2018.12.23スポンサーリンク今回はこちらの問題。ある共通点で両方の曲線に共通な接線をもつ。問題としてはそこまで複雑ではないですね。出てくる情報を見逃さないことがこの問題を解く鍵になると思います。問題の意味を理解します。ある共有点で両方の曲線に共通な接線があるとはどういう状況でしょうか。共有点と言っているので、両方の曲線を同時に通る点であることがわかります。大事なことは、それは同時に、今考える接線の接点であるということです。おさらいしておきますと、ある曲線の接線を考えるには接点がなくては話が始まりません。その点を接点とする直線(接線)の傾き」であるからです。そもそも接線を求めたいのに接点がないと傾きをもとめることはできないのです。炊飯器あるのにお米がないと意味ないですよね?接点を考えないことはそれぐらい変なことをしてしまってると思いましょう(笑)。今回の問題に限ったことではないですが、接線の問題を考えるときは接点が不可欠なので、与えられてないときは必ず文字でおきましょう。?では問題に戻ります。先ほど説明した通り、この問題は接点が2つの曲線を通り、さらにそこでの接線が等しいことがわかるのでこれを数式に落とし込みます。やることは見えましたのであとは計算です。座標は今回はひとまず考えません。これからわかるはずです。ここで接点は2曲線共通なのでそれぞれの式に代入した結果は一致しなくてはなりません。$$t^3+2at^2-3a^2t-4=at^2-2a^2t-3a$$です。そのために微分をしておきましょう。直線を求める時には通る点がもう一点あればいいですね。(置かなかった意味がわかりましたか?どっちも通るから表式に困るからですね)接線の方程式はそれぞれ$$y-(t^3+2at^2-3a^2t-4)=(3t^2+4at-3a^2)(x-t)$$$$y-(at^2-2a^2t-3a)=(2at-2a^2)(x-t)$$であります。これが共通しているということは、数式上全く同じ式になればいいということです。見比べると$$3t^2+4at-3a^2=2at-2a^2$$であることがわかります。あれ?後ろの方は?と思った人は感がいいですね。その思考とても大事です。後ろにも項が残ってるのになぜ傾きだけを比べたのか。そもそもそれだけでいいのか。実は傾きだけでオッケーなんです。それは最後まで計算してみるとわかります。座標が同じというものと実質的に同じになります。きになる人はレッツトライ。脇道に逸れましたが続きです。