English目次はじめになぜ多項式で表現できるのか?係数の値を求めるはじめにテイラー展開の素晴らしさは、関数を多項式で表現できることにあると思います。学んだ時は、なぜ、ある関数\(f(x)\)が多項式として表現できるのか不思議でなりませんでした。今回はその理由をゆるーく理解したいと思います。テイラー展開は下記のように表現されます。(x-a)^k\end{eqnarray*}と表され、これを「\(a\)まわりでのテイラー展開」とよぶ。a^k\end{eqnarray*}と表現される場合もあります。ここでは、最初の表式を導いてみましょう。多項式で表現できるのか?図1関数\(f(x)\)が上の図のような形をとるとしましょう。\)を通る直線を考えます(図1の青い直線)。f(a)}{h}\tag{1}\end{eqnarray}となります。h\)の間のどこかに存在します(平均値の定理)。f(a)}{h}\end{eqnarray*}が成り立ちます。\tag{2}\end{eqnarray}となります。\)を何とかしたいです。そこで次は関数\(f^{\prime}(x)\)のグラフを考えましょう。下の図のような形をとるとします。\)を通る直線を考えます(図2の青い直線)。h}\tag{3}\end{eqnarray*}となります。h\)の間のどこかに存在します。h}\end{eqnarray*}が成り立ちます。h\end{eqnarray*}となります。h^2\end{eqnarray*}となります。このような操作を何度も繰り返すと、関数\(f\)が\(h\)の多項式として表現できそうです。\cdots\end{eqnarray*}となります。\tag{☆}\end{eqnarray*}と変形できました。係数\(c_i\)の値は何でしょう??係数の値を求める係数\(c_i\)の値を求めるために、式(☆)を\(x\)で1階微分してみます。\cdots\end{eqnarray*}となります。1\end{eqnarray*}と\(c_1\)が求まりました。\cdots\end{eqnarray*}となります。\cdots\end{eqnarray*}となります。\frac{1}{n!}\end{eqnarray*}と求めることができます。\cdots\end{eqnarray*}となり、テイラー展開の表式を導くことができました。マクローリン展開を計算します。最後にオイラーの公式を導出します。簡単な証明1変数のテイラー展開を拡張して、多変数関数のテイラー展開を導きます。2変数関数のテイラー展開について述べます。おけるラグランジュの未定乗数法(KKT条件)制約条件が不等式である際の、ラグランジュの未定乗数を用いた解の求め方を解説します。おけるラグランジュの未定乗数法の解説この記事では、数理最適化問題を解く際の強力な手法である「ラグランジュの未定乗数法」について解説します。マクローリン展開を計算します。最後にオイラーの公式を導出します。理論を勉強すると「スカラーをベクトルで微分」する操作をよく目にします。この記事では「スカラーをベクトルで微分」の公式を導出します。点と直線の距離の一般形である、点と超平面の距離を導出します。空き瓶の飲み口に息を吹きかけると、「ボーーッ」という音が鳴るかと思います。この現象をヘルムホルツ共鳴と呼びます。今回は、そのヘルムホルツ共鳴のメカニズムについて解説していきます。二項定理は非常に汎用性が高く様々なところで顔を出す定理です。今回はその二項定理と、その一般化である多項定理について述べます。簡単な証明1変数のテイラー展開を拡張して、多変数関数のテイラー展開を導きます。2変数関数のテイラー展開について述べます。マクローリン展開とオイラーの公式の証明ホーム数学プロフィールjo勉強したことをゆっくりと書いていきます。Englishホーム検索トップサイドバータイトルとURLをコピーしました。