dimension、D)とは、フラクタル幾何学において、より細かなスケールへと拡大するにつれあるフラクタルがどれだけ完全に空間を満たしているように見えるかを示す統計的な量である。フラクタル次元にはさまざまな定義がある。重要な理論的フラクタル次元はレニー次元、ハウスドルフ次元、パッキング次元(英語版)の3つである。実用上ではボックス次元(英語版)と相関次元(英語版)の2つが実装が容易なこともあり広く使われている。古典的なフラクタルのいくつかではこれらの次元は全て一致するが、一般にはこれらは等価なものではない。コッホ雪片の位相次元は1であるが、これは決して曲線ではない――コッホ雪片上の任意の2点の間の弧長は無限大である。コッホ雪片の小片は線のようではないが、かといって平面やその他の何かの一部のようでもない。1次元の物体であると考えるには大きすぎるが、2次元の物体であると考えるには薄すぎるとも言え、ではその次元はある意味1と2の間の数値として表されるのではないかという考察に導かれる。これがフラクタル次元の概念を想像してみる簡単な方法の1つである。単位図形による次元の定義[1]フラクタル構造を生成するアプローチは主に2つある。1つは単位となる図形から成長させる方法(図1)、もう1つはシェルピンスキーの三角形のようにもととなる構造を続けて分割してゆく方法(図2)である[2]。ここでは第2のアプローチによってフラクタル次元を定義する。個の自己相似図形が必要となる(図1)。l}}}(ここで対数の基数は任意)によって定義される次元はまだその位相次元もしくはユークリッド次元と等しい[1]。期待された通り非整数となるフラクタル構造の次元(これは事実上ハウスドルフ次元である)を得ることができる。もとの構造全体を埋めるのに必要とされる線形サイズεの自己相似構造の数である。1.262}となり、シェルピンスキーの三角形はコッホ雪片と比べ密であると言える。これと密接に関連するのがボックス次元(英語版)であり、これは空間がサイズεの箱によるグリッドに分割されるとき、いくつのこのサイズの箱がアトラクターの一部を含むかを考えるものである。}}}ここでMはフラクタルもしくはアトラクターを表すのに用いられる点の数、gεは互いに距離εよりも近い点のペアの数である。}}}}}ここで極限の分子はオーダーαのレニー・エントロピー(英語版)である。時のレニー次元はアトラクターの支持体の全ての部分を均等に扱う。αの値が大きくなると、最も頻繁に見られるアトラクターの部分により重い計算上のウェイトが与えられる。レニー次元が全て等しくはならないアトラクターは多重フラクタル(英語版)である、もしくは多重フラクタル構造を示すと呼ばれる。これはアトラクターの異なった部分で異なったスケールの挙動が見られるサインである。現実世界のデータのフラクタル次元の概算[編集]上述のようなフラクタル次元の尺度は、形式的に定義されたフラクタルから得られたものである。生命体や現実世界の現象もまたフラクタルの特性を示すのであるから、一連の標本データのフラクタル次元を記述することは有用であることも多い。この場合のフラクタル次元は正確に求めることはできないが、概算は可能なはずである。腸壁の顕微鏡写真フラクタル次元の概算は、物理学[5]、画像解析[6][7]、音響学[8]、リーマンゼータ関数の零点[9]、(電子)化学プロセス[10]、医学[11]など、さまざまな領域で用いられている。応用の一例として、人間の大腸粘膜表皮はフラクタル的な構造を示し、これは表面積を最大化するためと考えられるが、病変するとそのフラクタル次元に変化が現れる。良性腫瘍では1.38、癌では1.50前後となり有意差があるとする研究があり、サンプルのフラクタル次元概算による客観的な診断が目指されている[11]。実際の次元の概算は数字的もしくは実験上のノイズに非常に敏感であり、また特にデータの量の制限に影響されやすい。フラクタル次元の概算に基づく主張、特に低次元での動的挙動の主張には注意が必要である。(日時は個人設定で未設定ならばUTC)。表示-継承ライセンスのもとで利用できます。追加の条件が適用される場合があります。詳細については利用規約を参照してください。Cookieに関する声明モバイルビュ。