1変数の凸関数や凹関数の内点における劣勾配と呼ばれる概念を定義するとともに、その関数が内点において微分可能である場合、そこでの劣勾配と微分係数は概念として一致することを示します。\)が凸関数であるものとします。\right\}\end{equation*}と定義されます。f\right)\end{equation*}が明らかに成り立ちます。\)の内部と外部の双方と交わるからです。\)が存在することが保証されます(上図)。\)は非ゼロベクトルであるため、少なくとも一方の成分が非ゼロです。>0\)であることを示します。<0\)が成り立つものと仮定します。\)へ発散するため矛盾です。0\)であることが明らかになりました。(2)\end{equation}を得ます。(3)\end{equation}を得ます。I\)のとりかたによって\(x-x_{0}\)は正と負のどちらにもなり得ます。=0\)である必要があります。\)が非ゼロベクトルであることと矛盾です。>0\)であることが示されました。x-x_{0}\right)\end{equation*}を得ます。c\left(x-x_{0}\right)\end{equation*}と表現できます。結論を整理しましょう。\)の存在が保証されます。そこで、この定数\(c\)を凸関数\(f\)の内点\(x_{0}\)における劣勾配(subgradient)と呼びます。先の議論より、凸関数\(f\)の内点\(x_{0}\)を選んだとき、その劣勾配は必ず存在します。その一方で、後に例示するように、劣勾配は一意的に定まるとは限りません。\right\}\end{equation*}で表記し、これを凸関数\(f\)の内点\(x_{0}\)における劣微分(subdifferential)と呼びます。x\right\vert\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は凸関数です。\)を任意に選びます。\)は開集合であるため\(x_{0}\)は内点でもあります。\)に属する任意の実数であり、\(x_{0}<0\)を満たす内点\(x_{0}\)における\(f\)の劣勾配は\(-1\)です(演習問題)。x_{0}<0\right)\end{array}\right.\end{equation*}となります。\)が凹関数であるものとします。\)の存在が保証されます。-c\left(x-x_{0}\right)\end{equation*}を得ます。定数\(c\)が存在する場合には定数\(-c\)もまた存在します。結論を整理しましょう。\)の存在が保証されます。そこで、この定数\(c\)を凹関数\(f\)の内点\(x_{0}\)における劣勾配と呼びます。先の議論より、凹関数\(f\)の内点\(x_{0}\)を選んだとき、その劣勾配は必ず存在します。その一方で、後に例示するように、劣勾配は一意的に定まるとは限りません。\right\}\end{equation*}で表記し、これを凹関数\(f\)の内点\(x_{0}\)における劣微分と呼びます。x\right\vert\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は凹関数です。\)を任意に選びます。\)は開集合であるため\(x_{0}\)は内点でもあります。\)に属する任意の実数であり、\(x_{0}<0\)を満たす内点\(x_{0}\)における\(f\)の劣勾配は\(1\)です(演習問題)。x_{0}<0\right)\end{array}\right.\end{equation*}となります。先の例が示唆するように、凸関数や凹関数が定義域の内点において微分可能ではない場合にも、そこでの劣勾配は存在します。凸関数が内点において微分可能である場合、その内点における劣勾配は微分係数と一致するとともに、他に劣勾配が存在しないことが保証されます。凸関数が微分可能な内点については、微分係数と劣微分が実質的に一致するということです。I^{i}\)を任意に選ぶ。x_{0}\right)\right\}\end{equation*}という関係が成り立つ。\)はそこでの唯一の劣勾配である。ついても同様の議論が成立します。凹関数が内点において微分可能である場合、その内点における劣勾配は微分係数と一致するとともに、他に劣勾配が存在しないことが保証されます。凹関数が微分可能な内点については、微分係数と劣微分が実質的に一致するということです。I^{i}\)を任意に選ぶ。x_{0}\right)\right\}\end{equation*}という関係が成り立つ。\)はそこでの唯一の劣勾配である。x\right\vert\end{equation*}を定めるものとします。\)のそれぞれの内点における\(f\)の劣微分を求めてください。=x^{2}\end{equation*}を定めるものとします。\)のそれぞれの内点における\(f\)の劣微分を求めてください。\)が凸関数または凹関数であるものとします。\)は凸集合であることを示してください。\)が凸関数または凹関数であるものとします。\)は閉集合であることを示してください。有料のプレミアム会員になると、質問やコメントの投稿と閲覧、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題とその解答)へのアクセスなどが可能になります。関係なく「学ぶ人」として対等であり、お互いを人格として尊重することが求められます。ユーザーが快適かつ安心して「学ぶ」ことに集中できる環境を整備するため、広告やスパム投稿、他のユーザーを貶めたり威圧する発言、学んでいる内容とは関係のない不毛な議論などはブロックすることになっています。詳細はガイドラインをご覧ください。コマンドを利用することで美しい数式を入力できます。いう形式でそれぞれ入力してください。/(ax^{2}+bx+c=0/)と入力すると\(ax^{2}+bx+c=0\)と表示され、$$ax^{2}+bx+c=0$$と入力すると$$ax^{2}+bx+c=0$$と表示されます。)などを参照してください。紙に手書きした数式や図をカメラやスマホで撮影した上で、コメント欄に張り付けることもできます。その場合、コメント入力欄にある「ファイルを選択」ボタンをクリックした上で画像をアップロードしてください。ファイルの添付も可能です。誤字脱字、リンク切れ、内容の誤りを発見した場合にはコメントに投稿するのではなく、以下のフォームからご連絡をお願い致します。区間であるとともに、そのグラフが直線もしくは谷型の曲線になるような関数を凸関数と呼び、グラフが直線もしくは山型の曲線になるような関数を凹関数と呼びます。微分可能な関数が凸関数であることは、導関数が単調増加関数であることと必要十分です。微分可能な関数が凹関数であることは、導関数が単調減少関数であることと必要十分です。エピグラフ・ハイポグラフを用いた1変数の凸関数・凹関数の判定1変数関数が凸関数であることとその関数のエピグラフが凸集合であることは必要十分であり、1変数関数が凹関数であることとその関数のハイポグラフが凸集合であることは必要十分です。区間であるとともに、そのグラフが谷型の曲線になるような関数を狭義凸関数と呼び、グラフが山型の曲線になるような関数を狭義凹関数と呼びます。微分可能な関数が狭義凸関数であることは、導関数が狭義単調増加関数であることと必要十分です。微分可能な関数が狭義凹関数であることは、導関数が狭義単調減少関数であることと必要十分です。判定1変数関数が狭義凸であることとそのエピグラフが狭義凸集合であることは必要十分であり、狭義凹であることとそのハイポグラフが狭義凸集合であることは必要十分です。ユークリッド空間上の凸集合であるとともに、そのグラフが平面もしくは下に凸であるような関数を凸関数と呼びます。グラフが平面もしくは上に凸であるよう関数を凹関数と呼びます。偏微分可能な多変数関数が凸関数や凹関数であることを判定する方法について解説します。多変数関数が凸関数であることとその関数のエピグラフが凸集合であることは必要十分であり、多変数関数が凹関数であることとその関数のハイポグラフが凸集合であることは必要十分です。ユークリッド空間上の凸集合であるとともに、そのグラフが下に凸であるような関数を狭義凸関数と呼びます。グラフが上に凸であるよう関数を狭義凹関数と呼びます。偏微分可能な多変数関数が狭義凸関数や狭義凹関数であることを判定する方法について解説します。凸関数の正の定数倍として定義される関数は凸関数であり、凹関数の正の定数倍として定義される関数は凹関数です。凸関数どうしの和として定義される関数は凸関数であり、凹関数どうしの和として定義される関数は凹関数です。凸関数どうしの合成関数が凸関数になるための条件、凹関数どうしの合成関数が凹関数になるための条件、凸関数と凹関数の合成関数が凸関数ないし凹関数になるための条件などを明らかにします。凸関数や凹関数の逆関数が存在する場合、その逆関数もまた凸関数や凹関数になるための条件を明らかにします。複数の凸集合から定義される最大値関数は凸関数であり、複数の凹関数から定義される最小値関数は凹関数です。絶対的リスク回避度の値を通じてリスク回避の度合いを比較できます。1次関数(アフィン関数)は凸関数かつ凹関数1変数ないし多変数の1次関数(アフィン関数)は凸関数かつ凹関数です。有料プレミアム会員は質問・コメントの投稿と閲覧、命題の証明の閲覧、演習問題とその解答への閲覧が可能になります。皆さまからよく頂く質問への回答をまとめました。こちらに解決方法が見つからない場合にはお問い合わせください。変更するパスワードをリセットお問い合わせ使い方ワイズについてよくある質問トップページワイズについてよくある質問トップページ。