逆関数定理は非常に強力な定理です。逆写像(逆関数)について軽く意味を説明します。本記事は逆関数定理がどういう定理か、そして逆関数定理の証明に必要なことを解説して、1変数の場合を証明する記事です。本記事を読むにあたり、1変数の逆関数の微分法と中間値の定理について知っている必要があるめ以下の記事も合わせてご覧ください。その14...for-spring.com2022.04.15逆関数定理は非常に強力な定理です。逆写像(逆関数)について軽く意味を説明します。「写像\(f\)が逆写像\(f^{-1}\)を持つためには\(f\)が全単射であることが必要かつ十分である。」というのが基本中の基本です。与えられた関数\(f\)そのものが全単射出なかったとしても、その定義域を制限したものが全単射になって、その逆写像(逆関数)が便利、というのは実はよくある話です。単純に\(y=f(x)\)という関数が与えられたとして、\(f\)が全単射だったとします。このとき、\(f\)の逆関数\(f^{-1}\)が存在して\(x=f^{-1}(y)\)と書けます。通常、\(f\)は写像なのですから、\(x\)に対して\(y\)がただ一つ定まっているため、\(x\)が分かれば\(y\)の正体がわかります。「\(y\)の値は分かっているんだけれど、その\(y\)をとる\(x\)ってどんなのかな?」という問題を考えるときには、逆関数\(x=f^{-1}(y)\)を使うわけです。良い例かどうかは少々疑問ですが、より現実に即した例を挙げてみます。拡声器を考えてみます。拡声器は入力された声の大きさを2倍にするようなものだとします(本来は違うのかもしれませんが)。いうことは、拡声器は”声”に対して”2倍の大きさの声”を対応させる写像と考えることができます。仮に、人間の声の大きさが実数値で測れるとすると、拡声器は\(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\)で、\(y=2x\)で定められる写像ということになります。5\)により\(10\)です。一方で、観測者が大きさ\(10\)の声を観測したとします。x=\frac{y}{2}\)となりますので、\(y=10\)を代入して、\(x=5\)と導けます。逆関数が分かれば、「大きさが\(10\)の声が聞こえたから、話す人は大きさ\(5\)の声で話したんだな」と分かるわけです。とどのつまり、「この入力に対して、どんな出力が得られるか」は通常の写像で考えることができて、「この出力に対して、どんな入力があったか」を知ることができるのが逆関数、ということなのです。このように「出力に対して入力を求めるという問題」を逆問題と言ったりもします。平たく言えば、「結果から原因を探る問題が逆問題です」とも表現できます。逆関数定理ってどうして強力なの?数学でなにか関数を考えるときは、さも当然のように「\(y=f(x)\)」と書きます。若干屁理屈かもしれませんが、これは「\(y=\)の形にできる」ということを暗に仮定しています。y\)で定められる写像だって考えうるわけです。これは既に学習しているので「ああ。x\)と書きましょうね」という言わばお約束みたいなものです。y\)を満たすような\(x\)に対して定められる写像」と説明されます。y\)の\(y\)に対する変化量を求めたい(つまり、導関数と微分係数を求めたい)、となったときにどうするでしょうか。逆関数の微分法を用います。1変数関数の逆関数の微分を軽く復習します。I\)は\(\varphi\)の逆写像(逆関数)とする。\varphi^{-1}\)がそれぞれ\(I\)、\(J\)で微分可能であれば、次が成り立つ。その4を御覧ください。これを見て「ん?\(\varphi^{-1}\)が微分可能ならば?」となった方、誠に鋭いです。この定理は「\(\varphi\)の逆関数\(\varphi^{-1}\)が微分可能であれば」の話なのです。一方で多変数の場合はどうだったかと言うと、以下でした。左辺の\(^{-1}\)は逆関数を表し、右辺の\(^{-1}\)は逆行列を表している。その5を御覧ください。これもまた「\(\boldsymbol{\varphi}\)の逆関数\(\boldsymbol{\varphi}^{-1}\)が全微分可能であれば」の話なのです。これらの主張にちょっとイチャモンをつけてみます。逆関数の微分法は、微分可能な逆関数が存在すればの話でしょ?もし微分可能な逆関数が1つも存在しなければ、逆関数の微分法なんて何の意味も無いよね?もし「微分可能な逆関数が1つも存在しなければ」そのとおりです。このイチャモンを一撃で論破する定理が逆関数定理なのです。逆関数定理というのは、平たく言うと微分可能な逆関数というものが存在しますよ、という定理なのです。他にも色々おいしい性質が成り立っています。とどのつまり、「逆関数って有用だよね〜。その逆関数を微分するときには逆関数の微分法を使うから、関数の微分法も有用だよね〜。微分可能な逆関数の存在を保証している逆関数定理って凄いよね〜。1変数の逆関数定理の明示とその証明では、1変数の場合の逆関数定理を明示して証明します。定理3.(1変数の逆関数定理)\(\varphi:(\alpha,\beta)\to\mathbb{R}\)は\(C^1\)級で、\(x_0\in(\alpha,\beta)\)に対して、\(\varphi^\prime(x_0)\neq0\)とするとき、次の条件を満たす開区間\((a,b)\)が存在する。(a,b)\right)\)を任意の\(x\in(a,b)\)に対して\(\Phi(x)=\varphi(x)\)で定めるとき、\(\Phi\)は全単射で逆関数も\(C^1\)級である。定理3.の証明\(\varphi^\prime(x_0)\neq0\)ですから、\(\varphi^\prime(x_0)>0\)かまたは\(\varphi^\prime(x_0)<0\)のいずれか一方が成り立ちます。かりに\(\varphi^\prime(x_0)>0\)だったとしましょう。\(\varphi\)が\(C^1\)級ですので、\(\varphi^\prime\)は連続な関数です。従って、\(\varphi^\prime\)が\([x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon]\)で\(\varphi^\prime>0\)となるような\(\varepsilon>0\)が存在します。[x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon]\right)$$です。言い換えれば、\(\alpha<x_0-\varepsilon<x_0<x_0+\varepsilon<\beta\)で、\([x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon]\)で\(\varphi^\prime>0\)となる\(\varepsilon\)が存在するというわけです。b=x_0+\varepsilon$$とすれば、このとき、\([a,b]\)で\(\varphi^\prime>0\)なので、\(\varphi\)は\([a,b]\)で狭義単調増加です。実際、次が成り立つからです。定理4.\(f:[a,b]\to\mathbb{R}\)が連続で、\((a,b)\)で微分可能、任意の\(c\in(a,b)\)に対して\(f^\prime(c)>0\)ならば、\(f\)は\([a,b]\)で狭義単調増加関数である。その9を御覧ください。I)\)で定めると、\(\varphi\)は狭義単調増加な関数なので、\(\Phi\)は単射です(相異なる定義域の点の行き先も相異なる)。\phi(x)=\phi(y)\)という\(x,y\)が存在することになりますが、\(\varphi\)が狭義単調増加であることから\(\varphi(x)\)と\(\varphi(y)\)は等しくなりえないので矛盾です。ここで、中間値の定理を用います。中間値の定理は以下でした。定理5.(1変数の場合の中間値の定理)関数\(f:[a,b]\to\mathbb{R}\)が\([a,b]\)で連続であり、\(f(a)<f(b)\)とする。このとき、\(f(a)<D<f(b)\)を満たす任意の\(D\in\mathbb{R}\)に対して\(f(d)=D\)を満たす\(d\in(a,b)\)が存在する。その14を御覧ください。この中間値の定理から、\(\Phi\)は全射であることが分かります。従って、\(\Phi\)は全単射です。I\)が存在して、狭義単調増加です。J\)に対して、\(x=\Phi^{-1}(y)\)とします。\right\}$$とすれば、\(\delta>0\)です(\(\varphi\)が狭義単調増加だから)。\right|<\varepsilon\)が成り立ちます。これはまさに\(\Phi^{-1}\)が\(y\)で連続であるということを指しています。J\)に対して、\(x=\Phi^{-1}(y)\)とします。J\)となるような任意の\(h\neq0\)に対して、\(k=\Phi^{-1}(y+h)-\Phi^{-1}(y)\)とすると、\(h=\varphi(x+k)-\varphi(x)\)となります。実際、\(\Phi^{-1}(y+h)=\Phi^{-1}(y)+k=x+h\)ですので、\(\varphi\)を施して\(y+h=\varphi(x+h)\)で、移項して\(h=\varphi(x+k)-y=\varphi(x+k)-\varphi(x)\)だからです。従って、$$\frac{\Phi^{-1}(y+h)-\Phi^{-1}(y)}{h}=\frac{k}{\varphi(x+k)-\varphi(x)}$$です。0\)とすると、\(\Phi\)が連続であることから\(k\to0\)となり、\(\varphi\)が微分可能であるから、上記の式の値は\(\displaystyle\frac{1}{\varphi^\prime(x)}\)に収束します。\Phi^{-1}\right)^\prime(y)=\frac{1}{\varphi^\prime(x)}\)です。\Phi^{-1}\right)^\prime\)は連続です。定理3.の証明終わり1変数とはいえ、結構骨が折れますね...多変数の逆関数定理を示すために必要な線型代数の話(線型写像の基本定理)では、最後に多変数の逆関数定理を証明するにあたって必要な線型代数の事実、線型写像の基本定理について解説します。W\)を線型写像とする。ここで、証明に入る前に注意ですが、\(f\)は線型写像なので、行列で表現できます。それを\(A\)と書いたとしましょう。Image}(A)$$と書き換えることができます。Image}(f)\)とします。Image}(f)\)の1組の基底\(\boldsymbol{w}_1,\dots,\boldsymbol{w}_r\)を取ります。(i=1,\dots,r)\)を取ります。\boldsymbol{w}_1,\dots,\boldsymbol{w}_r$$が\(V\)の規定となっていることを示せば、定理の主張が証明できたことになります。\boldsymbol{u}_1,\dots,\boldsymbol{u}_r\)が\(V\)を生成することの証明\(\boldsymbol{x}\)を\(V\)の任意のベクトルとします。Image}(f)\)なわけですので、\(f(\boldsymbol{x})\)は\(\boldsymbol{w}_1,\dots,\boldsymbol{w}_r\)の線型結合で表すことができます。(b_i\in\mathbb{R})$$としましょう。そこで、次の計算をします。\(f\)が線型写像であることを使えば、\begin{eqnarray}f(\boldsymbol{x}-b_1\boldsymbol{u}_1-\dots-b_r\boldsymbol{u}_r)&=&f(\boldsymbol{x})-b_1f(\boldsymbol{u}_1)-\dots-b_rf(\boldsymbol{u}_r)\\&=&f(\boldsymbol{x})-b_1\boldsymbol{w}_1-\dots-b_r\boldsymbol{w}_r=\boldsymbol{0}\end{eqnarray}です。Ker}(f)$$です。Ker}(f)\)の基底の線型結合で表されます。(a_i\in\mathbb{R})$$としましょう。\boldsymbol{u}_1,\dots,\boldsymbol{u}_r$$で生成されることが示されました。r)$$となるから、$$b_1\boldsymbol{w}_1+\dots+b_r\boldsymbol{w}_r=\boldsymbol{0}$$という線型関係式になります。\(\boldsymbol{w}_1,\dots,\boldsymbol{w}_r\)は仮定から線型独立であるので、\(b_1=\dots=b_r=0\)です。故に、最初の線型関係式は$$a_1\boldsymbol{v}_1+\dots+a_s\boldsymbol{v}_s=\boldsymbol{0}$$となります。ところが、\(\boldsymbol{v}_1,\dots,\boldsymbol{v}_s\)もまた線型独立なので、\(a_1=\dots=a_s=0\)です。\boldsymbol{u}_1,\dots,\boldsymbol{u}_r\)が線型独立です。定理6.の証明終わりここからが重要です。これはもし仮に\(f\)が全単射であれば、\(V\)と\(W\)の次元が一致している、ということを指しています。逆に\(V\)と\(W\)の次元が一致していれば、\(f\)は全単射であるということでもあるので、\(f^{-1}\)が存在して、\(f\)は行列\(A\)で表現すると\(f^{-1}\)は\(A\)の逆行列\(A^{-1}\)に対応します。A\right)\neq0\)です。全単射な線型写像が存在するために、定義域と終域の線型空間の次元が等しいことが必要で、それが成り立つという前提のもとで、与えられた線型写像が全単射であるためには、その行列式が\(0\)でないことが必要十分である。読者の皆様のコメントを下さい!筆者は最初に逆関数の微分法を学んだときに「逆関数の微分可能性を仮定している」なんてことは一切気が付きませんでした。