\(f\)に上限と下限が存在するのは\(f\)が有界だからです。M_k\cdots5$$が成り立ちます。ここで、積分の区間に関する加法性を使います。定理3.(区間に関する加法性)\(\Delta\)を\(\mathbb{R}^n\)の有界閉集合\(I\)の任意の分割とし、\(f\)を\(I\)上の有界な関数とする。K(\Delta))\)上で可積分ならば、\(f\)は\(I\)上で可積分で1が成り立つ。その9を御覧ください。v(K_m)$$となります。K(\Delta)}M_kv(I_k)=S_\Delta(f)\cdots6$$が得られます。\(s_\Delta\)と\(S_\Delta\)はそれぞれ不足和、過剰和です。d\boldsymbol{z}\)に収束します。d(\Delta)\leq\sqrt{d(\Delta^\prime)^2+d(\Delta^{\prime\prime})^2}$$だから、\(d(\Delta)\to0\)は、\(d(\Delta^\prime)\to0\)かつ\(d(\Delta^{\prime\prime})\to0\)と同値です。d\boldsymbol{z}\cdots7$$が得られます。d\boldsymbol{y}\)が\(J\)上で可積分で、かつ4が成り立つということを示しています。d\boldsymbol{z}\right|<\frac{\varepsilon}{3}\right)$$が成り立ちます。d\boldsymbol{z}\right|<\varepsilon\end{eqnarray}が成り立ちます。これで7が証明されました。定理0.の証明終わりこの定理0.のおかげで、多変数の場合の積分は定義域で分割して計算できるということが保証されます。積分は、有限和の極限として定められている、と言いかえることもできます。n}}a_{ij}=\sum_{i=1}^m\left\{\sum_{j=1}^na_{ij}\right\}\cdots8$$です。n\right\}\)についての総和である左辺が、縦の列の和\(\displaystyle\sum_{j=1}^na_{ij}\)の和として求められるのです。この公式8は定理0.の証明でも6を得るところで使っています。定理0.の2つの仮定のうち、本質的には1.が重要です。J\)に対して成り立ちます。f(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})\)は\(K\)上で可積分となります。仮定1.のみで4が成り立つことが示されます。皆様のコメントを下さい!以前にもお話したかもしれませんが(してたらごめんなさい)、筆者が大学で数学を学んでいるときに「面白いなあ!」と思った瞬間は大きく分けて2つあります。1つは、一見関係のなさそうな分野がつながるときです。大学一年のときに解析の分野で線型代数が出現したときです。「微分にも行列が絡んでくるんだあ」と思ったときです。2つ目は中高で習ったことを厳密に語るときです。高校数学の教科書では(筆者のときは)「限りなく近づく」という表現で極限が説明されていました。