今日は、先生が手に持っているこの大根を使って積分による体積の求め方の総復習をしてみよう。大根をまな板の上に横において切ると、その切り口は円になる。幅が円の半径と同じになるように切り、立てると直円柱ができあがるね。次に、上面の円周上の一点から底面の円の直径を含むように包丁を入れる。この形を切頭円柱という。この図形の体積をいろいろな切り方をして求めてみよう。円の半径をrとして切頭円柱の体積を求めよ。<よしお>この大根でできた立体は、円の半径と高さが同じだから、直径を含むように、45゚の角度で包丁をいれたということですね。生>そういうことだね。ところでこの問題を解く前に、ちょっとおさらいだ。立体の体積はどうやって求めるかというと、立体を適当な方向にスライスして、それぞれの断片の面積を求めそれを集めればよかったんだよな。円の円周の長さを年輪のように増やしていくと円の面積になる。円周2πrを積分すると円の面積πr2となるということだ。一般に、立体図形を例えばまな板の上に乗せて包丁で切った切り口の面積をS(x)として、それを端から端まで集めたものが立体の体積Vになる。したがって大根の体積を求めるためには、どうこの大根を切っていくか、すなわちその調理法を最初に考えればいい。今日の授業ては、まずみんなに大根の切り方を考えてもらって、その切り方ではどう体積が求められるかtryすることにしよう。誰か、オリジナルの切り方を提案してくれないかい。<よしお>はい、僕なら底面の切り口の直径に垂直に包丁を立ててスライスしていきます。生>ではまず、よしおの方法で料理してみようか。ところでそのときの切り口はどんな形になるだろうか。<よしお>もともと円柱を45゚の角度で切った図形ですから直角二等辺三角形になります。生>これは分かり易いね。したがって大きさの違う直角二等辺三角形を端から端まで集めればいいということだね。その直角二等辺三角形の面積を次に求めよう。まな板の位置を図のx軸として、中心を原点とする。原点から右にx離れた点の直角二等辺三角形の面積を求めてみよう。