解であるための必要条件(スレーター条件)これまでは支出最小化問題に解が存在するための条件や、解が存在する場合に補償需要対応や補償需要関数が満たす性質について考察してきました。ここでは、支出最小化問題に解が存在することが保証される場合に、その解を具体的に求める方法を解説します。\)は合理性と連続性の仮定を満たすものとします。_{+}^{N}\)として表現されているものとします。\right\}\end{equation*}です。\right\}\end{equation*}です。\)をとることができます。0\end{array}$$の解です。}\)が満たすべき条件をクーン・タッカーの定理より明らかにします。\)をそれぞれ定義します。0\end{array}$$として表現できます。\)だけを目標効用として採用します。qualification)を満たすことを確認しておく必要があります。condition)を採用します。_{+}^{N}\)が存在するという条件です。\)は線型であるため凸関数です。_{++}^{N}\)の存在が要求されています。この消費ベクトル\(\overline{x}\)のすべての成分は正の実数(非負ではない)であることに注意してください。\(u\)が単調増加関数であれば\(v\)の水準に関係なく常にこの条件が成り立ちます。\)が単調性を満たすことを意味します。_{++}^{N}\)が存在する場合にはスレーター条件が満たされるということです。x\)は明らかに\(C^{1}\)級であるため、このときクーン・タッカーの定理を利用できます。}\)が満たす条件を特定できるということです。すると以下の命題を得ます(演習問題)。_{+}^{N}\)は非空値をとる。\right\}\end{equation*}である。>v\end{equation*}が成り立つものとする。_{+}^{2}\)は非空値をとります。\right\}\end{equation*}です。>v\end{equation*}が成り立つものとします。支出最小化問題の解であるための必要条件(正規条件)スレーター条件は制約想定の中でも最も厳しい条件の1つであるため、スレーター条件を採用する場合、クーン・タッカーの定理を適用できる支出最小化問題の範囲は限定されます。そもそも効用関数\(u\)が凹関数ではない場合、スレーター条件は満たされません。condition)について考察します。スレーター条件が成り立つ場合には正規条件もまた必ず成り立つ一方、その逆は成立するとは限りません。したがって、制約想定として正規条件を採用すれば、クーン・タッカーの定理を適用できる支出最大化問題の範囲が拡大します。=0\right\}\end{equation*}の要素であるベクトルが1次独立であるという条件です。x_{i}}\not=0\end{equation*}が成り立つのであれば正規条件が満たされます(演習問題)。x\)は明らかに\(C^{1}\)級であるため、このときクーン・タッカーの定理を利用できます。}\)が満たす条件を特定できるということです。すると以下の命題を得ます(演習問題)。_{+}^{N}\)は非空値をとる。\right\}\end{equation*}である。\(u\)は\(C^{1}\)級であるものとする。_{+}^{2}\)は非空値をとります。\right\}\end{equation*}です。先の2つの命題は消費ベクトルが支出最小化問題の解であるための必要条件を与えており、十分条件ではありません。支出最小化問題の解は必ず先の条件を満たしますが、支出最小化問題の解ではないような消費ベクトルも先の条件を満たすことがあります。したがって、支出最小化問題の解を特定するためには、先の条件を満たす消費ベクトルをすべて特定した上で、その中で最小の支出をもたらすものを見つける必要があります。支出最小化問題の解を導出するためには以下の手順を踏むことになります。与えられた支出最小化問題に解が存在することを確認する。_{+}^{N}\)が支出最小化問題の解になる。\)が合理性と連続性を満たすことを示す。\)を表す効用関数\(u\)が与えられている場合には\(u\)が連続関数であることを示してもよい。\right\}\end{equation*}である。スレーター条件を確認する。_{++}^{N}\)が存在することを確認する。\(u\)が単調増加であることを示してもよい。このとき、クーンタッカー条件を満たす消費ベクトルが支出最小化問題の候補となる。スレーター条件が成り立たない場合には正規条件を確認する。x_{i}}\not=0\)が成り立つことを確認する。このとき、クーンタッカー条件を満たす消費ベクトルが支出最小化問題の候補となる。以上から明らかになった支出最小化問題の候補となる消費ベクトルの中から、支出を最小化する消費ベクトルを特定する。^{\frac{1}{2}}\end{equation*}を定めるものとします。0\end{array}$$について考えます。\(u\)は連続関数であるため、この問題には解が存在します。加えて、\(u\)は\(C^{1}\)級かつ凹関数かつ単調増加でもあるためスレーター条件が満たされます。したがって、クーン・タッカー条件を満たす消費ベクトルが上の支出最小化問題の解の候補となります。\(x_{1}\)と\(x_{2}\)の符号で場合を分けて考えます。_{2}=0\)を得ます。^{\frac{1}{2}}>0\end{equation*}を得ます。_{0}=2\)を得ます。25=50\)となります。=0\)となるため制約条件を満たしません。\)のもとでの支出最小化問題の解です。=x_{1}x_{2}\end{equation*}を定めるものとします。0\end{array}$$について考えます。効用関数\(u\)は連続であるため上の問題には解が存在することが保証されます。\(u\)は\(C^{1}\)級ですが凹関数ではないため正規条件を利用します。\)は最適解の候補にはなりません。\)が上の支出最小化問題の解の候補となります。先の考察より\(x_{1}>0\)かつ\(x_{2}>0\)です。_{0}=\frac{1}{x_{2}}=\frac{1}{x_{1}}>0\)を得ます。_{0}=\frac{1}{5}\)を得るため\(x_{1}=x_{2}=5\)であることが示されました。\)のもとでの支出最小化問題の唯一の候補であるため、これが解になります。5=25\)を得ます。解が存在する場合、その解が満たす条件をクーン・タッカー条件として表現しました。この条件は消費ベクトルが支出最小化問題の解であるための必要条件であり、十分条件ではありません。クーン・タッカー条件を満たす消費ベクトルの中には支出最小化問題の解でないものが含まれる可能性があるため、支出最小化問題の解を特定するためには、クーン・タッカー条件を満たす消費ベクトルどうしを比較し、その中から支出を最小化するものを特定する必要があります。一定の条件のもとでは、クーン・タッカー条件は消費ベクトルが支出最小化問題の解であるための十分条件になります。\)がいずれも準凸関数である場合には、クーン・タッカー条件を満たす消費ベクトルはいずれも上の問題の解になることが保証されます。\)が準凹関数であるという条件だけです。スレーター条件は効用関数が凹関数であることを要求しており、さらに凹関数は準凹関数であることを踏まえると、スレーター条件を用いた効用関数の解であるための必要条件は、同時に十分条件でもあるということになります。したがって以下の命題を得ます。_{+}^{N}\)は非空値をとる。\right\}\end{equation*}である。\(u\)は\(C^{1}\)級の凹関数であるものとする。>v\end{equation*}が成り立つものとする。\)が成り立つための必要十分条件である。正規条件は効用関数が凹関数であることまで要求していないため、正規条件を前提としたとき、クーン・タッカー条件が支出最小化問題の解であるための十分条件であるためには効用関数が準凹関数であることを条件として加える必要があります。_{+}^{N}\)は非空値をとる。\right\}\end{equation*}である。\(u\)は\(C^{1}\)級の準凹関数であるものとする。\)が成り立つための必要十分条件である。=x_{1}x_{2}\end{equation*}を定めるものとします。_{+}^{2}\)は存在するでしょうか。}\)が存在する場合、それを具体的に求めてください。\right\}\end{equation*}です。=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\end{equation*}を定めるものとします。_{+}^{2}\)は存在するでしょうか。}\)が存在する場合、それを具体的に求めてください。\right\}\end{equation*}です。^{\frac{1}{2}}\end{equation*}を定めるものとします。_{+}^{2}\)は存在するでしょうか。}\)が存在する場合、それを具体的に求めてください。\right\}\end{equation*}です。=x_{1}+2x_{2}\end{equation*}を定めるものとします。_{+}^{2}\)は存在するでしょうか。}\)が存在する場合、それを具体的に求めてください。\right\}\end{equation*}です。password?有料のプレミアム会員であれば、質問やコメントの投稿と閲覧、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題とその解答)へのアクセスなどが可能になります。関係なく「学ぶ人」として対等であり、お互いを人格として尊重することが求められます。ユーザーが快適かつ安心して「学ぶ」ことに集中できる環境を整備するため、広告やスパム投稿、他のユーザーを貶めたり威圧する発言、学んでいる内容とは関係のない不毛な議論などはブロックすることになっています。詳細はガイドラインをご覧ください。ワイズのガイドラインとは?誤字脱字、リンク切れ、内容の誤りを発見した場合にはコメントに投稿するのではなく、以下のフォームからご連絡をお願い致します。有料プレミアム会員は質問・コメントの投稿と閲覧、命題の証明の閲覧、演習問題とその解答への閲覧が可能になります。皆さまからよく頂く質問への回答をまとめました。こちらに解決方法が見つからない場合にはお問い合わせください。変更するパスワードをリセットお問い合わせ使い方ワイズについてよくある質問トップページワイズについてよくある質問トップページ。