ふつう、Hajek推定量のバイアスの第二項は比推定量のバイアスの第二項より大きな絶対値を持つ。いうのは、多くの場合\(e_1\)と\(e_2\)は同じ符号なので、比推定量のバイアスの第二項はキャンセルされるだろうからだ。第一項もたぶんHajekのほうが大きい。比推定量を使いたい時というのは\(Y\)が\(x\)と連動しているように思われるときだからだ。確かに非釣り合いは怖いけど、Hajek推定量のほうがもっと敏感なのである。いうわけで、もしHajek推定量を使うなら、SRSに頼らず、注意深く釣り合いをとって抽出すべきだ。「モデル・エラーを防ぐ最善の方法はランダム化だ」というよくある主張は、別のモデルで何が起きるのかという視点から見ると必ずしも正しくないわけである。1:x)\)のもとでは、釣り合い標本+比推定という抽出戦略はもっとも効率的な戦略ではない。\(x_i\)が大きいときに\(Y_i\)の分散が大きくなるわけだから、\(x_i\)が大きい要素を強めに抽出すべきだからだ。[はいはい、なるほどね。話の筋がみえてきたような気がする。層別抽出でいうところの最適配分みたいな話をしたいわけね](モデルとBLUP)以下では、長さ\(n\)の1のベクトルを\(\mathbf{1}_s\)、長さ\(N-n\)の1のベクトルを\(\mathbf{1}_r\)、長さ\(N\)の1のベクトルを\(\mathbf{1}_N\)と書く。以下のモデルを考える。\(\mathbf{V}\)は対角行列とする。これを\(M(\mathbf{X}:\mathbf{V})\)と書く。\mathbf{X}^\top_r)^\top\)とする。n\)の対角行列である。\(B(\mathbf{B}:\mathbf{W})\)と呼ぼう。\sigma^2\)のとき、\(root(\mathbf{W})\)釣り合い標本が最適となる。[細かいところはわかんないけど雰囲気はわかる。\)であるような標本の集合となる。\bar{x}^{(j)}\)を満たす標本集合、つまり2節でいうところの釣り合い標本となる。(BLUPの分散の下界)Royall(1992)は以下を示している。\(\mathbf{X}\)の列によって生成される線形多様体、つまり、\(\mathbf{X}\)の列のすべての線形結合で張ったベクトル空間を\(m(\mathbf{X})\)とする。[常人にわかる言葉に翻訳しよう。目的変数が説明変数\(\mathbf{V}\)の線形モデルでできていると考えた分析者が、そのモデルの下で母平均をBLUに推定したとする(パラメータのBLUEではなくて有限母集団平均のBLUPということであろう)。上の定理は、そのときの推定量の分散の下界を与えている。下界が達成されるのは、標本が攪乱項の真の共分散行列\(\mathbf{V}\)のもとでの\(root(\mathbf{V})\)釣り合い標本であるときで、BLUな推定量は、標本の\(Y_i\)を各個体の真のSDで割って合計し、それに真のSDの母平均を掛けて\(n\)で割った量だ。デザインベース推定量と比べてみよう。実はHajek推定量だという落ちかと思ってた。みたいな項が必ず入るじゃないですか。俺にわからないだけで実は入ってんの?]次の点に注目してほしい。重み付き釣りあい条件の下では、推定量それじたいも、その分散も、\(\mathbf{X}\)に明示的には依存しない。\(\mathbf{X}\)の列が同じなら、\(\mathbf{X}\)自体がすり替わっても推定量は依然として不偏だし効率性は下がらない。x^2\)がモデルに入っているから定理の条件は満たされている。\frac{\sigma^2}{n}\)だ。\(j=0,1,2\)で成り立つことである。\(j=1\)では自明。\(j=0\)は、標本の\(x\)の調和平均が、母集団の算術平均に等しいことを指す。[おおお、そうなのか...]以下、めんどくさいので、これを単に(\(J\)次で)x-釣り合いだと呼ぼう。先行研究では「\(\pi\)-釣り合い」と呼ばれている。x_i\)で\(n\)が固定ならHT推定量である。\(j=0\)で釣り合ってるんならつまりHajek推定量でもある。x-釣り合いの下では、モデルのBLUPと、pps抽出下のHT推定量・Hajek推定量が等しくなるわけだ。1:x)\)だとしよう。これをpp(\(v^{1/2})\)抽出と略記する。この抽出は以下の性質を持つ。\(X\)がどうであれ、デザイン期待値において重み付き釣り合いが成立する。\(root(v)\)釣り合い標本のBLUPはHT推定量になる。\)ならばBLUPはHajek推定量になる。釣り合い標本を選ぶ方法のひとつは、上記のpps抽出計画を用い、かつ特定の積率においてきちんと釣り合いが取れていない標本を避けることである。例1の状況に注目する。\)のことを最小モデルという。分散が\(x^2\)に比例するとき、最小モデルは\(M(0,1,1:x^2)\)である。