M}を冪零行列という。冪零行列は逆行列を持たないことを証明せよ。A^{2}=O}」を証明せよ。行列式と同じように行列の特性を表す値がある。それが以下で扱う固有値である。固有値は量子力学やグラフ理論など、数多の場面で活躍する重要な概念である。}を固有値に対する固有ベクトルという。}はラムダと読むギリシャ文字である。固有ベクトルの長さは議論に関係ない。0)}も固有ベクトルである。固有ベクトルのうち最も簡単なものを答える。{a}}}と同じ意味の記号である。ベクトルが常に有向線分を表すわけではないため、大学では矢印を付ける代わりに太文字を用いて表すことが多い。{a}}}:有向線分を表すベクトル」と使い分ける。I_{n}-A}が特異行列であることである。I_{n}-A)=0}が成り立つ。この方程式をAの固有方程式(特性方程式)という。左辺の行列式はn次の多項式に展開できる。}はファイと読むギリシャ文字である。_{n}})あることがわかる。_{i})}と表せる。_{i}}に対する(代数学的)重複度という。}はニューと読むギリシャ文字である。A}へ置き換えると、n次行列についてのケーリー・ハミルトンの定理が得られる。A}を代入すれば明らか」という証明はできない。)固有値を正しく計算できているか確かめる方法として、次の性質が用いられる。=2,3}ここで元の行列の跡は5、求めた固有値の和は5なので、正しく求められていることが確かめられた。X={\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}}}と求まる。X={\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}}と求まる。{\begin{pmatrix}2&1&-1\\-4&-3&-1\\4&4&2\end{pmatrix}}}の固有値を求めよ。=0}を代入すると以下の定理が得られる。_{i}}このことから、0は正則行列の固有値になり得ないことがわかる。そこで、逆行列の固有値について考える。}}}つまり、逆行列の固有値は元の行列の固有値の逆数であり、固有ベクトルは元の行列と共通である。固有値は複素数であるため、複素数平面上に描画できる。P}で挾む操作を相似変換という。行列の相似について、以下が成立する。B}は「A且つB」を意味する論理記号である。Bについて、以下が成り立つ。B^{n}}上の5つの性質は簡単に証明できるので、時間があれば挑戦してみよう。D}に変換することを行列の対角化という。行列が対角化可能である必要十分条件を求める。P^{-1}}を求める必要があるため面倒である。これならば容易に計算できる。以下の行列が対角化可能であるか判定し、可能な場合は対角化せよ。方程式の左側に{を書いて連立させたものを連立方程式という。連立させる式が全て一次式の場合は特に連立一次方程式という。連立させる式の本数がnであるとき、n元連立方程式という。連立方程式を解くとは、連立させた式を全て満たすように全ての変数の値を定めることである。解が不定になる場合は媒介変数を用いて表す。このとき用いる媒介変数の個数を連立方程式の自由度という。{\begin{pmatrix}ax+by\\cx+dy\end{pmatrix}}}である。{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix}}}となる。(n次行ベクトル)」と表せる。このとき、l次行ベクトルの係数となるn×l行列を係数行列という。