自然科学全般GPSの話をしましょう。System」(全地球測位システム)の略です。地球の周りを回る何個かの人工衛星から電波を受け取り、自分が今どこにいるのか調べる(測位といいます)ことができる、アレです。GPSのための人工衛星は20個以上回っています。GPSを用いたカーナビなど、今やもう珍しくはありませんよね。話を簡単にするため、ここでは宇宙空間にx軸を1本用意し、その上に衛星とGPS受信機(スマホとかカーナビとか)が乗っているものとします。衛星Aは座標aの位置にいるとします。受信機Xは座標xとしましょう。このxを求めたいわけです。Aにはきわめて正確な時計が積んであります。原子時計というやつです(核エネルギーを動力にしているわけではありません......)。Aは自分の軌道のデータを持っており、座標がaであることは分かっています。Aは電波で「このメッセージはAから送信しています。Aの位置は座標a、現在時刻は13:00:00」といったメッセージを受信機Xに送ります。電波は光と同じ電磁波なので秒速およそ30万kmで進みます。c=30万km/秒とおきましょう。受信機Xにも時計は組み込んであります。これが例えばAに積んであるものと同様で原子時計だったら、メッセージを受信した時刻が13:00:01なら13:00:00からの経過時間を計算し、cをかけ算すればAからXまでの距離が求まり、xが分かります。この場合は1秒でメッセージが届いたわけで、AX=30万kmと分かるわけです。原子時計は大きいし、値段だって1000万円とかするもので、とうてい個人の車などで使うGPSの受信機には組み込めません。受信機Xに組み込む時計の誤差が例えば0.1秒だとすると距離に0.1c=3万kmの誤差が、0.01秒の誤差だとしても3000kmの誤差が出てしまいます。これでは全く使い物になりません。Xに組み込む時計は普通のクオーツかなんかだとし、正確な時計に比べて誤差がε(イプシロン)だとします。εはギリシャ文字で、数学では小さい数を表すのによく用います。このεの値は不明です。マイナスの数かも知れません。x軸上に衛星Bも用意しましょう。Aは座標a、Bは座標bです。Aは時刻tにメッセージを送り、Bは時刻sにメッセージを送ったとしましょう。Xはこれをそれぞれ時刻t’、s’に受け取ったとします。このt’、s’はXに組み込まれた安い時計が示す時刻です。従って実際にXがAからのメッセージを受け取った時刻はt’+ε、Bからのメッセージを受け取った時刻はs’+εのはずです。このとき図を見ながら次の式が成り立つことを確認してください。使っているのは「距離=時間×速さ」だけです。a-x=(t’+ε-t)cxーb=(s’+ε-s)cこの式の中で値が不明なのはx、εだけです。この連立方程式を解くだけでx、εが分かるわけです。中学、高校で数学の時間に解く連立方程式と変わりません。これがGPSの原理です。受信機に組み込む時計は安物でよく、しかし代わりに衛星が2台必要になるのです。実際には受信機は空間の中にあり、位置の特定のためには4台の衛星が必要です。時刻の誤差をεで表し、受信機の座標を誤差ごとまとめて求めてしまうのです。ぼくは初めてこの方法を知ったとき、「おおお......、これはすごい......」と、本当にびっくりしました。実際には相対性理論の効果も考慮に入れなければならないとか。こちらは勉強中なのでまとまったらまた改めて......。今回の記事の内容は、少し前に読んだGPSの技術について書いてある本によっています。今手元になく、書名が分かりません。分かったら追記します。読者になる関連記事2023-08-30立体の復元、結果報告(泣)立体の復元、一応ここまでで書いた理屈は全てプログラムで試し...2021-02-23Unityでスクリーン座標から空間内の座標を求める3Dのシューティングゲームを作るとき、敵機が視界(スクリーン...2020-10-31全微分可能とは何か空間内に平行四辺形ABCDがあります。座標を見ると分かりますが...2020-04-24写真から立体を再現(13)一応、フィナーレ!!ここまでに紹介した事実を使って、理屈も(ある程度)説明しま...2020-02-17面白いことは難しいこと!子どもの頃、BCLという趣味が流行りました。その他自然科学、プログラミング、教員なので教育についても。面白いこと、たくさんあります。読書好きなので読んだ本も紹介してゆきます。最近は3Dのゲームを製作中。(plicy)当ブログの管理人が2冊目を出版しました。ページの下の方に専用ページへのリンクがあります。コンピュータ言語を設計・実装してインタプリタの動作を理解しよう』専用ページはてなブログをはじめよう!Inuosannさんは、はてなブログを使っています。ブログを報告する引用をストックしましたストック一覧を見る閉じる引用するにはまずログインしてくださいログイン閉じる引用をストックできませんでした。再度お試しください閉じる限定公開記事のため引用できません。