2019.10.13スポンサーリンクContents等比数列を無限に足す部分和から無限等比級数を求める無限等比級数の公式を考えるまとめ等比数列を無限に足すここでやることは全く新しくありません。私自身もこれだけを取り上げて一つの記事にするのは少し疑問なのですが、高校数学では非常によく出てくるので、1つ記事使って解説しようと思います。無限等比級数とは何かと言うと等比数列の無限和です。\cdots\)こんな数列を考えましょう。私たちはこの数列が収束するのか、発散するのかを簡単に考えることができました。それは「公比」を見ればよかったのですね。小さくなるので当たり前ですね。大きいとどんどん大きくなりますし、初項がマイナスだとどんどん小さくなるので発散します。ようにマイナスだとプラスになったりマイナスになったりしますから「振動」してしまいますね。どんなに項が進んでもずーっと初項のままなので極限は初項の値になります。いうように公比の大きさで数列自体の極限がどうなるかを考えることができるのでした。この数列の極限は少し考えなくてはいけない部分があります。見ながら考えていくことにしましょう...math-souko.jp2020.11.23これを見てから戻ってきてくださいね。3^{n-1}\)です。等比数列を無限に足していったら果たしてどうなるのかを考えたいわけです。最後の式は和の記号で書いた時の表式です。私たちは無限和をどう計算すればいいか知っています。なんだったかというと部分和を求めて、その極限をとるこれに尽きるのでした。無限に足すという行為はなんだかよくわからないので、無限和を考えるときには一旦部分的なところまで和をとって、その後に極限を取ろうという手法をとるのでしたね。無限等比級数でももちろん同じなので、まずは何も考えずにやってみることにしましょう。3^{n-1}\)を求めればいいことになります。\frac{2(3^{n}-1)}{3-1}=3^{n}-1\)ですね。等比数列の和は公式ですぐに求めることができます。無限等比級数を求めたければ\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}(3^{n}-1)\)という極限を計算すれば良いことになります。結局は無限等比級数と言っても、部分和の極限なので新しいことは何一つないわけです。これを計算することは造作もありません。部分は極限を取ると\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}3^{n}=\infty\)でしたから結局\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}(3^{n}-1)\)は発散してしまいます。\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}(3^{n}-1)=\infty\)であるわけです。なると無限等比級数も公比で答えが変わることがすぐにわかると思います。答えに関わっているのは\(r^{n}\)の極限です。これはもちろん公比によって収束するか発散するかが決まっていたので無限等比級数も公比で決まるのです。公比がどうなった時に答えがどうなるのかを考察してみましょう。スポンサーリンク無限等比級数の公式を考える一般的に無限等比級数を考えることにしましょう。+ar^{n-1}+\cdots\)で表されますね。先ほどの例でやった通りです。この無限級数の部分和は\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}ar^{k-1}\)です。出てきましたがこれは数学Bの数列でやっていたものと同じです。これは等比数列の和の公式から\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}ar^{k-1}=\frac{a(1-r^{n})}{1-r}\)と簡単に出せます。ここまではさっきと同じですね。僕たちはこれから極限\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a(1-r^{n})}{1-r}\)を考えることで無限等比級数の答えを考えていくわけですが、もちろんこのままでは一つに定まりません。何度も確認している通り公比によって答えが変わるからです。それも全く問題になりません。私たちはこの\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}r^{n}\)がどうなるかをもう知っているのですから。この場合わけは変わらないです。それぞれについて無限等比級数も考えればいいですね。時\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}r^{n}=0\)より無限等比級数は\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a(1-r^{n})}{1-r}=\frac{a(1-0)}{1-r}=\frac{a}{1-r}\)になります。この時は無限等比級数が「収束」して\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a(1-r^{n})}{1-r}=\frac{a}{1-r}\)になるのです。部分は発散しますので、全体も発散してしまいます。無限等比級数も発散します。振動してしまうので極限はありません。これはそもそも部分和が変わってしまいます。1^{n-1}=na\)になりますね。数学Bでやった気がします。これの極限をとるとすぐにわかるように\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}na=\infty\)で発散します。なんか発散とか振動してばっかりですね。時は?\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}(-1)^{n}\)が振動しますので、極限はありません。なんということでしょう。無限等比級数において収束する条件はただ一つ。その時の収束値は\(\frac{a}{1-r}\)です。なんの面白みもありませんから。いうわけでこれらを全てひとまとめにしておさらいしておきましょう。