関数の点における微分係数は極限を用いて定義されますが、その点が区間の境界点である場合などには通常の意味での極限が定義不可能であるため、片側極限を用いて微分可能性を定義します。このようにして定義された微分係数を片側微分係数と呼びます。\end{equation*}が与えられているものとします。0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\end{equation*}が有限な実数として定まることを意味します。\)へ限りなく近づくことを意味します。}{h}\)が定義されている必要があります。}{h}\)もまた定義されています。}{h}\)が有限な実数へ収束するか検証可能です。X\)において定義されている一方で、点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているとは言えない場合には、\(f\)の点\(a\)における微分可能性をどのように定義すればよいでしょうか。\end{equation*}が与えられた状況を想定します。}{h}\)は\(h<0\)を満たす任意の\(h\)について定義されていません。}{h}\end{equation*}を採用せざるを得ません。これを通常の微分係数と区別して右側微分係数と呼びます。定義域の右側の端点\(t\)についても同様に考えます。}{h}\)は\(h>0\)を満たす任意の\(h\)について定義されていません。}{h}\end{equation*}を採用せざるを得ません。これを通常の微分係数と区別して左側微分係数と呼びます。以上の議論では、関数\(f\)の定義域が有界閉区間である場合、定義域の端点における微分可能性をどのように定義すればよいかという問題意識を背景に、片側極限にもとづく微分概念を導入しました。このような微分概念の適用範囲は有界閉区間の端点に限定されません。関数\(f\)が点\(a\)以上の周辺の任意の点において定義されていれば\(f\)が点\(a\)において右側微分可能であるか検証できますし、関数\(f\)が点\(a\)以下の周辺の任意の点において定義されていれば\(f\)が点\(a\)において左側微分可能であるか検証できます。X\)が与えられているものとします。X\end{equation*}を満たすものとします。\(f\)は点\(a\)以上の周辺の任意の点\(x\)において定義されているということです。0+}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\end{equation*}をとります。_{x=a}\end{equation*}などで表記します。\)は定義されるということです。\(a\))であると言います。=x\end{equation*}を定めるものとします。\\&=&1\end{eqnarray*}が成り立ちます。=1\end{equation*}であることが明らかになりました。x\right\vert\end{equation*}を定めるものとします。\\&=&1\end{eqnarray*}が成り立ちます。=1\end{equation*}であることが明らかになりました。X\)が与えられているものとします。X\end{equation*}を満たすものとします。\(f\)は点\(a\)以下の周辺の任意の点\(x\)において定義されているということです。0-}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\end{equation*}をとります。_{x=a}\end{equation*}などで表記します。\)は定義されるということです。\(a\))であると言います。=x\end{equation*}を定めるものとします。\\&=&1\end{eqnarray*}が成り立ちます。=1\end{equation*}であることが明らかになりました。x\right\vert\end{equation*}を定めるものとします。\\&=&-1\end{eqnarray*}が成り立ちます。=-1\end{equation*}であることが明らかになりました。coefficient)などと呼びます。\)がそれぞれ有限な実数として定まるか検討できます。differentiable)であるとか半微分可能(semi-differentiable)であるなどと言います。=x\end{equation*}を定めるものとします。&=&1\end{eqnarray*}が成り立ちます。0-0\right)\end{equation*}が成り立ちます。関数の右側微分係数と左側微分係数は一致するとは限りません。以下の例より明らかです。x\right\vert\end{equation*}を定めるものとします。&=&-1\end{eqnarray*}が成り立ちます。0-0\right)\end{equation*}が成り立ちます。}{h}\)もまた定義されないため、この場合には\(f\)が点\(a\)において片側微分可能であるか検証できず、したがって\(f\)は点\(a\)において片側微分可能ではありません。関数\(f\)が点\(a\)において定義されていない場合、\(f\)は点\(a\)において片側微分可能ではないということです。=\frac{1}{x}\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は点\(0\)において定義されていないため、\(f\)は点\(0\)において右側微分可能ではなく、左側微分可能でもありません。0+\)の場合の右側極限をとれません。したがってこの場合、\(f\)は点\(a\)において右側微分可能ではありません。0-\)の場合の左側極限をとれません。したがってこの場合、\(f\)は点\(a\)において左側微分可能ではありません。\end{equation*}が与えられているものとします。b+\)の場合の右側極限をとれません。したがって、\(f\)は点\(b\)において右側微分可能ではありません。同様の理由により、\(f\)は点\(a\)において左側微分可能ではありません。関数\(f\)が点\(a\)以上の周辺の任意の値において定義されている場合においても、\(f\)は点\(a\)において右側微分可能であるとは限りません。関数\(f\)が点\(a\)以下の周辺の任意の値において定義されている場合においても、\(f\)は点\(a\)において左側微分可能であるとは限りません。以下の例より明らかです。=\sqrt{x}\end{equation*}を定めるものとします。\\&=&+\infty\end{eqnarray*}となります。これは有限な実数ではないため、\(f\)は点\(0\)において右側微分可能ではないことが明らかになりました。0+\)とした場合の右側極限として定義されます。一般に、関数が右側収束する場合にはそこでの右側極限は1つの実数として定まるため、関数の右側極限として定義される右側微分係数もまた1つの実数として定まります。左側微分係数についても同様です。\)は1つの実数として定まる。\end{equation*}が存在することを意味します。先に示したように右側微分係数は常に1つの実数として定まります。\end{equation*}が定義可能です。x+0\right)\end{equation*}などで表記します。関数\(f\)は定義域\(X\)上の任意の点において右側微分可能であるとは限りません。}\)の定義域\(Y\)は\(X\)の真部分集合になります。}\)は、もとの関数\(f\)が右側微分可能な点においてのみ定義される関数であるということです。differentiable)などと言います。=x\end{equation*}を定めるものとします。=1\end{equation*}を定めます(演習問題)。x\right\vert\end{equation*}を定めるものとします。0\right)\end{array}\right.\end{equation*}を定めます(演習問題)。\end{equation*}が存在することを意味します。先に示したように左側微分係数は常に1つの実数として定まります。\end{equation*}が定義可能です。-+0\right)\end{equation*}などで表記します。関数\(f\)は定義域\(X\)上の任意の点において左側微分可能であるとは限りません。}\)の定義域\(Y\)は\(X\)の真部分集合になります。}\)は、もとの関数\(f\)が左側微分可能な点においてのみ定義される関数であるということです。differentiable)などと言います。=x\end{equation*}を定めるものとします。=1\end{equation*}を定めます(演習問題)。x\right\vert\end{equation*}を定めるものとします。x>0\right)\end{array}\right.\end{equation*}を定めます(演習問題)。derivative)と呼びます。以下は導関数と右側導関数、そして左側導関数がいずれも一致する例です。=x\end{equation*}を定めるものとします。=1\end{equation*}を定めます。\(f\)の導関数と右側導関数と左側導関数は一致します(演習問題)。一致するとは限りません。以下の例より明らかです。x\right\vert\end{equation*}を定めるものとします。x>0\right)\end{array}\right.\end{equation*}を定めます。0\right)\end{array}\right.\end{equation*}を定めます。x>0\right)\end{array}\right.\end{equation*}を定めます。\(f\)の導関数と右側導関数と左側導関数はすべて異なります(演習問題)。=x\end{equation*}を定めるものとします。}\)をすべて求めてください。=3-x^{2}\end{equation*}を定めるものとします。}\)をすべて求めてください。x\right\vert\end{equation*}を定めるものとします。}\)をすべて求めてください。-x^{2}\end{equation*}を定めるものとします。}\)をすべて求めてください。password?有料のプレミアム会員であれば、質問やコメントの投稿と閲覧、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題とその解答)へのアクセスなどが可能になります。関係なく「学ぶ人」として対等であり、お互いを人格として尊重することが求められます。ユーザーが快適かつ安心して「学ぶ」ことに集中できる環境を整備するため、広告やスパム投稿、他のユーザーを貶めたり威圧する発言、学んでいる内容とは関係のない不毛な議論などはブロックすることになっています。詳細はガイドラインをご覧ください。ワイズのガイドラインとは?誤字脱字、リンク切れ、内容の誤りを発見した場合にはコメントに投稿するのではなく、以下のフォームからご連絡をお願い致します。有料プレミアム会員は質問・コメントの投稿と閲覧、命題の証明の閲覧、演習問題とその解答への閲覧が可能になります。皆さまからよく頂く質問への回答をまとめました。こちらに解決方法が見つからない場合にはお問い合わせください。変更するパスワードをリセットお問い合わせ使い方ワイズについてよくある質問トップページワイズについてよくある質問トップページ。