定規とコンパスを用いて作図せよ。作図に用いた線は消さないでおくこと。それぞれ結んだ場合を表している。lの値が最も小さくなるとき,lの値を求めよ。(1)(1)はあまり無いタイプの作図なので一瞬どんな方針にしようか戸惑っちゃいますね。作図のポイントを述べておきましょう。作図の前に、作図する図形を書き出して整理しろ!今から作図しようとするものの特徴をきちんと書き出して整理すると、どう作図しようかという方針が見えやすくなることが多いです。いうわけで書き出してみると...となります。線分AMが正三角形ACDの垂線となることは、点Mが中点であることと正三角形(二等辺三角形)の性質より明らかです。よって三平方の定理よりAM=3\sqrt{3}であると分かります。正四面体の対称性よりBMについても同じことが言えて、AM=BMなのですね。ここまで来ると、コンパスで3\sqrt{3}が作れれば、点Bと点Aを中心とする半径3\sqrt{3}の円の交点としてMが作図できると分かります。3\sqrt{3}をどう作るか。\sqrt{3}とは特別角の三角形に出てくる数字だったことを思い出せば、このポイントより特別角の三角形を利用すれば良いのだと分かります。辺ABを辺に含む正三角形ABNを作図する。点Bから辺ANに垂線を下ろし、垂線の長さ(これが3\sqrt{3})をコンパスで取る。そのまま点AとBを中心に2つの円を描き、その交点のうち、点P,Qの立体状での位置関係に気をつけて、上側の点をMとする。いったふうにすれば良いでしょう。(2)(2)は完全に頻出問題ですね。立体表面の最短経路を問われていますから、このポイントより展開図を書き、PQを直線で結んだものが最短経路です。PQの長さをどのように出すか瞬間迷います。ここで新しいポイントです。”斜め”の線分の長さは三平方の定理!斜めという単語に””がついているのは、「xy座標のように垂直な線または平行な線があるとき、それに対して」斜めであるという意味です。今回は四角形ABDCが平行四辺形ですから、このケースに当てはまります。実際点Qから垂線を下ろしてみると、となり、直角三角形が現れて三平方の定理が使えます。今回はうまいこと垂線の足が点Aに一致するので計算は簡単で、PQ=\sqrt{2^2+(3\sqrt{3})^2}=\sqrt{31}ですね。逆に言えば、このポイントを意識して展開図を書かなかった場合はPQの長さをどう出すか見えづらくなります。いうことかというと例えば、のように展開図を書いた場合です。これはこれで対称性が良いのでこの書き方の方が答えが見えやすいときももちろんあります。今回は、問題設定をきちんと踏まえれば、平行変形ABDCが見えやすいようなやり方で書いた方が良いでしょう。