(1+a_{n}(E)t)}から従う。a_{i}=c_{1}(L_{i})}は第一チャーン類である。roots)と呼ばれ、多項式の係数を決定する。a_{n}(E))}である。polynomials)である。基本対称多項式である。c_{t}(E)}は、コホモロジー環へ拡張の後、線型要素に分解する。線束の直和である必要はない。置き換えることができる。t_{n}))}とすることができる(ニュートンの恒等式を参照。{1}{6}}(c_{1}^{3}-3c_{1}c_{2}+3c_{3})+...,}である。.\end{aligned}}}で与えられる。コホモロジーの元の系列である。整数係数を持つコホモロジーである。全チャーン類を次の式で定義することもできる。}値は実数係数のコホモロジー群というよりも整数係数コホモロジー群であるから、これらのチャーン類はリーマン多様体のチャーン類の定義よりも少し精密化されている。編集チャーン類は次の公理を満たす。c_{0}(V)=1}である。c_{k}(f^{*}V)=f^{*}c_{k}(V)}である。W}のチャーン類は、次で与えられる。c_{k-i}(W)}である。^{k}}のポアンカレ双対とする。これらを公理を少し小さいものに置き換えた。c(E'')}である。})}は基礎となる実ベクトル束のオイラー類である。theorem)を使い、任意の有限ランクの複素ベクトル束の全チャーン類を、トートロジカルに定義された線束の第一チャーン類の項で定義することができることを示した。射影空間となっている。超平面のポアンカレ双対クラスを引いたものへ制限する。この制限を入れると複素射影空間の観点からはファイバーのコホモロジー空間を張る。(E))}は、ファイバのコホモロジーに基底へ制限する周囲のコホモロジー類の族を形成する。線型結合として一意に表されることを言っている。c_{n}(E)}と書く。-a^{n}}へ拡張する方法である。c_{n-1}(E).a+c_{n}(E).}従って、この代わりの定義が、他の気に入った定義、あるいは前に公理的特徴付けに使った定義に一致しているか否を検証することができるであろう。事実、これらの性質はチャーン類を一意に特徴付ける。これらは多くの他のことのなかでも、次のことを意味している。c_{k}(V)=0}となる。このようにして全チャーン類は終了する。c_{n}(V)}のことを意味する)、いつでも基礎となっている実ベクトルバンドルのオイラー類に一致する。K-theory)から有理コホモロジー(の完備化)への準同型の環の構成に使うことができる。次のように定義される。x_{i}=c_{1}(L_{i}),}をもつ線束の直和とすると、チャーン指標は加法的に次のように定義される。c_{i}(V)=e_{i}(x_{1},...,x_{n}).}と表すことができることに注意する。x_{n})}である。中のベキ和を再表現できて、次の関係式を与える。定義として採用される。}}\right)\right)}である。チャーン指標は、ある部分では有用である。チャーン指標はテンソル積のチャーン類の計算することに役に立つからである。次の恒等式がチャーン指標の定義より結果する。あるということへ一般化できる。環の準同型であるという事実を確立する。チャーン指標は、ヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理で使われる。number)が与えられる。