今まで相加相乗の利用のしかたとして最小値を求める場合しか見せていませんでしたが、最大値を求めることに使うことも多いです。与えられた分数式は常に正なので、逆数が最小値を取る時に元の式が最大になりますよね。逆数をとって次数下げしてみると、相加相乗が使える形になっていることに気づくので、これで解けますね!逆数の最小値を相加相乗で求めて、最大値が求まるケースも多い!以下、解答例です。$x>0$においてこれは常に正の値を取る。よって、逆数が最小になるときにこれは最大になる。問題3解答・解説2変数関数の最大最小問題になっています。多変数関数の最大最小問題は以下のような手順で解くのでした。今回は、分母も分子も2次の同次式(すべての項が2次になっている式のこと)になっているので、同次式であることに注目して、$\frac{x}{y}$の1文字の式に変換することができます。1文字の式になれば、先ほどの問題1や問題2のように相加相乗が使える形になるので、最大値が求まりそうですね。問題2のように逆数の最小値が求まるので、元の数の最大値が求まるパターンですが、逆数を取る記述は面倒なので、上のように$t$で約分して分母に対して相加相乗を適用するとよいでしょう。図形と絡めた最大最小問題です。角度が等しいという条件が与えられていますが、直線の傾きの情報が与えられているとして処理すればよいでしょう。点$\mathrm{D}$の座標を$t$で表せたら、あとは三角形$\mathrm{ACD}$の面積も簡単に$t$で表せますね。ここで相加相乗が使えます。直線$\mathrm{AC}$の傾きは$-\frac{1}{t}$であり、$\angle\mathrm{ACO}=\angle\mathrm{BCD}$であるから、直線$\mathrm{CD}$の傾きは$\frac{1}{t}$である。よって、点$\mathrm{D}$は、直線$y=-x+1$と$y=\frac{1}{t}(x-t)$の交点である。あるから、点$\mathrm{D}$の座標は$\left(\frac{2t}{1+t},\,\frac{1-t}{1+t}\right)$である。よって、三角形$\mathrm{ACD}$の面積は、となる。問題5解答・解説ベクトルを用いた立体の体積の最大最小問題です。(1)では、式を変形して代入したあと、3つのベクトルが1次独立であることに注目することで解けます。(2)では、垂線を扱うことになりますが、平面と垂直であるという条件は、その平面に平行で互いに1次独立な2つのベクトルとの内積が0であるという条件で扱うのでした。(2)から$\overrightarrow{\mathrm{RH}}$の長さが求められるので、三角形$\mathrm{OPQ}$を底面と見て、三角錐の体積が求められます。あとは、(1)の条件下での体積の最小値を求めることになりますが、このときに相加相乗が使えます。(1)を$4\overrightarrow{\mathrm{OG}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}$に代入すると、となる。ここで、$\overrightarrow{\mathrm{OP}},\,\overrightarrow{\mathrm{OQ}},\,\overrightarrow{\mathrm{OR}}$は1次独立であるので、点$\mathrm{G}$が平面$\mathrm{PQR}$上にあるための条件は、したがって、題意成立。$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$は平面$\mathrm{OAB}$の点であるので、実数$s,\,t$を用いて、$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と書ける。$\overrightarrow{\mathrm{RH}}$は平面$\mathrm{OAB}$に対して垂直であるから、$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|=1$、$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\frac{1}{2}$であることより、となるので、題意成立。三角錐$\mathrm{OPQR}$について、三角形$\mathrm{OPQ}$を底面と見れば、高さは$\left|\overrightarrow{\mathrm{RH}}\right|$となる。大小関係から、が成り立つので、(1)と合わせて、が言える。この等号が成立するのは、のときで、これはたしかに$0<p<1,\,0<q<1,\,0<r<1$をみたす。PM相加・相乗平均で最大値を求める問題において求める最大値は逆数の最小値の逆数ではないでしょうか?$X=2$を与式に代入すると答えが異なると思います。AMぎん様コメントありがとうございます。ご指摘の通り、正しくは逆数の最小値の逆数である1/3でした。今後とも弊ブログをよろしくお願いいたします。AM(a+b)/2-√ab≠(√a-√b)^2また、証明時にa>0,b>0も断っておいた方がよい。生徒が真似をするということを念頭に置くべき。PMコメントありがとうございます。ご指摘の通り、$\frac{1}{2}$を書き忘れている箇所がありました。ご指摘ありがとうございます。0$にも言及したほうがよいですね。今後ともよろしくお願いいたします。PM問題5の(3)ですが、RHベクトルの2乗を求める際、間違えてOA・OB=OB・OC=OC・OA=1と計算しているようですが、正しくはOA・OB=OB・OC=OC・OA=1/2なので、結果は17/18になると思います。間違ってたらすみません。PMコメントありがとうございます。2乗する際に2がかけられるところを見落としているのかなと思うのですが、いかがでしょうか?計算は正しいように思います。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。WordPress.。