とどのつまり、上段に元の数を並べて、下段に上の数字の行き先を書く、というわけです。\\\sigma(1)&\sigma(2)&\cdots&\sigma(n)\\\end{pmatrix}$$と書くこともあります。置換\(\sigma\)は全単射ですので、\(i_1,i_2,\cdots,i_n\)はそれぞれ相異なります。順列(順序のついた列)\((i_1,i_2,\cdots,i_n)\)が得られる、ということになります。ちなみに、\((1,2,3)\)が順列だったとすると、\((1,2,3)\)は\((2,1,3)\)やら\((3,1,2)\)とは構成されている数字は同じですが、列としては別物です。\\\sigma(1)&\sigma(2)&\cdots&\sigma(n)\\\end{pmatrix}$$が得られます。言うことは、\(M_n\)の置換全体の集合と\(M_n\)の順列全体の集合とには一対一対応(全単射)が存在する、ということです。\\i_1&i_2&\cdots&i_n\\\end{pmatrix},$$は上下段の組み合わせが同じであれば、順番を入れ替えても同じ置換を指します。\\1&2&3\\\end{pmatrix}$$です。どんなのッスか?簡単ではありますが、例をあげます。\\2&1&3\\\end{pmatrix}$$としたときを考えます。\sigma(3)=3$$です。\(1\)番目を\(2\)に、\(2\)番目を\(1\)に、\(3\)はそのまま、という並び替えをしたということで、このとき順列\((2,1,3)\)が得られます。\\2&1&3\\\end{pmatrix}$$が得られます。記号のお話\(M_n=\{1,2,\dots,n\}\)の置換全体からなる集合を\(S_n\)と書くことにします。\\\sigma(1)&\sigma(2)&\cdots&\sigma(n)\\\end{pmatrix}\middle|\sigmaは置換\right\}$$です。例1.を思い出してみましょう。例1.は平たく言うと\(1,2,3\)を\((2,1,3)\)に並び替える、という話でした。\(1,2,3\)の並び替え方はこれだけではありません。\((3,2,1)\)に並び替えるというパターンもあります。全部で何パターンあるかというと、単純に順列のお話で\(3!=6\)パターンあります。したがって、\(1,2,\dots,n\)の並び替え方は全部で\(n!\)個あります。故に\(S_n\)の要素の数は\(n!\)個です。「並び替え方に掛け算?」と思うかもしれませんが、置換には積が定まります。3\)のような掛け算のイメージとは少々毛色が違いますが、何ら難しい話ではありません。置換の積は写像の合成のこと。ここで、ひとつ全単射の合成写像について話します。Z\)も全単射である。f)(y)\)とします。f(y)\right)$$が成り立ちます。ここで、\(g\)は全単射ですので、単射です。f(x)=f(y)$$です。\(f\)も全単射なので、単射です。