解いてから下の解説に移ってくださいね。解きましたでしょうか。今回のテーマは対数です。対数の問題に取り組む際に気をつけておきたいことは2つあります。一つ目は真数の条件です。真数条件を一番最初に確認してください。問題に対数が出てきたら強制的に真数条件の確認です。真数条件を再度確認すると真数は必ず$$真数>0$$となります。どこかで必ず使うことになるので覚えておきましょう。今回は$$x>0$$です。2つ目は底の条件です。こちらは意外と忘れがち。底が文字の時には特に注意です。今回の問題は対数が出てくる問題です。対数の基本は”まとめる”ですが、この問題は少し面倒なものがあります。それは対数の2乗です。対数自体を2乗している場合私たちは変形をできません。問題だと関数の1項目です。これが出てきた瞬間に多くの問題は置き換えを考えます。実際にこの問題でも置き換えをしていますね。出てくる形にすることです。いうことは2項目の底が違いますのでここから変形です。2\log_{9}{x}=16\log_{9}{x}$$とできます。これをしてから変形してもいいです。解答はこちらで進めていきますね。やることはひとつだけ。$$\log_{9}{x}=\frac{\log_{3}{x}}{\log_{3}{9}}=\frac{1}{2}\log_{3}{x}$$ここまでくれば大丈夫でしょう。\frac{1}{2}\log_{3}{x}-\frac{22}{3}=-2t^2+8t-\frac{22}{3}$$これでまずは置き換えは完了です。置き換えた文字の範囲を確認していませんので確認します。その対数には何か制限があるのでしょうか。$$\log_{3}{\frac{1}{3}}=-1$$$$\log_{3}{1}=0$$ですよね。対数は真数に真数条件以外の条件がない限りは「実数全体」を取れます。指数とはここが違うところなのでしっかりと押さえましょう。置き換えと文字の確認が終わったのでやることはただ一つ。最大・最小を求めるにはグラフですから平方完成です。$$-2t^2+8t-\frac{22}{3}=-2\left(t-2\right)^2+\frac{2}{3}$$途中は平方完成なので大丈夫ですね。とることがわかります。とることがわかります。これで解答は終了です。