=0の解であることがわかる。)n+1で割れば、すなわち、両辺に2n+1をかければ、よい。等差数列になっている。αβ=2α,βはtに関する2次方程式t2+3t+2=0の解である。)n-1+(1)を「階差型」に変形する両辺を(-1)n+1で割るcn=an/(-1)nとおくと、c1=-1cn+1-cn=3・2n-1(2)の両辺を(-1)n+1で割れば、「等比型」に、(-2)n+1で割れば、「階差型」に、それぞれ変形できる。c=-1,3c=-1に対して型の変形を考える・・・(1)・・・(2)c=3に対して型の変形を考える・・・(3)・・・(4)(2),(4)はいずれも「等比型」であるから、それぞれ単独で解ける。それ以外に(1),(3)を組み合わせて、等比数列を作る方法がある。(重解)「重解」であるから方法は一つしかない。次の式で定義される2次の正方行列Aについて、そのn乗を次に手順によって求めよ。零ベクトルではない列ベクトル(x,y)に対して、をみたす定数kは2個存在する。(x2,y2)をそれぞれ一つずつ求めよ。するとき、AP=PBを示せ。Bnを推定し、これを数学的帰納法によって証明せよ。行列(A-kE)が、逆行列(A-kE)-1を持つと仮定する。両辺に左からこれをかけると、(x,y)=(0,0)となり、仮定に反する。E=0と、係数の並びが同じである。これをAの「固有方程式」と呼ぶ。(これを行列Aの「固有値」と呼ぶ)これを固有値1に対応する「固有ベクトル」と呼ぶ。このようなベクトルは無数に存在するが、もっとも簡単な整数比のものを選んだ。AP=PBと推定される。n=1のとき成立する。・・・(1)n=mのとき成立すると仮定する。両辺に右からBをかけると、となり、n=m+1のときも成立することが示された。・・・(2)(1)(2)より、任意の自然数nに対して、が成立する。(「固有方程式」が、重解でない限り二つの「固有ベクトル」は1次独立である。従って、それらを並べた行列Pは、かならず、逆行列を持つ。)iiiよりAP=PBPは逆行列P-1をもつから、これを両辺に右からかけて、APP-1=PBP-1A=PBP-1An=(PBP-1)n=PBP-1PBP-1・・・PBP-1=PBnP-1。