理系の数学には、数学IIIの微分積分の問題がよく出題されます。いずれも基礎が重要であることは言うまでもありませんが、計算スピード、正確性も極めて大切です。ここでは、比較的基礎的な理系微積分の問題を取り上げてみましょう。\(P_0(0,1)\)における接線と\x軸\)との交点を\(Q_1\)とします。\(Q_1\)から\(y軸\)に平行な直線と、\(y=e^{-x}\)との交点を\(P_1\)とし、\(P_1\)における曲線\(C\)の接線と\(x軸\)との交点を\(Q_2\)とします。以下同様にして、\(P_n、Q_n\)を定めます。\(P_{n-1}Q_n、P_nQ_n\)と曲線\(C\)で囲まれた図形を\(x軸\)の周りに回転してできる回転体の体積を、\(V_n\)とします。V_n\)を求めてください。【解答1】\(Q_0(0,0)\)とし、\(Q_n(x_n,0)\)とすると、\(P_{n-1}\)における接線の方程式は、\(y=-e^{-x_{n-1}}(x-x_{n-1})+e^{-x_{n-1}}\)よりこれが、\(Q_n\)を通るから、\(x_n-x_{n-1}=1\)よって、\(x_n=n\)から、\(Q_n(n,0)\)となります。\(q≧1\)のとき、次式が成り立つことをしめしてください。次の式を証明してください。\(I_{p,q}=p!q!/(p+q+1)!\)【解答2】いわゆるベータ関数を下敷きにした問題です。ガンマ関数も割合出題されています。部分積分を使うだけの問題です。\(\sqrt{x/3}+\sqrt{y}=1\)が第1象限で囲む部分の図形を\(x軸\)の周りに1回転してできる立体の体積を求めてください。【解答3】2つの曲線の交点は、\((3,0),(0,1)\)です。後半の定積分は、置換積分をしています。おける最大値と最小値を求めてください。technology.。