高次系の伝達関数例3選。高次系の伝達関数例3選。数式モデル例高次系このページでは、実用場面でよくでてくる高次系の伝達関数を、導出過程を含めて紹介します。高次系は、シンプルなシステムを複数組み合わせた形をしていることが多いです。高次系の基本的なイメージについては、こちらの記事をご覧ください。高次系の伝達関数とそのイメージ。2次系は1次系2つで表せない?このページでは、高次系の伝達関数と直感的イメージについて解説します。2次遅れ要素がなぜ伝達関数の基本要素に含まれるのかについても解説します。倒立振子まずは、機械システムを2つ組み合わせた例として倒立振子を紹介します。呼ばれ、機械制御の例題として非常によく用いられます。(t)$、$x_1(t)$は台車の位置、$m_1,m_2$はそれぞれ台車と振り子の質量、$c_1,c_2$はそれぞれ地面と回転軸の粘性摩擦係数、$J$は振り子の重心周りの慣性モーメントです。ラグランジュの方法を用いて、このシステムの運動方程式を導出していきます。下準備として、振り子の重心位置$x_2(t),y_2(t)$と重心速度$\dot{x}_2(t),\dot{y}_2(t)$を振り子の角度$\theta(t)$を用いて表します。\end{array}$$これらを用いながら、台車・振り子それぞれの運動エネルギーとポテンシャルエネルギーを導出すると、次式が得られます。\end{align}$$これらより、このシステムのラグランジアンが次式で表されます。\end{align}$$また、粘性摩擦を考慮するための散逸関数も導出しておきます。\end{align}$$これらを用いて次式を計算することで、台車と振り子の運動方程式を導出できます。$$具体的に計算すると、次のようになります。0$と近似すると、運動方程式は次のように単純化されます。$$※$\theta=0$まわりで、テイラー展開を用いた1次近似を行っています。テイラー展開については、こちらのページをご覧ください超分かるテイラー展開。イメージ・意味・使い方を具体例で解説!関数を次の形で展開することを、テイラー展開と呼びます。\frac{f^{\prim...controlabo.com2023.06.06$x_1(t),\theta(t),f(t)$をラプラス変換したものをそれぞれ$X_1(s),\Theta(s),F(s)$として、上式をラプラス変換します。$$これらの方程式をまとめて、システム全体の伝達関数(入力$F(s)$から出力$\Theta(s)$までの伝達関数)を導出しましょう。1つ目の式を整理すると、次式が得られます。$$これを2つ目の式に代入して整理すると、伝達関数が得られます。$$分母を$s$について整理すると、次式となります。}$$$s$の次数が3なので、全体は3次系となっていることが分かりますね。ちなみに粘性摩擦がない場合の伝達関数は、$c_1=c_2=0$とすることで次のように少しスッキリした形で求まります。次に、電気システムと機械システムの組み合わせの例を見てみましょう。このようなシステムは、メカトロ系・メカトロシステムとも呼ばれます。ここでは、次のようなDCサーボモーター(直流サーボモーター)を考えます。(t)$、$i(t)$は回路を流れる電流、$R$は抵抗値、$L$はコイルのインダクタンス、$\tau(t)$はモーターが生み出すトルク、$K$はモーターの逆起電力係数、$M$はモーターのトルク係数、$J$はモーターにつながれた回転体の慣性モーメント、$c$は粘性摩擦係数です。電気システムの方程式を導出します。回路中、それぞれの要素に加わる電圧は次のように計算できます。\end{align}$$モーター両端の電圧は、モーターの回転により生じる逆起電力を表しています。キルヒホッフの法則より、各電圧の関係は次のように表されます。\dot{\theta}$$続いて機械システムの方程式を考えます。回転体の運動方程式は次のように求められます。よって上記運動方程式は、次のように書き換えられます。i$$まとめるとこうですね。$$$v(t),i(t),\theta(t)$をラプラス変換したものをそれぞれ$V(s),I(s),\Theta(s)$として、上式をラプラス変換します。$$これらの式から、システム全体の伝達関数(入力$V(s)$から出力$\Theta(s)$までの伝達関数)を導出しましょう。2つ目の式を$I(s)$についてまとめます。)$$これを1つ目の式に代入します。\end{align}$$あとは出力についてまとめると、伝達関数が得られます。V$$$s$の次数が3なので、電気システムと機械システムの組み合わせによって全体は3次系となっていることが分かりますね。伝達関数の分母が$s$でくくれるので、システムの極の1つは0であることが分かります。最後にもう1つ、機械システムを2つ組み合わせた例として、次のばねダンパ系を考えます。入力は台車2に加わる力$f(t)$、出力は台車1の位置$x_1(t)$、$m_1,m_2$は台車の質量、$k_1,k_2$はばね定数、$c_1,c_2$は粘性係数です。それぞれの台車の運動方程式は、次のように求まります。$$$x_1(t),x_2(t),f(t)$をラプラス変換したものをそれぞれ$X_1(s),X_2(s),F(s)$として、運動方程式をラプラス変換します。$$これらの方程式をまとめて、システム全体の伝達関数(入力$F(s)$から出力$X_1(s)$までの伝達関数)を導出しましょう。2つ目の式を整理すると、次式が得られます。F\Bigr\}$$これを1つ目の式に代入して整理すると、伝達関数が得られます。F$$分母を$s$について整理すると、次のようになります。F}$$$s$の次数が4なので、4次系であることが分かりますね。ばねやダンパがない場合は、$k$や$c$を0にすればOKです。以上、高次系の伝達関数例まとめでした!高次系の伝達関数とそのイメージ。2次系は1次系2つで表せない?定常偏差と内部モデル原理。高次系の伝達関数とそのイメージ。外乱に対する定常偏差と内部モデル原理。定常偏差と内部モデル原理。最終値定理による計算と動作例を解説!スポンサーリンクコメントコメントを書き込むコメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。違いと使い方2020.09.072024.03.25伝達関数とは?3つの利点と、初期値の考え方を具体例で解説!2020.08.222024.08.26伝達関数の4つの基本要素と、よくある伝達関数例まとめ2020.08.302024.08.25プロパーなシステム・プロパーな伝達関数とは?意味とイメージを解説2020.09.052023.06.06高次系の伝達関数とそのイメージ。