対角化はできる場合とできない場合がありましたが、三角化に関しては、成分が複素数でもよい(実数にこだわらない)ならば、常に可能であることがわかっています。三角化も対角化と同じく、固有値と深い関係があります。次の行列の三角化を試みます。A={\begin{pmatrix}4&-8&1\\1&-5&1\\-9&8&-6\end{pmatrix}}}まず、固有値と固有ベクトルを求めてみましょう(なぜそうするのかは後で明かされます)。_{1}=3}とします。対する独立な1次条件式は2つです。_{1}}に対する固有空間の次元は1です[1]。}_{1}}}={\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}}}のようにとれます。}_{1}}}}と線形独立な列ベクトル2本を何でもいいから持ってきます。}}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}}これらを横に並べて3次の正方行列を作ります。P_{1}}は正則行列なので逆行列が存在します。成分を除いて0になります。1列目に限っては「上三角化」ができたということです。{A}}={\begin{pmatrix}-5&0\\-8&3\end{pmatrix}}}に注目します。ここまでの流れと全く同じようにして、2次正則行列を使って、この小行列を1列目に限っては「上三角化」ができることがわかります。計算すればわかる何らかの定数です(上三角化が完了したことに注意を向けたかったのであえて明示しませんでした)。これら2段階を組み合わせれば、まさに行いたかった三角化が達成されます。上記の長い例題で行った手順は、行列がどんな大きさであろうと実行できます。回の同様な作業を反復して、出てきた正則行列をすべて掛け合わせれば、必ず上三角化ができるわけです。この証明をきちんと書き下すには数学的帰納法を使う必要がありますが、何をすべきかはほとんど明らかになっているので明記はしないでおきます。固有方程式における重複度2を下回ってしまったので、この時点で、対角化は不可能だということがわかります。詳しくは、「固有値と固有ベクトル」、「行列の対角化」等を参照のこと。17:06言語このページに他の言語版はありません。4.0のもとで利用可能です。利用規約デスクトップ。