この記号は列ベクトルの型によらず用いるため、常に型に注意する必要がある。\\\end{pmatrix}}}を右からかければ良い。複数列の抽出を応用することにより、表の列を並べ替えることができる。P{\begin{pmatrix}e_{3}&e_{2}&e_{1}&e_{5}&e_{4}\end{pmatrix}}}を計算すれば良い。行に対して操作する場合、基本ベクトルを転置して左から掛ければ良い。{}^{t}\!e_{2}P={\begin{pmatrix}0&1&0\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}65&82&78&96&67\\85&63&90&65&94\\98&76&70&85&90\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}98&76&70&85&90\\\end{pmatrix}}}と計算する。複数行の抽出や行の並べ替えも同様にできる。{\begin{pmatrix}{}^{t}\!e_{3}\\{}^{t}\!e_{1}\\{}^{t}\!e_{2}\\\end{pmatrix}}P}を計算すれば良い。列操作と行操作を同時に行うことで、特定の成分を取り出すこともできる。一般に、各行各列に1が一つづつ配置され、残りの成分が全て0である行列を置換行列という。単位行列は置換行列である。置換行列は直交行列でもある。次に、各行・各列の和を求めることを考える。行列の積を考えたとき、先に列ベクトルと行ベクトルの積を考えた。その考え方を用いると、各列の和を求めたい場合、元の行列に成分が全て1である列ベクトルを右から掛ければ良い。J_{n}}と表すこととする。PJ_{5}={\begin{pmatrix}65&82&78&96&67\\85&63&90&65&94\\98&76&70&85&90\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\\1\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}388&397&419\end{pmatrix}}}である。{}^{t}\!J_{n}}を左からかければ良い。掛ける数ベクトルの成分の値を変えることにより、目的に応じてさまざまな合計を出すことができる。ここまで行列の積・転置操作の応用として表操作を見てきたが、もう一つ応用を考えよう。{OQ}}={\begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}}}と表す。{OQ}}=ac+bd}である。{OQ}}|^{2}\\\end{pmatrix}}}となる。{OQ}}}の成す角)。}を求めることができる。ここまで行列のさまざまな演算を見てきたが、普通の数と同様に演算順が決まっている。和・差の計算を式の左側から順に行っていく。点とそれらを結ぶ線で構成された図を離散グラフという。離散グラフの点を頂点、線を辺、頂点に集まる辺の本数をその頂点の次数という。ここでは辺の向きは考えない(無向グラフのみを扱う)。G=(V,E)}と表記する。\{u,v\}}と表記する。G=(\{v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\},\{\{v_{1},v_{2}\},\{v_{1},v_{3}\},\{v_{1},v_{4}\},\{v_{2},v_{3}\},\{v_{3},v_{4}\}\})}を作図せよ。以下、「ケーニヒスベルクの橋の問題」を例に、離散グラフの一筆書きについて考える。(現・ロシア、カリーニングラード)という大きな町があった。この町の中央には、プレーゲル川という大きな川が流れており、七つの橋が架けられていた。あるとき町の人が、次のように言った。「このプレーゲル川に架かっている7つの橋を2度通らずに、全て渡って、元の所に帰ってくることができるか。町の人が言ったことはできるだろうか。1736年、レオンハルト・オイラーは、この問題を以下の離散グラフに置き換えて考えた。→このグラフが一筆書き可能であれば、ケーニヒスベルクの橋を全て1度ずつ通って元の場所に戻ってくるルートが存在することになる。離散グラフのどの2頂点も幾つかの辺を辿って一方から他方へ行けるとき、その離散グラフは「連結である」という。ここでは、次数が奇数である頂点を奇点、次数が偶数である頂点を偶点、一筆書きの始める頂点を始点、一筆書きを終える頂点を終点、そのどちらでもない頂点を途中点と呼ぶことにする。途中点ではその頂点に集まる辺を使って「入る」「出る」が繰り返され、最後は必ず「出る」で終わる。途中点は必ず偶点になる。奇点が始点である場合、終点では「入る」「出る」が繰り返され、最後は「入る」でおわる。奇点が始点であるならば、終点もまた奇点である。したがって、一筆書きができる離散グラフに奇点があれば、奇点は2つあり、それらは必ず始点・終点のペアになる。離散グラフにおいて、奇点の個数が1または3以上であるならば一筆書きはできない。このことを言い換えたのが、次のオイラーグラフの定理である。連結である離散グラフにおいて一筆書きができるための必要十分条件は、奇点の個数が0または2であることである。奇点の数が0であるとき、離散グラフには偶点しか存在せず、どの偶点を始点にしても必ず元の点に戻ってくる。行列の冪乗についても指数法則が成り立つ。ad-bc}という式はAの判別式のような役割をする。{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}と表す。絶対値記号を用いてはいるが、行列式は負の値をとり得るので注意。{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}=aei-afh+bfg-bdi+cdh-ceg}である。n}個の成分の積となっている。行列式の正式な定義は省略するが、実用上、4次以上の行列式を定義通りに計算することはほとんどない。行列式は正方行列にしか定義されない。A)|}はAを構成する列ベクトルの張る図形の体積であることが知られている。3次行列の場合、行列式の値の絶対値は各列ベクトルの張る平行六面体の体積と一致する。中身は下三角行列と呼ばれる行列である。}は0の集まりを表す。2つ合わせて三角行列という。A_{ij}}と表す。