y}\not=0\end{equation*}を満たすものとする。\)の中に、以下のすべての条件を満たすものが常に1つだけ存在することが保証される。x,y\right)=0\)の陰関数である。=0\end{equation*}が成り立つ。\end{equation*}を満たす。y}}\end{equation*}を定める。=x^{2}+y^{2}-1\end{equation*}を定めるものとします。=0\)すなわち、\begin{equation*}x^{2}+y^{2}-1=0\end{equation*}を定義します。この方程式については、陰関数を具体的に特定できるため、それを微分した結果と、陰関数定理の主張が整合的であることを以下で確認します。\)はこの方程式の解です(確認してください)。=0\)が定める陰関数の1つです(確認してください)。\\&=&\frac{\sqrt{2}}{2}\end{eqnarray*}が成り立ちます。^{-\frac{1}{2}}\end{eqnarray*}となります。\\&=&-1\end{eqnarray*}です。続いて、同じ方程式に対して陰関数定理を適用します。\)を中心とする近傍上で\(C^{1}\)級です。\\&\not=&0\end{eqnarray*}が成り立つため、陰関数定理が要求する条件が満たされます。}\end{eqnarray*}を定めます。\\&=&-1\end{eqnarray*}となりますが、これは先の結果と整合的です。y\right)\end{equation*}を定めるものとします。=0\end{equation*}を定義します。\)を具体的に特定できません。陰関数定理は適用可能でしょうか。\\&\not=&0\end{eqnarray*}が成り立つため、陰関数定理が要求する条件が満たされます。}\end{eqnarray*}を定めます。\\&=&0\end{eqnarray*}となります。\)が存在するための十分条件を与えています。\)が一意的に存在することが保証されます。加えて、この陰関数は点\(\overline{x}\)の近傍において微分可能であることが保証されます。\)が存在することを保証できません。以下の例より明らかです。=x^{2}+y^{2}-1\end{equation*}を定めるものとします。=0\)すなわち、\begin{equation*}x^{2}+y^{2}-1=0\end{equation*}を定義します。=0\)の解です(確認してください)。\)の近傍において\(C^{1}\)級です。\)において陰関数定理が要求する条件は満たされません。\)が存在することを保証できません。\)を満たす\(y\)は一意的に定まりません。\)が存在しないことが明らかになりました。\)が存在するための十分条件を与えており、それは必要十分条件ではありません。したがって、陰関数定理が要求する条件が満たされない場合に陰関数が存在する状況は起こり得ます。\)が存在する状況は起こり得るということです。以下の例より明らかです。-1\end{equation*}を定めるものとします。-1=0\end{equation*}を定義します。=0\)の解です(確認してください)。\)において陰関数定理が要求する条件は満たされません。したがって、陰関数定理から陰関数の存在を保証することはできません。これは点\(1\)の近傍に陰関数が存在しないことを意味しません。=0\)を\(y\)について解くことができます。^{\frac{1}{2}}\end{equation*}を得ます。=0\)の陰関数になります。活用事例をいくつか紹介します。\)の微分の関係に関する命題を再掲します。=0\)の解であるものとする。\)が成り立つものとする。x-\overline{y}\end{equation*}が成り立つ。=0\)の近似解である。\)だけであり、陰関数\(f\)の具体的な形状に関する情報は要求されていません。\)を特定できるということです。続いて、方程式のグラフの接線の方程式に関する命題を再掲します。