数学ガンマ関数やゼータ関数の解析接続や解析的な性質を述べるために必要な複素関数論の定理を述べます。正則な関数列の定理:関数列$\{f_n\}_{n\in\mathbb{N}}$が開集合$U$上で正則で、$U$の任意の有界閉集合で関数$f$に一様収束する(このとき広義一様収束という)とき、$f$は$U$上で正則である。一様連続の定理:有界閉集合で連続な関数は一様連続である。[a,b]\subset\mathbb{R}$で定義された関数で次の2つの条件を満たすものとする。[a,b]$上連続である。このとき次の積分で定義された関数$f$は$U$上の正則関数である。ds$$色々な関数が積分で表示されて、さらっと「正則」とか「一様収束」とか言われてもどう考えたら良いのかわかりません。柳田氏の講義資料では上記の正則な積分関数の定理を掲げて、そのような議論の基礎としています。正則な積分関数の定理の中身について考えてみます。条件1からたとえば$F(z,0)$や$F(z,1)$は$z$に関する正則関数です。$f(z)$は$F(z,s)$を$s$で積分しているのでその結果には変数$s$は残りません。残るのは$z$の方です。正則な積分関数の定理について証明を述べていきます。面倒なので$[a,b]=[0,1]$で証明しますが、$任意の[a,b]\subset\mathbb{R}$で成り立つのは明らかです。$n$を自然数としてこの積分を$n$等分割の場合のリーマン和の定義式に直してみます。F\left(z,\frac{k}{n}\right)$$と定めます。条件1より$F(z,\frac{k}{n})$は正則、従ってその有限和である$f_n$は$U$上で正則です。そこで$\{f_n\}_{n\in\mathbb{N}}$が任意の閉円板$\overline{D}\subset{U}$で一様に$f$に収束することを示れば、$f$は正則であることが示せます。$f_n$は$\overline{D}$で連続なので一様連続の定理から$f_n$は$\overline{D}$で一様連続です。|F(z,s_1)-F(z,s_2)|\lt\varepsilon$となります($z$に関係なく$\varepsilon$で抑えられるわけです)。$f_n$の定義式を無理やり積分を使って書き直すとこうなります。\varepsilon=\varepsilon$$となります。一様収束の定義から$f_n$が$f$に$U$で広義一様収束することが分かりました。よって$f$は$U$で正則です。Q.E.D.次回はガンマ関数について語ります。今回は柳田氏の講義録を参考にしています。有理型関数ついに有理型関数の定義を理解するところまでやってきました。使って、数学を楽しみましょう。Androidのサポート」などの記事を書いていきます。12はてなブログをはじめよう!jurupapaさんは、はてなブログを使っています。ブログを報告する引用をストックしましたストック一覧を見る閉じる引用するにはまずログインしてくださいログイン閉じる引用をストックできませんでした。再度お試しください閉じる限定公開記事のため引用できません。