単元から資料を探すページです。指導する機会があった。教科書では定理そのものを習いたてのこともあり、定番の問題を用いた演習を繰り返し行った。正弦定理と余弦定理の使い分けについての指導程度でこの単元の授業は終了した。生徒が生き生きと主体的に学ぶ授業とは,どのような授業でしょうか。点が授業の要素として組み込まれていることだと実感しています。台端末環境との親和性が非常に高いと考えています。はじめとする動的数学ソフトウェアの活用も欠かせません。Standard(702)」に準拠。connect「教科書・教材のひと工夫(高校)」より。「特殊」な場合の発問例についてご紹介します。数学には,一般に成り立つ性質も特殊な場合には成り立たないことがある。お気に入りに追加もとの三角形とその外接三角形の五心の関係~傍心を中心にして~数学Aで三角形の五心を扱うが,その取扱いは教科書によって異なっている。本文中で五心をすべて扱っているものもあれば,垂心,傍心は参考とか問題で扱い,本文中では重心,外心,内心の3つだけであるもの,あるいは垂心を含めて4つもの,さらにはその取扱いの順序が重心から,あるいは外心からというように多様である。共通して言えるのは傍心の扱いは軽いということである。本稿では,もとの三角形とその外接三角形の五心との関係を考察する。傍心を通じて他の四心がよく理解できるということがあるからである。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。~面積、辺の長さ、もとの三角形との関係~拙稿『傍接円の半径について』(7.16掲載)で、各頂点に対する傍心と対辺を結んでできる三角形の面積について考察した。本稿では、3つの傍心JA,JB,JCを結んでできる傍心三角形の面積がa,b,c,Sを用いてどのように表されるかについて考察してみたい。※文中の数式は、「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには、「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。お気に入りに追加チェバ、メネラウスの定理をベクトルで証明する~数学Aと数学Bのコラボ~前回の原稿ではメネラウスの定理を「座標」で証明したが,今回は「ベクトル」を使って,チェバの定理とメネラウスの定理を証明する。ベクトルでは,内分・外分,同一直線上といったことがうまく処理できるので,既習の定理をベクトルで再証明させてみると,ベクトルの復習・定着につながる。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。傍心の座標について三角形には,5つの重要な点(円の中心)がある。言わずと知れた「三角形の五心」である。数学Aでは,そのうちの重心,外心,内心が中心で,垂心はその次の扱い,傍心は参考として扱われる。センター試験等の大学入試では,重心,外心,内心がその対象であり,垂心,ましてや傍心が出題されることはない。傍心というように3つある。傍心の座標について考察する。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。2003年5月号より。平成15(2003)年度の「数学A」の教科書から,中学校で扱われていた円周角の定理の逆や円に内接する四角形,接弦定理,2円の位置関係など平面図形に関する内容が移行され,新しい指導内容が加わってきました。ここでは,初等幾何で登場する問題を紹介してみましょう。垂心についての一考察~双対性に気付かせる~△ABCの垂心をHとすると,△ABCが鋭角三角形のときHはその内部にあり,△ABCが直角三角形のときHは内角が直角である頂点に一致し,△ABCが鈍角三角形のときHはその外部にある。Cであること,同様に△BCHの垂心がA,△CAHの垂心がBであることに気付く。HA,HB,HCの間にはどのような関係があるか考察する。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。「外」で分ける分点「外分点」は,生徒にとって意味が捉えにくいようである。内分点,外分点のどちらになっているかを意識して,そのときの状態を考察してみる。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。お気に入りに追加Pickの定理の活用~5頂点が格子点となる正五角形は存在しないことの証明~座標平面上の点でx座標,y座標がともに整数である点を格子点というが,格子点に関連した整数の問題に「3頂点が格子点となる正三角形は存在しない」ことを証明するものがある。正四角形つまり正方形であれば4頂点が格子点になるものは存在する。「5頂点が格子点となる正五角形は存在しない」ことはどのように証明すればよいのであろうか。格子点を頂点とする多角形の面積を求めるには格子多角形の内部にある格子点の個数(p)と辺上の格子点の個数(q)を用いて,格子多角形の面積SがS=p+q/2-1で求められるというPickの定理を活用してみたい。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。~わかりやすくイメージの湧く説明~数学Aの「図形の性質」でチェバの定理とその逆を扱う。どちらかといえば数値計算が主になりがちであるが,証明も重視すべきである。三角形の五心の定理の証明では,3本の直線(線分)が1点で交わることの証明をするが,事前に「3本の直線(線分)が1点で交わる」ことを示すにはどのような考え方で示せばよいかという予備知識が必要である。同様に,チェバの定理の証明もどのような考え方で示していくのか,そのためにはどうすればよいのかを事前に押さえた指導をしなければ,生徒にとってはわかりにくいものになる。生徒にとっては青天の霹靂的なことから始めて,議論を展開して,ほら示せたでしょう...では狐につままれたような状態に陥ってしまう。先に「手の内」を明かしておく方が,行き先が見えてわかりやすいと言える。このような立場に立って,チェバの定理のわかりやすい証明の指導を考察してみる。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。~数学Aと数学IIのコラボ~2010年本サイトで、「座標」を用いてメネラウスの定理を、「ベクトル」を用いてチェバ・メネラウスの定理をそれぞれ証明するという内容の投稿を行ったことがある。三角形の内心の座標を求めてみよう~重心・外心・垂心の座標より面倒ではあるけれど~数学Aで三角形の五心を扱う。いっても,傍心については発展的な扱いであり,垂心についても基本的にセンター試験では対象外であり,もっぱら「重心G」「外心O」「内心I」の三心が中心である。数学Aでは,いわゆる古典幾何であり,座標的な扱いではない。数学IIでは「重心」の座標について,分点の考察から簡潔明瞭で,しかも有効な公式が扱われている。生徒にとって,なぜ座標は「重心」だけなのか,「外心」や「内心」についても座標での公式があってしかるべきではないかという思いがあるのではないかと思う。そこで,本稿では,生徒の疑問に答えるべく,しかし簡便のため一つの頂点を原点とする三角形の「内心」の座標を中心に考察したいと思う。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。求値問題に対応できればそれでよいのか数学Aで「平面図形」を扱う。論理-数学的な考え方を培うことを期待してのことであったように推察する。センター試験に出題されれば当然客観問題,つまり穴埋め問題となる。記述式であれば当然,その目的が果たせる期待が持てるが,結果のみの求値問題では本末転倒であろう。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。三角形の内心の座標を求めてみよう(II)~一般的な場合について,外心・垂心も含めて~拙稿『三角形の内心の座標を求めてみよう~重心・外心・垂心よりは面倒であるが~』では,1つの頂点を原点にして,処理しやすい形でそれぞれの座標を求めたが,やはり一般的な三角形での結果が欲しいと思い,継続して考察してみた。その方針は,一般的な三角形について,1つの頂点が原点に移るように平行移動し,内心,外心,垂心の座標がどのように表せるかを前回得られた結果を活用して求め,それを逆方向に平行移動して,もとの一般的な三角形の内心,外心,垂心の座標を求めるというものである。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。お気に入りに追加3直線が1点で交わることの証明に必要な知識~三角形の五心の定理の証明の前に~三角形の重心の定理,三角形の外心の定理,三角形の垂心の定理,三角形の内心の定理を証明するに当たり「3本の直線が1点で交わること」をどのように示したらよいのか,つまり,どのようなことを示せば「3本の直線が1点で交わること」を示したことになるのかについて事前に明確に示しておくべきではないかと思う。証明の中に示してあると言えばそれまでであるが,証明をする前に予備知識として生徒が持っていなければならない。それは「点の一致」に言及することになるので,これについてもそうである。何を手掛かりに考えるのか,それを事前に理解していなければ証明がわかりにくいものになる。そのようなことを踏まえて,本稿では,三角形の重心,外心,垂心,内心の定理において,3本の直線(あるいは線分)が1点で交わることを証明するのに,またその証明を理解するために必要な知識を考察したい。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。内心と外心についてのある性質~3頂点と内心と2頂点を結んでできる3つの三角形の外心について~三角形の五心には興味深い関係がある。2垂心と外心,3傍心と垂心と内心,4頂点,内心,傍心と外接円の関係というような観点から考察した。本稿では,3つの頂点,内心と三角形の2つの頂点を結んでできる三角形(3つある)の外心(3つある)の計6つの点についての性質を考察する。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。問題作りの背景~内心を選択させるマーク式問題~センター試験もその実施が終わりに近づいているが,それを受験する生徒がいる以上教員はその対策を講じるために分析を怠ってはいけない。「答に至る正当なプロセスがなくても正解になる」ことがある問題よりは「角の二等分線」という条件を隠し,そのことを別の条件から判断させる問題設定の方が問題として適切ではなかろうか。内心である」を正解とする問題を作る舞台裏を見せながら,問題作成の背景を考察してみたい。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。(の比)に内分すること≫の証明(方針)が教科書によって異なっていて興味深い。以下の2つの証明が主流のようであるが,その証明や生徒への指導上の留意点,他の証明,ならびに3つの中線によってできる6つの小三角形の面積が等しいことについての考察や授業実践をしたので紹介したい。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。お気に入りに追加メネラウスの定理の周辺メネラウスの定理は、辺の長さや比、あるいは三角形の面積を求めるツールとして大変有用な定理であるが、メネラウスの定理の逆は、3点が1直線上にあることを証明する手段として極めて優れている。これは、チェバの定理の逆が、3直線が、1点で交わることを証明する手段として優れているのと対極をなすと思う。比べると教科書での扱いは、限定的である。数学Aで、3垂線が一点で交わることを証明したり、数学Bでベクトルの内積の問題として取り上げられる程度であろう。垂心の図には、円に内接する四角形が随所にあるので、三角形の3つの角度と同じ角が右図のように現れる。そのため相似な三角形も多数あるから、問題作成に適した教材と言える。事実、大学入試では、垂心がらみの問題は、少なくない。お気に入りに追加メネラウスの定理を座標で証明する~数学Aと数学IIのコラボ~メネラウスの定理の定理は,数学Aで扱う。証明は,三角形と平行線の性質を使えば簡単に証明される。この定理はある種のベクトルの問題の別解として,いわば裏技的に使われることもあって,ある意味重宝される。証明は,もちろんベクトルを使っての証明もできるが,本稿では,座標を使った証明を考察する。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。教科書の本文で扱ってあります。傍心はその名の通り,三角形の傍ら(外部)にあります。重心,内心は三角形の内部にあり,外心,垂心も鋭角三角形のときにはその内部にあります。鋭角三角形の場合には,傍心以外は三角形の内部にあります。そのときそれら4つの点から頂点までの距離は,3辺の長さをa,b,c(a≧b≧c)とするとき,a,b,cでのどのような式で表されているのか,特に頂点Aまでの距離と最大辺である対辺BCまでの距離について考察を行い,興味ある結果を得ました。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。平面図形領域が復活してしばらく経つが、どの教科書の記述も面白くない。定期考査でも求値問題で落ち着いてしまうことは誠に残念だ。~半角の公式の応用として~数学Aで「三角形の五心」を学ぶ。外心・内心は、それぞれ三角形の外接円・内接円の中心であり、傍心は傍接円の中心である。円の中心がわかれば、次に半径の大きさがいくらであるかが気にかかる。そこで本稿では、△ABCの∠Aに対する傍接円の半径(RAとする)を、半角の公式を利用して求めてみたい。※文中の数式は、「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには、「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。二等分線の長さについて~数学I,Aのコラボレーション~数学Aでは,三角形を1初等幾何(古典幾何)的に,2数学Iでは三角比で,3数学IIでは解析幾何的に,4数学Bではベクトルで考察する。12では同時期に扱うことが多い。あるから,理解を深めるためにコラボレーションしたらよいのではないかと思う。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。(2014年度版)」東京書籍2014年8月より。「平面における多角形は全ての辺が一直線上に重なるように折りたたむことができる」ことを,三角形の内心と傍心の性質を利用して理解する。身近な折り紙を教具として用いることで,より感覚的な理解力を手助けする。平面図形と方程式領域では、重心を求める問題なら教科書に必ず取り上げられているし、外心、垂心を求める問題も、すでに教材化されている。内心だけは、教材化しにくいものであるとして避けられてきたように思う。実際、一般的な三角形で内心の教材化は、かなり難しい。不可能ではないが、あまりに式が煩雑で受験問題ならともかく、授業での教材としては不適当と思われる。三角形ABCの内部の点Pから3辺までの距離の和について~∠APB,∠BPC,∠CPAの二等分線の長さの和とPA+PB+PC~三角形ABCの内部に点Pがあるとき,Pから三角形の3つの頂点A,B,Cまでの距離の和AP+BP+CPとPから辺AB,BC,CA上の点L,M,Nまでの距離の和LP+MP+NPを比較すれば,AP+BP+CP>LP+MP+NPであることは一見してわかる。本稿では,∠APB,∠BPC,∠CPAの二等分線と辺AB,BC,CAの交点をそれぞれL,M,Nとするとき,AP+BP+CP≧2(LP+MP+NP)であること,および等号が成立するときの三角形の形状と点Pの位置を中心にして考察する。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。2(2013年秋号)より。三角形の五心と位置ベクトル(2)~数学Aの平面図形を数学Bの平面ベクトルで~拙稿『三角形の五心と位置ベクトル(1)』では,数学Aで三角形の五心のうちの重心,外心,垂心,内心について,数学Aで扱うように,まず3本の中線,辺の垂直二等分線,頂点から対辺(その延長)への垂線,内角の二等分線が1点で交わることをベクトルで考察した。使って,簡単できれいな形に表される。他の外心などはどう表されるのだろうかということに興味を持ったので考察を行ってみた。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。2004年秋発行より。三角形の重心の図形的な意味について~3辺までの距離の積が最大になる点~「重心」の図形的な意味といえば,その定義から三角形の3本の中線の交点であって,頂点とその対辺の中点を結ぶ3本の中線をそれぞれ2:1に内分するということである。これとは別に重心の図形的な意味を説明せよと問われるとどう答えることができるのであろうか。本稿では,三角形の面積,正弦定理,3数の相加・相乗平均の関係を使って,これらを考察する。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。整数が扱われることとなり,ピタゴラス三角形はその教材になりうることでしょう。算数・数学のつながり」(2013年10月発行)より。教科書から抜粋した紙面を通して「どの学年で」「どんな内容を」「どのように学んでいるか」が概観できるようになっております。一覧,学習内容に関する教科書紙面,学習内容に関する留意点(児童,生徒の実態,取り扱い上の配慮)などで構成。角の二等分線に生かせるアイディア角の二等分線は、平面図形領域の三角形の内心や内分・外分の話題として取り上げられて終わってしまうことが多い。お気に入りに追加[集中連載]高校数学を横に斬る!-いろいろな解法を考えてみようPart4(最終回)-九州数学シンクタンクグル-プでの「高校数学を横に切る!」の研究発表もいよいよ最終回を迎えることとなりました。各県の先生方が揃う機会は限られますが,集まったときには集中的に検討し,研究を深めています。今回の研究につきましても是非ご意見・ご感想をお聞かせください。(2007年6月作成)」より。2002年本試験(数学I・A)第4問。この資料全体は,東京書籍「数学A」(2008-2013年度用)の教科書の目次に準拠して,2000年から2007年までのセンター試験問題の小問を分類したものです。この問題は,そのなかの1小問です。データは問題と解答を記載。授業の後,まとめとしての演習問題などでご利用いただけます。(2007年6月作成)」より。2001年本試験(数学I・A)第4問。この資料全体は,東京書籍「数学A」(2008-2013年度用)の教科書の目次に準拠して,2000年から2007年までのセンター試験問題の小問を分類したものです。この問題は,そのなかの1小問です。データは問題と解答を記載。授業の後,まとめとしての演習問題などでご利用いただけます。(2007年6月作成)」より。2003年本試験(数学I・A)第4問。この資料全体は,東京書籍「数学A」(2008-2013年度用)の教科書の目次に準拠して,2000年から2007年までのセンター試験問題の小問を分類したものです。この問題は,そのなかの1小問です。データは問題と解答を記載。授業の後,まとめとしての演習問題などでご利用いただけます。(2007年6月作成)」より。2000年本試験(数学I・A)第4問。この資料全体は,東京書籍「数学A」(2007-2012年度用)の教科書の目次に準拠して,2000年から2007年までのセンター試験問題の小問を分類したものです。この問題は,そのなかの1小問です。データは問題と解答を記載。授業の後,まとめとしての演習問題などでご利用いただけます。(2007年6月作成)」より。2004年本試験(数学I・A)第4問。この資料全体は,東京書籍「数学A」(2008-2013年度用)の教科書の目次に準拠して,2000年から2007年までのセンター試験問題の小問を分類したものです。この問題は,そのなかの1小問です。データは問題と解答を記載。授業の後,まとめとしての演習問題などでご利用いただけます。コンテストの問題の中の1つ。コンテストの問題の中の1つ。図形と式第4回(問題編・解答編)今回は前回に引き続いて重心座標を取り上げる。目標は外心と垂心の重心座標である。最初に3辺の長さを具体的に与えた場合の外心についての問題を,その後,鋭角三角形,次いで鈍角三角形の場合の一般論を考える。2013年度追試験(数学I)第3問。この資料は,東京書籍の数学教科書の目次に準拠して,センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。2013年度追試験(数学IA)第3問。この資料は,東京書籍の数学教科書の目次に準拠して,センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。2014年度本試験(数学I)第3問。この資料は,東京書籍の数学教科書の目次に準拠して,センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。2014年度本試験(数学IA)第3問。この資料は,東京書籍の数学教科書の目次に準拠して,センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。2014年度追試験(数学I)第3問。この資料は,東京書籍の数学教科書の目次に準拠して,センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。2014年度追試験(数学I・A)第3問。この資料は,東京書籍の数学教科書の目次に準拠して,センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。2015年度本試験(数学I)第3問。この資料は,東京書籍の数学教科書の目次に準拠して,センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。2015年度本試験(数学I・A)第2問[2]。この資料は,東京書籍の数学教科書の目次に準拠して,センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。2015年度本試験(旧課程数学I)第3問。この資料は,東京書籍の数学教科書の目次に準拠して,センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。2015年度本試験(旧課程数学I・A)第3問。この資料は,東京書籍の数学教科書の目次に準拠して,センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。図形と式第5回(問題編・解答編)今回のテーマは図形に関わる「取り得る値の範囲」である。第1問では対称な量を2次方程式の2解にみる(解の分離)という典型的な処理法を学ぶ。身につけたい考え方である。相似の意味・相似の位置・指導の順序・指導の流れ。この資料は,高校数学の教科書で取り扱う内容に関して,いろいろな角度から解説をしたものです。それらは,導入例や,参考になる先生方へのコメント,中学校の復習,発展的内容,教科書で扱っている内容の背景などを集めたものです。各内容は1ページにまとまっています。図形と相似(平行線と線分の比)。この資料は,高校数学の教科書で取り扱う内容に関して,いろいろな角度から解説をしたものです。それらは,導入例や,参考になる先生方へのコメント,中学校の復習,発展的内容,教科書で扱っている内容の背景などを集めたものです。各内容は1ページにまとまっています。相似な平面図形と面積比。この資料は,高校数学の教科書で取り扱う内容に関して,いろいろな角度から解説をしたものです。それらは,導入例や,参考になる先生方へのコメント,中学校の復習,発展的内容,教科書で扱っている内容の背景などを集めたものです。各内容は1ページにまとまっています。