Hurwitz zeta fonksiyonu için analitik devamlılık genişletilir?
logaritma
Matematik'te, Hurwitz zeta fonksiyonu, adını Adolf Hurwitz'ten almıştır, çoğunlukla zeta fonksiyonu denir. Formel tanımı için kompleks değişken s 'in Re(s)>1 ve q 'nun Re(q)>0 yardımıyla :\zeta(s,q) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(q+n)^{s}}. Bu serinin tanımı verilen s ve q değerleri için mutlak yakınsaktır. Meromorf fonksiyon'a genişletilebilir. Bütün s≠1 değerleri için geçerlidir. Riemann zeta fonksiyonu için ζ(s,1)dir. Analitik devamlılık: Hurwitz zeta fonksiyonu için analitik devamlılık genişletilirse meromorf fonksiyon olarak tanımlanır, bütün kompleks sayılar için s ile s ≠ 1. s = 1 bir basit kutup vardır. artık 1. Sabit terimlerle verilirse :\lim_{s\to 1} \left[ \zeta (s,q) - \frac{1}{s-1}\right] = \frac{-\Gamma'(q)}{\Gamma(q)} = -\psi(q) burada Γ Gama fonksiyonu'dur ve ψ digama fonksiyonu'dur. Seri Gösterimi: q > −1 ve herhangi kompleks s ≠ 1 için bir yakınsak seri gösterimi tanımı 1930'da Helmut Hasse tarafından verildi.Helmut Hasse, Ein Summierungsverfahren fur die Riemannsche ζ-Reihe, (1930) Math. Z. 32 pp 458-464.: :\zeta(s,q)=\frac{1}{s-1} \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^n (-1)^k {n \choose k} (q+k)^{1-s}. Bu yakınsak seri s-düzleminde tam fonksiyon'un tekdüze tıkız altküme'sidir. Burada q^{1-s} n inci ileri fark iç toplamı olarak görülebilir, bu şöyledir, :\Delta^n q^{1-s} = \sum_{k=0}^n (-1)^{n-k} {n \choose k} (q+k)^{1-s} Burada Δ ileri fark operatorü'dür. Böylece, yazmak istersek, :\zeta(s,q)=\frac{1}{s-1} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n+1} \Delta^n q^{1-s} :::= \frac{1}{s-1} {\log(1 + \Delta) \over \Delta} q^{1-s}. Integral Gösterimi: Bu fonksiyonun integral gösterimi Mellin dönüşümü'nün terimleri içindedir :\zeta(s,q)=\frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^\infty \frac{t^{s-1}e^{-qt}}{1-e^{-t}}dt için \Re s>1 and \Re q >0. Hurwitz formülü: Hurwitz formülü bu teoremdir: :\zeta(1-s,x)=\frac{1}{2s}\left[e^{-i\pi s/2}\beta(x,s) + e^{i\pi s/2} \beta(1-x,s) \right] burada :\beta(x,s)= 2\Gamma(s+1)\sum_{n=1}^\infty \frac {\exp(2\pi inx) } {(2\pi n)^s}= \frac{2\Gamma(s+1)}{(2\pi)^s} \mbox{Li}_s (e^{2\pi ix}) Bu gösterim 0\le x\le 1 aralığı ve s>1 değerleri içindir, burada, \mbox{Li}_s (z) polilogaritma'dır. Fonksiyonel denklem: Zetanın kompleks düzlemde sağ sol yarı düzlemde fonksiyonel denklem'le ilişkili değerleri 1\leq m \leq n tam sayıları için :\zeta \left(1-s,\frac{m}{n} \right) = \frac{2\Gamma(s)}{ (2\pi n)^s } \sum_{k=1}^n \cos \left( \frac {\pi s} {2} -\frac {2\pi k m} {n} \right)\, \zeta \left( s,\frac {k}{n} \right) bütün s değerleri için geçerlidir.. Taylor serisi: İkinci değişken bir zeta türevi ve bir shift(kayma)'dır: :\frac {\partial} {\partial q} \zeta (s,q) = -s\zeta(s+1,q). Böylece, Taylor serisi'nin eşik formu vardır: :\zeta(s,x+y) = \sum_{k=0}^\infty \frac {y^k} {k!} \frac {\partial^k} {\partial x^k} \zeta (s,x) = \sum_{k=0}^\infty {s+k-1 \choose s-1} (-y)^k \zeta (s+k,x). Kapalılık ilişkisi Stark-Keiper formülüdür: :\zeta(s,N) = \sum_{k=0}^\infty \left[ N+\frac {s-1}{k+1}\right] {s+k-1 \choose s-1} (-1)^k \zeta (s+k,N) tam sayı değerleri için N değişke için s tir. Bakınız Faulhaber formülü tam sayıların kuvvet serisi sonlu toplamı için benzer bir ilişki. Fourier dönüşümü: Hurwitz zeta fonksiyonunun ayrık Fourier dönüşümü'nde skonulduğunda Legendre chi fonksiyonu olur. Bernoulli polinomları ile ilişkisi: \beta fonksiyonunun genelleştirilmiş şekli Bernoulli polinomları'dır: :B_n(x) = -\Re \left[ (-i)^n \beta(x,n) \right] burada \Re z z reel kısmı gösterir. Karşıt olarak, :\zeta(-n,x)=-{B_{n+1}(x) \over n+1}. Özel olarak, n=0 değeri için :\zeta(0,x)= \frac{1}{2} -x. Jacobi teta fonksiyonu ile ilişkisi: \vartheta (z,\tau) fonksiyonuna Jacobi teta fonksiyonu denir, burada :\int_0^\infty \left[\vartheta (z,it) -1 \right] t^{s/2} \frac{dt}{t}= \pi^{-(1-s)/2} \Gamma \left( \frac {1-s}{2} \right) \left[ \zeta(1-s,z) + \zeta(1-s,1-z) \right] \Re s > 0 ise ve z kompleks ise, ama bir tam sayı değilse.. z=n tam sayısı için,bu basitçe :\int_0^\infty \left[\vartheta (n,it) -1 \right] t^{s/2} \frac{dt}{t}= 2\ \pi^{-(1-s)/2} \ \Gamma \left( \frac {1-s}{2} \right) \zeta(1-s) =2\ \pi^{-s/2} \ \Gamma \left( \frac {s}{2} \right) \zeta(s). Burada ζ Riemann zeta fonksiyonu'dur. Buradaki ikinci formun fonksiyonel denklem'in orijinali Riemann tarafından verilen Riemann zeta fonksiyonu olduğu unutulmamalıdır. z ayrık tabanlı bir tam sayı olmalıdır ve burada z nin t\rightarrow 0 için Jacobi teta fonksiyonunun Dirac delta fonksiyonu'na yakınsaması hesaplanamaz. Dirichlet L-fonksiyonu ile ilişkisi: Dirichlet L-fonksiyonu ile Hurwitz zeta fonksiyonu lineer kombinasyon olarak ifade edilebilir. aynı şekilde:ζ(s) eşitlik q=1, q=1/2 ve q=n/k ve bunun yanında k>2, (n,k)>1 ise 0s-1)ζ(s),ya gider Hurwitz zeta fonksiyonu,Riemann zeta fonksiyonu ile çakışır ve,sonuç olarak :\zeta(s,n/k)=\sum_\chi\overline{\chi}(n)L(s,\chi), Dirichlet karakteri her zaman mod k 'dır.