まとめ◆仕事や勉強の息抜きに。ベイズ推定で確信度を定量化コインを5回投げて4回表が出ても、そのコインが表が出易いように加工された「いかさまコイン」とは言えませんね。50回投げて40回表が出れば、いかさまコインかもと疑うでしょう。同じようなことは物流の世界でも起こります。ある船社は、2回に1回くらい遅延することで有名です。実際に使ってみたところ、5回の中で4回は遅延しませんでした。これに安心して、安全在庫を減らしても大丈夫でしょうか?普通は、もう少し様子を見るでしょう。50回の中で遅延なしが40回だったら、安全在庫を減らす判断をするかもしれません。このように確率は同じ(この例だとすべて80%)だとしても、試行回数の多少によって確信度は異なります。これを定量化できれば、在庫管理やリスク管理に役立てることができますし、コンサルティングをしている人にとっては良い提案書を作れます。ベイズ推定では、これを定量化できます。上の例では「二つに一つの事象」ですので、二項分布のベイズ推定になります。ベイズ推定とMAP推定の違いを高校野球の勝率予測でわかりやすく解説で解説したように、二項分布のベイズ推定では事前分布にベータ分布を使います。そこで、まずはベータ分布のおさらいから始めましょう。試行結果を確率分布で表すベータ分布ベータ分布は何回中何回成功したという確率をグラフで表すことができます。2回中1回成功した場合のベータ分布のグラフは、次のようになります。成功する確率が50%である確率密度が一番大きくなっています。確率密度とは、0-100%のスケールで表されていない確率のようなものだと思っておいて下さい。可能性と言ってもいいかもしれません。確率密度と確率は比例します。このグラフから分かることは、成功する確率が50%である可能性が一番高いけれども、30%とか80%である可能性もそこそこある、でも成功する確率が0%や100%である可能性はゼロであるということです。次に3回中2回成功した場合のベータ分布は次のようになります。成功する確率が0.67である可能性が一番高くて、離れるに従ってなだらかに低くなっています。普通の確率計算では成功する確率は0.67になりますが、それ以外である可能性も結構あるということです。いうことは普通の確率計算では分かりませんね。次に30回中20回成功した場合のベータ分布を見てみましょう。成功する確率が0.67である可能性が一番高いことは同じですが、それ以外の確率になる可能性は低くなっていますね。成功する確率が0.67である確信度が上がったことが、このグラフから読み取れます。このように、ベータ分布で確率分布を表すと確信度まで分かるのです。このベータ分布を式で表すと次のようになります。Be(α,β)=A×p(α-1)×(1-p)(β-1)αは成功した回数+1、βは失敗した回数+1です。Aは正規化するための定数です。2回中1回成功したのであれば、1回失敗していることになりますので、α=2、β=2となり、Be(2,2)と表すことができます。ちなみにBe(1,1)は何も情報がない一様分布となり、グラフでは次のようになります。この一様分布はベイズ推定における事前確率の分布として頻繁に登場します。ベータ分布のベイズ推定以外での使い方については、こちらで解説しています。成功する確率がpの試行を、n回試行してx回成功する確率は二項分布に従って、nCk×pk×(1-p)(n-k)で表すことができました。【エクセルで実演!】二項分布のグラフの描き方を具体例でわかりやすく解説また、ベイズの定理では事後確率=尤度×事前確率の式により、事前確率は新しく与えられた情報(尤度)により、事後確率に更新されます。「ベイズの定理」の導出とその適用例をわかりやすく解説【初心者向け】ベイズ推定とMAP推定の違いを高校野球の勝率予測でわかりやすく解説そして、その事後確率を今度は事前確率として新しく与えられた情報により更新すれば、次々と確率が更新されていくことになります。これをベイズ更新ともいいます。これを今回の例に当てはめてみましょう。出たケースを想定します。1回目の事後確率の求め方まず、事前確率としては全く情報がないという前提で一様分布を採用します。ベータ分布ではBe(1,1)になります。1回目は表が出ました。p1×(1-p)(1-1)となります。これが尤度になります。p1×(1-p)(1-1)となります。p1はpで、(1-p)(1-1)は1なので、Apになりますが、後の説明のためにこのように書いておきます。これが2回目の試行の事前確率になります。p0×(1-p)(1-0)となります。p1×(1-p)(2-1)となり、これが3回目の試行の事前確率になります。p1×(1-p)(1-1)となります。p2×(1-p)(3-2)となります。px×(1-p)(n-x)となります。Be(x+1,n-x+1)になります。n回の試行でx回表が出た場合のpの確率分布は、Be(x+1,n-x+1)というベータ分布になるのです。この式は非常に重要です。Be(5,2)で表すことができ、グラフで描くと次のようになります。確率分布から確信度を求めるこのようにベイズ推定により、表が出る確率pの確率分布をグラフで表すことができますが、もっと端的に定量化するにはどうすればよいでしょうか?それには、この確率密度関数を累積分布関数に変換すると便利です。ベータ分布Be(5,2)の累積分布関数を描くと次のようになります。これを見ると、成功する確率pが0.5以下になる確率は約10%、pが0.9より小さくなる確率は約90%になること等が分かります。これは見方を変えれば、5回中4回表が出たので最も可能性の高いpは80%ですが、pが50%以下である可能性も10%くらいあるということです。次に、50回中40回表が出た場合のpの確率分布を求めてみましょう。Be(41,11)となります。グラフではこうなります。グラフがシャープになりました。これはpが80%である確信度が高まったことを意味します。これの累積分布関数をグラフにすると次のようになります。Pが50%以下である確率はほぼ0%、90%以下である確率はほぼ100%になったことが分かります。遅延確率50%なら安全在庫の積み増し必要これは、そのまま船の遅延に応用できます。5回の航行中、4回遅延しなかった(成功した)場合のpの確率分布はBe(5,2)で表せますので、pが50%以下になる確率は10%あります。船便で輸入しているケースを想定してみましょう。50%の確率で船便が遅れるのであれば、遅れた場合のリードタイムを前提とした在庫を持つ必要があるでしょう。リードタイムを短くしても在庫削減はできない!|シミュレーションで証明します遅延確率10%なら安全在庫はそのままで航空便で対応しかしその確率が10%であれば、在庫を多く積み増すよりも、遅れた場合だけ航空便で緊急輸送する方がコストが低くなるかもしれません。cost)と緊急輸送費のバランスによって決まります。同じ遅延確率でも確信度により対応は異なるもし5回中3回遅延しなかったケースではどうなるでしょうか?Pの確率分布はBe(4,3)になりますので、確率分布は次のようになります。累積分布関数は次のようになります。Pが50%になる確率は34%もあります。このくらい遅延する確率が高いと、航空便で緊急輸送するよりも、在庫を積み増しておく方がコスト安になるでしょう。50回中30回遅延しなかったらどうなるでしょうか?Pの確率分布はBe(31,21)になり、累積分布関数をグラフにすると次のようになります。Pが50%以下になる確率は8%しかありません。これくらい低ければ、在庫を積み増しておく必要はないかもしれませんね。まとめ通常の確率の計算では、5回中3回成功も、50回中30回成功も同じ60%の確率です。直観的には5回中3回成功だと60%の確率とするのは確信度が低いと分かっていても、それを定量化することはできません。ベイズ推定ではそれを定量化でき、確信度を数字でバシッと示すことができます。これはコンサルティングをする際には非常に説得力を持ちます。システム化する際にも有用であることは言うまでもありません。いずれも有名な確率分布です。...多項分布の計算式と使い方を具体例を使ってわかりやすく解説します。ある工場では、毎日時間指定で部品の納入があります。...◆キーワードで探すイチローの安打数がポアソン分布にならず正規分布になる理由を考察してみた【マルコフ連鎖】標準体重の人が太りすぎになるまで平均何年かかる?待ち行列理論を応用して10分カットが儲かる仕組みを解明してみた。計算グラフモンテカルロ積分クラスタリングカーネルトリックPythonSimPy(離散事象シミュレーション)inventorize(在庫シミュレーション)SARIMAX(時系列解析)investpy(財務データ取得)PyPDF2(PDF操作)仕事や勉強の合間の息抜きに管理人ロジギークロジスティクス業界で6か国に勤務。