α,βはtに関する2次方程式t2+pt+q=0・・・(3)の解であることがわかる。これは、(1)の係数の並び方をそのまま写し取った形をしており、「特性方程式」と呼ばれる。b1=a2-αa1これは公比βの等比数列であるから、bn=b1βn-1すなわち、an+1-αan=(a2-αa1)βn-1・・・(4)ここで、α,βの値、すなわち、「特性方程式」(3)の解のあり方によって、この後の処理手順が若干変わってくる。an+1=an+f(n)「特性方程式」(3)が2つの異なる実数解をもち、かつ、その一方が1であるときαを1と見れば、(4)はすでに「階差型」になっている!βを1と見れば、(4)はすでに「等比型」になっている!というわけで、どちらの方法でも、解ける!「特性方程式」(3)が2つの異なる解(実数解でなくても、差し支えない!)をもつときここまでの議論で、明らかに、αとβは「入れ替え可能」であるから、(4)が成立するなら、かならず、(4')も成立する。an+1-αan=(a2-αa1)βn-1・・・(4)an+1-βan=(a2-βa1)αn-1・・・(4')両式の辺々を引き算して、an+1を消去すると、(β-α)an=(a2-αa1)βn-1-(a2-βa1)αn-1従って、β-α=0でない限り、すなわち「特性方程式」(3)が重解でない限り、この方法で、解ける!・・・(*)(4)または(4')を、単独で、直接、解く方法はないだろうか?(4')についても全く同様だから、ここでは(4)について考える。(4)で、もし、βn-1の部分が「定数」なら、「等比型」に帰着する。実際にはβは1ではないから、「定数」ではない。そこで、両辺をβn+1で割ってはどうか?、という「思いつき」が、浮かぶ。なって、cn=an/βnと置き換えれば、「等比型」になっているではないか!(4)で、もし、αが1なら、「階差型」に帰着する。実際にはαは1ではないから、消しゴムで消す、わけにはいかない。そこで、両辺をαn+1で割ってはどうか?、という「思いつき」が、浮かぶ。なって、dn=an/αnと置き換えれば、「階差型」になっているではないか!「特性方程式」(3)が重解を持つときこのときは(*)の方法は使えない。