2019.01.12スポンサーリンクこんにちは。(@mathsouko_vinch)です。Contents内積って何?成分表示の時の内積まとめ内積って何?ベクトルの学習で欠かせないのがベクトルの内積です。多くの人は内積をなんとなく使っているのではないでしょうか。定義がありますので決められたものであることは事実なのですが、なぜあんな定義になっているのかを不思議に思う人も中にはいるはず(いて欲しい)です。そこでまずは内積について少し考えてみることにして、そのあと実際の計算方法などを説明したいと思います。内積とはいわばベクトルの掛け算です。一言で言うとこれにつきます。掛け算だけ特殊かと言うと、ベクトルには方向もあるからです。皆さんはベクトル同士の掛け算を想像できますでしょうか。大きさだけならまだしも方向もあるのでかけたらどうなるかなんて想像もできません。ベクトルの掛け算は特殊ゆえに変な計算方法を取らなくてはなりません。\vec{OB}=|\vec{OA}||\vec{OB}|\cos\theta$$コサインが出てくるのが今の時点ではよくわからないですが定義はこうなりますす。なったかを説明しましょう。ベクトルには方向があるから掛け算がよくわからないと先ほどお話ししました。偉大な昔の数学者は考えました。して掛け算を定義できないだろうかと。そこでこんなことを思いついたわけです。ベクトルはたしかに同じ方向を向いていれば大きさだけでベクトルのかけ算を計算できそうですね。ベクトルの向きを揃えるためにはどうしたらよいでしょうか。その時に頭のいい数学者は三角比を思いついたのです。このようにベクトルの間の角度さえわかっていれば向きを揃えることができます。長さを移すことができます。これを多くの内積を解説している人は「射影する」と読んでいるのです。その理由は”揃える”ためにあるのですね。三角比の定義から、三角形OACに注目して$$\cos\theta=\frac{OC}{OB}$$より、線分OCは$$OC=OB\cos\theta$$そうするとかけ算をしたかったら大きさどうしをかけ算すればいい気がしますよね。OC=|\vec{OA}|\times|\vec{OB}|\cos\theta$$これでベクトルどうしのかけ算になります。これが内積の定義になっているのです。ベクトル同士の掛け算を内積(\(\cdot\))で書くことにすれば、$$\vec{OA}\cdot\vec{OB}=|\vec{OA}|\times|\vec{OB}|\cos\theta$$と内積が定義されるわけですね。内積の記号は”\(\cdot\)”です。記号を使っているからです。方のかけ算は「外積」と呼ばれます。外積は置いておいて、ひとまずベクトルのかけ算の基本である内積がなぜ$$\vec{OA}\cdot\vec{OB}=|\vec{OA}|\times|\vec{OB}|\cos\theta$$なのかは理解できたでしょうか。今詳しくわからなくても大丈夫です。使って内積の計算に慣れてからもう一度その意味について考えてみるといいでしょう。成分表示でベクトルがあらわされているときはどのような計算になるのでしょうか。ここではベクトルで出てくる成分表示での内積の公式をじっくりと証明していきます。ちなみにベクトルの成分表示での内積はこのように計算できました。\v...math-souko.jp2020.11.23で解説していますのでここでは計算方法だけに触れたいと思います。4=14$$となります。座標どうしをそれぞれかけて足すだけです。座標がマイナスであっても何もやることは変わりません。先ほど確認した定義よりもはるかに簡単ですね。出てきませんし、それぞれかけて足すだけで内積が計算できてしまいます。これが成分表示での内積の計算方法です。(c,d)=ac+bd$$である。覚えてたくさん使いましょう!まとめここでは内積について学習しました。内積の定義まで踏み込んだ問題はほとんどありませんが、計算としては必ず押さえなければいけない必須事項です。どのように使うかはまた別の機会になりますが、まずはその定義と計算方法をしっかりと押さえてください。関連記事ベクトルベクトル方程式(直線)こんにちは。(@mathsouko_vinch)です。ベクトルは点を表すことができるということを以下の記事で示しました。いうことは2つの点を通る直線を表す...ベクトル最初に知っておきたいベクトルの基本概念こんにちは。(@mathsouko_vinch)です。∗この記事は「センター得点上昇計画」の一部を抜粋しております。ベクトルの基本概念がまとまった記事ですので、知っておきたい基本概念として載せて...ベクトルベクトルとは何か・ベクトルを学ぶ意味こんにちは。(@mathsouko_vinch)です。高校数学でベクトル...ベクトル位置ベクトルの意味とその使い道こんにちは。(@mathsouko_vinch)です。ベクトルの学習者を混乱させる一つの要因はこの位置ベクトルの存在でしょう。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。※サイト次回のコメントで使用するためブラウザーに自分の名前、メールアドレス、サイトを保存する。Vinch高校数学をよりわかりやすく。詳細な式変形とじっくりとした説明を心がけている。数学を頑張りたいすべての人のために。