辺BCですが、B,Cに3g,4g乗っかっているから、支点をDとすると、BD:DC=4:3、このとき支点Dには7gの重さが加わります。次に、AD上で釣り合いをとると、Aに2g,Dに7gより、ADを7:2の比に内分する点で釣り合います。その点がPということですね。ほんとうに求まってしまった。生>もうわかっただろうか。一般に、という式は、各頂点A,B,Cにそれぞれk,l,mの重さを乗せたときに三角形が点Pで釣り合っているということだ。釣り合いを示していることになる。重心を各頂点の平均値と考えると、このように頂点に重みをつけた重心のことを荷重平均といい、その重心を質量中心というんだ。問題の後半の面積比だ。先ほど、面積は重さに比例するといった。いま各頂点に加わっている重さを面積でつり合わせてみよう。点Aと△PBCが釣り合うとみる。すると、△PBCの面積は、点Pにかかる重さkとみればいい。△PBC:△PCA:△PAB=k:l:mが得られる。<まなぶ>はーっ、幾何学の真髄、神秘性に触れたような。ファンタジックだなあ。底が知れているまなぶがいうと、余計底の深さを感じて感動ものだわ。あとがき今回はベクトルの小手業です。実は、過去の小手業ではベクトルは一度も登場していません。小手技にする内容が乏しいからというわけではありません。ベクトルについては実際には宝の山のように小手技が埋もれています。いままで書かなかったかというと、その小手技が受験数学では余りにも普通技になってしまっているからです。本文の内容は、もう先生方にとっては当たり前のことであり、いまさら何を、と思われるかもしれません。それではこの期に及んでなぜ載せたのかというと、これも深い意味があるわけではありません。最近、ちょっと知恵が枯渇してきました。小手技にしたので、本文の解説も含めて当たり前の話をしていこうと思います。この本文は拙著、「ベクトルのしてんを眺めて」のリメイクです。と4つの観点(これもしてん)と掛けたためですが、余りにもくだらない駄洒落だったものですから、頭の中で完全にお蔵入りさせてしまったレポートです。ベクトルの始点を求める点、すなわち求点とみて、点を遡っていったらどうなるのだろうかというのが発想(視点)の始まり(始点)でした。その中で、自然に釣り合いをとるための点、支点が生まれ、さらに空間内の四点にまで拡張しています。今回のレポートでは、その内容にバランスメソッドなる解法を織り交ぜて、視覚的に展開させてみることにしました。した計算式はすべて排除して、バランスの美しさだけを披露したつもりです。各頂点におもりを加えるという単純な操作で、メネラウス型問題が鮮やかに解けてしまうのです。これは、三角形の内部の点のみならず、外部の点でも同様です。点Pは7:2の比に外分する点です。よって、重さ−2は外分点と考えればいいわけです。空間図形においても成立します。満たす四面体ABCDの内部の点Pは、四面体の各頂点A,B,C,Dにそれぞれ、2,3,4,5gの重さが加わって、空間内において点Pで四面体が釣り合っていると考えます。大ざっばにみれば、三角形BCDの質量中心をQとすると、Qには、頂点B,C,Dのおもりの合計3+4+5=12が加わっているわけですから、点Pの重さが2gであることより、線分AQを12:2=6:1の比に内分する点がPとなります。点Qの位置ですが、辺BCを4:3の比に内分する点をEとするとき、DEを(4+3):5=7:5の比に内分する点であることが、簡単に得られるわけです。ところで、本文では後半に、各頂点に乗せた重みが面積に代替できることを示しています。位置ベクトルを求めてみましょう。本文の結論は、各頂点A,B,Cに乗せた重みは、点Pと対辺が作る三角形の面積に比例するというものでした。これから、始点をOとすれば、が得られます。△IBC:△ICA:△IAB=BC:CA:ABですから、内心は各頂点にその対辺の長さを重さとみて加えた質量中心になります。各頂点の重みから例えばAIの延長線と線分BCとの交点Dは線分BCをc:b=AB:ACの比に分けることが分かります。これから三角形の頂角の二等分線に関する重要な性質AB:AC=BD:DCが得られたことになります。各頂点A,B,Cに加わる重さはsinA,sinB,sinCとしてもよく、と表されます。頂点の重みが三角比で表現できたわけですが、実は、外心、垂心においても同様のことが示されます。外接円の半径をrとすると、です。△FBC:△FCA:△FAB=sin2A:sin2B:sin2Cよって、外心は、頂点A,B,Cにそれぞれsin2A,sin2B,sin2Cの重みを加えたときの質量中心となります。変形できますから、が得られます。線分AHの延長と辺BCとの交点をDとすると、となります。これは、頂点B,Cにそれぞれ、tanB,tanCの重みを乗せたことを意味します。垂心は、各頂点A,B,CにtanA,tanB,tanCの重みを乗せた質量中心です。したがって、となります。tanCであることより、となります。ところで、重心G、外心F、垂心Hには面白い関係があります。これは外心、重心、垂心は一直線上にあって、重心は、外心と垂心を結ぶ線分を1:2の比に内分することを表しています。最後に、このことを示してみましょう。線分FHを1:2の比に内分した点の位置ベクトルを求めます。考えれば十分でしょう。