スポンサーリンクべき関数の微分はなんでもOKそしてさらに抑えたいのは指数がなんであってもこれが成り立つということです。・・・次関数全てと言っていましたが、それすらも越えることができます。要するに\(f(x)=\frac{1}{x}\)なども我々はなにも考えずに微分ができます。いうことかというと指数法則から\(f(x)=x^{-1}\)と考えてこれを先ほどの公式に当てはめて微分するだけです。\(f'(x)=(-1)x^{(-1-1)}=-x^{-2}=-\frac{1}{x^2}\)これでOKなのです。教科書にはごちゃごちゃといろんなことが書いてありますがひとまずはこの公式が重要です。これさえあればべき関数の微分はなんでもできます。\(f(x)=\sqrt{x}\)は\(f(x)=x^{\frac{1}{2}}\)と考えて微分すると\(f'(x)=\frac{1}{2}x^{(\frac{1}{2}-1)}=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{x}}\)です。関数の微分であれば全て指数表記にして、公式に当てはめれば微分できるであるのです。この事実が非常に重要です。これさえ抑えておけばn次式の微分は必ずできます。詳しい証明などは別でまとめておきます。証明も重要なので是非みて欲しいのですが、冒頭にも言った通り「微分はあくまで手段」なので、その「微分したものがなにを意味するか」が重要です。証明はその公式を何も考えず使って良いことの「保証」であり、それはとうの昔に頭のいい数学者が完全な証明をしたわけです。私たちはそれを認めて、まずは鵜呑みにしても良いでしょう。