計算さまざまな確率分布の内、連続的な確率分布についてその定義や要約統計量の計算方法を述べます。ガンマ分布、カイ二乗分布、ワイブル分布です。laid-back-scientist.com2022.03.26ここでは、統計学の基盤をなす「大数の法則」について勉強します。統計学で実際に使用されているのは次回に学習する「中心極限定理」ですが、大数の法則はそれを理解する第一歩になる法則であり、イメージも沸きやすいものとなっています。大数の法則の具体的な応用例である、「モンテカルロ法」についても述べ、pythonによる実装もおこないます。Colabで試すことができます。具体例を通して、大数の法則を理解してみましょう。回投げて、出目の平均値を都度計算していくことを考えます。いう理論値となります。回投げただけでは、その出目の平均値は理論値からズレているかもしれません。近づくことが期待できます。回投げるまでの出目の平均値の推移を確認してみましょう。ソースコードを書く前に、平均値の推移を効率的に計算する方法を考えます。平均値の推移を計算するためには、シンプルに考えると、得られたサイコロの出目をすべてリストに保存しておき、その都度平均値を計算する方法が思いつきます。すると、それは次のように計算できます。膨大となった場合、全ての値をリストで保持しておくことは、メモリ容量の観点で問題になる可能性があります。もちいて、次のように平均値の計算を変形します。考慮した平均値を再計算することができます。保持しておく必要がない点がポイントです。pythonでの実装は次の通りです。近づいていることがわかります。大数の法則とは「標本平均は真の平均に近い値になる」ということを述べています。この大数の法則を定量的に表したのが次のチェビシェフの不等式です。対し、次の不等式を満たす。\f{\sigma^2}{\varepsilon^2}\end{align*}チェビシェフの不等式は次のように証明できます。チェビシェフの不等式の証明チェビシェフの不等式の証明をおこなうために、「マルコフの不等式」を用いる。\f{E[X]}{c}\end{align*}が成り立つものである。これは次のように示すことができる。\f{\sigma^2}{\varepsilon^2}\end{align*}となりチェビシェフの不等式が示される。チェビシェフの不等式で使っているのは、期待値を分散が存在するということだけで、確率分布に関する性質は使っていません。元の確率分布が、期待値と分散が存在しさえすれば、どんなものでも成り立つ極めて一般的な不等式です。チェビシェフの不等式を用いることで大数の法則の理論的な証明を行えます。このとき、次式が成り立つ。X_i\end{align*}とおく。\f{\sigma^2}{n}\end{align*}が成り立つ。\f{\sigma^2}{n\varepsilon^2}\end{align*}となる。収束するから、大数の法則が示される。漸近することを意味しています。モンテカルロ法モンテカルロ法は、乱数を用いたシミュレーション、数値計算の総称を指します。大数の法則の具体的な応用例として、そんなモンテカルロ法による円周率の近似計算があります。1$」の正方形の内部にランダムに点を打ちます。範囲で一様乱数を生成します。近い値になると予想できます。それでは、実際にこのモンテカルロ法の実験をpythonでおこなってみます。個発生させ、単位円内部のデータ点を赤くプロットしています。3.1668▲モンテカルロ法による円周率の近似値計算の様子。単位円内部のデータ点を赤色で、外部のデータを灰色でプロットしている。証明とpythonを用いた実装この記事では、大数の法則の精密化である中心極限定理について解説します。中心極限定理の概要とその証明を述べ、その後実際にそれが成立する様子をpythonを用いて確かめます。計算さまざまな確率分布の内、離散的な確率分布についてその定義や要約統計量の計算方法について述べます。計算さまざまな確率分布の内、連続的な確率分布についてその定義や要約統計量の計算方法を述べます。求め方とpythonによる実装この記事では区間推定の仕方と、t分布による信頼区間の計算方法と、なぜt分布がでてくるのか、理由を述べます。母平均の最尤推定量である標本平均は一般には誤差を含み、母平均に一致しません。不偏推定量サンプルから元となる確率分布のパラメータ(母平均や母分散など)を推定することを、「点推定」といいます。この記事では、点推定の基本的な考え方である「最尤推定」について説明し、pythonを用いて実際の分布への当てはめをおこないます。不偏推定の考え方と不偏分散の導出もおこないます。確率・統計学スピアマンの順位相関係数の導出とpythonを使った計算例データ間の関係性を要約する方法として、相関係数がよく用いられます。相関係数には種類があり、データの順位しかわかっていない場合のような場合に用いられるものとして順位相関係数とよばれるものがあります。g(X)と変換したとき、変換後の確率密度関数の形を導くことを考えましょう。確率変数について今回は事象、確率や確率変数について述べます。正規分布を一般に多次元に拡張したものを多次元正規分布(多変量正規分布)と呼びます。証明とpythonを用いた実装ホーム確率・統計学プロフィールjo勉強したことをゆっくりと書いていきます。ホーム検索トップサイドバータイトルとURLをコピーしました。