まとめ相加相乗平均の大小関係とは?相加平均が相乗平均以上になる関係のこと相加相乗平均の大小関係とは、2つの負でない数の相加平均が常に相乗平均以上になるという関係のことです。0$に対して、が常に成り立つという関係のことを指します。この不等式の等号が成り立つのは$a=b$の時のみであることも重要です。このような不等式の等号が成り立つような条件のことを一般に「等号成立条件」と言います。“相加相乗平均の大小関係”と毎回書くのは面倒なので、説明の都合上、以下では”相加相乗”と略すことにします。相加相乗は最大値や最小値を求める場面で非常によく登場します。以下の例題を考えましょう。数IIIの微分を習っている人であれば、微分をしてしまえば最小値を求めることができますが、文系の人は相加相乗を使うことによって、最小値を求めることができます。$x>0$より、$x$も$\frac{1}{x}$も正の数なので、相加相乗が使えて、つまり、が常に成り立つことが言えます。ここで、等号成立条件は、となりますね。したがって、$x=1$のときに最小値$2$を取ることが言えます。このように、文系範囲では微分できない関数の最大値や最小値を求めるために相加相乗を使うというパターンの問題が入試では非常によく出題されます。相加相乗を習ったばかりの人は、不等号の向きがどちらか、等号が成立するのはいつかなどをついつい間違えてしまいます。私は相加相乗の視覚的な覚え方を知ってからこのようなミスを全くしなくなりました!その覚え方というのは以下の図です。直径が$a+b$の円を考えたときに、半径は$a,\,b$の相加平均に、上図の黒太線の長さは相乗平均に等しくなります。相乗平均に等しくなることは、方べきの定理を用いることで簡単に確認できます。上図の黒太線とその下の黒線は等しい長さなので、$x$とおけば、方べきの定理より、となるので、$x=\sqrt{ab}$が即座にわかります。したがって、上図を見れば相加平均が相乗平均より必ず大きくなる(もしくは等しくなる)ことが視覚的に理解できますね!また、黒太線とオレンジ色の線がぴったり重なるのは、$a=b$のとき、つまり等号成立条件が$a=b$であることも視覚的にわかります。相加相乗は一般化できる相加相乗は以下の一般化されたものが成り立つことが知られています。$n$個の$0$以上の数$a_1,\,a_2,\,\cdots,\,a_n$に対して、が常に成り立つ。n個の数の和をnで割ったものを「相加平均」、n個の数の積のn乗根を「相乗平均」と呼びます。”平均”と言っても色々な種類がありますが、「n個の数としてすべて同じものを選んだときにその数が出てくる」という性質を満たすことが必要です。相加相乗は簡単な式変形によって証明することができます。あるから、が示された。0$より、のときである。相加相乗の一般化された形を証明するのはかなり大変です。証明の手法としては以下の2種類があります。数学的帰納法による証明については、以下の記事で双方向帰納法の説明に出てくるので興味のある人は読んでみてください。数学的帰納法とは?入試問題付きで全5パターンをわかりやすく解説!ここでは、最も鮮やかに証明できる2の手法を紹介したいと思います。数III範囲の知識を使っているので、数IIIがよくわからないという人は読み飛ばしてしまって構いません。,\,a_n$をすべてかけ合わせたものを$N$と表記する。1+x$に$x=\frac{a_k}{M}-1(k=1,\,2,\,\cdots,\,n)$を代入すると、となる。これを$k=1,\,2,\,\cdots,\,n$について作り、各辺すべて$0$以上であることに注意して片々掛け合わせると、したがって、が示された。はじめに用いた不等式は、微分すればすぐに確かめられます。$y=e^x$と$y=x+1$のグラフを描くと一目でわかりますね。相加相乗を数学の答案で使うときにはどのようなことに気をつけて、どのような記述の書き方をすればよいのでしょうか?相加相乗を使う時には必ず以下の3点に注意する必要があります。相加相乗を使うときの注意点3つ!1.2数が0以上であるかを確認する2.等号成立条件をチェックする3.定数でおさえる先ほども用いた以下の例題を用いながら、それぞれについて説明していきます。2数が0以上であるかを確認する相加相乗はいつでも使えるわけではないです。0$に対して」成り立つ不等式なので、相加相乗を用いるときには、これが満たされているかどうかをチェックする必要があります。よって、上の例題であれば、$x>0$より、$x>0$かつ$\frac{1}{x}>0$であるから、相加相乗平均の大小関係より、と記述で書く必要があります。これは受験生がついつい忘れがちなところなので注意しましょう。等号成立条件をチェックする相加相乗を使ったからといってその値が最大値や最小値になっているとは限らないことに注意しましょう。等号成立条件をチェックする記述を書く必要があります。等号成立は、と書けばOKですね。この等号成立のときが求まらなければ、不等式自体は正しくても2という値が最小値だとは言えなくなってしまいます。2$だったら最小値は$\frac{5}{2}$になりますよね。)定数でおさえる相加相乗は最大値や最小値を求めるために用いますが、このとき定数でおさえられていなければ意味がないことに注意してください。上の例題とは別に、以下の例題について相加相乗を用いて最小値を求める記述を書いてみます。相加相乗が使える条件をチェックしてから等号成立条件もチェックしているので、一見正しそうに見えますが、グラフを描いて考えてみるとこれが最小値を求める作業には全くなっていないことがわかります。赤のグラフが$y=x^2+\frac{1}{x}$で青のグラフが$y=2\sqrt{x}$のグラフです。先ほどの誤答例の中で相加相乗を使って示せたのは、「$y=x^2+\frac{1}{x}$のグラフが常に$y=2\sqrt{x}$のグラフよりも上にあって、かつ、それらが接する時は$x=1$のとき。」ということなんですね。これを示したところで最小値は求めたことにはなっていませんよね。このように、相加相乗を使ったあとに定数でおさえることができていないと、最大値や最小値を求める議論には全くならないことがわかります。定数でおさえるために以下のように変形を施して、3文字の相加相乗を使うことで正しい答案が出来上がります。したがって、求める最小値は、この場合はしっかりと$\frac{3}{\sqrt[3]{4}}$という定数でおさえられてますね!ここが注意できていないと訳のわからない答案を書くことになってしまうので気をつけましょう。相加相乗を使う入試問題を5つ紹介したいと思います!基礎的な問題から東大の入試問題まで入っているので、ぜひ取り組んでみてください。先ほど挙げた記述を書く時の注意点などが押さえられているかどうかにも気をつけてくださいね。問題1解答・解説まず、与えられた分数式は、分母よりも分子の方が次数になっていますね。いった分数式は、次数下げをして、分子の次数の方が小さくなるようにしておくのが鉄則です。分母の次数よりも分子の次数が大きい分数式は、次数下げをして、分子の次数の方が小さくなるようにする!よって、今回の問題であれば、と変形するのがまずやるべきことです。ここから相加相乗の利用を考えたいところですが、このまま相加相乗を用いても、となり、定数でおさえることができません。そこで、「定数でおさえることができるように、無理やり$x+1$を作り出す」という作業が必要になります。