d78888c2b3e34296136e0f123e3e5bf5
2020.29
0calc.com
d78888c2b3e34296136e0f123e3e5bf5
How many pairs of positive integers (x,y) satisfy the equation 3x+5y=1008 ?


[help](/questions/help_72840)
=============================


0calc.com
2020.29
a=1;p=0; b=1;c=3*a + 5*b; if(c==1008, goto5, goto7);p=p+1;printp,"-",a, b; a++;if(a<500, goto3, 0);a=1;b++;if(b<500, goto3, discard=0;

 n     x           y

 1 - 331         3  
 2 - 326        6  
 3 - 321        9  
 4 - 316        12  
 5 - 311        15  
 6 - 306      18  
 7 - 301       21  
 8 - 296      24  
 9 - 291      27  
 10 - 286    30  
 11 - 281    33  
 12 - 276    36  
 13 - 271    39  
 14 - 266    42  
 15 - 261    45  
 16 - 256   48  
 17 - 251    51  
 18 - 246   54  
 19 - 241   57  
 20 - 236  60  
 21 - 231   63  
 22 - 226  66  
 23 - 221  69  
 24 - 216  72  
 25 - 211  75  
 26 - 206 78  
 27 - 201  81  
 28 - 196  84  
 29 - 191  87  
 30 - 186  90  
 31 - 181  93  
 32 - 176  96  
 33 - 171  99  
 34 - 166  102  
 35 - 161  105  
 36 - 156 108  
 37 - 151  111  
 38 - 146  114  
 39 - 141  117  
 40 - 136  120  
 41 - 131  123  
 42 - 126  126  
 43 - 121  129  
 44 - 116  132  
 45 - 111  135  
 46 - 106 138  
 47 - 101 141  
 48 - 96  144  
 49 - 91  147  
 50 - 86  150  
 51 - 81  153  
 52 - 76  156  
 53 - 71  159  
 54 - 66  162  
 55 - 61  165  
 56 - 56  168  
 57 - 51  171  
 58 - 46  174  
 59 - 41  177  
 60 - 36  180  
 61 - 31  183  
 62 - 26  186  
 63 - 21  189  
 64 - 16  192  
 65 - 11  195  
 66 - 6  198  
 67 - 1   201


87bccff41b0e1b33fc1478ccdba4fec7
2020.40
0calc.com
87bccff41b0e1b33fc1478ccdba4fec7
In Pascal's Triangle, the third row has four elements, and the sum of these elements is 8. What is the sum of the elements in the tenth row? (Note that we are counting the top row with a single 1 as the 0th row).


[Pascals Triangle Problem](/questions/pascals-triangle-problem)
===============================================================


0calc.com
2020.40
Here is Pascal's Triangle:

  

 1   = R 0  
 1   1   = R 1  
 1   2   1   = R 2  
 1   3   3   1   = R 3  
 1   4   6   4   1   = R 4  
 1   5   10   10   5   1   = R 5  
 1   6   15   20   15   6   1   = R 6  
 1   7   21   35   35   21   7   1   = R 7  
 1   8   28   56   70   56   28   8   1   = R 8  
 1   9   36   84   126   126   84   36   9   1   = R 9  
 1   10   45   120   210   252   210   120   45   10   1   = R 10

  

 The 10th row should have a sum of: 2^10 =1,024


9a057a7eb4a1216d52b2fe594abda922
2021.04
0calc.com
9a057a7eb4a1216d52b2fe594abda922
You roll three fair six-sided dice.  What is the probability that the sum of the rolls is 12?


[probability](/questions/probability_34238)
===========================================


0calc.com
2021.04
5 - 2 - 5    =    3 ways

5 - 1 - 6    =    6 ways

4 - 4 - 4     =   1  way

3 - 5 - 4    =    6 ways

3 - 6 - 3   =     3 ways

2 - 6  - 4  =     6 ways

 

There are  216  possible outcomes

 

P ( 12)  =  25/ 216

 

 

 

![cool](/img/emoticons/smiley-cool.gif "cool") ![cool](/img/emoticons/smiley-cool.gif "cool") ![cool](/img/emoticons/smiley-cool.gif "cool")


0343a6e4c1f515c0b775e1d45048717a
2020.16
0calc.com
0343a6e4c1f515c0b775e1d45048717a
![](/api/ssl-img-proxy?src=%2Fimg%2Fupload%2F45dcf5efeb3fbd1c751e411d%2Fim33.jpg)Am i correct please help thank you


[What are the solutions to the equation f(x)=g(x)?](/questions/what-are-the-solutions-to-the-equation-f-x-g-x_1)
================================================================================================================


0calc.com
2020.16
             f(x)  =  g(x)

                2x  =  x2 - 3

                  0  =   x2 - 2x - 3

                  0  =  (x - 3)(x + 1)

        Either  x - 3  =  0     or     x + 1  =  0

                         x  =  3     or           x  =  -1


15971d26dcb181e6d085969b041d3b65
2020.29
0calc.com
15971d26dcb181e6d085969b041d3b65
Find all positive integers n such that \(\displaystyle \left\lfloor \frac{n}{6} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{n}{7} \right\rfloor\)

  

 (The brackets refer to the floor function.)


[i need help](/questions/i-need-help_59762)
===========================================


0calc.com
2020.29
a=1;b=floor(a/6);c=floor(a/7) ; if(b==c, goto4, goto5);printa,b, c; a++;if(a<1000, goto1, 0)

 n   n/6  n/7

 1     0     0  
 2    0     0  
 3    0     0  
 4    0     0  
 5    0     0  
 7     1     1  
 8     1    1  
 9     1    1  
 10   1    1  
 11    1    1  
 14   2    2  
 15   2    2  
 16   2    2  
 17   2    2  
 21   3    3  
 22  3    3  
 23  3    3  
 28  4    4  
 29  4    4  
 35  5    5  
  


61da1d2c64c39bd90cb3e61fe6670608
2019.47
0calc.com
61da1d2c64c39bd90cb3e61fe6670608
How many ordered pairs (x,y) of positive integers are there with x,y < 1000 and 11x-17y=1?


[Help with this math!](/questions/help-with-this-math)
======================================================


0calc.com
2019.47
n=1; c=1;m=1;if(n*11 - 17*m ==1, goto4, goto6);printc," - ",n," ",m;c=c+1;n=n+1;if(n<1000, goto3, 0);n=1;m++;if(m<1000, goto3,0)

 n      x     y

 1  -  14   9  
 2  -  31   20  
 3  -  48   31  
 4  -  65   42  
 5  -  82   53  
 6  -  99   64  
 7  -  116   75  
 8  -  133   86  
 9  -  150   97  
 10  -  167   108  
 11  -  184   119  
 12  -  201   130  
 13  -  218   141  
 14  -  235   152  
 15  -  252   163  
 16  -  269   174  
 17  -  286   185  
 18  -  303   196  
 19  -  320   207  
 20  -  337   218  
 21  -  354   229  
 22  -  371   240  
 23  -  388   251  
 24  -  405   262  
 25  -  422   273  
 26  -  439   284  
 27  -  456   295  
 28  -  473   306  
 29  -  490   317  
 30  -  507   328  
 31  -  524   339  
 32  -  541   350  
 33  -  558   361  
 34  -  575   372  
 35  -  592   383  
 36  -  609   394  
 37  -  626   405  
 38  -  643   416  
 39  -  660   427  
 40  -  677   438  
 41  -  694   449  
 42  -  711   460  
 43  -  728   471  
 44  -  745   482  
 45  -  762   493  
 46  -  779   504  
 47  -  796   515  
 48  -  813   526  
 49  -  830   537  
 50  -  847   548  
 51  -  864   559  
 52  -  881   570  
 53  -  898   581  
 54  -  915   592  
 55  -  932   603  
 56  -  949   614  
 57  -  966   625  
 58  -  983   636  
  


143ca0b6e9709c4d220b1d8cb1f1fb1b
2020.29
0calc.com
143ca0b6e9709c4d220b1d8cb1f1fb1b
What is 10% of 20% of 30% of 40% of 25000?


[help](/questions/help_30698)
=============================


0calc.com
2020.29
40% of 25000  =  0.40 x 25000  =  10000

 30% of 10000  =  0.30 x 10000  =  3000

 20% of 3000  =  0.20 x 3000  =  600

 10% of 600  =  0.10 x 600  =  60

  

 More simply, just do this:  0.10 x 0.20 x 0.30 x 0.40 x 25000  =  60


75a91487fafba6422e8204e319d421fe
2021.31
0calc.com
75a91487fafba6422e8204e319d421fe
Find all pairs of positive integers (a,b) such that a^2 - b^2 = 100.


[Help math](/questions/help-math_39)
====================================


0calc.com
2021.31
a^2  -  b^2    =100

 

(a + b)  ( a - b)   =  100

 

Factors  of  100  =    1 , 2 , 4 , 5 , 10 , 20 , 25  , 50  ,  100

 

a + b =  100

a -  b  =    1

2a  =  101

a not an integer

 

a  +  b =   50

a  -  b  =   2

2a   = 52

a   = 26

b  =  24

 

a + b   =  25

a - b    =    4

2a   =  29

a not  an integer

 

a + b =  20

a  - b   =  5

2a   = 25

a not an integer

 

a + b  =  10

a  - b   =  10

2a  =  20

a = 10

b =   0    (not a positive integer)

 

So

 

(a , b)  =     (26,24  )    

 

![cool](/img/emoticons/smiley-cool.gif "cool") ![cool](/img/emoticons/smiley-cool.gif "cool") ![cool](/img/emoticons/smiley-cool.gif "cool")   


d688b849abcd5139568b80f4e7e20e42
2021.25
0calc.com
d688b849abcd5139568b80f4e7e20e42
Find all integers n such that the quadratic 7x^2 + nx - 11 - 19  = 7x^2 - nx - 30 can be expressed as the product of two linear factors with integer coefficients.


[Polynomials](/questions/polynomials_100)
=========================================


0calc.com
2021.25
7x^2  + nx   -  30   

 

(7x  - 5)  ( x + 6)        n    =   37

(7x + 5)  (x -  6)        n     =  -37

(7x - 6) ( x + 5)         n  =    29

(7x + 6) ( x - 5)         n = -29

(7x + 15)(x - 2)         n =    1

(7x  - 15) ( x + 2)      n  =  -1

(7x -2) ( x + 15)        n =  103

(7x + 2) ( x - 15)       n =  -103

(7x + 30) ( x - 1)       n  =  23

(7x - 30) ( x + 1)       n = -23

(7x - 1) ( x + 30)        n  =  209

(7x + 1) ( x - 30)      n =  -209

(7x + 3) ( x - 10)      n  = - 67

(7x - 3) ( x + 10)       n = 67

(7x - 10) ( x + 3)       n  =  11

(7x + 10) ( x - 3)        n =  -11

 

![cool](/img/emoticons/smiley-cool.gif "cool") ![cool](/img/emoticons/smiley-cool.gif "cool") ![cool](/img/emoticons/smiley-cool.gif "cool") 


b15a858206131f6e568d911722858a47
2020.40
0calc.com
b15a858206131f6e568d911722858a47
Find p+q, given that (q+4)(p+3)-(q+2)(p+1)=44


[Find p+q, given that (q+4)(p+3)-(q+2)(p+1)=44](/questions/find-p-q-given-that-q-4-p-3-q-2-p-1-44)
==================================================================================================


0calc.com
2020.40
a=1; b=1;d=(b+4)*(a+3)-(b+2)*(a+1) ; if(d==44, goto4, goto5);printa, b; a++;if(a<100, goto2, 0);a=1;b++;if(b<100, goto2, discard=0; 

  

 p       q

 16     1  
 15     2  
 14     3  
 13     4  
 12     5  
 11     6  
 10     7  
 9      8  
 8     9  
 7    10  
 6    11  
 5    12  
 4    13  
 3    14  
 2    15  
 1    16


This falls out really easily if you just expand it out and add like terms.

  

 \([(q+4)(p+3)]-[(q+2)(p+1)]=44\\ etc\)


7ab1d223d0382360347a018c87f6caec
2021.04
0calc.com
7ab1d223d0382360347a018c87f6caec
When the greatest common divisor and least common multiple of two integers are multiplied, the product is 180.  How many different values could be the sum of the two integers?


[number theory](/questions/number-theory_138)
=============================================


0calc.com
2021.04
  a       b

 180     1  
 90     2  
 60     3  
 45     4  
 36     5  
 30     6  
 20     9  
 18     10  
 15     12  
 12     15  
 10     18  
 9     20  
 6     30  
 5     36  
 4     45  
 3     60  
 2     90  
 1     180

  

 Just count them and sum them up, if that is what they want!


81e020522f12b9fd48639a66c218a66b
2021.25
0calc.com
81e020522f12b9fd48639a66c218a66b
You have been given an answer of seven. Create at least five different order of operations equations that equal to seven. Show the steps to solve each equation.


[Math](/questions/math_2864)
============================


0calc.com
2021.25
1.   1 + (1/2)(12)

      1  +     6         =     7

 

2.   (3/4)(4)   - (2/3)(3)   +  (2/3)(9)

         3         -    2          +      6          =    7

 

3.   2  - (15/3 ) +    10

       2    -   5    +    10

            -3        +     10    =    7

 

4.  [ (1/2) ( 6 - 2) ]   +   [ (1/2) ( 12  - 4)]   +   1

     [ (1/2) (4) ] +  [ (1/2) (8) ]   + 1

            2       +    4        +     1      =     7

 

5.   (70 / 14) (2)   -  (42/7)(1/2)

           5(2)   -   6(1/2)

           10     -    3       =     7

 

 

![cool](/img/emoticons/smiley-cool.gif "cool") ![cool](/img/emoticons/smiley-cool.gif "cool") ![cool](/img/emoticons/smiley-cool.gif "cool")


2d5031eaec3cfb63e45d4232460b91ce
2020.40
0calc.com
2d5031eaec3cfb63e45d4232460b91ce
The square of a positive integer leaves a remainder of 1 when divided by 5. What are the possible remainders when the integer itself is divided by 5?


[number theory](/questions/number-theory_90)
============================================


0calc.com
2020.40
n    n^2  Remainder when n is divided by 5  
 1    1       1  
 4    16    4  
 6    36    1  
 9     81   4  
 11   121   1  
 14   196  4  
 16   256  1  
 19   361  4  
 21   441  1  
 24   576  4

 There are an infinite number of integers whose squares mod 5 =1 and which leave a remainder of 1 or 4 as you can see on the right hand side.


2721cb244b0fe1b6a02c3d194f594f8b
2020.40
0calc.com
2721cb244b0fe1b6a02c3d194f594f8b
In how many ways can you change a $20 bill using $10 bills, $5 bills, $2 bills, and $1 bills?


[please help](/questions/please-help_86589)
===========================================


0calc.com
2020.40
      $1    $2$5$10

 1  = 20   0   0   0    
 2  = 18   1   0   0    
 3  = 16   2   0   0    
 4  = 14   3   0   0    
 5  = 12   4   0   0    
 6  = 10   5   0   0    
 7  = 8   6   0   0    
 8  = 6   7   0   0    
 9  = 4   8   0   0    
 10  = 2   9   0   0    
 11  = 0   10   0   0    
 12  = 15   0   1   0    
 13  = 13   1   1   0    
 14  = 11   2   1   0    
 15  = 9   3   1   0    
 16  = 7   4   1   0    
 17  = 5   5   1   0    
 18  = 3   6   1   0    
 19  = 1   7   1   0    
 20  = 10   0   2   0    
 21  = 8   1   2   0    
 22  = 6   2   2   0    
 23  = 4   3   2   0    
 24  = 2   4   2   0    
 25  = 0   5   2   0    
 26  = 5   0   3   0    
 27  = 3   1   3   0    
 28  = 1   2   3   0    
 29  = 0   0   4   0    
 30  = 10   0   0   1    
 31  = 8   1   0   1    
 32  = 6   2   0   1    
 33  = 4   3   0   1    
 34  = 2   4   0   1    
 35  = 0   5   0   1    
 36  = 5   0   1   1    
 37  = 3   1   1   1    
 38  = 1   2   1   1    
 39  = 0   0   2   1    
 40  = 0   0   0   2    
  


7a3bff88166314e38a228971eb248dcd
2021.17
0calc.com
7a3bff88166314e38a228971eb248dcd
Find it. Express your answer in base 2.\(10110\_2\times10100\_2\div10\_2\)


[Help ASAP!!!](/questions/help-asap_33691)
==========================================


0calc.com
2021.17
Easiest for me  to  convert  to base 10  and  convert  back to base 2

 

1(2)^4  +0(2)^3  + 1(2)^2  + 1 * 2  +  0   =   16 + 4 + 2  =  22

 

1(2)^4  + 0(2)^3  + 1(2)^2  =  16 + 4 =  20

 

1(2)  = 2

 

So

 

22 * 20    /   2    =

 

220 base 10  convert  to  base 2

 

220    /    2    =   110   R   0

110  / 2   =           55 R  0

55 / 2      =           27  R  1

27/ 2   =               13    R  1

13 /  2   =               6  R  1

6 /  2  =                  3  R 0

3 / 2  =                   1  R 1

1 / 2  =                   0 R 1

 

Read the remainders  from  the  bottom to  the top  =

 

110111002

 

![cool](/img/emoticons/smiley-cool.gif "cool") ![cool](/img/emoticons/smiley-cool.gif "cool") ![cool](/img/emoticons/smiley-cool.gif "cool")


Thank you so much, CPhill! That is correct!


10736ebe7be1cad4f07ed1e7417ece0c
2019.43
0calc.com
10736ebe7be1cad4f07ed1e7417ece0c
The product of the proper positive integer factors of n can be written as n^[(ax+b)/c], where x is the number of positive divisors n has, c is a positive integer, and the greatest common factor of the three integers a, b, and c is 1. What is a+b+c?


[Problem](/questions/problem_32)
================================


0calc.com
2019.43
**There maybe many solutions to this question:**

 

**Here is just one of them:**

**182 =2 x 7 x 13.   This can be written as : 182^[(2*3 + 7) /  13] = 182^1 =182**

**The GCD of  2, 7, 13 = 1**

**Sum = 2 + 7 + 13 = 22**

**Note: By "positive integer factors", I took it to mean "Prime integer factors".**


Here are many solutions between 1 and 100, for a, b, c:  
 a=1; b=1;c=(6 + a) / b; if(c==1 and isprime(b), goto4, goto5);print2," ", a," ", b," = ",2*a*b; a++;if(a<100, goto2, 0);a=1;b++;if(b<100, goto2, discard=0;

 a   b    c          n  
 2   5   11     =  110  
 2   7   13    =  182  
 2   11   17   =  374  
 2   13   19  =  494  
 2   17   23  =  782  
 2   23   29  =  1334  
 2   25   31  =  1550  
 2   31   37  =  2294  
 2   35   41  =  2870  
 2   37   43  =  3182  
 2   41   47  =  3854  
 2   47   53  =  4982  
 2   53   59  =  6254  
 2   55   61  =  6710  
 2   61   67  =  8174  
 2   65   71  =  9230  
 2   67   73  =  9782  
 2   73   79  =  11534  
 2   77   83  =  12782  
 2   83   89  =  14774  
 2   91   97  =  17654


d7fde54c7aa2b4cb3f5e9fe4dad56f8e
2021.10
0calc.com
d7fde54c7aa2b4cb3f5e9fe4dad56f8e
Find the product of all constants t such that the quadratic x^2 + tx - 15 can be factored in the form (x + a)(x + b), where a and b are integers.


[factoring](/questions/factoring_35)
====================================


0calc.com
2021.10
Factors of    -15  =   a , b

 

  a    b

-1   15        t =    14

-15  1         t =   -14

-3    5         t =  -2

5   - 3         t  = 2

 

 

![cool](/img/emoticons/smiley-cool.gif "cool") ![cool](/img/emoticons/smiley-cool.gif "cool") ![cool](/img/emoticons/smiley-cool.gif "cool")


eb1e3419ae406cc7ba2289e89a537b86
2019.47
0calc.com
eb1e3419ae406cc7ba2289e89a537b86
![](/api/ssl-img-proxy?src=%2Fimg%2Fupload%2Fc794205e722c2c5703ed469a%2Fscreenshot-26.png)need help with this please


[need help with this please](/questions/need-help-with-this-please)
===================================================================


0calc.com
2019.47
This is lengthy.......be careful......even one mistake is deadly!!!

 

2   1   -3       -19

1   2   1          -4

1  -1   5         21                multiply R1 by (-1/2)   add to R2

 

2     1      -3     -19

0   3/2    5/2     11/2           multiply R2  by  2

1   -1        5       21   

 

2    1     - 3         -19

0    3      5            11

1    -1     5            21              multiply R1 by (-1/2)   add to R3

 

2    1       - 3      -19

0    3        5         11

0   -3/2   13/2     61/2         multiply  R3  by 2

 

2     1    -3         -19

0     3     5           11

0    -3    13         61               multiply R2 by (-1/3)  add to R1

 

2      0    -14/3    -68/3

0      3      5         11

0      -3     13       61              add R2 to R3   put result in R3.....multiply R1  by 3

 

6   0      -14           -68    

0    3        5            11

0    0       18           72             divide R1   by 2 , R3  by 18

 

3     0    - 7           -34

0    3      5             11

0    0      1              4            multiply R3 by 7.....add to R1

 

3     0     0             -6

0     3     5             11

0     0     1              4           multiply R3 by -5....add to R2

 

3  0   0       -6

0  3   0      - 9

0   0 1         4            divide R1, R2  by 3

 

1  0   0     - 2

0   1   0    - 3

0   0   1      4

 

Read across  and the solutions are  (x, y , z}  =   {-2, -3, 4 }

 

 

![cool](/img/emoticons/smiley-cool.gif "cool") ![cool](/img/emoticons/smiley-cool.gif "cool") ![cool](/img/emoticons/smiley-cool.gif "cool")


c715a38cf384c0dcc66d276b3c520ffa
2019.47
0calc.com
c715a38cf384c0dcc66d276b3c520ffa
For a certain positive integer m the equation

![](/api/ssl-img-proxy?src=https%3A%2F%2Flatex.artofproblemsolving.com%2F7%2F3%2Fc%2F73c80b4f0b39ceb9f0224b155154248b4386fbf7.png)

has 137 solutions in integers n Find m.


[Florr and ceiling](/questions/florr-and-ceiling)
=================================================


0calc.com
2019.47
Floor(137 / 2) =68 

m = 68.

69^2 - 68^2 =137

4,761 - 137 =4,624, so:

n=4,624


n=4624; c=0; a=floor(sqrt(4624));printc," - ",  n," ", a;c=c+1;n++;if(n<4761, goto2, discard=0;

  

         floor

         sqrt

 N      n        m  
 0  -  4624   68  
 1  -  4625   68  
 2  -  4626   68  
 3  -  4627   68  
 4  -  4628   68  
 5  -  4629   68  
 6  -  4630   68  
 7  -  4631   68  
 8  -  4632   68  
 9  -  4633   68  
 10  -  4634   68  
 11  -  4635   68  
 12  -  4636   68  
 13  -  4637   68  
 14  -  4638   68  
 15  -  4639   68  
 16  -  4640   68  
 17  -  4641   68  
 18  -  4642   68  
 19  -  4643   68  
 20  -  4644   68  
 21  -  4645   68  
 22  -  4646   68  
 23  -  4647   68  
 24  -  4648   68  
 25  -  4649   68  
 26  -  4650   68  
 27  -  4651   68  
 28  -  4652   68  
 29  -  4653   68  
 30  -  4654   68  
 31  -  4655   68  
 32  -  4656   68  
 33  -  4657   68  
 34  -  4658   68  
 35  -  4659   68  
 36  -  4660   68  
 37  -  4661   68  
 38  -  4662   68  
 39  -  4663   68  
 40  -  4664   68  
 41  -  4665   68  
 42  -  4666   68  
 43  -  4667   68  
 44  -  4668   68  
 45  -  4669   68  
 46  -  4670   68  
 47  -  4671   68  
 48  -  4672   68  
 49  -  4673   68  
 50  -  4674   68  
 51  -  4675   68  
 52  -  4676   68  
 53  -  4677   68  
 54  -  4678   68  
 55  -  4679   68  
 56  -  4680   68  
 57  -  4681   68  
 58  -  4682   68  
 59  -  4683   68  
 60  -  4684   68  
 61  -  4685   68  
 62  -  4686   68  
 63  -  4687   68  
 64  -  4688   68  
 65  -  4689   68  
 66  -  4690   68  
 67  -  4691   68  
 68  -  4692   68  
 69  -  4693   68  
 70  -  4694   68  
 71  -  4695   68  
 72  -  4696   68  
 73  -  4697   68  
 74  -  4698   68  
 75  -  4699   68  
 76  -  4700   68  
 77  -  4701   68  
 78  -  4702   68  
 79  -  4703   68  
 80  -  4704   68  
 81  -  4705   68  
 82  -  4706   68  
 83  -  4707   68  
 84  -  4708   68  
 85  -  4709   68  
 86  -  4710   68  
 87  -  4711   68  
 88  -  4712   68  
 89  -  4713   68  
 90  -  4714   68  
 91  -  4715   68  
 92  -  4716   68  
 93  -  4717   68  
 94  -  4718   68  
 95  -  4719   68  
 96  -  4720   68  
 97  -  4721   68  
 98  -  4722   68  
 99  -  4723   68  
 100  -  4724   68  
 101  -  4725   68  
 102  -  4726   68  
 103  -  4727   68  
 104  -  4728   68  
 105  -  4729   68  
 106  -  4730   68  
 107  -  4731   68  
 108  -  4732   68  
 109  -  4733   68  
 110  -  4734   68  
 111  -  4735   68  
 112  -  4736   68  
 113  -  4737   68  
 114  -  4738   68  
 115  -  4739   68  
 116  -  4740   68  
 117  -  4741   68  
 118  -  4742   68  
 119  -  4743   68  
 120  -  4744   68  
 121  -  4745   68  
 122  -  4746   68  
 123  -  4747   68  
 124  -  4748   68  
 125  -  4749   68  
 126  -  4750   68  
 127  -  4751   68  
 128  -  4752   68  
 129  -  4753   68  
 130  -  4754   68  
 131  -  4755   68  
 132  -  4756   68  
 133  -  4757   68  
 134  -  4758   68  
 135  -  4759   68  
 136  -  4760   68


c501d835ed785117780591a43612c3e9
2021.39
0calc.com
c501d835ed785117780591a43612c3e9
решить уравнение в целых числах  61.2а + 55.2в + 43.7с = 3059


[решить уравнение в целых числах 61.2а + 55.2в + 43.7с = 3059](/questions/61-2-55-2-43-7-3059)
==============================================================================================


0calc.com
2021.39
You have several solutions to your equation as follows:

  

        a      b       c

 1  = 23   22    10  
 2  = 0     38   22  
 3  = 23   3     34  
 4  = 0    19    46  
 5  = 0    0      70


1830b2e065cb9c25e35cde4b9d8d104b
2020.16
0calc.com
1830b2e065cb9c25e35cde4b9d8d104b
1. Consider the polynomial \(p(x) = x^3 + (1-i)x^2 + 2i x + 3+4i.\)Calculate \(p(1), p(i),  p(1+i), p(1-i)\).

  

 2. Consider the polynomial \(p(z) = z^3 +2z^2 - z + 4.\)Calculate \(p(2+i), p(2-i), p(1+3i), p(1-3i)\).

  

 3. Let p be a polynomial with real coefficients such that \(p(1-2i) = 1+3i \text{ and } p(3+4i) = 2 - i.\)Calculate \(p(1 +2i), p(2+4i), p(3-4i)\)if any of these are not uniquely determined, enter ? for that value.

  

 Could someone help me with these please? Thanks!


[1. Consider the polynomial Calculate .](/questions/1-consider-the-polynomial-calculate)
========================================================================================


0calc.com
2020.16
1.     Remember  that  i^2  = -1       i^3   =  -i        i^4    =1

 

P(1)  =   (1)^3  + (1 - i)(1)^2  + 2i(1)  + 3 +4i

                =     1   + 1   - i  + 2i  +  3 + 4i

                =      5  +  5i

 

P(i)  = (i)^3 + (1  -i)(i)^2  + 2i(i)  + 3 + 4i

        =  -i   + (1 - i)(-1)  + 2i^2  + 3 + 4i

        =  -i  - 1 + i  + 2(-1) +  3  +  4i

        =     -1   -   2  + 3   +  4i

        =    4i

 

P(1 + i)  =  (1 + i)^3  + (1 - i) (1 + i)^2  + 2i (1 + i)  +  3  + 4i

                Note  that we can write

                 ( 1 + i)  [ (1 + i)^2  +  (1 - i) ( (1 + i)  + 2i ]  +3 + 4i     =

                 (1 + i)  [ (1 + 2i +i^2  + 1  - i^2  + 2i   ] +  3 + 4i  =

                 (1 + i)  [ 1  + 2i  - 1  + 1  + 1  + 2i ]  + 3  + 4i   =

                 (1 + i)  [ 2 + 4i)  + 3 + 4i =

                  (2  + 2i + 4i + 4i^2) + 3 + 4i  =

                  (2  + 6i - 4 ) + 3 + 4i  =

                   (6i - 2) + 3 + 4i  =

                    1 + 10i

 

P(1 - i)  =  (1 - i)^3  + (1 - i)(1 - i)^2  + 2i (1 - i) + 3  + 4i

                And we can write

                (1 - i)  [ (1 - i)^2  +(1 - i)^2  + 2i ]  + 3  + 4i  =

                ( 1 - i)  [ 1  - 2i + i^2  + 1 - 2i  + i^2  + 2i ] + 3 + 4i   =

                (1 - i)  [ [ 1  - 2i  - 1  + 1  -2i  -1  + 2i ] + 3 + 4i   =

                (1 - i) [ -2i]  + 3 + 4i    =

                 -2i  + 2i^2  + 3  + 4i  =

                  -2i  - 2 + 3  + 4i   =

                   1  +  2i

 

 

![cool](/img/emoticons/smiley-cool.gif "cool") ![cool](/img/emoticons/smiley-cool.gif "cool") ![cool](/img/emoticons/smiley-cool.gif "cool")


2.

p(2 + i)   = (2 + i)^3  + 2(2 + i)^2  - (2 + i)  + 4

              =  (2 + i )  [  (2 + i)^2  + 2 (2 + i) - 1 ] + 4

              =  (2 + i)  [ 4 + 4i + i^2  + 4  + 2i  - 1  ] + 4

              =  (2 + i) [ 4 + 4i  - 1  + 4  + 2i  - 1  ]+ 4

             =  (2 + i) [ 6 + 6i ] + 4

              =    12 + 6i + 12i  + 6i^2  + 4

              =    12  + 18i  - 6  + 4

               =    10 + 18i

 

P(2 - i)  =  (2 - i)^3  + 2(2 - i)^2  - (2 - i)  + 4

             =  (2 -i)  [ (2 - i)^2  + 2(2 -i) - 1  ] +  4

             =  (2 -i)  [ 4  - 4i  + i^2  + 4 - 2i - 1  ] + 4

            =  ( 2 -i) [ [ 4  - 4i   - 1  + 4  - 2i  - 1  ]  + 4

             =  ( 2  - i) [ 6 - 6i ] +  4

             =   12 - 6i - 12i  + 6i^2  + 4

              =   12  - 6i  - 12i  - 6 +  4 

              =   10  - 18i

 

P(1 + 3i)  =  (1 + 3i)^3  + 2(1 + 3i)^2  - (1 + 3i)  + 4

                =  ( 1 + 3i) [ ( 1 + 3i)^2  + 2(1 + 3i) - 1  ] + 4

               = (1 + 3i)  [ 1 + 6i + 9i^2 + 2 + 6i - 1 ] + 4

               =  (1 + 3i) [ 1 + 6i - 9 + 2 +6i - 1  ]+ 4

                 = ( 1 + 3i)  [ 12i -7 ] + 4

                 = ( 12i + 36i^2 - 7 - 21i)  + 4

                 =  ( -9i - 36 - 7 ] + 4

                  = - 39  - 9i

 

Note  that   P(2 + i)  and P(2 - i)   only differed by signs  on  the  "i"  term

 

So....we would expect that  P( 1 - 3i)    would  just be    -39 + 9i

 

![cool](/img/emoticons/smiley-cool.gif "cool") ![cool](/img/emoticons/smiley-cool.gif "cool") ![cool](/img/emoticons/smiley-cool.gif "cool")


3.

 

From the results  in   (2)   we  would expect  that

p(1 + 2i)  =  1 - 3i       and

p(3 - 4i)  =  2  + i

 

p ( 2 + 4i)    =    ?      (cannot  be  determined  )

 

 

![cool](/img/emoticons/smiley-cool.gif "cool") ![cool](/img/emoticons/smiley-cool.gif "cool") ![cool](/img/emoticons/smiley-cool.gif "cool")


65057eab13008bc1a0b251f9e3046c67
2021.43
0calc.com
65057eab13008bc1a0b251f9e3046c67
Suppose that  x and y are positive integers such that  (x^2)(y^2)= 46656. What is the sum of all possible values of x?


[Number Theory question](/questions/number-theory-question_9)
=============================================================


0calc.com
2021.43
x          y

 216      1  
 108      2  
 72      3  
 54      4  
 36      6  
 27      8  
 24      9  
 18      12  
 12      18  
 9      24  
 8      27  
 6      36  
 4      54  
 3      72  
 2      108  
 1      216

 Add up all the "x's"


63bfe4810e0d666a7cf413f666a2545d
2021.04
0calc.com
63bfe4810e0d666a7cf413f666a2545d
John counts up from 1 to 13, and then immediately counts down again to 1, and then back up to 13, and so on, alternately counting up and down: What is the 1000th integer in his list?


[counting problem](/questions/counting-problem_27)
==================================================


0calc.com
2021.04
I got 9

  

 This might be a bit cheaty but i made a program do it

  

  

 https://onlinegdb.com/\_Xa6EYxOCj


Let's see if we  can  find a pattern   ......

 

 

1    2     3    4   5    6    7   8    9   10 

11  12  13  12  11  10   9   8    7    6

5    4     3    2    1   2    3   4    5     6

7    8     9   10  11  12  13  12 11  10

9    8     7   6     5   4    3    2    1    2

3    4     5    6    7   8    9  10   11   12

13 12   11  10  9    8    7    6    5     4

3    2     1   2    3    4    5   6    7     8

9   10   11  12  13  12  11 10  9     8

7    6     5   4    3    2    1    2   3     4

5    6     7   8    9   10   11  12 13   11

10  9    8   7    6    5      4   3    2     1

2   3    4    5    6    7     8    9   10   11

12 13 12  11  10   9     8    7   6     5

4   3    2     1  2     3    4    5    6     7

8  9   10   11  12  13   12  11  10   9

8  7    6     5   4     3     2    1   2    3

4   5   6     7    8   9    10  11  12   13

12  11  10    9  8   7     6   5   4    3

2    1    2    3   4   5  6  7  8   9

10  11  12  13   12  11   10  9  8 7

6   5    4     3    2   1   2   3  4   5

6   7   8  9  10  11  12  13  12 11

10  9   8  7   6  5  4   3   2    1

 

The pattern repeats  after  every  120   digit

 

1000  mod 120    =   40

 

The 1000th digit  is   9

 

 

![cool](/img/emoticons/smiley-cool.gif "cool") ![cool](/img/emoticons/smiley-cool.gif "cool") ![cool](/img/emoticons/smiley-cool.gif "cool")


deebdd821b549fb1becc330832f192b3
2020.40
0calc.com
deebdd821b549fb1becc330832f192b3
sinx - cos x = 0 is π/4 + kπ, k E Z on [desmos](https://www.desmos.com/calculator/qcvfbgeavv). However, how would I solve this algebraically over the domain 0 ≤ x < 2π? Give roots to the hundredth.

  

 Thank you!


[Is it possible to solve this algebraically?](/questions/is-it-possible-to-solve-this-algebraically)
====================================================================================================


0calc.com
2020.40
                            sin(x) - cos(x)  =  0

                       [ sin(x) - cos(x) ]2  =  02                   ( square both sides  

 sin2(x) - 2sin(x)cos(x) + cos2(x)  =  0 

 sin2(x) + cos2(x)  - 2sin(x)cos(x)  =  0                    ( rearrange )

                          1 - 2sin(x)cos(x)  =  0                    ( sin2(x) + cos2(x)  =  1 

                             - 2sin(x)cos(x)  =  -1

                               2sin(x)cos(x)  =  1

                                         sin(2x)  =  1                    ( sin(2x)   =  2sin(x)cos(x) )

                                                2x  =  sin-1(1)

                                                2x  =  pi/2

                                                  x  =  pi/4                 ( principal root; extend to get the other roots )


a55a27492d129245a92cd6dde5b700ab
2021.17
0calc.com
a55a27492d129245a92cd6dde5b700ab
Find the product of all constants t such that the quadratic x^2 + tx - 18 can be facgtored in the form (x + a)(x + b), where a and b are integers.


[quadratics](/questions/quadratics_30)
======================================


0calc.com
2021.17
-18  =     

 

-18 *  1    ⇒     t  =  -17

18 * - 1      ⇒   t  =  17

9 *  -2     ⇒      t  =     7

-9 * 2      ⇒      t  =   -7

6 * -3     ⇒       t   =  3

-6 * 3     ⇒       t =   -3

 

 

![cool](/img/emoticons/smiley-cool.gif "cool") ![cool](/img/emoticons/smiley-cool.gif "cool") ![cool](/img/emoticons/smiley-cool.gif "cool")


23650e872e3c7991bdac26baba572513
2020.10
0calc.com
23650e872e3c7991bdac26baba572513
If 45/7 = a+(1/c)/(1/b), where a, b and c are positive integers and b


[posted question off topic by mistake](/questions/posted-question-off-topic-by-mistake)
=======================================================================================


0calc.com
2020.10
a=1; b=1;c=1;d=a + (1/c) / (1/b); if(d==45/7, goto5, goto6);printa, c, b; a++;if(a<100, goto3, 0);a=1;b++;if(b<100, goto3, discard=0; a=1;b=2;c++;if(c<100, goto3, 0)

  

 OUTPUT:

  

 a          c           b

 6          7           3  
 5          7          10  
 4          7          17  
 3          7          24  
 2          7          31  
 1          7          38  
 6         14         6  
 5         14        20  
 4         14        34  
 3         14        48  
 2         14        62  
 1         14         76  
 Note: if you look carefully, you will see a pattern.


ea489188c4e3aa1fb134752afa3735cf
2019.47
0calc.com
ea489188c4e3aa1fb134752afa3735cf
1. Write a matrix representing the system of equations

 x + 2y + z = 5

 2x - y + 2z = 15

 3x + y - z = 8

 Solve the system by transforming your matrix into reduced row echelon form. State the solution as an ordered triple.

  

 2. Solve the system of equations by forming a matrix equation. State your answer as an ordered pair.

 x + 2y = -7

 -3x - 5y = 23


[Please help...](/questions/please-help_34435)
==============================================


0calc.com
2019.47
First one

1   2   1    5

2  -1   2   15             Multiply R1 by -2    add to R2

3   1  -1    8

 

1   2    1    5

0   -5   0    5           Multiply R1 by  -3    add to R3

3   1   -1    8

 

 

1  2    1     5

0  -5   0     5               Multiply R2  by  -1/5

0   -5  -4   -7

 

 

1   2   1     5

0   1    0    - 1     Multiply R2  by  -2    add to R1

0   -5  -4   - 7 

 

1    0     1     7

0    1     0   -1       Multiply  R2 by 5    add to R3

0   -5    -4   -7

 

1     0    1     7

0     1    0    -1        Multiply  R3  by  -1/4

0     0   -4   -12

 

1   0    1     7

0   1    0    -1       Multiply  R3   by -1  add to R1

0   0    1     3

 

1     0    0     4

0     1    0    -1

0     0    1     3

 

Reading the last column  down  ( x, y, z)   =  (4, -1, 3)

 

 

![cool](/img/emoticons/smiley-cool.gif "cool") ![cool](/img/emoticons/smiley-cool.gif "cool") ![cool](/img/emoticons/smiley-cool.gif "cool")


Second one

 

1      2       -7                  Multiply R1 by 3  add to R2

-3   -5       23

 

1     2      -7                 Multiply  R2  by  -2   add to R1

0     1       2

 

1      0     -11

0      1       2

 

Read the last column down and we have that  (x, y)  =  (-11, 2)

 

 

![cool](/img/emoticons/smiley-cool.gif "cool") ![cool](/img/emoticons/smiley-cool.gif "cool") ![cool](/img/emoticons/smiley-cool.gif "cool")


c5b09899c48b9a4596cd3b72380c2103
2020.40
0calc.com
c5b09899c48b9a4596cd3b72380c2103
Suppose that x and y are positive integers such that x^2y^3=46656. What is the sum of all possible values of x?


[Suppose that x and y are positive integers such that x^2y^3=46656. What is the sum of all possible values of x?](/questions/suppose-that-x-and-y-are-positive-integers-such-that)
==================================================================================================================================================================================


0calc.com
2020.40
x^2y^3=46656

  

  x         y

 216     1  
 108     2  
 72     3  
 54     4  
 36     6  
 27     8  
 24     9  
 18     12  
 12     18  
 9     24  
 8     27  
 6     36  
 4     54  
 3     72  
 2     108  
 1     216

 I will let you sum them up.


d6012568f53ecece91b8588acc189e72
2020.05
0calc.com
d6012568f53ecece91b8588acc189e72
Given that a + b = 17, c + d = 20, and (a - d) = (d - c)/2 = 1, find (b + c)/(a - b).


[help](/questions/help_34582)
=============================


0calc.com
2020.05
a=1; b=1;c=1;d=1;p=0;m=a+b;n=c+d;p=(a-d) - (d-c)/2;if(m==17 and n==20 and p==1, goto9, goto10);printa,b,c,d;a++;if(a<50, goto5, 0);a=1;b++;if(b<50, goto5, 0);a=1;b=1;c++;if(c<50, goto5,0);a=1;b=1;c=1;d++;if(d<50, goto5, discard=0;

  

 OUTPUT:

 a       b        c        d

 1       16      15       5

 3       14     14       6

 5       12     13       7

 7       10     12       8

 9        8      11       9

 11       6      10     10

 13      4       9       11

 15      2       8       12


f2d6ec531253866af70b9a12d4bfd71c
2020.29
0calc.com
f2d6ec531253866af70b9a12d4bfd71c
Let x, y, and z be positive real numbers. Find the minimum value of![](/api/ssl-img-proxy?src=https%3A%2F%2Flatex.artofproblemsolving.com%2Ff%2Ff%2F3%2Fff35e4015812d97206d31d9bfc733db67587e13a.png)


[Help Please!!!](/questions/help-please_60819)
==============================================


0calc.com
2020.29
By Cauchy-Schwarz, the minimum value is (1 + 2 + 4)^2 = 49.


a=1; b=1;c=1;p=39;d=(a +2*b+ 4*c) *(4/a + 2/b + 1/c);if(d==36, goto6, goto7);printd, a, b, c;p=p-1;if(p>=1, goto4,0); a++;if(a<50, goto4, 0);a=1;b++;if(b<50, goto4, discard=0; a=1;b=1;c++;if(c<50, goto4, 0)

  

 The minimum value =36 and x, y, z take on an infinite number of values. Here are just a few:

 mv   x y z

 36    4 2 1  
 36    8 4 2  
 36    12 6 3  
 36    16 8 4  
 36    20 10 5  
 36    24 12 6  
 36    28 14 7  
 36    32 16 8  
 36    36 18 9  
 36    40 20 10  
 36    44 22 11  
 36    48 24 12  
  


eb1a0d92ebebcac62b3076cf1b84235a
2019.47
0calc.com
eb1a0d92ebebcac62b3076cf1b84235a
\( Given\ positive\ integers\ x\ and\ y\ such\ that\ x \not = y\ and\ \frac {1}{x} + \frac {1}{y} = \frac {1}{12},\\ what\ is\ the\ smallest\ possible\ positive\ value\ for\ x + y?\)

 I know this is on the website, but, you got 24+24... but x cant be the same as y


[I would like a nudge to the correct answer](/questions/i-would-like-a-nudge-to-the-correct-answer)
===================================================================================================


0calc.com
2019.47
\(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{12}\\ \dfrac{x+y}{xy} = \dfrac{1}{12}\\ \text{Let }x + y = k, xy = 12k.\\ y(k-y) = 12k\\ -y^2 +ky = 12k\\ y^2 -ky+12k = 0\\ y = \dfrac{k+\sqrt{k^2 -48k}}{2}\\ \implies k^2 - 48k \text{ is a perfect square.}\\ k^2 - 48k \ge 0\\ k^2 - 48k = t^2\\ k \le 0\text{(rejected)} \vee k\ge48\\ k \ge 48\\ k \text{ cannot be 48. If } k = 48\text{, } x = y = 24.\\ k \ge 49\\ k = 49 \text{ satisfies the condition that } k^2 - 48k \text{ is a perfect square.}\\ \min(k) = 49\\ \boxed{\min(x + y) = \color{red}49}\)

.

a=1; b=1;c= 1/a + 1/b; if(c==1/12, goto4, goto5);printa, b; a++;if(a<200, goto2, 0);a=1;b++;if(b<200, goto2, discard=0;

 a         b

 156    13  
 84      14  
 60      15  
 48      16  
 36      18  
 30      20  
 **28      21**  
 24      24  
 **21      28**  
 20      30  
 18      36  
 16      48  
 15      60  
 14      84  
 13      156


Exactly!.


OHHHH wow... I just checked here and BOOOOMMMM THX GUYS!


62dbc2b0d707fe58ca1665c927dc8e25
2020.40
0calc.com
62dbc2b0d707fe58ca1665c927dc8e25
The product of the digits of 3214 is 24. How many distinct four-digit positive integers are such that the product of their digits equals 12?


[PLZ HELP ASAP](/questions/plz-help-asap_51)
============================================


0calc.com
2020.40
1134  
 1143  
 1223  
 1232  
 1314  
 1322  
 1341  
 1413  
 1431  
 2123  
 2132  
 2213  
 2231  
 2312  
 2321  
 3114  
 3122  
 3141  
 3212  
 3221  
 3411  
 4113  
 4131  
 4311

  

 ==> 24 numbers  
  


If by "distinct four-digits" you mean "no repeats allowed", then the answer is =0 or none! if you allow repeats as as 1126, then you have a total = 36 such numbers.

  

 1126  1134  1143  1162  1216  1223  1232  1261  1314  1322  1341  1413  1431  1612  1621  2116  2123  2132  2161  2213  2231  2312  2321  2611  3114  3122  3141  3212  3221  3411  4113  4131  4311  6112  6121  6211  Total =  36


67209006476c8774062f9a1a7b3e42eb
2019.47
0calc.com
67209006476c8774062f9a1a7b3e42eb
Brian wants to buy a muffin that costs $0.80. How many different combinations of nickels and dimes can be used to make $0.80?


[Brian wants to buy a muffin that costs $0.80. How many different combinations of nickels and dimes can be used to make $0.80?](/questions/brian-wants-to-buy-a-muffin-that-costs-0-90-how-many)
================================================================================================================================================================================================


0calc.com
2019.47
**Just count them:**

  

 **N       D  
 16      0  
 14      1  
 12      2  
 10      3  
 8        4  
 6        5  
 4        6  
 2        7  
 0        8**


fb32f0b5c064f09d2f78708f7263a304
2020.29
0calc.com
fb32f0b5c064f09d2f78708f7263a304
If 3*sin(x) + 5*cos(x) = 5, then find all possible values of 5*sin(x) - 3*cos(x).


[help](/questions/help_28003)
=============================


0calc.com
2020.29
3sin(x) + 5cos(x) = 5

  

 Using the identity:  sin2(x) + cos2(x)  =  1:

  

                     3sin(x) + 5cos(x) = 5

   3sin(x) + 5·sqrt( 1 - sin2(x) )  =  5

                  5·sqrt( 1 - sin2(x) )  =  5 - 3sin(x)

            [ 5·sqrt( 1 - sin2(x) ) ]2  =  [ 5 - 3sin(x) ]2 

                     25( 1 - sin2(x) ) )  =  25 - 30sin(x) + 9sin2(x)

                          25 - 25sin2(x)  =  25 - 30sin(x) + 9sin2(x)

                               - 25sin2(x)  =  - 30sin(x) + 9sin2(x)

                                             0  =  -30sin(x) + 34sin2(x)

                34sin2(x) - 30sin(x)  =  0

              sin(x)[34sin(x) - 30 ]  =  0

  

 Either  six(x)  =  0     or     34sin(x) - 30  =  0

                   x  =  0                    34sin(x)  =  30

                                                     sin(x)  =  30/34

                                                            x  =  sin-1(x)

  

 For all the solutions, you will need to add  2·n·pi  to each of the above solutions.


528acb5696df8e340d58eb64ae65ddcf
2021.17
0calc.com
528acb5696df8e340d58eb64ae65ddcf
Please help ASAP!!! I need help quick!

![](/api/ssl-img-proxy?src=%2Fimg%2Fupload%2F97717197142c56262a281ecb%2Fdownload3.png)Thank you so much in advance.

 

The Math Whiz


[Please help ASAP!!! I need help quick!](/questions/please-help-asap-i-need-help-quick)
=======================================================================================


0calc.com
2021.17
Mmmm....good question ....here's my best attempt ....

 

a     b         n             a       b       n               a         b       n          

1     3         1     

2     3         8            2       5       32              2        7      128       

3     3       27            3       5      243 

4     3       64            4       5     1024

5     3      125                  

6    3       216

7    3       343

8    3       512

9    3       729

10  3     1000

11   3     1331

12  3      1728

 

 

![cool](/img/emoticons/smiley-cool.gif "cool") ![cool](/img/emoticons/smiley-cool.gif "cool") ![cool](/img/emoticons/smiley-cool.gif "cool")


You did not miss any! The answer of 16 integers that satisfy n is correct!


7c6d3cab26bdf7e31dcc70c9f81de249
2019.47
0calc.com
7c6d3cab26bdf7e31dcc70c9f81de249
Right $\triangle ABC$ has hypotenuse $AB$. Square $BCDE$ has $BC$ as one of its sides. Suppose that the area of $BCDE$ is a prime number. If $AB$ and $AC$ are each integers less than $20$, how many possibilities are there for their lengths?


[Help please?](/questions/help-please_79935)
============================================


0calc.com
2019.47
 

I think there's only one possibility.  If the area of that square is a prime number, then either its width or its height has to be 1.  Let's say its width.  Any value for the width other than 1, when multiplied by the height will give a product that isn't prime. 

 

.


I believe this is correct

 

AB is the hypotenuse, so  AC  and AB are legs

 

So

 

BC^2  =  AB^2  - AC^2  =   area of  BCDE

 

BC^2  =  (AB + AC) (AB - AC)

 

If we let (AB - AC)  =  1......then  BC^2  will have only one prime factor, (AB + AC)

 

So  we have the following possibilites

 

AB  AC     BC   BC^2

19  18     √37     37

16  15     √31     31

15  14     √29     29

12  11     √23     23

10   9      √19    19

9     8       √17   17

7    6        √13   13

6    5        √11    11

4   3         √7      7

3   2         √5      5

2   1         √3      3

 

![cool](/img/emoticons/smiley-cool.gif "cool") ![cool](/img/emoticons/smiley-cool.gif "cool") ![cool](/img/emoticons/smiley-cool.gif "cool")


1db8c7f398980c7af508e115c4d91344
2021.43
0calc.com
1db8c7f398980c7af508e115c4d91344
There are 12 ordered pairs of integers (x,y) that satisfy x^2 + y^2 = 25.  What is the sum of all the x-values?


[help Number Theory](/questions/help-number-theory_32)
======================================================


0calc.com
2021.43
For each value of $x,$ there is a negative value of $x.$ So, the answer to this problem is $\boxed0$


The answer is stated in the question !! There are 12 pairs as follows:

  

  x       y

   0     -5         
 -3     -4  
 3      -4  
 -4    -3  
 4     -3  
 -5     0  
 5      0  
 -4    3  
 4     3  
 -3   4  
 3    4  
 0    5


31fd474a7eb1e2c887ae53cfbd78f563
2021.04
0calc.com
31fd474a7eb1e2c887ae53cfbd78f563
what is the answer to: Find x, y, and z such that x³+y³+z³=k, for each k from 1 to 100


[What is the answer?](/questions/what-is-the-answer_36)
=======================================================


0calc.com
2021.04
I don't know! ![sad](/img/emoticons/smiley-cry.gif "sad")


I don't know! ![sad](/img/emoticons/smiley-cry.gif "sad")


a=0;p=1; b=0;c=0;n=(a^3+b^3+c^3);if(a!=b and a!=c and b!=c and n<100, goto loop, goto next);loop:printp," - ", a, b, c," = ",n;p=p+1;next:a++;if(a<100, goto4,0);a=0;b++;if(b<100, goto4, 0);a=0;b=0;c++;if(c<100, goto4,0)

  

 OUTPUT:

 n     x y z       sum

 1  -  2 1 0  =  9  
 2  -  3 1 0  =  28  
 3  -  4 1 0  =  65  
 4  -  1 2 0  =  9  
 5  -  3 2 0  =  35  
 6  -  4 2 0  =  72  
 7  -  1 3 0  =  28  
 8  -  2 3 0  =  35  
 9  -  4 3 0  =  91  
 10  -  1 4 0  =  65  
 11  -  2 4 0  =  72  
 12  -  3 4 0  =  91  
 13  -  2 0 1  =  9  
 14  -  3 0 1  =  28  
 15  -  4 0 1  =  65  
 16  -  0 2 1  =  9  
 17  -  3 2 1  =  36  
 18  -  4 2 1  =  73  
 19  -  0 3 1  =  28  
 20  -  2 3 1  =  36  
 21  -  4 3 1  =  92  
 22  -  0 4 1  =  65  
 23  -  2 4 1  =  73  
 24  -  3 4 1  =  92  
 25  -  1 0 2  =  9  
 26  -  3 0 2  =  35  
 27  -  4 0 2  =  72  
 28  -  0 1 2  =  9  
 29  -  3 1 2  =  36  
 30  -  4 1 2  =  73  
 31  -  0 3 2  =  35  
 32  -  1 3 2  =  36  
 33  -  4 3 2  =  99  
 34  -  0 4 2  =  72  
 35  -  1 4 2  =  73  
 36  -  3 4 2  =  99  
 37  -  1 0 3  =  28  
 38  -  2 0 3  =  35  
 39  -  4 0 3  =  91  
 40  -  0 1 3  =  28  
 41  -  2 1 3  =  36  
 42  -  4 1 3  =  92  
 43  -  0 2 3  =  35  
 44  -  1 2 3  =  36  
 45  -  4 2 3  =  99  
 46  -  0 4 3  =  91  
 47  -  1 4 3  =  92  
 48  -  2 4 3  =  99  
 49  -  1 0 4  =  65  
 50  -  2 0 4  =  72  
 51  -  3 0 4  =  91  
 52  -  0 1 4  =  65  
 53  -  2 1 4  =  73  
 54  -  3 1 4  =  92  
 55  -  0 2 4  =  72  
 56  -  1 2 4  =  73  
 57  -  3 2 4  =  99  
 58  -  0 3 4  =  91  
 59  -  1 3 4  =  92  
 60  -  2 3 4  =  99  
  


789530e4d9968d3eab642846704df591
2021.31
0calc.com
789530e4d9968d3eab642846704df591
Determine the complex number z satisfying the euqation $3z + 4i \overline{z} = 1 - 8i + 2 + 5i$.


[help plz](/questions/help-plz_10265)
=====================================


0calc.com
2021.31
z =  a +  bi        z (complement)   =  a  - bi               i^2  =  -1

 

3 (a + bi) +  4i (a - bi)   =  3 - 3i

 

3a  +  3bi  +  4ai  - 4bi^2   =  3  -  3i

 

3a   +  (4a  + 3b)i  + 4b  =  3  - 3i

 

(3a + 4b)   +  (4a  + 3b) i  =   3   - 3i               implies  that

 

3a + 4b  =    3    ⇒   12a  + 16b  =  12      (1)

4a + 3b   =  -3   ⇒  -12a  -9b  =    9        (2)

 

Add ( 1)  and (2)

7b   = 21

b   =  3

 

3a   +  4 (3)  =  3

3a  +  12  =  3

3a  =  3 - 12

3a  =    -9

3a  =   -9 / 3

a  =  -3

 

z =   -3    +   3 i

 

 

![cool](/img/emoticons/smiley-cool.gif "cool") ![cool](/img/emoticons/smiley-cool.gif "cool") ![cool](/img/emoticons/smiley-cool.gif "cool")


-3 + 3i


f1966c178a7bf5d0892b00b082a119e5
2021.10
0calc.com
f1966c178a7bf5d0892b00b082a119e5
How many 5-digit numbers satisfy the following conditions:

 **The number contains only digits 1, 2, 3, 4, 5.** 

 **The number starts with 1, 3, or 5.** 

 **Each pair of adjacent digits differs by exactly 1.** 

 **For example, 32343, 12345, 54545**


[How many 5-digit numbers satisfy the following conditions:](/questions/how-many-5-digit-numbers-satisfy-the-following-conditions)
==================================================================================================================================


0calc.com
2021.10
Here's what I get......

 

1   2    1    2      1

1   2    1    2      3

1   2    3    2      1

1   2    3    2      3

1   2    3    4      3

1   2    3    4      5

3   2    1    2      1

3   2    1    2      3

3   2    3    2      1

3   2    3    2      3

3   4    3    4      3

3   4    5    4      5

5   4    3    2      1

5   4    3    2      3

5   4    3    4      3

5   4    3    4      5

5   4    5    4      3

5   4    5    4      5

 

Did I miss any  ???

 

![cool](/img/emoticons/smiley-cool.gif "cool") ![cool](/img/emoticons/smiley-cool.gif "cool") ![cool](/img/emoticons/smiley-cool.gif "cool")


total nos=24.

but, some glitches in my code. can anyone spot it?

12121

12123

12321

12323

12343

12345

32121

32123

32321

32323

32343

32345

34321

34323

34343

34345

34543

34545

*34565

*34567

54321

54323

54343

54345

54543

54545

26

python code#

total=0  
 f=[0]*5  
 for i in range(12121,54546):  
   temp=i  
   for j in range(5):  
     f[j]=temp//(10**(4-j))  
     temp%=(10**(4-j))  
   #print(f[0])  
   if f[0] in range(1,6,2):  
     flag=0  
     for k in range(1,5):  
         
       if f[k]>0 and abs(f[k]-f[k-1])==1:  
         flag+=1  
     if(flag==4):  
       print(f[0]*10000+ f[1]*1000+ f[2]*100+ f[3]*10+ f[4])  
       total+=1  
     flag=0    
 print(total) 


12121 , 12123 , 12321 , 12323 , 12343 , 12345 , 32121 , 32123 , 32321 , 32323 , 32343 , 32345 , 34321 , 34323 , 34343 , 34345 , 34543 , 34545 , 54321 , 54323 , 54343 , 54345 , 54543 , 54545 , **Total =24 such numbers**

