平方根(ルート)を覚えることをやめました。平方根を自分で導くことが出来れば,覚える必要はありませんよね。いうことで,今回の話は,連分数を使って,平方根の近似値を出す裏技を公開します。スポンサーリンク連分数展開とは?連分数は,分数の一種であり$$\frac{1}{1+\frac{1}{2}}$$のように,分数の中に分数が連続して入っている分数のことを連分数といいます。小学校,中学校時代のトラウマランキングトップ10位にランクインしそうなやつです(知らんけど)。連分数展開は,簡単に言うと,ある数を連分数に書き直していく作業のことを言います。平方根に連分数展開を使うと,平方根(ルート)の近似値を素早く求めることが出来ます。近似値は,「おおよその値」のことを言います。素朴な方法で\(\sqrt{11}\)を計算する。\(m^2<n<(m+1)^2\)となる自然数\(m\)を見つけます。,\(\sqrt{11}\)のときは,\(m=3\)とすると,\(3^2<11<(4^2)\)より,\(3<\sqrt{11}<4\)となるから,\(\sqrt{11}=3.\cdots\)となることが推測できます。同じことを小数第1位でもやる小数点第1位を\(m_1\)とします。\((m.m_1)^2+0.1<11<(m.m_1+0.1)^2\)として,\(m_1\)に入る数を探します。先ほど,\(m=3\)とわかったので,\(\sqrt{11}\)は,\((3.m_1)^2+0.1<11<(3.m_1+0.1)^2\)となります。上の不等式を満たす\(m_1\)を探します。3.3\cdots\)ちなみに,\(\sqrt{11}\)の真値は,\(\sqrt{11}=3.31662479\)です。小数点第1位まで出すことが出来ました。\(m\)は\(n\)の整数部分を使って,展開を行います。手順1:\(\sqrt{11}\)の整数部分\(m\)を求めます整数部分\(m\)は\(m=3\)手順2:連分数展開をする。3+\frac{2}{6+\frac{2}{6+\frac{2}{6}}}=\frac{199}{60}=3.31\dots{6}\)早技が早すぎでみえなかった人たちへ\(\sqrt{2}\)を出しながら説明します。何をやったのか説明します。先ほど使った公式を持ってきます。\(\sqrt{2}=1+\frac{1}{1+\underbrace{\sqrt{2}}_{ここに代入}}\)ここに代入としているところに式を代入します。代入する式は,\(\sqrt{2}=1+\frac{1}{1+\sqrt{2}}\)あれ,さっきと同じ式だ!そうです。先ほどと同じ式を代入します。\(\sqrt{2}=1+\frac{1}{1++\frac{1}{1+\underbrace{\sqrt{2}}}_{ここに代入}}\)代入する式は,\(\sqrt{2}=1+\frac{1}{1+\sqrt{2}}\)\(\sqrt{2}=1+\frac{1}{1++\frac{1}{1++\frac{1}{1+\underbrace{\sqrt{2}}}}_{ここに代入}}\)これを無限回繰り返すわけにもいかないので,きりが良いところで,点をつけます\(\sqrt{2}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2\ddots}}}}}}\)こんな感じです。慣れてしまえば,簡単です。1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}}}}=\frac{99}{70}=1.41285714\)\(\sqrt{2}\)の真値は,\(\sqrt{2}=1.414213562\)このように,連分数が多いほど,\(\sqrt{2}\)に近づいているのがわかります。\(\sqrt{3}\)の近似値を計算する先ほどと同様にやっていきましょう。素朴な平方根の近似値の出し方よりも,連分数展開を使った近似値の出し方の方が,素早く正確に計算できるということがわかりました。結論:連分数展開使えば、平方根楽勝ですあわせて読みたい[早技]平方根を計算する公式の導出(eやπの導出も!?)√2,√3,√11のような平方根の値を覚えることは面倒ではないですか?先日,平方根を計算する為の公式を編み出したのですが,その公式がどのようにして導かれたのかを徹底的に解説します。eやπの導出も検討してみましたが、結果は??また,この公式は,平方根を計算する為に特化した公式なので,普通の計算方法よりも速いです。...最後に電卓がない状況で,自然数の平方根を手計算で出せるとかっこいいと思います。計算練習もかねて連分数展開を使って,平方根の近似値を出してみるのはいかがでしょうか。MEユキ数学担当です。お金大好き大学生やってます。講義がないときは、だいたい図書館にいるので図書館の門番とも呼ばれています。高校数学[裏技公開]√11のような平方根を速く求める方法(連分数使います)Cupuasu(クプアス)とはCupuasu(クプアス)ではプログラミング、心理学、数学、SEOに関する記事を扱っています。Web制作のプログラミングも勉強しているためご依頼もお待ちしています。Cupuasu(クプアス)。