正方行列の固有値が明らかになれば、固有値に対応する列固有ベクトルを特定できます。固有値は固有多項式と呼ばれる多項式関数の根と一致するため、固有値を特定する作業を多項式関数の根を特定する作業へ帰着させることができます。次のページ:固有値の固有空間とその次元TwitterMailで保存あとで読む正方行列の固有値が与えられれば列固有ベクトルは特定できる正方行列の固有値および列固有ベクトルの定義と、それらの概念と正方行列の対角化の関係について簡単に復習します。x\end{equation*}と定義されます。0\right\}\end{equation*}を\(A\)の固有対と呼びます。\)に対応する列固有ベクトルと呼びます。_{i}\)の列固有ベクトルであることを明らかにしました。e}\end{equation*}が対角行列になることは、\(A\)が対角化可能であるための必要十分条件である。_{i}\)に対応する列固有ベクトルとなる。逆に、正方行列\(A\)の固有値と列固有ベクトルを特定できれば、それを用いることにより\(A\)を必ず対角化できることを示しました。_{n}\right)\end{equation*}が成り立つ。v_{n}\)を特定することが基本的な方針となります。_{i}\)に対応する列固有ベクトル\(v_{i}\)を特定できます。具体的には以下の通りです。\)が具体的に与えられた状況を想定します。\\0\end{array}\right)\end{equation*}となります。_{i}\)に対応する固有ベクトルです。_{i}\)に対応するすべての固有ベクトルからなる集合が得られます。正方行列の固有値が与えられれば、それに対応する固有ベクトルを特定できることが明らかになりました。正方行列の固有値をどのように特定すればよいのでしょうか。\)が与えられているものとします。(1)\end{equation}が成り立つこととして定義されます。I_{n}x\end{equation*}と必要十分です。x_{n}\)に関する同次連立1次方程式に他なりません。I_{n}\)を係数行列とする同次連立1次方程式が非ゼロベクトルの解を持つことは必要十分であることが明らかになりました。=0\end{equation*}が成り立つことは必要十分です。結論を命題としてまとめておきます。\)が\(A\)の固有値であるための必要十分条件である。\right)\end{eqnarray*}です。\)が\(A\)の固有値であることは必要十分です。=3,2\end{equation*}を得るため、\(3\)と\(2\)が\(A\)の固有値であることが明らかになりました。\)が与えられた状況を想定します。a_{nn}-t\end{pmatrix}\end{equation*}を計算すると、これは\(t\)に関する以下のような\(n\)次の多項式になることが保証されます。^{n}t^{n}+\cdots\end{equation*}という形状をしている。\end{equation*}が定義可能です。\(A\))や特性多項式などと呼びます。^{n}t^{n}+\cdots\end{equation*}であることに注意してください。\(P\))と呼びます。\)に入力するとその結果がゼロになるような変数\(t\)の値のことです。=0\end{equation*}を満たすスカラー\(t\)に相当します。正方行列の固有値は固有多項式の根として特徴づけられます。\)が\(A\)の固有値であるための必要十分条件である。2-t\right)\end{eqnarray*}です。=0\end{equation*}の解であるため、\begin{equation*}t=3,2\end{equation*}です。したがって、先の命題より、\(A\)の固有値は\(3\)と\(2\)です。^{n}t^{n}+\cdots\end{eqnarray*}の根と一致することが明らかになりました。=0\end{equation*}の解であることを意味します。一般に、\(n\)次の方程式は複素数の範囲で重複度まで込めて\(n\)個の根を持ちます(代数学の基本定理)。以上より、\(n\)次の正方行列\(A\)は複素数の範囲で重複度まで込めて\(n\)個の固有値を持つことが明らかになりました。\)を任意に選んだとき、複素数を含めると、\(A\)の固有値は必ず存在する。その個数は重複度を含めて\(n\)個である。\)は重根度を含めて\(n\)個の固有値を持つことが明らかになりました。_{n}\)で表記します。これらは複素数である可能性もあります。_{n}\right)\end{eqnarray*}と表現できます。^{r_{m}}\end{equation*}と表現できます。_{i}\)の重複度を表す自然数です。以下は固有値が異なる実数であるような場合です。2-t\right)\end{eqnarray*}であるため、\(A\)の固有値は\(3\)と\(2\)であり、それぞれの重複度は\(1\)です。以下は固有値に重根が存在する場合です。^{2}\end{eqnarray*}であるため、\(A\)の固有値は\(2\)であり、その重複度は\(2\)です。以下は固有値が複素数であるような場合です。i\end{eqnarray*}です。\(A\)の固有値は\(1+i\)と\(1-i\)であり、それぞれの重複度は\(1\)です。_{v}\)を得たとき、その前後において固有多項式は変化しません。e}\end{equation*}が対角行列になるものとする。上の命題をもう少し一般化できます。\)が相似であるものとする。1\end{pmatrix}\end{equation*}の固有値を求めるとともに、それぞれの重複度を明らかにしてください。0\end{pmatrix}\end{equation*}の固有値を求めるとともに、それぞれの重複度を明らかにしてください。有料のプレミアム会員になると、質問やコメントの投稿と閲覧、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題とその解答)へのアクセスなどが可能になります。関係なく「学ぶ人」として対等であり、お互いを人格として尊重することが求められます。ユーザーが快適かつ安心して「学ぶ」ことに集中できる環境を整備するため、広告やスパム投稿、他のユーザーを貶めたり威圧する発言、学んでいる内容とは関係のない不毛な議論などはブロックすることになっています。詳細はガイドラインをご覧ください。コマンドを利用することで美しい数式を入力できます。いう形式でそれぞれ入力してください。/(ax^{2}+bx+c=0/)と入力すると\(ax^{2}+bx+c=0\)と表示され、$$ax^{2}+bx+c=0$$と入力すると$$ax^{2}+bx+c=0$$と表示されます。)などを参照してください。紙に手書きした数式や図をカメラやスマホで撮影した上で、コメント欄に張り付けることもできます。その場合、コメント入力欄にある「ファイルを選択」ボタンをクリックした上で画像をアップロードしてください。ファイルの添付も可能です。誤字脱字、リンク切れ、内容の誤りを発見した場合にはコメントに投稿するのではなく、以下のフォームからご連絡をお願い致します。正方行列に関する固有値問題と呼ばれる問題を定義するとともに、その解に相当する固有値および固有ベクトルを定義します。固有値と固有ベクトルは正方行列の対角化と深い関係があります。正方行列の固有値に対応するすべての列固有ベクトルとゼロベクトルからなるベクトル集合を、その固有値の固有空間と呼びます。固有空間は実ベクトル空間の部分空間であるとともに、その次元は固有値の重複度以下になります。有料プレミアム会員は質問・コメントの投稿と閲覧、命題の証明の閲覧、演習問題とその解答への閲覧が可能になります。皆さまからよく頂く質問への回答をまとめました。こちらに解決方法が見つからない場合にはお問い合わせください。変更するパスワードをリセットお問い合わせ使い方ワイズについてよくある質問トップページワイズについてよくある質問トップページ。