これ、復習問題の(1),(2)の数列の各項の数値を計算しただけのものじゃないか。先生、それはないよ〜。みんなを騙すつもりはなかったんだけど、実はこれはとても重要なことを意味しているんだ。仮にみんなが復習の問題をやっていなかったとしたら、先ほどかず子がいったようにまったく規則性を見出せず、この数列の一般項は求められなかったということだ。いままでやった問題は、数列の各項が「自分はこんな規則性をもっているよ」ってアピールしているものばかりだったね。中にはへそ曲がりがいてその規則性を隠している数列もあるんだ。実は、僕も、規則性がまったく分からなかったから「もういいや」と思ってたまたま復習の問題に目を移してボーっと眺めていたら気がついただけなんだ。この数列だけから規則性を見つけることは無理だと思いますが。実は規則性が見つからなかった場合の奥の手がある。その技について学ぼう。(1)の数列の隣り合っている2項の(番号の大きいものから小さいものの)の差を求めてごらん。隠されていた数列の規則性を暗示するような項の並びが現れてこないだろうか。これも、ひとつの数列と考えることができる。この数列を元の数列の階差数列という。ところでこの階差数列はどんな規則性をもっているだろうか。へーっ、不思議だなあ。等差数列になっている。初項が5で公差が4の等差数列だ。一般項はよしお、どうなる。次に階差数列の項と元の数列(原数列)の項との関係を調べてみよう。a2=6であるけれど、6=1+5と分解することができる。次にa3=15は、15=9+6=9+5+1こうしてみると、数列{an}の各項は、階差数列を利用して分解できることが分かるだろう。a6=66=45+21=(28+17)+21=(15+13)+17+21=(6+9)+13+17+21=1+5+9+13+17+21これから第n項anを分解するとan=1+(5+9+13+17+21+............+○)となるけど、この最後の項の値○はなんだろうか。4n+1じゃないんですか。まなぶ、階差数列の項数は何個だろうか。a1からanの各項の間に項を作っていったんだから。