2020.10.02スポンサーリンクこんにちは。(@mathsouko_vinch)です。この記事のトピックは「微分係数と微分可能性の関係」です。数学IIでも学んだ微分係数。ここでもう一回しっかりと定義しておきましょう。微分可能であるという。0}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\)となる。書いてしまいましたが、最初の一式目を図示するとこんな感じでしたね。\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)です。おける微分係数でした。おける接線の傾きであるのでした。微分係数は接線の傾きなのでしたね。微分できるということです。導関数を求めること、これが微分です。接線の傾きが全て求められるのでとても便利です。指定すれば、その点での接線の傾きが求められるというわけです。正直なところこれが微分の全てです。この事実を使ってこれからいろんなことを考えていくのですね。微分をすれば接線の傾きを求められると抑えておけば問題ありません。一回はこの微分の定義に戻ってきて、微分って結局なんだっけ?と立ち戻ることをおすすめします。スポンサーリンク微分可能と連続性さて、この微分係数の式を使うと、簡単に以下のことがわかります。連続である連続という言葉が出てきましたね。これは極限のところでやりました。忘れている方はこちらで確認すると良いでしょう。みなさんは数学IIIまでで数多くの関数を勉強してきました。...math-souko.jp2020.10.24簡単に言えば「関数が途切れないで繋がっている」と考えればいいでしょう。関数の中で微分ができるところは連続なんですね。重要なことはこの逆は必ずしも成り立ちません。「連続」であってもその点で「微分可能」かどうかはわからないのです。いう関数はこんなグラフですね。0}f(x)=0\)で\(f(0)=0\)ですからね。極限値と関数値が一致しているので連続です。0}\frac{|h|}{h}\)ですね。ここで、この極限は右側極限と左側極限を考える必要があります。+0}\frac{-h}{h}=-1\)なので両極限で値が異なります。値が異なるということは極限値はなしです。微分係数がないという結果になりましたので。「連続」であってもその点で「微分可能」かどうかはわからないということをわかっていただけたでしょうか。連続であるということです。覚えておくと便利ですよ。連続であるという命題を証明しましょう。微分係数の式からすぐできますのでやってみましょう。x-a\)はいつでも成り立ちます。これは後々使うのでただ確認しているだけですのでご安心を。a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\)でしたね。ここで先ほどの仮定を使いました。a}(x-a)=0\)であることは当然ですね。a}f(x)=f(a)\)これはまさしく連続であることの式そのものです。極限と関数値が一致していますからね。連続であるを証明できました。まとめ微分係数や微分可能と連続性は基本問題で扱われることはあまりありません。二次試験などでは定義に立ち戻ったり、連続性の命題を使った問題が出てきたりします。微分に慣れてきたら一度ここに戻ってきて定義から確認して再度理解を深めるようにしてみましょう。