検討している。以下の議論は彼らの大標本での結果を補足するものである。[以下、メモは省略するけど、ふたつのHT推定量の差についてそのMSEの上界を示している。本研究はその一般化と捉えらえる。デザインと関心ある関数の両方にある合成条件をかけていて推論しにくい[???]。我々の貢献は、これらの異なるアプローチのいいとこどりだといえる。本結果は主に、ある種の悪条件なセッティングに関連している。関心ある変数の分布の裾が重かったり、デザインが歪んでいたりする場合である。実務家はできるかぎりそういう状況を避けるべきだ。推定量は(たとえ依然として一致性があるとしても)効率が悪くなるだろう。実務家にとって本結果は、悪条件が避けられないとき、とくにデザインをあまり制御できない場合に有益であろう。いう場面のひとつとして、統計的考慮と実務的考慮の間にトレードオフがあるデザインが挙げられる。Surveyは、年次のセンサスを月次で補う調査だが、アラスカの一部地域はアクセスが難しいので台帳から除外されている。ロシアのサンクトペテルブルグでの研究で、注射ドラッグ・ユーザのHIV発生率を推定しているのがあるけれど、母集団のかなりの部分がホームレスなので接触できず、包含確率を自由に決められない。仕方がないので対象者駆動型の抽出デザインを使っている[スノーボール抽出ってことね]。他にドラッグユーザの知り合いがいないユーザは最初のほうにしか出てこないわけだ。因果推論でもこういうことはある。[...略...]こうしたデザインのゆがみはフィールド実験ではよくある話で[...略...]自然実験ならなおさらそうで[...略。いちいち実例を示していて面白いんだけど、メモを取るのがめんどくさい]本稿の結果は、このようなタイプの研究において関心が持たれるだろう。条件1と条件2で捉えられている、一致性の主な条件のあいだの密接なつながりに注目されたい。このつながりが示しているのは、関心ある変数の挙動が良いことがわかっていたら(たぶん一様な上界を持っているなという場合なら)、調査なり実験ありのデザインには余裕が生まれるので、実務家はほかの大事な事柄にもっと目を向けてよい、ということだ。この結果は、実務家がデザインを制御できない場面で、自然に生じたデザインがいったいどんなデザインだったら推論ができるのかを示している。とき、Hajek推定量は母平均の一致推定量である。系1により、上述の条件下で\(\hat{\mu}\)は\(\mu\)に収束する。1\)であるような母集団に関するHT推定量であるから[おお、なるほどね]、系1により、1に収束する。連続写像の定理により証明を完了できる。[なんだかしらんがまあ雰囲気はわかるよ]差分推定量について。[略]—————–あらためてメモしておくと、こういうことだ。目的変数の値を\(y_i\)、一次包含確率を基準化してつくったウェイトを\(\tilde{w_i}\)とする。\)が成り立つとする。ユニット抽出のユニット間依存性を測る関数\(D(r)\)があり(\(r\)は大きな依存性を強調する程度を表すパラメータ)、母集団において一次包含確率が0であるユニットの割合を\(\bar{e}\)とする。\right)\)が0に近づき\(\bar{e}\)が0に近づくとしよう。このとき、HT推定量もHajek推定量も母平均に近づく。おおざっぱにいうと、確率抽出でないどころか、たとえ「絶対に標本にならない奴ら」が母集団にいるような抽出デザインであっても、目的変数があまり極端に動かない、ウェイトがあまり極端に動かない、ある人が標本が選ばれるかどうかと別の人が選ばれるかどうかとのあいだにあまり強い依存性がない、という条件の下では、HT推定量やHajek推定量は母平均の一致推定量となるわけだ。ここで一致推定量といっているのは、抽出デザインは標本割合を含めて一定で、標本サイズがぐんぐん大きくなり(ということは母集団サイズもぐんぐん大きくなり)、「絶対に標本にならない奴ら」の割合がぐんぐん0に近づくときに、推定量は母平均にぐんぐん近づいていくよ、夕陽に向かって走っていくよ、さあ僕と一緒にどこまでもいこうウラジミール、という意味である。(すいません冗談です)うん。そりゃまあそうだよな。結論だけみれば、いっちゃなんだがあたりまえな話のように聞こえるんだけど、でもこういうことをきちんと証明できるというのは凄いことだ。