2019.12.02大学に入学すると、物理の問題を解く上で非常に強力な武器を手に入れる。力学ではその強力さを体感できる。問題ある高さ\(h\)から、質量\(m\)の球を初速度\(v_{0}\)で水平右向きに打ち出す。v\)を受け(\(\gamma\)は粘性抗力係数)、水平右向き、鉛直上向きを正とする。重力加速度を\(g\)とする。このとき、次の2つのグラフをそれぞれ描け。・球の運動の軌跡ただし水平方向の初期位置は\(x=0\)としてよい。球を質点とみなしてよい。解答まず水平方向の運動を考える。\tag{1}\label{suiheieq}\end{align}となる。\tag{2}\label{suiheieq2}\end{align}と書き換える。\tag{3}\label{suiheieq3}\end{gather}となる。\(D_{1}=e^{c_{1}}\)であり、任意定数である。この\(D_{1}\)は初速度を使うと決定できる。\tag{4}\end{align}となり\(D_{1}=v_{0}\)であることがわかる。\tag{5}\label{suiheieq5}\end{align}と書ける。\label{suihei6}\end{align}となる。\(C_{2}\)は積分定数であるが、これは初期位置から決定できる。\tag{7}\label{suiheieq7}\end{gather}となる。\tag{8}\end{align}となり、これをグラフに描くと下図のようになる。最初は右向きに進んでいくが、時間が十分経過すると\(x=mv_{0}/\gamma\)に落ち着く。空気抵抗により、水平方向の速度が減速する様子がはっきりと示されている。続いて鉛直方向を考える。鉛直方向には空気抵抗力に加えて重力がかかるため、運動方程式は次式のようになる。\tag{10}\label{enchoku2}\end{align}と書ける。\tag{11}\label{enchoku3}\end{gather}となる。ここで\(D_{2}=e^{C_{3}}\)は任意定数であり、\(D_{2}\)は初速度から決定できる。\tag{12}\end{align}となり\(D_{2}=mg/\gamma\)であることがわかる。\tag{13}\label{enchoku13}\end{align}と書ける。\tag{14}\label{enchoku14}\end{align}となる。\(C_{4}\)は積分定数であるが、これは初期位置から決定できる。\tag{15}\label{enchoku15}\end{gather}となる。\tag{16}\label{enchoku16}\end{align}となり、これをグラフに描くと下図のようになる。\))、\(y(t)=-(mg/\gamma)t+(m^{2}g/\gamma^{2})+h\)となり、球は鉛直下向きに等速落下する。このときの速度\(v_{\text{e}}=-mg/\gamma\)がいわゆる終端速度と呼ばれるものである。以上より、球の運動の軌跡は下図のようになる。最後に空気抵抗による水平方向の運動の抑止、およびその位置や速度までが、2つの微分方程式を解くだけでわかってしまう。これが高校物理だったらおそらく「空気抵抗を受けたときの水平方向の速度および変位の公式」みたいな感じのただの暗記項目として与えられるだけになってしまい、全く面白みがないものになっていたかもしれない。微分方程式を解く方法を知ってしまえば、そんなものを覚える必要はない。三角関数でいう加法定理さえ覚えてしまえば他の公式を導き出せるような、そんな体験を物理でも味わえるわけだ。今後もこういった感じで、特に私が面白く感じた問題を中心に記事に書いて紹介していきたいと思う。力学の王道、単振動の問題を取り上げてみた。【力学】壁に取り付けられたばね力学問題第2問は、単振動と運動量保存則のコラボレーション問題だ。壁からばね定数\(k>0\)のばねが垂直に立っており、その先端に質量\(M\)の球1が取り付けられている。最後に、比較的粘性が小さい場合の振動を扱う。大きな関門である、投射運動の考え方について解説する。結論から言うと、水平投射は等速直線運動と自由落下の組み合わせである。3問目は運動のイメージがしやすい減衰振動を扱う。ばねと液体から受ける力による球の運動は、時間\(t\)での球の位置を\(x(t)\)として、下記の形の微分方程式で記述できることを示せ。【力学】壁に取り付けられたばね力学問題第2問は、単振動と運動量保存則のコラボレーション問題だ。壁からばね定数\(k>0\)のばねが垂直に立っており、その先端に質量\(M\)の球1が取り付けられている。PMおそらく「重力と空気抵抗は向きが逆なのに、なぜ運動方程式上ではともに符号がマイナスがついているのか?」という疑問を抱いての質問だと思います(違っていたらごめんなさい)。空気抵抗は物体が動く方向(速度の方向)に対して必ず逆向きの力になるので、どのように座標系をとっても必ずマイナスの符号が付きます。考えるなら、各物理量の正負を見ていく必要があります。・m>0かつg>0・重力は鉛直下向きにかかる力(マイナス方向の力)・今は鉛直上向きが正なので、「mg」につく符号はマイナスになり、「-mg」トータルでもマイナスの値になります。空気抵抗ですが・γ>0かつv<0・空気抵抗は鉛直上向きにかかる力(プラス方向の力)・今は鉛直上向きが正なので、「γv」につく符号はマイナスになり、「-γv」トータルではプラスの値になります。鉛直上向きを正として落下運動を考えるときは「v<0」となるのがポイントです。ちなみに鉛直下向きを正とすれば、仰る通りma=mg-kvで正解です。PM小球が地面に落ちる、すなわちy(t)=0を解くことは可能なのでしょうか。PM式(16)の右辺が0となるときの時間tを求めたい、ということでしょうか?この場合だと解析的に解くことはできません。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。※サイト次回のコメントで使用するためブラウザーに自分の名前、メールアドレス、サイトを保存する。力学プロフィール本サイトの管理人ピクト平成1桁生まれ、社会不適合者のエンジニア。物理を嗜み、パソコンとMr.Childrenをこよなく愛する。二次元作品はアニメから入ることが多い。ミュージックMr.Children東京事変B’zその他(ミュージック)マンガ・アニメゲームスポーツ脱毛その他ホーム検索トップサイドバータイトルとURLをコピーしました。