Os Problemas do Prêmio Milênio são sete dos problemas não resolvidos mais conhecidos e importantes da matemática. O Clay Mathematics Institute, uma fundação privada sem fins lucrativos dedicada à investigação matemática, desafiou a comunidade matemática em 2000 para resolver estes sete problemas e estabeleceu uma recompensa de 1 milhão de dólares para os solucionadores de cada um. Um dos sete problemas foi resolvido e os outros seis são objeto de muitas pesquisas atuais. Vamos dar uma olhada.
O único problema do milênio que foi resolvido até hoje é a Conjectura de Poincaré. Este problema foi colocado em 1904 sobre a topologia de objetos chamados variedades. O problema mais básico em topologia é determinar quando dois espaços topológicos são iguais, ou seja, podem ser identificados entre si de forma contínua. A conjectura é essencialmente a primeira conjectura já feita em topologia, ela afirma que uma variedade tridimensional é igual à esfera 3D precisamente quando uma certa condição algébrica é satisfeita. A conjectura foi formulada por Poincaré por volta da virada do século 20. Conjectura de Poincaré: século.
Hipótese de Riemann: A Hipótese de Riemann é talvez o mais famoso problema não resolvido da matemática. Trata-se dos zeros não triviais da Função Zeta de Riemann. A hipótese generalizada de Riemann é uma afirmação sobre os zeros de certas funções conhecidas como funções L definidas pela série Barclay, que são a generalização das funções Zeta de Riemann.
Conjectura de Birch-Swinnertoner: Em matemática, a conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer descreve o conjunto de soluções racionais para equações que definem uma curva elíptica. É um problema aberto no campo da teoria dos números e é amplamente reconhecido como um dos problemas matemáticos mais desafiadores. A conjectura foi escolhida como um dos sete Problemas do Prêmio Millennium listados pelo Clay Mathematics Institute, que ofereceu um prêmio de US$ 1.000.000 para a primeira prova correta. Seu nome é uma homenagem aos matemáticos Bryan Birch e Peter Swinnerton-Dyer, que desenvolveram a conjectura durante a primeira metade da década de 1960 com a ajuda da computação mecânica. Em 2021, apenas casos especiais da conjectura foram comprovados. Mordell (1922) provou o teorema de Mordell: o grupo de pontos racionais numa curva elíptica tem uma base finita. Isto significa que para qualquer curva elíptica existe um subconjunto finito de pontos racionais na curva, a partir do qual todos os pontos racionais adicionais podem ser gerados. Se o número de pontos racionais numa curva é infinito, então algum ponto numa base finita deve ter ordem infinita. O número de pontos base independentes com ordem infinita é chamado de classificação da curva e é uma importante propriedade invariante de uma curva elíptica. Se a classificação de uma curva elíptica for 0, então a curva terá apenas um número finito de pontos racionais. Por outro lado, se a classificação da curva for maior que 0, então a curva terá um número infinito de pontos racionais. Embora o teorema de Mordell mostre que o posto de uma curva elíptica é sempre finito, ele não fornece um método eficaz para calcular o posto de cada curva. A classificação de certas curvas elípticas pode ser calculada usando métodos numéricos, mas (no estado atual do conhecimento) não se sabe se esses métodos lidam com todas as curvas. Uma função L L(E, s) pode ser definida para uma curva elíptica E construindo um produto de Euler a partir do número de pontos na curva módulo cada primo p. Esta função L é análoga à função zeta de Riemann e à série L de Dirichlet que é definida para uma forma quadrática binária. É um caso especial de função L de Hasse-Weil.
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