BP:PH=BE:GH=2:5だろう。ついでにBP:PFはどうなるだろうか。<かず子>いま先生がいった相似比が使えると思うわ。BP:PH=BE:GH=2:5それと、BF:FH=BC:DH=2:1ここで、点P,Fはどちらも線分BH上の内分点で、それぞれ全体を7,3の長さとみたときの比だから、最小公倍数の21の長さに揃えるとBP:PH=6:15BF:FH=14:7とすると、BP:PF=BP:(BF-BP)=6:8=3:4となります。<よしお>あるいは、先生が教えてくれたような補助線を考えてもいいんじゃないかな。四角形ABEGやGECDの欠けている部分を補って三角形を作ると、右図のようになります。JC:CD=2:1したがって全体の長さを揃えると、BP:PF=BI:JF=6:8=3:4となる。<まなぶ>うーん、確かによしおの方法で求められるけど、かえって面倒になってしまっているんじゃないかな。かず子のやり方の方がスマートだと思うな。僕的にはここでベクトルを使ったっていいんではないだろうか。比較すると、s=3/7がすぐ分るだろう。したがってBP:PF=3:4ほら、簡単に求められた。生>三者三様の方法が示されたね。先生がいいたかったのは「簡単な問題は簡単に解こう」ということだ。平行四辺形という特別な四角形であれば、わざわざベクトルという道具を持ち出すのは大げさすぎるから、幾何の相似比という道具を使えば簡単に求められる。平行四辺形上の辺の分点が増えてしまうと分割される図形が多くなりすぎて、今度は相似比という道具では処理し難くなってしまうこともある。先ほどの後半の問題がそうだろう。そのときに、また再び道具箱の中から一番いい道具を取り出せるかということが大切なんだ。なく、BP:PFの方を要求していたとしたら、果たしてみんなはどの道具を最初にとりだしたろうか。いった意味では、先読み、深読み、思い込みに秀でているまなぶが一番良く道具を使いこなしていたのではないかと思うな。いった言葉をひょっとしたら知らないんじゃないですか。数学Aで「平面幾何」が用意されていましたが、オプション領域での選択であったために、大多数の現場では捨てられてしまいました。高校で学ぶ、三角比、図形と方程式、ベクトル、複素数平面といった分野は幾何の範疇に入っています。これらは、図形の性質を調べるときに、どんな道具を使おうかという手段に関してのマニュアルであり、目的はあくまで幾何といえます。いずれも、幾何という道具箱に収納されているツールであるわけです。本来、幾何(geo-metry)は測量から発展したものですから、単純に図形と図形の比を求めるようなところにその原点があるのですが、現行課程でその「元」が削除されてしまう傾向は、数学的思考を奪ってしまっているのではないでしょうか。初等幾何のもっとも簡単なツールである「補助線」には、そのマニュアルは用意されていません。使うかは使用者に委ねられているわけですが、「使い方を考えることの価値」が失われ、発想というでしゃばり者の手により突如として出現する厄介な線分として疎まれてきているのです。ところで、初等幾何にも星の数ほどの定理・公式という道具がありますが、その中で一番強い光を湛えているのは「メネラウスの定理」であることは、依存のないところだと思います。《メネラウスの定理》ある直線が△ABCの辺BC,CA,ABまたはその延長と交わる点をそれぞれP,Q,Rとすると、が成立する。バランスの妙を感じさせる定理であり、ここから多くの定理が派生します。△ABCの3辺BC,CA,AB上にそれぞれ点P,Q,Rがあり、3直線AP,BQ,CRが1点で交われば、が成立する。メネラウスの定理から導かれる代表的な定理です。次に、△AOCに直線QGが横切るとみると、この2式を辺々掛けることで、チェバの定理が得られます。これらの定理はその逆も成立します。このとき、P,Q,Rが△ABCの辺BC,CA,ABまたは延長の点であれば、3点は一直線上にあります。(メネラウスの逆)P,Q,Rが辺BC,CA,AB上の点であれば、線分AP,BQ,CRは1点で交わります。簡単に片付けられてしまうことが分ります。ところで、メネラウスの定理は任意の多角形においても成立します。An+1=An)またはその延長と交わる点をPkとするとき、が成立する。この定理は帰納法により簡単に証明できます。辺AnA1の間に頂点An+1をとり、凸(n+1)角形を作ります。最後にPn=Pn'と置き換えると、(n+1)角形で成立することが示されます。このようにメネラウスの定理は任意の多角形で成立しています(ちなみにチェバの定理は任意の奇数辺の多角形で成立します)が、図形問題で相似比を考える場合の補助線は、メネラウスの定理が利用されるように引かれることが多いようです。本文中の右図の補助線は、四角形GECDに直線BFが横切ると考えると、であり、辺GDの延長と直線BFとの交点である点Hの必然性が生まれてくることになります。補助線は、暗に間接的に定理の利用を示唆するわけで、そう考えると「発想」的補助線はそれほどないことが分るでしょう。話を元に戻しましょう。幾何が教育数学から姿を消そうとしています。新指導要領においても、義務教育の3割削減の最大の被害を被ったのは幾何でした。ゆとりと遊びの微妙な兼ね合いで実践された現行教育課程は学力低下というお荷物を残して姿を消しますが、新教育課程は、本来成長期において培い、育てるはずである、まなぶがいう「塾考、洞察」の機会を義務教育から奪い、浸蝕を始めました。平行四辺形に特別な感情を抱くことは無意味である、そんな時代が到来するのかもしれません。三角形の3頂点とその対辺を2:1に内分する点を結ぶ線分によって囲まれてできる三角形の面積はもとの三角形の面積の何倍か。