任意の\(\varepsilon>0\)に対して、\(S_\Delta-s_\Delta<\varepsilon\)となる\(I\)の分割\(\Delta\)が存在する。有界閉集合上で定められた有界な関数が可積分であるかを調べる際には、上記の5つの戦略がある、ということです。前回の記事では、1.\(\Longrightarrow\)2.、2.\(\Longleftrightarrow\)3.、2.\(\Longleftrightarrow\)4.を示しました。今回の記事では4.\(\Longrightarrow\)1.、2.\(\Longrightarrow\)5.、5.\(\Longrightarrow\)4.を示します。それ故、1.から5.はすべて同値であることがわかります。定理0.を示すことが今回と次回(次々回かもしれません)の目標なわけですが、ここで記号の復習をしておきます。記号の復習は不要だ、という方は可積分条件の証明までジャンプしてください。分割\(\Delta\)の幅(mesh、メッシュ)という。K(\Delta))\)とする。なるとき、\(f\)は\(I\)上で(リーマン)可積分であるといい、\(J\)を\(f\)の\(I\)上での(リーマン)積分という。それぞれ分割\(\Delta\)に関する\(f\)の不足和、過剰和という。振幅\(\mathbb{R}^n\)の有界閉集合を\(I\)とする。\(\mathbb{R}^n\)の区間\(I\)の分割全体の集合を\(\mathcal{D}\)、\(s_\Delta\)および\(S_\Delta\)をそれぞれ不足和、過剰和とする。