えられた条件を満たす対象をすべて集めたものを集合と呼びます。集合は命題関数から定義することもできます。集合の表記方法としては、外延的表記と内包的表記があります。与えられた条件を満たす対象をすべて集めたものを集合(set)と呼びます。多くの場合、個々の集合をアルファベットの大文字\begin{equation*}A,B,C,\cdots\end{equation*}を用いて表記します。集合\(A\)に属する個々の対象を\(A\)の要素(element)や元などと呼びます。A\end{equation*}と表記します。Peano)によって導入されました。集合\(A\)に属する要素と集合\(B\)に属する要素が完全に一致する場合、\(A\)と\(B\)は等しい(equal)といい、そのことを、\begin{equation*}A=B\end{equation*}と表記します。notation)などと呼びます。集合\(A\)の要素が\(1,2,3\)という3つの数字である場合には、そのことを、\begin{equation*}A=\{1,2,3\}\end{equation*}と表記します。例(集合の外延的表記)\(10\)以下の正の偶数からなる集合\(A\)は、\begin{equation*}A=\{2,4,6,8,10\}\end{equation*}となります。&A\end{eqnarray*}などが成り立ちます。例(集合の外延的表記)日本の関東地方にある都道府県からなる集合\(A\)は、\begin{equation*}A=\{\text{茨城},\text{栃木},\text{群馬},\text{埼玉},\text{千葉},\text{東京},\text{神奈川}\}\end{equation*}となります。&A\end{eqnarray*}などが成り立ちます。\}\end{equation*}などと表記します。\)を用いて表現しています。\}\end{equation*}となります。&A\end{eqnarray*}などが成り立ちます。\}\end{equation*}となります。&A\end{eqnarray*}などが成り立ちます。例(集合の外延的表記)数集合の表記には慣例があります。\end{eqnarray*}などが成り立ちます。集合を外延的表記で表現するとき、集合の要素を並べる順番を変えても、集合としては等しいものと定めます。したがって、例えば、\begin{equation*}\{1,2,3,4\}=\{2,4,1,3\}=\{4,3,2,1\}\end{equation*}という関係が成り立ちます。集合を外延的表記で表現するとき、同じ要素を重複して書くことは禁じられていませんが、同じ要素をいくつ書いても効果は1つだけ書いた場合と同じと定めます。したがって、例えば、\begin{equation*}\{1,1,1,2,2,3,4\}=\{1,2,3,4\}\end{equation*}という関係が成り立ちます。集合は命題関数から定義することができます。\)の真理集合に相当する1つの集合\(A\)が得られます。(1)\end{equation}と表記します。\text{が真}\end{equation*}という関係を満たすものとして集合\(A\)を表現するということです。notation)と呼びます。\)は真か偽のどちらか一方です。\)のように内包的に定義したとき、定義域\(X\)に属するそれぞれの値\(x\)は、集合\(A\)に属するか否かのどちらか一方です。x>0\}\end{equation*}となります。\)はすべての整数からなる集合を表す記号です。A\end{equation*}が成り立ちます。A\end{equation*}が成り立ちます。&A\end{eqnarray*}などが成り立ちます。x\text{は片仮名}\right\}\end{equation*}となります。\(X\)は日本語のすべての文字からなる集合です。A\end{equation*}が成り立ちます。A\end{equation*}が成り立ちます。&A\end{eqnarray*}などが成り立ちます。x^{2}=1\}\end{equation*}となります。\)はすべての実数からなる集合を表す記号です。A\end{equation*}が成り立ちます。A\end{equation*}が成り立ちます。&A\end{eqnarray*}などが成り立ちます。x\text{は関東地方にある}\}\end{equation*}となります。\(X\)は日本のすべての都道府県からなる集合です。A\end{equation*}が成り立ちます。&A\end{eqnarray*}などが成り立ちます。集合を内包的に表現する場合、集合を規定する命題関数の変数を表す記号として何を採用しても構わないものと定めます。\}\end{eqnarray*}などの関係が成り立ちます。P(x)\}\end{equation*}と表記することも可能です。外延的表記を使うと集合に属する個々の要素が一目瞭然であることから、外延的表記は内包的表記よりも分かりやすさの面で優れています。その反面、外延的表記では表現が難しい集合を内包的表記はシンプルに表現できるケースがあります。AB=BC=AC\}\end{equation*}などと表現できます。\)から内包的に定義されるものとします。P(x)\}\end{equation*}と表現できます。内包的表記は外延的表記よりも表現手段として柔軟です。\right\}\end{equation*}と定義します。x\right)\end{equation*}という関係が成り立ちます。\)が真であることは必要十分です。x\right)\end{equation*}という関係も成り立ちます。\)が偽)であることは必要十分です。このような関係を利用すれば、集合に関する議論を命題関数に関する議論に置き換えることができるため、述語論理の知識を用いて集合に関する議論を展開できます。内包的表記は外延的表記よりも議論のツールとして有用です。問題(内包的に表現された集合を外延的に表現する)内包的に表現された以下のそれぞれの集合を外延的に表現してください。\)はすべての自然数からなる集合です。(外延的に表現された集合を内包的に表現する)外延的に表現された以下のそれぞれの集合を内包的に表現してください。\)について\(A=3\)が成り立ちますか?成り立つ場合にはそれを証明し、成り立たない場合にはその理由を述べてください。\)について考えます。\)はすべての整数からなる集合です。このとき以下を示してください。password?有料のプレミアム会員であれば、質問やコメントの投稿と閲覧、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題とその解答)へのアクセスなどが可能になります。関係なく「学ぶ人」として対等であり、お互いを人格として尊重することが求められます。ユーザーが快適かつ安心して「学ぶ」ことに集中できる環境を整備するため、広告やスパム投稿、他のユーザーを貶めたり威圧する発言、学んでいる内容とは関係のない不毛な議論などはブロックすることになっています。詳細はガイドラインをご覧ください。ワイズのガイドラインとは?誤字脱字、リンク切れ、内容の誤りを発見した場合にはコメントに投稿するのではなく、以下のフォームからご連絡をお願い致します。有料プレミアム会員は質問・コメントの投稿と閲覧、命題の証明の閲覧、演習問題とその解答への閲覧が可能になります。皆さまからよく頂く質問への回答をまとめました。こちらに解決方法が見つからない場合にはお問い合わせください。変更するパスワードをリセットお問い合わせ使い方ワイズについてよくある質問トップページワイズについてよくある質問トップページ。