図で表すと,次のようになります。長方形において,ピックの定理は成り立つ。次のように表せることがわかりました。(2)で,内部の点の数は,次のように表せることがわかりました。よって,まわりの点の数÷2+内部の点の数は,次のように表すことができます。重ねると,右の図のようになります。1を引けば,長方形の面積になります。長方形の面積を表すことになります。これで,長方形においては,ピックの定理が成り立つことがわかりました。(証明終)2.直角三角形において,ピックの定理は成り立つ。1直角三角形においてピックの定理が成り立つことを,以下の順で証明していきます。直角三角形の面積を表す式を作成する。直角三角形のまわりの点の数を表す式を作成する。直角三角形において,ピックの定理は成り立つ。直角三角形の面積を表す式を作成する。長方形においては,ピックの定理が成り立つことが,すでにわかっています。長方形の面積は,次のように表すことができます。長方形における面積の式を,次のように変えてもよいことがわかりました。1長方形を,対角線によって2等分すると,直角三角形ができますから,右の図のような直角三角形では,次の式が成り立つことがわかりました。1)÷2今後の都合により,さらに次のように式を変更します。変更しても同じ意味であることを,よく見くらべて納得しましょう。直角三角形のまわりの点の数を表す式を作成する。(植木算で,両端もふくめた木の数は,1を加えることを思い出してください。直角三角形において,ピックの定理は成り立つ。(1)で,直角三角形の面積を表す式を作成しました。2)÷2(2)で,直角三角形のまわりの点の数を表す式を作成しました。1よく見くらべてみて下さい。?たて+横+対+1の部分が共通であることがわかりますね。よって,直角三角形の面積の式は,次のように変更することができます。部分は,あとで÷2をするのですから,次のように変更しても,同じ意味になります。1この式は,ピックの定理そのものですね。1これで,直角三角形においては,ピックの定理が成り立つことがわかりました。(証明終)3.底辺が水平な三角形において,ピックの定理は成り立つ。1底辺が水平な三角形においてピックの定理が成り立つことを,以下の順で証明していきます。底辺が水平な三角形の面積を表す式を作成する。底辺が水平な三角形のまわりの点の数を表す式を作成する。底辺が水平な三角形において,ピックの定理は成り立つ。底辺が水平な三角形の面積を表す式を作成する。底辺が水平な三角形というのは,右の図のような三角形のことです。底辺が水平な三角形は,直角三角形2つに分けることができます。直角三角形においては,ピックの定理が成り立つことが,すでにわかっています。1右の図のように,それぞれの直角三角形のちょう点に赤い印をつけ,辺上の点の数(両端をふくまない)を,それぞれア〜オとし,直角三角形の内部の点の数を,それぞれ内1,内2とします。左側の直角三角形に,ピックの定理を適用します。左側の直角三角形の面積=(ア+イ+ウ+3)÷2+内1−1右側の直角三角形に,ピックの定理を適用します。右側の直角三角形の面積=(ウ+エ+オ+3)÷2+内2−1左側と右側の直角三角形の和が,全体の面積になりますから,底辺が水平な三角形の面積=(ア+イ+ウ+3)÷2+内1−1+(ウ+エ+オ+3)÷2+内2−1=(ア+イ+ウ+3+ウ+エ+オ+3)÷2+内1+内2−1−1=(ア+イ+エ+オ+6+ウ×2)÷2+内1+内2−1−1今後の都合により,さらに次のように式を変更します。変更しても同じ意味であることを,よく見くらべて納得しましょう。底辺が水平な三角形のまわりの点の数を表す式を作成する。底辺が水平な三角形において,ピックの定理は成り立つ。(1)で,底辺が水平な三角形の面積を表す式を作成しました。底辺が水平な三角形の面積=(ア+イ+エ+オ+4+ウ×2+2)÷2+内1+内2−1−1(2)で,底辺が水平な三角形のまわりの点の数を表す式を作成しました。まわりの点の数=ア+イ+エ+オ+4よく見くらべると,ア+イ+エ+オ+4の部分が共通であることがわかります。よって,底辺が水平な三角形の面積の式は,次のように変更することができます。部分は,あとで÷2をするのですから,次のように変更しても,同じ意味になります。部分は,三角形の内部の点の数を表しています。底辺が水平な三角形の面積=まわりの点の数÷2+内部の点の数−1この式は,ピックの定理そのものです。1これで,底辺が水平な三角形においては,ピックの定理が成り立つことがわかりました。(証明終)4.どんな三角形でも,ピックの定理は成り立つ。1どんな三角形でもピックの定理が成り立つことを,以下の順で証明していきます。三角形にぴったりはまる長方形を描く。取り除く三角形の面積の和を表す式を作成する。はまる長方形の面積を表す式を作成する。三角形の面積を表す式を作成する。どんな三角形でも,ピックの定理は成り立つ。三角形にぴったりはまる長方形を描く。長方形,直角三角形,底辺が水平な三角形においては,ピックの定理が成り立つことが,すでにわかっています。1また,右の図のような三角形の場合にも,底辺が水平な三角形と同じように,ピックの定理が成り立つことは理解できると思います。この三角形を,(本当は名前がついていませんが)底辺垂直三角形,と名付けることにします。右の図のような(ごくふつうの)三角形について,考えてみましょう。(三角形の形がちがっていても,考え方は同じです。)右の図のように,三角形にぴったりはまる長方形を描き,長方形から,いらない部分の三角形を取り除けば,三角形の面積を求めることができます。ここで,取り除く部分の三角形は,直角三角形か,底辺が水平な三角形か,底辺垂直三角形かのいずれかであることが理解できると思います。いうことは,長方形も,取り除く部分も,どれもこれもピックの定理が成り立つとわかっている図形ですね。取り除く三角形の面積の和を表す式を作成する。右の図のように,ちょう点に赤い印をつけ,それぞれの辺上の点の数(両端をふくまない)を,それぞれア〜クとし,内部の点の数を,それぞれ内1,内2,内3,内4とします。取り除かれる三角形の面積の和を表す式を,作成していきましょう。右の図のように,取り除かれる三角形を,P・Q・Rとします。はまる長方形の面積を表す式を作成する。次に,求めたい三角形にぴったりはまる長方形の面積に,ピックの定理を適用します。長方形の面積=まわりの点の数÷2+内部の点の数−1=(ア+イ+ウ+エ+4)÷2+(内1+内2+内3+内4+オ+カ+キ+ク+1)−1=(ア+イ+ウ+エ+4)÷2+内1+内2+内3+内4+オ+カ+キ+ク+1−1=(ア+イ+ウ+エ+4)÷2+内1+内2+内3+内4+オ+カ+キ+ク=(ア+イ+ウ+エ)÷2+内1+内2+内3+内4+オ+カ+キ+ク+2今後の都合により,さらに次のように変形します。三角形の面積を表す式を作成する。(3)により,長方形の面積は,(ア+イ+ウ+エ+オ+カ+キ+ク+オ+カ+キ+ク)÷2+内1+内2+内3+内4+2と表すことができました。(2)により,取り除く三角形の面積の和は,(ア+ク+オ+ク+イ+カ+キ+ウ+エ)÷2+(内1+内2+内3)+1.5と表すことができました。三角形の面積を求めるには,長方形の面積から,PQRの面積の面積の和を引くことになります。いうことは,(ア+イ+ウ+エ+オ+カ+キ+ク+オ+カ+キ+ク)÷2+内1+内2+内3+内4+2から,(ア+ク+オ+ク+イ+カ+キ+ウ+エ)÷2+(内1+内2+内3)+1.5を取り除く,ということです。赤い部分が共通であることに注意してください。取り除いたあとは,(オ+カ+キ)÷2+内4+0.5となります。どんな三角形でも,ピックの定理は成り立つ。1(4)により,三角形の面積は,(オ+カ+キ)÷2+内4+0.5と表すことができました。(オ+カ+キ)÷2+内4+0.5となる。いうことを証明できればよいことになります。