東京大学2019年度入試の物理第3問の解説ページです。問題のPDFファイルはこちらからダウンロードできます。問題そのものの著作権は東京大学に帰属します。設問I球面レンズでの屈折を考える問題です。スネルの法則(屈折の関係式)と,与えられた微小角度の近似式を用いることで,幾何的に答えを導くことができます。特段難しいことは聞かれていないので,図形をよくみながら解答しましょう。小問(1)これはスネルの法則で十分です。屈折率\(n_1\)の部分から入射角\(\theta_1\)で境界面に入った光が,屈折率\(n_2\)の部分で屈折角\(\theta_2\)で曲げられました。\dfrac{\theta_1}{\theta_2}=\dfrac{n_2}{n_1}\]となります。小問(2)これは三角形の外角を求める問題です。中学生でもできるので良いでしょう。x_2\)という近似をすることにより,正弦の定義より次のように求められます。\theta_2=\dfrac{h}{r}+\dfrac{h}{x_2}\]となります。(1)の答えを\[n_1\theta_1=n_2\theta_2\]としてこの結果を代入して,全ての項に共通する\(h\)で割ると答えを得ます。\[n_1\left(\dfrac{1}{r}+\dfrac{1}{x_1}\right)=n_2\left(\dfrac{1}{r}+\dfrac{1}{x_2}\right)\]小問(5)問題文に書かれている通り,中心Oと光源Cの位置関係により場合分けが必要です。(1)はもちろんですが,(3)の結論も変わりません。問題に与えられた図を見ると,(3)の結論が変わらないように角度や長さが設定されています。\theta_2=\dfrac{h}{r}-\dfrac{h}{x_2}\]です。これを(1)に代入すれば答えを得ます。\theta_2=\dfrac{h}{x_2}-\dfrac{h}{r}\]です。これを(1)に代入すれば答えを得ます。n_2\left(\dfrac{1}{x_2}-\dfrac{1}{r}\right)\]別々に求めましたが,結果を見てわかる通り,両辺マイナス倍の差しかなく,光源の位置によらず同じ結果を得ます。設問II設問Iで求めた結果において,\(r\)を適当な値にした時の変化を探っていく問題です。0\)の近似をします。(4)の結果に適用すると,\[\dfrac{n_1}{x_1}=\dfrac{n_2}{x_2}\]となります。今回は\(x_1=L_1\)だから,\[x_2=\dfrac{n_2}{n_1}L_1\]となります。これが境界面から見かけ上の光源までの距離だから,これに\(L_2\)を加えれば観察者から見かけ上の光源までの距離ができます。\[\dfrac{n_2}{n_1}L_1+L_2\]小問(2)屈折率\(n_f\)の部分を挿入することにより,2回「屈折」を起こすことになります。真の距離\]とかけることがわかりましたから,この結果を2回用いれば良いことになります。屈折率\(n_1\)の場所で\(L_1\)の距離は観察者から見ると\[\dfrac{n_2}{n_1}L_1\]の距離に見えます。これは(1)と同じですね。次に屈折率\(n_f\)の場所で\(d\)の距離だけ光が進みますが,これは観察者から見ると\[\dfrac{n_2}{n_f}d\]の距離に見えます。これに残りの\(L_2-d\)の距離を加えれば,観察者から見た見かけ上の光源までの距離になります。,\[\dfrac{n_2}{n_1}L_1+\dfrac{n_2}{n_f}d+(L_2-d)\]です。次にこれが\(L_1+L_2\)と一致する条件を考えます。L_1\]となります。これを\(d\)について解くと答えが出ます。\[d=\dfrac{n_f(n_1-n_2)}{n_1(n_2-n_f)}L_1\]また屈折率の大小関係ですが,\(d>0\)でないとおかしいわけだから,分母と分子の正負は一致している必要があります。n_1<n_2<n_f\]となります。\dfrac{1}{x_2}\]である必要がありますが,\(x_1=2\,\mathrm{m}\),\(x_2=2\,\mathrm{m}\)であることから矛盾します。よって,(B)の状況である必要があります。\(x_2\)は見かけ上の光源と観察者の距離である\(4\,\mathrm{m}\)から,\(L_2=2\,\mathrm{m}\)を引いて求めることができます。1\cdot\left(\dfrac{1}{r}-\dfrac{1}{2}\right)\]となるから,\(r=0.5\,\mathrm{m}\)です。小問(4)観察者から見て,もともと見かけ上の光源は本当の光源の位置より遠くに見えていたものが,レンズを使うことにより,本当の位置に見えているわけだから,このレンズは実像をレンズと物体の間に作っていることになります。ゆえにこれは凹レンズです。レンズの公式に,物体の位置4mと,実像の位置3mを代入して,\[\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{3}=-\dfrac{1}{f}\]となりますから,焦点距離は\(f=12\,\mathrm{m}\)です。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。このサイトについてホーム検索トップサイドバ。