原文と比べた結果、この記事には多数の(または内容の大部分に影響ある)誤訳があることが判明しています。情報の利用には注意してください。正確な表現に改訳できる方を求めています。classes)は複素ベクトル束に付随する特性類である。編集チャーン類は特性類である。チャーン類は滑らかな多様体のベクトル束に付随する位相不変量である。2つの表向きは異なるベクトル束が同じか否かという疑問は、答えることが非常に難しい。チャーン類は、簡単な検証法を提供する。2つのベクトル束のチャーン類が一致しなければ、ベクトル束は異なる。トポロジーや微分幾何学や代数幾何学では、しばしば、ベクトル束がいくつの線型独立な切断を持つのかを数えることが重要となる。チャーン類は、例えばリーマン・ロッホの定理やアティヤ・シンガーの指数定理を通して、線型独立な切断の数についていくつかの情報をもたらす。チャーン類は、実用的な計算にとっても妥当性を持っている。微分幾何学では(また、ある種の代数幾何学では)、チャーン類は曲率形式の係数の多項式として表すことができる。編集この問題へのアプローチには数々の方法があり、それらの各々はチャーン類の少しずつ異なる側面に焦点を当てている。チャーン類への元々のアプローチは、代数トポロジーを通してであった。写像(この場合には、無限グラスマン多様体(英語版)(Grassmannian)である)を提供するホモトピー論を通して発生する。分類空間の上の普遍束の引き戻しとして実現される。チャーン類は、普遍束のチャーン類の引き戻しとして定義することができる。cycle)によって、明示的に書き下すことができる。チャーンのアプローチは、微分幾何学を使っていて、この記事において主として述べられる曲率のアプローチを使っていた。彼は以前の定義が実は彼の定義と同値であることを示した。Grothendieck)のアプローチもあり、彼は線束の場合の定義のみが公理論的に必要であることを示した。チャーン類は代数幾何学で自然に発生した。代数幾何学での一般化されたチャーン類は、任意の非特異多様体の上のベクトル束(さらに詳しくは、局所自由層)に対して定義することができる。代数幾何学的なチャーン類は、基礎となる多様体が何らかの特別な性質を持っていることを要求しない。ベクトル束は複素数である必要はない。特別なことを考えずに、チャーン類の直感的な意味をベクトル束の切断(英語版)(section)の「ゼロ点を要求する」ことに関係付ける。1-次元射影空間に対し、一般化できる(以下の複素数の髪の毛のボールの定理の例を参照)。さらなる議論はチャーン・サイモンズ理論を参照。層の理論での記述は、指数層系列を参照。線束のときが、非常に重要な場合である。二次コホモロジー群の元のことである。チャーン類の先頭として、第一チャーン類は線束のオイラー類に等しい。invariant)である。元の間には全単射が存在し、第一チャーン類を線束とを結び付ける。equivalence)類による正則線束の(同型類の)分類に、実際には非常に近い存在である。大きな複素ベクトル束では、チャーン類は完備不変量ではない。特性多項式を係数として与えられる。次のように定義される。ゲージ群のゲージ形式(英語版)として表すこととする。単位行列を表すとする。与えられた表現がチャーン類を表しているということは、完全形式を加えること違いを除いて、ここでは「類」を意味する。チャーン類は、ド・ラームコホモロジーの意味でコホモロジー類である。接続の選択には依存していないことを示すことができる。マクローリン級数を使うと、このチャーン類の展開は次のようになる。1-次元複素射影空間である。リーマン球面の正則な局所座標であると仮定する。形式を持つ複素接ベクトルのベクトル束とする。いかなる場所でもゼロとはならないような切断を持たないことを証明する。このために次の事実を必要とする。自明ベクトル束の第一チャーン類はゼロである。})=0}このことは自明ベクトル束は常に平坦接続を持つという事実によって示される。=0}を示すことにする。ケーラー計量を考える。{z}}}{(1+|z|^{2})^{2}}}}により与えられることを示すことができる。\right]}である。このコホモロジー類がゼロではないことを示す必要がある。このためには、リーマン球面上の積分を計算すればよい。{z}}}{(1+|z|^{2})^{2}}}=2}となる。なければならないので、コホモロジー類はゼロではあり得ない。0}が存在する[3]。bundle)である。P^{n}}(1))^{n+1}=(1+a)^{n+1}},が成り立つ。P^{n}}(-1)}の第一チャーン類の負の部分である)。{n+1}{k}}a^{k}}となる。編集チャーン多項式は、チャーン類を扱い、系統的に考え方を関連付ける便利な方法である。+c_{n}(E)t^{n}.}により与えられる。これは新しい不変量ではない。跡(track)を追い続ける[4]。+c_{n}(E)}により完全に決定される。