Bは同じ型であるから、その和と差はそれぞれ以下のようになる。行列の加法と減法について、以下の性質が成り立つ。{1}{2}}}倍した値は平均値となる。={\begin{pmatrix}52.5&54&18\\73.5&42.5&30.5\\\end{pmatrix}}}となる。X=-X}のように表す。-aX}のように書く。k,l}を定数として以下の性質が成り立つ。k,l}は実数に限らず、複素数でも良い。編集ここまでの内容を見返したとき、「似たような内容やったことあるな」と感じた人もいるだろう。実は、ここまで見てきた行列の演算は、全てベクトルの成分演算を拡張したものになっている。3)=(3,9)}である。{b}}={\begin{pmatrix}2\\5\\\end{pmatrix}}}のように書き、行列とみなして計算しても同じ結果が得られる。ここから、「行列はベクトルを拡張したもの」ということがわかる。そこで、行列の積もベクトルの演算を拡張する形で定義しよう。高校範囲において、数における掛け算に相当するベクトルの演算としてベクトルの内積があった。{b}}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}}である。{b}}}と同じ結果になるように行ベクトルXと列ベクトルYの積XYを定義する。+x_{m}y_{m}}と定義する。次は、これを元に一般の行列の積を考える。行列Aの列数と行列Bの行数が等しいとき、Aの各行の成分の個数とBの各列の成分の個数が一致するから、積ABを考えることができる。{\begin{pmatrix}P&Q&R\\\end{pmatrix}}}をSとおく。AS={\begin{pmatrix}AP&AQ&AR\\\end{pmatrix}}}である。{\begin{pmatrix}BK\\BL\\BM\\\end{pmatrix}}}である。j)成分としたl×n行列と定める。{\begin{pmatrix}ap+bq+cr&as+bt+cu\\dp+eq+fr&ds+et+fu\\gp+hq+ir&gs+ht+iu\\\end{pmatrix}}}なお、上とは別の方法で定義された行列の積もある。そちらの計算結果はこちらとは大幅に異なる。詳しくは「w:行列の乗法」を参照。行列の乗法について、kを実数として以下の性質が成り立つ。BC=a}となる場合、このaは1次行列であることに注意(行列の演算結果として出てきた一次行列を普通の定数とみなしてスカラー倍計算することはできない)。C={\begin{pmatrix}5&2\\0&7\\\end{pmatrix}}}について、以下を計算せよ。AB=BA}であるとき、「AとBは交換可能(可換)である」という。(A+C)(A-C)=A^{2}-C^{2}}である。時間があったら確かめてみよう。BA}が計算できない。AB,BA}ともに計算できる。14300消費税が飲食料品に8%、他の商品に10%掛かっているとして、この表から税額を計算したい。{0.1}{1.1}}}を掛けられるような行列を考える。AP={\begin{pmatrix}5520&1400\\5040&1100\\5600&1200\\5120&1300\\\end{pmatrix}}}である。第一列、第二列の成分を見ると、条件を満たしていることがわかる。一般に、行列の左上の成分と右下の成分を結んだ対角線を主対角線といい、主対角線上の成分を対角成分という。対角成分以外の成分が全て0である正方行列を対角行列という。列ごとに定数倍したい場合、対角行列を掛ければ良い。d_{n})}と表す。E={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}}である。O}との間には次のような関係がある。これは、実数における1、0の掛け算と同様の性質である。AB=O}となる場合がある。A,B}を零因子という。E}になるような行列を考える。X^{-1}}と表す。XX^{-1}=X^{-1}X=E}を満たす。AB^{-1}}」と定義することができる。注意しなければならないのは、行列の積は先述の通り一般には可換でないので、実数のように分数表記を用いることはできない。単位行列の逆行列を考える。単位行列の逆行列はその単位行列自身である。次に、零行列の逆行列を考える。逆行列の定義は「元の行列と掛けたら単位行列になる行列」であり、零行列は他の行列との積が必ず零行列になるため、零行列の逆行列は存在しない。これらは実数における「1の逆数は1自身」「0の逆数は存在しない」という性質と同様である。2次行列の逆行列について考える。{1}{ad-bc}}P)=E}が成り立つ。{1}{ad-bc}}{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\\\end{pmatrix}}}である。A^{-1}}を持たない。正方行列Xに逆行列が存在するなら「Xは正則である」といい、存在しないなら「Xは特異である」という。逆行列が存在する正方行列を正則行列、存在しない正方行列を特異行列という。零因子が特異行列であることを証明せよ。(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}}が成り立つ。E}となることから明らかである。次数が3以上の場合、逆行列の計算には次のガウスの消去法(掃き出し法)が用いられる。行列を横に並べる際、2つの行列の区別のため境目に縦線|を入れる場合がある。行基本変形とは、次の3つの操作のことである。ある行をc(≠0)倍する二つの行を交換するある行にある行のc(≠0)倍を加える上の3つの操作は、それぞれ次の行列を右から掛けることと同値である。j})この3つの行列を基本行列という。基本行列を左から掛けると列に対する操作になり、これを列基本変形という。行基本変形と列基本変形を纏めて「行列の基本変形」と呼ぶ。基本変形は可逆な操作であり、Aに基本変形を施してBになるならば、必ずBに基本変形を施してAに戻すことができる。P={\begin{pmatrix}1&1&-1\\-2&0&1\\0&2&1\end{pmatrix}}}の逆行列を求めよ。\left({\begin{array}{ccc|ccc}1&1&-1&1&0&0\\-2&0&1&0&1&0\\0&2&1&0&0&1\end{array}}\right)}である。{1}{2}}\end{pmatrix}}}である。{}^{t}\!A}と表す。{}^{t}\!A}を作ることを、「Aを転置する(Aの転置をとる)」という。{}^{t}\!A={\begin{pmatrix}a&c\\b&d\\\end{pmatrix}}}である。列ベクトルの転置は行ベクトルとなる。{}^{t}\!({}^{t}\!A)=A}である。{}^{t}\!(X+Y)={}^{t}\!X+{}^{t}\!Y,{}^{t}\!(kX)=k{}^{t}\!X}が成り立つ。{}^{t}\!(AB)={}^{t}\!B{}^{t}\!A}が成り立つ。{}^{t}\!A=-A}を満たす行列を交代行列という。対角行列は対称行列である。{A-{}^{t}\!A}{2}}}が成り立つ。{A-{}^{t}\!A}{2}}}は交代行列であることが、それぞれの転置をとることで確認できる。({}^{t}\!A)^{-1}={}^{t}\!(A^{-1})}が成り立つ。この節の最初に「行列は数や文字を長方形状に並べたもの」と述べたが、行列の積を考えるときに「行列は数ベクトルを1方向に並べたもの」という考え方を使った。この考え方を用いると、以下が成り立つことがわかる。\\{}^{t}\!a_{n}\\\end{pmatrix}}}である。{}^{t}\!A}はn×m行列である。{}^{t}\!AA}は常に計算可能である。計算結果は対称行列となる。A{}^{t}\!A={}^{t}\!AA=E}となる正方行列Aを考える。このような行列を直交行列という。{}^{t}\!A=A^{-1}}が成り立つ。直交行列の逆行列は直交行列であり、上式から直交行列の転置行列も直交行列である。2つの直交行列の積もまた直交行列になる。P={\begin{pmatrix}65&82&78&96&67\\85&63&90&65&94\\98&76&70&85&90\\\end{pmatrix}}}である。この行列から一部の行や列のみを取り出すことを考える。{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\\0\\\end{pmatrix}}}という行列を右から掛ければ良い。P{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\\0\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}65\\85\\98\end{pmatrix}}}である。