pを3以上の素数とする。(1)$\cos3\theta$と$\cos4\theta$を$\cos\theta$の式として表せ。(2)$\cos\theta$=$\frac{1}{p}$のとき、θ=$\frac{m}{n}$・$\pi$となるような正の整数m,nが存在するか否かを理由をつけて判定せよ。n\theta$=$T_n$($\cos\theta$)を満たすn次の多項式$T_n(x)$が存在し、その係数はすべて整数であり、最高次の係数が$2^{n-1}$である。これが、すべての自然数nについて成り立つことを数学的帰納法で証明せよ。pを3以上の素数とする。(1)$\cos3\theta$と$\cos4\theta$を$\cos\theta$の式として表せ。(2)$\cos\theta$=$\frac{1}{p}$のとき、θ=$\frac{m}{n}$・$\pi$となるような正の整数m,nが存在するか否かを理由をつけて判定せよ。n\theta$=$T_n$($\cos\theta$)を満たすn次の多項式$T_n(x)$が存在し、その係数はすべて整数であり、最高次の係数が$2^{n-1}$である。これが、すべての自然数nについて成り立つことを数学的帰納法で証明せよ。k,m,nを自然数とする。\\(1)2^kを7で割った余りが4であるとする。このとき、kを3で割った余りは\\2であることを示せ。\\\\(2)4m+5nが3で割り切れるとする。このとき、2^{mn}を7で割った余りは\\4ではないことを示せ。(3)次の2つの命題を証明せよ。\hspace{170pt}\\(\textrm{i})整数nが3の倍数でないならば、n^2を3で割った時の余りは1である。\\(\textrm{ii})3つの整数x,y,zが等式x^2+y^2=z^2を満たすならば、\hspace{53pt}\\xとyの少なくとも一方は3の倍数である。\alpha=\frac{2\pi}{7}とする。\\(1)\cos4\alpha=\cos3\alphaであることを示せ。\\(2)f(x)=8x^3+4x^2-4x-1とするとき、f(\cos\alpha)=0が成り立つことを示せ。\\(3)\cos\alphaは無理数であることを示せ。問題文全文(内容文):A,B,Cの3人が競争をした後、3人に順位を聞いてみると次のように答えました。A「C君が1着だった」、B「僕よりA君が速かった」、C「Bさんは3着だった」この3人のうち、1人だけがうそを言っています。A,B,Cを正しい順番で並べなさい。問題文全文(内容文):A,B,C,Dの4人が算数のテストを受け、得点の高い順に順位をつけました。Aは一番でも4番でもなく、BはDよりも得点が高く、Cは3番でした。4人を得点の高い順に答えなさい。