(x>-2)$を考える。$y=f(x)$で表される曲線を$C$とする。$C$の接線のうち傾きが正で原点を通るものを$l$とする。$logt$は$t$の自然対数である。直線$l$の方程式を求めよ。曲線$C$は下に凸であることを証明せよ。$C$と$l$および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ。次の曲線と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ。曲線$y=\sqrt{x+1}e^{2x}$と$x$軸、$y$軸、および直線$x=1$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を求めよ。y=1+sinθ$と表される曲線$C$がある。次の問いに答えなさい。媒介変数$θ$を消去して$x$と$y$の関係式を求めなさい。θ=\frac{π}{6}$に対応する点における$C$の接線$l$の方程式を求めなさい。曲線$C$と(ii)の接線$l$および$x$軸で囲まれた図形の面積を求めなさい。2024】$xyz$空間内の$xy$平面上にある円$C:x^2+y^2=1$および円板$D:x2+y2≦1$を考える。$D$を底面とし点$P(0,0,1)$を頂点とする円錐を$K$とする。$A(0,-1,0),B(0,1,0)$とする。$xyz$空間内の平面$H:z=x$を考える。$H$は$xz$平面上の直線$z=x$と線分$AB$をともに含む平面である。$K$の側面と$H$の交わりとしてできる曲線を$E$とする。-\frac{π}{2}≦θ≦\frac{π}{2}$を満たす実数$θ$に対し、円$C$上の点$Q(cosθ,sinθ,0)$をとり、線分$PQ$と$E$の共有点を$R$とする。線分$PR$の長さを$r(θ)$とおく。$r(θ)$を$θ$を用いて表せ。(2)円錐$K$の側面のうち、曲線$E$の点$A$から点$R$までを結ぶ部分、線分$PA$,および線分$PR$により囲まれた部分の面積を$S(θ)$とおく。0≦θ<θ+h≦\frac{π}{2}$を満たすとき、次の不等式が成り立つことを示せ。円錐$K$の側面のうち、円$C$の$x≧0$の部分と曲線$E$により囲まれた部分の面積を$T$とおく。tan\frac{θ}{2}=u$とおく置換積分を用いてもよい。曲線$y=x^4+2x^3-3x^2$を$C$とし、$C$上の点$P(1,0)$における接線を$L$とするとき、次の(i),(ii),(iii)に答えよ。接線$L$の方程式を求めよ。曲線$C$と接線$L$の共有点の座標を求めよ。曲線$C$と接線$L$で囲まれた部分の面積を求めよ。2023】$a,p$を実数とする。x$が直線$l:y=ax$と点$P(p,ap)$で接している。このとき、以下の問いに答えなさい。実数$p,a$の値を求めなさい。曲線$C$と直線$x=p,y=0$で囲まれた図形の面積$S$を求めなさい。x)^2$を$x$について微分しなさい。曲線$C$と直線$l,y=0$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに1回転してできる立体の体積$V$を求めなさい。g)(x)$を$C$とする。$e$は自然対数の底で$e=2.71828...$である。g)(x)$を求めよ。座標平面上に曲線$C$の概形を図示せよ。g)(t)$と定める。$F(t)$の増減を調べ、極値およびそのときの$t$の値を求めよ。l:y=\frac{1}{2}$で囲まれる部分の面積$S$を求めよ。0≦x≦π$の表す領域を$D$とし、領域$D$と直線$x=a$の共通部分の線分の長さを$l(a)$とする。$l(a)$が$a=a_0$で最大となるとき、$tana_0$の値を求めよ。(2)領域$D$の面積を求めよ。g(x)=bcosx$とする。\int_{-π}^{π}f(x)g(x)dx$を求めよ。\int_{-π}^{π}\{f(x)+g(x)\}^2dx≧\int_{-π}^{π}\{f(x)\}^2dx$が成り立つことを示せ。x=π,$および$x$軸で囲まれた図形を$x$軸の周りに1回転させてできる回転体の体積を$V$とする。V≧\frac{2}{3}π^2(π^2-6)$が成り立つことを示せ。等号が成立するときの$a,b$を求めよ。f(x)=x^2+\int_{-1}^{2}(xf(t)-t)dt$を満たす関数$f(x)$を求めよ。f(x)=x^2e^{-x}+\int_0^xe^{t-x}f(t)dt$を満たすものとする。$f(0),f'(0)$を求めよ。$f'(x)$を求めよ。$f(x)$を求めよ。線分ACの中点とする。三角形ABDの周および内部をx軸のまわりに1回転させて得られる立体の体積を求めよ。C_2:y=\sqrt{2x-b}$を考える。(1)関数$y=e^{ax}$,と関数$y=\sqrt{2x-b}$の導関数を求めよ。(2)曲線$C_1$と曲線$C_2$が1点$P$を共有し、その点において共通の接線をもつとする。この時,$b$と点$P$の座標を$a$を用いて表せ。(2)において、曲線$C_1$,曲線$C_2$,$x$軸,$y$軸で囲まれる図形の面積を$a$を用いて表せ。\int_0^{\frac{π}{2}}tf(t)dt$を満たす関数$f(x)$を求めよ。Q(t,1,e^t+e^{-t}-e-e^{-1})$を考える。tを$-1≦t≦1$の範囲で動かすとき、線分PQが通過してできる曲面および2平面$y=1,z=0$で囲まれてできる立体の体積を求めよ。関数$f(x)=x^3e^{-x^2}$について、次の問いに答えよ。$e$は自然対数の底とする。\infty}\frac{x^3}{e^{x^2}}=0$を用いてもよい。関数$f(x)$の増減を調べ、極値を求めよ。方程式$e^{x^2}-ax^3=0$の実数解の個数を求めよ。曲線$y=f(x)$と$x$軸および直線$x=2$で囲まれた図形の面積を求めよ。(-π<x<π)$とおく。\frac{dx}{dt}=\frac{2}{1+t^2}$であることを示せ。\int_0^{\frac{π}{2}}\frac{dx}{1+sinx+cosx}$を求めよ。\int_0^{\frac{π}{2}}\frac{1+2cosx}{1+sinx+cosx}dx$が等しいことを示せ。\int_0^{\frac{π}{2}}\frac{1+2sinx}{1+sinx+cosx}dx$を求めよ。\int_0^{\frac{π}{2}}\frac{sinx}{1+sinx+cosx}dx$を求めよ。関数$f(x)=e^{-x}sinx$と$g(x)=e^{-x}cosx$の導関数$f'(x),g'(x)$を求めよ。\int_{kπ}^{(k+1)π}e^{-x}sinxdx$を求めよ。\infty}\int_0^{nπ}e^{-x}|sinx|dx$を求めよ。(x>0)$を考える。$logx$は$x$の自然対数である。関数$f(x)$を微分せよ。曲線$y=f(x)$の変曲点の座標を求めよ。x=2$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ。g(t)=te^t$とし、$f(t)$が極大となる$t$の値を$α$、$f(t)=0$となる$t$の値を$β$とする。(α≦t≦β)$で与える。$α$と$β$の値を求めよ。$α<t<β$の範囲で、$\frac{dy}{dx}$を$t$の関数として表せ。曲線$C$と$x$軸および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ。袋の中にいくつかの赤玉と白玉が入っている。すべての玉に対する赤玉の割合を$p(0≦p≦1)$とする。袋から無作為に玉を一つ取り出して袋に戻す試行を行う。試行を$n$回行うとき、赤玉を$k$回以上取り出す確率を$f(k)$をおく。f(k)=\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}\int_0^px^{k-1}(1-x)^{n-k}dx$を示せ。e^t(1+t)f(t)dt$を満たしている。$f(0)$を求めよ。$logf(x)$の導関数$(logf(x))’$を求めよ。関数$f(x)$を求めよ。方程式$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2}}$を解け。2024】$a$は$a≧1$を満たす定数とする。y≦a$次の問いに答えよ。$D_a$の面積$S_a$を求めよ。\infty}S_a$を求めよ。次の関数の導関数を求めよ。対数は自然対数とする。\frac{1}{2}(x\sqrt{1+x^2}+log|x+\sqrt{1+x^2}|)$(2)次の等式を示せ。$\sqrt{3}>1.73$である。\frac{1}{1+x^2}$を$cost$を用いて表せ。\int_0^{\frac{1}{3}}\frac{1}{1+x^2}dx$を求めよ。\frac{1}{1+x^2}≧1+ax^2$が成り立つような実数$a$の最大値を求めよ。円周率は$3.07$より大きいことを示せ。2023】$n$を$2$以上の自然数とする。$0≦x≦1$の時、次の不等式が成り立つことを示せ。a_n=\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^{k-1}}{k}$とするとき、次の極限値を求めよ。(0≦t≦π)$で表される曲線を$C$とする。\frac{dy}{dt}=0$となる$t$の値を求めよ。$C$の概形を$xy$平面上に描け。$C$の$y≦0$の部分と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ。2023】$a<0,b>0$とする。C:y=\frac{1}{x^2+1}$と$D:y=ax^2+b$がある。いま、$x>0$で$C$と$D$が共有点をもち、その点における2つの曲線の接線が一致しているとする。その共有点の$x$座標を$t$とし、$D$と$x$軸で囲まれた部分の面積を$S$とする。$D$と$x$軸の交点の$x$座標を$±p$とし、$p>0$とする。$S$を$a$と$p$を用いて表せ。$a,b$を$t$を用いて表せ。$S$を$t$を用いて表せ。$t>0$の範囲で$S$が最大となるような$D$の方程式を求めよ。I_n=\frac{1}{n!}\int_0^xt^ne^{-t}dt$とおく。$I_0,I_1$を求めよ。$n=1,2,3,・・・$に対し、$I_n$と$I_{n-1}$の関係式を求めよ。$I_n(n=0,1,2,・・・)$を求めよ。f(x)=log\frac{3x+3}{x^2+3}$について、次の問いに答えよ。$y=f(x)$のグラフの概形をかけ。グラフの凹凸は調べなくてよい。$s$を定数とするとき、次の$x$についての方程式(*)の異なる実数解の個数を調べよ。定積分$\displaystyle\int_0^3\frac{2x^2}{x^2+3}dx$の値を求めよ。(2)の(*)が実数解をもつ$s$に対して、(2)の(*)の実数解のうち最大のものから最小のものを引いた差を$g(s)$とする。(2)の(*)の実数解が一つだけであるときには$g(s)=0$とする。関数$f(x)$の最大値を$α$とおくとき、定積分$\displaystyle\int_0^αg(s)ds$の値を求めよ。2023】$a$を実数の定数、$n$を自然数とし、関数$f(x)$を$f(x)=1-ax^n$と定める。\frac{n+5}{n+2}≦2$を示せ。\int_0^1xf(x)dx≦\frac{2}{3}(\int_0^1f(x)dx)^2$を示せ。(2)の不等式において、等号が成立するときの$a$と$n$の値を求めよ。\frac{1}{4}x^2-2≦y≦0またはx^2+y^2≦4$の表す領域を$D_1$とし、不等式$y>\sqrt{3}xかつx^2+y^2<2$の表す領域を$D_2$とし、不等式$y>-\sqrt{3}xかつx^2+y^2<2$の表す領域を$D_3$とする。$D_2$と$D_3$の和集合を$X$とし、$D_1$から$X$を除いた領域を$Y$とする。このとき、次の問いに答えなさい。(1)領域$D_1$を図示しなさい。(2)領域$D_1$の面積を求めさない。(3)領域$Y$を図示しなさい。(4)領域$Y$の面積を求めなさい。f(x)=\frac{1}{1-x^2}$について、次の問に答えよ。(1)原点から曲線$C:y=f(x)$に引いた2本の接線それぞれの方程式を求めよ。(2)$C$と(1)の2本の接線で囲まれてできる図形$D$の面積を求めよ。(3)$D$を$y$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ。f(x)=\frac{2x^2-x-1}{x^2+2x+2}$とする。(2)導関数$f'(x)$を求めよ。(3)関数$y=f(x)$の最大値と最小値を求めよ。(4)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ。理数個別チャンネル問題文全文(内容文):$\int_{-\frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}(x+tanx)dx=[オ]$であり、$\int_{-\frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}|x+tanx|dx=[カ]$である。関数$f(x)=x,g(x)=2xsinx$について、$f'(0)=1$であり、$g'(0)=[キ]$である。$0≦x≦\frac{π}{6}$において、直線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$とで囲まれた図形の面積は[ク]である。理数個別チャンネル問題文全文(内容文):(1)すべての実数$x$に対して$sin3x=3sinx-4sin^3x$$cos3x=-3cosx+4cos^3x$が成り立つことを、加法定理と2倍角の公式を用いて示せ。(2)実数$θ$を、$\displaystyle\frac{π}{3}<θ<\frac{π}{2}$と$cos3θ=\displaystyle-\frac{11}{16}$を同時に満たすものとする。このとき、$cosθ$を求めよ。(3)(2)の$θ$に対して、定積分$\displaystyle\int_0^θsin^5xdx$を求めよ。理数個別チャンネル問題文全文(内容文):$xy$平面上の曲線$C$を、媒介変数tを用いて次のように定める。\pi)$以下の問いに答えよ。(1)曲線$C$に接する直線のうち$y$軸と平行なものがいくつあるか求めよ。(2)曲線$C$のうち$y≦x$の領域にある部分と直線$y=x$で囲まれた図形の面積を求めよ。理数個別チャンネル問題文全文(内容文):次の問に答えよ。(1)等式$(\tan\theta)’=\dfrac{1}{\cos^2\theta}$を示せ。\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{1}{\cos^2\theta}d\theta$の値を求めよ。(2)等式$\dfrac{\cos\theta}{1+\sin\theta}+\dfrac{\cosθ}{1-\sin\theta}=\dfrac{2}{\cos\theta}$を示せ。\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\dfrac{1}{\cos\theta}d\theta$の値を求めよ。\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\dfrac{1}{\cos^3\theta}d\theta$の値を求めよ。a,b$を定数とする。\displaystyle\int_a^bf(a+b-x)dx$が成り立つことを証明せよ。定積分$\displaystyle\int_1^2\frac{x^2}{x^2+(3-x)^2}dx$を求めよ。\\y=sin2θ\end{aligned}\right.\end{equation}$$(0≦θ≦π/2)$と表す。(1)曲線$C$上の点で、$y$座標の値が最大となる点の座標$(x,y)$を求めなさい。曲線$C$上の点で、$y$座標の値が最小となる点の座標$(x,y)$をすべて求めなさい。(2)曲線$C$と$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めなさい。(3)曲線$C$と$x$軸で囲まれた図形を$x$軸のまわりに1回転してできる回転体の体積$V$を求めなさい。\int_1^{\sqrt{t}}4tx(1-tx^2)e^{-tx^2}logxdx$の値を$t$を用いて表せ。f(x)=\frac{x}{1+x^2}$および座標平面上の原点$O$を通る曲線$C:y=f(x)$について、次の各問に答えよ。(1)$f(x)$の導関数$f'(x)$および第2次導関数$f''(x)$を求めよ。(2)直線$y=ax$が曲線$C$に$O$で接するときの定数$a$の値を求めよ。>0$において、$ax>f(x)$が成り立つことを示せ。(3)関数$f(x)$の増減、極値、曲線$C$の凹凸、変曲点および漸近線を調べて、曲線$C$の概形をかけ。(4)(2)で求めた$a$の値に対し、曲線$C$と直線$y=ax$および直線$x=\sqrt{3}$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ。a)^2)$における曲線$C$の接線$L$の方程式を求めよ。(2)$a>1$のとき、接線$L$と$x$軸の交点の$x$座標が最大となる場合の$a$の値$a_0$を求めよ。(3)$a$の値が(2)の$a_0$に等しいとき、直線$L$の$y≧0$の部分と曲線$C$と$x$軸で囲まれた部分を、$x$軸の周りに1回転させてできる図形の体積を求めよ。g(x)=ax$とおく。$f(x)$の増減を調べ、$y=f(x)$のグラフの概形をかけ。\infty}xe^{-x}=0$は証明なしに用いてよい。$0<a<1$のとき、曲線$y=f(x)$と直線$y=g(x)$で囲まれた2つの部分の面積の和を求めよ。|z|≦6$により定まる領域を$V$とし、2点$(2,0,2),(-2,0,-2)$を通る直線を$l$とする。(1)$|t|≦2\sqrt2$を満たす実数tに対し、点$P_t(\frac{t}{\sqrt{2}},0,\frac{t}{\sqrt{2}})$を通り$l$に重直な平面を$H_t$とする。実数$\theta$に対し、点$(2\cos\theta,\sin\theta,0)$を通り$z$軸に平行な直線を$L_{\theta}$とする。$L_{\theta}$と$H_t$との交点の$z$座標を$t$と$\theta$を用いて表せ。$l$を回転軸に持つ回転体で$V$に含まれるものを考える。このような回転体のうちで体積が最大となるものの体積を求めよ。2\pi)$について、次の問いに答えよ。(1)$f(x)$が最小値をとるときの$x$の値を求めよ。(2)$f(x)=g(x)$をみたす$x$の値を求めよ。(3)曲線$C1:y=f(x),C2:y=g(x)$と$y$軸で囲まれる部分を$x$軸のまわりに1回転してできる立体の体積$V$を求めよ。\dfrac{\pi}{2}$で定められる立体を$K$とする。\dfrac{\pi}{2}$を満たす定数として、立体$K$を$z$軸に垂直な平面$z=t$で切ったときの断面積を$S(t)$とする。必要に応じて場合分けをして、$S(t)$を$t$の式で表せ。(2)立体$K$のうち、2つの平面$z=0$と$z=\dfrac{\pi}{4}$ではさまれた部分の体積$V$を求めよ。立体$K$の体積$W$を求めよ。理数個別チャンネル問題文全文(内容文):$xyz$空間内で4点(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0)を頂点とする正方形の周および内部をKとし、Kをx軸のまわりに1回転させてできる立体をKx,Kをy軸のまわりに1回転させてできる立体をKyとする。KxとKyの共通部分をLとし、KxとKyの少なくともどちらか一方に含まれる点全体からなる立体をMとする。このとき、以下の問いに答えよ。(2)平面$z=t$がKxと共有点をもつような実数tの値の範囲を答えよ。このとき、Kxを平面$z=t$で切った断面積A(t)を求めよ。(3)平面$z=t$がLと共有点をもつような実数tの値の範囲を答えよ。このとき、Lを平面$z=t$で切った断面積B(t)を求めよ。