前回と前々回で運動エネルギーと位置エネルギーを勉強しました。今回は、物理基礎の中で1番重要な「力学的エネルギー保存の法則」について解説します。高校物理で一番よく使う式は「力学的エネルギー保存の法則」と言っても過言ではありません。それほど重要な内容なので、しっかり勉強しましょう。5まとめ力学的エネルギーとは力学的エネルギーE[J]運動エネルギー+位置エネルギーのこと。力学的エネルギーとは、運動エネルギーと位置エネルギーの和のことです。記号はenergyのE、単位はもちろん[J]ですね。2つのエネルギーを足しただけなのですが、力学的エネルギーを使うと、曲面上を動く物体や振り子の運動など、直線以外の運動での位置や速さを簡単に求めることができます。力学的エネルギーの使い方を見ていきましょう。物体に保存力のみがはたらくとき、物体のもつ力学的エネルギーは一定となる。$$K+U=一定$$力学的エネルギー保存の法則とは、物体に保存力のみがはたらくとき、物体のもつ力学的エネルギーは一定となるという法則のことです。保存力とは重力や弾性力のことで、要は摩擦や空気抵抗がない運動であれば力学的エネルギーは一定ですよという意味です。仕事の原理というものを覚えていますか?動滑車を使っても、結局必要なエネルギーは変わらないという例を勉強したと思います。ボールを坂の上で転がしたとき、青い坂でも黄色い坂でも、床にたどりついたときの速さは同じです。(たどり着くまでにかかる時間は変わりますが...)どのようなルートで移動しても物体に与えたエネルギーが同じになるような力のことを保存力といいます。上でも説明した通り、摩擦や空気抵抗がなかったり、急に光ったり音を出したり熱を出さなければ、エネルギーは保存します。力学的エネルギーが一定ということなので、公式は\(K+U=一定\)となります。Kは運動エネルギー、Uは位置エネルギーであり、$$K=\frac{1}{2}mv^2\\U=mgh\\U=\frac{1}{2}kx^2$$ということをちゃんと覚えていますか。Uは2つありますが、高さが関係するときがmgh、バネが出てきたときが\(\frac{1}{2}kx^2\)ですよ。イメージでいうと、高いところにある物体の位置エネルギーは大きいですが、運動エネルギーは小さいです。低い位置にある物体の位置エネルギーは小さくなってしまいますが、その代わり運動エネルギーが大きくなります。このとき、位置エネルギーが減った分、運動エネルギーが増加するので、この2つの和である力学的エネルギーは変わらないというのが、力学的エネルギー保存の法則の考え方というわけです。空気抵抗や摩擦がないという前提であり、もし空気抵抗や摩擦があった場合は力学的エネルギーが減ってしまいます。(その代わり、熱などの別のエネルギーになります)力学的エネルギー保存の法則では色々な問題が出題されるので、例題を通して理解を深めていきましょう。例題1物体を初速度14m/sで鉛直上向きに投げ上げた。このとき、物体の最高点高さは何m/sとなるか。重力加速度の大きさを9.8m/s2とする。問題として、$$v=v_o+at\\x=v_ot+\frac{1}{2}at^2$$を使っても解くことができます。このように、物体がまっすぐ動く場合、力学的エネルギー保存の法則使わなくても問題を解くことはできるのですが、敢えて力学的エネルギー保存の法則を使って解くことも可能です。力学的エネルギー保存の法則を使うときは、2つの状態のエネルギーを比べます。今回は、物体を投げたときと、最高点に達したときのエネルギーを比べましょう。物体を投げたときをA、最高点に達したときをBとするとし、Aを重力による位置エネルギーの基準とするとAの力学的エネルギーは$$\frac{1}{2}mv^2+mgh=\frac{1}{2}m×14^2+m×9.8×0$$となります。質量は問題に書いていないので、勝手にmとしています。こちらで勝手にmを使っているので、解答にmを絶対に使ってはいけません。(途中式にmを使うのは大丈夫)また、Aを高さの基準としているので、Aの位置エネルギーは0となります。高さの基準が問題文に明記されていないときは、自分で高さの基準を決めましょう。床を基準とするのが一番簡単です。Bは最高点にいるので、速さは0m/sですよ。覚えていますか?力学的エネルギー保存の法則より、力学的エネルギーの大きさは一定なので、$$\frac{1}{2}m×14^2+m×9.8×0=\frac{1}{2}m×0^2+m×9.8×h\\\frac{1}{2}m×14^2=m×9.8×h\\\frac{1}{2}×14^2=9.8×h\\\frac{1}{2}×14^2=9.8×h\\98=9.8h\\h=10$$∴10mこの問題が、力学的エネルギー保存の法則の一番基本的な問題です。例題2図のように、なめらかな曲面上の点Aから静かに滑り始めた。物体が点Bまで移動したとき、物体の速さは何m/sか。重力加速度の大きさを9.8m/s2とする。運動方程式では解くことができません。物体が直線ではない動きをする場合、力学的エネルギー保存の法則を使うことで物体の速さを求めることができます。力学的エネルギー保存の法則を使うためには、2つの状態を比べなければいけません。今回は、AとBの力学的エネルギーを比べましょう。Bの高さを基準とします。Aは静かに滑り始めたので運動エネルギーは0J、Bは高さの基準の位置にいるので位置エネルギーが0です。力学的エネルギー保存の法則より$$\frac{1}{2}m{v_A}^2+mgh_A=\frac{1}{2}m{v_B}^2+mgh_B\\\frac{1}{2}m×0^2+m×9.8×20=\frac{1}{2}m{v_B}^2+m×9.8×0\\m×9.8×20=\frac{1}{2}m{v_B}^2\\9.8×20=\frac{1}{2}{v_B}^2\\392={v_B}^2\\v_B=±14\sqrt{2}$$∴\(14\sqrt{2}\)m/s力学的エネルギー保存の法則はvが2乗であるため、答えが±となります。速さは速度と違って向きを考えないため、マイナスにはなりません。速度を聞かれた場合は、図から向きを判断しましょう。例題3図のように、長さがLの軽い糸におもりをつけ、物体を糸と鉛直方向になす角が60°の点Aまで持ち上げ、静かに離した。物体は再下点Bを通過した後、糸と鉛直方向になす角がθの点Cも通過した。以下の各問に答えなさい。重力加速度の大きさをgとする。(1)点Bでのおもりの速さを求めなさい。(2)点Cでのおもりの速さを求めなさい。振り子の運動も直線の運動ではないため、力学的エネルギー保存の法則を使って速さを求めしょう。今回も、一番低い位置にあるBの高さを基準とします。問題文にはL、g、θしか記号がないため、答えに使えるのはこの3つの記号だけです。途中式であれば他の記号を使っても大丈夫です。(1)Bを高さの基準とした場合、Aの高さは分かりますか?糸の長さがLなので、点Aまでの長さもLです。AとBの角度が60°なので、図のように直角三角形を作ると、図の赤い矢印で表した長さがLcos60°になります。\frac{1}{2}L=\frac{1}{2}L$$となります。={v_B}^2\\v_B=\sqrt{gL}$$∴\(\sqrt{gL}\)となります。物理の円運動の基本問題にも良く出てくる内容ですね。逆にいうと、物理でも物理基礎の力学的エネルギー保存の法則をよく使うということです。(2)点Cの速さを求めるためには、もちろん力学的エネルギー保存の法則を使うのですが、力学的エネルギーは”保存”しているため、比べる相手はA・Bのどちらでも大丈夫です。問題によって、使いやすい方を選びましょう。(1)を間違ってしまった場合を考えると、AとCで比べるのが無難だと思います。(1)と同様に、Bを高さの基準としてCの高さを考えます。これまた(1)と同様に、図の赤色の直角三角形を考えると、赤い矢印の長さはLcosθとなります。従って、Cの高さはL-Lcosθとなります。gL(2\cosθ-1)}\)となります。実際、θ=60°を代入するとv=0になりますし、θ=0°を入れると(1)の答えになります。例題4図のように、質量2.0kgの物体がなめらかな曲面上の点Aから静かに滑り始めた。物体が水平面におかれたバネ定数100N/mのバネを押し縮めるとき、バネは最大で何m縮むか。重力加速度の大きさを9.8m/s2とする。例題2のバネver.です。バネが出てきたときは、弾性力による位置エネルギー$$\frac{1}{2}kx^2$$を使うと考えましょう。いつものように、一番低い位置のBを高さの基準とします。例題2のように、物体は曲面上を滑ることによって、重力による位置エネルギーが運動エネルギーに変わります。その後、物体がバネを押すことによって、運動エネルギーが弾性力による位置エネルギーに変化します。摩擦力がはたらく場合、物体のもつ力学的エネルギーは減少する。$$μN×L$$摩擦力がはたらく場合、物体の持つ力学的エネルギーは減少します。摩擦のせいで力学的エネルギーは保存しなくなってしまうのですが、物体が失ったエネルギーと摩擦力が奪ったエネルギーの大きさは同じなので、広く全体でみるとエネルギーは保存していると考えることができます。摩擦力が奪ったエネルギーは摩擦熱として放出されます。このとき、仕事の公式は\(W=Fs\)摩擦力の公式は\(F=μN\)なので、2つを合わせることにより、摩擦力が奪うエネルギーは$$μN×L$$となります。摩擦がエネルギーを奪う場合、この式を使うことで問題を解くことになるでしょう。例題5図のように、物体がなめらかな曲面上の点Aから静かに滑り始めた。物体があらい水平面に到達した後、あらい水平面BC上で物体は停止した。点Bから止まった位置までの距離は何mか。物体とあらい水平面との間の動摩擦力をμとする。解答いつも通り、水平面BCを高さの基準とします。物体の持っていた力学的エネルギーが全て摩擦力に奪われた(摩擦熱になった)と考えます。$$mgh+\frac{1}{2}mv^2=μNl$$と、立式します。静かに滑り始めているので、初速度は0であり、$$mgh=μNl$$となります。ここで、水平面上を滑っている物体にはたらく動摩擦力は\(F=μN\)より$$F=μmg$$となります。これを代入すると、$$mgh=μNl\\mgh=μmgl\\h=μl\\l=\frac{h}{μ}$$∴\(\frac{h}{μ}\)となります。まとめ今回は力学的エネルギー保存の法則について、問題の解き方を中心に学びました。物体がまっすぐではない運動をしているとき、力学的エネルギー保存の法則を使うと疑いましょう。ポイントは、2つの状態の力学的エネルギーを比べることです。摩擦がある場合でも力学的エネルギーを使うときがあります。そのときは、力学的エネルギーの減少した量=摩擦に奪われたエネルギーと考えましょう。力学的エネルギー保存は、物理全体を通して使っていく考え方・公式であるため、何度も読み直して復習することをオススメします。今後、力学的エネルギー保存の法則が登場する度に、今回の内容を覚えているかどうか聞くことになるでしょう。長くなりましたが、今回の解説はこれで終わります。閉じる%d人のブロガーが「いいね」をつけました。