よしおが解答した(*)の式より、だから、CF:FE=3:2です。先生、本当に聞きたい問題は、これからなんかあるんですよね。生>なんか最近、かず子の性格、ずいぶんまなぶナイズしてないかな。確かにこれから言うことが大切なことなんだ。よしおはどうして(1)から解いたのかな。<よしお>通常、小問に分かれた問題は、解答の誘導やヒントが与えられているという点からも(1)、(2)のように問題番号順に解くのではないですか。<かず子>よしお、先生がいいたいのは、たぶん(2)の答えの方が簡単に求められるってことだと思うわ。生>かず子、先生ちょっと君のことが心配になってきた。勘ぐりや先読みと、数学的推論は違うからね。そこのところ履き違えてしまうと誰かさんのようになってしまうよ。<まなぶ>先生、誰かさんって、誰のことですか。先生、僕、分りましたよ。生>かず子が代弁していたからずいぶん静かだと思っていたら......、で、どういうことだい。<まなぶ>右図のように色を塗ってみるとすぐ分ります。△EFDと△FCBは相似ですよね。すると、相似比を考えると、CF:FE=BC:ED=AD:ED=3:2ほら、でちゃいました。<かず子>まなぶ、凄いわね。私たち、なんであんな面倒なベクトルの計算してたんだろう。<よしお>確かに(2)が分かってしまえば、(1)の問題は、とだせるね。生>あるいは、BF:FD=3:2も明らかだから、Fを線分BD上の点とみると、すぐ求められる。ところでかず子は、「なんでベクトルの計算をしてたんだろう」っていっていたね。<まなぶ>だって、問題文で位置ベクトルが与えられていたら、当然ベクトルでの解答を要求されていると考えるのは当たり前ではないでしょうか。生>と、いつもの先読みをまなぶはするわけだ。<まなぶ>ちょっと嫌味な言い方のような気もするけど、まあそうです。正確にいうと「思い込み」でしょうが。そこのところが大事なんだ。本来、問題を解くときには諸君が蓄えた問題解決法という道具箱から最良の方法である引き出しを選び出してやればいいんだけど、ある単元ばかりやっていると何が何でもその道具を使わなきゃならないという固定観念が植え付けられてしまってはいないだろうか。<かず子>確かにそうですね。庭の木を切るのだって、種類によって、剪定バサミ、鋸、チェーンソー、と使い分けるわね。生>では、この場合の問題は何を使えばいいかということだけど、もともとの図形は「平行四辺形」という特別な形だよね。ベクトルは任意の図形の性質に対してその本領を発揮するわけだから、平行四辺形で使うには大げさすぎないだろうか。「平行四辺形の問題は初等幾何で」というのが先生の持論なんだ。<よしお>いわれてみればそうですよね。ベクトルでも解けるっていうひとつの演習とみてやることは必要かもしれませんが、いつもベクトルで解くのはすごい回り道をしていることになりますよね。次の問題をやってごらん。平行四辺形ABCDにおいて、辺BCの中点をE、辺CDを2:1の比に内分する点をF、辺ADを1:3の比に内分する点をGとし、線分EGと線分BFの交点をPとする。して、次の問いに答えよ。比GP:PEを求めよ。<かず子>これも一見するとベクトルでやれって要求しているような問題ですね。先生がいったように平行四辺形の問題だから比の関係から考えるってことですよね。図を描いてみると右のようになります。このあとどうすればいいんだろう。<まなぶ>うーん、相似な三角形がさっきのように作れないから僕にもちょっとわからないや。先生、ラクに考えようと思ったって、相似がわからなきゃベクトルでやった方が速いんじゃないですか。生>幾何の醍醐味は補助線一本で世界が変わるってことだ。その補助線もけっして奇抜な発想から生まれるものではない。この場合は、相似を見つけられないのなら、相似になるような三角形を補助線で作ってやればいいんだ。<よしお>.........、あっ、そうか。BFを延長するんですね。<まなぶ>僕も分ったぞ。ADとBFの延長線の交点をHとして、三角形を作るんだ。すると相似な三角形がいくつかできますよね。<かず子>そうすると、いまの場合GPとPEの比を求めるのだから、そうか、△PBEと△PHGが相似であることを利用するんですね。GP:PE=GH:BEだから、あとはGHとBEの比だけど......、うーんと、これは...。<まなぶ>かず子、他の三角形の相似関係を使えばいいよ。△FBC∽△FHDだから、BC:DH=CF:FD=2:1ここで平行四辺形が特別な形であることの威力が発揮されますね。AD=BCで、ADは4等分を基準にしているから、AD:DH=4:2以上より、GP:PE=GH:BE=5:2(2)ができちゃいました。<よしお>そうすると(1)は、となります。