SympyとGAPで可移部分群の条件から5次方程式のガロア群を高速に求める(1)数学Sympyを使ってみて、群論のサポートがMaximaよりも手厚く、そこは非常に良い点と思いました。Pythonという言語に親しむことも出来ました。そんな作業をしながら、目についた論文やネット記事を読んでいると、方程式が与えられたときに、そのガロア群を求める別のやり方が理解出来ました。今回はその方法をSympyで実装したので、それを記事にします。アルゴリズムやプログラムについては次回の記事にするとして、今回は実行の様子を見せます。実行時間は従来のものと比べると圧倒的にはやいです。時間がかかる、ガロア群が\(S_5\)の場合で40秒くらい、\(A_5\)で10秒くらい、\(F_20\)以下の場合は2秒程度で求まります。可解の場合にガロア群を求めるプログラム、ということにすれば、2秒でOKということです。subgroup)になる、ということです。5次方程式なら5次対称群の可移部分群を全て列挙して、それらがガロア群になるかどうか確認すれば良いのです。この確認には時間のかかる因数分解やグレブナー基底計算は不要です。ネットで検索すると出てくる、可解な5次方程式を扱った論文・記事で例として挙げられている5次方程式のガロア群を求めてみました。大迎規宏フロベニウス群をガロア群としてもつ\(x^5+15\,x+12\)が登場します。s同じ論文で、2面体群をガロア群としてもつ\(x^5-5\,x+12\)も登場します。年この論文には巡回群\(C_5\)をガロア群としてもつ\(x^5-11\,x^3-11\,x^2+11\,x+11\)が登場します。mathoverflow.netこのmathoverflow.netの記事ではガロア群が交代群になる\(x^5-x^4-11\,x^3+x^2+12\,x-4\)が登場します。s次の方程式\(x^5+x^2+1\)は私が適当に作ったもので、そのガロア群は5次対称群となります。