順序集合2つの集合の間に全単射が存在する場合には、それらの集合の濃度は等しいと言います。a\right)\end{eqnarray*}がともに成り立つこととして定義されます。B\right\vert\end{equation*}で表記します。B\text{が存在する}\end{equation*}という関係を満たすものとして集合の濃度の相等関係\(=\)は定義されるということです。集合\(A,B\)が与えられたとき、\(A\)から\(B\)への全単射が存在する場合、それは1つだけであるとは限りません。\)が成り立つものとみなします。\)が成り立つものとみなすということです。b_{1},b_{2},b_{3}\right\}\end{eqnarray*}で与えられているものとします。&=&b_{3}\end{eqnarray*}を満たすものとして定義する場合、この写像\(f\)は全単射です。A\)が存在するため\(f\)は全射です。B\right\vert\end{equation*}が成り立ちます。\right\}\end{equation*}が与えられているものとします。=2n\end{equation*}を定めるものとします。この\(f\)は全単射です。f\text{の定義}\end{eqnarray*}となるため\(f\)は単射です。&E\end{eqnarray*}となるため\(f\)は全射です。E\right\vert\end{equation*}であることが示されました。B\right\vert\end{equation*}で表記します。B\text{が存在しない}\end{equation*}という関係を満たすものとして集合の濃度の非相等関係\(\not=\)は定義されるということです。b_{1},b_{2}\right\}\end{eqnarray*}で与えられているものとします。B\end{equation*}を満たす\(A\)の異なる要素\(a_{i},a_{j}\)が存在するため\(f\)は単射ではなく、したがって全単射でもありません。B\right\vert\end{equation*}であることが示されました。集合\(A,B\)が与えられたとき、\(A\)から\(B\)への単射と、\(B\)から\(A\)への単射がともに存在する場合、\(A\)から\(B\)への全単射が存在することが保証されます(シュレーダー=ベルンシュタインの定理)。以上の事実を踏まえると、濃度の相等関係に関する以下の命題を得ます。B\right\vert\end{equation*}が成り立つ。証明プレミアム会員専用コンテンツです【ログイン】【会員登録】つまり、\(A\)から\(B\)への全単射を具体的に構成できない場合でも、\(A\)から\(B\)への単射と\(B\)から\(A\)への単射をそれぞれ構成できるのであれば、\(A\)と\(B\)の濃度が等しいことを保証できるということです。集合\(A,B\)が与えられたとき、\(A\)から\(B\)への全射と、\(B\)から\(A\)への全射がともに存在する場合、選択公理を認めるのであれば、\(A\)から\(B\)への全単射が存在することが保証されます。以上の事実を踏まえると、濃度の相等関係に関する以下の命題を得ます。B\right\vert\end{equation*}が成り立つ。選択公理を認めるものとする。証明プレミアム会員専用コンテンツです【ログイン】【会員登録】つまり、\(A\)から\(B\)への全単射を具体的に構成できない場合でも、\(A\)から\(B\)への全射と\(B\)から\(A\)への全射をそれぞれ構成できるのであれば、\(A\)と\(B\)の濃度が等しいことを保証できるということです。先の命題とは異なり、こちらの命題では選択公理が要求されている点に注意してください。集合\(A,B\)が与えられたとき、\(A\)から\(B\)への単射と、同じく\(A\)から\(B\)への全射がともに存在する場合、選択公理を認めるのであれば、\(A\)から\(B\)への全単射が存在することが保証されます。以上の事実を踏まえると、濃度の相等関係に関する以下の命題を得ます。B\right\vert\end{equation*}が成り立つ。選択公理を認めるものとする。証明プレミアム会員専用コンテンツです【ログイン】【会員登録】この命題のポイントは、存在が保証されている\(A\)から\(B\)への単射と全射は異なる写像でもよいという点です(それらが同じ写像であるならば、その写像そのものが全単射であることは明らかです)。\(A\)から\(B\)への全単射を具体的に構成できない場合でも、\(A\)から\(B\)への単射と全射をそれぞれ構成できるのであれば、\(A\)と\(B\)の濃度が等しいことを保証できるということです。この命題でも選択公理が要求されています。集合\(A,B\)が与えられたとき、\(A\)から\(B\)の部分集合への全単射と、\(B\)から\(A\)の部分集合への全単射がともに存在する場合、\(A\)から\(B\)への全単射が存在することが保証されます。以上の事実を踏まえると、濃度の相等関係に関する以下の命題を得ます。B\right\vert\end{equation*}が成り立つ。証明プレミアム会員専用コンテンツです【ログイン】【会員登録】この命題では選択公理が要求されてないことに注意してください。全体集合\(U\)を任意に選んだ上で、その部分集合どうしの濃度が等しいか判定する状況を想定します。2^{U}\end{equation*}を定義します。\(2^{U}\)は\(U\)のべき集合、すなわち\(U\)のすべての部分集合を要素として持つ集合族です。R\)が成り立つものとして\(2^{U}\)上の二項関係\(R\)を定義するということです。この二項関係\(R\)を濃度の相等関係\(=\)と同一視することにより、濃度の相等関係\(=\)を\(2^{U}\)上の二項関係とみなすことができます。濃度の相等関係\(=\)はどのような性質を満たす二項関係でしょうか。集合\(U\)のべき集合\(2^{U}\)上に定義された濃度の相等関係\(=\)は\(2^{U}\)上の同値関係です。\end{eqnarray*}を満たします。\)は、任意の集合\(A\)の濃度は自身\(A\)の濃度と一致することを意味します。\(A\)から\(A\)自身への全単射が必ず存在するということです。\)は、集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\(A\)と\(B\)の濃度が等しい場合には、\(B\)と\(A\)の濃度も等しいことが保証されることを意味します。\(A\)から\(B\)への全単射が存在する場合には、\(B\)から\(A\)への全単射が存在することも保証されるということです。\)は、集合\(A,B,C\)を任意に選んだとき、\(A\)と\(B\)の濃度が等しく、\(B\)と\(C\)の濃度が等しい場合には、\(A\)と\(C\)の濃度が一致することが保証されることを意味します。\(A\)から\(B\)への全単射と\(B\)から\(C\)への全単射がともに存在する場合には、\(A\)から\(C\)への全単射が存在することが保証されるということです。命題(濃度の相等関係は同値関係)集合\(U\)のべき集合\(2^{U}\)上に定義された濃度の相等関係\(=\)は\(2^{U}\)上の同値関係である。\right\}\end{equation*}が得られます。これは集合\(A\)と等しい濃度を持つ集合を要素とする集合族です。2^{U}\right\}\end{equation*}と定義されますが、商集合の性質より、これは\(2^{U}\)の分割です。「等しい濃度を持つ」という基準から\(U\)の部分集合を複数のグループに分類したとき、それぞれの部分集合は何らかのグループに属するとともに、異なる複数のグループに属する部分集合が存在しないことが保証されます。0\right\}\end{eqnarray*}と定義されています。\)はすべての整数からなる集合です。B\right\vert\end{equation*}が成り立つことを証明してください。\right\vert\end{equation*}という関係が成り立つことを証明してください。_{++}\right\vert\end{equation*}が成り立つことを証明してください。password?有料のプレミアム会員であれば、質問やコメントの投稿と閲覧、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題とその解答)へのアクセスなどが可能になります。関係なく「学ぶ人」として対等であり、お互いを人格として尊重することが求められます。ユーザーが快適かつ安心して「学ぶ」ことに集中できる環境を整備するため、広告やスパム投稿、他のユーザーを貶めたり威圧する発言、学んでいる内容とは関係のない不毛な議論などはブロックすることになっています。詳細はガイドラインをご覧ください。ワイズのガイドラインとは?誤字脱字、リンク切れ、内容の誤りを発見した場合にはコメントに投稿するのではなく、以下のフォームからご連絡をお願い致します。有料プレミアム会員は質問・コメントの投稿と閲覧、命題の証明の閲覧、演習問題とその解答への閲覧が可能になります。皆さまからよく頂く質問への回答をまとめました。こちらに解決方法が見つからない場合にはお問い合わせください。変更するパスワードをリセットお問い合わせ使い方ワイズについてよくある質問トップページワイズについてよくある質問トップページ。