今日の授業の出発点を戻ってごらん。階差数列はどういったときに考えるんだろう。もとの数列の一般項がすぐだせないときです。出せれば問題はないわけだ。そりゃ、そうですけど、すぐだせないから階差を考えたのではないですか。その階差は原数列から作ったものだから当然原数列の性質を反映したものになっている。先生、よく分かりません。階差数列が等差数列になる場合を考えてごらん。一般項はnの1次式で表される。したがって、原数列の一般項は、等差数列の和を考えると、nの2次式になるだろう。分からなくなりました。階差数列が等比数列の場合を考えてみよう。初項b、公比rとすると、だから{an}は公比rの等比数列が少し横にスライドするだけに過ぎない。(2)の場合、階差数列である等比数列の公比は2だから、{an}の一般項をなんとか2の累乗を利用して表現できないかと考えてやる。すると案外規則性は見つかるもんなんだ。(1)の階差数列が等差数列になっている場合はどうするんですか。{an}がnの2次式ということは分かりますけどその規則性を見つけることは難しいと思いますが。2次式でも簡単に一般項が予想できる形といったら何だろう。定数項を含まない2次式ですか。an=pn2+qn=n(pn+q)とみてやれば、pn+qは等差数列を表すから簡単に一般項を予測できる。いま階差数列がbn=pn+qであるとして、一般項anをちょっと計算してみよう。ここで、a1-qの部分がなければいいわけだ。原数列の各項にq-a1を加えてスライドしてやると定数項を含まない2次式になるはずだ。この数列の一般項はもともと定数項を含んでいないことがわかる。6・11,...............,n(2n-1)と予想できることになる。別の問題で確認してみよう。次の数列{an}の一般項を求めよ。......だから、等差数列で一般項は、3n-1です。56,............これから一般項を予想すると、よって求める数列の一般項は、となります。この解法を実践に生かすのは難しい。いうと数列の多くの問題がマニュアル化されたものになっているからだ。諸君はこのあと漸化式なる数列の圧縮された形から一般項を求める問題にtryすることになるが、その過程で階差数列の計算が必要となってくる。そのとき、「公式の形式のこだわり」にこだわっていると、マニュアル化された計算が途中でストップしてしまうことになるんだ。結局は階差数列の公式として暗記し、n=1の例外も、解答の中のまとめの言葉として覚えるのがbestということになる。数学のこだわりに妥協してやるのもいいじゃないか。あとがきこの本文の前半は階差数列の導入の指導案です。階差数列の問題は、規則性がまったくみえない数列を並べておいて、その数列の一般項を階差を使って求めることから入ると思いますが、生徒にとっては結果がなかなか見えないままに五里霧中で進んでいくわけで、それをあらかじめ、一般項がどうなるのか与えておいて本文のように階差の説明にはいると分かりやすいのではないかと思います。数列の多くの問題は、「一般項とその和を求めよ」という問題に帰着してしまいます。やって求めるかということの方法論の展開と考えて差し支えないでしょう。その中で階差数列の位置付けはというと、端的にいうと「回り道の論法」ということになるかもしれません。実際は、規則性の見出せない数列の項を羅列して、どうすると迫ってしまう。なくて、「一般項が見つかればいいんだけれど見つからない場合は回り道をすることで求められる」というように非常手段として押さえることで教わる側も安心するのではないでしょうか。本文の後半は、まったくの脚色で、ナンセンスな内容になってしまいました。いった考え方をすると何でもありになってしまいます。(1,a1),(2,a2),(3,a3)を通る放物線の方程式を求めてもいいということでしょう。階差数列による解法の2つの2つの点は、やはり頭を悩ますことではあります。n≧2の制限これを何ととか解消する手立てということで本文の後半を書いたのですが失敗でした。an-an-1でも扱うわけですから、もちろん指導上大事なこととは思いますが、階差数列の場合はやっぱり付けたしという感は否めません。そこで、ちょっと別の観点からこのことについて考えてみましょう。�@,�Aという2つの問題点を上で列挙しましたが、実はこの2つは本質的には同じものです。�@の計算のために�Aを考える必要が生じたと解釈した方がいいかもしれません。それならば、階差数列の和をn項目までとるようにすれば問題は解決するということになります。(n≧2)ように一つ階差をずらしてやります。この場合もn≧2でしかanは求められません。それで、ここでダミーとしてあらかじめa0を定義しておけば、となりすべての自然数nに対してanは求められることになります。本文の例題で考えてみましょう。すれば、a0=1-1=0となります。以上より、次のように解答します。すると、階差数列{bn}の一般項は、bn=4n-3よって、となります。対して)と定義すると、bn=2n-1ですから、さらに、漸化式についても次のように扱えばいいことになります。次の漸化式で与えられる数列{an}の一般項を求めよ。階差数列は、bn=an-an-1=3n-2より、さて、この解法は市民権を得るでしょうか。