この式はまさに,ピックの定理が成り立つために証明したかった,ターゲットの式そのものですね。よって,どんな三角形でも,ピックの定理が成り立つことが証明されたわけです。(証明終)5.どんな図形でも,ピックの定理は成り立つ。1どんな図形でもピックの定理が成り立つことを,以下の順で証明していきます。どんな図形も,何個かの三角形に分けることができる。ある図形に対してピックの定理が成り立つならば,その図形に三角形をくっつけた図形にも,ピックの定理は成り立つ。どんな図形にも,ピックの定理は成り立つ。どんな図形も,何個かの三角形に分けることができる。下の図のように,1つのちょう点から対角線を引いていけば,何個かの三角形に分けることができます。下の図のような,くぼんだ図形であっても,ちょっと工夫することによって,何個かの三角形に分けることができます。ある図形に対してピックの定理が成り立つならば,その図形に三角形をくっつけた図形にも,ピックの定理は成り立つ。右の図のような図形Pがあったとして,この図形にはピックの定理が成り立つと,わかっているとしましょう。Pの面積=Pのまわりの点の数÷2+Pの内部の点の数−1図形Pに,右の図のような三角形Qをぴったりくっつけるとしましょう。どんな三角形でもピックの定理は成り立つのですから,Qにもピックの定理は成り立ちます。Qの面積=Qのまわりの点の数÷2+Qの内部の点の数−1すると,PとQの面積の和は,次の式になります。PとQの面積の和=(Pのまわりの点の数+Qのまわりの点の数)÷2+Pの内部の点の数+Qの内部の点の数−1−1PにQをくっつけた図形をRとして,Rのまわりの点の数÷2+Rの内部の点の数−1が,PとQの面積の和になったならば,Rにもピックの定理が成り立つことになります。(Pのまわりの点の数+Qのまわりの点の数)÷2+Pの内部の点の数+Qの内部の点の数−1−1と等しいことを,証明できればよいわけです。ところで,Rのまわりの点の数は,PとQのまわりの点の数の合計とは,等しくありません。いうのは,PとQをくっつけることによって,右の図の赤い辺どうしがくっつくことになり,赤い辺の両端の2つのちょう点と,図のアアの部分の点の数のぶんだけ,まわりの点の数が少なくなってしまいます。よって,Qのまわりの点の数=Pのまわりの点の数+Qのまわりの点の数−アア−2となります。Rの内部の点の数も,PとQの内部の点の数の合計とは,等しくありません。いうのは,PとQをくっつけることによって,右の図のアの部分も,Rの図形の内部になってしまうからです。よって,Qの内部の点の数=Pの内部の点の数+Qの内部の点の数+アとなります。Rのまわりの点の数÷2+Rの内部の点の数−1=(Pのまわりの点の数+Qのまわりの点の数−アア−2)÷2+Pの内部の点の数+Qの内部の点の数+ア−1=(Pのまわりの点の数+Qのまわりの点の数)÷2−ア−1+Pの内部の点の数+Qの内部の点の数+ア−1=(Pのまわりの点の数+Qのまわりの点の数)÷2+Pの内部の点の数+Qの内部の点の数−1−1たしかに,ターゲットの式そのものになりましたね。よって,ある図形に対してピックの定理が成り立つならば,その図形に三角形をくっつけた図形にも,ピックの定理は成り立つ。いうことが,証明されたことになります。どんな図形にも,ピックの定理は成り立つ。ピックの定理を証明するときがきました。いままでたくさん準備してきましたね。次のような図形があったとしましょう。この図形は,必ず何個かの三角形に分けることができます。どれか1つの三角形に注目しましょう。この図形は三角形ですから,ピックの定理は成り立ちます。いま注目している三角形の,すぐとなりの三角形をくっつけるとします。はじめの三角形にはピックの定理が成り立ち,すぐとなりの三角形にもピックの定理が成り立つのですから,(2)で証明した通り,くっつけたあとの図形にも,ピックの定理は成り立ちます。そのできあがった図形にも,すぐとなりの三角形をくっつけるとします。くっつける前の図形にはピックの定理が成り立ち,(2)で証明した通り,くっつけたあとの図形にも,ピックの定理は成り立ちます。このようにして,三角形をいくらくっつけていっても,必ずピックの定理は成り立つのです。すると,最終的にできあがった図形も,ピックの定理が成り立つことになるのです。