(3)当ブログは記事内にプロモーションを含みます。と余因子行列については以前の記事で学んだ。ややこしい計算をしてまで余因子を計算したのは、行列式や逆行列を求めるときに利用できるからである。ここでは余因子を用いて行列式を求める方法を説明し、例を用いて具体的に計算してみる。行列の基本変形と行列式の値の関係を利用して計算量を減らすことを考える。a_{ij}A_{ij}$$が成り立つ。これを、第\(i\)行に関する余因子展開と呼ぶ。a_{ij}A_{ij}$$が成り立つ。これを、第\(j\)列に関する余因子展開と呼ぶ。余因子展開を用いると、行列の次元をひとつ下げることができる。第\(i\)行を次のような一次結合で表す。a_{nn}\end{array}\right|\end{align*}\]となる。a_{nn}\end{array}\right|=a_{ij}(-1)^{i+j}|A_{ij}|=a_{ij}A_{ij}\]が成り立つので、次式を得る。a_{ij}A_{ij}$$これが第\(i\)行に関する余因子展開である。用いて、3次正方行列の行列式を計算してみる。次の行列式の値を求めよ。1\end{array}\right|\\&=2\times(-7)-1\times(-7)+3\times(-21)\\&=-70\end{align*}\]サラスの公式を用いても、同じ結果を得ることができる。この例題からもわかる通り、ワンサイズ小さい行列式を複数計算する必要があり、大変である。3次であればまだ計算できるが、4次以上ともなるとどれほどの計算量になるか想像がつくことだろう。計算量を減らすために、次のような操作を導入する。行列の基本変形と行列式ある行列について、行や列に対する以下のような操作を行基本変形または列基本変形という。2つの行(列)を入れ替えるある行(列)に0でないスカラーをかけるある行(列)をスカラー倍したものを他の行(列)にかけるこの方法は、行列のランクや逆行列を求める際にも利用される。行列の基本変形と行列式に間には、次の関係が成り立つ。\(n\)次正方行列に対して(i)2つの行(列)を入れ替えると、行列式は\(-1\)倍される(ii)ある行(列)を\(c\)倍すると、行列式も\(c\)倍される(iii)ある行(列)を\(c\)倍したものを他の行(列)に加えても行列式は変わらない特に\(c=0\)を考えると、ある行または列の成分がすべて0であれば行列式は0でなる。この性質を利用して、上の例題で求めた行列式を計算してみる。&=-70\end{align*}\]4次正方行列の行列式の計算をしてみよう。次の行列式の値を求めよ。&=4\end{align*}\]計算は大変だが、やっていることは基本変形と余因子展開の繰り返しである。闇雲に余因子展開をして、3次正方行列の行列式を4つも解くよりは早く正確に計算できる。成分に0が増えるように変形することがポイントである。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。※サイト次回のコメントで使用するためブラウザーに自分の名前、メールアドレス、サイトを保存する。WordPress.。