SPACEユークリッド空間上の点列トップ数学ユークリッド空間ユークリッド空間の定義ユークリッド空間ユークリッド位相OVERVIEW点列とは何かユークリッド空間上の無限個の点を順番に並べたものを点列と呼びます。点列は実数列を一般化した概念です。SEQUENCES点列の極限ユークリッド空間上の点列の項が先に進むにつれて特定の点に限りなく近づく場合、その数列は収束するといいます。ユークリッド空間上の点列の定義ユークリッド空間上の無限個の点を順番にならべたものを点列と呼びます。点列を自然数空間から実数空間への写像として定義することもできます。点列は数列を一般化した概念です。ユークリッド空間上の点列の極限(点列の収束と発散)ユークリッド空間上の点列の項が先に進むにつれてある点に限りなく近づく場合、その点列は収束すると言います。点列の項が限りなく近づく先の点のことをその点列の極限と呼びます。点列の収束は数列の収束を一般化した概念です。数列を用いた点列の収束判定ユークリッド空間上の点列が収束することは、その点列のすべての座標数列が有限な実数へ収束することと必要十分です。したがって、点列が収束することを示すためには、そのすべての座標数列が収束することを示せばよいということになります。収束する点列が満たす性質を解説します。収束する点列と有界性ユークリッド空間上の点列のすべての項からなる集合が有界であるとき、その点列は有界であると言います。点列が有界であることと、その任意の座標数列が有界であることは必要十分です。収束する点列は常に有界である一方で、有界な点列は収束するとは限りません。点列が収束するならば、その点列の一般項をスカラー倍して得られるベクトルを一般項とする点列もまた収束することが保証されます。同様に、収束する点列のスカラー商として定義される点列も収束します。点列のベクトル和の極限ユークリッド空間上の収束点列が2つ任意に与えられたとき、それらの一般項どうしのベクトル和を一般項とする点列もまた収束することが保証されます。同様に、収束する点列のベクトル差として定義される点列もまた収束します。点列の内積の極限ユークリッド空間上の収束点列どうしの内積として定義される数列は有限な実数へ収束します。点列のノルムの極限ユークリッド空間上の収束点列が与えられたとき、その一般項のノルムを一般項とする数列が定義可能ですが、これは有限な実数へ収束します。つの収束列が与えられたとき、任意番目の項について、一方の収束列の項が他方の収束列の項以上であるならば、それらの極限についても同様の大小関係が成り立ちます。ユークリッド空間における収束列についても、収束する数列と同様に、はさみうちの定理が成り立ちます。点列が単調であることの意味を定義した上で、単調な点列が収束するための条件を明らかにします。ユークリッド空間における単調列ユークリッド空間上の点列が単調列(単調増加もしくは単調減少)であることの意味を定義します。これは単調数列を一般化した概念です。実数の連続性より、上に有界な単調増加数列や下に有界な単調減少数列はいずれも収束しますが、これらの事実を利用すると、ユークリッド空間における点列に関しても、上に有界な単調増加列や下に有界な単調減少列が収束することを示すことができます。点列の部分列と呼ばれる概念を定義した上で、有界な点列は収束する部分列を持つことを示します。ユークリッド空間における部分列ユークリッド空間における点列から無限個の項を抜き出して順番を保ったまま並べてできる点列をもとの点列の部分列と呼びます。点列の部分列は数列の部分列を一般化した概念です。»ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理の一般化ユークリッド空間における点列に関してもボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理は成り立ちます。有界な点列は収束する部分列を持ちます。点列がコーシー列であることの意味を定義した上で、点列がコーシー列であることと収束列であることは必要十分であることを示します。ユークリッド空間におけるコーシー列ユークリッド空間においても、実数空間と同様に、コーシー列(基本列)と呼ばれる点列を定義することができます。コーシー列は有界な点列です。数列がコーシー列であることと収束列であることが必要十分であることと同様、ユークリッド空間上の点列についても、それがコーシー列であることと収束列であることは必要十分です。以下の分野の知識があると本節の内容を円滑に学習できます。実数を順番に並べたものを数列や実数列と呼びます。数列の項が先に進むにつれてある実数に限りなく近づく場合には、その数列は収束すると言い、その実数を数列の極限と呼びます。次元空間上にベクトル加法やスカラー乗法などの演算や大小関係を定義すると、実順序ベクトル空間になります。実順序ベクトル空間上にユークリッド距離と呼ばれる概念を定義したものがユークリッド空間です。本節で得た知識は以下の分野を学ぶ上での基礎になります。ユークリッド位相ユークリッド距離をもとにユークリッド空間上の開集合と呼ばれる概念を定義した上で、その性質や、関連する概念などについて解説します。ベクトル値関数(曲線)実数空間もしくはその部分集合を定義とし、ユークリッド空間を終集合とする写像を曲線やベクトル値関数などと呼びます。ここでは曲線の収束や連続性などについて解説します。多変数関数(スカラー場)多変数関数(スカラー場)という概念を定義するとともに、多変数関数が有限な実数へ収束すること、および連続であることの意味を定義した上で、連続な多変数関数の性質について解説します。有料プレミアム会員は質問・コメントの投稿と閲覧、命題の証明の閲覧、演習問題とその解答への閲覧が可能になります。皆さまからよく頂く質問への回答をまとめました。こちらに解決方法が見つからない場合にはお問い合わせください。