集合に対して、それよりも大きい濃度を持つ集合が必ず存在します。これをカントールの定理と呼びます。したがって、可算集合や連続体とは異なる無限集合が存在します。\)と等しい濃度を持つ集合を可算集合と呼び、可算集合でない無限集合を非可算集合と呼びました。B\right\vert\end{equation*}という関係が成り立つことを示しました。可算集合は無限集合の中でも最小の濃度を持つ集合です。\right\vert\end{equation*}が成り立つことを確認しました。可算集合や連続体とは異なる無限集合は存在するのでしょうか。言い換えると、連続体とは異なる非可算集合は存在するのでしょうか。この問いへの答えを得るために以下の命題を示します。Theorem)と呼びます。2^{A}\right\vert\end{equation*}という関係が成り立つ。paradox)と呼ばれる問題が生じます。カントールの定理から矛盾を導くこともできます。具体的には、ラッセル集合\(\mathfrak{A}\)が存在するものと仮定した上で、そのベキ集合\(2^{\mathfrak{A}}\)をとります。\mathfrak{A}\)が成り立ちます。\mathfrak{A}\end{equation*}が成り立ちます。(1)\end{equation}が成り立ちます。(2)\end{equation}が成り立ちます。\)がともに成り立つことは矛盾です。paradox)と呼びます。ラッセルのパラドクスについて解説した際に言及したように、このような問題を回避するためには公理主義的アプローチのもとで集合論を構成することになります。A\right)\end{equation*}で表記します。\right\vert\end{equation*}と表現されます。カントールの定理は任意の集合\(A\)に対して成立するため、無限集合に対しても同様の主張が成立します。\right\vert\end{equation*}が成り立ちます。\right\vert\end{equation*}が成り立ちます。\right\vert\end{equation*}が成り立ちます。<\cdots\end{equation*}を導くことができます。\cdots\end{equation*}がいずれも異なる濃度を持つ無限集合であることを意味します。異なる大きさの無限濃度をいくらでも作ることができるということです。したがって、可算濃度や連続体濃度とは異なる無限濃度が存在することが明らかになりました。命題(無限濃度の種類)可算集合や連続体とは異なる無限集合が存在する。カントールの定理は、いくらでも大きい無限濃度が存在することも主張します。\)が存在することを意味するからです。B\right\vert\end{equation*}を満たす無限集合\(B\)が存在する。2^{A}\right\vert\end{equation*}が成り立ちます。同じことを、有限集合\(A\)のベキ集合\(2^{A}\)の要素の個数を具体的に特定した上で証明してください。password?有料のプレミアム会員であれば、質問やコメントの投稿と閲覧、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題とその解答)へのアクセスなどが可能になります。関係なく「学ぶ人」として対等であり、お互いを人格として尊重することが求められます。ユーザーが快適かつ安心して「学ぶ」ことに集中できる環境を整備するため、広告やスパム投稿、他のユーザーを貶めたり威圧する発言、学んでいる内容とは関係のない不毛な議論などはブロックすることになっています。詳細はガイドラインをご覧ください。ワイズのガイドラインとは?誤字脱字、リンク切れ、内容の誤りを発見した場合にはコメントに投稿するのではなく、以下のフォームからご連絡をお願い致します。有料プレミアム会員は質問・コメントの投稿と閲覧、命題の証明の閲覧、演習問題とその解答への閲覧が可能になります。皆さまからよく頂く質問への回答をまとめました。こちらに解決方法が見つからない場合にはお問い合わせください。変更するパスワードをリセットお問い合わせ使い方ワイズについてよくある質問トップページワイズについてよくある質問トップページ。