有界な閉区間上に定義された単調関数(単調増加関数または単調減少関数)はリーマン積分可能です。単調関数のリーマン積分可能性これまでは有界な閉区間上に定義された有界な関数がリーマン積分可能であることの意味を定義するとともに、関数がリーマン積分可能であること、ないしリーマン積分可能ではないことを具体的に判定する方法について解説してきました。リーマン積分可能であることが保証されるような関数は存在するのでしょうか。\)上において単調増加関数であるものとします。\end{equation*}が成り立つということです。\)上で有界であることが保証されます。\)上でリーマン積分可能であることが保証されます。有界閉区間上に定義された単調増加関数はリーマン積分可能であるということです。\)上でリーマン積分可能である。=c\end{equation*}で表されるものとします。\(f\)は定数関数です。a,b\right]\)上でリーマン積分可能です。=x\end{equation*}を定めるものとします。\)上でリーマン積分可能です。=x^{2}\end{equation*}を定めるものとします。\)上でリーマン積分可能です。\)上において狭義単調増加関数であるものとします。\)上でリーマン積分可能です。単調減少関数についても同様の命題が成り立ちます。具体的には以下の通りです。\)上において単調減少関数であるものとします。\end{equation*}が成り立つということです。\)上で有界であることが保証されます。\)上でリーマン積分可能であることが保証されます。有界閉区間上に定義された単調減少関数はリーマン積分可能であるということです。\)上でリーマン積分可能である。=c\end{equation*}で表されるものとします。\(f\)は定数関数です。a,b\right]\)上でリーマン積分可能です。=-x\end{equation*}を定めるものとします。\)上でリーマン積分可能です。=x^{2}\end{equation*}を定めるものとします。\)上でリーマン積分可能です。\)上において狭義単調減少関数であるものとします。\)上でリーマン積分可能です。単調増加関数と単調減少関数を総称して単調関数と呼びます。先の2つの命題より、有界閉区間上に定義された単調関数はリーマン積分可能であることが保証されます。\)上でリーマン積分可能である。リーマン積分可能な関数は単調関数であるとは限らない先の命題はリーマン積分可能であるための十分条件であり、必要条件ではありません。有界閉区間上に定義された単調ではない関数がリーマン積分可能であるような状況は起こり得ます。以下の例より明らかです。=x^{2}\end{equation*}を定めるものとします。\)上において単調ではありません。\)上において狭義単調増加だからです。\)上で連続であるためリーマン積分可能です。定義された有界な関数がリーマン積分可能であることは、その関数が上リーマン積分可能かつ下リーマン積分可能であるとともに上リーマン積分と下リーマン積分が一致することと必要十分です。以上の事実と先の命題を踏まえると以下を得ます。dx\end{equation*}という関係が成り立つ。=x^{3}\end{equation*}を定めるものとします。\)上でリーマン積分可能であることを示してください。=e^{x}\end{equation*}を定めるものとします。\)上でリーマン積分可能であることを示してください。x\right)\end{equation*}を定めるものとします。\)上でリーマン積分可能であることを示してください。password?有料のプレミアム会員であれば、質問やコメントの投稿と閲覧、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題とその解答)へのアクセスなどが可能になります。関係なく「学ぶ人」として対等であり、お互いを人格として尊重することが求められます。ユーザーが快適かつ安心して「学ぶ」ことに集中できる環境を整備するため、広告やスパム投稿、他のユーザーを貶めたり威圧する発言、学んでいる内容とは関係のない不毛な議論などはブロックすることになっています。詳細はガイドラインをご覧ください。ワイズのガイドラインとは?誤字脱字、リンク切れ、内容の誤りを発見した場合にはコメントに投稿するのではなく、以下のフォームからご連絡をお願い致します。有料プレミアム会員は質問・コメントの投稿と閲覧、命題の証明の閲覧、演習問題とその解答への閲覧が可能になります。皆さまからよく頂く質問への回答をまとめました。こちらに解決方法が見つからない場合にはお問い合わせください。変更するパスワードをリセットお問い合わせ使い方ワイズについてよくある質問トップページワイズについてよくある質問トップページ。