付随するBorcherds積として表示される。このHopf代数構造は、底タングルの圏Bの中にも含まれている。Hecke環とはp-進代数群の表現論をある意味で含むと考えられている代数系であり、さらにp-進代数群の表現論に移行する時には特殊化されるパラメタを持つ。Hecke環の対応する表現を与え、やはり対応する良い性質を持つ事が知られている。質的に変わることが先行研究によって知られている。Hecke環が古典型の場合に限って)その変化の仕方を記述する公式を紹介する。Ciubotaru氏との共同研究である。予想の解決にも用いられたことで注目を集めた。これはリッチ平坦多様体に対する既存の比較定理のリッチ流版とも考えられる。リッチ平坦計量や縮小型リッチソリトンを含む重要な概念である。対する小平型の消滅定理の様々な一般化を紹介したい。一般次元の代数多様体の双有理分類理論では、小平型の消滅定理が重要な役割を演じている。有名な消滅定理の一つは、川又--Viehweg消滅定理である。極小モデル理論の基本定理のほとんどすべてが川又--Viehweg消滅定理の応用として得られていると言っても過言ではない。最近の研究では、川又--Viehweg消滅定理と本質的に同じである(代数的な)Nadel消滅定理も有効に使われている。今回は小平の消滅定理の究極の一般化の一つについて紹介したい。新しい消滅定理は川又--Viehweg--Nadel消滅定理の一般化になっているだけでなく、たくさんの応用を持っている。以前より簡単な議論で従来のものより遥かに強力な結果が証明出来るという理想的な状態が実現されている。今後の極小モデル理論では不可欠な道具になるはずである。Hodge理論の観点から見ると、従来のものはpureな話で今回の話はmixedな話に対応する。