その2を御覧ください。Ker}(\phi)\)です。Ker}(\phi)\)です。Ker}(\phi)\)です。Ker}(\phi)\)は\(G_1\)の部分群です。Ker}(\phi)\)が\(G_1\)の正規部分群であることを示します。Ker}(\phi)\)です。Ker}(\phi)\)は\(G_1\)の正規部分群です。Ker}(\phi)=\left\{1_{G_1}\right\}\)となることである。G_1\)に対して、\(\phi(g)=\phi(1_{G_1})\)だから、\(g=1_{G_1}\)です。Ker}(\phi)=\left\{1_{G_1}\right\}\)です。\right)=\phi(g_1)\phi(g_2)^{-1}=1_{G_2}$$だから、\(g_1g_2^{-1}=1_{G_1}\)です。従って、\(g_1=g_2\)となって、\(\phi\)は単射です。最後に、同型写像と同型について解説します。全単射な準同型写像のこと。Image}(\phi)=G_2\)を満たすとき、同型写像(isomorphism)と呼ぶ。先にも述べましたが、要するに全単射準同型が同型写像です。群における同型というのは同型写像が存在するような2つの群を同型と呼ぶ。これを数学的に書けば、以下です。先に、同型写像は群の演算を保ち、しかも各群の要素が1つ1つ対応しているような写像が同型写像。読んで字の如しなのですが、「要素同士だけでなく、群の演算も保つような全単射な写像」が同型写像なので、同型写像が存在するような群同士は”同”じ”型”をしているというわけです。要するに、群の構造を保ち、かつ要素同士も一対一対応しているということから、同型な群同士は本質的に同じものとして扱うことが出来ます。踏み込んだ話をすると、同型な群同士は「ピッタリと一致するわけではないけれど、同じものとして扱って良い。扱いにくいような群(複雑な集合)に同型なシンプルな群を見つけ、複雑な群に対応させたシンプルな群で考察し、その後逆写像でもとに戻して結論を得る、みたいなことができるというわけです。群\(G\)から\(G\)自身への同型写像を自己同型写像といいいます。「そんなの恒等写像だけじゃない?」と思われるかもしれませんが、それだけではありません。\(\mathbb{Z}\)は整数のたし算で群となるのでした。\mathbb{Z}\)を、任意の\(n\in\mathbb{Z}\)に対して\(\varphi(n)=-n\)で定めても、この\(\varphi\)は全単射かつ準同型なので、同型写像です。今紹介したのは誠に簡単な例ではありますが、自己同型写像は恒等写像だけでなく他にも定め方によってはたくさんあります。Aut}(G)\)と書くことにします。Aut}(G)\)と書く。G\mid\varphi\)は同型写像\(\}\)である。Aut}(G)\)に演算を定めます。Aut}(G)\)の演算を写像の合成\(\phi\circ\psi\)で定めます。\right)\left(\omega(g)\right)\\&=&\phi\left(\psi\left(\omega(g)\right)\right)\\&=&\phi\left(\left(\psi\circ\omega\right)(g)\right)\\&=&\left(\phi\circ\left(\psi\circ\omega\right)\right)(g)\\\end{eqnarray}となるので結合律が成り立ちます。Aut}(G)\)の単位元です。\varphi\right)(g)=\varphi(g)\end{eqnarray}となるからです。Aut}(G)\)の任意の要素\(\varphi\)に逆元が存在します。Aut}(G)\)は写像の合成という演算で群となります。Aut}(G)\)を自己同型群といいます。Aut}(G)\)は、写像の合成を演算として群となる。Aut}(G)\)を自己同型群という。ここで、自己同型群の性質を一つ紹介します。G\)に対して\(i_g(h)=ghg^{-1}\)で定める。G\)に対して\(\varphi(g)=i_g\)で定める。このとき、\(\varphi\)は準同型写像である。\varphi(g_2)\right)(h)\\&=&\varphi(g_1)\varphi(g_2)(h)\end{eqnarray}となります。従って、\(\varphi(g_1g_2)=\varphi(g_1)\varphi(g_2)\)であるため、\(\varphi\)は準同型写像です。定理8.の証明終わり皆様のコメントを下さい!今回はフェルマーです。ピエール・ド・フェルマー(1601-1655)はフランスの数学者。ズの高等行政官の地位(正確には王立議会の議員の職)につきましたが、余暇はすべて数学の研究に費やしたといわれています。\(x^n+y^n=z^nが\(n\geq3\)の場合は自然数解を持たないというフェルマー予想(フェルマーの大定理)で有名です。ディオファントスの「数論」(バシュが翻訳した1637年度版)の自筆写本の余白に、「(フェルマーの大定理の)証明を書くには、場所が十分ではない」と書き込んだと言われています(完全な証明は、1994年にワイルズにより与えられました)。先駆的な業績を残しています。最小作用の原理に繋がるアイディアを用いて屈折の法則を説明したことも顕著な業績です。如何でしたか?フェルマーの大定理は「フェルマーの最終定理」という名前でも有名ですよね。今回は準同型写像、核(kernel)、同型について解説しました。準同型写像とは、群の構造を保つような群同士の間の写像、核は準同型写像でもって終域の単位元に写される定義域の要素の集合、同型は準同型写像が全単射であるときをいいます。次回は商群(剰余群)について解説します。乞うご期待!質問、コメントなどお待ちしております!どんな些細なことでも構いませんし、「定理〇〇の△△が分からない!」などいただければ全てお答えします!お問い合わせの内容にもよりますが、ご質問はおおよそ3日以内にお答えします。回答が欲しければその旨もコメントでお知らせください。本記事は、一般の整数が法であるような多項式の合同式の解き方について解説する記事です。本記事は有限アーベル群の基本定理の証明を順を追って解説する記事です。ついて知っている必要があるため、以下の記事も合わせてご覧ください。本記事は、多項式の合同式(法が素数の場合)の解き方について解説する記事です。本記事を読むに当たり、合同式を知っている必要があるため、以下の記事も合わせてご覧ください。ID:MzODMzOTM定理8にてφ^-1が準同型写像となっていますが、φの誤りかと思われます。ID:Y1MDQ3MDI名無し様ご指摘ありがとうございます。なっていますが、G2の誤りかと思われます。ID:QxODAyMzE名無し様ご指摘ありがとうございます。おっしゃるとおり、誤りでした。34コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。その4ホーム代数学お知らせ2023/5/20沢山のコメント、ありがとうございます。お返ししますので、今しばしお待ち頂ければ幸いです。2023年度から新社会人。2019年に博士前期課程修了(修士(数理科学))。