Frobeniusの定理から分かります.また,その時の固有ベクトルは定常分布$\pi$です.MCMCの計算量さて,このPoincare定数がMCMCの計算量の解析で役に立つのですが,そのイメージを簡単に説明します.べき乗法を知っていると分かりやすいかもしれません.マルコフ連鎖では,初期の分布から何回か$P$で状態を推移させて,それで定常分布に近づけさせます.その時,徐々に最大固有値以外の成分は小さくなって行きます.ここで,どれくらいのペースで小さくなっていくのかは第一固有値と第二固有値の差に依存していそうです.今考えている確率推移行列$P$の固有値を大きい順に$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$とします。$\lambda^*=\max(\lambda_2,|\lambda_n|)$と書きます。1$になり、MCが非周期的なら、$\lambda_2>-1$になります。\right)$$が成立する.ここでマルコフ連鎖がlazyである場合、つまり、マルコフ連鎖の確率行列がある確率行列$P$を使って$(I+P)/2$と書ける場合を考えます。このとき、$P$の固有値は全て$-1$よりも大きいため、$(I+P)/2$の固有値は全て非負です。よって、このときは$\lambda^*=\lambda_2$です。ゆえに、次が成り立ちます。1991]この定理を考えることで,MCMCの計算時間を見積もることができます.あとは、この$\lambda^*$の上からのbound、または、$p$の下からのboundを求めればよいです。