1生産物モデルにおいて生産者が技術的に選択可能な2つの生産ベクトルが与えられたとき、一方が他方よりも、より少ない投入でより多くを生産できるのであれば、それは効率的であると言えます。ある生産者にとって、経済に存在する商品の中でも\(N\)種類の商品が生産要素であり、それらとは異なる\(1\)種類の商品が生産物である状況、すなわち\(N\)生産要素\(1\)生産物モデルを想定します。_{+}^{N+1}\end{equation*}として表現されます。_{+}^{N+1}\end{equation*}として定式化しましたが、生産集合が複数の生産ベクトルを含む場合、生産者はその中から自身にとって最も望ましいものを選択することになります。どのような指標をもとに生産ベクトルどうしを比較すればよいでしょうか。シンプルな指標は効率性です。少ない投入でより多くを生産できるのであればより望ましいという考え方です。効率性の概念を以下で定式化します。dominate)とか支配する(dominate)などと言います。}>x_{n}\))ことを意味します。\)よりも効率的な生産ベクトルであると言えます。x\right\}\end{equation*}で与えられているものとします。2,1\right)\end{eqnarray*}が成り立ちます。\)を広義支配しています。\)を広義支配しています。\)の間には広義の支配関係は成立していません。efficient)であるとか効率的(efficient)であるなどと言います。Y\)が狭義効率的であるものとします。Y\)を任意に選びます。\)を広義支配しません。}\end{equation*}が成り立つことが保証されます。\)へ移行すると、産出量が減少するか、もしくは何らかの生産要素の投入量が増加してしまいます。ある生産ベクトルが狭義効率的であることとは、そこを出発点に産出量を増やそうとすると何らかの生産要素の投入量が増加してしまうか、何らかの生産要素の投入量を減らそうとすると産出量が減少してしまうことを意味します。}\end{equation*}で表記します。Y\)という関係が成り立ちます。x\right\}\end{equation*}で与えられているものとします(下図)。y=x\right\}\end{equation*}です(演習問題)。x^{\frac{1}{2}}\right\}\end{equation*}で与えられているものとします(下図)。y=x^{\frac{1}{2}}\right\}\end{equation*}です(演習問題)。dominate)と言います。}>x_{n}\))。\)よりも効率的な生産ベクトルであると言えます。x\right\}\end{equation*}で与えられているものとします。4,1\right)\end{eqnarray*}が成り立ちます。\)を狭義支配しています。\)を狭義支配しています。\)の間には狭義の支配関係は成立していません。efficient)であると言います。Y\)が広義効率的であるものとします。Y\)を任意に選びます。\)を狭義支配しません。x_{n}\end{equation*}が成り立つことが保証されます。ある生産ベクトルが広義効率的であることとは、そこを出発点に産出量を増やしたり何らかの生産要素の投入量を減らそうとすると、何らかの生産要素の投入量は減らず(増加することもある)、もしくは産出量は増加しません(減少することもある)。}\end{equation*}で表記します。Y\)という関係が成り立ちます。x\right\}\end{equation*}で与えられているものとします(下図)。y=x\right\}\end{equation*}です(演習問題)。x^{\frac{1}{2}}\right\}\end{equation*}で与えられているものとします(下図)。y=x^{\frac{1}{2}}\right\}\end{equation*}です(演習問題)。狭義効率的な生産ベクトルは広義効率的でもあるため以下を得ます。\)は広義効率的である。}\end{equation*}が成り立つ。}\)は広義効率生産集合である。上の命題の逆は成立するとは限りません。広義効率的な生産ベクトルは狭義効率的であるとは限りません。以下の例より明らかです。5\right\}\end{equation*}で与えられているものとします。5,5\right)\end{equation*}によって広義支配されます。\)は広義効率的である一方、狭義効率的ではありません。}\)は明らかに生産集合\(Y\)の部分集合ですが、これらは生産フロンティア\(Y^{f}\)の部分集合でもあります。効率的な生産ベクトルは生産集合の境界点であるということです。Y^{f}\end{equation*}という関係が成り立つ。}\)は広義効率生産集合であり、\(Y^{f}\)は\(Y\)の境界である。_{+}^{N+1}\)上の閉集合でない場合、\(Y\)の境界点は\(Y\)に含まれるとは限りません。}=\phi\end{equation*}となり、効率的な生産ベクトルが存在しないことになってしまいます。Y\)が成り立つことと必要十分であるため、先の命題より以下を得ます。Y\end{equation*}という関係が成り立つ。}\)は広義効率生産集合であり、\(Y^{f}\)は\(Y\)の境界である。効率的な生産ベクトルは生産集合の境界点であることが明らかになりましたが、逆は成立するとは限りません。生産集合の境界点は効率的であるとは限らないということです。以下の例より明らかです。^{2}\)が下図のグレーの領域として描かれています。境界\(Y^{f}\)が生産フロンティアです。\)は狭義効率的ではありません。}\)をそれぞれ求めてください。}\)をそれぞれ求めてください。有料のプレミアム会員になると、質問やコメントの投稿と閲覧、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題とその解答)へのアクセスなどが可能になります。関係なく「学ぶ人」として対等であり、お互いを人格として尊重することが求められます。ユーザーが快適かつ安心して「学ぶ」ことに集中できる環境を整備するため、広告やスパム投稿、他のユーザーを貶めたり威圧する発言、学んでいる内容とは関係のない不毛な議論などはブロックすることになっています。詳細はガイドラインをご覧ください。コマンドを利用することで美しい数式を入力できます。いう形式でそれぞれ入力してください。/(ax^{2}+bx+c=0/)と入力すると\(ax^{2}+bx+c=0\)と表示され、$$ax^{2}+bx+c=0$$と入力すると$$ax^{2}+bx+c=0$$と表示されます。)などを参照してください。紙に手書きした数式や図をカメラやスマホで撮影した上で、コメント欄に張り付けることもできます。その場合、コメント入力欄にある「ファイルを選択」ボタンをクリックした上で画像をアップロードしてください。ファイルの添付も可能です。誤字脱字、リンク切れ、内容の誤りを発見した場合にはコメントに投稿するのではなく、以下のフォームからご連絡をお願い致します。生産者は様々な制約に直面しているため、商品空間に属するすべての生産計画を選択できるわけではありません。生産者が技術的に選択可能なすべての生産ベクトルからなる集合であるため、生産者の技術は生産集合の形状として表現されます。フロンティア上の生産ベクトルを出発点として、商品iの純産出量を1単位変化させてもなお、変換フロンティア上に留まるために変化させる必要のある商品jの純産出量を、その生産ベクトルにおける商品iの商品jで測った限界変形率と呼びます。生産者は生産集合に属する生産ベクトルを選ぶため、仮に生産集合が空集合であるならば、生産者がどのような選択を行うかという問題を検討する余地がなくなってしまいます。生産集合が閉集合であるという仮定を連続性の仮定と呼びます。変換関数が連続関数である場合には生産集合は連続性を満たします。ゼロベクトルを要素として持つ場合、生産集合は商業停止可能性を満たすと言います。これは、生産者が投入や産出を一切行わないことが可能であることを意味します。生産要素を投入することなく生産物を生産することはできないという仮定をフリーランチ不可能性と呼びます。制約なく生産物や生産要素を処分できるという仮定を無償廃棄可能性と呼びます。私有経済のモデル消費者と生産者と商品が存在する経済において、商品および生産者である企業がいずれも消費者によって保有される状況を私有経済と呼ばれるモデルとして定式化します。生産者理論では生産集合が凸集合であることを仮定することがあります。これは変換関数が準凸関数であることを意味します。私有経済において消費者は効用最大化原理にもとづいて行動し、生産者は利潤最大化原理にもとづいて行動する一方で、それとは別に、社会的に望ましい配分を考えることもできます。パレート効率性という基準のもとで社会的に望ましい配分を定義します。何らかの生産物の純産出量を増やそうとする行為が技術的に不可能であるような局面が必ず到来する場合、生産集合は中立性を満たすと言います。分析対象となる生産者にとって生産要素と生産物を事前に区別できる場合には、1生産物モデルと呼ばれるモデルを利用します。1生産物モデルにおける生産者の技術を生産集合として定式化します。生産関数1生産物モデルにおいて生産者の技術を生産集合と呼ばれる概念を用いて表現しましたが、生産者の技術を生産関数と呼ばれる関数を用いて表現することもできます。法則が成立することの意味を解説します1生産物モデルにおける生産集合の非空性1生産物モデルにおいて生産者は生産集合に属する生産ベクトルを選ぶため、仮に生産集合が空集合であるならば、生産者がどのような選択を行うかという問題を検討する余地がなくなってしまいます。有料プレミアム会員は質問・コメントの投稿と閲覧、命題の証明の閲覧、演習問題とその解答への閲覧が可能になります。皆さまからよく頂く質問への回答をまとめました。こちらに解決方法が見つからない場合にはお問い合わせください。変更するパスワードをリセットお問い合わせ使い方ワイズについてよくある質問トップページワイズについてよくある質問トップページ。