それぞれモノイドになっています。零の意味を半環の文脈で考えてみると、我々は二通りの解釈を持っています。足し算の中立元が零である。掛け算の吸収元が零である。この二通りの解釈は、通常同じ特定要素を指すので、それが異なることは想定しません。零とは「足し算の中立元であり、掛け算の吸収元でもある数」と認識されているわけです。とき、いったい何が起きるのか?」で述べたように、足し算の中立元と掛け算の吸収元が一致する保証はありません。zero)という言葉を使う人もいます。とき、いったい何が起きるのか?」で、加法的零と乗法的零が一致しない代数系の例を挙げましたが、もう一つの例を紹介しておきます。次のように定義します。「半環の掛け算を、通常の足し算として定義する」ことです。ここは「それが定義なんだ」と割りきって、次の法則を確認してみてください。z見慣れない記号で面食らうかもしれませんが、内容的には次のことです。z}この半環には、足し算の吸収元と掛け算の吸収元が存在します。max-plus半環と呼ばれています(他にいくつかの定義のバリエーションがあります)。max-plus半環では、次のような状況になっています。加法的零(0)と乗法的零(∞)は一致しない。加法的零と乗法の単位(中立元)は一致する。加法の吸収元と乗法的零は一致する。min-plus半環と三元の半環max-plus半環のmaxをmin(小さい方)に置き換えるとmin-plus半環ができます。max-plus半環とmin-plus半環はほとんど同じですが、足し算の中立元と吸収元が異なります。∞min-plus代数では、加法的零と乗法的零が一致するので、幾分は「常識的」になっています。三元集合の上に足し算と掛け算を定義した代数系を定義することができます。三元min-plus半環に関する演算表は次のようです。三元のmax-plus半環を考えると、足し算と掛け算が一致してしまい、半環が単なるモノイドに退化してしまいます。∞2つの演算が一致してしまう現象はモノイダルモノイドでも起こります。algebra、より一般にはエキゾチック代数)と呼ばれたりします。Dequantization)との関係でも面白いし、それ自身でも応用があります。プログラム意味論に計量的な要素を入れるとき、トロピカル代数が使えそうです。*1:[追記]P∞という記号は、「なぜ、どのように足し算が消失したのか:プランク定数の大惨事と生存者達」で導入したP+∞と紛らわしいですね。P∞と上付きにする方法もあるけど、これはPの無限個の直積のように見えるし。ヨサゲだが、書くのが面倒。product)という概念があります。1はてなブログをはじめよう!m-hiyamaさんは、はてなブログを使っています。ブログを報告する引用をストックしましたストック一覧を見る閉じる引用するにはまずログインしてくださいログイン閉じる引用をストックできませんでした。再度お試しください閉じる限定公開記事のため引用できません。