owner【1変数】実数の和と積、順序、絶対値を定義ポストシェアはてブ送るPocket『【1変数】コーシー列の定義から実数の構成までを解説』の記事では、コーシー列の定義から実数の構成までを解説しました。今回は、続いて実数の和や積、順序、絶対値についての定義を紹介していきたいと思います。分からない記号が出てきたら、上に挙げた記事を参照してみてください。実数の定義をしたら、次に演算を定義をしておかなければなりません。\(s=\overline{\{s_n\}}\)と\(v=\overline{\{v_n\}}\)を実数とします。\tag{1}$$と定義します。{v_n}\)が有理コーシー列であることを確認しないといけません。実数は有理コーシー列の同値類だと定義したからです。それには、『【1変数】収束列の和・差・積・商の数列も収束する』で紹介した証明と同じように考えれば確かめられます。\end{align}$$ですから、『【1変数】コーシー列の定義から実数の構成までを解説』で紹介したコーシー列の定義を満たす、有理コーシー列であると分かります。\end{align}$$となりますから、同じくコーシー列の定義を満たす、有理コーシー列であると分かります。v\)にならないといけません。0\)であることを順に示せば確かめられます。これも、先と同じ流れで示すことができます。w\)を確かめることになりますが、ここでは省略します。実数の順序\(s=\overline{\{s_n\}}\)と\(v=\overline{\{v_n\}}\)を実数とします。\tag{2}$$と定義します。これによって、順序関係が定められます。\varepsilon^{\prime}_2\)であることに矛盾します。(証明終)全順序(2)式で定義した順序\(\leq\)は全順序です。v\)のいずれかが成り立つということです。v\)より\(s=\overline{\{s_n\}}\)と\(v=\overline{\{v_n\}}\)は異なる2つの実数で、(3)式も成り立ちます。$$(4)式より\(s_{n+k}\)は\(s_n\)を中心とする半径\(\varepsilon\)の円の内部に存在し、(5)式より\(v_{n+k}\)は\(v_n\)を中心とする半径\(\varepsilon\)の円の内部に存在します。これと、(6)式より\(s_n\)と\(v_n\)の間の距離が\(\varepsilon\)以上ですから、\(s_{n+k}\)と\(v_{n+k}\)の間の距離は\(\varepsilon\)以下になります。0\)のときは\(-s\)と定義できます。(ただし、s=\overline{\{s_n\}})$$であることが分かります。以下の記事で、「実数列が収束することは、それがコーシー列であるための必要十分条件である」という定理を証明するのですが、特に、「コーシー列ならばその数列は収束する」という命題については数を実数まで拡張し順序を定めるなどしてはじめて証明できるため、こういったところに実数の構成による恩恵があります。解析学ポストシェアはてブ送るPocketfeedlyトップページへ【1変数】実数列が収束することとコーシー列であることは同値であるRECOMMENDこちらの記事も人気です。