順列の置換は全単射と同一視できるため、複数の置換の合成写像を定義できます。これを置換の積と呼びます。置換の積の符号は、置換の符号どうしの積と一致します。S_{n}\)を任意に選びます。\right)\end{equation*}を定めます。\)は全単射であり、したがって置換です。S_{n}\)であることが保証されます。}\)の積(product)や合成(composition)などと呼びます。}\sigma\end{equation*}とします。}\end{equation*}を先と同じ要領で定義することもできます。}\)は一致するとは限りません。\right)\end{pmatrix}\end{equation*}となります。2\end{pmatrix}\end{equation*}で与えられているものとします。&=&2\end{eqnarray*}が成り立ちます。2\end{pmatrix}\end{equation*}となります。1\end{pmatrix}\end{equation*}となります。}\end{equation*}が成立しています。S_{n}\)をとります。\right)\end{equation*}という関係が成り立つことが保証されます。2つの置換の積の符号は、それぞれの置換の符号の積に等しいということです。以下の補題を示します。S_{n}\)を任意に選ぶ。\left(n\right)\end{pmatrix}\end{equation*}である。x_{n}\right)\end{equation*}という関係が成り立つ。補題を踏まえた上で、以下の命題を示します。S_{n}\)をとる。\right)\end{equation*}という関係が成り立つ。2\end{pmatrix}\end{equation*}で与えられているものとします。1\end{pmatrix}\end{equation*}となります。&=&-1\end{eqnarray*}となります。=-1\end{eqnarray*}という関係が成立していますが、これは先の命題の主張と整合的です。3\end{pmatrix}\end{eqnarray*}を満たすものとします。S_{3}\)をそれぞれ求めた上で、その符号を求めてください。S_{n}\)をとります。このとき、以下が成り立つことを示してください。\)もまた偶置換である。