Beta fonksiyonu; Euler ve Legendre'ye adlanan uygulamanın adı nedir?
simetrik
küçükresim Pozitif x ve y degerleri için beta fonksiyonunun bir çizimi Matematik'te, beta fonksiyonu, Euler integrali'nin ilk türüdür, \textrm{Re}(x), \textrm{Re}(y) > 0.\, için bu özel fonksiyon'unun tanımı : \mathrm{\Beta}(x,y) = \int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt \\! Beta fonksiyonu Jacques Binet tarafından öğrencileri Euler ve Legendre'ye adandı. Özellikler: Beta fonksiyonu simetrik'tir, yani : \Beta(x,y) = \Beta(y,x). \\! yerine konulan Birçok diğer formları da vardır: : \Beta(x)=\dfrac{\Gamma(x)^2}{\Gamma(2x)} \\! : \Beta(x,y)=\dfrac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} \\! : \Beta(x,y) = 2\int_0^{\pi/2}(\sin\theta)^{2x-1}(\cos\theta)^{2y-1}\,d\theta, \qquad \textrm{Re}(x)>0,\ \textrm{Re}(y)>0 \\! : \Beta(x,y) = \int_0^\infty\dfrac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}\,dt, \qquad \textrm{Re}(x)>0,\ \textrm{Re}(y)>0 \\! : \Beta(x,y) = \sum_{n=0}^\infty \dfrac {x+n}, \\! : \Beta(x,y) = \frac{x+y}{x y} \prod_{n=1}^\infty \left( 1+ \dfrac{x y}{n (x+y+n)}\right)^{-1}, \\! : \Beta(x,y) \cdot \Beta(x+y,1-y) = \dfrac{\pi}{x \sin(\pi y)}, \\! Burada \Gamma\, gama fonksiyonu'dur. özellikle eşitlikteki ikinci gösterimden elde edilen buradaki eşitliklerden bazıları, mesela trigonometrik formül, :\Gamma(1/2) = \sqrt \pi. :\Beta(1/2) = \pi. Kartezyen Koordinatlar'daki n-küre hacminin türevleri'ne uygulanabilir . Sadece tam sayılar için yazılan gama fonksiyonu faktöriyel'dir, beta fonksiyonu binomial katsayılar endeksi tarafından tanımlanabilir: :{n \choose k} = \frac1{(n+1) \Beta(n-k+1, k+1)}. Ayrıca her n tam sayısı için, \Beta\,'nın k sürekli değerleri için öteleme fonksiyonu kapalı formunun integrallenmiş şekli :{n \choose k} = (-1)^n n! \cfrac{\sin (\pi k)}{\pi \prod_{i=0}^n (k-i)}. İlk kez Gabriele Veneziano, sicim teorisi'deki,genlik saçılması varsayımında beta fonksiyonunu kullandı. Beta ve Gama fonksiyonları arasındaki ilişki: Beta fonksiyonunun türetilen iki faktöriyel yazılarak integral gösterimi, : \Gamma(x)\Gamma(y) = \int_0^\infty\ e^{-u} u^{x-1}\,du \int_0^\infty\ e^{-v} v^{y-1}\,dv. \\! Şimdi, u \equiv a^2, v \equiv b^2,yazalım,böylece :\begin{align} \Gamma(x)\Gamma(y) & {} = 4\int_0^\infty\ e^{-a^2} a^{2x-1}\mathrm{d}a \int_0^\infty\ e^{-b^2} b^{2y-1}\,db \\\ & {} = \int_{-\infty}^\infty\ \int_{-\infty}^\infty\ e^{-(a^2+b^2)}  a ^{2x-1}  b ^{2y-1} \,da \,db. \end{align} \\! Kutupsal koordinatlara dönüşümü a = r\cos\theta, b = r\sin\theta: :\begin{align} \Gamma(x)\Gamma(y) & {} = \int_0^{2\pi}\ \int_0^\infty\ e^{-r^2}  r\cos\theta ^{2x-1}  r\sin\theta ^{2y-1} r \, dr \,d\theta \\\ & {} = \int_0^\infty\ e^{-r^2} r^{2x+2y-2} r\, dr \int_0^{2\pi}\  (\cos\theta)^{2x-1} (\sin\theta)^{2y-1}  \, d\theta \\\ & {} = \frac{1}{2}\int_0^\infty\ e^{-r^2} r^{2(x+y-1)} \, d(r^2) 4\int_0^{\pi/2}\ (\cos\theta)^{2x-1} (\sin\theta)^{2y-1} \,d\theta \\\ & {} = \Gamma(x+y) 2\int_0^{\pi/2}\ (\cos\theta)^{2x-1} (\sin\theta)^{2y-1} \, d\theta \\\ & {} = \Gamma(x+y) \Beta(x,y). \end{align} Dolayısıyla,beta fonksiyonunun kullanılan formu ve değişkenleri yeniden: : \Beta(x,y) = \frac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}. Diğer bir türetim,bir özel durumu için konvolüsyon integrali alınırsa :f(u):=e^{-u} u^{x-1} 1_{\R_+} and g(u):=e^{-u} u^{y-1} 1_{\R_+}, sonuç kolayca: :\Gamma(x)\Gamma(y)=\left(\int_{\R}f(u)du\right)\left(\int_{\R}g(u)du\right)=\int_{\R}(f*g)(u)du=\Beta(x, y)\,\Gamma(x+y). Türevleri: türevleri sırasıyla: :{\partial \over \partial x} \mathrm{B}(x, y) = \mathrm{B}(x, y) \left( {\Gamma'(x) \over \Gamma(x)} - {\Gamma'(x + y) \over \Gamma(x + y)} \right) = \mathrm{B}(x, y) (\psi(x) - \psi(x + y)) burada \ \psi(x) digama fonksiyonu'dur. Integralleri: Nörlund-Rice integral beta fonksiyonunun kontür integral içeren şeklidir . Yaklaşıklıklar: Asimptotik formül,Stirling yaklaşıklığı'nı verir. x büyük y büyük ise, :\Beta(x,y) \sim \sqrt {2\pi } \frac{{x^{x - \frac{1}{2}} y^{y - \frac{1}{2}} }}{{\left( {x + y} \right)^{x + y - \frac{1}{2}} }} diğer bir durumx büyük ve y sabit ise, :\Beta(x,y) \sim \Gamma(y)\,x^{-y}. Tamamlanmamış beta fonksiyonu: Tamamlanmamış demek integralin bir sinirinin kapali(burada 0dan x'a) diğer sinirinin açik olmasi demektir. Beta fonksiyonunun bir genellemesi Tamamlanmamış beta fonksiyonu 'dur. Tanımı : \Beta(x,\,a,b) = \int_0^x t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt. \\! x = 1, için tamamlanmamış beta fonksiyonu ile tamamlanmış beta fonksiyonu çakışır.Bu ilişki gama fonksiyonu ve genel şekli tamamlanmamış gama fonksiyonu arasında da vardır.. düzenlenmiş,tamamlanmamış beta fonksiyonu (veya kısaca düzenlenmiş beta fonksiyonu) şeklinde tanımlanan bu iki fonksiyonun terimleri: : I_x(a,b) = \dfrac{\Beta(x,\,a,b)}{\Beta(a,b)}. \\! a ve b tam sayı değerleri için bilinen integral dışında ( parçalanmış integrasyon kullanılabilir): : I_x(a,b) = \sum_{j=a}^{a+b-1} {(a+b-1)! \over j!(a+b-1-j)!} x^j (1-x)^{a+b-1-j}.