群と群との間の写像で、かつ特別な性質を持つ写像を準同型写像といいます。準同型写像は、2つの群\(G_1\)、\(G_2\)が与えられたとき、\(G_1\)と\(G_2\)が本質的に同じモノかどうかということを定式化するために必要です。群は集合ですが、単なる集合ではありません。その集合に定められている演算が群の構造を決めます。2つの集合の要素は全て同じだったとしても、それぞれに定められている演算が異なれば群としては異なります。従って、2つの群を比べるとしたらば、単に集合として対応しているだけでは不十分で、演算も対応している(演算が等しくなくても良いですが、演算にも対応がある、という意味)ようなモノを考えなければなりません。その対応(つまりは写像)が準同型写像です。「準同型写像」を一言で。準同型写像を一言で述べれば2つの群の間の、群としての構造を保つような写像のこと。「”群の構造を保つ”ってどういうこと?」となるかと思いますが、直感的には、先に述べたとおり、単に群が集合として対応しているだけでなく、演算をも対応しているという状態のことを指します。踏み込んだお話をすると、群\(G_1\)での演算の結果が、群\(G_2\)での演算結果と一致しているという状態と表現することも出来ます(これは誤認しがちな部分だと思いますので、後に詳しく書きます)。G_1\)に対して\(\phi(gh)=\phi(g)\phi(h)\)である。G_1\)に対して\(\phi(g^{-1})=\phi(g)^{-1}\)である。\(\phi(1_{G_1})=1_{G_2}\)である。満たすとき、準同型写像(homomorphism)という。字面だけを見ると、「なんだ。大したこと無いじゃないか。は難しい概念ではありませんが、先に述べたとおり、群で重要なのは演算です。「どの群での演算なのか?」ということに常に注意しなければなりません。上記の準同型写像の説明は確かに正しいのですが、「どの群の演算なのか?」ということが分かりにくくもあると思います。そこで、どの群での演算なのかを明記して少し詳しく書き直してみます。準同型写像(演算について詳しく書いたver.)2つの群\(G_1\)、\(G_2\)それぞれの演算を\(\ast_1\)、\(\ast_2\)とする。G_1\)に対して\(\phi(g\ast_1h)=\phi(g)\ast_2\phi(h)\)である。G_1\)に対して\(\phi(g^{-1})=\phi(g)^{-1}\)である。\(\phi(1_{G_1})=1_{G_2}\)である。満たすとき、準同型写像(homomorphism)という。このように書けば、\(G_1\)の演算なのか、それとも\(G_2\)での演算なのか、ということがわかりやすいと思います。それは上記の条件1.についてです。条件2.および条件3.について補足説明をします。G_2\)の定義域は\(G_1\)で、終域が\(G_2\)である、ということに注意しさえすれば大丈夫です。G_2\)の”\(G_2\)の演算\(\ast_2\)における”逆元となっている。何が言いたいかというと、「\(\phi(g)^{-1}\)は\(G_2\)の演算\(\ast2\)における逆元ですよ。条件3.についてこれもほぼ同じです。いう条件3.は結局の所「\(G_1\)の単位元は\(G_2\)の単位元に対応していますよ。例1.(部分群から群への包含写像)\(H\)が群\(G\)の部分群だとします。G\)、\(i(h)=h\)は準同型写像です。H\)に対して$$i(h_1h_2)=h_1h_2=i(h_1)i(h_2)$$を満たします。H\)に対して\(i(h^{-1})=h^{-1}=i(h)^{-1}\)を満たします。\(i(1_H)=1_H=1_G\)を満たします。従って、\(i\)は準同型写像です。その1を御覧ください)。G\)を\(\phi(n)=x^n\)で定めます。任意の\(m,n\in\mathbb{Z}\)に対して、$$\phi(m+n)=x^{m+n}=x^mx^n=\phi(m)\phi(n)$$が成り立ちます。x^n\right)^{-1}=\phi(n)^{-1}$$が成り立ちます。\(\phi(0)=x^0=1_G\)が成り立ちます。G\)は準同型写像です。例3.(行列式)\(\mathbb{R}\)は実数のかけ算で群です。A\)で定めると、\(\phi\)は準同型写像です。B=\phi(A)\phi(B)$$を満たします。A\right)^{-1}=\phi(A)^{-1}$$を満たします。I_n=1$$を満たします。\mathbb{R}\)は準同型写像です。群と群の間の写像が準同型写像であることを確かめるための最も基本的な方法は、先の例のように3つの条件を確かめることです。3つ確かめる、というのは少々面倒です(3つだけですがね)。実は、1つ確かめるだけで準同型写像か否かを判定することが出来る、準同型写像であることの必要十分条件が存在します。状況にも依りますが、通常は以下で示す必要十分条件を使って準同型写像か否かを判定することが多いと思います。定理4.(準同型写像であることの必要十分条件)\(G_1,G_2\)を群とする。h^{-1}\right)=\phi(g)\phi(h)^{-1}$$が成り立ちます。gh^{-1}\right)=\phi(g)\phi(h)^{-1}$$を満たしているとします。$$\phi(1_{G_1})=\phi(1_{G_1}1_{G_1}^{-1})=\phi(1_{G_1})\phi(1_{G_1})^{-1}=1_{G_2}$$だから、準同型写像の条件3.が成り立ちます。h^{-1}\right)=\phi(h)^{-1}\)だから、準同型写像の条件2.が成り立ちます。\phi(h)^{-1}\right)^{-1}\\&=&\phi(g)\phi(h)\end{eqnarray}が成り立つので、準同型写像の条件1.が成り立ちます。従って、\(\phi\)は準同型写像です。定理4.の証明終わり核(kernel)次に核という概念を解説します。(字面だけを見ると少々怖いですが、数学の範囲では何も怖くありません)核(kernel)を一言で。核を一言で述べれば準同型写像での対応先が、終域での単位元となるような、定義域の要素の集合のこと。実は、この核は、準同型写像での対応先の群の正規部分群となっています(後で証明します)。G_2\)を準同型写像とする。準同型写像\(\phi\)の核(kernel)という。G_1\)であることに注意です。G\)を\(\phi(n)=x^n\)で定めると、\(\phi\)は準同型写像でした。Ker}(\phi)=\left\{n\in\mathbb{Z}\middle|x^n=1_G\right\}$$です。Ker}(\phi)\)\(\mathbb{R}\)は実数のかけ算で群でした。A\)で定めると、\(\phi\)は準同型写像でした。SL}_n(\mathbb{R})\end{eqnarray}です。SL}_n(\mathbb{R})\)だと言うことです。Ker}(\phi)\)は正規部分群です。G_2\)を準同型写像とする。Ker}(\phi)\)は\(G_1\)の正規部分群である。G_1\middle|\phi(x)=1_{G_2}\right\}$$でした。Ker}(\phi)\)が\(G_1\)の部分群であることを、以下の定理を使って確かめます。定理6.(部分群であることの必要十分条件)群\(G\)の部分集合\(H\)が\(G\)の部分群になるための必要十分条件は次の3つの条件が満たされることである。\(1_G\)は群\(G\)の単位元である。