多変数の積分の幾何学的(図形的)イメージ要するに、どういうことですか?一旦計算してみます。本記事は、累次積分、すなわち多変数の積分について解説する記事です。本記事を読むにあたり、積分とは何か、1変数の積分について知っている必要があるため、以下の記事も合わせてご覧ください。※1変数の積分の記事が複数あるため、一部のリンクを貼っています。その13...for-spring.com2022.08.25多変数の積分ってどうやって計算するんですか?ここでは、多変数の積分の効果的な計算方法のイメージについて解説します。1変数のときの軽い復習そもそも積分は、リーマン和の極限として定められました。具体的に関数が与えられたとき、その積分の値をこのリーマン和の極限に基づいて計算するというのは誠に骨が折れます。「区間の分割を定めて〜、和を計算して〜、その極限が存在するかを議論して〜、極限が分割と代表点に依存しないことを示して〜」など色々議論しなければならないことが多いからです。「この方法はだめだ」と言っているわけではなくて、本来はこのように積分を、すなわち極限を求めるのが正攻法です。実際的ではないのです。1変数関数の場合は以下の事実を使って計算しました。(a<b)\)で連続な実数値関数とするとき、次の2つが成り立つ。dy\)は、\(I\)における\(f\)の原始関数である。G(x)\right]_a^b\)と表す。その15を御覧ください。要するに、1変数の場合は定理1.に基づいて、\(f\)の原始関数を求めることによって積分の値が計算できます。多変数の場合では、多変数関数の積分を求めるために、定理1.と同様な効果的な方法はないでしょうか?結論を言うと、あります。dx_n\right\}\cdots\right\}dx_2\right\}dx_1\cdots1$$のように各変数\(x_i\)についての積分を\(n\)回繰り返すことで得られます。多変数の積分の幾何学的(図形的)イメージこの式1が成り立つ条件については後述することにして、ここでは1が成り立ったときの\(n=2\)の場合について見ていきましょう。dy\right\}dx\cdots2$$となります。d\boldsymbol{x}\)は、\(f\)のグラフ\(z=f(x,y)\)の下にある部分の体積を表します。dy$$を\(x\)について積分したものに等しいことを表しています。dy\)は、変数\(y\)についての積分ですので、この積分においては\(x\)は定数です。\(x\)が定数ということは、「変化しない」ということです。dy\)は、\(x=\)一定のときで立体を切った切り口の面積を表しています。\right)$$において、\(d(\Delta)\to0\)なる極限が、分割\(\Delta\)によって得られる各小区間\(I_k\)の\(y\)軸に平行な辺の中さをまず\(\to0\)として、次に\(x\)軸に平行な辺の長さを\(\to0\)とする極限に等しい、ということを意味しています。要するに、どういうことですか?「結構難しいな」と思ったかもしれませんが、よりサラッと図で説明します。そもそも積分は小区間における体積の和でした。上記のように、小さい直方体の体積を足し合わせて、全体の立体の面積を求める、というのが元々の積分でした。今回の方法を図で表すと以下です。\(x\)を定数として立体の切り口の面積をを考えます。その立体の切り口である平面の面積を\(x\)に依存する形で求め、次にその平面の面積を\(x\)軸方向に動かしたときの軌跡でもって元の立体を網羅して体積を求める、ということです。イメージはつかめたと思いますが、結局の所、計算上は1変数の積分を繰り返すだけです。それを例を挙げて実際に計算してみます。dxdy\)を計算してみます。\right)\end{eqnarray}と計算できます。要するに、「1が成り立つようなときは、今のように計算しましょうね」ということです。記号のお話1の証明についての基本的な部分は、\(n\)次元区間上の積分を低次元区間上の積分の繰り返し(累次積分)に置き換える点にあります。そこで、\(n=p+q\)となる整数\(p,q\geq1\)を取り、\(n\)次元区間\(I=[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]\times\dots\times[a_n,b_n]\)上の積分を\(p\)次元区間$$J=[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]\times\dots\times[a_p,b_p]$$と\(q\)次元区間$$K=[a_{p+1},b_{p+1}]\times[a_2,b_2]\times\dots\times[a_n,b_n]$$上の積分に分解することを考えます。v(K)\cdots3$$が成り立ちます。\boldsymbol{y}=(z_{p+1},z_{p+2},\dots,z_n)\in\mathbb{R}^q$$として、\(\boldsymbol{z}=(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})\)と書くことにします。\(I\)の任意の分割\(\Delta\)は、\(I\)の\(n\)個の辺に有限個の分点を定めることにより与えられるので、\(I\)の分割は\(J\)と\(K\)の分割\(\Delta^\prime\)と\(\Delta^{\prime\prime}\)を与えることになります。K\)の分割\(\Delta\)が得られます。このとき、\(\Delta=\Delta^\prime\times\Delta^{\prime\prime}\)と書くことにします。K(\Delta^{\prime\prime})$$となります。本記事ではこのように記号を書くことにします。1の証明に必要な事実の明示とその証明では、1式が成り立つという主張を明示して証明します。K\to\mathbb{R}\)が次の2つの条件1.、2.を満たすとする。\(f\)は\(I\)上で可積分である。f(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})\)は\(K\)上で可積分である。