Hurwitz zeta fonksiyonu; Hurwitz zeta'nın son formda kaç -qa doğal sayı değildir?
1
Ters yönde de bizim lineer kombinasyonumuz var :L(s,\chi)=\frac {1}{k^s} \sum_{n=1}^k \chi(n)\, \zeta \left(s,\frac{n}{k}\right). Burada çarpım teoremi :k^s\zeta(s)=\sum_{n=1}^k \zeta\left(s,\frac{n}{k}\right), şöyle bir genelleştirme kullanılabilir :\sum_{p=0}^{q-1}\zeta(s,a+p/q)=q^s\,\zeta(s,qa). (Bu son formda q değeri bir doğal sayıdır ve 1-qa doğal sayı değildir.) Sıfırlar: Eğer "q" = 1 ise Hurwitz zeta fonksiyonu kendini Riemann zeta'ya indirger, q = 1 / 2 durumunda ise basit bir fonksiyonun s karmaşık argümanı çarpımı ile Riemann zeta fonksiyonuna indirgenir (s için yukarıya bakınız), her durumda Riemann zeta fonksiyonunda sıfır ile çalışmak zordur. Özellikle, burada daha gerçel kısmı 1 veya daha büyük ve hiçbir sıfır olmayacaktır. Ancak,Hurwitz's zeta fonksiyonu için 0 "Davenport, H. and Heilbronn, H. On the zeros of certain Dirichlet series J. London Math. Soc. 11 (1936), pp. 181-185 tarafından [2] rasyonel ve cebirsel olmayan irrasyonel q ve CasselsCassels, J. W. S. Footnote to a note of Davenport and Heilbronn J. London Math. Soc. 36 (1961), pp. 177-184 tarafından [3]ise cebirsel irrasyonel q için ispat edildi. Rasyonel değerler: The Hurwitz zeta function occurs in a number of striking identities at rational values (given by Djurdje Cvijović and Jacek Klinowski, reference below). In particular, values in terms of the Euler polynomials E_n(x): :E_{2n-1}\left(\frac{p}{q}\right) = (-1)^n \frac{4(2n-1)!}{(2\pi q)^{2n}} \sum_{k=1}^q \zeta\left(2n,\frac{2k-1}{2q}\right) \cos \frac{(2k-1)\pi p}{q} ve :E_{2n}\left(\frac{p}{q}\right) = (-1)^n \frac{4(2n)!}{(2\pi q)^{2n+1}} \sum_{k=1}^q \zeta\left(2n+1,\frac{2k-1}{2q}\right) \sin \frac{(2k-1)\pi p}{q} Bir de şu var: :\zeta\left(s,\frac{2p-1}{2q}\right) = 2(2q)^{s-1} \sum_{k=1}^q \left[ C_s\left(\frac{k}{q}\right) \cos \left(\frac{(2p-1)\pi k}{q}\right) + S_s\left(\frac{k}{q}\right) \sin \left(\frac{(2p-1)\pi k}{q}\right) \right] 1\le p \le qdeğeri için. Burada, C_ u(x) ve S_ u(x) ifadesiLegendre chi function anlamına gelir \chi_ u as :C_ u(x) = \operatorname{Re}\, \chi_ u (e^{ix}) ve :S_ u(x) = \operatorname{Im}\, \chi_ u (e^{ix}). For integer values of ν, these may be expressed in terms of the Euler polynomials. These relations may be derived by employing the functional equation together with Hurwitz's formula, given above. Uygulamalar: Hurwitz zeta fonksiyonu'nun birçok disiplin içinde uygulamaları vardır . En yaygın, sayı teorisi'nde ortaya çıkar, ve gelişmiş derinleşmiş teoridir.. Bunun yanında, fraktal'ler ve dinamik sistemler'in derinlemesine araştırılmasında kullanılır.istatistik uygulamalarında ,Zipf's kanunu ve Zipf-Mandelbrot kanunu'nda..parçacık fiziği'nde, Julian Schwinger'in bir formülünün içindeki Schwinger, J., On gauge invariance and vacuum polarization, Phys. Rev. 82 (1951), pp. 664-679. dirac'ın bir oranı düzgün elektrik alanındaki elektron çift üretimi için kesin sonuç verir. Özel durumlar ve genellemeler: Hurwitz zeta fonksiyonunun genelleştirilmiş şekli poligama fonksiyonu'dur: :\psi^{(m)}(z)= (n-1)^{m+1} m! \zeta (m+1,z).\, Hurwitz zeta'nın genelleştirilmiş şekli Lerch transandant'ıdır : :\Phi(z, s, q) = \sum_{k=0}^\infty \frac { z^k} {(k+q)^s} ve böylece :\zeta (s,q)=\Phi(1, s, q).\, Hipergeometrik fonksiyon :\zeta(s,a)=a^{-s}\cdot{}_{s+1}F_s(1,a_1,a_2,\ldots a_s,a_1+1,a_2+1,\ldots a_s+1,1)\qquad\qquad a_1=a_2=\ldots=a_s=a\text{ und }a otin\N\text{ und }s\in\N^+. Meijer G-fonksiyon :\zeta(s,a)=G\,_{s+1,\,s+1}^{\,1,\,s+1}\left(-1 \, \left  \, \begin{matrix}0,1-a,\ldots,1-a\\\0,-a,\ldots,-a\end{matrix}\right)\right.\qquad\qquad s\in\N^+. Ayrıca bakınız: * Matematiksel fonksiyonların listesi Notlar: .Zeta ve L-fonksiyonları.dendir. 