2018.07.20スポンサーリンクこんにちは。(@mathsouko_vinch)です。終わりに標準偏差とは分散とほぼ同じ”データの散らばり具合”を表す指標として「標準偏差」を採用する場合があります。標準偏差は分散から計算できてのように分散の値のルートを取ったものになります。したがって分散を計算できれば標準偏差も計算できることになります。それなら分散でいいじゃないかと思う人がいると思いますが、この「標準偏差」をとるのにはちゃんと理由があります。それは”元のデータと単位をそろえるため”です。分散の計算方法を思い出してみるとで計算できて、言い方を変えれば”偏差の2乗の平均”でした。データを2乗していることがわかります。これはすなわち、例えばデータの単位が\(m\)(メートル)だった場合、偏差の単位は\(m\)ですが、分散の単位は\(m^2\)(平方メートル)になってしまいます。データ自体の単位は\(m\)なのに、計算した分散が\(m^2\)になってしまい、少し違和感がありますよね。それを解消するために単位をデータとそろえるために、分散のルートを取ることにし、それを標準偏差と呼ぶようにしたのです。標準偏差は分散のルートですから、やはりデータの散らばりぐらいを表している点は変わりません。分散は”偏差の2乗の平均値”と学びましたが、実は別の方法で分散を出すこともできます。その計算方法は、もちろん”偏差の2乗の平均”から変形して得られるものなので分散であることに変わりはありません。その式とは、という式です。上線がついていると思いますが、これは平均値を表す記号です。x_{n}\)と表すことにして、その平均値を\(\overline{x}\)と表すことと約束します。+x_{n}}{n}$$となります。平均値を求める当たり前の式ですね。このようにして平均値の記号を導入します。+x_{n}^2}{n}$$となります。これはすなわち、”それぞれのデータをすべて2乗してから平均値をとる”ということです。したがって分散の式は次のように言い換えることもできます。データの平均と、データの2乗の平均を用意しておけば分散を求められることになるのです。場合によっては使い勝手がよさそうですよね。いうか、場合によって使い分けます。スポンサーリンク分散の式の証明さて、上記で与えられた分散の2つ目の表式はどうやれば得られるのでしょうか。答えは簡単で、元の分散の定義からスタートして変形していった結果が上記の表式です。これを実際にやってみましょう。x_{n}\)に対して考えると、分散は次のように書けます。+(x_{n}-\overline{x})^2}{n}$$式になったら突然思考停止する人がいますが、やっていることはデータの偏差をとって2乗し、平均値をとっているだけです。今までと何ら変わりません。これの分母を展開してみましょう。順番を入れ替えておきます。\((\overline{x})^2\)は\(n\)個あるのでまとめてしまいました。後ろの掛け算のところを\(-2\overline{x}\)でくくってみると、となります。これで準備は完了です。分数ですから、それぞれに\(n\)を分けてあげればとなります。第一項目はまさにデータの2乗の平均値を表しています。第2項目は\(n\)が約分されてデータの平均の2乗が残ります。+x_{n}}{n}$$なので、データの平均が出てきてと計算できるわけです。元の分散の式から変形のみでここまで来られます。終わりに標準偏差と分散の異なる計算方法はこれで大丈夫ですね。分散の式はかならず自分でもう一度導出の過程を追うことをお勧めします。見るだけだと絶対に自分でできません。実際に手を動かすことで初めて自分のものになります。共分散と相関係数の計算方法こんにちは。(@mathsouko_vinch)です。今までは一つのデータ集に対して分散を考えてきましたが、2つ以上のデータ集に対して分散を考える場面があります。箱ひげ図からわかることこんにちは。(@mathsouko_vinch)です。箱ひげ図と聞いて数学の用語だとわかるのは、高校数学を学んだ人限定でしょう。ここまで数学用語っぽくない名前の図はないと思いますが、...データの分析データが変更された(変数変換)時の平均値と偏差、分散こんにちは。(@mathsouko_vinch)です。データの分析の問題ではデータに変更を加えるタイプの問題が多くあります。求め方と公式を解説こんにちは。(@mathsouko_vinch)です。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。※サイト次回のコメントで使用するためブラウザーに自分の名前、メールアドレス、サイトを保存する。Vinch高校数学をよりわかりやすく。詳細な式変形とじっくりとした説明を心がけている。数学を頑張りたいすべての人のために。