可算集合であるとき、その任意の部分集合を事象として考察対象に含めることができます。その上で、標本空間のベキ集合上に集合関数を定義した上で、それが確率論の公理と呼ばれる性質を満たすものと定めます。して得られる概念を可算確率空間と呼びます。舞台は3つの要素から構成されます。1つ目は、試行において起こり得るすべての標本点からなる集合であり、これは標本空間\begin{equation*}\Omega\end{equation*}として定式化されます。\)の部分集合として定義されますが、確率を記述する際に、確率の測定対象となる事象を定めておく必要があります。\)の部分集合族\begin{equation*}\mathcal{F}\end{equation*}を導入します。\)のみを確率の測定対象とするということです。確率を記述するために残された課題は、事象空間\(\mathcal{F}\)に属するそれぞれの事象に対して、その起こりやすさを特定することです。,\mathcal{F},P\right)\end{equation*}が満たすべき性質を公理として定めた上で、そこを出発点に議論を行うことになります。\right)\end{eqnarray*}を満たすことを公理として定めました。\)は、事象の確率はそこに含まれるすべての根元事象の確率の総和と一致することを意味します。\)を確率空間と呼びました。\)が可算集合である場合、確率空間をどのように定義すべきでしょうか。\right\}\end{equation*}であるものとします。}\end{equation*}を採用できます。任意の事象を確率の測定対象に含めても問題は生じないということです。\end{equation*}に対してどのような公理を設定すべきでしょうか。以下で順番に解説します。\)を付与することが保証されます。0\end{equation*}が成り立つことを1つ目の公理として定めます。任意の根元事象の確率が非負の実数であることを公理として定めるということです。non-negativity)と呼びます。\)が有限集合である場合と同様の公理です。\)を定めることが保証されます。(1)\end{equation}は可算個の実数の和、すなわち無限級数となります。\)が有限集合である場合、すべての根元事象の確率の総和が\(1\)であることを公理として定めました。\)が可算集合である場合、根元事象が可算個存在するため、それらの確率をすべて足し合わせることができません。\)をそのまま計算することはできないということです。(2)\end{equation}が成り立つことを2つ目の公理として定めます。=1\end{equation*}で表記するものと定めます。すべての根元事象の確率の和に相当する無限級数が\(1\)へ収束することを公理として定めるということです。certainty)と呼びます。\)を付与することが保証されます。_{n}\right\}\right)\end{equation*}が成り立つことを3つ目の公理として定めます。\)は無限級数であることに注意してください。いずれにせよ、事象の確率はそこに含まれるすべての根元事象の確率の総和と一致することを公理として定めるということです。additivity)と呼びます。\)が可算集合である場合には、集合関数\(P\)が以上の3つの性質を満たすことを公理として定めます。probability)と呼びます。\right)\end{eqnarray*}を満たすものと定める。以上の性質を確率論の公理と呼ぶ。\)を\(A\)の確率(probability)と呼びます。space)と呼びます。以下が確率空間の具体例です。例(確率空間)「確率\(\frac{1}{2^{n}}\)で\(n-2\)万円を獲得できるゲームをプレーする」という試行について考えます。以下が報酬の具体例です。\right\}\end{eqnarray*}です。(1)\end{equation}を定めるものとします。0\end{equation*}が成り立ちます。\\&=&1\end{eqnarray*}が成り立ちます。(2)\end{equation}と定めます。以上より、\(P\)が確率論の公理を満たすことが明らかになりました。\\&=&\frac{1}{4}\end{eqnarray*}となります。\\&=&\frac{31}{128}\end{eqnarray*}となります。公理主義のもとで確率について考えるということは、確率論の公理だけを議論の前提として認めることを意味します。標本空間が可算集合であるような試行および確率に関する命題はいずれも確率論の公理から導かれてはじめて正しいものとして認められるということです。以下では確率論の公理から導かれる基本的な命題をいくつか紹介します。}\)を任意に選びます。0\end{equation*}を満たすことが確率論の公理から導かれます。任意の事象の確率は非負の実数です。以上の性質を非負性(nonnegativity)と呼びます。0\end{equation*}が成り立つ。\)を付与することが保証されます。=1\end{equation*}が成り立つことが確率論の公理から導かれます。全事象の確率は\(1\)であるということです。=1\end{equation*}が成り立つ。}\)を任意に選びます。}\)を任意に選ぶということです。\)を付与することが保証されます。(1)\end{equation}が成り立つこと、すなわち、排反な可算個の事象の和事象の確率は、個々の事象の確率の和に相当する無限級数と一致することが確率論の公理から導かれます。additivity)などと呼びます。}S_{N}\)として定義されます。\end{equation*}となります。\(P\)が実数値関数として定義されている以上、上の等式の右辺が常に有限な実数として定まることを保証する必要がありますが、これは後ほど証明します。A_{n}\right)\end{equation*}が成り立つ。\)-加法性を満たすとともに、全事象の確率が\(1\)になることが明らかになりました。実は、逆に、以上の3つの性質から確率論の公理を導くこともできるため、確率論の公理を以下のように定義することもできます。A_{n}\right)\end{eqnarray*}を満たすことと、\(P\)が確率論の公理を満たすことは必要十分である。(2)\end{equation}が成り立つものと定めます。先に示したように、この\(P\)は確率論の公理を満たします。A_{n}\right)\end{equation*}が成り立つことが保証されます。=0\end{equation*}であることが確率論の公理から導かれます。空事象の確率はゼロです。=0\end{equation*}が成り立つ。_{i=1}^{n}\)を任意に選びます。_{i=1}^{n}\)を任意に選ぶということです。\)を付与することが保証されます。A_{i}\right)\end{equation*}が成り立つことが確率論の公理より導かれます。有限個の排反事象を任意に選んだとき、それらの和事象の確率は個々の事象の確率の総和と一致するということです。additivity)と呼びます。A_{i}\right)\end{equation*}が成り立つ。上の命題において\(n=2\)とおくと以下を得ます。2つの排反事象を任意に選んだとき、それらの和事象の確率は個々の事象の確率の総和と一致するということです。これを加法性(additivity)と呼びます。\end{equation*}が成り立つ。逆に、加法性から有限加法性を導くこともできるため、加法性と有限加法性は必要十分です。\)が有限加法性を満たすことと、\(P\)が加法性を満たすことは必要十分である。