元連立方程式\[\begin{bmatrix}1&2&2&4\\3&10&6&20\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\\w\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}\tag{11}\]を満たす解集合を求めます。このままでも解けますが、係数行列を操作して、なるべく簡単な形に直しておきます。割ると、\[\begin{bmatrix}1&2&2&4\\0&1&0&2\end{bmatrix}\tag{13}\]となります。\[\begin{bmatrix}1&0&2&0\\0&1&0&2\end{bmatrix}\tag{14}\]このように、左端に部分的に単位行列の成分をもつ行列を行簡約階段行列といいます。一般的な連立方程式の形で表すと\[\begin{align*}x+2z=0\tag{15}\\[6pt]y+2w=0\tag{16}\end{align*}\]となります。つの特解の線形結合で表されます。次元ベクトルが張る平面を表しています。