オモしろくてタメになる話。2020.07.05中学数学のつまずき解消をめざすこの連載。中3「平方根」の2回目は有理数・無理数とは何か循環小数⇔分数の変換のしかたを解説します。ここで中学生がつまずくポイントは主に2点。授業がさらっと進んじゃって、数の分類や全体像がよくわからない循環小数を分数で表す問題がむずかしいそこで、ジュウゴがいつも使う教え方のコツを紹介します。前者のコツは、数学の歴史とあわせて数を分類すること。後者のコツは、ひとつひとつの手順を定着させることだけです。循環小数を分数で表すやり方(前半)やり方(後半)練習問題まとめ無理数が出てくる歴史まず有理数・無理数とは何かを解説するには、人類が数を拡張させてきた歴史をかんたんに紹介するといいでしょう。以下に紹介する数学史の知識を、ぜひ指導にお役立てください。自然数、分数ではここで、いままでに習ったいろんな数を分類してみよう。いった、ものを数える時に使う数。これはぼくらにとっていちばん自然な数だから、「自然数」という。人類の歴史が始まって以来、この自然数はずっと使われてきました。次に人類が生み出したのが「分数」。「肉を3等分したうちの1つ」とか、「土地を10等分したうちの7個分」というように、分数も古くから使われてきた数です。ちなみに、この分数をちゃんと数のひとつとして扱ったのが、古代ギリシアのピタゴラス学派という人たち。中3の終わりに「三平方の定理」というのを習うけど、その定理を生み出したピタゴラスのお弟子さんたちです。紀元前6-5世紀ころのことみたい。カエレバ楽天市場Amazon0、負の数、小数それ以降、約1000年間、人類は自然数と分数という2種類だけが数だと思ってた。紀元5世紀ころ、インドで「0」という数が誕生します。「ない」ということを表すゼロが、数のひとつになった。これは数学史上の大事件なんだけど、語ると長くなるからやめます。知りたいひとは下の本を読んでみてね。カエレバ楽天市場Amazonつづいて6-7世紀ころ、同じくインドで「負の数」も使われはじめます。負の数は、会計上の必要から生み出されました。貯金がプラス、じゃ借金はマイナスってぐあいです。して自然数と分数は、0を含めたマイナスの領域にまで拡張されました。分数じゃない数を特別に「整数」と呼ぶようになりました。時代がくだって15-16世紀ころになると、「小数」という表記方法が登場します。小数とは分数の代わりになる表し方で、つまり分数の分子÷分母をしたもの。$$と小数を分数になおすこともできる。分数と小数って表記方法がちがうだけで、同じ数を表しています。カエレバ楽天市場Amazon無理数の登場ついでに言うと、整数もぜんぶ分数で表すことができる。$$じゃ、「数はぜんぶ分数で表せる」と言いたくなるよね?しかし、分数で表せない数があることを、人類はすでに知っていた。これが1回目の記事でみたとおり、2の平方根。分数で表せないことは、紀元前3世紀ころにエウクレイデス(ユークリッド)というギリシア人が証明してました。カエレバ楽天市場Amazonただ人類はそれから1000年以上、2の平方根を数の仲間に入れることを拒んでいた。これを「数のひとつだ」としたのは、中世のイスラーム学者たち。9世紀のアル・ファーラービー、11世紀のウマル・ハイヤームといった哲学者たちが、分数で表せない数も数の仲間に入れて、これを「無理数」と呼んだ。したイスラームの知識がヨーロッパに輸入されて、15世紀ころに「根」という意味のラテン語radixの頭文字「r」をとって、ルートという記号が作られた。[関連記事]ヨーロッパの歴史の流れを超簡単にまとめてみた有理数・無理数とはつまり有理数とは、分数で表すことのできる数。無理数とは、分数で表すことのできない数。有理数と無理数をあわせて「実数」と呼び、これが数の全体です。数直線上に切れ目なく並んでいる数すべてです。