数学この記事では複素関数論の応用として代数学の基本定理を証明します。この辺の話は勉強していて興味深い話だったのですが、今回の予定のストーリーからは横道に逸れる感じだったので、補足として今回記事にすることにしました。リュービルの定理は以前に楕円関数の性質の証明で使ったこともあり、その証明がきっちりと数式で示せる事を知り楽しかったです。代数学の基本定理:定数を除く複素数係数の1変数代数方程式は複素根を持つ。この証明に使う次の定理も証明します。リュービルの定理:有界な整関数は定数関数に限る。この証明に使うコーシーの不等式も証明します。コーシーの不等式:$D$を中心$z$、半径$R$の開円板、$\overline{D}$をその閉円板とし、$f$を$\overline{D}$を含むある開集合で正則な関数とする。$C$を$D$の円周で正の向きを持つとする。C}|f(w)|}{R}$$まずはコーシーの不等式の証明から始めます。上記記事の最後に正則関数の$n$回微分を積分で表しました。i}\int_C\frac{f(z)dz}{\left(z-a\right)^{n+1}}$$ここからガシガシ計算します。C}|f(w)|}{R^n}$$Q.E.D.リュービルの定理:有界な整関数は定数関数に限る。コーシーの不等式を使ってリュービルの定理を証明しましょう。$f(z)$を有界な整関数とします。任意の$z\in\mathbb{C}$について$f'(z)=0$を証明します。すると$n=1$の場合のコーシーの不等式から、$|f'(z)|\le\frac{B}{R}$。$f$が整関数なので$R$はいくらでも大きくて良いので$|f'(z)|=0$、つまり$f'(z)=0$が示せました。次に$f(z)=$定数を示します。f'(z)dz=f(w')-f(w)$となります。左辺は$f'(z)=0$から$0$、従って$f(w')=f(w)$がわかりました。Q.E.D.代数学の基本定理:定数を除く複素数係数の1変数代数方程式は複素根を持つ。c_k\in\mathbb{C}$に対して$f(z)=0$をいいます。複素根を持つとは$f$に零点がある事を意味します。$f$に零点がないと仮定します。+\frac{c_0}{z^n})$、従って$\lim_{|z|\to\infty}\frac{f(z)}{z^n}=c_n$です。両辺の絶対値を取ると$\lim_{|z|\to\infty}\left|\frac{f(z)}{z^n}\right|=|c_n|$です。R$上では$f(z)$は連続(なぜなら正則)でかつ零点がありません。従って$\frac1{f(z)}$は正則従って連続でかつ極がないので有界です。両方まとめると$\frac1{f(z)}$は$\mathbb{C}$で有界な正則関数となり、リュービルの定理が適用できて定数関数となります。これは定理の仮定の一部である「定数を除く」に反しますからよって背理法の仮定は誤りであり$f$には零点があります。有理型関数ついに有理型関数の定義を理解するところまでやってきました。使って、数学を楽しみましょう。Androidのサポート」などの記事を書いていきます。12はてなブログをはじめよう!jurupapaさんは、はてなブログを使っています。ブログを報告する引用をストックしましたストック一覧を見る閉じる引用するにはまずログインしてくださいログイン閉じる引用をストックできませんでした。再度お試しください閉じる限定公開記事のため引用できません。