Egregium(ラテン語。2])はカール・フリードリヒ・ガウスにより証明された定理で、曲面のガウス曲率が曲面の内在的な量(リーマン計量)のみで書ける事を主張する。Theorem」(注目すべき定理)と意訳する事もある[12][13][14]。曲面が他の任意の曲面にどのように発展したとしても、各点における曲率の大きさは不変である。^{3}}内の曲面とし、PをM上の点とする。点PにおいてMの「最も曲がっている方向」の曲がり具合と「最も曲がっていない方向」の曲がり具合の積を点PにおけるMのガウス曲率という。(ただし図のようにPが鞍点になっている場合は、逆方向の曲がりをマイナスの曲がり具合と解釈する。よってこの場合の「最も曲がっていない方向」とは「逆向きに最も曲がっている方向」である)。^{3}}においてMがどのような形になっているかが一見重要に見える。Egregiumの趣旨である。具体的にはガウス曲率はMの距離空間としての構造(厳密にはリーマン計量)のみから計算できる。^{3}}内でMを変形しても、その変形がMの距離構造を変えない限り、ガウス曲率は変わらない。カテノイド(英語版)(=懸垂面)とヘリコイド(英語版)(=螺旋面)は見た目は大きく異なるが、両者の距離構造は同じなので、ガウス曲率は変わらない。intrinsic)量であるという。Egregiumは、ガウス曲率がMの内在的な量である事を意味している。Egregiumから得られる帰結として、平面上に地球の正確な歪みの無い地図を描くことはできない。Egregiumより両者のガウス曲率は等しくなければならないが、球面のガウス曲率は半径をRとすると1/R2であり、平面のガウス曲率は0である事が知られているので、これは矛盾である。Egregiumなどの曲面論(ガウスの曲面論(英語版))を研究したきっかけは、国家の測量を依頼されたためであった。Egregiumに着目する事により、「外の空間」なしのn次元曲面、すなわちn次元リーマン多様体を定義し、これが今日の微分幾何学の研究の嚆矢となった。アルベルト・アインシュタインは、重力の座標変換則がリーマン多様体のそれとよく似ている事に着目し、宇宙をリーマン多様体の類似物(擬リーマン多様体)と見なすことで一般相対性理論を確立した。^{3}}内の曲面Mに対し、Mのガウス曲率はMの第一基本形式(およびその2階以下の偏微分)のみを用いて記述できる。第一基本形式は現代的な言い方では「リーマン計量」と呼ばれる。{1}{2}}G_{u}&F&G\end{vmatrix}}}{(EG-F^{2})^{2}}}}により記述できる。ここでEuはEのu-偏微分を表す。Egregiumを以下のように再定式化できる。_{[X,Y]}Z}により定義する。_{P}:=g(e_{1},R(e_{1},e_{2})e_{2})}により定義する。^{3}}に対し、点Pにおけるガウス曲率は点Pにおける断面曲率と一致する[18]。断面曲率はMに内在的な量(リーマン計量)のみから定義したので、断面曲率はMに内在的な量である。よって上記の定理はガウス曲率がMに内在的である事を示している。→詳細は「部分リーマン多様体の接続と曲率」を参照Mをリーマン多様体Mの部分多様体とする。e_{m}}が定義できる。_{m}}が定義できる。(なおガウス曲率は第二基本形式の行列式に等しい)。)}はそれぞれM、Mの断面曲率である。{M}}_{c}}をその余次元1の部分多様体とし、さらにPをMの点とする。W)=g(R(X,Y)W,Z)}により定義する。j\}}に一致する[19]。_{m}}は点Pにおける主曲率である。