それで発見が遅れたんだろうね...]HT推定量は標本抽出でも使うし、因果推論でも使う。後者の場合、\(y_i\)は潜在アウトカムである。\mu_0\)である。\mu_0\)をHT推定量で推定するわけだ。本稿の目的はHT推定量の漸近特性の検討である。\infty\)を考える。N\)だから両者はつながっている。HT推定量は以下のように書き換えられる。w_i\)と基準化する。k_\pi\)は漸近系列を通じて固定とする。この積率条件は、関心ある変数とデザインについての制御を与えている。最初のパートは、すごく大きな\(y_i\)を持つユニットが母集団ではレアであることを保証している。一部のユニットで変数が無限に大きくなってもかまわないが、そういうユニットは母集団における消えゆく部分でなければならない。\infty\)となるのは十分に速いような場合である。二つ目のパートは、デザインがなんらかのユニットを抽出する頻度が非比例的に低いことがないことを保証している。包含確率がその平均から極端に逸脱していることがないことを要求している。0\)であるような場合である。2q\)でつながっている。これは、関心ある変数についての制御がきつかったら、ウェイトについての制御は緩くてよい、ということを意味している。制御のきつさをどう配分するかは適用場面によるけれど、関心ある変数の4次積率が有界だと想定するのが一般的だし、直感的にわかりやすい。2\)なわけで、つまり\(\tilde{w}_i\)の2次積率が有界なわけだ。1/4\)、というデザインがあてはまる。\tilde{\pi}_i\)とする。平均デザイン依存性を以下のように定義する。条件1の下で、下式が成り立つ。[たぶん読んでもわからんのでパス][補題1が示しているのはこういうことだと思う。確率標本か非確率標本かを問わず、\(y_i\)と一次包含確率が、条件1に示した(たぶんマイルドな)制約のもとにある、とだけ仮定しよう。そのときHT推定量の分散は上界を持つ。上界は、もし二次包含確率が一次包含確率の積なら(つまりユニットの抽出が互いに独立なら)、期待標本サイズの逆数に、謎の定数を掛けたものになる。分散の上界は期待標本サイズに反比例して小さくなる。ユニットの抽出に依存性がある場合、その依存性のぶんだけ、上界が少し上にずれる。0\)を許しているからだろうな。N\)との関係を表している。rateで消失する[どういう意味だかわからんが、まあ雰囲気はわかるよ]。\infty\)となるようなデザインでないかぎりこの推定量はconcentrateしない、ということがわかる。第2項は、ユニットのペアの間の抽出依存性をとらえている。\mathbf{S})\)は、ユニット\(j\)が抽出されたということを知った時、ユニット\(i\)が抽出される確率がどれだけ高くなるかという、我々の知識の利得を測っている。\tilde{\pi}_i\)となり、これを全ペアで平均すると\(D(r)\)になる。1\)なら大きな依存性を強調する形で平均することになる。要するに、デザインによって導入された全体的な依存性を測っているわけだ。平均的デザイン依存性は低いほうが望ましい。分散の制御がより強くなるからだ。後述する条件2で示すようにこの量が消失するとき、依存性は十分に弱くなり、有効標本サイズが名目標本サイズとともに成長することが保証される。慣用的なデザインでこの依存性がどのような速度で消失するか、ここで考えておこう。O(1/\bar{\pi}N)\)である。クラスタ抽出の場合、[...中略...]。クラスタ数が固定されたクラスタ抽出のようなデザインでは、平均デザイン依存性が固定されるので、有効標本サイズは\(N\)とともに成長しない。0\)補題1と条件2を合わせると、推定量の標本分布が集中することが保証される。どこに集中するかは制御されない。問題は、一部のユニットが決して観察されないかもしれないという点である。それらのユニットは母平均には影響するが推定量には影響しない。0\)であり、\(\mu\)がなんであれ推定量は0である[ははは]。なにかの構造的仮定をおいて補外するのでもないかぎり、収束点を制御するためには、デザインによって母集団から除外されていしまう部分が\(\mu\)に影響を与えない程度に小さい、ということを保証するよりほかにない。