5)=\begin{pmatrix}1&3&4&5&2&6&7&8&9\\3&4&5&1&2&6&7&8&9\\\end{pmatrix}$$ということです。次に\(1,3,4,5\)以外の数、例えば\(2\)を見てみましょう。8)=\begin{pmatrix}2&7&8&1&3&4&5&6&9\\7&8&2&1&3&4&5&6&9\\\end{pmatrix}$$ということです。9)=\begin{pmatrix}6&9&1&2&3&4&5&7&8\\9&6&1&2&3&4&5&7&8\\\end{pmatrix}$$が得られます。これらの積をとってみましょう。「どこでぐるぐる回るか」ということが重要なので、ぐるぐる回っている塊の順序が変わっても置換としてはおなじものを指します。5$$が成り立ちます(面倒くさいけど計算してみると分かります)。互換はある条件下の巡回置換です。互換は巡回置換の一部ということです。互換を一言で超簡単です。互換は2文字の巡回置換のこと。\(M_n\)の中で、特定の2つを入れ替えて、あとはそのまま、という置換のことで、これは巡回置換でもあります。9)\)にあたります。互換って何スか?ではしっかり書きましょう。i_2)\)を互換という。巡回置換における\(m=2\)の場合を指す。先も述べましたが、とどのつまり、ある特定の2つだけを並び替えてそれ以外はそのまま、という巡回置換のことを互換といいます。実は、どんな巡回置換でも、互換の積で書くことができます。i_m)\)は次のように\(m-1\)個の互換の積で表される。$$この証明は書くのが面倒なだけで、難しくはありません。i_m)\)を巡回置換とします。i_2)\\&=&\begin{pmatrix}i_1&i_2&i_3&\cdots&i_{m}\\i_2&i_3&i_4&\cdots&1\\\end{pmatrix}\end{eqnarray}となるため、成り立ちます。)\)を互換の積に分けてみましょう。3)\)」と求まるのですが、一度手を動かしてみることをおすすめします。)&=&\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8&9\\3&2&4&5&1&6&7&8&9\\\end{pmatrix}\end{eqnarray}であることに注意します。5)\end{eqnarray}となります。定理5.および定理7.から次が言えます。定理8.任意の置換は互換の積で表すことができる。最後に置換の符号です。行列式というものの話をする際にキーとなるのが置換の符号です。「数の並び替えに符号って...ナンジャソレ」と思われるかもしれませんが、なんてことありません。定理8.から、どんな置換でも、必ず互換の積で書けます。置換が何個の互換の積で書けるか、ということで置換の符号を定めます。奇数個の互換の積で表されるときに置換の符号\(=-1\)と定めます。sgn}(\sigma)\)を置換\(\sigma\)の符号という。sgn}(\epsilon)=1\)と捉える。「本当にこれでいいの?」と思うかもしれませんが、これでOKです。いうことを話すと多項式の変化やら差積といったことを話さなければならず、話がずれてしまいますので省略します。sgn}\)は行列式以外では殆ど見たことがありません。sgn}\)は行列式のためにあるのかな」なんて思ってます。この置換の符号について次が成り立ちます。sgn}(\sigma)\)定理9.の証明の前に恒等置換と逆置換について話します。恒等置換すべての文字を動かさない置換を恒等置換または単位置換といい、\(\epsilon\)で表す。恒等置換、または単位置換という。写像の言葉で表せば、\(\epsilon\)は恒等写像である。\(\sigma\)の逆置換という。写像の言葉で表せば、\(\sigma^{-1}\)は\(\sigma\)の逆写像である。\tau=\tau_s\tau_{s-1}\cdots\tau_1$$と書いたとします。sgn}(\tau)=(-1)^s$$です。sgn}(\sigma)$$となります。sgn}(\sigma^{-1})=1$$です。sgn}(\sigma^{-1})=-1\)のいずれか一方が成り立ちます。sgn}(\sigma)$$です。定理9.の証明終わり次に置換は巡回置換の積で書け、その巡回置換は互換の積で書けることから、巡回置換の符号について以下が成り立ちます。