(3)当ブログは記事内にプロモーションを含みます。応用第3回では、「包絡線」と「全微分方程式」について学んでいきます。\alpha)=0\)は、\(\alpha\)を固定すると\(xy\)-平面上で一つの曲線\(C_\alpha\)を表します。\(\alpha\)を連続的に変化させると、\(C_\alpha\)は連続的に動いて一つの曲線群\(\{C_\alpha\}\)をつくります。これに対して一つの曲線\(E\)を考えます。\(E\)が各\(C_\alpha\)と接し、かつ\(E\)の各点が\(C_\alpha\)との接点になっているとき、\(E\)は曲線群\(\{C_\alpha\}\)の包絡線である、といいます。以下で包絡線の求め方を説明します。包絡線の方程式\(E\)が曲線群\(\{C_\alpha\}\)の包絡線であるとします。y(\alpha))\)とし、\(x(\alpha)、y(\alpha)\)は微分可能であるとします。\(P(\alpha)\)において、\(E\)と\(C_\alpha\)の接線が一致するという条件から、次式が成り立ちます。y(α),α)$$以上より、次の定理を得ます。y(\alpha),\alpha)=0$$をみたす。y(\alpha)\)がこれらを満たし、各曲線が特異点を持たず\((x'(\alpha),y'(\alpha))\not=(0,0)\)ならば\(x=x(\alpha)、y=y(\alpha)\)で表される曲線は曲線群\(f(x,y,\alpha)=0\)の包絡線である。包絡線について例題を使ってイメージしてみましょう。包絡線を求めよ$$頂点が\((a,2a)\)の、下に凸な放物線群です。\(a\)を変化させることで、様々な放物線を得ます。(解)与式を変形する。a=x-1$$これを前式に代入して\(a\)を消去すると$$1^2-y+2(x-1)=0$$$$y=2x-1$$放物線群の頂点が描く軌跡\(y=2x\)と並行な包絡線が引けることがわかりました。計算の手順をまとめておきます。\alpha=0\)を得る3二式を連立してパラメータを消去する全微分方程式$$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$$の形の微分方程式を、全微分方程式という。\frac{dx}{dy}=-\frac{Q(x,y)}{P(x,y)}$$を書き直したものと考えられる。y)=c\)は微分方程式の一般解を与える。これを全微分方程式の積分曲線という。y=Q\)をみたす\(C^2\)級関数fが存在するとき、元の方程式は完全微分方程式であるという。左辺を完全微分であるという。このとき、次式が成り立つ。$$P_y=Q_x$$完全性の定理\(P(x,y)、Q(x,y)\)を\(C^1\)級関数とするとき、全微分方程式$$Pdx+Qdy=0$$が完全である条件は、$$P_y=Q_x$$が成り立つことである。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。※サイト次回のコメントで使用するためブラウザーに自分の名前、メールアドレス、サイトを保存する。WordPress.。