三角比とはなんだ?何の役に立つ?どんな歴史があるの?歴史・科学・教育のオモしろくてタメになる話。2017.06.06こんにちは、ジュウゴです。数学って「それを学んでいったい何の役に立つんだ?」と思いますよね。今回はそんな単元の代表格、高校数学の「三角比」について見ていきます。三角比とは何か?サイン、コサイン、タンジェントがいったい何の役に立つのか?だれしも一度は思ったことがあるでしょう。昔からそうだったみたいで、明治の俳人・歌人である正岡子規も「酒」という随筆の冒頭でこう書いています。一つ橋外の学校の寄宿舎に居る時に、明日は三角術の試験だというので、ノートを広げてサイン、アルファ、タン、スィータ、サイン、アルファ、タン、スィータと読んで居るけれど少しも分らぬ。困って居ると友達が酒飲みに行かんかというから、すぐにいっしょに飛び出した。正岡子規でも投げ出した三角比に、ド文系のジュウゴが無謀にもいどみます。できるだけわかりやすく、その成り立ちから応用まで解説してみたいと思います。その歴史と成り立ち三角比は測量のために生まれたサイン、コサイン、タンジェントの成り立ち「三角比の表」を最初につくったヒッパルコス三角比をつかって山の高さを測る地球の半径を測る月までの距離を測る三角比はいまどう応用されているのか三角比とは何か。その歴史と成り立ち三角比の授業では、いちばんはじめに上の図のような定義を習います。\)を計算した値ということにすると。これいったい、いつ、だれが、なんのために考え出したんでしょうか?スポンサーリンク三角比は測量のために生まれた先に結論をいうと、三角比は紀元前2世紀に、アレクサンドリアの学者ヒッパルコスが考えだしたものです。正確にいうと、古代メソポタミアやエジプトからずっと考えられていて、ヒッパルコスによっていちおうの完成をみたのが三角比という分野です。三角比はなんのために考え出されたかというと、測量のためです。長さや距離を測るために、生み出された考え方なんです。長さや距離といっても、身長とかあそこの木までの距離とか、そんな小さなスケールじゃありません。それだったら巻尺つかえばいいし。三角比を使えば、遠くの山の高さを測れたり、あるいは山や岬や島までの距離がわかって地図を描けたりするんです。ヒッパルコスは三角比を使って、地球の半径や、地球から月までの距離も測っちゃったんです。やって測ったのか?その方法をくわしく見ていきましょう。2010-08-20Amazon楽天市場サイン、コサイン、タンジェントの成り立ちはじめに遠回りしますが、すこしだけ付き合ってください。ヒッパルコスの測量方法を理解するには、まずサイン、コサイン、タンジェントの意味を知る必要があるからです。中学3年生で習った「2つの角が等しい三角形は相似である」という定理を思い出してください。相似とは、大きさはちがうけど形は同じということでしたね。直角三角形の場合は、直角部分の角が等しいから、あと1つどこか角が等しければその直角三角形どうしは相似になります。上の図でいうと、赤い角の部分だけ等しければ、2つの直角三角形は相似です。つぎに、「相似な図形の辺の比は等しい」という定理も思い出してください。後の式を分数で表すと、$$\frac{b}{a}=\frac{b’}{a’}$$となります。(比を分数で表してもいいというのは、小学校で習いましたね)。値は同じということがわかります。値も1つに決まるんです。値に特別な名前をつけたんです、「サイン」と。「タンジェント」と名付けました。「三角比の表」を最初につくったヒッパルコスそれからヒッパルコスは、sin1°は0.0175、sin2°は0.0349、sin3°は0.0523...と、実際に値を出していきました。b\)の長さを測って、わり算すれば出ますもんね。直角三角形の大きさはなんでもいいですし。(本当の求め方はちょっとちがうんですが、話が複雑になるので触れません。ついでに「サイン」「コサイン」「タンジェント」という名称も、本当はヒッパルコスが使っていた言葉ではないんですが、ややこしくなるので割愛します)。コサインとタンジェントの値も同じように、ヒッパルコスは求めていきました。して求めた値をぜんぶまとめると、下の表のようになります。三角比の表(数研出版「チャート式I+A」巻末より)そう、教科書や参考書にかならず載っている「三角比の表」です。この表を最初につくったのがヒッパルコスだったんですね。彼はこの値を使って、山の高さや、地球の半径や、月までの距離など、いろんな長さを測っていきました。やったのか?もうちょっとでたどり着きます。三角比をつかって山の高さを測るまず、山の高さの測り方です。値を求めることになります。山の高さを測るのに、頂上から真下にトンネルをほってメジャーを垂らすわけにはいきません。そこで三角比の出番になります。山からじゅうぶん離れた平地に立ちます。このとき山からの水平距離を測っておきます。歩数でもだいたいの距離はわかるでしょう。いまは例として5km(5000m)だったとします。つぎにそこから山を見上げます。ここで分度器か測量機などで、見上げた角度を測ります。例として24°だったとします。ここで三角比のうち、タンジェントに登場ねがいます。タンジェントの定義から、次の等式が成り立ちます。tan24°$$ここで\(tan24°\)はすでにヒッパルコスが計算してくれています。0.4452\)です。2226$$これで、山の高さが2226mとわかりました。このようにして、三角比をつかって遠い山の高さを測ることができるんですね。地球の半径を測るつぎにヒッパルコスが地球の半径を測った方法を紹介します。値を求めることになります。ヒッパルコスは高い山の頂上にのぼり、そこから地平線を見下ろしました。いま仮に山の高さは4km、見下ろした角度は88°としましょう。山の高さは前掲の方法で測れるし、角度はやはり分度器か測量機で測れます。じつはこれだけで、地球の半径を求めることができます。今度はサインの出番です。サインの定義により、次の式が成り立ちます。\frac{r}{r+4}$$\(sin88°\)は「三角比の表」より、0.9994です。\frac{r}{r+4}$$これ、\(r\)についての1次方程式ですね。中1の知識で解けます。6662.666・・・$$地球の半径は約6663kmとわかります。(現代の精密な観測では、地球の半径は約6400kmです)。いまから2200年も前に、計算だけで地球の半径を測っちゃったんですね。三角比というのがどれだけ役に立つ強力な武器であったか、わかると思います。月までの距離を測る最後に、ヒッパルコスが月までの距離を測った方法も紹介しましょう。値を求めることになります。話を単純にするために、ヒッパルコス自身の方法とはすこし変えていますが、本質はたいして変わりません。ヒッパルコスは地球上を移動して、月が同じ位置にあるときに、2回、月を見ます。一度は月が真上に来たとき(=南中したとき)に、もう一度は月が地平線に隠れるかどうかというときに見ます。ちなみに「月が同じ位置」という条件は、そうじゃないと、上図のような固定した三角形をイメージできないからです。月って地球の周りを回ってますからね。して2回月を見てから、ヒッパルコスはそれぞれの地点での緯度の差を出しました。ヒッパルコスは、いまいる地点の緯度を出す方法を知っていました。この緯度の差というのが、上図の赤い角度になります。いまは89°としておきます。地球の半径はさっき計算したように、6663kmとしておきます。これで準備が整いました。今度はコサインに登場してもらいます。コサインの定義により、次の式が成り立ちます。\frac{6663}{d}$$\(cos89°\)は「三角比の表」より、0.0175です。380742.85714\)、約38万kmと出てきます。(現代の精密な観測では、地球と月の距離は約38.5万km)。三角比を使うことで、地球と月の距離まで測れるんですね。ピラミッドの高さを計算したり、いろんな地点までの距離を測って地図を描いたりできるのは、いわずもがなです。した測量に、三角比がおおいに役に立つのです。三角比はいまどう応用されているのかここまで、三角比の歴史と成り立ち、どのように役に立ってきたかを解説しました。21世紀の現代において三角比はどのように使われているんでしょうか?じつは測量をはじめ、設計や建築などの分野でバッチリ役に立っています。そのひとつの例として、日本の国土地理院が三角比を使ってどのように地図を作製しているかを見ていきたいと思います。[関連記事]絶対値とは何か?なんの意味があるのか?簡単に解説してみた数学の証明ってなに?なんで証明するの?なぜ文字を使うの?三角形の面積を求める公式7選。高校数学のまとめにどうぞただ、じっさいに地図を作製するときには、正弦定理や、加法定理などを使います。地形を見ていて、直角三角形がそう都合よくいつも出てくるわけじゃないからです。上でみた3つの例はむしろ特殊です。じっさいは直角のない、ただの三角形から、辺の長さを求めなければいけません。正弦定理や加法定理などを使って、ちょっとした計算が必要になるんですね。そこでまず、正弦定理や加法定理がどのように出てきたのか、歴史の流れにそって証明して、それから地図作成の例を見てみたいと思います。PM「三角比をつかって山の高さを測る」の項でつまずきました。「このとき山からの水平距離を測っておきます。PM鋭いご質問ありがとうございます。説明の流れ上省きましたが、山からの水平距離もまた、三角比を使った測量つまり「三角測量」で測ったのだと思われます。三角測量の方法は次の記事「三角比はいまどんな職業で役に立っているか?地図製作を例に解説する」でくわしく解説しています。PM主さんupお疲れ様です。PM下と同じ人かな?ありがとうございます。「フェルマーの最終定理」ですか。それ自体については、サイモン・シンの著作を超える「わかりやすい説明」はないと思いますが、数学の歴史という連載のなかで触れる予定ではおります。いま現在のフェミニズムの思想史の連載を終えたら、とりかかるかも、です。知りたい場合は上述の本がおすすめです。PM主さん、わざわざありがとうございます。これを見てずーっと分からなかった三角関数が少し理解できました。リクエストなんですが『フェルマーの最終定理』を分かりやすく説明して欲しいです!返信プログラミングと三角関数〜すんませんなめてました、けど頑張ります。AMご指摘いただき確認しましたが、正しいようです。PMaを斜線bを高さcを底辺とするとsinθは斜線分の高さcosθは斜線分の底辺tanθは底辺の高さで求めることができるはずなので問題ないと思います。