\(g\)は全単射ですので、全射です。z=g(y)$$です。\(f\)は全単射ですので、全単射です。y=f(x)$$です。f)(x)$$が成り立ちます。命題2.の証明終わりでは、置換の積の話に戻ります。M_n\)でかつ全単射だとします。M_n\)も命題2.から全単射です。これをしっかり書くと次です。S_n\)を置換\(\tau\)と\(\sigma\)の積といい、\(\tau\sigma\)と書く。\\i_1&i_2&\cdots&i_n\\\end{pmatrix}$$の形で書いてみましょう。\\j_1&j_2&\cdots&j_n\\\end{pmatrix}$$と書いたとしましょう。※注意※で述べたとおり、置換は上下段の組み合わせが同じであれば置換として同じものですので、\(\tau\)の上段を\(\sigma\)から得られる順列\((i_1,i_2,\dots,i_n)\)に並び替えても\(\tau\)と一致しています。\\j_1&j_2&\cdots&j_n\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}j_1&j_2&\cdots&j_n\\r_1&r_2&\cdots&r_n\\\end{pmatrix}$$です。\\r_1&r_2&\cdots&r_n\\\end{pmatrix}$$となります。\(i_1,i_2,\dots,i_n\)、\(j_1,j_2,\dots,j_n\)および\(r_1,r_2,\dots,r_n\)をそれぞれ写像の記号を使って書くと、\((i_1,i_2,\dots,i_n)=(\sigma(1),\sigma(2),\dots,\sigma(n))\)、\((j_1,j_2,\dots,j_n)=(\tau(1),\tau(2),\dots,\tau(n))\)、\((r_1,r_2,\dots,r_n)=(\tau(i_1),\tau(i_2),\dots,\tau(i_n))\)です。r_n=\tau(\sigma(n))$$となります。\\\tau(\sigma(1))&\tau(\sigma(2))&\cdots&\tau(\sigma(n))\\\end{pmatrix}\end{eqnarray}となります。\\2&1&4&3\\\end{pmatrix}$$の積\(\tau\sigma\)を考えます。\\4&1&3&2\\\end{pmatrix}$$です。実は\(S_n\)は「群」と呼ばれるものになります。この\(S_n\)は対称群(または置換群)と呼ばれます。「群?ナンジャソレ?」という感じでしょうが、サラッと(本当にサラッと)いうと、結合則、単位元の存在、逆元の存在が保証されている演算が定まっている集合です。単位元の存在というのは掛け算でいうところの\(1\)で、足し算でいうとことの\(0\)です。逆元の存在については、掛け算で言うところの掛けて\(1\)になる数(例えば\(2\)に対して\(\displaystyle\frac{1}{2}\)が\(2\)の逆元)、足し算で言うところの足して\(0\)になる数です(例えば、\(5\)に対して\(-5\)が\(5\)の逆元)。引き算すると値が負になることもあるので、自然数ではなくなってしまうからです。自然数の範囲では逆元が存在しない場合があるからです。\(\mathbb{Z}\)は足し算については群ですが、掛け算については群ではありません。実際、自然数のときと同様に整数同士を割り算すると整数でなくなる場合もあるからです。置換の中で特別な性質を持つ置換のことです。何に使うか?というと勿論行列式の話をするために必要なのですが、特に「置換の符号」というものを考えるために使います。番号がぐるぐる回る(巡回する)置換のこと。「まんまじゃねえか」と思うかもしれませんが、実際そうなのです。どんなのッスか?例を挙げましょう。\\5&2&1&4&3\\\end{pmatrix}$$とします。1\)というように、\(1\)が\(5\)と\(3\)を経由してグルッと回ってて\(1\)に戻ってくるということです。それ故、巡回置換と呼ばれます。巡回置換って何スか?以上のことをしっかり書くと次です。巡回置換\(m,n\in\mathbb{N}\)が\(m<n\)を満たし、\(M_n=\{1,2,\dots,m,\dots,n\}\)とする。