生>くどいようだけど、不思議でも何でもない。まなぶがうるさいから種明かしに移ろう。下準備として、次の問題を考えてみよう。満たす△ABCの内部の点Pを求めよ。生>そんな必要はないよ。始点をOに変えてみてごらん。なんだ、点Pは三角形ABCの重心ですね。生>一般に、三角形の重心をGとすると、なる大事な関係が成り立つ。ところで、Pが三角形の重心であるならば、APとBCとの交点をDとすると、AP:PD,BD:DCは簡単だよね。<まなぶ>DはBCの中点だから、BD:DC=1:1,AP:PD=2:1です。生>では、△PBC:△PCA:△PABを求めるとどうなる。<よしお>重心は中線の交点だから、先ほどの考え方を使うと、3つの三角形の面積は等しくなります。生>これから当たり前の結果がでる。三角形の内部の点が重心であるとき、その点で、三角形は面積の等しい3つの三角形に分割されるということだ。面積が重さに比例すると考えれば、重心とは三角形が内部で釣り合う点ということになる。<まなぶ>なんか、当たり前のような、そうでないような。いま釣り合うといったけど、三角形上ではこれは別の見方ができる。三角形の各頂点に、同じ重さをぶらざけたとき、釣り合う点を重心ともいうんだ。<まなぶ>頭が痛くなってきた。生>まなぶのために実際に示したほうがいいだろう。さあ、いま、図の三角形の頂点に同じ重さ1gを乗せてみよう。みんなは理科の時間に力のモーメントを学んだろ。ここで、線分ABについて、釣り合う支点を求めてやる。<まなぶ>もちろん中点です。生>その点をDとしよう。このDにかかる重さは当然、両端の重さの合計2gだ。次に、線分ADで、釣り合いをとってみよう。そのときの支点はどこだろう。<よしお>今度は、点Aに1g、点Dに2gの重さがかかっているんだから、線分ADを2:1の比に内分する点で釣り合います。あっ、その支点が重心Gなんですね。このように各辺の両端にかかる重さのバランスをとっていけば重心の性質が簡単に導かれね。今日、最初にみんなに提示した問題のベクトルの関係式は何を意味している。<生徒達>.........<まなぶ>ひょっとしたら、ベクトルの頭にくっついている係数は、その位置ベクトルを表す頂点の重さですか。