How do you prove #(tan x / (1 - cot x)) + (cot x / (1 - tan x)) = 1 + sec x csc x#?
===================================================================================





#LHS=(tan x / (1 - cot x)) + (cot x / (1 - tan x))#


#=(tan x / (1 - cot x)) + (cot x / (1 - 1/cotx))#


#=((1/cot x) / (1 - cot x)) - (cot^2 x / (1 - cotx))#


#=(1/cot x-cot^2x) / (1 - cot x)#


#=(1-cot^3x) / (cotx(1 - cot x))#


#=((1-cotx)(1+cotx+cot^2x)) / (cotx(1 - cot x))#


#=(cancel((1-cotx))(1+cotx+cot^2x)) / (cotxcancel((1 - cot x)))#


#=(1+cotx+cot^2x) / cotx#


#=(cotx+csc^2x) / cotx#


#=cotx/cotx+csc^2x / cotx#


#=1+(1/sin^2x) / (cosx/sinx\_#


#=1+1/sin^2x xx sinx/cosx#


#=1+1/( sinxcosx)#


# = 1 + sec x csc x=RHS#




