成り立つことを証明せよ。成り立つことを証明せよ。不等式の証明の問題です。1番の問題は典型的な証明の問題ですので必ず押さえたいところです。2番に関してはうまく1番の結果を使えるかどうかがカギです。問題を解いていきましょう。不等式の問題の一番の基本は証明したい大小関係を見極め「差」として考えることです。当たり前のことですが、問題文に与えられている証明したい不等式からスタートするのは言語道断です。この不等式を証明したいのにそこからスタートするということはありえません。スタートがゴールになってしまいますからね。「不等式」とは言うものの最初は「式」を変形していくことからスタートします。その第一歩が「差」です。要するにある式を変形していった結果、必ず正負が決まる形になればどちらが大きいか小さいかが判断できます。$$5>2$$であることが言えますよね。これと同じことを式でもやるのです。比べてあげたいので、$$(ab+1)-(a+b)$$を計算します。ほうが大きいことになり、$$(ab+1)>(a+b)$$が証明できます。ゴールは見えましたね。$$(ab+1)-(a+b)$$を計算していきます。まとめればいいでしょうか。数学において式の正負が一番わかりやすいのは積の形です。(-)$$であると考えたはずです。これと同じように、掛け算の形にしてそれぞれの正負が分かれば、その式の正負も決まります。式の変形の方針もおのずと立つわけです。それは因数分解ですね。$$(ab+1)-(a+b)=ab+1-a-b=a(b-1)+1-b$$まずは一つの文字に注目してそれでくくり、$$=a(b-1)-(b-1)$$因数分解できるように同じ因数(共通の形)を作り、$$=(a-1)(b-1)$$因数分解します。できましたでしょうか。ここまでくれば後は条件を使うだけです。-2<b-1<0$$となり、それぞれの項がどちらも負になることが確認できます。いうことはその積は必ず正ですので$$(ab+1)-(a+b)=(a-1)(b-1)>0$$より$$ab+1>a+b$$より$$a+b<ab+1$$が証明出来ました。この証明のパターンは非常に大事ですので必ず押さえましょう。次の問題はこの1番の計算結果を使う問題です。これはなかなか慣れないとわかりませんが、一度見て「こんな風に使うのか」ということを理解してもらえれば幸いです。一つは、1番の問題と比べて形が非常に似ていること、二つ目は条件がすべて同じことです。このような結果を使う問題ではどちらか一方からスタートするのが得策です。$$abc+2$$からスタートしましょう。ひとかたまりとみれば1番の式の右辺と同じ形にできそうだからです。あることは簡単にわかりますので、1番の式から$$A+c<Ac+1$$が成り立ちます。よって両辺に1を足せば$$A+c+1<Ac+2$$ができ、変形していた式と同じものが出てきました。c+2=Ac+2>A+c+1$$となり、式としては、$$abc+2>A+c+1$$このような関係になりました。ここまでくればあと少し。したので戻すと、$$abc+2>ab+c+1$$で、1番の形がまた出てきましたね。足せば$$a+b+c<ab+1+c$$なので、書き換えれば$$abc+2>ab+c+1=ab+1+c>a+b+c$$より$$abc+2>a+b+c$$が証明できました。大変でしたが2度1番の式を使えばたどり着ける問題でしたね。スポンサーリンクまとめ不等式の証明はまずは1番ができることが肝心です。差を使って不等式を証明することは基本ですのでやり方を含めて自力でできるようになっておくことをおススメします。2番の問題は少しトリッキーな問題ですが、不等式の証明などではよくある「結果を使う」ものになっていますので、じっくり考えて身に着けておくといいでしょう。並べ替えの問題はベン図を活用してみよう今回の問題はこちら。工夫するとうまく解くことができます。7個の文字すべてを1列に並べるとき、次の問いに答えよ。並べ方は全部で何通りあるか。隣り合う並べ方は何通りあるか。不等式、2次関数との関わり今回の問題はこちら。