単元から資料を探すページです。最近は東大や京大においても、受験生の基礎力をはかるため定積分の計算をストレートに出題してきていると感じる。関数をうまく評価して、定積分の値を不等式で表現させる入試問題もよく見かける。よる授業展開2~今年度平成26年度の教室の風景から~平成23年度に「実験的数学教材による授業展開」として,その年度に作成した教材を紹介する機会を得た。そのレポートを東書ネットで発表させていただいた。今回はその第2弾となるレポートである。dx/f(x)=1と間違えてしまう生徒がいたことから,本稿では,a≦x≦bで連続であり,正の値をとる関数f(x)について考察する。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。お気に入りに追加オイラーの定数とゼータ関数の関係についての一考察~進んだ生徒の興味・関心を起こさせる題材として~オイラーの定数γというのがある。56649・・・であり,それは現在のところ有理数とも無理数とも証明されていない。ついてはそれなりの知識と馴染みを持っているだろうが,進んだ生徒に,このγにも興味を思ってもらえないだろうかと思ったのがこの小論を書くきっかけであった。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。g(x):偶関数、k(x):奇関数を味わう関数を偶関数と奇関数の和に分解することで、生徒にとって非常に興味深い「定積分」の計算問題をつくることができる。本稿でくわしく考察してみたい。※文中の数式は、「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには、「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。定積分と不等式~生徒にとってわかりやすい証明~定積分を使って不等式を証明する問題は,1不等式の中に定積分がある場合と2不等式の中に定積分がない場合に大別される。1の場合では,積分する関数と積分区間からその方針が立ちやすいが,2の場合にはまずそれが定積分を利用して証明できる問題であることやそのために積分すべき関数を見出さなければならない点がネックになる。本稿では,生徒にとってわかりやすい,つまり解決の糸口が見つけやすい指導を考察する。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。三角関数の相互関係と定積分~三角関数に置換した積分~ある関数を定積分するときに,三角関数に置き換えると求めやすくなる場合がある。それは三角関数の相互関係や2倍角・半角の公式等が定積分をする上で奏功するような関数である。本稿では,三角関数の相互関係が重要な役割を果たす定積分について考察する。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。三角関数を含むある関数の定積分の求め方~三角関数の合成や置換積分等の利用~定積分を求めるとき,いろいろな方法がある場合がある。決まり切った1つの方法しかないようではつまらない。+X)2dXの最小値を求めることを考察する。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。利用していくつかの不等式を考察する。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。1/x2-1をと部分分数に分解して計算して求める。x=tanθと置換して計算する。ここで,被積分関数の違いは符号だけである。「部分分数に分解して求める」方法から,「x=tanθと置換する」方法へと大きく様変わりする。これは生徒にとっては大いに困惑する違いである。x2-1=0の解はx=±1であり,これよりと変形して,部分分数に分解される。dx/x2+1の値が求められないだろうか,そのほうが同一の方法で求めるという統一感があるという考えを持つ生徒も出てくるはずである。本稿では,このような発想を持つ進んだ生徒のために,少々粗い議論になるが,複素数まで拡張した指数関数や対数関数を使って考察させることを考えてみたい。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。定積分,扇形の面積,逆正接について数学IIIで無理関数の定積分を扱うが,これを使えば円の面積が求められる。dxは原点を中心とし、半径が√a2+b2の円と考えることで無理関数の定積分で求められる。dxの値を逆正接tan-1で表し,そこから逆正接についての性質を導くことにする。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。~高校生でも扱える方法で~ex=Σxn/n!であることは高校では扱わないが,e=Σ1/n!であることは教科書で参考として扱うこともある。対数関数log(1+x)(-1<x≦1)のx=0におけるテーラー展開はΣ(-1)n-1xn/nであり,特に,log2=Σ(-1)n/nである。自然数Nの自然対数logNは,定積分とはさみ打ちの原理を利用して,logN=Σ(1-1/N)n/nのように級数表示することもできる。そこで,本稿では,logN=Σ(N-1)n/nNn(Nは自然数)であることを証明したい。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。~解答と思考の流れについて~ある生徒が(定積分に関連した)不等式の証明ができず,解答・解説を読んだが理解できないと質問に来た。「模範解答のようには書けません」と悲壮感を漂わせる。模範解答のように書けないと,自分に数学の力がないと考える生徒もいる。数学的思考の流れと数学的記述は必ずしも一致しないのであり,模範解答を読んでもわからなくても悲観することはないのだ。これについて,その理由も含めて本稿で考察してみたい。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。広義積分について高校数学においては,「広義積分」は範囲外である。教える必要はないというのが一般的であるのかもしれない。よくよく大学入試や他教科(物理)の発展的な内容を見ると,広義積分が使われていることがある。従って,ハイレベルな生徒には話題にしてみることで,積分と極限の考えが同時に使われる場面を提示できる良いきっかけになるのではと思い,話をすることがある。一般項が和で表された数列の極限値~区分求積法と定積分の関係式を使わなくても求められる例~区分求積法とは,和の極限として面積や体積を求める方法で、定積分で求めることが出来ることがある。定積分を使わなくても求められることがある。本稿では、定積分と区分求積法に関わる和の極限値について,あえて定積分を使わないとどのような解法があるかについて考察した。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。関数,奇関数の名前の由来についてニュートン,オイラー,ラグランジュの時代(17~18世紀)は,関数といえば具体的に式で表される関数や解析関数を指しており,特に,運動方程式(微分方程式)を解くときに,解析関数を使っていました。牛腸徹先生からご教示いただきました。定積分によるeπの評価について~20.7<eπ<25.0を中心にして~定積分を通じて、決してよい評価とは言えないが、評価ができることは生徒の興味を引くのではないかと思う。精度を高めてみたら,入試問題でも使えるのではないかと思い考察してみた。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。αを実数とするときの定積分について考察する。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。√r2-x2の被積分関数で,積分区間が[rsinα,rcosα](0<α<π/4)である積分についてどのような結果になり,それには図形的な意味があるであろうか。本稿では,このことについて考察したいと思う。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。(n+1)(nは自然数)に関わる不等式について考察する。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。)の教員が自己研修を兼ねて夏季休業中に研究するものである。平成17年度から始まり,最近は,東大,センター試験,進学希望の多い広島大あるいは山口大の問題を対象にしている。ここでは,筆者の担当した東大の問題について,考察したい。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。∑1/nn=1+1/22+1/33+・・・+1/nn+・・・について数学IIIで,主に無限等比級数であるが,無限級数の和を扱う。これは発展になりますがe=∑1/n!という興味ある無限級数の和にも触れる機会がある。これを活用すれば,e=lim(1+1/n)nが無理数であることも証明できる。本稿では∑1/nnについて,評価や近似値を中心にして考察する。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。1+1/2+1/3+...+1/n>log(n+1)(nは自然数),問いとして1/2+1/3+...+1/n<logn(nは2以上の自然数)(東書数学IIIp.150)を扱う。本稿では,オイラーの定数を用いて,1+1/2+1/3+...+1/nとlognについて考察する。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。お気に入りに追加(特集)ニューサポート高校「数学」vol.26(2016年秋号)より。定積分を利用したすばらしい不思議な「魔法の世界」をご紹介します。置換積分の生徒の疑問に答える定積分で置換積分と部分積分と言えば、現行の教科書では、その計算方法のみに焦点をあてているように見える。高校数学として完結するだけならそれでも良いが、置換積分と部分積分は、大学の微積分学の入り口と考えられる大切な場所でもある。掘り下げて指導した方が、良いのではないだろうか。定積分の2つの問題を紹介している。2番目の問題は,その解法を読者に委ねている。n→∞1/nn√{(m+1)n}!/(mn)!を求めることを通じて,n!を考察する。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。dx/a2+x2という定積分を扱う。数学のよくできる生徒から不定積分∫√1+x2dxはどのように求めればよいのかという質問を受けた。x=tanθとおいて計算すればよいのであろうという見当はついているようであったが,求められなかったようである。本稿では,この質問に対する解答を試みたい。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。~みんな違ってみんないい(金子みすゞ的発想)~不等式の証明には,“この方法で証明するのが一般的である”というような通念がある。「そうするのが当然」というような「思い込み」である。生徒が別のやり方で証明しようとすると「その証明はそのような方針ではなくこのようにするのだ。」とストップをかけ,生徒の成長の芽を摘んでしまってはいないだろうか。本稿では,不等式の証明がうまくできず質問に来た生徒と,数学的帰納法で証明した生徒の話をご紹介したい。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。「高校数学ニューサポートVol.1(創刊号2004年4月発行)」より。「複素数平面の周辺」現在の高校2年からはじまる新課程で,複素数平面は姿を消す。ひとつ前の課程の1次変換と入れ替えで約30年ぶりに復活した項目であったが,結局わずか10年の命で再び1次変換にその座を明け渡すこととなった。「グラフと定積分」高校の教科書で積分を導入するのに,区分求積法によって定積分の意味づけを行うのではなく,微分の逆演算として不定積分を定めるところから始めるのが主流になって久しい。