"if ({x^4} - 3{x^2} - 1 = 0), then the value of (left( {{x^6} - 3{x^2} + frac{3}{{{x^2}}} - frac{1}{{{x^6}}} + 1} right)) is:"
"if ({x^4} - 3{x^2} - 1 = 0), then the value of "
"given:

({x^4} - 3{x^2} - 1 = 0)

formula used:

(a – b)3 = a3 – b3 – 3ab(a – b)

calculation:

x4 – 3x2 – 1 = 0

⇒ x2(x2 – 3 – 1x2) = 0

⇒ x2 – 1x2 – 3 = 0

⇒ x2 – 1x2 = 3      \_\_\_\_1

cube both side in equation 1

⇒ (x2 – 1x2)3 = 33

⇒ x6 – 1x6 – 3(x2 × 1x2)(x2 – 1x2) = 27

⇒  x6 – 1x6 – 3 × 1 × 3 = 27

⇒  x6 – 1x6 = 27 + 9

⇒ x6 – 1x6 = 36      \_\_\_\_2

 

⇒ x6 – 1x6 – 3(x2 – 1x2) + 1      \_\_\_\_3

putting the value of equation 1 and 2 in the equation 3

⇒ 36 – 3 × 3 + 1

⇒ 28

∴ the value of (left( {{x^6} - 3{x^2} + frac{3}{{{x^2}}} - frac{1}{{{x^6}}} + 1} right)) is 28.

 

if a – 1a = k

then, a3 – 1a3 = k3 + 3k

x4 – 3x2 – 1 = 0

⇒ x2(x2 – 3 – 1x2) = 0

⇒ x2 – 1x2 – 3 = 0

⇒ x2 – 1x2 = 3      \_\_\_\_1

then,  x6 – 1x6 = 33 + 3 × 3

⇒ x6 – 1x6 = 36      \_\_\_\_2

⇒ x6 – 1x6 – 3(x2 – 1x2) + 1      \_\_\_\_3

putting the value of equation 1 and 2 in the equation 3

⇒ 36 – 3 × 3 + 1

⇒ 28

∴ the value of x6 – 1x6 – 3x2 + 3x2 + 1 is 28."