1変数関数が狭義凸であることとそのエピグラフが狭義凸集合であることは必要十分であり、狭義凹であることとそのハイポグラフが狭義凸集合であることは必要十分です。x_{2}\right)\end{equation*}が成り立つこととして定義されますが、定義にもとづいて関数が狭義凸であることを示す作業は煩雑になりがちです。}\)が狭義単調増加関数であることと\(f\)が狭義凸関数であることは必要十分です。>0\end{equation*}が成り立つ場合には\(f\)は狭義凸関数です(逆は成り立つとは限らない)。関数\(f\)が微分可能でない場合、\(f\)が狭義凸関数であることを簡単に判定する方法はあるのでしょうか。\)を境に、その上部の領域と下部の領域に分割されます。\right\}\end{equation*}で表記し、これを関数\(f\)のエピグラフ(epigraph)と呼びます。f\right)\end{equation*}という関係が成り立ちます。\)が下図において曲線として描かれています。\)は\(f\)のグラフである曲線と、それより上方の領域を併せたグレーの領域に相当します。図:エピグラフ上の例中の関数\(f\)は下に凸なグラフを持つため、これは狭義凸関数です。\(f\)が下に狭義凸なグラフを持つことは、グラフの上部の領域に相当する\(f\)のエピグラフが狭義凸集合であることと必要十分であることが図から読み取れます。実際、これは正しい主張です。\)が狭義凸集合であることは、\(f\)が狭義凸関数であるための必要十分である。x\right\vert\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は点\(0\)において明らかに微分可能ではありません。\right\}\end{equation*}であり、これは下図のグレーの領域に相当します。これは明らかに狭義凸集合であるため、\(f\)は狭義凸関数です。図:エピグラフ先の命題は区間上に定義された関数が狭義凸であるための必要十分条件を与えているため、関数が狭義凸でないことを示す際にも利用できます。\)が狭義凸集合でない場合に\(f\)は狭義凸関数ではありません。=x\end{equation*}を定めるものとします。f\text{の定義}\end{eqnarray*}となります。\)の内点ではなく境界点です。\)は狭義凸集合ではなく、\(f\)は狭義凸関数ではありません。x_{2}\right)\end{equation*}が成り立つこととして定義されますが、定義にもとづいて関数が狭義凹であることを示す作業は煩雑になりがちです。}\)が狭義単調減少関数であることと\(f\)が狭義凹関数であることは必要十分です。<0\end{equation*}が成り立つ場合に\(f\)は狭義凸関数です(逆は成り立つとは限らない)。関数\(f\)が微分可能でない場合、\(f\)が狭義凹関数であることを簡単に判定する方法はあるのでしょうか。\)を境に、その上部の領域と下部の領域に分割されます。\right\}\end{equation*}で表記し、これを関数\(f\)のハイポグラフ(hypograph)と呼びます。f\right)\end{equation*}という関係が成り立ちます。\)が下図において曲線として描かれています。\)は\(f\)のグラフである曲線と、それより下方の領域を併せたグレーの領域に相当します。図:ハイポグラフ上の例中の関数\(f\)は上に狭義凸なグラフを持つため、これは狭義凹関数です。\(f\)が上に狭義凸なグラフを持つことは、グラフの下部の領域に相当する\(f\)のハイポグラフが狭義凸集合であることと必要十分であることが図から読み取れます。実際、これは正しい主張です。\)が狭義凸集合であることは、\(f\)が狭義凹関数であるための必要十分である。x\right\vert\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は点\(0\)において明らかに微分可能ではありません。\right\}\end{equation*}であり、これは下図のグレーの領域に相当します。これは明らかに狭義凸集合であるため、\(f\)は狭義凹関数です。図:ハイポグラフ先の命題は区間上に定義された関数が狭義凹であるための必要十分条件を与えているため、関数が狭義凹でないことを示す際にも利用できます。\)が狭義凸集合でない場合に\(f\)は狭義凹関数ではありません。=-x\end{equation*}を定めるものとします。f\text{の定義}\end{eqnarray*}となります。\)の内点ではなく境界点です。\)は狭義凸集合ではなく、\(f\)は狭義凹関数ではありません。=x^{2}\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が狭義凸関数であることをエピグラフを用いて示してください。有料のプレミアム会員になると、質問やコメントの投稿と閲覧、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題とその解答)へのアクセスなどが可能になります。関係なく「学ぶ人」として対等であり、お互いを人格として尊重することが求められます。ユーザーが快適かつ安心して「学ぶ」ことに集中できる環境を整備するため、広告やスパム投稿、他のユーザーを貶めたり威圧する発言、学んでいる内容とは関係のない不毛な議論などはブロックすることになっています。詳細はガイドラインをご覧ください。コマンドを利用することで美しい数式を入力できます。いう形式でそれぞれ入力してください。/(ax^{2}+bx+c=0/)と入力すると\(ax^{2}+bx+c=0\)と表示され、$$ax^{2}+bx+c=0$$と入力すると$$ax^{2}+bx+c=0$$と表示されます。)などを参照してください。紙に手書きした数式や図をカメラやスマホで撮影した上で、コメント欄に張り付けることもできます。その場合、コメント入力欄にある「ファイルを選択」ボタンをクリックした上で画像をアップロードしてください。ファイルの添付も可能です。誤字脱字、リンク切れ、内容の誤りを発見した場合にはコメントに投稿するのではなく、以下のフォームからご連絡をお願い致します。定義と具体例ユークリッド空間の部分集合に属する2つの点を任意に選んだとき、それらの任意の凸結合がその集合の要素であるならば、その集合を凸集合と呼びます。エピグラフ・ハイポグラフを用いた1変数の凸関数・凹関数の判定1変数関数が凸関数であることとその関数のエピグラフが凸集合であることは必要十分であり、1変数関数が凹関数であることとその関数のハイポグラフが凸集合であることは必要十分です。狭義凸集合の定義ユークリッド空間の部分集合に属する異なる2つの点を任意に選んだとき、それらの任意の狭義凸結合がその集合の内点であるならば、その集合を狭義凸集合と呼びます。多変数関数が凸関数であることとその関数のエピグラフが凸集合であることは必要十分であり、多変数関数が凹関数であることとその関数のハイポグラフが凸集合であることは必要十分です。ユークリッド空間上の凸集合であるとともに、そのグラフが下に凸であるような関数を狭義凸関数と呼びます。グラフが上に凸であるよう関数を狭義凹関数と呼びます。偏微分可能な多変数関数が狭義凸関数や狭義凹関数であることを判定する方法について解説します。凸関数の正の定数倍として定義される関数は凸関数であり、凹関数の正の定数倍として定義される関数は凹関数です。凸関数どうしの和として定義される関数は凸関数であり、凹関数どうしの和として定義される関数は凹関数です。凸関数どうしの合成関数が凸関数になるための条件、凹関数どうしの合成関数が凹関数になるための条件、凸関数と凹関数の合成関数が凸関数ないし凹関数になるための条件などを明らかにします。凸関数や凹関数の逆関数が存在する場合、その逆関数もまた凸関数や凹関数になるための条件を明らかにします。複数の凸集合から定義される最大値関数は凸関数であり、複数の凹関数から定義される最小値関数は凹関数です。1変数の凸関数・凹関数の劣勾配と劣微分1変数の凸関数や凹関数の内点における劣勾配と呼ばれる概念を定義するとともに、その関数が内点において微分可能である場合、そこでの劣勾配と微分係数は概念として一致することを示します。有料プレミアム会員は質問・コメントの投稿と閲覧、命題の証明の閲覧、演習問題とその解答への閲覧が可能になります。皆さまからよく頂く質問への回答をまとめました。こちらに解決方法が見つからない場合にはお問い合わせください。変更するパスワードをリセットお問い合わせ使い方ワイズについてよくある質問トップページワイズについてよくある質問トップページ。