5)\)と書くこともできます。実は、どんな置換であっても、置換は巡回置換の積で書き表すことができます。定理5.任意の置換は共通の文字を含まないいくつかの巡回置換の積として表され、この表し方は積の順序を除いて一意的である。\\i_1&i_2&\cdots&i_n\\\end{pmatrix}\)が与えられたとき、まず、何か1つの文字を、例えば\(1\)をとり、それが次々とどのように移っていくのかを見ます。j_3,\cdots$$と書いたとき、この移り変わり(並び替え)は集合\(M_n=\{1,2,\dots,n\}\)の部分集合の要素をぐるっとまわて\(1\)に戻ってくるはずです。そこで、今、仮に\(1\)に戻ってこないとして矛盾を導きます(背理法!)。\(M_n\)の要素の数はあくまで有限ですので、無限に次々と新しい数が登場することはありません。従って、あるときに今まで登場した数が再び登場します。同じ数が再びでるその最初の数が\(1\)以外だとして、その数を\(j_k\)とします。いうことかというと、次の図です。ここで重要なのが、「置換は全単射である」ということです。j_k\)ということで、\(\sigma(j_{k-1})=\sigma(j_m)=j_k\)ということになり、\(\sigma\)が単射でなくなってしまいましたので矛盾です。故に、戻ってくる数は必ず\(1\)となります。j_{k-1})\)が定まります。次に、残った文字について同じように考えれば、巡回置換が次々と得られます。この操作は\(M_n\)の要素が有限個しかないので、有限回で終了します。これはすなわち、置換は有限個の巡回置換の積で書けるということを表しています。一意性についても簡単です。ある置換を別の巡回置換の積で書いたとします。別の巡回置換の積で書いたということは、巡回の仕方(どの数でぐるぐる回っているか)が異なるということです。いうことは、あるときに別々の数が同じ数を経由して新たな数へ向かう、ということが起こります。これは置換の全単射性、特に単射性に反しますので一意的です。定理5.の証明終わり定理5.が本当に成り立つかをいっちょ計算してみましょう。\\3&7&4&5&1&9&8&2&6\\\end{pmatrix}\)としたとき、どのように巡回置換の積で書けるか、ということを順々に見ていきます。