定理2.(ダルブーの定理)\(I\)を\(\mathbb{R}^n\)の閉区間とする。その3を御覧ください。可積分条件の証明では、定理0.の証明の後半を行っていきます。S_\Delta$$が成り立っています。その3を御覧ください。f;\Delta;\boldsymbol{\xi}\right)=S=s$$となります。従って、リーマン和の極限が存在するので、\(f\)は\(I\)上でリーマン可積分です。22.\(\Longrightarrow\)5.の証明これはもはや明らかなようなものです。S_\Delta-s_\Delta\right)=0$$だとしましょう。S_\Delta-s_\Delta\right|<\varepsilon$$が成り立っている、ということです。これはすなわち、存在する\(\delta>0\)に対して\(d(\Delta)<\delta\)という分割\(\Delta\)が存在する、ということを指しています。従って、2.\(\Longrightarrow\)5.が成り立ちます。任意の\(\varepsilon>0\)に対して、\(S_\Delta-s_\Delta<\varepsilon\)という分割\(\Delta\)を取ったとしましょう。s_\Delta$$です。S_\Delta-s_\Delta$$が成り立ちます。S-s\right)=0$$となります。S-s\right)=S-s$$となるから、\(S=s\)です。定理0.の証明終わり主張としては厳つい感じがあります(と筆者は思っています)が、実際に証明してみると単に極限の話だったりと割とシンプルです。実際に可積分かどうかを判定してみましょう!筆者の体感での話になってしまいますが、具体的な関数に対して、定理0.を適用させて可積分かを判定する、というのはあまりないと思います。それよりも、定理0.から得られる他の事実(後の記事で説明します)を用いて可積分かどうかを判定することが多いと思います。次回解説する単調な関数の可積分性などがそうです。実際に定理0.を使ってみようとすると分かるのですが、例えば\(f(x)=x\)という単純な関数に適用させるにしても割と骨が折れてしまいます。そこで、定理0.から誘導される他の事実(可積分性の十分条件)を使うのです。ここでは、一度、真面目に\(f(x)=x\)が可積分であることをリーマン和の極限が収束するということを示すことで証明します。\(I=[a,b]\)、\(f:[a,b]\to\mathbb{R}\)、\(f(x)=x\)とします。dx=\frac{1}{2}(b^2-a^2)$$であることをリーマン和の極限が収束するということを示すことで証明します。f;\Delta;x_{k}\right)$$です。\sum_{k=1}^mf(x_{k})v(I_k)$$だからです(\(f(x)=x\)であることに注意)。x_k^2-x_{k-1}^2\right)\\&=&\frac{1}{2}(b^2-a^2)\end{eqnarray}となります。\right]$$となるため、\(x_m^2\)と\(-x_0^2\)以外がすべて相殺されてしまいます。\(x_m^2=b^2\)、\(-x_0^2=-a^2\)を使うことで得られます。ここで、「お!見たことある形になったぞ?おっけー。」となってしまうと、間違いなんです。いうと、これはあくまで極限の見当をつけたに過ぎないからです。本当に\(\displaystyle\frac{1}{2}(b^2-a-2)\)がリーマン和の極限かどうかを証明する必要があります。m}(x_k-x_{k-1})\end{eqnarray}です。f;\Delta;\boldsymbol{\xi}\right)=\frac{1}{2}(b^2-a^2)$$となります。従って、極限\(\displaystyle\frac{1}{2}(b^2-a^2)\)が存在したので、\(f\)は\(I\)上でリーマン可積分です。読者の皆様のコメントを下さい!リーマン積分に名を残す(他にもいっぱい残していますが)数学者はベルンハルト・リーマンという人です。なんとかの有名がガウスと同じ年代を生きていた方です。実は、筆者はこのベルンハルト・リーマンと誕生日が同じなんです。個人的には嬉しいんですが、ベルンハルト・リーマンには遠く及びません。数学をやっている方に自己紹介をするときのちょっとしたツカミとして使っています。今回は、可積分条件の証明を完結させました。筆者の体感だと今回示した可積分条件をそのまま使う、ということはあまりない気がしていますが、この可積分条件のおかげでより使いやすい事実を導くことができます。次回は、単調関数の可積分性を今回の可積分条件から証明します。乞うご期待!質問、コメントなどお待ちしております!どんな些細なことでも構いませんし、「定理〇〇の△△が分からない!」などいただければ全てお答えします!お問い合わせの内容にもよりますが、ご質問はおおよそ3日以内にお答えします。回答が欲しければその旨もコメントでお知らせください。本記事は「有界な単調列は収束する。」という命題をワイエルシュトラスの上限公理から証明する記事です。本記事は「有界な単調列は収束する」という命題の証明に必要な、数列の極限を語る上で必要なことをまとめた記事です。\(C^k\)級について解説する記事です。本記事を読むにあたり、1変数関数の微分と多変数関数の極限について知っている必要があるため、以下の記事も合わせてご覧ください。34コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。積分法お知らせ2023/5/20沢山のコメント、ありがとうございます。お返ししますので、今しばしお待ち頂ければ幸いです。2023年度から新社会人。2019年に博士前期課程修了(修士(数理科学))。