OUVRAGE REPONDANT aux programmes officiels de 1866 

LIBRAIRIE DE L. HACHETTE ET CiB 

A LA STATIQUE ET A LA DYNAMIQUE 

1 . La mecanique repose sur trois principes dont on peut logiquement déduire toutes les vérités composant la science : 

, ce sont comme les axiomes de la mécanique ; ils diffèrent cependant des axiomes tels qu'on les entend en géométrie, ; en ce qu'ils n'ont pas le même degré d'évidence. On peut avec plus de justesse les comparer au postulatum sur lequel j Euclide a fondé la théorie des parallèles. L'accord des résul-\ tats logiques qu'on en déduit avec les faits observés, et prin-! j cipalement avec les mouvements du système planétaire, | permet d'en affirmer la vérité. 

2. Le premier des trois principes est le principe de l'inertie. On l'exprime en disant qu'un point matériel ne peut de lui-même sortir du repos s'il est en repos, ni modifier la direction ou la vitesse de son mouvement, s'il est animé d'un certain mouvement dans l'espace. L'inertie de la matière à l'état de 

| repos est une propriété générale qui paraît évidente ; les 

MÉCANIQUE. ENS. SPÉCIAL. 3* ANN. 1 

anciens en avaient la notion exacte, et ils ont donné le nom d'inerte à toute matière inanimée, pour exprimer qu'elle ne renferme en elle-même aucun principe de mouvement spontané L'inertie de la matière à l'état de mouvement n'est pas d'une évidence aussi intuitive; c'est une idée beaucoup moins ancienne ; elle date de la création de la dynamique moderne au xvn° siècle, par Galilée, iîuvghens et Newton. Le premier principe renferme donc en réalité deux propositions de dates différentes dans l'histoire de la mécanique : l'une, la plus ancienne, s'applique au repos ; l'autre, la plus récente, s'applique au mouvement rectiligne et uniforme, et peut être considérée comme une généralisation de la première ; le repos n'est en effet qu'un cas particulier du mouvement 

3. Le principe de l'inertie permet de définir l'expression de force. Une force appliquée à un point matériel est ce qui modifie, ou ce qui tend à modifier l'état de repos ou de mouvement de ce point. Considérons, pour éclaircir cette définition un point matériel M qui parcourt une certaine trajectoire ÀB. Soit M la position du point à un certain moment, M' la position qu'il occupe au bout d'un intervalle de temps très-court, 0. Appelons v la vitesse du mobile à son passage au point M ; la direction de cette vitesse est la tangente MT à la tra-Flg *' jectoire. En vertu du principe de 

l'inertie, le point matériel, abandonné à lui-même, parcourrait dans le temps 0 la longueur MM" — vO prise sur la tangente Il parcourt en réalité l'arc de courbe MM'; et par suite, on constate au bout du temps 0 un écart M" M' entre la position réelle du point et la position que lui assignerait la loi de l'inertie. Cet écart nous révèle l'intervention d'une force qui, pendant tout l'intervalle de temps 0, agit sur le point dans une direction parallèle à M"M' pour le faire tomber, pour ainsi dire, du point M" sur le point M', pendant que l'inertie le transporte d'un mouvement uniforme le long de la droite MM". Nous avons, en cinématique, 

posé le mouvemçnt réel du point mobile en deux mouvements : l'un, suivant MM" est uniforme; l'autre, suivant M"M' est uniformément varié, et l'accélération j de ce mou-2 

vement est égale à la limite du rapport —p—. L'accéléra tion est donc proportionnelle à M"M', c'est-à-dire à la déviation produite par l'intervention d-e la force. On peut par conséquent considérer l'accélération comme proportionnelle à la force elle-même ; car la force n'est connue que par son effet, et il est par conséquent naturel de la regarder comme proportionnelle à cet effet. 

4. L'expression, point matériel, dont nous venons de nous servir, a besoin d'être délinie. Un point matériel est un corps réduit par la pensée à des dimensions tellement petites qu'on puisse l'assimiler à un véritable point géométrique ; un point matériel n'a pas de forme délinie ; sa forme est indifférente. On obtient des points matériels en décomposant un corps en une infinité de parties toutes infiniment petites dans tous les sens ; les solides élémentaires que l'on obtient ainsi forment le corps par leur réunion. La force étant mesurée par l'accélération qu'elle imprime à un point matériel, nous pourrons définir le rapport de deux forces par le rapport des accélérations'qu'elles imprimeraient successivement à un même point matériel sur lequel elles agiraient seules. Une force est égale au double, au triple, au quadruple, d'une autre force, si elle imprime au même point matériel une accélération double, triple, quadruple de l'accélération produite par celle-ci. 

5. Le second principe de la mécanique est le principe de l'indépendance des effets des forces les unes à l'égard des autres, et de toutes à l'égard du mouvement antérieurement acquis 

En vertu de ce principe, pour trouver l'effet produit par une force particulière appliquée à un point matériel en mouvement et sollicité par d'autres forces, on peut chercher l'effet produit sur le point en repos et sollicité par cette force particulière à l'exclusion de toutes les antres ; puis composer successivement tous les effets de même ordre 

qu'on a déterminés séparément. Supposons, par exemple, qu'un point matériel M, animé à un certain instant d'une vitesse V, soit sollicité en même temps par des forces F, F, F", qui, prises individuellement, imprimeraient à ce point, dans des directions définies, des accélérations j, j', f... En vertu du mouvement antérieurement acquis, c'est-à-dire en vertu 

force F, prise seule, ferait parcourir dans le temps 0 au point mobile partant du repos. On obtiendra de même les longueurs M'À' = 7/03, M'A" = M'À"' = -îi'"02, correspondantes aux forces F', F", F'", considérées individuellement Cela posé, pour trouver le déplacement effectif du point, on composera ensemble, comme on l'a vu en cinématique les déplacements partiels M'A, M'A', M'A", M'A'", dus aux forces, en construisant le polygone M'AA',A",R, et la droite M'R qui ferme ce polygone, sera le déplacement cherché. Tout se passe donc, en vertu du second principe, comme si aux forces données F, F', F", F'" on substituait une force unique R, agissant dans la direction M'R, et produisant sur le point matériel une accélération J telle que l'on ait l'égalité : 

Cette force R s'appelle la résultante des forces F, F', F", F'", ... ; celles-ci s'appellent les composantes de la force R. La résultante et les composantes sont respectivement proportionnelles aux accélérations J, j, j', j", j'", ..., et ces accélérations sont proportionnelles aux côtés M'R, M'A, M'A', M'A", M'A'", qui concourent à former le polygone M'AA', A", R ; 

de l'inertie, le point M parcourra pendant un certain temps 0,que nous supposerons très-court, un espace MM'=V0 dans la direction de la tangente à sa trajectoire Pour avoir l'effet produit par la force F, il faudra prendre sur la direction M'F.de cette force une longueur M'A = ?.?02 ; cette longueur M'A serait celle que la 

on en déduit donc ce theorème : Lorsque plusieurs forces, agissant simultanément sur un même point, sont représentées en grandeur et en direction par des droites, leur résultante c'est-à-dire la force unique équivalente à l'ensemble des forces données, est aussi représentée en grandeur et en direction par le dernier côté du polygone construit en portant les droites données bout à bout, chacune parallèlement à sa direction propre. 

La règle du parallélogramme des forces, qui est d'un usage très-fréquent en mécanique, n'est qu'un cas particulier de ce théorème : Lorsque deux forces agissent simultanément sur un point matériel, et qu'on les représente en grandeur et en direction par des droites, la résultante de ces deux forces est représentée en grandeur et en direction par la diagonale du parallélogramme construit sur les deux droites composantes 

De la règle particulière du parallélogramme, il serait aisé de remonter à la proposition générale, relative au polygone des forces. 

On doit remarquer cette manière de représenter les forces par des droites finies : une force F est déterminée quand on connaît son point d'application, sa 

point d'application de la force, AC la direction dans laquelle elle agit ; A prenons sur cette direction, à partir F'K" 3 

du point À, une longueur AB, égale à la force F, estimée à une échelle arbitraire; la droite finie AB représentera tout ce qu'il est nécessaire de connaître pour définir entièrement la force F. Par direction de la force, on doit entendre non-seulement la droite indéfinie suivant laquelle elle sollicite le point, mais encore le sens particulier dans lequel s'exerce cette action; autrement, on pourrait confondre la force F avec une force égale et opposée. 

Pour distinguer l'une de l'autre deux forces égales et agissant en sens contraires, suivant la même direction ou suivant des directions parallèles, on convient d'attribuer à l'une le signe -f- qu'on peut sous-entendre, et à l'autre le 

direction et son intensité. Soit A le 

signe— ; la force F, considérée comme positive, représentera une force égale et contraire à la force — F ; le signe — indique seulement que les forces F et :— F agissent l'une en sens contraire de l'autre. 

6. Le troisième principe de la mécanique est le principe de l'égalité de l'action et de la réaction. Un exemple fera comprendre en quoi il consiste. Considérons un corps pesant posé sur une table ; ce corps presse la table de tout son poids : voilà l'action ; elle est due à la pesanteur, et s'exerce verticalement de haut en bas. La table à son tour exerce sur le corps, suivant la verticale, mais de bas en haut, une certaine pression égale et contraire à l'action qu'elle subit : c'est la réaction. L'équilibre du corps sur la table résulte de la coexistence de ces deux forces égales et contraires : le poids du corps, qui tend à le faire descendre et le presse contre la table, et la réaction de la table qui, en vertu du troisième principe, est égale' et contraire à l'action et presse la fable contre le corps. 

Si, au lieu d'être en repos, le corps que nous venons de considérer était en mouvement, le troisième principe serait moins évident, mais il s'appliquerait encore ; le corps subirait à chaque instant de la part de la table une réaction égale et contraire à l'action qu'il exercerait sur elle ; mais on ne pourrait pas affirmer d'avance que cette action soit égale au poids du corps. 

C'est en vertu du troisième principe qu'une personne ne produit aucun mouvement général du corps en essayant de se soulever par les cheveux. Il est vrai qu'en faisant cette expérience, elle applique à son corps une certaine force qui tend à l'élever. Mais à cette force correspond une réaction égale et contraire, et comme ces deux forces sont appliquées au même système matériel, à savoir, au corps de l'expérimentateur, l'une détruit le mouvement général que l'autre tendrait à lui communiquer. 

7. Pour formuler avec netteté le principe de l'action et de la réaction, il est bon de commencer par exposer sommairement la théorie moléculaire sur laquelle on fait reposer aujourd'hui toute la physique. 

On admet que tous les corps qui se trouvent dans l'u nivers, qu'ils soient solides, liquides ou gazeux, sont formés par l'agrégation d'un nombre extrêmement grand de particules très-petites, appelées molécules, séparées les unes des autres par des intervalles du même ordre de grandeur que les dimensions propres de ces particules. Les corps solides sont ceux où l'arrangement des molécules constitutives du corps est fixé de telle sorte qu'il faille un grand effort pour : faire varier sensiblement leurs positions relatives. Les corps liquides ou gazeux, qu'on réunit sous la dénomination commune de corps fluides, ont, au contraire, des molécules libres pour ainsi dire de glisser ou de rouler les unes sur les autres, de telle sorte que ces sortes de corps n'ont pus par eux-mêmes de forme extérieure bien déterminée. Les molécules sont tellement petites, qu'au point de vue mécanique on peut les confondre sans aucune erreur avec les points matériels que nous avons définis plus haut. Il y a cependant une différence essentielle entre ces deux expressions : point matériel s'applique à un objet fictif, géométriquement défini, et n'existant que dans la pensée, tandis que molécule indique un objet physique auquel une théorie généralement admise attribue une existence réelle. 

Les forces naturelles établissent un lien entre toutes les molécules que la théorie précédente sépare les unes des autres ; et c'est ici qu'intervient le principe de l'action et de la réaction. 

Considérons en particulier deux molécules A etB ; on admet que chacune d'elles exerce une 

action sur l'autre; que cette action i— ? 

est dirigée suivant la droite AB ( 

qui joint les deux molécules ; que *' 

l'action de A sur B est égale et contraire à l'action de B sur A ; qu'enlin cette action mutuelle varie avec la distance AB suivant une certaine loi. Si l'action de B sur A est une force F, dirigée de A vers B, l'action de A sur B sera une force — F, égale et contraire à F, et dirigée de B vers A. Les actions mutuelles sont alors attractives. Si au contraire l'action de A sur B est une fpree F', dirigée suivant le 

longement de la droite AB, l'action de B sur À sera une 

force — F', égale et contraire i 'i—+r> à F', et dirigée suivant le pro-c 

pro-c de B À. Les actions 

Mais, répulsives ou attractives , les actions sont toujours mutuelles, c'est-à dire égales et contraires, en vertu du troisième principe. 

Chaque molécule de l'univers agit sur toutes les autres molécules, et subit à la fois de la part de celles-ci des actions égales et contraires aux actions qu'elle exerce sur elles. Le principe de l'inertie refuse à la molécule la propriété de modifier d'elle-même son mouvement ou son repos ; la théorie moléculaire accorde à chaque molécule la propriété d'agir sur toutes les autres, qui à leur tour réagissent sur elle-même. 

Il résulte du troisième principe que si, par un moyen quelconque, on rend invariable la distance AB des deux molécules A etB, les actions mutuelles qu'elles exercent ne contribueront en aucune façon à faire prendre un mouvement au système ainsi formé et supposé en repos. Car si l'une des forces F tend à entraîner le système dans le sens AB, la force égale et contraire — F tend à l'entraîner en sens opposé. 

8. Les forces appliquées aux diiférents points d'un système matériel peuvent être partagées en deux classes : les forces intérieures et les forces extérieures. Les forces intérieures sont celles qui proviennent de l'action des points du système les uns sur les autres ; elles sont donc toujours binaires, mutuelles ou conjuguées, et à chacune correspond une force égale et opposée, appliquée au système comme la première. Les forces extérieures sont celles qui proviennent de l'action exercée sur le système par les points situés au dehors ; le troisième principe nous apprend qu'elles sont encore mutuelles, c'est-à-dire qu'à chacune correspond une force égale et opposée, mais cette réaction n'est pas appliquée à un point du système considéré, et on n'aura pas à en tenir compte ; les forces extérieures figureront donc isolées dans les 

PROBLEME GENERAL DE LA MECANIQUE. 9 

sonnements, tandis que les forces intérieures formeront deux à deux des groupes de forces conjuguées. 

Une force intérieure pour un système peut devenir force extérieure lorsque, par une décomposition convenable du système, on isole l'un de l'autre les deux points entre lesquels s'exerçaient cette force et la force égale et opposée. Par exemple, le poids d'un corps placé à la surface de la terre et la réaction de la terre sur ce corps forment un groupe de forces intérieures mutuelles, quand on considère le système résultant de l'ensemble du corps et de la terre. Le poids du corps est une force extérieure pour le système matériel formé par le corps pris séparément. 

De même, l'attraction exercée par la terre sur le soleil est égale à l'attraction exercée par le soleil sur la terre, et ces deux forces égales et contraires constituent un groupe de forces conjuguées dans le système matériel formé du soleil et de la terre, pris ensemble. L'attraction du soleil sur la terre est une force extérieure pour la terre, considérée seule. 

9. Le problème général de la mécanique peut être posé en ces termes : 

Un corps ou un système de corps étant donné, quel mouve. ment prendra-t-il sous l'action de forces données, constantes ou variables? Ou quelles forces faut-il appliquer à ce corps ou à ce système pour qu'il prenne un mouvem ent donné ? 

Le problème de l'équilibre est un cas particulier de ce problème général : Un corps ou un système de corps donnés est sollicité par des forces données ; à quelles conditions doivent satisfaire ces forces pour que le corps ou le système reste en équilibre ? Nous commencerons l'étude de la mécanique par traiter le problème de l'équilibre, parce qu'il est plus simple et plus élémentaire que le problème général du mouvement Le premier est l'objet de la statique, le second celui de la dynamique. 

CHAPITRE PREMIER ÉQUILIBRE DU PO 1 NT MflTÉRIEL 

; 10. Un point matériel, entièrement libre dans l'espace, ! et supposé en repos, reste indéfiniment en repos s'il n'est ! sollicité par aucune force. Ce point prend un certain mouve-j ment sous l'action d'une force unique, si petite qu'elle soit, ' qui vient à le solliciter, et ce mouvement commence dans j la direction même de la force. 

j Si le point est sollicité à la fois par deux forces, le point ! prend encore en général un certain mouvement dans une di-i rection- particulière ; mais il peut se faire qu'il demeure en repos ; ce cas particulier a lieu quand les deux forces qui sollicitent le point sont égales et agissent en sens opposés. On dit alors qu'elles se détruisent; c'est le cas le plus simple de l'équilibre. 

Lorsque le point est sollicité par trois forces ou plus de trois, il est possible qu'il demeure en repos ; mais il faut pour cela que les forces satisfassent à certaines conditions que nous allons chercher. 

1 1 . Avant tout nous poserons les axiomes et les définitions qui suivent. 

Lorsque plusieurs forces F, F', F", ... sollicitent un point matériel, et qu'elles ne se font pas d'elles-mêmes équilibre, le point prend un certain mouvement qu'on peut toujours empêcher en appliquant au point, en sens contraire du mouvement qu'il va prendre, une nouvelle force R d'une intensité convenablement choisie. Alors les forces F, F'. F", ... et R se font équilibre. Or si la force R sollicitait seule le point, on la tiendrait en équilibre par une force — R égale et opposée. Au point de vue de l'équilibre du point, il est 

donc indifférent de considérer soit le système de forces F, F', F",.., etR, 

Donc enfin la force — R est équivalente à l'ensemble des forces F, F', F", ... ; on dit alors que — R est la résultante des forces données. 

Dans un système de forces en équilibre, chaque force est égale et contraire à la résultante de toutes les autres. 

42. Lorsque les forces F, F', F", ... agissent toutes suivant la même direction et dans le même sens, leur résultante est égale à leur somme, c'est-à-dire qu'aux forces F, F', F", ... on peut substituer une force unique, agissant suivant la même direction et dans le même sens, et égale à la somme 

. L'ensemble de ces forces sera donc tenu en équilibre par une force unique R, égale à cette somme, et dirigée en sens contraire. 

Quand deux forces F et F' agissent sur un point matériel suivant la même direction, mais en sens opposés, la résultante des deux forces F et F' est égale en valeur absolue à la différence F — F' de ces 

ry M J deux forces, et elle est dirigée dans 

Fjg 6 le sens de la plus grande ; de sorte que 

l'ensemble de ces deux forces sera tenu en équilibre par une force agissant suivant la direction des forces données, dans le sens de la plus petite, et égale à l'excès de la plus grande sur la plus petite. 

Chacune des forces F et F' peut être considérée comme la résultante ou la somme de forces agissant dans le même sens qu'elle. 

De là résulte la règle suivante : 

Lorsque plusieurs forces agissent sur un point matériel suivant la même direction, . les unes dans un sens, les autres en sens opposé, leur résultante est égale à la différence entre la somme de toutes les forces, agissant dans un sens, et la somme 

AGISSANT SUIVANT LA MEME DROITE. t3 

de toutes les forces agissant en sens contraire, et elle est dirigée dans le sens de la plus grande de ces deux sommes. 

Si l'on attribue des signes aux forces données, le signe + à celles qui agissent dans un sens, le signe — à celles qui agissent en sens contraire, on pourra dire que la résultante de ces forces est égale en grandeur et en signe à la somme algébrique des forces données ; elle sera exprimée par l'équation : 

R = F + F' + F"_|_...; 

la force — R, jointe aux forces F, F', F", ... complétera l'équilibre. 

43. La môme règle s'applique identiquement à des forces agissant suivant une même direction, sur différents points matériels distribués le long de cette direction à des distances invariables les uns des autres. 

Soient A et B deux points matériels situés à une distance AB invariable dans un sens 

comme dans l'autre. Si l'on —i—: 2—!—> 

applique au système formé Fig. 7-par 

forces égales, F et — F, agissant en sens opposés suivant la direction de la droite AB qui les joint, on peut regarder comme évident que ces forces se font équilibre; car leur effet ne peut être que d'altérer la distance AB, laquelle jest par hypothèse invariable. La force F appliquée au point B peut donc être tenue en équilibre aussi bien par la force 1— F appliquée au point À de sa direction, que par une force |— F appliquée au point B lui-même, pourvu que le point A soit supposé invariablement lié au point B. Il en résulte qu'une force donnée peut être supposée appliquée en un point quelconque de sa direction ; ce transport des forces est d'ailleurs entièrement fictif et sert seulement à opérer certaines transformations nécessairesàlasolutiondes problèmes de statique. 

• 14. Nous avons déjà vu (§ o) que plusieurs forces appliquées en même temps à un même point se composent en une force unique en suivant la même règle que pour la composition 

des vitesses ou des accélérations. Mais il n'est pas inutile de faire voir que la démonstration de cette proposition peut être affranchie de toute considération de cinématique, et qu'elle résulte des principes et des déiinitions de la statique pure. 

45. Nous commencerons par observer que la résultante de deux forces qui font entre elles un angle quelconque, est dirigée dans le plan des ileux forces; et que si les deux forces sont égales, leur résultante est dirigée suivant la bissectrice de leur angle. 

Un point au repos, sollicité par deux forces à la fois, prend un certain mouvement unique et parfaitement déterminé ; or tout est symétrique par rapport au plan des deux forces, et si le point sortait de ce plan, il faudrait qu'il choisît entre l'un ou l'autre de deux déplacements symétriques également possibles ; ce choix étant impossible et le fait du mouvement étant cependant nécessaire, il faut que les deux déplacements également possibles coïncident et n'en fassent qu'un, ce qui suppose qu'ils sont situés dans le plan des deux forces. La résultante des deux forces, qui est égale et contraire à la force capable de maintenir le point au repos, est donc dirigée dans le môme plan. 

On démontrerait par un raisonnement tout semblable, en s'appuyant sur la symétrie, que la résultante de deux forces égales appliquées à un môme point est dirigée suivant la bissectrice de l'angle de ces deux forces. 

46. On peut .ajouter que la résultante de deux forces égales qui font un angle constant est proportionnelle à l'in tensité commune de ces forces, de sorte que si elles deviennent à la fois doubles, triples, ..., la résultante devient en môme temps double, triple, .... 

En effet, si les deux forces égales F et F', agissant sur le point M, ont pour résultante la force 11, dirigée suivant la bissectrice MR 

de l'angle FMF' , deux nouvelles 

forces F et F', égales aux premières, et appliquées au point M suivant les mêmes directions, auront pour résultante une nouvelle force R, dirigée encore suivant MR. Le point M peut donc être 

déré comme sollicité par deux forces, l'une égale à 2F, agissant suivant MF, l'autre égale à 2F', agissant suivant MF', et ces deux forces ont pour résultante une force 2R, suivant la bissectrice de l'angle FMF'. En général, si toutes les forces qui sollicitent un point sont augmentées ou diminuées dans un même rapport sans altération de leur direction leur résultante est augmentée dans ce même rapport, et sa direction reste la même. Si l'on représente par des droites finies les forces et leur résultante, la même ligure peut les représenter après comme avant l'altération, par un simple changement d'échelle. 

17. Proposons-nous eniin d'établir la règle du parallélogramme des forces pour le cas quelconque où les deux forces F et F' sont dans un rapport quelconque. Nous y parviendrons au moyen des lemmes suivants : 

<1° Si les sommets opposés A et C d'un losange ABCD sont réunis l'un à l'autre d'une manière invariable et qu'on applique aux points À et C, suivant les côtés AB, 

AD, CB, CD, quatre forces égales F, F', F" et F'", le système des points A et C restera en équilibre. 

En effet, la diagonale AC du lo-D 

sange est bissectrice des angles lg" ' 

BAD, BCD que font entré elles les forces dans chaque groupe. Les deux forces F et F' composées ensemble ont une résultante R appliquée en A et dirigée suivant C A. De même les forces F" et F'" ont une résultante R' égale à R, appliquée en C et dirigée suivant C A. Les deux forces égales R et R'ap pliquées aux extrémités de la tige rigide AC se font équilibre. 

2° Si les sommets A et C d'un parallélogramme ABCD sontréunisinvariable- B r. F. K r. 

ment l'un à l'autre, et qu'on applique aux points A et C, suivant 

les côtés AB, AD, CR, A F F, H L CD, des forces F,, F a, Fis. io. 

F4. proportionnelles aux longueurs de ces côtés, et par 

suite égales deux à deux , le système des points A et C sera en équilibre. 

Supposons d'abord que le côté BC contiénne le côté AB un nombre entier de fois, 4 fois par exemple. 

On pourra partager le parallélogramme A B C D en quatre losanges ABEF, FEGII, IIGKL, LKCD ; imaginons qu'on réunisse les points E, G, K, F, H, L aux points À et C de manière à former un système invariable. Nous pouvons partager de même les forces égales F, etF4 en quatre parties égales à F,, et supposer ces parties appliquées l'une au point A, l'autre au point F, la troisième au point H et la quatrième au point L, pour la force Fa ; la première au point C, la seconde au point K, la troisième au point G, la quatrième au point E, pour la force F4. Nous pouvons encore, sans troubler l'équilibre, appliquer aux points E et F, suivant le côté FE, deux forces égales et contraires, égales toutes deux à F, ; faire de même aux points G et II, et aux points L etK. En définitive, nous aurons substitué au système primitif des quatre forces F,, F,, F3, F4, le système suivant, qui est i| équivalent au point de vue de l'équilibre : 

1 ! Or, chacun des losanges partiels est séparément en équi-i 

équi-i L'ensemble est donc aussi en équilibre, et par suite, \ les forces F,, F,, F3, F4, se font équilibre. 

18. Supposons ensuite que les deux côtés du parallé-,, logramme soient entre eux comme deux nombres entiers, 

V : m et n. La proposition sera encore vraie. 

; j Nous pouvons en effet partager le parallélogramme en n 

i parallélogrammes égaux, dans chacun desquels le grand 

côté sera égal à m fois le petit. Supposons que le rapport ;| ' des côtés soit f par exemple. Nous pourrons diviser le côté 

AB en trois parties égales aux points E et G, et menant les parallèles EF, G H, nous 

aurons divisé le parallélo- B C 

gramme en trois parallélogrammes égaux, dans chacun desquels le grand côté sera égal à 5 fois le plus petit. 

La force F, qui agit suivant A ' r] ' 

le côté AB peut être partagée Fig. 12. 

en trois forces égales, appliquées respectivement en A; G et E ; il en est de même de la force F3, qu'on appliquera par parties égales aux points C, Fet II. Les points E, G, II, F, étant supposés liés invariablement au système des points A et C, ajoutons en E et en F deux forces égales à F4, agissant l'une de E vers F, l'autre de F vers E. Faisons de même en G et en II. Chacun des parallélogrammes AG1ID, GEFII, EBCF sera en équilibre en vertu de la proposition que nous venons d'éta blir (| '17) ; l'ensemble des trois parallélogrammes est donc aussi en équilibre, et par suite les quatre forces F,, F,, F3, F4 sont en équilibre et le lemme est démontré 

On en déduit cette conséquence : 

: La résultante de 'deux forces F,, F,, appliquée à un même point A., passe par le sommet C du parallélogramme ABCD construit sur ces deux forces comme côtés. Car cette résultante fait équilibre à la résultante de deux forces F3, F4, laquelle passe au point C. 

.. -19. De là il est facile de conclure que la résultante R de deux forces P et Q est représentée en grandeur et en direction par la diagonale du, parallélogramme construit sur ces deux forces. 

Sur les côtés AB, AD, respectivement proportionnels aux forces P et Q, construisons le parallélogramme ABCD. La résultante R des forces P et Q passera par le sommet C de 

Il resterait à étendre la démonstration au cas où les forces données sont incommensurables. On peut employer pour cela soit la réduction à l'absurde, soit la théorie des limites. 

MÉCANIQUE. ENS. SPÉCIAL, 3« ANN. 2 

ce parallélogramme ; mais nous ignorons encore quelle est la 

valeur de cette force, T c et si elle est proportion 

proportion force — R, égale et opposee. Les forces — R, P et Q se font équilibre. Donc la force — Q, égale et opposée à Q, est la résultante des forces P et — R ; et par suite, si on achève le parallélogramme ÂE1115, construit sur les forces P et — R, la diagonale A 11 de ce second parallélogramme sera située en prolongement du côté AD du premier. Les trois points II, À, D sont donc en ligne droite ; les deux triangles Eli A, CD A, ont par suite deux côtés égaux, HE = AB = CD, et les deux angles adjacents sont aussi respectivement égaux : 11EA = ACD, A HE = ADC. Donc E A — AC, et par suite la résulante R est représentée en grandeur comme en direction par la diagonale AC du parallélogramme AB CD. 

30. La règle du parallélogramme des forces s'étend sans difliculté à la composition de tant de forces qu'on voudra : s'il y a trois forces, elle devient la règle du parallélépipède des forces ; s'il y en a plus de trois, la règle du polygone des forces. La résultante des forces appliquées en un même point est représentée en grandeur et en direction par la résultante- géométrique des droites qui représentent les forces données (Cinématique, § 7). 

CONDITIONS D'ÉQUIIIBRE I)'UN POINT MATÉRIEL SOLLICITÉ PAU DIVERSES FORCES. 

Prenons sur le prolongement de AC une longueur AE proportionnelle à la force R, et qui représentera en grandeur et en direc-E 

21. Lorsqu'un point matériel, libre dans l'espace, est sollicité par diverses forces, il faut et il suflit pour que ce point îoit en équilibre que la résultante de toutes les forces données 

soit nulle, ou bien que le polygone des forces données se ferme de lui-même. 

On peut transformer cette condition. Soit 0 le point matériel OF une droite finie représentant en grandeur et en direction l'une des forces qui agissent sur ce point. Par le point 0 , menons arbitrairement trois axes coordonnés OX, OY, OZ; nous pourrons f 

considérer la droite 0 F comme / 

pède dont les faces aboutissant au sommet 0 soient situées ' 

dans les plans XOY, YOZ, M°" 

ZOX. Il suffît pour cela de mener par le point F, parallèlement aux plans coordonnés, trois plans qui couperont les axes en des points À, B, C. Nous pourrons regarder la force OF comme la résultante des trois forces 0 A, Qii, OC, agissant sur le pointO dans la direction des trois axes coordonnés. 

À chaque force F correspondront donc sur les axes trois composantes, que nous désignerons d'une manière générale par X, Y, Z, et la composition des forces F se simplifiera en composant d'abord ensemble, par voie d'addition algébrique, toutes les forces qui agissent suivant un même axe; puis, en dernier lieu, en composant les trois résultantes partielles par la règle du parallélépipède. 

Soient par exemple F,, Fa, F3, ... F„, les n forces qui agissent sur le point 0. Nous appellerons : 

■ X,, Yr, , Z,, les trois composantes de la force F,, prises ' avec les signes convenables ; 

> X,, Y,, Z,, les trois composantes de la force Fa, ... 

X„, Y„, Z„, les trois composantes de la force F„. 

■ Les trois composantes de la résultante des n forces données seront respectivement égales aux sommes algébriques 

"f" Xj -(-... + X„ , 

Y, Y a -f- ... -(- Y„, 

Z, -4- Za -4- ... 4- Z„. 

Pour que le point soit en équilibre, il faut et il suffit que la résultante des forces soit nulle ; il faut donc que le parallélépipède qui a pour côtés les sommes précédentes, ait une diagonale nulle, ce qui exige que les côtés soient égaux à zéro. Les conditions d'équilibre sont donc au nombre de trois, savoir : 

En général, on applique ces équations à des axes rectangulaires sur lesquels les forces OF se projettent orthogonalement 

L'équilibre d'un point matériel libre dans l'espace exige, comme condition nécessaire et suffisante, que la somme algébrique des projections des forces qui le sollicitent sur trois axes coordonnés, soit égale à zéro. S'il en est ainsi pour les projections sur trois axes, on peut affirmer que la somme des projections des forces faites parallèlement à un plan fixe sur un axe quelconque est aussi nulle. Car cette somme n'est autre chose que la projection sur cet axe de la résultante des forces données, laquelle est nulle dès que ses composantes parallèles à trois axes non situés dans un même plan sont nulles toutes trois. 

VÉRIFICATION EXPÉRIMENTALE DE LA COMPOSITION DES FORCES 

22. On mesure en général les forces en les comparant à des poids. Mais le poids d'un corps est dirigé suivant la verticale et il faut recourir à un certain artifice pour en changer la direction. On peut se servir à cet effet d'une poulie, sur laquelle on fait passer le lil auquel le poids est suspendu. Si le fil est suffisamment fin, et la poulie bien ronde et bien mobile autour de son centre, la tension du fil, au point où il s'attache au corps soumis à l'expérience, sera sensiblement égale au poids suspendu à son extrémité. 

Pour vérifier expérimentalement la règle du 

gramme des forces, on attachera à un corps M de forme quelconque , sphérique par exemple et de petite dimension, trois lils qu'on fera passer sur trois poulies a, b, c, suspendues en trois points fixes A, B, C. 

Aux extrémités des lils on suspendra des poids P, 1", P", dont on pourra faire varier la valeur. 

Avec quelques tâtonnements on parviendra à établir l'équilibre . Cet état une fois obtenu, le corps M sera sollicité par trois forces (on fait abstraction ici du poids propre du corps M et du poids des fils, qu'on suppose négligeable) ; ces trois forces sont les tensions T, T', I" des lils, égales respectivement aux poids P, P', P". On observera que les trois forces agissent dans un même plan ; on pourra en reporter la position sur une feuille de papier, et la construction du parallélogramme sur les forces T et T' donnera pour résultante une force égale et contraire à T". 

APPLICATIONS DE LA THÉORIE DE LA COMPOSITION DES FORCES 

23. Étant donné un triangle ABC, on prend les milieux a, b, c des côtés BC, CA, AB; on joint les points ainsi obtenus aux sommets opposés, et l'on obtient trois droites An, 

B b, Ce, qui se coupent en un même point M, qu'on appelle le centre de gravité du triangle ABC. 

Cela posé, si l'on place en M un point matériel et qu'on lui applique des forces représentées en grandeur et en direction par les droites MA, MB, MC, ce point sera en équilibre 

Il suffit de démontrer que l'une quelconque MA de ces forces est égale et opposée à la résultante des deux autres forces MB, MC. 

Achevons le parallélogramme MBIC. La droite MI représentera 

en grandeur et en direction la résultante des deux forces MB, MC. 

Or, celte droite MI passe au point a, milieu de BC, car les deux diagonales BC, MI d'un parallélogramme se coupent mutuellement en parties égales. Donc la direction MI se confond avec la direction Mn, et la force MI agit dans une direction contraire a la force MA. On a de plus MI = MA ; en effet, le point a, intersection des deux diagonales MI, BC, est le milieu de MI, et par suite MI = 2 M A. Mais on sait que les trois médianes A", B6, Ce se coupent au point M en deux segments dont l'un MA est double de l'autre Ma; donc enfin les deux longueurs MI et MA sont égales. On pourrait le démontrer, au surplus, en observant que b étant par hypothèse le milieu de AC, et CI étant par construction parallèle à bh], le point M est le milieu de AI. 

La réciproque est vraie : Lorsque trois forces appliquées en un même point se font équilibre, lepoint d'application de ces trois forces est le centre de gravité du triangle obtenu en joignant deux à deux les extrémités des trois forces, c'est-à-dire le point de concours des trois médianes de ce triangle. 

On remarquera que si le point M était sollicité par les trois forces Ma, Mb, Me, il serait encore en équilibre car ces forces sont respectivement contraires aux forces MA, MB, MC, et égales à leurs moitiés. On rentre , d'ail leurs , dans le théorème démontré, en considérant le triangle abc, où le point M occupe le point commun aux trois médianes. 

Il est donc très-facile de vérifier géométriquement si trois forces MA, MB, MC, appliquées à un même point, se font équilibre. Il suffit de joindre les points B et C, et de prendre le milieu a de la droite de jonction ; l'équilibre aura lieu si le point a est situé sur le prolongement de la force MA, et si l'on a MA = Ma X 2. 

Autrement, l'équilibre n'a pas lieu. 24. Des constructions analogues peuvent être étendues à autant de forces qu'on voudra. 

Soient par exemple quatre forces MA, MB, MC, MD, qu'elles soient ou non dans un même plan. Joignons AB et CD, et soient 's' 18' E et G les milieux de ces droites. Joignons 

ME, M G. La droite ME représentera en grandeur et en direction 

la moitié de la résultante des forces MA et MB. De même M G représentera en grandeur et en direction la moitié de la résultante de MCetMÏ). Pour l'équilibre, il faut et il suffit que les deux directions ME, M G soient contraires, et que l'on ait ME = MG. Il faut et il suffit, en d'autres termes, que les trois points E,M, G soient en ligne droite, et que M soit le milieu de E G. 

Si ces conditions sont satisfaites pour la droite EG, elles le seront aussi pour la droite HF, qui joint le milieu des côtés opposés BC, AD du quadrilatère A15CD. 

25. Étant donné un triangle ABC, on prend dans son plan un point quelconque 0 et de ce point on abaisse sur les trois côtés des perpendiculaires Oa, 0//, Oc. Au point 0 on place un point matériel auquel on applique, suivant ces perpendiculaires, des forces représentées sur la ligure par les longueurs 0 A' = IïC, OC' = AB, OB' — AC; le point matériel 0, sous l'action de ces forces, est en équilibre. 

Il suffit de prouver que l'une des forces OA' est égale et contraire à la résultante des deux autres. Prolongeons indéfiniment la direction A'O, et par le point C' me. nons C'A" parallèle à OB'. Nous for- " 

mons ainsi un triangle OC' A" dont les côtés sont respectivement perpendiculaires aux côtés du triangle donné; 

-ces deux triangles sont donc semblables et par suite ils sont égaux, car les côtés homologues OC', AB sont égaux entre eux. Donc A"C' = AC — OB', 

et OA" = BC = OA'. La force 0 A" 

est donc la diagonale du parallélogramme construit sur OC', OB', et par suite l'équilibre est démontré. 

si l'on joint A'B', B'C', C'A', le point 0 sera le centre de gravité, et les droites OA', OB', OC' les directions des médianes du triangle ainsi obtenu. 

. Les perpendiculaires élevées aux milieux des trois côtés d'un triangle concourent en un même point, centre du cercle circonscrit au triangle. On peut donc prendre pour lepoint 0 le point de rencontre de ces trois droites. De même on peut prendre le point de rencontre des trois hauteurs. 

26. Plus généralement, si d'un point 0 pris dans le plan d'un polygone donné, on abaisse des perpendiculaires sur ses côtés, et 

qu'on preuve sur cnacune une longueur égale au côlê correspondant on obtiendra une série de droites qui, considérées comme des forces, se feront équilibre 

En effet, faisons tourner le polygone . ABCDE d'un angle droit dans son plan autour d'un de ses sommets A ; il prendra la position AB'C'D'E'. Ce nouveau polygone se fermant de lui-même, les forces égales et parallèles à ses côtés appliquées au point A se font équilibre ; or ces forces sont celles que l'on doit appliquer d'après l'énoncé au point 0 lorsqu'il coïncide avec le sommet A. Le théorème démontré pour le point A s'étend évidemment à tout autre point du plan. 

CHAPITRE II COMPOSITION DES FORCES PARALLÈLES 

27. Supposons que deux ou plusieurs forces soient appliquées en dillérents points d'un même système solide, et proposons-nous de trouver la résultante de ces forces, s'il y en a une, c'est-à-dire de trouver la position, la direction et la grandeur d'une force unique telle qu'une force égale et contraire appliquée au système tienne toutes les autres forces en équilibre. Nous nous occuperons dans ce chapitre des forces parallèles. 

Soient F et F' deux forces parallèles appliquées en des points A et B d'un corps solide ; supposons-les d'abord dirigées dans le même sens. 

Nous ne troublerons pas l'équilibre du solide en appliquant en A et B, suivant la direction BA et en sons contraire deux forces égales B et — B dont l'intensité reste arbitraire. Le système des quatre forces F, F', B et — B, est donc équivalent au système des forces F, F'. Or, les deux forces concourantes B et F se composent en une force unique AS, par la règle du parallélogramme De même les forces F' et — B ont pour résultante une force Bit ; la résultante des forces F et F' est donc la résultante des forces AS et B11, qui sont concourantes, et dont les directions se rencontrent en un certain forces AS et BU peuvent être supposées appliquées en ce point 0, et là on peut les décomposer chacune suivant deux directions, l'une parallèle à AB, l'autre parallèle aux forces 

F et F'. La force OS' = AS donnera par cette décomposition une force R' égale et parallèle à R, et une force OF, égale et parallèle à la force F ; la force 0 il' = B H donnera de môme une force'— R', égale et parallèle à —R, et une force OF', égale et parallèle à F'. Les deux forces R' et — R', égales et appliquées en sens contraires au même point 0, se détruisent ; il reste donc les deux forces F, et F', , égales et parallèles à F et F', et qui, appliquées en un même point et dans le même sens, s'ajoutent et donnent une résultante égale à leur somme F -j- F'. 

La résultante peut d'ailleurs être supposée appliquée en un point I de la droite AB qui joint les points d'application des composantes. Pour déterminer ce point, observons que la similitude des triangles SFA, AIO donne la proportion 

et que la similitude des triangles OIB, BF'H donne la proportion 

Divisant membre à membre ces deux égalités, on élimine à la fois 01 et R, et il vient 

le point I partage donc la distance AB des deux points d'application dans le rapport inverse des forces. 

Nous conclurons de là ce théorème : 

Deux forces parallèles, de même sens, se composent en une seule force, parallèle aux deux premières, de même sens, et égale à leur somme, et le point d'application de la résultante partage la droite de jonction des points d'application des composantes en deux segments qui sont entre eux dans le rapport inverse des forces adjacentes. 

On remarquera que la position du point I, intersection de la résultante avec la droite AB, dépend seulement du rapport 

des forces F et F', et ne dépend ni de leur grandeur absolue, ni de leur direction. On peut donc ajouter : 

• Le point d'application de la résultante de deux forces parallèles sur la droite qui joint les points d'application de ces forces, ne varie pas quand on altère les grandeurs ou les directions des deux forces, pourvu que l'on conserve leur parallélisme et le rapport de leurs grandeurs. 

>■ 28. Supposons que plusieurs forces parallèles F, F', F", F'", ..., soient appliquées respectivement aux points A, B, C, D, ... d'un corps solide, et que ces forces soient toutes dirigées dans le même ,'n 

sens. On pourra , en appliquant le / 

théorème précédent, déterminer la /. ,c 

résultante de toutes ces forces. En / / 

elfet, joignons ÀB et partageons la 

distance AB au point I, de manière à 

satisfaire à la proportion AI B 

! Nous pouvons remplacer les deux forces F et F', appliquées respectivement en A et B, par la force F -I- F', appliquée au point I. Joignons ensuite IC et prenons sur cette droite un point l' tel que nous ayons 

Le point I' sera le point d'application de la résultante des deux forces (F -j- F') et F" , laquelle sera égale à la somme F + F' -f- F". Continuons, en joignant I'D et en prenant sur cette droite un point I" satisfaisant à la proportion 

Le point I" sera le point d'application de la résultante F -j- F' F" -j- F'" des quatre forces F, F', F", F'". On procédera ainsi jusqu'à ce qu'on ait épuisé toutes les forces et 

tous les points donnés. La résultante générale sera égalé a la somme de toutes les forces données et sera parallèle à leur direction commune. Les points I, F, I", ... obtenus successivement sont indépendants des grandeurs absolues des forces et de leur direction. Le dernier point obtenu est indépendant de l'ordre dans lequel on a pris les points donnés pour opérer la composition des forces. 

29. Proposons-nous de trouver les coordonnées du point 

d'application de la résultante de n forces données, parallèles et de même sens, appliquées en des points A, B, C, ... L délinis chacun par ses coordonnées x, y, z. 

Considérons deux, des points d'application donnés, À et B; soit Aa=s, l'or donnée du point A parallèle l'ordonnée du point b. Soit I le point d'application des forces F, et F, appliquées respectivement en A et en B. Nous aurons pour déterminer le point 1 la proportion 

à l'axe OZ , et B5 = 

Par le point I menons une parallèle IK à l'axe OZ ; elle percera le plan XO Y en un point K qui sera la projection du point I sur ce plan et qui sera situé sur la droite ab, projection de AB. Appelons ; l'ordonnée du point I, qui est représentée sur la ligure par la longueur IK. 

Cette droite IK est donc, dans le trapèze AabB, une 

rallèle aux bases An-, Bi. Pour en évaluer la longueur, menons la diagonale aB qui rencontre 1K en un point M. Nous aurons 

Or, dans le triangle BAa, la droite IAI, parallèle à la base, forme un triangle semblable, et par suite 

formule qui est générale, pourvu qu'on attribue aux ordonnées s, s,, z, des signes convenables. 

La résultante des forces F, et F, est d'ailleurs égale à leur somme F, -(-F,. 

Il faut la composer avec la force F3 appliquée au point C, dont l'ordonnée est :r3 ; si l'on appelle d l'ordonnée du point d'application de la résultante des deux forces (F, -f- F,) et F3, on n'aura pour trouver .s' qu'à appliquer la formule précédente en y changeant 

ou bien, en observant que (F, 4- F,) - = F, zt F3sa, 

De même, pour passer à la quatrième force F4, dont le point d'application a pour ordonnée il sufiit d'ajouter au numérateur de la fraction le terme F4s4, et au dénominateur le terme F4 et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on ait épuisé1 les n forces données. La formule finale qui détermine le point d'application de la résultante des n forces est donc 

7 F,g, F, s, -f- ... -j-F„g„ 

F , -J-* l'j -f- ... —(— 1",, 

Ce que nous avons dit de la coordonnée Z, nous pourrions le répéter des coordonnées X et Y, de sorte que nous pouvons poser aussi les équations : 

F,:v, -j- F,.T, -j- ••• + F»®» F,+F, + ...+F„ ' F, y, +F,1/, + + F„?/„ 

Ces trois équations définissent le point cherché par ses trois coordonnées X, Y, Z ; on reconnaît à l'inspection des formules que le point d'application de la résultante ne change pas quand on augmente ou qu'on diminue les forces F,, F,, ... F„ dans un même rapport ; qu'il est indépendant de l'ordre dans lequel on a pris les forces pour les composer ; enfin, qu'il est indépendant de la direction des forces données pourvu qu'elles soient toutes parallèles et dirigées dans le môme sens. 

30. Le point d'application de la résultante de forces parallèles, de même sens, dont les rapports sont connus, mais dont la direction est d'ailleurs quelconque, prend en statique le noin de centre des forces parallèles. 

L'existence du centre des forces parallèles étant reconnue, on 

peut en déduire la démonstration de certains théorèmes de géométrie 

Premier exemple. — Étant donné un triangle ABC, imaginons que les trois sommets A, B, C soient les points d'application de trois forces parallèles et de même sens, F,, F.,, F3. 

Les deux forces F, et F, se composeront en une seule, appliquée en un point b du côté AC, et l'on aura pour déterminer ce point la relation 

Pour avoir la résultante des trois F », 

forces, il suffit de composer la force Fjir 24 

F, + F3 appliquée en 6, avec la 

force F,, appliquée en B. Le point d'application de la résultante appartient donc à la droite B'>. 

Mais nous pouvions procéder différemment, et composer les forces Fa et F, en une seule, égale à Fa -j- F3, et appliquée en un point a, défini par l'équation 

Le centre des forces parallèles se trouverait en composant la force F, avec la résultante Fa + F3 appliquée en a. 11 est donc situé sur la droite A a. 

Le point cherché est donc à la fois sur les droites B6 et A a; il est donc au point 0, intersection de ces deux droites. 

Enfin, nous pouvons composer les deux forces F, et F,, qui auraient donné une résultante F, + F, appliquée au point c ; le centre des forces parallèles se trouve donc aussi sur la droite Ce. Cette droite Ce, aboutissant en un point c tel que 

passe donc par le point 0, intersection des deux droites A a, B b. 

On peut prendre arbitrairement les points a et b sur 1rs côtés BC, CA; ces points font connaître le rapport des forces F F « 

ÏT1-, -rr ; une fois ces points choisis, la droite Ce passera par le 

point 0 où se coupent les deux autres, si le rapport j— est égal 

au rapport c'est-à-dire au produit =iXrr des deux rapports r a * 3 2 

déjà déterminés. Il faut et il suffit pour cela qu'on ait l'équation : 

condition démontrée en géométrie. La statique fait connaître 

de plus les rapports ^ des portions Oa, 06, Oc, com-1 

prises sur les droites ka, B6, Ce, entre le point 0 et les côtés du 

triangle, aux longueurs entières de ces droites. 

OA — Fa -t-F3 Ob F, 0 B F i —i— F3' Oc F, 

On en déduit en ajoutant ces trois égalités 

31. Second exemple. — On prend arbitrairement deux a, c, sur les côtés opposés AB, 

CD d'un quadrilatère gauche, et l'on - E 

joint la droite ac. On prend ensuite sur les deux autres côtés BC, AD deux points b et d, tels qu'on ait entre les huit segments déterminés sur les côtés la relation 'C6' 

On propose de démontrer que les deux droites ac, bd sont dans un même plan, ou qu'elles ont un point 0 commun. 

On y parviendra en faisant voir que ce point 0 est le centre de quatre forces parallèles appliquées respectivement aux sommets A, B, C, D du quadrilatère. 

Prenons arbitrairement la première F de ces quatre forces ; nous déterminerons la seconde F' de manière que la résultante des deux forces F et F' passe au point a ; il faut et il suffit pour cela qu'on ait 

De même déterminons la troisième F" de manière que la résultante de F" et de F' passe au point b ; nous aurons 

La force F'" sera déterminée par la condition 

et la résultante des forces F" et F'" passera au point c. 

MÉCANIQUE. ENS. SPÉCIAL. 3« ANN. 3 

Pour trouver la résultante des quatre forces F, F', F", F'", on peut composer d'abord F et F', ce qui donnera une résultante appliquée au point a; puis F" et F'", ce qui donnera une résultante appliquée au point c. La résultante de ces deux résultantes sera appliquée en un point de la droite ac. 

On peut aussi composer F' et F'', ce qui donnera une résultante appliquée en b ; puis F'" avec F, et la résultante de ces deux forces sera appliquée au point d, puisqu'on vertu de l'équation de condition posée tout à l'heure, on a 

Donc le point d application de la résultante générale est situé en un point de la droite bd. 

Ce point est donc à la fois sur les deux droites ac, bd ; les deux droites ac, bd se rencontrent donc, et les quatre points a, b, c, d sont situés dans un même plan. 

La surface engendrée par une droite mobile ac, qui se mouvrait en s'appuyant à la fois sur les deux côtés opposés AB, CD du quadrilatère gauche ABCD, et en partageant ces côtés en segments satisfaisant à la condition 

K étant un nombre constant, peut donc aussi être engendrée par une droite bd qui se mouvrait en s'appuyant sur les deux autres côtés du quadrilatère, en les partageant en segments remplissant la condition 

Cette surface est une surface réglée du second degre. Lorsque 

le rapport K est égal à l'unité, la droite mobile ac est constamment parallèle à un plan mené parallèlement aux côtés BC, DA ; de même bd est constamment parallèle à un plan mené parallèlement aux côtés AB, CD. La surface a alors deux plans directeurs, et elle prend le nom de paraboloïde hyperbolique. 

32. Troisième exemple. — Sur les côtés successifs d'un contour abcd, composé de trois droites finies données, on prend au hasard des points, savoir : 

Le point (ab) sur le côté ab, 

le point (bc) sur le côté bc, 

le point (cd) sur le côté cd. 

On joint ensuite le point a et le point (6c), le point (ab) et le point c ; ces deux droites se coupent en un point qu'on appelle (abc) ; 

et d, b et (cd), et ces deux droites se coupent en un point qu'on appelle (bcd). 

le point a au point (bcd), le point (aô) au point (cd), le point (abc) au point d. 

On demande de démontrer que ces trois droites se coupent en un même point 0 (qu'on pourrait appeler le point (abcd). 

Appliquons aux sommets a, b, c, d du contour des forces parallèles F, F', F", F'", telles que les deux forces F et F' aient une résultante appliquée au point (ab), que F' et F" aient une résultante appliquée au point (bc), que F" et F'" aient enfin une résultante appliquée en (cd). 

Le point (abc) appartenant à la fois aux droites a (bc) et (ab) c est le point d'application de la résultante des forces F, F', F". 

On prouverait de même que (bcd) est le point d'application de la résultante des forces F', F'', F'". 

Pour trouver la résultante générale, on peut composer la force F avec la résultante du système (F', F", F'"), ou bien la résultante de F et F' avec la résultante de F" et F'", ou bien la résultante du système (F, F', F") avec la force F'". 

" Dans le premier cas, on reconnaîtra que la résultante cherchée 

j est appliquée en un point de la droite a (bed) ; dans le second, en 

j; un point de la droite (ab) (cd); dans le troisième enfin, en un 

L " Ces trois droites ont donc un point 0 commun, qui est le centre 

j] : des forces parallèles F, F', F'', F'". 

j ■ Ce théorème peut être étendu à un nombre quelconque de côtés 

COMPOSITION DES FORCES PARALLÈLES NON DIRIGÉES DANS LE MEME SENS 

33. Soient deux forces F, F'parallèles, mais dirigées en sens contraires, et appliquées en deux points À et B d'un mèine système solide. On demande de trouver la résultante de ces deux forces, s'il y en a une. 

Nous déduirons la solution de ce problème, de la composition des forces parallèles et de même sens. 

En un point C de la droite AB, prolongée du côté où est appliquée la plus grande des deux forces, appliquons deux forces F" et — F" égales, contraires et parallèles à la direction commune des forces F et F'. Cette addition de deux forces égales et contraires ne change rien à la résultante du système des forces données. Or, prenons la force F" égale à la différence F — F', et la distance AC, telle que l'on ait 

Il résulte de cette construction que les forces F' et — F" ont une résultante égale et contraire à la force F, ou que les forces F, F' et — F" se font équilibre. Donc la force — F" est égale et contraire à la résultante des forces F et F', et par suite la résultante des forces F et F' est la foroe F". 

Deux forces parallèles F et F', de sens contraires, se 

NON DIRIGEES DANS LE MÊME SENS. 37 

sent donc en une force Y" parallèle à chacune et égale à leur différence F — F' ; elle est appliquée en un point C de la droite qui joint leurs points d'application A et B, du côté de la plus grande des deux forces, et le rapport des deux segments CA, CB est égal au rapport inverse des forces adjacentes ; en effet de la proportion 

qui nous a servi à déterminer la position du point C, on 

. F AB + AC CB déduit F=—le—=ci; 

Enfin la résultante F" est dirigée dans le sens de la plus grande des deux composantes. 

Si l'on rapproche cet énoncé de celui qui a pour objet la composition de deux forces parallèles et de même sens, on reconnaît qu'on peut fondre ces deux énoncés en un seul, en attribuant des signes convenables aux forces et aux segments delà droite qui joint leurs points d'application. 

Des deux forces F et F' l'une sera prise négativement, l'autre positivement parce qu'elles agissent en sens opposés ; leur somme algébrique sera donc égale à la différence de leurs valeurs absolues, prise avec le signe de celle des deux qui a la plus grande valeur absolue ; ce sera donc, en grandeur et en signe, la valeur de la résultante F"; leur rapport sera négatif, mais les segments CB, CA se retranchent au lieu de s'ajouter pour donner la distance AB des points d'application des deux composantes. On peut donc prendre négativement le plus petit C A, et positivement le plus grand CB. Leur somme algébrique sera donc égale à AB, et leur rapport sera négatif. Grâce à ces conventions , on pourra exprimer la règle de la composition des forces parallèles 

d'une manière générale, convenant au cas ou elles sont de même sens, comme au cas où elles sont de sens contraires : 

Deux forces parallèles se composent en une fùrce parallèle à leur direction commune, égale en grandeur et en signe à leur somme algébrique, et appliquée en un point qui partage la distance des deux points d'application en deux segments dont le rapport soit égal au rapport inverse des forces adjacentes i 

34. Si on a à composer des forces parallèles agissant les unes dans un sens, les autres dans le sens opposé, on pourra composer ensemble toutes les forces agissant dans un sens, puis composer ensemble toutes les forces agissant en sens contraire, enfin composer par la règle précédente la résultante du premier groupe et la résultante du second. 

Il est facile de reconnaître que les formules que nous avons données § {28, pour la composition des forces de même sens, s'appliquent également aux forces parallèles dirigées en sens différents, moyennant qu'on attribue aux forces données les signes —j— et — : le signe quand elles agissent dans un sens, et le signe — quand elles agissent dans le sens opposé. Les formules deviennent générales quand on a recours à cette convention. 

35. On peut démontrer, en s'aidant de la composition des forces parallèles, la proposition fondamentale de la théorie des transversales connue en géométrie sous le nom de théorème de Camot ou do théorème de Ptolémée. 

Cette proposition s'exprime ainsi qu'il suit: 

Vne transversale droite abc rencontre les côtés d'un triangle ABC en trois points a, b, c, et détermine sur chaque coté deux segments, savoir : 

oB, aC sur le côté BC, 

\iC, 6A sur le côté AC, 

cA, eB sur le côté AB. 

Cela posé, le produit des trois segments qui n'ont aucune 

mité commune, oCXlAX cB, est égal au produit des trois autres, «B X bC X cA, et réciproquement. 

j Aux extrémités B et C du côté dont le prolongement rencontre la transversale, appliquons deux forces parallèles et de sens /Contraires F' et F", dont nous déterminerons tout à l'heure F 

j La résultante de ces deux \ 

forces sera appliquée quelque part sur la direction BC prolongée. 

j Au point A appliquons ! deux forces égales et con-i traires F et— F; l'introduc ■1 lion de ces deux forces qui j se détruisent ne changera j rien à la résultante du svs-! 

svs-! des forces F' et F", et pour trouver cette résultante, on peut I d'abord composer les forces F' et F, ensuite composer les forces ; F" et —F, eniin composer l'es résultantes partielles obtenues dans ces opérations. 

La force F est arbitraire ; nous pouvons donc faire en sorte qu'on ait 

c'est-à-dire que la résultante de F et de F' passe au point c. 

Prenons ensuite la force F" de manière que la résultante des forces F" et — F passe au point b ; il faudra pour cela qu'on ait l'équation 

La résultante des forces F et F' passe au point c, et la résultante des forces — F et F" passe au point b. La résultante de ces deux résultantes, c'est-à-dire la résultante des forces F' et F" est donc appliquée en un certain point de la direction cb. Or elle est aussi appliquée en un certain point delà direction BC; donc enfin elle est appliquée au point a, intersection de ces deux directions. IL en résulte l'égalité 

Multiplions membre à membre ces trois égalités, il viendra 

La résultante partielle appliquée en c est égale à F + F', et la résultante partielle appliquée en b est égale à F + F" ; de sorte que la statique nous donne aussi 

p + F__afe F" 4- F ac 

Mais des deux premières équations, on tire 

équation qui n'est autre chose que l'application du théorème au triangle Acb, rencontré par la transversale rectiligne BCa. 

36. La composition de deux forces parallèles dirigées en sens contraires présente un cas singulier très-remarquable, celui où les deux forces sont égales. 

Soient F et F' deux forces inégales, parallèles, de sens contraires, appliquées l'une en A, l'autre en B ; supposons F' > F ; ces deux forces se composeront en une force unique égale à F' —F, et appliquée en un point C situé sur le prolongement de Al], et tel qu'on ait la proportion 

Si nous supposons que la différence F' — F diminue indé-F 

Uniment, le rapport jr s'approchera indéfiniment de 1 unité, 

et le point C s'éloignera indéfiniment des points A et B. 

Lorsqu'enfin les forces F' et F deviendront égales entre elles, la résultante F' — F deviendra nulle, et son point d'application C ira se perdre à l'infini sur la direction AB. On peut remar- 4 j quer que dans ce cas singulier, I B ' "c 

les forces F et F' étant égales, / 

la résultante de ces deux forces ^ F ïy 

ne peut être appliquée vers la 

droite de la figure sans l'être également vers la gauche, à cause de la symétrie ; il ne peut donc y avoir de résultante, ce que le calcul indique en donnant pour résultante une force nulle appliquée en un point infiniment éloigné. 

Le système de deux forces égales, parallèles et de sens contraires n'est donc pas réductible à une force unique. Les propriétés très-remarquables de ce système ont été mises en évidence pour la première fois par Poinsot, qui lui a donné le nom de couple. 

Un couple F, — F est donc le système formé par deux forces égales, 

parallèles et cle sens contraires, appliquées en deux points A et B qu'on sup-poseinvariablementrèunisl'unàl 

37. Le bras de levier du couple est la distance MX des 

deux forces. Comme on peut toujours supposer les forces transportées en un point quelconque de leur direction, on peut regarder les points M et N, où les deux forces F et — F sont rencontrées par une perpendiculaire commune, comme les points d'application de ces deux forces. 

38. La considération des produits appelés moments snn-plilie le problème de la composition des forces 

On appelle moment d'une force F par rapport à un point 0, le produit de la force F par la distance 01' de la force au point 0, qui prend le nom de centre des moments. 

On appelle moment d'une force F' par rapport à une droite AB, le produit delà projection F" do la force sur un plan ItR' (iig. 32), perpendiculaire à la droite AJî, par la distance AS du point où la droite AB perce le plan, à la projection F" de la force; end'autres termes, le moment d'une force par rapport à un axe AB est le moment de la projection de la force sur un plan normal à l'axe, par rapport au point où l'axe rencontre le plan de projection. La distance AS du pied de l'axe à la projection de la force est égale à la longueur CD de la perpendiculaire commune à la force F' et à Yaxe AB des moments. 

On appelle entin moment d'une force par rapport à un plan parallèle à sa direction, le moment de la force par rapport à un axe quelconque, conduit dans ce plan, perpendiculairement à la projection de la force. Le moment d'une force F par rapport à un point 0 ou par rapport à un axe AB, se représente quelquefois par les notations 

Nous verrons tout à l'heure qu'on donne un signe à ces expressions. 

39. Il résulte des définitions précédentes que le moment d'une force par rapport à un point est nul quand le point est situé sur la direction de la force, car alors la distance OP est nulle. 

Le moment d'une force par rapport à un axe peut être nul de deux manières : 

1° Quand la force rencontre l'axe, car alors le pied de l'axe est situé sur la direction de la force projetée sur un plan normal à l'axe ; 

2° Quand la force est parallèle à l'axe, car alors la projection de la force sur un plan normal à l'axe est nulle. 

Ces deux cas sont compris dans l'énoncé suivant : Le moment d'une force par rapport à un axe est nul quand la direction de la force et l'axe des moments sont dans an même plan. 

40. On attribue dans les calculs aux moments des forces les signes -(-et — , d'après les conventions suivantes. 

Lorsque plusieurs forces agissent dans un même plan, on imagine que les points d'application de ces forces sont entraînés chacun dans la direction même de la force qui le sollicite ; chacun de ces déplacements fictifs peut être regardé comme le résultat d'une rotation autour du point pris dans le plan pour cintre des moments. Nous avons vu en cinématique comment on déterminait le signe d'une rotation : on lui donne le signe -f-si elle s'opère dans un sens convenu (or dinairement de gauche à droite), et le signe — si elle s'opère en sens contraire. On attribue aux moments les, mêmes signes qu'aux rotations correspondantes Ainsi le point 0 étant le centre u/ 

des moments, et F, F les forces ap- xjS \ 

pliquées en divers points A, A' du ^ 

plan de la ligure, le moment de la force F par rapport au point 0 sera égal ii F X OA, et le moment de la force F' sera égal à — F' X t) A', de sorte que la somme algébrique des moments seraFXOA — F'XOA'. 

i l . Le moment d'une force par rapport à un axe reçoit le 

même signe que le moment de la force projetée sui un plan perpendiculaire à l'axe, par rapport au pied de l'axe. La convention relative aux signes des moments pai rapport à un point entraîne une convention pareille relative aux signes des moments par rapport à un axe, et par suite, une convention pareille relative aux signes des moments pai rapport à un plan. 

Soit, par exemple, À F une force appliquée en un point A el agissant dans le sens ÀF, et soient OX, OY, OZ trois axes coordonnés rectangulaires. Projetons la force sur les trois plans XOY, YOZ, ZOX qui sont respectivement normaus aux trois axes; nous obtiendrons trois forces A'F', A"F' et A'"F'". Du point 0 abaissons des perpendiculaires OP, 01". OP" sur ces trois forces ; les moments de la force AF par rapport aux axes seront en valeur absolue, 

par rapport à l'axe OZ, A'F'XOP, 

par rapport à l'axe OX, A"F" X OP', 

et par rapport à l'axe OY, A'"F'" X OP" ! 

mais la direction de la force A'F' tend à entraîner le point À' 

autour du point 0 dans le sens F" qui amènerait l'axe OY vers l'axe 0 X, c'est-à-dire dans le sens négatif ; on devra donc donner le signe — au moment par rapport à l'axe OZ. Au contraire, la force — A" F" tend à entraîner son point d'application dans le sens de 0\ vers OZ, sens positif, et la force A'" F'" tend de même à entraîner son point d'application dans- le sens de OZ vers OX, sens également positif. On donnera donc le signe -f- aux moments par rapport à l'axe OX et à l'axe OY ; et en délinitive les moments de la force AF par rapport aux trois axes seront 

par rapport à l'axe OZ, — A'F' X OP» 

par rapport à OX, -j~ A"F" X OP', 

et par rapport à OY, -j- A'"F'" X OP". 

- 42. La valeur absolue du moment d'une force peut être représentée par une aire plane. 

Soit en eifet À le point d'application d'une force, AF la force en grandeur et en direction, et 0 le centre des moments pris dans un plan contenant la force. Abaissons du point 0 la perpendiculaire OP sur AF. La valeur absolue du moment de la force AF par rapport 0 au point 0 sera le produit AFXOP. 

Or, joignons OA, OF : le triangleOAF ainsi formé a pour mesure la moitié du produit de sa base A F par sa hauteur 0 P ; donc le moment de la force peut être représenté par le double de la surface du triangle OAF. 

. La même interprétation géométrique peut être donnée au moment d'une force par rapport à un axe ; il est égal au double de l'aire du triangle qui a pour base la projection de la force sur un plan normal, et pour sommet le pied de l'axe ; cela revient à dire que le moment de la force par rapport à l'axe est égal en valeur absolue au double de la projection, sur un plan normal à l'axe, du triangle formé en joignant un point quelconque de l'axe aux extrémités de la droite qui représente la force. 

On remarquera que dans ces sortes de produits, l'un des facteurs représente une longueur, et le second facteur une force ; l'unité de force et l'unité de longueur restent d'ail leurs tout à fait indépendantes l'une de l'autre. La mécanique offre plusieurs exemples de ces quantités complexes qui résultent de la multiplication de facteurs représentant des quantités de natures différentes. 

-! 43. Soit AF (fig. 36) une force appliquée en un point A, et 0 un point fixe pris arbitrairement dans l'espace. Par ce point menons un axe OZ, perpendiculaire au plan conduit par la force AF et le point 0. Le moment AF X OP de la force F par rapport au point 0 sera identique au moment de la force F par rapport à l'axe OZ. Proposons-nous ensuite de trouver le moment de la force F par rapport à un axe 0 S mené par le point 0. Il suffira d'imaginer par ce point un plan RR' 

perpendiculaire au nouvel axe, et de projeter le triangle 0 AF en 0af sur ce plan. Le moment cherché sera le double de l'aire du triangle 0af. 

Mais prenons sur l'axe OZ, à une échelle arbitraire, une 

longueur OB égale au produil AF X OP, c'est-à-dire représentant à l'échelle le double de l'aire du triangle OÀB. L'axe OS fait avec l'axe OZ un angle S OZ égal à l'angle du plan RRj avec le plan OAF, de sorte que si nous projetons la longueur OB sur la direction OS, nous obtiendrons (Cin., § 173) une longueur 06 qui représentera à la même échelle le double de l'aire du triangle 0af, c'est-à-dire le moment de la force F par rapport à l'axe OS. On voit donc qu'il sera facile de trouver le moment d'une force F par rapport à tel axe OS qu'on voudra, connaissant le moment de cette force par rapport à un point 0 pris sur cet axe. Il suffit, en effet, de mener par le point 0 une perpendiculaire OZ au plan conduit par la force F et le point 0, et de prendre sur cette droite à partir du point 0 une longueur OB, représentant à une échelle arbitraire le moment de la force F par rapport au point 0. Le moment de la force F par rapport à l'axe OS sera représenté à la même échelle par la projection sur OS de la longueur OB. Pour définir le sens du moment, on peut, comme nous l'avons indiqué en cinématique (§ 92), mener l'axe OB de telle sorte que l'observateur placé les pieds en 0, la tête en B, voie la force F solliciter son point d'application à tourner autour du point 0 dans le sens de la rotation positive. La droite OB aura alors une direction, un sens et une longueur bien déterminés. 

La construction géométrique du moment par rapport à l'axe OS fait voir que 0b est toujours moindre que OB, de sorte que le moment d'une force par rapport à un point est en valeur absolue le maximum des moments de la force 

par rapport à tous les axes qu'on peut mener par ce point ; ; que les moments de la force F par rapport à tous les axes OS qui font un même angle ZOS avec l'axe OZ sont égaux entre eux ; 

j que les moments sont nuls par rapport à tout axe mené par le point 0 perpendiculairement à OZ, ce qu'on savait déjà, puisque tout axe mené par le point 0 perpendiculairement à 0 Z est contenu dans un plan passant par la force F ; 

| qu'enfin, les extrémités b des droites finies 0b qui représentent la grandeur des moments par rapport à leur propre direction, sont situées sur une surface sphérique, décrite sur OB comme diamètre. En effet, si on fait mouvoir l'axe OS dans le plan BOS, le point b, projection du point B sur la direction variable OS, décrira dans ce plan une circonférence dont OB sera le diamètre; et cette circonférence, en tournant autour de OB, engendrera dans l'espace une surface Sphérique qui sera le lieu de tous les points b. 

S 44. Ces préliminaires posés, venons à la démonstration du théorème des moments, qui consiste dans l'énoncé suivant : 

; Le moment par rapport à une droite XY delà résultante de deux ou de plusieurs forces, toutes parallèles ou toutes concourantes, est égal à la somme algébrique des moments de chacune de ces forcespar rapport à cette droite XY. \ I. Supposons d'abord qu'il n'y ait que deux forces à composer ; elles seront comprises dans un même plan, puisqu'on les suppose ou parallèles ou concourantes Prenons les moments 0 A 1 B de ces forces par rapport à un point 0 de ce plan, c'est-à-dire par rapport à un axe normal au plan et passant par ce point 0. 

M0 Si les forces F et F' sont parallèles abaissons du point 0 une perpendiculaire commune OÀB sur leur direction; nous pourrons admettre que A et B sont les points d'application des forces F et F'. 

La résultante R sera égalé à F -)- F', et sera appliquée en un point I de la droite AB, tel qu'on ait l'égalité 

Aux deux membres de cette égalité ajoutons (F-j-F')XOA, il viendra 

équation qui montre que le moment RX 01 de la résultante par rapport au point 0, est égal à la somme des moments FXOA, F'XOB des composantes par rapport au même point On vérifierait de même le théorème pour deux forces parallèles dirigées en sens contraires. L'équation finale esi identique, pourvu que l'on donne des signes convenable; aux moments. On pourrait aussi montrer que, grâce à l'emploi des signes, le théorème s'applique au cas où le centre des moments est compris entre les deux forces. 

On peut conclure de là que la surface du triangle ORI esi la somme (algébrique) des aires des triangles OAF, OBF. 2° Admettons que les forces ne soient pas parallèles. 

Soient AF et AF' deux forces concourantes. La résultante R est représentée en grandeur et en direction par la diagonale ATI du parallélogramme AFRF', et le théorème des moments revient à l'éga lité 

Aire OAR = aire OAF aire OAF'. 

i Or, les trois triangles OAR, OAF. 

OAF' ont une base commune OA, 

et sont entre eux comme leurs hauteurs c'est-à-dire comme les distances RK, FII, F'H' des points R, F et F' à cette base. Par le point F, menons FL parallèle à OA ; la figure liRLF sera un rectangle, dans lequel F11 = KL. De plus, les deux triangles FLR, AH'F' sont rectangles en L et en 11', ils ont l'angle FRL égal à l'angle AF'H', comme compris entre côtés parallèles chacun à chacun ; enfin, ils ont des hypoténuses égahs FR, AF', comme côtés opposés d'un parallélogramme. Donc le côté LR est égal au côté F'H', et par suite 

Donc enfin le triangle OAR est la somme des deux autres, et le théorème est démontré. 

, Ce théorème porte en statique le nom de théorème de Va-rignon 

; On peut faire voir que le théorème des moments pour deux forces parallèles rentre comme cas particulier dans le théorème pour deux forces concourantes 

ï Soient en effet A F, A'F' deux forces appliquées aux points A et A', et concourantes en un point quelconque; soit R leur résultante qu'on peut supposer appliquée en un point quelconque A" Fis- 39- de sa direction. D'un point quelconque 0 pris dans la 

} MÉCANIQUE. ENS. SPÉCIAL, 3= ANN. 4 

plan de la figure, abaissons des perpendiculaires OP, 0P', 0 P" sur les directions des trois forces, nous aurons en vertu du théorème 

R est de plus égale en grandeur à la diagonale du parallélogramme dont les côtés sont les forces F et F'. Or, imaginons que le point de concours des forces F et F' s'éloigne indéfiniment. 

Â la limite, les trois forces F, F' et R seront parallèles, et la diagonale R du parallélogramme construit sur F et F' se changera en la somme F -|- F' des deux forces données. L'équation des moments étant toujours vraie quelque éloigné que soit le point de concours des forces, est encore vi'aie à la limite, quand les forces deviennent parallèles, et peut servir à fixer la position vraie de la résultante F -)- F'. 

II. Supposons toujours qu'il n'y ait que deux forces données F et F', mais qu'au lieu de prendre les moments par rapport à un point de leur plan, on prenne les moments par rapporta une droite XY quelconque. La proposition sera encore vraie. 

Projetons les forces données F et F', et leur résultante R sur un plan normal à XY. Nous obtiendrons sur ce plan deux forces f et f, et une troisième force r, projection de R, et je dis qu'elle sera la résultante de f et f'. En effet, le parallélogramme construit sur F et F', dont R est la diagonale, a pour projection sur ce plan un parallélogramme, qui a pour côtés f et f', et pour diagonale r. Donc r est la résultante de f et p. Ceci suppose les forces f et f' concourantes. Si elles" sont parallèles, la force R leur sera aussi parallèle et sera égale à leur somme, et elle partagera la distance de leurs points d'application en deux segments qui seront entre eux dans F 

le rapport p. Mais la projection de la figure sur le plan 

normal à XY donnera trois forces f, f, r, proportionnelles à F, F', R ; la force r sera donc la somme des forces f et /' comme la force R est la somme des forces F et F', et le point d'application de la force divisera la droite de jonction des points d'application projetés, en deux segments qui seront entre 

eux dans le rapport de p, c'est-à-dire de j. En résumé, r 

est dans tous les cas la résultante de f et /'. Le théorème des moments est démontré pour les forces projetées sur le plan normal. Or, les moments des forces f, f, r, par rapport au pied de l'axe XY, sont par définition les moments des forces F, F', R, par rapport à cet axe. Donc enfin, le théorème des moments est également démontré pour le cas où l'on prend les moments par rapport à un axe, en admettant toujours deux forces, soit parallèles, soit concourantes. 

î III. Il est aisé d'étendre le théorème à autant de forces données qu'on voudra, pourvu qu'elles soient toutes parallèles ou toutes concourantes en un même point. 

j Soient F,, Fa, F3, .;. F„, n forces satisfaisant à l'une ou à l'autre de ces conditions. Pour trouver leur résultante, on peut composer F, et Fa, ce qui donnera une résultante R, ; puis composer R7 avec F3, ce qui donnera une résultante Ra ; composer ensuite R, avec F4, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on ait composé la dernière force F„ avec la dernière résultante partielle R„ _ », ce qui fournira la résultante générale R. Dans chaque opération, on aura à composer deux forces, soit parallèles, soit concourantes, et par suite, on pourra appliquer le théorème des moments, qui fournira une équation. Nous aurons donc à la fois 

| F, +MV F1 = M^R,, 

| MJT F3 + Mir R, = Mir Ra, 

j Mïy F4 -j- Mjy R, = MJJ. R3, 

■ Ajoutons ces n — 1 équations membre à membre, et supprimons les termes communs, il viendra en définitive 

le moment de la résultante R par rapport à l'axe xy est donc la somme (algébrique) des moments des composantes F,, Fa, ... F„, par rapport au même axe. 

4o. Proposons-nous de trouver d'abord les coordonnées du point d'application de la résultante de n forces parallèles. F,, Fa, ... F„, appliquées en n points définis parleurs coordonnées rectangulaires, xt ,y,,z,, pour le premier, xQ,y,,z,. pour le second, xn , y„, zn , pour le ri,imù. 

On sait ce qu'on entend par le point d'application de la résultante cherchée. C'est le point unique par lequel passe la résultante des forces données lorsqu'on les fait- tourner chacune autour de son point d'application, sans altérer leur parallélisme, et en leur conservant les rapports de leur; grandeurs. Soient X, Y, Z les coordonnées de ce point. Faisons tourner toutes les forces de manière à les rendre parallèles à l'axe 0 Y, et prenons les moments par rapport à l'axe OX. Les forces se projetteront en vraie grandeur sur le plan YOZ, normal à l'axe des moments, et les distances des forces à cet axe seront égales respectivement à z, pour 

la première, à z, pour la seconde, à z„ pour la La 

sonmie algébrique des moments est donc égale à 

ï\ z, -J-Fa.5, -j- F3 Z3 j— . . . -]- F„ z„. 

On sait par le théorème des moments qu'elle est égale au moment de la résultante, c'est-à-dire au produit 

rj -}-Fa:r,,-{-. . . -j- F„ z„ 

équation que nous avions trouvée, § 31, par une méthode beaucoup moins rapide. 

Nous obtiendrions de même les deux autres équations qui donnent X et J, en rendant les forces parallèles à l'axe OZ, puis à l'axe OX. 

MOMENTS D'USE FORCE PAR RAPPORT AUX AXES 5.3 

F, x, -j-F,a;, -f- • ■ . -j-F,,^ 

46. Proposons-nous en second lieu de trouver les moments par rapport aux trois axes OX, 0 Y, OZ, d'une force donnee F, appliquée en un point il qui est déiini par ses coordonnées rectangulaires x, y, z. 

Décomposons la force F au point II en ses trois composantes JIX, M Y, MZ. Le moment de la force F par rapport à un axe quelconque est égal à la somme algébrique des moments de ses composantes. 

Occupons-nous d'abord des moments par rapport à OZ. 

Le moment de la composante Z, qui est parallèle à l'axe, est égal à zéro. Les deux autres composantes se projettent en vraie grandeur en mX, m Y sur le plan XO Y normal à OZ. La distance de la composante m Y à l'axe OZ, ou au point 0, est égale à Ou/ ou à m/', ou enfin à x ; la distance de la composante mX au même point est TO(x' ou y ; les moments sont donc égaux, aux signes près, à Y.v et à X;y ; quant aux signes, il faut observer que si X et y sont positifs, comme le suppose la figure, X-tend à.faire tourner son point d'application m dans le sens qui amènerait l'axe 0 Y vers l'axe 0 X, c'est-à-dire dans le sens négatif ; le moment de X est donc égal à — Xi/; l'autre moment est positif, et la somme algébrique des moments est égale à 

On démontrerait de même que la somme des moments par rapport à 0 X est 

et par rapport à 0 Y, 

On a donc les trois formules 

en appelant pour abréger L, M, N les moments de la force F par rapport aux trois axes. 

47. Soit proposé, en troisième lieu, de chercher le moment de la force F par rapport à une droite OP, passant par l'ori gine. La direction de cette droite OP, dont un point est déjà connu puisqu'elle passe par l'origine, est définie par les coordonnées de l'un quelconque de ses points : prenons ce point à une distance OP de l'origine égale à l'unité de longueur, et soient 0 A = a, OB = b, OC = c, les coordonnées de ce point P. Ces trois coordonnées définissent la direction OP. Ce sont trois nombres qui expriment les rap-. 

ports jjjp, Deux de ces nombres suffisent pour 

définir la direction donnée ; car les axes étant rectangulaires, le carré de la diagonale 0 P du parallélépipède construit sur les trois arêtes 0 À, OB, OC, est égal à la somme des carrés des arêtes, ce qui donne l'équation : a"2 -(- £>2 -j- c2 = 4 . Dès qu'on connaît a et b, par exemple, cette équation définit c. 

Concevons un plan mené par le point 0, normalement à l'axe OP. Nous trouverons le moment cherché en projetant sur ce plan l'aire du triangle qui a pour sommet le point 0, et pour base la force F, et nous avons vu qu'il suffit pour cela de projeter sur l'axe OP une longueur 011, égale au moment de la force F par rapport au point 0, et prise sur 

j PAR RAPPORT A UNE DROITE. 55 

une perpendiculaire au plan mené par le point 0 et lu direction de la force, MF.' 

j Les moments L, M, N de la force F par rapport aux axes ne sont autre chose que les projections sur les axes de cette longueur 011 ; on peut donc regarder 011 comme la résultante géométrique des trois composantes L, M, N, portées respectivement sur les axes à partir du point 0. La projection de la résultante 011 sur la direction OP est la somme algébrique des projections des composantes sur la même direction. Prenons donc sur l'axe OX une longueur OL=L, et projetons le point L en L' sur 0 P. Joignons PA. Les deux triangles OPA, OLL', sont semblables, comme étant rectangles en A et en L', et ayant un angle commun en 0. Nous avons donc la proportion 

i La projection de L sur 0 P est donc égale à La ; de même Mû est la projection de M sur 0 P, et Ne la projection de N sur la même direction. Additionnant ces trois projections, on a la projection sur OP de la grandeur 011, c'est-à-dire le moment de la force F par rapport à OP : 

M0PF = La + M6 + Nc. 

La connaissance des moments par rapport à trois axes rectangulaires conduit donc immédiatement à la détermination du moment autour d'un axe quelconque passant par 

j 48. Nous avons vu ( § 36) qu'un couple est le système j formé par deux forces (F, —F) égales, parallèles et dirigées > en sens contraires, appliquées en deux points liés invariable! ment l'un à l'autre ; et que le bras de levier (§ 37) du couple 

est la distance de ces deux forces. Un tel système ne peut être réduit à une force unique. 

Prenons les moments des forces F et — F par rapport à un point 0 quelconque, pris dans le plan des deux forces. 

Le moment de la force À F sera égal au produit F X 0 A, et le moment de la force —F, égal à — F X 0^ î somme algébrique des moments est donc égale à 

c'est-à-dire que la somme des moments d'un couple par rapport à un point du plan de ce couple, t-F ou par rapport à tout axe normal à ce plan, est constante et égale au produit de la valeur commune des deux forces par le bras de levier. 

Ce produit prend le nom de moment du couple. Lorsque plusieurs couples sont situés dans un même plan, on leur donne les signes -|- ou —, en suivant la convention relative aux signes des moments des forces ; il est facile de reconnaître qu'appliquée aux couples, cette convention revient à regarder comme positifs les moments des couples qui tendent à faire tourner leur bras de levier de gauche à droite, et comme négatifs, ceux qui tendent à faire tourner leur bras de levier de droite à gauche. Il est bien entendu que cette tendance du couple à faire tourner son bras de levier n'est qu'une image tout à fait fictive, et qu'elle ne préjuge en rien la solution du problème de dynamique qui consiste à déterminer le mouvement d'un système solide sollicité par un couple. 

Le moment d'un couple FX Al! peut être représenté par l'aire d'un parallélogramme ayant F pour base et A lï pour hauteur c'est-à-dire par l'aire du parallélogramme A F A'F' qui aurait pour bases Fig 43 opposées les deux forces F et F'. 

49. Un couple peut être transporté partout où l'on voudra, dans son plan, ou dans un plan parallèle, 

ei orienté comme on voudra dans ces plans ; enfin, on peut substituer au couple un couple de même moment, sans troubler l'équilibre. 

La démonstration exige qu'on considère successivement chacune de ces modifications. 

4° On peut, sans troubler l'équilibre, faire tourner le couple d'un angle quelconque dans son plan autour du milieu I de son bras de levier. 

Soit (F, F) le couple dans sa position primitive ; AB son bras de levier ; soit (F, , F , ) le couple dans sa seconde position, et À,B, son bras de levier. 11 suffira de démontrer que le couple (F,, F',) 

obtenu en changeant le sens des forces du couple (F, , F',) fait équilibre au couple (F, F'), car s'il en est ainsi, on pourra appliquer au système les quatre forces F,, F,, 

F,, F'a qui se font équilibre deux Fig u 

à deux, puis supprimer les forces 

F,, F, F'2, F' qui se font équilibre, et il restera le couple (1\,F\). 

Or, les forces F', et F' se coupent en un point L, où l'on peut les supposer appliquées ; elles se composent en ce point en une seule force LS, dirigée suivant la bissectrice de lîangle des deux forces ; la résultante LS passe donc par le point I. De même, les forces F et F, se composent en une Seule KR, dirigée aussi suivant la bissectrice de l'angle des deux forces, et passant par le point I. Enfin, les forces LS et K R sont égales et de sens opposés. Et comme elles peuvent être supposées appliquées au même point 1, elles se font équilibre. 

Le système (F, , F',) est donc équivalent au point de vue de l'équilibre au système (F, F'). 

< 2° On peut, sans troubler l'équilibre, déplacer un couple parallèlement à lui-même, dans son plan ou dans des plans parallèles. 

i Soit F, F' le couple donné ; ÀB son bras de levier. 

portons le bras de levier parallèlement à lùi-meme en une position quelconque A,B,, et en chacun des points A,, B,, appliquons deux forces contraires F,,Fa, et F',, F,, 

égales et parallèles aux forces F et F'. Il suffira encore de prouver que le couple (F,, F'a) fait équilibre au couple (F, F') pour établir que les couples (F, F'J et F,, F',) sont équivalents au point de vue de l'équilibre. 

Or, joignons AÀ,, BB,. La figure AB, B,A,, dans laquelle A B est égal et parallèle à A,B,, est un parallélogramme ; les diagonales AB,, A, B se coupent donc au point 0 en deux parties égales. Les forces F et F', égales, pa- ; rallèles et de même sens se composent en une force unique OR, appliquée, au point 0, parallèle aux forces données, et égale à leur somme 2F. De même, les forces F, et F' égales, parallèles et de même sens, ont pour résultante une force OR' appliquée aussi au point 0, dirigée en sens contraire de OR, ■ et égale à 2F. Les deux forces R et R', appliquées au même point, sont égales et contraires, et se font équilibre. Il reste donc le couple (F, , F,), c'est-à-dire le couple donné, transporté parallèlement à lui-même. , ; 

3° En combinant le transport parallèle du couple et la rotation autour du milieu de son bras de levier, on amènera le couple à occuper telle position qu'on voudra, dans un plan parallèle à son plan primitif. Il reste à prouver que l'on peut modifier arbitrairement la force en altérant en 

quence le bras de levier, et que deux couples qui ont le même moment, et qui agissent dans des plans parallèles sont équivalents au point de vue de l'équilibre. On peut supposer que les deux couples sont situés dans le même plan, et que leurs bras de levier appartiennent à une seule et même direction, î Soit AB le bras de levier du premier couple, et A,B, le bras de levier du second ; F, F' les forces égales du premier, 

et F,, Fr, les forces égales du second. La condition d'équiva once posée dans l'énoncé est 

supposons en À, et B, des forces Fa, F', égales et contraires aux forces F,,'F', ; il faut démontrer que le couple (F,, F',), égal et contraire au couple (F,, F',) fait équilibre au couple (F, F'). 

| Or, les forces [F et F'a, parallèles et de même sens, se composent en une force unique 0 R, appliquée en un point 0 cle lajlistance AB,, parallèle aux forces données, et égale à la somme F -)-< F'a. Le point 0 est défini par l'équation 

| De même, les forces F' et F,, parallèles et de meme sens, se composent en une seule, égale à F' -)- F,, parallèle aux 

forces donnees, et appliquée en un certain point 0' de la distance BA,. Le point 0' est déterminé par la proportion 

BO' + AB AB 0' Ai -j- Ai BI AI B| 

D'A AB AO O'B, ~~ A, B, — OB, * 

Les points 0 et 0' divisent donc la distance ABt en deux segments qui sont entre eux dans le même rapport. Ces deux points coïncident donc, et le point 0' se confond avec le point 0. 

Les forces égales et contraires, appliquées en ce même point 0, se font équilibre, et par conséquent le couple (F, ,F'( ) est équivalent au couple (F, F'), pourvu toutefois que les moments F X X ^ de ces deux couples soient 

50. Les théorèmes que nous venons de démontrer nous apprennent qu'au point de vue de l'équilibre, un couple doit être regardé comme complètement défini dès qu'on donne son moment, et un plan parallèle à celui dans lequel il agit. Au lieu de donner ce plan, on peut donner une normale à ce plan, et prendre sur cette normale une longueur égale au moment du couple : ce qui suppose le choix préalable d'une échelle des moments. La longueur et la direction de cette droite définiront à la fois le moment du couple et le plan dans lequel il peut être censé agir. La position vraie de cette droite dans l'espace est d'ailleurs indifférente ; elle peut s être déplacée comme on voudra, pourvu qu'on n'en altère pas le parallélisme. Le sens de la droite peut servir à définir le sens du couple ; pour cela, on la dirigera du côté du plan du 

jcoupleoùun observateur, couché le long de la droite, les pieds 'sur le plan, verrait le couple tendre à agir dans le sens des 'rotations positives, c'est-à-dire degauche à droite. Une droite 'ainsi construite, définie de direction mais non de position, dé• finie de sens et de grandeur, est ce qu'on appelle l'axe d'un cou] Soit donné l'axe OÀ d'un I couple, cet axe étant dirigé dans . le sens 0 À.; on trouvera le cou-1 pie correspondant ou un couple S équivalent, en menant par le ] point 0, origine de l'axe, un plan P, dans lequel on supposera appliquées deux forces égales , parallèles et de sens contraires F et F' ; leur dis- Fig. n. 

tance lî C est arbitraire, mais le 

produit F X doit être égal à la longueur 0 A, évaluée à ) l'échelle des moments. Enfin on dirigera les forces F et F' 1 de telle sorte que la tendance à la rotation représentée par l le couple semble avoir lieu de gauche à droite par rapport à " un observateur placé les pieds en 0 èt la tête en À. 

51 . La composition des couples se déduit de la composition des forces. 

Supposons que deux couples soient situés dans le même plan ou dans des plans parallèles. On connaît la valeur commune F des forces du premier couple, et la longueur b de son bras de levier ; le moment sera F b, avec le signe -j- ou avec le signe —, suivant le sens dans lequel le couple agit. Nous pouvons admettre^que le signe du moment soit attribué au facteur F, l'autre facteur b étant toujours pris en valeur absolue. Pour l'autre couple, il a de même une force F' qu'on prendra avec le signe convenable, et un bras de levier b' qu'on regardera comme positif. Nous pouvons, sans rien changer à l'équilibre, substituer au couple F' b' un couple F" b, ayant le même bras de levier que le premier couple, avec une force F" telle que l'on ait l'égalité 

Les deux couples Fb et F"b ont donc des bras de levier égaux, et on peut déplacer le second couple en le faisant tourner dans son plan ou en le transportant dans un plan parallèle, de manière à faire coïncider les points d'applica tion des forces F et F". Ces forces ont ainsi mômes points d'application et agissent suivant les mômes directions ; elles se composent aux deux extrémités du bras de levier en forces égales à leur somme algébrique F +F" ; le résultat de cette composition est donc un couple situé dans le même plan que les deux premiers, ou dans tout autre plan parallèle, et dont le moment est égal à 

Le moment du couple résultant est donc égal à la somme algébrique des moments composants. 

• Cette proposition s'étend à un nombre quelconque de couples, et l'on parvient à ce théorème : 

Le couple résultant de tant de couples donnés qu'on voudra, situés dans des plans parallèles, est situé dans un plan parallèle aux plans donnés, et son moment est la somme algébrique des moments des couples composants. 

L'axe du couple résultant est donc aussi la somme algébrique des axes des couples composants ; de sorte qu'on peut dire de môme que l'axe du couple résultant est la résultante des axes des couples composants , composés comme des forces à partir d'un même point de l'espace. Cette proposition est générale, comme on le verra tout à l'heure. 

La composition par voie d'addition des couples parallèles fait bien voir que le moment d'un couple est la vraie mesure de son énergie. On peut admettre comme un axiome que si l'on multiplie par un même nombre n les forces d'un couple sans rien changer à son bras de levier, l'énergie du couple 

est multipliée par ce nombre n. Or 

cela revient à additionner ensemble n couples égaux au premier, ou encore à composer ensemble n couples ayant le moment du couple donné. Le moment du couple résultant sera égal à n fois le moment du couple primitif ; en d'autres termes, les énergies des deux couples seront entre elles dans le mémo rapport que leurs moments. 

52. Supposons qu'il s'agisse de composer deux couples donnés C, C( agissant dans des plans qui se coupent. 

On peut déplacer chacun de ces deux couples, de manière à leur donner à chacun un bras de levier situé sur la droite d'intersection des deux plans qui les contiennent. Puis, on peut substituer à l'un des couples un couple équivalent, ayant le même bras de levier que l'autre couple. 

Soit AB jce bras de levier commun. Au point A nous au-gee 

rons une force AF, diri pendiculairement à AB dans le plan PP' du premier couple C ; au point B, une force parallèle égale et contraire BF' ; et de même, 

dans le plan QQ' du second couple C, , deux forces A F) , BF'f , 

également perpendiculaires à l'in tersection des plans P et Q. L'an gle plan FiAF mesure dièdre de ces deux plans. 

Nous composerons les couples C et Ci en composant séparément les forces F et Fi en une force AR, et les forces F' et F', en une force BIT. Les deux résultantes AR et BR' seront égales et parallèles, et formeront le couple résultant. Nous voyons donc que deux couples se composent toujours en un couple unique. 

Construisons les axes des couples C, Ct et du couple résultant Pour cela, au point A, élevons une perpendiculaire au plan PP', et prenons sur cette droite une longueur Atp représentant à l'échelle des moments le moment du couple C, 

ou le produit F X A-B 

Au même point À, élevons une perpendiculaire au plan QQ', et prenons sur cette droite, à la même échelle, une longueur A ai égale au moment du couple C( ou au produit F,XAB. 

Enfin, menons perpendiculairement au plan BAR une droite Ap que nous prendrons égale au moment R X AB du couple résultant. 

Les trois droites Ao, Ap, Acp< sont toutes trois dans un plan normal à la droite AB, c'est-à-dire dans le plan des trois forces F, R et Fj ; de plus, les angles çAF, pAR, o, AT, sont tous trois des angles droits ; les trois directions Ao, Ap, Ac?i peuvent donc être obtenues en faisant tourner d'un angle droit les directions AF, AR, AFj , autour du point A dans le plan normal à AB. De plus, les longueurs A?, Ap, Ao, , sont, par construction, proportionnelles à 

La figure Aippo, est donc semblable à la figure AFRFi , et par suite Ap, axe du couple résultant, est la résultante géométrique des axes Aa>, Acpf des couples composants. 

De là résulte la règle suivante qui est tout à fait générale, et s'applique aux couples situés dans des plans parallèles ou dans des plans qui se coupent. 

Pour composer des couples donnés, on construira en un mêmepoint de l'espace les axes de chacun de ces couples ; puis on composera ces axes à la manière des forces. La résultante sera l'axe du couple résultant. 

53. Remarquons l'identité des règles de la composition des forces et des couples, avec les règles cinématiques de la composition des rotations et des translations. Cette identité 

est complète, pourvu que l'on assimile les forces aux rota-lions d'une part, les couples aux translations, de l'autre. Le tableau suivant fera ressortir cette analogie. 

Une rotation estdéfînie quand on connaît la position de l'axe autour duquel elle s'opère, le sens dans lequel elle a lieu, et la vitesse angulaire. 

| On la représente par une droite finie, prise sur l'axe, dans un certain sens, à partir l'un point quelconque. 

Deux rotatioi\s concourantes se composent en une seule par la règle du parallélogramme des rotations. 

| Deux rotations parallèles se composent en une seule, égale à leur somme algébrique. Le centre de la rotation résultante partage la distance des centres jdes rotations composantes en segments réciproquement proportionnels aux rotations données 

| Deux rotations parallèles, égaies et contraires forment un cou'• de rotation qui équivaut à june translation. La vitesse de la •translation résultante est le pro-jduit de la vitesse angulairecom-jmune aux deux rotations par jla distance des axes j Une translation se représente par une droite finie, parallèle 

Ià la vitesse de la translation et 

Une force est définie quand on connaît la position de. la droite suivant laquelle elle agit, le sens dans lequel elle agit, et son intensité. 

On la représente par une droite finie, prise sur sa direction dans le sens où elle, agit, à partir d'un point quelconque, que l'on considère comme son point d'applicatian. 

Deux forces concourantes se composent en une seule par la règle du parallélogramme des forces. 

Deux forces parallèles se composent en une seule égale à leur somme algébrique. Le point d'application de la résultante partage la distance des points d'application des composantes en deux segments réciproquement proportionnels à ces composantes 

Deux forces parallèles, ègalae et contraires forment un couple. 

Le moment du couple est le produit de la valeur commune aux deux forces par leur distance ou bras de levier. 

Un couple peut se représenter par son axe, droite finie, égale à son moment, élevée dans 

de même sens, et qu'on peut transporter partout où l'on voudra parallèlement à elle-même. 

Deux translations se composent en une seule au moyen du parallèlogrammeldes translations construit [en un point quelconque de l'espace. 

un certain sens perpendiculairement à son plan, et qu'on peut déplacer comme on voudra parallèlement à elle-même. 

Deux couples se composent en un seul au moyen du parallélogramme des axes, construit en un point quelconque de l'espace. 

La composition des forces et des couples appliques a un même corps solide complétera cette analogie, et fera reconnaître en statique les propriétés correspondantes à celles qui ont été établies en cinématique, pour la réduction du mouvement général d'un solide à deux rotations, ou à une rotation etji une translation, ou enfin au mouvement héliçoïdal le long et autour de l'axe instantané glissant. 

COMPOSITION ET REDUCTION AU MOINDRE NOMBRE 

DES FORCES APPLIQUÉES A UN CORPS SOLIDE. 

bi. Un corps solide, libre dans l'espace, est sollicité par un nombre quelconque de forces ; on donne pour chacune son point d'application, sa direction et son intensité. On demande de substituer à ces forces d'autres forces équivalentes au point de vue de l'équilibre, et dont le nombre soit le plus petit possible. Les exemples que nous avons déjà examinés, peuvent éclaircir ce problème. Lorsque les forces sont ou concourantes, ou parallèles, on peut les réduire à une force unique, leur résultante, sauf le cas où l'on obtient un couple; les forces données se réduisent alors à deux forces, et l'on ne peut pousser plus loin la réduction. 

Nous ferons voir dans ce chapitre que l'on peut toujours réduire à deux forces un système quelconque de forces appliquées à un système solide, et que la réduction à une force unique n'est possible que dans des cas particuliers. 

On voit que le problème de l'équilibre des systèmes solide sera résolu dès que nous aurons trouvé les lois de cette' réduction. Car il parait évident que deux forces appliquées à un même système ne peuvent se faire équilibre qu'à la condition d'être égales, et appliquées en sens contraires en deux points d'une même direction. On saura donc qu'un corps solide est en équilibre, en vérifiant que les forces qui sollicitent ce corps peuvent se réduire à deux forces remplissant toutes ces conditions. 

oo. On peut toujours réduire les forces qui sollicitent un corps solide à trois forces ayant pour points d'application trois points Ay B, C, pris arbitrairement dans le solide. 

Soit F une des forces données ; M son point d'application. Nous pouvons supposer cette force appliquée en un point 0 quelconque , pris sur sa direction. Joignons OA, OB, OC. Généralement ces trois droites ne seront pas dans un même plan. On peut les considérer comme les directions des arêtes d'un parallélépipède dont la diagonale aurait pour direction la droite OF. On pourra donc décomposer au point 0 la force OF' = F en trois composantes OR', OS', OT', dirigées suivant les droites OA, OB, OC. Ensuite, on peut transporter les forces OR', OS', OT' aux points A, B et C, ce qui donnera les trois forces AR, BS, CT, qui remplacent la force donnée MF. 

On opérera de même pour chacune des forces données ; et pour chacune on obtiendra de même trois composantes, appliquées l'une au point A, l'autre au point B, la troisième au point C. 

Toutes les forces appliquées en A se composeront en une force unique par la règle du polygone des forces : de même toutes les forces appliquées en B se composeront en une seule ; toutes les forces appliquées en C se composeront de même. On obtiendra donc, par cette décomposition et cette recomposition, trois forces appliquées , la première en A, la deuxième en B, la troisième en C, et qui équivaudront à toutes les forces données. 

• La décomposition est d'ailleurs possible d'une infinité de manières, car elle dépend de la position arbitrairement assignée au point 0 sur la direction MF. 

RÉDUCTION DES TROIS FORCES A DEUX 

56. Nous avons ramené les forces données à trois forces R, S, T, appliquées respectivement aux points A, B, C du solide (fig. 50). Nous allons réduire ces trois forces à deux seulement Par le point A, arbitrairement pris sur la direction de l'une des forces R, et la force BS, nous pouvons faire 

passer un plan. Ce plan coupera generalement la droite CT en un point M où l'on peut supposer la force T transportée. Joignons A M ; cette droite rencontre la direction B S en un point B', et nous pouvons supposer la force S appliquée en ce point. Dans le plan ABSM, menons parles points A et M deux droites AA', MM', 

parallèles à B S ; puis décomposons la force S en deux forces parallèles, respectivement appliquées aux points A et M ; la règle des forces parallèles nous donne immédiatement les valeurs des composantes. 

Suivant A A', la composant^ A Si = S X T\T' et suivant 

On peut donc remplacer la force S par ses composantes ASi et MS, ; ensuite on peut composer Si avecR, et S, avec T par la règle du parallélogramme. Ces opérations conduiront à deux forces AP, MQ, équivalentes aux trois forces R, S, T, et par suite équivalentes aux forces primitivement données. 

On voit de plus que les forces se réduiront à une si les deux forces AP, MQ sont dans un même plan. 

•Notre raisonnement suppose que le plan conduit par le point A et la droite BS, rencontre quelque part la droite CI. 11 pourrait arriver qu'en prenant au hasard lé point A sur la direction de AB, le plan ABS fût parallèle à CT. Dans ce cas, on pourrait, changer la position du plan et l'amener à rencontrer la droite CT, en prenant un autre point A sur la droite AR ; ou bien, si le plan ABS ne variait pas de position avec le point A, ce serait l'indice que les deux forces AR, B S sont dans un même plan ; elles auraient donc une résultante unique, et la réduction des trois forces à deux s'obtien drait par la composition de deux des forces données. 

RÉDUCTION DES FORCES A DEUX, AU MOTEN DES - COUPLES 

57. La théorie des couples conduit beaucoup plus simplement au môme résultat. 

Soit une force F appliquée en un point A d'un corps solide. Prenons arbitrairement un point 0 faisant partie du corps solide, ou relié invariablement à ce corps, s'il n'en fait J)as partie. Nous ne changerons rien au système de forces en appliquant en ce point deux forces F et —F, égales et contraires, et nous prendrons ces forces égales et ) parallèles à la force ÀF. Il reste donc f J une force F appliquée au point O, et —f-^ deux forces F et — F, appliquées l'une /F en A, l'autre en 0, et formant un 

51_ couple (F, —F). A toute force donnée 

F, on peut donc substituer le système formé de cette force transportée en un point 0 quelconque parallèlement à elle-même, et un couple (F, —F) dont le bras de levier OP est la distance du point 0 à la direction AF de la force. 

Nous pouvons opérer ainsi pour chacune des forces données Nous transporterons toutes les forces parallèlement à elles-mêmes en un point 0, lié invariablement au système solide ; de ce transport résulte la formation d'autant de couples qu'il y a de forces. Nous pourrons ensuite composer , ensemble toutes les forces appliquées au point 0, ce qui nous donnera une résultante appliquée en ce même point ; puis, composer ensemble tous les couples, ce qui nous donnera un couple résultant. Un système de forces peut donc être ramené à une force unique, 11, et à un couple unique, C. 

Le couple C peut être transporté où l'on voudra dans des plans parallèles. Nous pouvons donc faire en sorte que l'une P des forces du couple C ait un point commun A avec la résultante R (fig. 52). Composant les forces R et P, nous aurons ramené le système des forces à deux composantes : la force S et la force -r- P. 

On peut remarquer que, quel que soit le point 0 (fig. 51 ) où l'on transporte lesTorces données, leur résultante R aura la même grandeur et la même orientation dans l'espace. Car la résultante R est le dernier côté du polygone des forces, dont les côtés ne varient ni de grandeur, ni de direction, 

en quelque point qu'on le construise. 

Cette résultante R a reçu le nom de résultante de translation du système de forces données. On verra en dynamique la raison de cette définition. 

La direction du plan du couple résultant C, et la grandeur de ce couple, varient au contraire avec la position assignée au point 0. 

58. Il est facile de voir comment varie le couple C quand on change la position du point 0. Pour cela, imaginons qu'après avoir déterminé la résultante R et le couple C en nous servant du point 0, nous voulions avoir la résultante et le couple pour un point 0' différent du premier. Il suffira de transporter la résultante R en ce point, ce qui donnera naissance à un nouveau couple (R, —R), qu'on aura à composer avec le couple C. Le couple change donc seul, comme nous l'avions déjà reconnu. 

Le plan du couple résultant varie donc de position avec le point 0, où l'on transporte toutes les forces pour obtenir la résultante R. La direction de la force R étant au contraire toujours la même, l'angle de la force R avec le plan du couple C varie avec la position du point 0. Nous allons démontrer que le couple résultant est le plus petit possible quand cet angle est droit, c'est-à-dire quand l'axe du couple C est parallèle à la résultante R. 

Il suffit de faire voir (fig. 54) que tout déplacement du point 0 en dehors de la direction de la force 0 R entraîne un accroissement du couple C. 

Soit 0' le nouveau point choisi pour y transporter les forces. Abaissons O'O perpendiculaire sur OR; nous pourrons regarder la force R comme appliquée en ce point 0 pris sur sa direction, et le couple C comme représenté par son axe OC, porté sur OR à partir du même point. Au point 0' appliquons deux forces égales et parallèles à R, et en sens contraire l'une de l'autre ; nous substituons ainsi à la force R une force R, égale et parallèle appliquée en 0', et un couple (R, —R), dont le j moment est R X 00', et dont on aura l'axe en Fig 5i prenant une quantité OH égale à ce moment, sur la perpendiculaire élevée au point 0, au plan ROO'. Le nouveau couple résultant. G' s'obtiendra donc en composant au point 0 l'axe 0 C du couple primitif avec l'axe 011 du couple (R, —R), ce qui donne un axe OC', diagonale du rectangle OCC'H; et par suite, le nouveau couple C' a un moment plus grand que le couple C. 

De quelque côté que l'on déplace le point 0 autour de la direction OR, on obtient donc un accroissement dans la grandeur du couple résultant, et cet accroissement est le même pour un même écart 0 0' pris dans le plan normal à OR, mené par le point 0. 

Il n'existe donc qu'une seule droite OR, tout le long de laquelle le plan du couple résultant soit normal à la résultante ; c'est celle pour laquelle le couple résultant est minimum. 

L'analogie que nous avons déjà fait pressentir entre la statique et la cinématique des corps solides se complète ici. En effet , tout déplacement élémentaire d'un corps solide a été ramené à la coexistence d'une rotation et d'une translation, et nous avons reconnu qu'on peut déterminer un axe de rotation unique , parallèlement auquel la translation s'opère; c'est l'axe du mouvement hélicoïdal du corps solide. La translation est alors minimum, la rotation restant toujours constante (Ciném., § § 89 et 90). De même, nous venons de ramener les forces sollicitant le corps solide à une résultante R, qui correspond à la rotation, et à un couple C, qui correspond à la translation ; puis, nous 

avons reconnu l'existence d'une direction unique, qui est à la fois la direction de la résultante, la direction de l'axe du couple résultant,et le lieu des points pour lesquels le couple résultant est le plus petit possible. Cette droite a été appelée par Poinsot l'axe central des moments ou des couples. 

Enfin, la réduction de toutes les forces données à deux forces correspond à la décomposition du déplacement élémentaire d'un corps solide en deux rotations simultanées (Ciném., § 99). 

59. Proposons-nous de trouver la position de l'axe central. 

Soit OR la résultante de translation, supposée appliquée au point 0, et OC l'axe du couple correspondant, qu'on peut mener aussi par le point 0. Décomposons le couple OC en deux couples composants, l'un 0 A, suivant la direction de la résultante R, l'autre OR, perpendiculaire à la résultante. Par le point 0, menons une droite OX, perpendiculaire au plan ROB passant par la force R et le couple C ; et sur cette droite, prenons, dans un sens qu'on définira tout à l'heure, un point 0', tel que R X 00' s0'4, sgal au c°ùple OB. Nous pouvons transporter au point 0' la résultante R, en appliquant en ce point deux forces R et — R, 

égales, parallèles , et contraires l'une à l'autre. Par là nous donnons naissance à un couple (R, — R) dont le bras de levier est 0 0', et dont le moment R X 0 0' est égal au moment du couple composant OB. 

Nous pouvons d'ailleurs prendre sur la droite OX la distance 00' dans un sens tel que l'axe OB' du couple (R, —R) soit dirigé en sens contraire de OB, sur la droite perpendiculaire au plan ROO'. On ramène ainsi le système de la force 0 R et du couple C au système de la force 0' R et des trois couples OB, OB', OÀ; les deux premiers couples sont égaux et contraires ; ils se détruisent donc, et il reste la résultante R appliquée en 0', et le couple OA, dont l'axe est parallèle à la résultante. La droite 0' R e6t donc l'axe central du système des forces données. 

DETERMINATION ANALYTIQUE DE LA RESULTANTE ET DU COUPLE RÉSULTANT D'UN SYSTÈME DONNÉ DE FORCES APPLIQUÉES A UN COUPS SOLIDE. 

60. Nous supposerons que l'on connaisse les points d'ap plication des forces par leurs coordonnées, et les forces elles-mêmes par leurs composantes parallèles aux axes. Pour chaque force F, appelons X, Y, Z les composantes parallèles aux axes OX, OY, OZ, etx, y, z, les coordonnées du point d'application, prises par rapport à ces mêmes axes. On suppose les axes rectangulaires. 

Nous distinguerons par des indices les forces appliquées aux divers points du corps solide. S'il y a n forces, les lettres X, Y, Z, x, y, z recevront donc en indice les numéros de 1 jusqu'à n. 

Nous désignerons par X', Y', Z' les composantes de la résultante de translation R de ces n forces, et par L', M', N', les composantes du couple résultant, décomposé aussi parallèlement aux axes. 

Considérons en particulier une force F , appliquée àu point M ; transportons-la à l'origine 0, que nous supposerons invariablement liée au système solide ; nous aurons de cette manière une force OF, appliquée en ce point , et un couple (F, — F), dont le moment sera le moment de la force MF par rapport au point 0. 

Décomposons la force OF en Fig gQ. ses composantes X, Y, Z, parallèles 

Décomposons de même le couple (F, — F) en ses composantes en le projetant sur les trois plans XO Y, YOZ, ZOX. Les couples composants auront pour moments (§ 46) : 

Dans le plan XO Y, le moment de la force MF par rapport à l'axe 0 Z, ou Ya; — Xy ; 

Dans le plan YOZ. le moment de la même force par rapport à l'axe OX, ou ly — Yz; 

Enfin, dans le plan ZOX, le moment de la force MF par rapport à l'axe OY, ou Xz — Ix. 

Les expressions Yx — Xy, Ly — Yz, Xz — Zx représentent donc respectivement les axes des composantes du couple (F, —F), et ces quantités doivent être portées sur les axes coordonnés OZ, OX, OY. 

Opérons de même pour les n forces ; nous aurons pour chacune trois composantes appliquées au point 0 suivant les trois axes, et trois couples composants, dont les axes coïncideront avec les mêmes lignes. 

Les composantes des forces appliquées suivant le même axe, se composent en une seule force, par voie d'addition algébrique. De même, les axes des couples composants se composent à la-manière des forces. On obtiendra donc les six inconnues, savoir : les trois composantes X', Y', Z' de la force R, et les trois couples composants L', M', N' du couple C, au moyen des équations : 

L' = (Zi y{ — Y|2i)-{-(Zai/a — Yaza)-4-(Z3y3 Y3s3) -f-... 

M' = (X, z, — Z( £))-}- (X.s, -Z,<) + (X,*3—Z,®Ï)+• • ■ 

J N' = (Y, x,—X, y, ) + (Y,®, — X.y.) + (Y,œ,— X3i/3) +... 

! Pour trouver ensuite la force R et le couple C, on composera par la règle du parallélogramme, d'une part, les trois composantes X', Y', Z', et de l'autre, les trois couples composants L', M', N'. 

CONDITION PODR QUE IES FORCES AIENT UNE RESULTANTE UNIQUE 

61 . Nous savons déjà que pour que les forces aient une résultante unique (laquelle résultante sera égale à la force R, résultante de translation), il faut et il suffit que la force R soit parallèle au plan du couple C, ou bien que la force R soit perpendiculaire à l'axe du couple. 

Construisons la force R appliquée au point 0 ; pour cela, il.suffira de prendre sur l'axe OX, une quantité 0 S = X', puis dans le plan XO Y, perpendiculairement à OX, la quantité SP = Y', enfin, perpendiculairement au planXO Y, une quantité PR = l'. La force OR sera la résultante des forces X', Y', Z', appliquées au point 0 suivant les axes; 

Prenons de même OK = L', K1I = M', IIC = N'; la résultante 0 C sera l'axe du couple résultant, axe dont les 

composantes sont égales respectivement à L', M', N'. 

Pour que les forces aient une résultante unique, il faut et il suffit que l'angle COR soit droit, ou, en joignant CR, que le triangle COR soit rectangle, et qu'on 

Mais OC est la diagonale du parallélépipède rectangle dont les arêtes sont L', M', N' ; et par suite 

OC = L' -J- M -f- N ; OR2 = X'24-Y'2 + Z'2. 

Enfin, CR est la diagonale d'un parallélépipède rectangle dont les arêtes parallèles aux axes sont égales en valeur 

absolue aux différences L' — X', M' — Y', N' — Z', et l'on a ^par conséquent 

CR2 = (L' — X')2 + (M' — Y')2 + (N' — Z')2. La condition s'exprime donc par l'équation 

• (L' — X')2 + (M' — Y')2 + (N' — Z')2 

= (L'2 + M'2 + N'2) + (X'2 + Y'2 + Z'2). 

Développant les carrés dans le premier membre, effaçant de part et d'autre les termes communs et supprimant le facteur 2, on arrive à l'équation finale : 

CONDITION POUR QBE LES FORCES SE RÉDUISENT A UN COUPLE 

62. La résultante de translation est toujours la même, en quelque point qu'on transporte les forces pour les composer ; pour que les forces se réduisent à un couple, il faut et il suffit donc que la résultante R soit nulle, ce qui suppose i la fois X' = 0, Y' = 0, Z' = 0. 

Lf X' -j- M'Y' + N' Z' = 0 

est satisfaite d'elle-même, de sorte qu'elle exprime à la fois la condition pour que les forces se réduisent à une force unique, ou à un couple unique ; le couple peut être en effet assimilé à une force unique, d'intensité nulle, dont le point d'application serait infiniment éloigné. 

63. Étant donné un polygone ABCDEFÀ, tracé dans un plan, on applique au sommet A, dans la direction AB, une force proportionnelle à AB; au sommet B, suivant BC, une force proportionnelle à BC; au sommet C, suivant CD, une force proportionnelle à CD, et ainsi de suite, jusqu'au sommet F, auquel on applique suivant FA une force proportionnelle à FA. On demande 

de réduire ces forces à une résultante et à un couple. 

On peut choisir l'échelle qui sertà représenter les forces par des droites finies, de telle sorte que AB, BC, ... FA soient les-longueurs représentatives des forces appliquées suivant ces côtés. 

La résultante de translation s'ob tiendra en composant les forces données, transportées parallèlement à elle-même, en un même point. Choisissons pour ce point le point A. La résultante sera le dernier côté du polygone des forces construit à partir du point A ; or ce polygone n'est autre que le polygone donné, lequel se ferme de lui-même. La résultante de translation est donc nulle, et par suite les forces se réduisent à un couple. 

Le couple résultant est situé dans le plan de la figure ; son axe est perpendiculaire à ce plan. Pour avoir le moment du couple, il suffit de prendre la somme des moments des forces par rapport à un point 0 quelconque du plan. De ce point, abaissons des perpendiculaires 01, 01', ... sur les côtés. Le moment de la force AB par rapport au point 0 est le produit AB X 01, ou le double de l'aire du triangle OAB. Il en serait de même pour tous les autres triangles OBC, OCD, ... OFA. Faisant la somme de tous ces triangles, on obtient l'aire du polygone. Le moment du couple résultant est donc représenté par le double de la surface du polygone donné. 

On parviendrait au même résultat en prenant le point 0 en dehors idu polygone; les triangles extérieurs au polygone devraient être pris négativement, et correspondraient à des moments négatifs. 

Il résiste de là que si dans le même plan ou dans deux.plans parallèles formant un système solide* on applique, suivant les côtés de deux polygones tracés respectivement dans ces deux plans, des forces proportionnelles aux côtés de ces polygones, eu les dirigeant dans un sens pour l'un des périmètres,; en sens contraire pour l'autre, le système ainsi composé sera en équilibre, pourvu que les aires des deux polygones soient égales. 

En effet, les forces appliquées-à l'un des deux polygones se réduisent à un couple, dont le moment est mesuré par le double de l'aire de ce polygone ; les deux couples sont donc égaux si les aires sont égales ; ils sont d'ailleurs de sens contraires, dans le même plan ou dans des plans parallèles. Ils se composent donc en un couple unique, égal à zéro, et les forces données se font par suite équilibre. 

64. Étant donné dans un plan un contour polygonal ABCD, on applique au milieu à ces côtés, des forces IH == AB , KM = BC, 

LN = CD ; ces forces sont dirigées toutes à droite du contour, par rapport à un observateur qui marcherait le long de la ligne brisée ABCD. 

On demande de trouver la résultante des forces ainsi définies. 

Transportons les forces données en un point 0 du plan ; .nous les composerons en menant par ce ' point une droite OP égale et parallèle à IH, puis, 

par le point P une droite iPQ, égale et parallèle à Fi-. «9. 

;KM, enfin par le point Q ° 

june droite QR, égale et parallèle à LN. Joignant OR, nous laurons la résultante cherchée. MaisOP=IH = AB, PQ = KM=BC, QR = LN = CD ; les directions OP, PQ, QR, sont d'ailleurs perpendiculaires respectivement à AB, BC, CD; le polygone des forces OPQR est donc égal au polygone donné, qu'on aurait fait tourner d'un angle droit, de gauche à droite, et qu'on aurait 

ensuite transporté parallèlement à lui-même, de manière à faire coïncider le point A avec le point 0. La résultante OR est donc égale à AD, et perpendiculaire à AD. 

Cherchons le couple résultant des couples produits par le transport des forces au point 0. Pour cela, il suffira de faire la somme des moments, des forces 1H, KM, LN, par rapport au point 0. 

Soit 0' la projection du point 0 sur la direction AB du premier côté. La distance O'I sera le bras de levier du premier couple, et le moment de ce couple sera le produit 

Mais on peut remplacer AB par O'B — 0'A, et O'I par ^ 

puisque I est le milieu de AB. Donc le moment cherché est égal à 

(O'B - O'A) X (°'R ^°'A) = i (Ô7!2 - (^Ad joignons OA et OB; les triangles OO'A, OO'B, rectangles en 0', nous donnent : 

ÔB2 - ÔT= 0"7!? - (FS2. 

Le moment de la force IH par rapport au point 0 est donc représenté par l'expression 

Par la même raison, si l'on joint OC, OD, les moments des forces KM et LN seront respectivement 

La somme des moments, qui est le moment du couple, est donc égale à 

T (ÔB2 - ÔT!)+|(ÔCa - OB2) -f i (ÔD~—ÔC2) = i- (ÔD2—ÔÂ2). 

Au milieu S du côté AD, appliquons perpendiculairement à AD une force ST = AD; le moment de cette force par rapport au point 0 sera, d'après ce qui précède, égal à jr (ÔD2 — OÂ2) ; la force ST est d'ailleurs égale et parallèle à la résultante OR. Donc cette force ST est la résultante cherchée. 

Si le contour polygonal donné était fermé de lui-même, la résultante des forces données serait nulle, et la somme des moments également nulle. Le système serait donc en équilibre, et l'on a ce théorème : Un polygone plan est en équilibre sous l'action de forces appliquées dans son plan perpendiculairement aux m ilieux des côtés du po'ygone, proportionnelles à ces côtés et dirigées dans un même sens (à droite ou à gauche) par rapport à un observateur faisant le tour du polygone sans jamais revenir sur ses pas. 

CHAPITRE IV ÉQUILIBRE DES SYSTÈMES MATÉRIELS 

65. Un point matériel est libre lorsqu'on peut lui attribuer indifféremment dans l'espace telle position qu'on voudra. Lorsqu'il en est autrement, le point matériel n'est pas libre, et on dit qu'il est assujetti à certaines liaisons. Par exemple, un point matériel M attaché à un fil inextensible OM, dont l'extrémité est fixée en un point 0 donné, n'est pas libre, puisqu'il ne peut s'éloigner du point 0 d'une quantité supérieure à la longueur OM. Il est donc assujetti, par la liaison ainsi définie à rester dans l'intérieur de la sphère décrite du point 0, comme centre avec la distance OM pour rayon, ou à la surface de cette sphère. 

Au lil OM substituons une barre rigide, inextensible et incompressible, articulée au point 0 ; la liberté du point M sera encore plus restreinte que tout à l'heure ; non-seulement il ne pourra s'éloi gner du point 0 à une distance plus grande que OM, mais encore il ne pourra se rapprocher du point 0 à une distance moindre. La liaison a donc pour effet d'assujettir le point matériel à se mouvoir à la surface de la sphère qui a pour rayon OM, et pour centre le point 0. 

Imaginons que le point M soit placé à l'extrémité commune de deux tiges rigides OM, O'M, articulées aux points 0 et 0' , que l'on suppose fixes. Cette double liaison maintiendra à la fois le point 

mobile à une distance donnée, OM du point 0, et à une distance donnée O'M du point 0'. Le point M est à la fois sur la sphère décrite de 0 comme centre avec OM pour rayon, et sur la sphère décrite de 0' comme centre avec 0' M pour rayon ; il est donc assujetti par la liaison à se mouvoir sur la courbe intersection de ces deux surfaces sphériques , c'est-à-dire sur la circonférence décrite dans un plan normal à 0 0', du pied À de la perpendiculaire abaissée de M sur cette droite, et avec la distance AM pour rayon. Le point mobile est ainsi lié à une courbe fixe. 

Si nous remplaçons les barres rigides OM, O'M, par deux fils inextensibles , le point M ne sera plus assujetti par ces liaisons qu'à demeurer à l'intérieur ou à la surface des sphères décrites avec OM et O'M pour rayons; les liaisons l'assujettissent alors à demeurer dans la partie commune aux volumes de ces deux sphères. 

Nous venons de reconnaître ainsi trois genres principaux de liaisons pour un point matériel : le point peut être renfermé dans une portion définie de l'espace ; 

Il peut être assujetti à glisser sur une surface ; 

Il peut enfin être assujetti à glisser sur une ligne. | 66. Les points matériels qui composent un système peu' vent être aussi soumis à diverses liaisons. Par exemple, deux | points particuliers peuvent être assujettis à rester à une i distance invariable l'un de l'autre. Cela revient à supposer ' ces deux points réunis par une barre rigide. Un solide inva-\ riable n'est autre chose qu'un système dans lequel les dis— : tances mutuelles des points matériels pris deux à deux, de ; toutes les manières possibles, sont constantes. 

Certains points du système peuvent être assujettis à ! glisser sur des surfaces ou des lignes données, ou à rester dans une portion définie de l'espace, ou encore à conserver des positions fixes. Le système matériel peut se composer de deux parties dont l'une soit assujettie à rouler ou à glisser sur l'autre dans leur mouvement relatif, etc. 

Si le système est solide, on peut imaginer qu'il ait un point fixe : chaque point du système sera alors mobile à la surface d'une sphère décrite du point fixe comme centre ; 

ou bien qu'il ait deux points fixes : alors le corps solide sera assujetti à tourner autour de la droite qui joint ces deux points ; ou encore, qu'il repose sur une surface fixe, avec laquelle il ait un ou plusieurs points communs. 

Ces exemples suffisent pour faire comprendre ce qu'on appelle liaison dans la mécanique. Le caractère commun des liaisons qu'on peut imposer à un système est la restriction des mouvements admissibles pour ce système. On dit que les liaisons sont complètes lorsqu'elles suffisent pour définir les trajectoires de chaque point et les rapports des vitesses simultanées des points sur ces trajectoires. Par exemple, un corps solide, assujetti à tourner autour d'un axe fixe, est un système à liaisons complètes; car chaque point est assujetti par les liaisons à décrire autour de l'axe fixe une circonférence particulière, et à un instant quelconque les vitesses des différents points sont entre elles comme les distances de ces points à l'axe. Une seule équation suffit dans ce cas pour définir le mouvement du système. 

Il ne faut pas oublier d'ailleurs que les liaisons.peuvent être entièrement fictives ; nous verrons même qu'il en est toujours ainsi, et qu'il n'y a en réalité dans la nature qn.1 des points libres sollicités par des forces. 

67. Les liaisons d'un système tiennent d'ailleurs lieu de forces, et l'on peut toujours supprimer la liaison en y substituant les forces convenables. Supposons un système à liaisons en équilibre. Les forces données qui sollicitent ce système peuvent ne pas être en équilibre par elles-mêmes, c'est-à-dire sur le système supposé libre ; pour les tenir en équilibre, il faudrait introduire de nouvelles forces, et les liaisons qui complètent l'équilibre équivalent à ces forces nouvelles. 

Par exemple, supposons qu'un point matériel unique M, soit assujetti à glisser sur une surface fixe S. Ce point est sollicité par une force MF, donnée de grandeur et de position S'il y a équilibre dans la position particulière où se trouve le point M, on en conclura que la surface S exerce sur le point M une action égale et contraire à MF. Cette 

force — F sera la réaction de la surface, ou la force tenant lieu de la liaison due à cette surface. 

Si un système solide en équilibre a un point fixe, on pourra remplacer de même la fixité du point par une force convenable appliquée en ce point et qui tienne toutes les autres en équilibre. 

Outre les forces extérieures et les forces intérieures, que nous avons déjà distinguées (| 7), il y a donc encore à considérer les forces, tenant lieu des liaisons, si le système matériel dont on étudie l'équilibre n'est pas composé de points libres. Les forces dues aux liaisons peuvent être intérieures ou extérieures. Par exemple, si dans un système matériel, deux points sont réunis par une tige rigide de longueur constante, les forces tenant lieu de cette liaison seront la tension ou pression de cette tige, appliquée à la fois aux deux points qu'elle réunit ; ce sont dans ce cas des forces intérieures mutuelles. Au contraire, lorsqu'un corps solide a deux points fixes, les forces tenant lieu de ces liaisons sont les réactions des points fixes ; ce sont des forces extérieures, au même titre que les forces appliquées en divers points du "système. 

68. La force qui tient lieu d'un point fixe est une force appliquée en ce point ; sa direction et son intensité sont inconnues. 

De même , lorsqu'un point matériel M est .assujetti à glisser sur une surface fixe S , la force F , qui peut remplacer cette liaison est une force appliquée au point matériel M; elle peut se décomposer en deux : l'une, N, 

normale à la surface, et l'autre, T, 

dans le plan tangent; la composante MN s'appelle la réaction normale, et la composante MT s'appelle le frottement. 

Nous aurons plus tard à exposer les lois de cette force tangentielle. On a reconnu par l'expérience que lorsqu'on fait glisser un corps sur une 

surface, la composante Ml de la réaction totale est d'autant moindre qu'on a donné aux surfaces en contact un plus grand degré de poli. Si d'ailleurs la surface S est une surface géométrique, idéale, on doit admettre que la composante MT est rigoureusement nulle, ce qui revient à admettre que la réaction totale MF coïncide avec la réaction normale MN. Dans cette hypothèse, que l'on fait généralement dans la mécanique rationnelle, la réaction d'une surface sur un point assujetti à la parcourir est normale à la surface. Elle est donc connue d'avance en direction, mais il reste à déterminer sa grandeur et son sens. On doit en outre observer que si le point est simplement posé d'un côté de la. surface, et s'il n'y est pas lié invariablement, c'est-à-dire si la surface n'est qu'une limite de la région de l'espace dans laquelle il peut se mouvoir, la réaction de la surface est ou nulle, ou dirigée vers cette région ; car, en vertu du principe de l'ac tion et de la réaction, les forces qui agissent sur le point matériel supposé en équilibre ont une résultante égale et contraire à la réaction de la surface ; si celle-ci pouvait être dirigée vers la région où le point ne peut pénétrer, la résultante des forces serait dirigée en sens contraire, c'est-à-dire dans le sens où la surface ne fait pas obstacle à l'entraîne ment du point. 

On traite de la même manière le cas où le point matériel ■est assujetti à glisser sur une ligne. Si l'on admet qu'il n'y ait aucun frottement, la réaction d'une ligne sur un point qui peut la parcourir, est normale à cette ligne ; elle n'est donc connue immédiatement ni en intensité, ni en direction car il y a une infinité de normales en un même point d'une ligne , toutes contenues dans le plan normal ; on sait seulement que la direction cherchée est comprise dans ce plan. 

69. On fait souvent usage en statique de la proposition suivante, qu'on peut regarder comme un axiome : 

Quand un système matériel est en équilibre, on peut, sans troubler l'équilibre , y introduire telles liaisons qu'on voudra. 

L'introduction de ces nouvelles liaisons n'a d'autre effet 

DES SURFACES ET DES LIGNES. 87 

que d'empêcher les mouvements que pourrait prendre le 1 système, lequel est en équilibre par hypothèse, et ne tend pas à se déplacer. 

ÉQUILIBRE D'UN POINT MATÉRIEL ASSUJETTI A GLISSER SANS FROTTEMENT SUR UNE SURFACE FIXE. 

70. Un point matériel M est assujetti à glisser sans frottement sur une surface iixe S. Ce point est sollicité par une force F, connue en grandeur et en direction pour chaque position du point M. On demande quelle position il faut donner au point mobile pour qu'il soit en équilibre. 

Dans la position cherchée, il y aura équilibre entre la force F et la réaction R de la surface ; la réaction R est par hypothèse normale à la surface, et il faut pour l'équilibre qu'elle soit directement opposée à la force F ; donc, la position cherchée est celle pour laquelle la force F a une direction normale ; à la surface S. La réaction R est alors égale à F, mais dirigée en sens contraire. 

Supposons par exemple que la force F soit constante en grandeur et en direction , et qu'elle agisse sur le point M parallèlement à un axe iixe OZ. Il faudra, pour l'équilibre , que le point M R 

soit placé en un point tel z| fv 

! que la normale en ce point l soit parallèle à l'axe OZ, ou | tel que le plan tangent en ce | point soit normal à cet axe. 

Si la surface donnée est une sphère (fîg. 64), les pointscher-; chés seront à l'intersection de ! la sphère avec une droite menée par son centre C , T parallèlement à OZ : ce qui Flg" 64 ' 

fournit deux points A et A', où il peut y avoir équilibre. 

Supposons que la force F soit dirigée de haut en bas, dans le sens ZO. Dans la position A, le point mobile sera sollicité par la force F, et par la réaction R de la surface égale à F, 

et dirigee de bas en haut, c'est-à-dire vers le centre C de la surface. 

Dans la position A.', le point M est en équilibre sous l'action des mômes forces F et R, mais la réaction R, toujours dirigée de bas en haut, s'exerce vers l'extérieur de la sphère, c'est-à-dire de dedans en dehors. De ces deux positions, l'une, la position A, correspond à l'équilibre stable, parce que si l'on déplace infiniment peu le point M de sa position d'équilibre, il tend à y être ramené par la force F ; l'autre, la position À', correspond à l'équilibre instable, parce que la force F ne tend pas à y ramener le point M lorsqu'on l'en écarte infiniment peu. 

Si, au lieu d'une sphère, le point M était assujetti à glisser à la surface d'un cylindre droit ayant pour base, dans le plan ZOX, le cercle C, et pour arêtes, des droites parallèles à l'axe OY, la force F étant toujours parallèle à l'axe OZ, on trouverait une infinité de positions d'équilibre pour le point M, savoir : tous les points de l'arête inférieure passant par le point À, et tous les points de l'arête supérieure passant par le point À' ; la première arête correspond à l'équi libre stable, la seconde à l'équilibre instable. 

Enfin, il n'y aurait aucune solution au problème si l'on donnait pour surface S une surface n'ayant en aucun de ses points un plan tangent normal à la direction correspondante de la force. C'est ce qui aurait lieu, par exemple, si la surface S était un cône droit dont l'axe serait parallèle à OY, la force F étant toujours parallèle à OZ ; car aucun plan tangent de la surface conique ne serait parallèle au plan XOY. L'équilibre du point M serait donc impossible. 

71 . Dans la question que nous venons de traiter, nous avons supposé que le point mobile M était assujetti à glisser sur la surface S sans pouvoir s'en détacher dans un sens ni dans l'autre. 

Si le point M était seulement posé d'un côté de cette surface de manière à ne pouvoir s'en écarter que dans un seul sens, l'équilibre ne serait assuré que si la force agissait sur lui de manière à l'appliquer contre la surface. Supposons, par exemple (fig. 64), que le point M soit attaché au point fixe C 

par un fil de longueur C A constante. La force F agissant de haut en bas, parallèlement à OZ, le point M sera en équilibre si on le place en A, car alors la force F tend à éloigner le point M du centre C, et la réaction R, qui fait équilibre à la force F, est égale à la tension du lil. Il n'en serait pas de même au point A' ; car en ce point la réaction R' est dirigée en prolongement du fil ; or, elle est égale et contraire à l'effort exercé par le point M sur le fil ; le fil serait donc comprimé, ce qui est impossible, puisqu'un fil cède sans résistance à tout effort qui ne tend pas à l'allonger. La position A' n'est donc pas dans ce cas une position d'équilibre. 

ÉQUILIBRE D'UN POINT MATÉRIEL ASSUJETTI A GLISSER SANS FROTTEMENT SUR UNE COURBE FIXE. 

72. Lorsqu'un point est assujetti à glisser sans frottement le long d'une ligne fixe, la réaction de la ligne étant en chaque point une force normale à sa direction, il faut et il suffit pour l'équilibre, que le point soit dans une position telle que la force soit normale à la ligne. La réaction de la ligne est alors égale à la force, et est dirigée en sens contraire 

Soit, par exemple, une circonférence AR, située dans le planZOX; soit C son centre, CA son rayon. On suppose que la force est constante, et dirigée de haut en bas, parallèle-I ment à l'axe OZ. Par le centre C, 

I menons une droite ED, parallèle à OZ, et rencontrant la circonférence en deux points E et D. Ces • points seront des positions d'équi libre pour le point M, et il est facile o x de reconnaître que la position D Fig 65_ 

tandis que la position E correspond à un équilibre instable. 

Si le point M était assujetti à glisser à la fois sur deux 

surfaces S, S', on en conclurait qu'il est assujetti à glisser sur la ligne L d'intersection de ces deux surfaces. Après avoir trouvé une position d'équilibre, A, du point M sur la ligne L, et la réaction normale N de cette ligne, il suffira de décomposer par la règle du parallélogramme, la réaction N en deux forces, l'une AR, normale à la surface S, l'autre AR', normale à la surface S', pour avoir les réactions de ces deux surfaces. La décomposition sera toujours possible, car en tout point A de l'intersection L des deux surfaces, la normale AR à la surface S, et la normale AR' à la surface S', déterminent en général un plan qui est normal à l'intersec tion L, et qui contient par suite la réaction AN de cette ligne. 

73 .Problème. —Équilibre d'unpointpesanl, assujetti à glisser sans frottement sur une hélice dont l'axe est incliné à Vhorizon. Soit 0' 0" la projection de l'axe de l'hélice donnée sur 

un plan vertical parallèle à cet axe. Menons dans ce plan une horizontale Z Z '. L'angle de O'O" avec ZZ' sera l'in clinaison sur l'horizon de l'axe de l'hé lice , ou de toutes les génératrices ■ du cylindre à la surface 

duquel elle est tracée. L'hélice se projette sur le plan vertical 

suivant une courbe sinueuse, A'I'BT, A'TB" qui n'est autre qu'une sinusoïde. 

Un plan A'C mené normalement à l'axe de l'hélice coupe le cylindre suivant une circonférence. Rabattons ce plan sur le plan vertical, en le faisant tourner autour de son intersection avec ce plan. Nous obtiendi'ons le rabattement du cercle de base du cylindre ; son centre sera en 0, projection de l'axe O'O", et la circonférence AHKBH, A sera la projection commune, sur ce plan auxiliaire, de toutes les spires successives de l'hélice. 

La force qui sollicite le point mobile M est la pesanteur ; elle agit parallèlement au plan vertical, et perpendiculairement à la droite ZZ'. Les positions d'équilibre sont celles où la direction de la force est normale à la courbe, c'est-à-dire où la force fait un angle droit avec la tangente à la courbe. La tangente à l'hélice aux points cherchés, doit donc être perpendiculaire à la verticale , c'est-à dire, horizontale, et le problème est ramené à chercher les points de l'hélice où la tangente est parallèle à l'ho rizon. 

Les tangentes à l'hélice font toutes un même angle avec l'axe O'O", et cet angle est donné en vraie grandeur sur la figure ; c'est l'angle que fait avec 0' 0" la tangente l'T menée au point d'inflexion I' de la sinusoïde. Transportons toutes les tangentes parallèlement à elles-mêmes en un môme point de l'espace. Elles y formeront un cône droit à base circulaire ; un plan horizontal mené par le sommet de ce cône coupera la surface suivant deux génératrices, qui seront parallèles aux tangentes horizontales cherchées. II suffira donc de transporter ces génératrices du cône à l'hélice pour obtenir les points demandés. 

Par le point A', menons parallèlement à I'T une droite A'S, qui coupe en S l'axe O'O", et prenons le point S pour sommet du cône des tangentes. Les génératrices extrêmes de ce cône seront SA', S C, et il aura pour base dans le plan A'C, la base même du cylindre. Par le point S menons une parallèle S H' à ZZ' ; ce sera la trace du plan horizontal qui coupe le cône suivant deux génératrices projetées toutes 

deux en SU' sur le plan vertical, et en OH et OH, sur le plan de la section droite. 

Il reste à ramener, par un déplacement parallèle, ces deux droites (OH, SH') et (OH,, SH') à être tangentes à l'hélice. Or, observons que la tangente I'T au point(I,I'), transportée sur le cône, y donne la génératrice (0 A, SA') ; le point I, dans le cercle de base, se trouve éloigné d'un quadrant, AI, en avant du pied A de la génératrice du cône. Pour ramener la génératrice 0 H à être tangente à l'hélice, il suffit donc d'élever OK perpendiculairement à OU ; le point K sera la projection, sur le plan de section droite, des points de l'hé lice qui ont des tangentes parallèles à (OH, S11' ). De même, on a en élevant OK, perpendiculaire sur 011,, la projection K, de tous les points qui ont des tangentes parallèles à (011,, SII'). 

Au point K, correspondent une infinité de points K', K"... en projection verticale ; au point K,, correspondent d'autres points K,', K,",... en nombre infini. 

Les points K', K",.-- sont des positions d'équilibre du point mobile, ainsi que les points K,', K," .... Mais les premières positions correspondent à un équilibre stable, tandis que les secondes correspondent à un équilibre instable. 

Si l'axe O'O" faisait avec ZZ' un angle O'SII' = a suffisamment grand, la droite horizontale SU' pourrait passer au-dessus de la génératrice la plus haute du cône ; alors l'hélice n'aurait pas de tangente horizontale, et l'équilibre du point pesant serait impossible. Soit |3 l'angle O'SA' des tangentes à l'hélice avec l'axe 0' 0". 

Il n'y aura pas de solution si J3 < oc ; 

Si p > a, il y aura des solutions ; les unes, toutes situées sur la génératrice K'K", correspondront à un équilibre stable ; les autres, situées sur la génératrice K,' K," correspondront à un équilibre instable ; 

Enfin, dans le cas limite p = oe, le plan SU' est tangent au cône ; les deux génératrices K'K" et K', K", se confondent en une seule et coïncident avec la génératrice moyenne I'I" ; lee positions cherchées sont situées aux points d'inflexion I',I-'..., et l'équilibre est conditionnel; c'est-à-dire qu'il est 

EQUILIBRE D'UN SOLIDE LIBRE. . 93 

stable par rapport à tout déplacement qui amènerait le point mobile à droite du point I', et instable par rapport à tout déplacement qui l'amènerait à gauche du même point. 

ÉQUILIBRE D UN SOUDE INVARIABLE LIBRE DANS L'ESPACE 

! 74. Nous avons vu dans le chapitre précédent, que les forces qui agissent sur un solide peuvent être toujours remplacées soit par deux forces, soit par une force et un couple. Si l'on adopte le premier mode de réduction, il faut et il suffit pour l'équilibre, que les deux forces soient égales, et qu'elles agissent en sens contraires suivant une seule et même direction ; et si l'on adopte la seconde, il faut et il suffit que la résultante de translation et le couple résultant soient nuls séparément. 

Soient en effet ÀF, BF', les deux forces auxquelles on ramène le système de forces données. Si elles sont égales, et si elles agissent en sens contraire l'une de l'autre, suivant la direction AB qui joint leurs points d'application, ces deux forces se font équilibre, et par suite la condition indiquée est suffisante. Elle est de plus nécessaire. Supposons en effet (fig. 68) que l'équilibre ait lieu sans que la direction de la force BF' passe par le point A. L'équilibre du solide ne sera pas troublé par l'introduction d'une nouvelle liaison quelle qu'elle soit (fig. 69). Rendons fixe le point A. Le corps solide cessera d'être entièrement libre, mais il pourra pivoter autour du point À d'une manière quelconque. Or la force F' agit par hypothèse en dehors de ce point ; elle tend donc à entrai- F .. g9 ner le corps et à le faire tourner lg' 

autour du point A, et par suite l'équilibre est impossible, à moins que la force BF' n'agisse dans la direction AB. On 

prouverait de même, en fixant le point B, que la force AF agit suivant la même droite. Les deux forces F et F', appliquées suivant la même direction, se composent en une seule force, égale à leur somme algébrique. Le corps redevenu libre serait sollicité par cette résultante et céderait à son ac- ; J tion ; l'équilibre est donc encore impossible, à moins que cette force ne soit nulle, ce qui exige que les forces F et F' soient égales et dirigées en sens contraire l'une de l'autre : les conditions indiquées sont donc à la fois suffisantes et nécessaires 

75. Supposons en second lieu qu'on ait ramené les forces données à une force et un couple. Soit R la résultante de translation (F, — F), le couple résultant, et AB le bras 

de levier du couple ; nous pouvons 

/K—F transporter le couple parallèlement à \ lui-même, dé manière que le point A 4 soit situé sur la direction de la force R. 

\ Cela posé, si l'équilibre a lieu, on ne le 

\r troublera pas en rendant fixe le point A. 

La force—F, perpendiculaire à ÀB, passe Fjg 70 en dehors du point fixe, et tend à en- j • traîner le solide autour de ce point; l'é 

quilibre n'est donc pas possible, à moins qu'on n'ait F=0, ce qui réduit à zéro le couple résultant. Les forces qui sollicitent le solide se réduisent donc à une force unique R, et le solide libre céderait à l'action de cette force, et ne serait pas en équilibre, à moins qu'elle ne soit nulle aussi. On a donc R = 0. Ces conditions nécessaires sont suffisantes, car si le couple est nul et que la résultante de translation le soit | aussi, tout se passe comme si le corps solide n'était sollicité j par aucune force, et son équilibre est assuré. ! 

76. Il est facile d'exprimer analytiquement ces diverses conditions, dès que l'on connaît pour chacune des forces qui sollicitent le corps solide, les coordonnées x, y, s, de son point d'application, et ses composantes X,-Y, Z, parallèles aux axes coordonnés supposés rectangulaires. Nous attribuerons à ces lettres les indices 1,2,... n, pour distinguer les forces données, qu'on suppose au nombre de «.Nous avons 

vu (I 60) que les trois composantes X', Y', Z' de la résultante de translation R, sont données par les trois équations 

X'=XI +X,+X3 + ... + X„) Y' = Y, + Y, + Y, + . . . + Y,, 

U = Z, -f- Za — Z3 —J— ... —1— z„. 

Pour que la résultante R soit nulle, il faut et il suffit que X' = 0, Y' = 0, Z'=0. 

Le couple résultant a de même poiir couples composants autour des trois axes : 

L'=(Z. y, —Y, 2,)-(-(Z2 y,—Ya z3)-j-...-|-(Z„ j/„—Y„zn) M'=(X,*, —Z.œO+CX,*,— Z.®.) N'=(ïI®l -X1yI)+(Y,«,-Xlî/ï)+... + (Y.®.-X.yll) 

et pour que le couple résultant soit nul, il faut et il suffit que l'on ait à la fois 

L'équilibre du corps solide s'exprime donc par six équations qui ne sont autres que les six équations du § 60, dans lesquelles on aurait remplacé par zéro les composantes. X',Y',Z',L',M',N', de la résultante et du couple résultant : 

l Z, -J- Z, -|- Z3 -)- ... -j- Z„ = 0. 

/ (Z1 yf -YI *f) + (Z,y,-Y,*,)+--- 

J (X.z, — Z, œ.) + (X,:?, — Za ara) + . . . 

M +(Xnir„ — Z.œ.) = 0. 

/ (Y, à?, — X,y.) + (Y,®, — Xai/3) + • • • \ 4- Çî„x„ - X„Î/„) = 0. 

Les trois équations (1) sont appelées équations des composantes parallèles aux axes ; les trois équations (2) sont appelées équations des moments autour des axes. Le premier groupe exprime que lorsqu'un solide libre est en équilibre sous l'action des forces données, la somme algébrique des projections des forces sur trois axes rectangulaires est nulle ; le second groupe exprime que la somme des moments des forces par rapport à trois axes rectangulaires est également nulle. Ces conditions sont nécessaires et suffisantes. Une fois qu'elles sont remplies, on est certain que la somme des projections des forces sur un axe quelconque est nulle, et qu'il en est de même de la somme des moments des forces par rapport à un axe quelconque. 

ÉQUII1BRE D UN SOUDE Ql'l A UN POINT FIXE 

77. Soit 0 le point fixe. 

Nous pouvons supprimer la liaison qui rend fixe le point 0, en introduisant une force F, égale à la réaction de ce point. Le corps solide, redevenu libre, est en équilibre sous l'action des forces données et de la force F. 

Par le point 0 faisons passer trois axes rectangulaires OX, OY, OZ, et exprimons que les conditions d'équilibre sont remplies à l'égard des forces données et de la réaction F . La somme des projections de toutes ces forces sur chacun des trois axes sera donc nulle, et la somme des moments 

par rapport aux trois axes sera également nulle. Or la force F passe par un point 0 qui appartient à chacun des trois axes ; son moment par rapport à chacun des axes est donc égal à zéro; et par suite les sommes des moments des forces par rapport aux FiB. 7i. trois axes doivent être nulles 

La force F aura au contraire des composantes suivant les 

QUI UN POINT FIXE. ' 97 

axes, et les équations des projections sur les axes feront connaître ces composantes. 

Soient donc X', Y', Z', les sommes algébriques des projections des forces données sur les axes coordonnés, et L', M', F' leç sommes algébriques des moments autour du môme axe. 

. Enfin appelons X" , Y" , Z" les composantes de la ' force F, parallèlement aux axes : les équations d'équilibre ' seront 

Les trois dernières ne renfermant que les forces données sont les trois conditions d'équilibre. Les trois premières font connaître les composantes de la réaction du point fixe. 

En résumé, pour qu'un corps solide qui a un point fixe soit en équilibre, il faut et il suffit que la somme des moments des forces données par rapport à trois axes menés par ce point soit égale à zéro ; s'il en est ainsi, la somme des moments sera nulle par rapport à tout axe mené par le môme point. Cette condition revient à exprimer que les forces ont une résultante unique passant par le point lixe ; les sommes X', Y', Z' sont les composantes suivant les axes de cette résultante, c'est-à-dire de l'effort exercé par les forces sur le point fixe ; la réaction du point sur le corps est une force égale et contraire , dont les' composantes sont — X' , — Y', —Z' ainsi que l'indiquent les trois premières équations 

ÉQUILIBRE DUS SOLIDE QUI A DEDX POINTS FIXES 

78. Soient 0 et A les deux points fixes ; la fixité de «es deux points assure la fixité de la droite OÀ tout entière; prenons cette droite OZ pour l'un des axes coordonnés; plaçons l'origine au point 0, l'un des points fixes, et menons deux autres axes, OX, OY, rectangulaires et perpendiculaires au premier. 

Nous pouvons supprimer la fixité des points 0 et À, en introduisant des forces convenables OF, AF', qui représenteront les réactions des points iixes. Pour définir ces forces, que nous ne connaissons pas encore, décomposons-les parallèlement aux axes : la force F aura pour composantes X,, Y,, Z,, la force F aura pour composantes Xa, Y3, Z5. SoitOA = a, quantité donnée. Le corps est en équilibre sous l'action des forces données, et des deux forces inconnues F et F' ; il sufiit donc d'écrire que l'ensemble de toutes ces forces satisfait aux six équations d'équilibre. Appelons encore X', Y', Z', L', M', N' les sommes algébriques des composantes et des moments des forces données. Observons de plus que la force F, passant par un point 0 qui appartient aux trois axes , a des moments nuls par rapport à chacun d'eux ; la force F' a un moment nul par rapport à l'axe 01, qu'elle rencontre ; mais elle a des moments dillerents de zéro par rapport aux axes OX et OY. Pour déterminer ces moments, nous appliquerons le théorème du § il : le moment de la résultante est égal à la somme des moments des composantes Les moments par rapport à OX des forces X, et Za sont nuls, puisque ces deux composantes sont dans un même plan avec l'axe (§ 40) ; donc le moment de F' par rapport à 0 X est égal au moment de Y, par rapport au même 

QUI A. DEUX POINTS FIXES-axe c'est-à-dire enfin à — Y, a. On 

reconnaîtra de même que le moment de F' par rapport à 0 Y est égal à + X,a. 

Nous pouvons donc écrire comme il suit les six équations ■d'équilibre : 

X'+'X, +X, = 0, Y' +Y, + Y,.= 0, /' -j- Z, -J- Za = 0, L' — Y,a= 0, M'-f- X3a= 0, F =0. 

L'équation (6) ne renfermant que les forces données, est la condition d'équilibre. Pour que le corps solide soit en équilibre il faut et il suffit que la somme des moments des forces par rapport à l'axe fixe soit nulle. On remarquera que cette ■condition est tout à fait indépendante de la position sur l'axe des points fixes 0 et A. 

Les cinq premières équations définissent les réactions de l'axe. 

Les équations (i) et (a) font connaître Ya etX,. 

Ces valeurs de Y, et X, , substituées dans les équations (I) et (2), font connaître X, et Y,. Enfin l'équation (3) donne la somme, Z, —J— Z3 , des deux composantes qui agissent suivant l'axe OZ, et qui demeurent ainsi indéterminées 

La statique ne sépare pas ces deux composantes l'une de l'autre; l'indétermination tient aux hypothèses faites sur l'invariabilité des corps solides ; de cette invariabilité résulte en effet qu'une force peut être transportée en un point quelconque de sa direction, et que tout point du système solide pris sur la direction d'une force peut être considéré comme le point d'application de cette force. Les deux forces Z, et Za, appliquées suivant la même direction en deux points d'un système solide, se composent donc en 

une seule force égale à leur somme algébrique, et la statique des solides invariables ne permet pas de déterminer autre chose que leur résultante. 

Si, au lieu d'un solide géométrique, on avait en vue l'équi libre d'un solide naturel, ayant deux points fixes 0 et À, les réactions de ces points seraient parfaitement déterminées ; elles satisferaient encore, comme nous le verrons, aux six équations d'équilibre : mais outre ces équations, qui assurent l'équilibre extérieur du corps, il y en aurait d'autres à poser pour tenir compte des lois de l'élasticité qui assurent son équilibre intérieur, et qui, si elles étaient complètement connues, achèveraient de déterminer le problème. Les pressions dans la nature sont parfaitement définies, et il n'y reste rien d'arbitraire. Si nous ne parvenons à poser qu'un nombre d'équations insuffisant pour les déterminer, c'est que nous ignorons les lois suivant lesquelles elles se répartissent 

79. Remarques. L'équation d'équilibre, N' = 0, indique que le couple résultant des forces données est situé dans un plan parallèle à l'axe fixe. Nous avons vu en effet que l'on pouvait ramener le système des forces à une résultante passant par le point 0, et à un couple dont les composantes dans les plans coordonnés sont L', M', N'. La résultante esi équilibrée par la fixité du point 0. Quant au couple résultant il peut être tenu en équilibre par un autre couple, dont les forces soient appliquées respectivement aux deux points fixes 0 et À; un tel couple projeté sur le plan XOY a une projection nulle. Les équations (4), (5) et (6), expriment donc l'égalité entre les composantes du couple des forces données et les composantes du couple provenant des réactions des points 0 et À. 

L'écartement plus ou moins grand des points fixes 0 et A change la portion de la charge de ces points qui provient du couple résultant, puisque, le bras de levier 0 A variant, la force du couple varie en raison inverse. La charge provenant de la résultante de translation des forces données reste la même. 

Le corps solide tend à être entraîné le long de l'axe par 

une force égala à Z'. Si donc on supposait qu'il eût la liberté de glisser le long de l'axe OA, il y aurait une seconde condition d'équilibre , qui serait Z' = 0. Les composantes Z, et Za seraient alors nulles toutes deux. 

Remarquons enfin qu'au lieu de ramener les forces données à une force et à un couple, nous pouvons les ramener à deux forces. Les équations d'équilibre expriment que ces deux forces peuvent être appliquées l'une en 0 et l'autre en A ; elles sont alors détruites par la fixité de ces points. 

ÉQUILIBRE D UN SOUDE ASSUJETTI A GLISSER SANS FROTTEMENT SUR UN PLAN FIXE. 

80. Nous avons étudié (§ 70) l'équilibre d'un point assujetti à glisser sur une surface fixe qui n'exerce sur lui aucun frottement. Proposons-nous de résoudre un problème analogue pour un système matériel invariable. Nous simplifierons la question en supposant que la surface fixe soit une surface plane ; dans ce cas particulier, les réactions des divers points de contact du corps et de la surface étant toutes normales à ce plan, sont parallèles entre elles. 

Le contact du corps et du plan peut être établi par un point géométrique unique, ou par 2, 3, ... n points; il peut aussi s'étendre à une surface tout entière, comme cela a lieu lorsqu'un polyèdre repose par une de ses faces sur la surface plane d'une table ; dans ce cas, le nombre des points de contact doit «tre considéré comme infini. 

Soit PP le plan fixe, et A, H, C, ... 

les points de contact du corps avec ce plail. Les réactions du plan sur le 11 corps seront des forces AR, BR', CR", ... perpendiculaires-à PP. Nous prendrons ce plan pour plan XOY; nous y mènerons deux axes rectangulaires 

OX, OY, et par le point 0 nous élèverons le troisième axe OZ, normal aux deux premiers. 

Appelons x, y les coordonnées du point À, . x', y' celles du point B, x", y", ... , celles du point C, etc. Soient toujours X', Y', Z', L', M', N', les composantes suivant les axes de la résultante de translation et du couple résultant des forces données qui sollicitent le corps ; nous écrirons de la manière suivante les six équations d'équilibre : 

(3) Z'+R+R' + R" + ...=0, 

(5) M' — Rz — RV — R"as" — ... = 0, 

Les équations ( I), (2) et (6), ne contenant pas les réactions inconnues R, Rr, R", ..., sont les conditions d'équi libre. Elles expriment que les forces données ont une résultante normale au plan I'P; en effet, les équations X' = 0. Y' = 0, N' = 0, satisfont à l'équation générale 

laquelle nous montre (§ 61) que les forces données ont une résultante unique. Or, cette résultante est normale au plan XOY, puisque ses composantes X', Y', parallèles aux axes OX, OY, sont toutes deux nulles. Elle est parallèle à l'axe des Z , ce qui annule le moment N' par rapport à cet axe. La résultante se réduit à Z'. ~7 Les équations (3), (i), (5) renferment / tout ce que la statique nous apprend 

Y L A au sujet des réactions R, R', R", .... 

Fi„ 74 Mais ici plusieurs cas sont à distinguer, 

suivant le nombre des points d'appui. 4° Supposons qu'il n'y ait qu'un point d'appui, À (fig. 74). Dans ce cas, les forces données doivent être équilibrées 

ASSUJETTI A GLISSER SDR UN PLAN. 103 

par la réaction R de cet appui. Pour cela, il faut et il suffit que la résultante des forces données, normale au plan PP, en vertu des conditions générales renfermées dans les équations (I), (2) et (6), passe au point A. Les équations (3), (4) et (a) nous l'apprennent. Elles prennent en elfet dans ce cas particulier la forme suivante : 

La première détermine la valeur de la réaction R, qui est égale et contraire à la résultante 11. 

R étant déterminée, les deux équations suivantes sont des équations de condition qui doivent être vérifiées d'elles mêmes. Remplaçant R par — Z', il vient 

, 1/ est le moment de la résultante Z' par rapport a l'axe OX; ce moment étant égal à 11 y, la force résultante perce le plan PP à une distance de l'axe OX égale à y ; l'équation M' -f- Z'x = 0 montre de même qu'elle perce le plan à une distance x de l'axe OY. Le point A est donc le point de passage de la résultante des forces extérieures. 

Lorsqu'il y a un seul point de contact, les conditions d'équilibre sont donc au nombre de cinq ; elles expriment que les forces extérieures peuvent se ramener à une force unique, normale au plan et passant par le point donné ; la réaction du plan est alors complètement déterminée. 

2° Supposons qu'il y ait deux points de contact, À et B. 

Les équations (3), (i) et (5) deviendront, en ne conservant que deux réactions : 

Pour interpréter facilement ces équations , supposons 

qu'on ait pris pour axe OX la droite AB ; on aura alors y = 0, y' = 0, et la seconde équation deviendra 

/ Les deux autres équations serviront yv à déterminer les réactions R et R\ Dans le cas où les points d'appui 7j' sont au nombre de deux, il faut pour 

l'équilibre, outre les conditions générales, que la somme des moments des forces soit nulle par rapport à la droite passant par les deux points d'appui. II faut, en d'autres termes, que les forces données aient une résultante unique, normale au plan PP, et rencontrant la droite AB, qui joint les points d'appui. Les réactions des deux points A et B sont encore déterminées par la statique. 

3° Supposons qu'il y ait trois points d'appui, A, B, C. 

Les trois équations (3), (4) et (5) deviendront 

L' + Ry+RV + R'y = 0, 

M' —ï\x — R'z' — R'V =0. 

Elles sont en nombre égal au nombre des inconnues R, R', R" ; elles suffisent donc en général à les déterminer. Il y a cependant un cas d'exception : c'est le cas où les trois points A, B, C sont sur une même ligne droite ; car, si l'on prend cette droite pour axe OX, les coordonnées y, y', y" étant nulles ensemble, l'équation (4) se réduit à L' = 0 ; ce qui donne une nouvelle condition d'équilibre, et les deux équations (3) et (5) ne suffisent plus pour déterminer les trois inconnues R, R' etR". 

Le cas de trois points d'appui se décompose donc en deux : 

Si les trois points d'appui sont en ligne droite, il faut, pour qu'il y ait équilibre , que la résultante des forces données coupe en un certain point la ligne droite passant par les points d'appui ; les réactions de ces appuis ne sont pas déterminées par les équations de la statique. 

Si les trois points d'appui ne sont pas en ligne droite, il n'y a pas d'autres conditions d'équilibre que les conditions générales (1), (2) et (6) ; et les réactions des appuis sont déterminées parles équations (3), (4) et (5). 

4° S'il y a plus de trois points d'appui, et s'ils ne sont pas en ligne droite, il n'y a pas de nouvelles conditions d'équi libre, mais les trois équations (3), (4) et (o) ne suffisent pas pour déterminer les réactions inconnues. 

Si tous les points d'appui sont en ligne droite, il faut ajouter une nouvelle condition d'équilibre, exprimant que la résultante des forces données rencontre la droite contenant tous les points d'appui. 

81 . Lorsque le corps solide, au lieu d'être assujetti à glisser sur le plan sans pouvoir s'en détacher d'un côté ni de l'autre, est simplement posé sur le plan, il y a de nouvelles conditions à ajouter à celles que nous avons trouvées. On doit exprimer en effet que les réactions R, R', R", ... sont dirigées du côté du plan vers lequel le corps peut s'en détacher ; car, par hypothèse, le plan n'exerce aucune action pour retenir le corps, lorsqu'on cherche à l'en détacher de ce côté. Supposons que l'axe O Z ait été dirigé de ce côté particulier du plan: il faudra que les réactions R,R',R", ... soient toutes positives. Or, leur somme est égale à —Z', en vertu de l'é quation (3) ; donc il faut que — Z' soit positif, ou que Z' soit négatif, ou qu'enfin la résultante des forces extérieures tende à appuyer le corps sur le plan, et non à l'en détacher. Cette nouvelle condition est suffisante lorsqu'il n'y a qu'un point d'appui. 

S'il y en a deux, A et R, il faut, 

pour que les réactions R et R' soient toutes deux positives, que la résultante des forces extérieures coupe la droite qui joint les points d'appui «ntre ces deux points A et R. La force Z' est alors décomposable en 76 

deux forces parallèles et de même 's' ' ' 

sens, appliquées en A et R, et qui seront égales et contraires aux réactions cherchées. 

! lorsqu'il n'y a qu'un point d'appui. 

I MI y en a aeux, A et a, il taut, 

! TiAny niiû 1 no îiAontmnp 11 ûf P' + 

ijuc loayuuno ai ot ic ornent 

I tnnfp.R HPIIY nnsîtîvAç mip 1A rpsnl-I 

tante des forces extérieures coupe la ! droite qui joint les points d'appui entre ces deux points A et R. La 

•f-. rji _ < 1/ i_i 

S'il y a trois points, non en ligne droite, A, B, C, la résultante des forces extérieures doit, pour l'équilibre, passer dans l'intérieur du triangle ABC. Supposons, en effet, qu'elle passe par un point 1, extérieur à ce triangle (fig. 77). L'un des côtés CB du triangle, prolongé indéfiniment laissera le point I et le sommet À de différents côtés de sa direction. Or, la résultante appliquée en 1 est dirigée de haut en bas ; la réaction du plan sur le point A serait, au contraire, dirigée de bas en haut. Ces deux forces tendraient toutes deux à faire tourner le corps dans un même sens autour de la direction CB. L'équilibre ne serait donc pas possible, et le corps chavirerait autour du côté CB. 

Il faut donc, pour l'équilibre, que le point de passage de la résultante, I, soit compris à l'inté rieur du triangle ABC. Cette condition remplie, il sera facile de déterminer les réactions positives des points A, B, C. Prenons les moments des forces par rapport à un côté quelconque BC. Abaissons des points A et I, sur ce côté BC, des perpendiculaires À A', la. Appelons, comme tout à l'heure, Z' la résultante des forces extérieures, laquelle est négative par hypothèse ; son moment par rapport à l'axe BC sera égal à Z' X ; Ie moment de la réaction B du point A, sera égal à B X A A' ; les moments des autres réactions sont nuls, de sorte que nous avons l'équation : 

Z'XIa + RX AA-' = 0, 

Mais la et AA' sont les hauteurs des triangles IBC, ABC, 

lesquels ont une base BC commune, et sont entre eux comme leurs hauteurs ; la réaction du point A est donc à la résultante des forces extérieures, prise en valeur absolue, comme le triangle IBC est au triangle ABC. De même, la réaction IV du point B est à la même résultante comme le triangle IAC est au triangle ABC, et la réaction R" du point G est à la résultante comme le triangle IAB est au triangle ABC, La résultante des forces extérieures est d'ailleurs la somme des trois réactions R, R', R", comme le triangle ABC est la somme des trois triangles IBC, IAC, IAB; on peut donc dire que la résultante des forces extérieures se partage entre les trois points d'appui A, B, C, proportionnellement aux aires des triangles IBC, IAC, IAB, qui ont pour sommet commun le point I, et pour bases les côtés du triangle opposés aux points d'appui. 

Si les trois points A, B, C sont en ligne droite, les triangles IAC, IBC deviennent nuls, et la répartition des réactions reste, comme nous l'avons vu, indéterminée. Mais il faut toujours, pour que les réactions soient positives, que la résultante des forces extérieures coupe la droite des appuis entre les appuis extrêmes ; autrement elle tendrait à faire basculer le corps autour de l'appui le plus voisin. 

Enfin, s'il y a plus de trois appuis, et s'ils ne sont pas en ligne droite, on prouverait, comme nous l'avons fait pour le cas de trois appuis, qu'il faut, pour qu'il y ait équilibre, que la résultante des forces extérieures passe au dedans du polygone convexe que l'on peut former en joignant tous les points d'appui ; autrement, elle tendrait à faire basculer le corps autour de l'un des côtés de ce polygone. / 

quent à un nombre d'appuis aussi G \ 

grand qu'on voudra, et par suite à une surface d'appui comprenant un x/ 

nombre infini de points d'appui ; si, 

par exemple, le corps solide repose 1S' ' " 

sur le plan fixe par une surface terminée au contour ABCDEFG IIA, que cette surface soit d'ailleurs pleine ou 

■it)8 SOLIDE rOSE SUR UN PLAN. 

évidée, il faut et il suffit, pour l'équilibre, que les forces extérieures aient une résultante unique, normale au plan, et que le point d'application de cette résultante soit compris dans le polygone formé par les directions des droites autour desquelles le corps peut basculer, c'est-à-dire dans l'intérieur du contour convexe A B D E F K U A, obtenu en supprimant les parties rentrantes BCD, FGK, du contour effectif. 

APPLICATION DES SIX ÉQUATIONS D'ÉQUILIBRE AUX SYSTÈMES MATÉRIELS QUELCONQUES. 

82. Les six équations que nous avons obtenues, équations nécessaires et suffisantes pour assurer l'équilibre d'un solide invariable, s'appliquent à l'équilibre de tout système matériel ; elles sont encore nécessaires, mais elles ne sont plus suffisantes. Le théorème auquel on parvient en étendant ces équations aux systèmes non solides, peut se formuler comme il suit : 

Dans tout système matériel en équilibre, la somme algébrique des composantes des forces extérieures estimées parallèlement à un même axe quelconque est égale à zéro, et la somme des moments des forces extérieures par rapport a un axe quelconque est aussi égale à zéro. L'application de ce théorème donne six équations distinctes et pas plus de six. 

Le système étant par hypothèse en équilibre, on ne troublera pas son état d'équilibre en ajoutant au système de nouvelles liaisons (§ 69). Choisissons ces liaisons nouvelles de manière à solidifier le système, c'est-à-dire à fixer les diverses parties qui le composent dans des positions invariables les unes par rapport aux autres. Nous obtiendrons ainsi un système solide qui aura même forme que le système donné, qui sera sollicité par les mêmes forces extérieures, et qui enfin sera en équilibre comme lui. Le théorème sera 1 donc vérifié, et par suite les six équations d'équilibre qui •en sont la traduction algébrique, s'appliqueront aux forces 

10a-sollicitant système donné, comme si ce système était un. solide invariable. 

Mais ces six équations, qui suffisent pour l'équilibre d'un solide géométrique, ne suffiront généralement pas pour l'équilibre du système donné ; le système solidifié par l'in troduction des liaisons que nous avons ajoutées, est, il est vrai, en équilibre en vertu des six équations ; mais la suppression de ces liaisons altère les conditions d'équi libre, en donnant aux diverses parties du système une liberté qu'elles ne possédaient pas dans le système solidifié 

Pour être certain de l'équilibre d'un système matériel non invariable, il faut donc vérifier les six équations non. seulement sur le système entier, mais encore sur ses diverses parties, de quelque manière qu'on le décompose. On ne fera entrer dans les équations d'équilibre d'une portion quelconque que les forces extérieures à cette portion. Parmi ces forces extérieures, figurent certaines forces intérieures au système entier, à savoir les réactions des portions- voisines. L'équilibre sera assuré si les six équations sont vérifiées non-seulement pour l'ensemble du système, mais encore pour une partie quelconque, si petite qu'elle soit ; cette condition est suffisante, car si l'équilibre des points matériels constituant le système, est assuré pour chacun-d' pris individuellement, il est évident que l'équilibre du système entier en résulte. 

Cetta méthode s'applique particulièrement aux solides naturels, qui, au lieu d'être invariables comme les solides géométriques, sont doués d'une certaine élasticité, en vertu de laquelle ils se déforment sous l'action de toute force qu'on y applique et tendent à revenir à leur forme primitive lorsque la force est supprimée. La force extérieure qu'on applique à un solide naturel, a pour effet d'altérer les distances mutuelles des molécules du corps. Cette altération des distances entraîne une altération correspondante dans les réactions mutuelles des molécules les unes sur les autres, et le nouvel équilibre s'établit lorsque la déformation du solide a fait naître entre les molécules des réactions 

pables d'équilibrer pour chacune la portion d'effort extérieur que cette molécule est appelée à supporter. L'expé rience a conduit à admettre que l'effort mutuel développé par une variation très-petite de la distance entre deux molécules est proportionnel à cette variation ; de cette loi qu'on peut regarder soit comme un fait d'expérience, soit comme une hypothèse, on a pu déduire, dans un certain nombre de cas simples, la relation qui lie la déformation d'un solide naturel aux efforts extérieurs qu'on lui fait subir on peut déterminer par exemple l'extension prise par une barre métallique sous l'action d'une force qui tend à l'allonger ; la flexion de la même barre, posée horizontalement sous l'action d'une charge répartie sur sa longueur suivant une loi quelconque, etc; on peut aussi déterminer, en chaque point du solide, l'intensité des efforts intérieurs mutuels qui résultent de l'action des mêmes forces. Cette détermination des efforts intérieurs est même généralement plus importante que le calcul des déformations ; elle apprend au constructeur d'une machine ou d'un édifice si les pièces qu'il se propose d'employer sont dans de bonnes conditions de résistance, si elles sont exposées à quelque altération d'élasticité, ou si elles sont en danger de rupture ; il suflit pour cela de comparer la mesure de l'effort intérieur à certaines limites indiquées par l'expérience pour chaque nature de matériaux. 

83. Les solides géométriques sont des corps fictifs, introduits dans la mécanique pour en simplifier l'étude. En réalité un solide naturel est une agrégation de points matériels, réunis les uns aux autres, non par des liens géométriques de longueur invariable, mais par des forces qui varient avec les distances mutuelles. Dans la statique rationnelle, on suppose les forces appliquées en certains points géométriques; on transporte ces forces en d'autres points de leurs directions ; on change les forces et les couples en d'autres systèmes équivalents, etc. Toutes ces opérations sont fictives. Aucune force n'est isolée dans la nature, en ce sens que les forces appliquées à des points matériels sont infiniment petites comme ces points eux-mêmes ; une force isolée n'est 

donc autre chose qu'une résultante de forces infiniment petites appliquées aux points matériels contenus dans une certaine région de grandeur finie. La composition des forces, et plus généralement la substitution de certaines forces à d'autres équivalentes, supposent la solidification fictive du système matériel ; ce sont des procédés analytiques qui n'altèrent pas les équations d'équilibre, mais qui n'ont aucune réalité physique. La déformation d'un solide naturel par exemple, pourrait être notablement altérée si l'on substituait aux forces effectives qui sollicitent ce corps, des forces équivalentes autrement distribuées. 

Les liaisons sont de même des relations fictives entre les points matériels. Il n'y a ni points fixes, ni lignes fixes, ni surfaces fixes dans la nature ; les points, les lignes, les surfaces que l'on regarde comme fixes, appartiennent à des solides naturels, qui sont plus ou moins déformables, et qui ne jouissent par conséquent pas d'une fixité absolue. Ce n'est qu'à titre d'approximation qu'on peut leur attribuer une telle propriété. Les fils, les tiges, au moyen desquels on réunit deux points matériels pour assujettir leur distance mutuelle à certaines conditions, n'ont pas dans la nature les qualités que la mécanique rationnelle leur assigne, telles que la flexibilité et l'inextensibilité pour les fils, l'invariabilité de longueur pour les barres. Ces fils, ces barres, ne sont après tout que des systèmes particuliers de molécules sollicitées par des forces mutuelles. On les admet dans la méca-i nique avec leurs qualités absolues pour simplifier les pro! blêmes et faciliter l'exposition des théories. 

| Par ce qui précède, on peut pressentir combien les ques-j lions de mécanique appliquée sont d'une difficulté supérieure i aux questions de mécanique rationnelle; celles-ci peuvent I toujours être simplifiées par un choix particulier de don| nées, choix légitime dans une science abstraite. La méca-1 nique appliquée ne confère pas le même droit, et si elle est forcée de recourir à certaines hypothèses, il reste à vérifier ensuite, au moyen de l'expérience, l'accord de ces hypothèses avec les faits observés. 

8i. Les exemples que nous avons donnés dans ce 

112 PRESSIONS EXERCEES SDR LE SOL 

pitre montrent que les équations de la statique ne suffisent pas toujours pour déterminer entièrement les réactions des liaisons qui restreignent la liberté d'un système solide. Lorsque les équations sont en nombre suffisant, les réactions deviennent connues, et on peut vérifier si elles excèdent ou non la limite de la charge qui compromet la résistance des liens ; on peut aussi s'en servir pour déterminer les déformations subies par le système. Lorsque, au contraire, les équations de la statique sont en nombre insuf-. la distribution des réactions inconnues dépend de la déformation du système, et le problème devient beaucoup plus difficile à traiter. 

Par exemple, si un point matériel pesant est suspendu à un fil attaché à un point fixe, la statique montre (§ 71) que l'équilibre a lieu lorsque ce fil est vertical et que la tension du fil est égale au poids du point matériel. On pourra donc calculer l'allongement pris par le fil sous l'action de ce poids, et vérifier que la tension du fil ne met pas sa résistance en danger. 

Si, au contraire, on cherche les pressions exercées par une poutre posée sur trois appuis en ligne droite, et chargée de poids appliqués en divers points de sa longueur, la statique (§80, 3°) ne donne que deux relations entre les trois réactions inconnues, et la distribution du poids total entre les trois appuis dépend des lois de la flexion des poutres droites élastiques. 

PRESSIONS EXERCEES SDR IE SOI PAR LES QUATRE PIEDS D'ONE TABLE 

85. Une table rectangulaire ABCD, soutenue à ses quatre angles par des pieds verticaux, qui se projettent en M N, PQ, sur le plan vertical, repose sur un terrain horizontal XY. Cette table est soumise à l'action d'une force verticale F, appliquée en un point (0, 0') de sa surface supérieure. On demande les pressions développées dans les pieds de la table, ou dans les régions du sol sur lesquelles ces pieds s'appuient. 

Le nombre des appuis étant supérieur à 3, le problème ne peut 

PAR LES PIEDS D'UNE TABLE. 113 

être entièrement résolu par les équations de la statique, et la solution dépend de la loi physique suivant laquelle s'opère la déformation des parties en contact aux points A, B, C, D. 

Nous supposerons que la déformation porte exclusivement sur le sol, ce qui revient à attribuer aux pieds de la table une très-grande rigidité comparativement àla raideur du terrain; nous admettrons, en outre, 

que les pieds de la table s'enfoncent chacun dans le sol d'une quantité proportionnelle à la pression qu'il exerce, de sorte que si on appelle u la section droite du pied, x la quantité dont il pénètre dans le terrain, et K un coefficient déterminé par expérience, la pression P exercée par le pied soit donnée par l'équation : _ 

On supposera enfin que les tassements soient assez petits pour qu'on puisse encore considérer les pieds comme verticaux, après la déformation du sol. Les réactions seront donc aussi verticales, et parallèles à la force F. 

Appelons a, b les dimensions horizontales de la table ; m, n les distances du point 0 aux côtés AB, AD ; et P, P', P", P"f les réactions inconnues des appuis A, B, C, D. 

Nous aurons d'abord entre ces quatre inconnues les trois équations que fournit la statique savoir : l'équation des forces projetées sur une verticale, et les équations des moments par rapport aux deux axes AB, AD. 

(1) . P + P'+P" + P'' = F. 

(3)' (P" + P'") b = F». 

Il faut une quatrième équation pour achever de déterminer les quatre inconnues. Cette quatrième équation se déduit de notre hypothèse sur la déformation du sol aux quatre points d'appui. 

MÉCANIQUE. ENS. SPÉCIAL, 3" ANN. 8 

Les enfoncements respectifs des points A, B, C, D, seront P P' P' p"' 

exprimés par les rapports les quatre pieds ayant 

la même section u. Ces tassements sont tous sensiblement verticaux d'ailleurs, les extrémités inférieures des pieds doivent être dans un même plan, après comme avant la déformation, et comme ils sont les sommets d'un parallélogramme, il existe entre le nouveau point B et le nouveau point A la même différence de hauteur qu'entre le nouveau point C et le nouveau point D, c'est-à-dire qu'on a entre les quatre tassements la relation 

équation qui ne contient plus le coefficient constant K. 

Les quatre équations (1), (2), (3) et (4) déterminent entiôremenl les forces cherchées. 

P + P" = P'-t- P'". 

Comparant à 1 équation (1), on en déduit 

Des équations (2) et (3) on tire, en les retranchant, après avoir divisé la première par a et la seconde par b : 

Ces équations donneront pour P, P', P", P'" les valeurs cherchées ; mais, pour que ces valeurs soient admissibles, il faut •qu'elles soient toutes positives ; car, pour que l'une fût négative, il faudrait que le pied exerçât sur le sol une traction au lieu d'une pression, ce qui est impossible, puisque la table est seulement posée sur le sol, sans y être attachée à demeure. « 

Il faut donc, pour que la solution soit admissible, que l'on ait à la fois : 

11 est aisé de vérifier que ces conditions sont toutes satisfaites quand le point 0 se trouve àl'intérieur du losange ILRS obtenu en joignant les milieux des côtés 

de la table. Si, au contraire, la force F est D R c 

appliquée en un point situé en dehors de ce losange, par exemple en 0' dans le triangle LCR, l'une des quatre conditions, s 

la condition -4- v ne serait plus 

remplie, et par suite, le calcul assignerai Fig. 81. 

à la pression P du pied opposé Aune valeur 

négative inadmissible. Ceci indique qu'en réalité le pied A ne porte 

pas sur le sol ; le calcul, établi d'après l'hypothèse que le sol exerce sur la table une réaction appliquée au point A, est donc à recommencer en supposant nulle la réaction P. Mais alors le nombre des appuis est réduit à trois, et la statique suffit pour déterminer les trois réactions inconnues. Appliquant aux trois appuis B C D la règle donnée, § 81, on trouvera la véritable solution, au moyen des équations : 

F surf. O'DC ... F surf O'DC 

r = Fx ïïïï2-S = Fx 

Dans tous les cas, on connaîtra les pressions développées dans les pieds de la table ; on pourra donc calculer, par la formule P —Kua;, les tassements correspondants du sol. 

86. L'équation (4) nous apprend que les sommes P -+- P", P' + P"', sont égales; l'équation (1) nous montre d'ailleurs que la somme des quatre réactions est égale à la force F; d'où résulte que les sommes 

P + P'' et P' + P'" sont égales à Cola 

posé, on peut achever géométriquement la solution du problème ainsi qu'il suit. 

Les deux réactions P et P", appliquées l'une en A, l'autre en C, sont parallèles, et se composent en une seule force égale à leur F 

somme P + P", et par suite égale à — ; la résultante est appliquée 

en un point E de la diagonale AC. 

De même, les réactions P' et P"' des points B et P ont une F 

résultante égale à - , appliquée en un point G de la diagonale BD. 

PAR LES PIEDS D'UNE TABLE. 117 

Les deux forces parallèles, égales à -, appliquées l'une en E, 

l'autre en G, se composent en une seule, égale à leur somme ou égale à F, et appliquée au milieu de la droite EG; il faut, et il suffit pour l'équilibre, que cette force soit égale et contraire à la force donnée F, appliquée au point 0 ; le point 0 est donc le milieu de la droite EG, et par conséquent, on trouvera les points E et G en menant par le point donné 0 une droite telle, que le point 0 soit le milieu de la portion de cette droite inscrite dans l'angle CHB formé parles diagonales du rectangle. 

Par le point 0, menons OT parallèle à HC ; puis, prenons sur l'autre diagonale H B, à partir du point T, une longueur TG égale à TII. La droite GO sera la droite demandée. 

Nous pouvons donc substituer à la force F deux forces égales à 

appliquées l'une en E, l'autre en G. 

Nous décomposerons la première en deux forces appliquées l'une en A, l'autre en C ; elles seront déterminées par les équations 

Nous décomposerons de même la seconde en deux forces Pr et P'", appliquées l'une en B, l'autre en D : 

Pour que les forces P, P', P", P"' soient toutes quatre positives, il faut que les points G et E soient situés tous deux sur les diagonales du rectangle, et non sur leurs prolongements. Cette condition sera toujours remplie si le point 0 est dans le losange ILRS. . 

ûn exprime en effet ces conditions en posant les inégalités 

118 PRESSIONS DANS LES PIEDS D'UNE TABLE. 

Prenons donc le milieu i de la demi-diagonale HC, le milieu [s de la demi-diagonale HB, et menons par ces points des parallèles 7L, BL aux diagonales; ces deux parallèles se couperont en L au milieu du côté BC, et les quatre pressions seront positives, le point 0 étant toujours supposé dans l'angle CIIB, s'il est situé dans le parallélogramme HfLfl. La même condition est applicable aux trois autres angles formés par les demi-diagonales ; et l'on retrouve lé losange ILRS pour la limite en dedans de laquelle il faut appliquer la force F, si l'on veut que les quatre pieds de la table soient chargés. 

On peut remarquer aussi que lorsque la force F est appliquée au centre H de la table, les quatre pieds supportent des pressions égales ; le point H est le seul qui assure cette égalité des pressions. 

87. Dans les exemples que nous avons donnés plus haut, nous avons admis que lorsqu'un point est assujetti à glisser sur une surface ou sur une courbe fixe, la réaction de la surface ou de la courbe est normale. L'expérience dément cette hypothèse. Quand on fait glisser un corps sur une surface matérielle, la réaction de la surface sur le corps n'est pas normale à la surface : elle peut se décomposer en deux forces, l'une normale, l'autre tangentielle, et cette dernière composante prend le nom de frottement de glissement. 

L'étude expérimentale du frottement a été faite par Coulomb en 1781, et l'on se sert encore aujourd'hui des lois suivantes qu'il a le premier formulées : 

Quand, un corps mobile glisse sur une surface fixe, le frottement qu'il subit est une force tangentielle d la surface, et dirigée en sens contraire du mouvement ; cette force dépend de la nature des surfaces en contact ; elle est indépendante de leur 

étendue et de la vitesse du glissement; enfin elle est proportionnelle à la pression mutuelle qui s'exerce normalement à ces surfaces. En vertu du principe de l'action et de la réaction, un frottement égal et contraire est subi par la surface fixe sur laquelle le glissement a lieu. 

Soit RR'un plan fixe, sur lequel glisse dans le sens de la flèche a le corps ABCD; le contact a lieu sur toute l'éten 

due de la face CD. La force P est la pression normale exercée par le corps sur le plan RR'; une force égale et contraire P', sera la réaction de la surface sur le corps. Les lois du frottement nous apprennent qu'en outre de cette force normale P', la surface exerce sur le corps une réaction tangentielle F, dirigée en sens contraire du mouvement, et que le corps exerce sur la surface, dans le sens du mouvement, une force égale et contraire F'. Les forces F et F', égales et contraires, sont en réalité les résultantes de forces mutuelles réparties sur les divers éléments en contact dans la surface de glissement CD. De même P et P' sont les résultantes des actions normales des mêmes éléments. 

Le frottement est proportionnel à la pression : en d'autres ternies, les forces F et P ont entre elles un rapport qui ne dépend que de la nature des surfaces en contact. Il est facile de s'expliquer comment ce rapport est indépendant de l'étendue des surfaces. Décomposons la surface CD en éléments infiniment petits d'une superficie constante. Imaginons ensuite que, sans rien changer à la force P, nous augmentions la surface CD dans le rapport de 1 à 2, ce qui doublera le nombre des éléments ; les pressions élémen-rf 

taires dont la force P est la résultante seront toutes réduites dans le rapport de 2 à I . les frottements élémentaires seront donc aussi réduits dans le même rapport ; mais cette réduction sera sans iniluence sur la résultante F, puisqu'on a doublé en même temps le nombre des forces à ajouter ensemble pour former cette résultante. 

La résultante S des forces P' et F est la réaction totale de la surface RR' sur le corps glissant. La force égale et contraire S', résultante des forces P et F', est la réaction totale du corps glissant sur la surface RR'. 

Le rapport p étant constant pour une meme nature de 

substances en contact, le triangle IFS, rectangle en F, est semblable à un triangle qu'on peut construire à priori, et par suite les angles ISF, FIS, sont constants. Le premier de ces angles, ISF = SIP', est l'angle que fait la réaction totale S, avec la normale P' à la surface directrice ; on l'ap pelle angle du frottement. Le coefficient du frottement est le F 

rapport f — p de la force tangentielle à la réaction normale On a déterminé au moyen d'une série d'expériences la valeur de ce rapport pour les diverses substances qu'on fait glisser les unes sur les autres dans les machines. 

Le frottement est le résultat de la déformation subie à la fois par le corps glissant ÀBCD, et par la surface RR', sous l'action de la pression mutuelle P, qui s'exerce de l'un à l'autre : les surfaces en contact ne conservent plus leurs formes géométriques, et la résultante des actions moléculaires développées dans le contact, au lieu de prendre la direction normale, II", qu'elle aurait si les corps étaient parfaitement polis et complètement invariables de forme, prend une direction déviée 1S. 

Le frottement est indépendant de la vitesse du glissement. Cette loi ne doit être regardée que comme une approximation Des observations récentes ont montré que dans les 

tres-grandes vitesses, le rapport pest sensiblement réduit; on sait d'ailleurs depuis longtemps que le rapport est plus 

grand au départ du corps, c est-à-dire quand le glissement commence et que la vitesse est sensiblement nulle, que lorsque le mouvement est une fois établi. On doit donc F 

admettre que le rapport p = / est une fonction de la vitesse v du corps mobile et que cette fonction diminue à mesure que v augmente. Mais la diminution est peu sensible pour de grandes variations de la vitesse v ; on s'est donc contenté jusqu'ici de déterminer pour deux cas principaux les valeurs du coefficient f, l'une qui correspond au départ, l'autre au glissement effectif, sans acception de vitesse. 

88. Jusqu'ici, nous avons supposé que le corps ÀBCD glissait sur la surface RR'. Il nous reste à étudier ce qui se passe lorsque le corps mobile reste en repos sur cette surface. 

Soit ABCD un corps en équilibre , posé sur le plan fixe , R 11'. Nous supposerons ce corps sollicité par une force S que nous pouvons décomposer en deux : l'une IP, normale au plan, l'autre IT, parallèle au plan. La réaction S' de la surface BB' est égale et contraire à la force S ; elle se décompose de même en deux forces égales et contraires àP et àT, savoir la force P', réaction normale, et la force F, qui est le frottement Nous avons donc à la fois les équations : 

Laissons la force P constante, et faisons varier la force T. Si on fait d'abord T = 0, c'est-à-dire si on applique au corps ABCD une force P normale, le mouvement de glissement du corps ne tend pas à se produire ; alors le frottement est nul. Faisons croître ensuite graduellement la force T. Le glissement tendra sans doute à se produire, mais l'ex 

périence montre qu'il n'aura pas lieu immédiatement, quelque petite que soit la valeur de T, et que pour faire effectivement glisser le corps sur le plan R 11', il faut y appliquer une force tangentielle T, égale ou supérieure à une certaine limite; or cette limite n'est autre que le produit Vf de la pression normale P par le coeflicient du frottement f relatif au départ. Tant que la force T est moindre que P f, la surface RR' est susceptible de développer un frottement F, égal à T, et qui tient cette force T en équilibre. Lorsqu'au contraire T est supérieur à Vf, la surface RR' ne peut développer en sens contraire qu'un frottement égal à Vf, et par suite le corps est sollicité à se mouvoir parallèlement au plan par une force égale à T — Vf. 

Pour l'équilibre, il faut donc que la force T soit au plus égale au produit Vf, ou qu'on ait l'inégalité T < V f. 

Sur la normale IP, prenons une longueur IP pour représenter la force P, puis élevons sur cette droite, au point 1, une perpendiculaire PII, que nous prendrons égale au produit P X /• L'angle HIP sera l'angle du frottement. 11 faudra pour l'équilibre que la force extérieure IS, appliquée au corps, soit dirigée dans l'angle II IP. La droite 111, en tournant autour de IP, engendre un cône de révolution dont le demi-angle au centre est égal à l'angle du frottement. Appelons ce cône le cône du frottement. Nous pourrons exprimer comme il suit la condition d'équilibre : il faut, pour l'équi libre, que la force extérieure qui sollicite le corps soit comprise au dedans du cône du frottement. 

On ne doit pas oublier que le frottement effectif subi par un corps en équilibre sur une surface est égal et contraire à la composante tangentielle T qui tend à faire glisser le corps, et qu'il n'est égal à sa limite Vf qu'au moment où le glissement va commencer ; lorsque le mouvement est établi, il reste égal à chaque instant au produit Vf, mais le nombre f est alors le coefficient du frottement des corps en mouvement et non le coefficient du frottement au départ. 

89. Nous avons supposé que le plan R R' sur lequel le corps était assujetti à glisser serait fixe. Si ce plan était mobile on le ramènerait à être fixe en considérant le 

ment relatif du corps par rapport au plan. Si, au lieu d'un plan, le corps glissait sur une surface, on substituerait à chaque instant à cette surface le plan tangent mené en son point de contact avec le corps. 

90. Le frottement est utile dans certains cas, et nuisible dans d'autres. Le frottement est utile pour donner de la stabilité aux constructions ; pour fournir aux animaux les points d'appui qui leur permettent de marcher à la surface de la terre ; pour donner à la roue de la locomotive un point d'appui tout à fait analogue sur le rail; pour rendre possible l'arrêtdes machines au moyen des freins ; pour réalisercertains. embrayages ou certaines transmissions de mouvement, etc. 

Le frottement est généralement nuisible dans les machines,, parce qu'il absorbe inutilement, comme nous le verrons plus, tard, une portion du travail moteur. 

Dans le premier cas, on doit chercher à l'augmenter ; dans le second, on cherche à le réduire. 

L'étude des valeurs du coefficient f fournit en cette matière de précieux renseignements. Elle montre, par exemple, la grande influence des enduits interposés entre les surfaces frottantes. C'est pour diminuer le frottement développé dans les machines qu'on se ménage des moyens de graisser les paliers des arbres tournants, et de verser de l'huile dans les diverses articulations des pièces mobiles. Un enduit naturel remplit ce même rôle dans les jointures des membres des animaux. Des expériences toutes récentes, dues à M. Girard, ont montré qu'on obtient une réduction considérable du coefficient du frottement, en interposant entre les parties frottantes des organes de machines une couche d'eau injectée sous une pression suffisamment grande , et l'on pense que la réduction serait beaucoup plus grande encore si l'on pouvait remplacer cette eau par un matelas d'air. Mais ces perfectionnements sont jusqu'ici peu répandus dans l'industrie ; on se contente généralement de procédés plus'grossiers. Les graisses dont on se sert habituellement, ont l'avantage de demeurer assez longtemps entre les deux corps en contact; malgré la tendance des 11uides à s'échapper latéralement sous l'action des pressions qu'on 

leur fait subir ; mais elles s'altèrent assez rapidement, et doivent être fréquemment renouvelées. 

TABLEAU DU COEFFICIENT f DU FROTTEMENT, ET DE I.'ÀXGT.E O DU FROTTEMENT. 

I Bois sur bois, à sec 

I Bois et métaux, à sec 

I — avec enduit gras. .. 

! Métaux sur métaux, à sec 

I — avec enduit gras. .. 

I Cuir sur bois ou métal, à sec... 

I — avec enduit gras. .. 

91. Un corps pesant est posé sur un plan incliné; trouver sous quelle inclinaison du plan ce corps commencera à glisser. Soit AB le corps pesant : la force extérieure qui le sollicite est le poids J S, lequel agit suivant la verticale. L'inclinaison du planRR' 

est donnée par le rapport -g-g- de sa 

montée ou de sa hauteur R'H, à sa base R 11. 

La force IS peut se décomposer en deux, l'une IP, normale au plan, et Pj„ 85. l'autre IT, parallèle au plan et dirigée 

suivant la ligne de plus grande pente. "La force IP est la pression normale ; le frottement subi par le 

frjjr. Il suffit (le rendre le 

corps de la part du plan a donc pour limite supérieure le produit IP X f, en prenant pour f le coefficient du frottement relatif aux matières en contact. 

Tant que la force IT sera inférieure au produit IP x f, le corps ne pourra glisser, car la réaction tangentielle de la surface fait équilibre à cette force IT. Le glissement ne pourra donc commencer que lorsqu'on aura 1T= IP X f■ Cette équation délinit la limite cherchée. 

On sait que quand IT = IP X f, l'angle SIP est égal à l'angle du frottement <p. 

Or, le triangle IPS, rectangle en P, est semblable au triangle RHR', rectangle en II; car l'angle SIP et l'angle R, tous deux aigus, sont égaux comme ayant leurs côtés respectivement perpendiculaires L'angle R'RH est donc égal à l'angle du frottement. 

Le glissement ne pourra donc se produire que si l'angle du plan avec l'horizon est au moins égal à l'angle <p. 

Cette remarque fournit un procédé pratique de déterminer 

l'angle o, et par suite le rapport f 

plan RR' mobile autour d'une de ses lignes horizontales; on y place un corps pesant, et on fait croître graduellement l'incli naison du plan jusqu'à ce que le glissement commence. L'incli naison correspondante à ce mouvement naissant est la valeur de l'angle cherché 

La dynamique fournit des moyens plus rigoureux de déterminer lo nombre f. 

92. Un corps pesant (ABCD, MNN'M'), déformé parallélépipédique rectangle, est posé par une de ses faces AB, sur un plan, horizontal RR'. La force qui sollicite ce corps est la pesanteur P, qu'on suppose appliquée au point (G, G'), 

sur son axe vertical de symétrie. On applique à ce corps une force I(F, 

horizontale et agissant en un point K clans le plan de symétrie vertical EE'. 

On demande dans quel cas la force F fera glisser le corps sur le plan RR', 

et dans quel cas elle fera basculer le corps autour de l'arête (B, NN'). 

Composons, au point I, où leurs directions se coupent, les forces F 

et P en une seule force S. Pour que le corps puisse glisser 

sur le plan, il faut que la force IS fasse avec la verticale un angle au moins égal à l'angle du frottement, ou bien qu'on ait la relation : 

Mais, si la force IS, au lieu de rencontrer le plan AB de la base en un point L situé entre A et B, le rencontrait en un point L' situé à droite du point B, la réaction du plan ne pourrait tenir en équilibre cette force IS, et le corps basculerait autour de l'arête (B, NN'). Ce mouvement est impossible si le moment de la force S par rapport à cette arête est de même signe que le moment de la force P, et de signe contraire au moment de la force F; et comme la force S est la résultante de F et deP, comme par conséquent son moment est la somme algébrique des moments des composantes, il suffit que le moment de la force P, pris en valeur absolue, soit plus grand que le moment de la force F, pris également en valeur absolue, ou qu'on ait l'inéga lité 

Si la matière dont est formé le corps ABCD n'était pas douée d'une résistance indéfinie, il faudrait, de plus, que la résultante S passât assez loin de l'arête B pour ne pas écraser cette arête. Mais nous laissons de côté cette condition. 

Pour que le glissement ait lieu, il faut donc et il suffit qu'on ait à la fois 

BJ est la moitié de la dimension AB = b de la base du corps; KA est la hauteur h à laquelle on applique la poussée latérale F. L'inégalité précédente revient donc à celle-ci : 

La limite à laquelle le glissement aura ïieu est donc donnée par les deux équations : 

D'où résulte pour limite supérieure de h 

Au-dessus de cette limite, toute force F, assez grande pour amener le glissement du corps, renverse le corps autour de son arête B. 

93. Une barre rigide, ÀB, s'appuie sur un plan fixe RR' par son extrémitéB. Elle est soumise à l'action d'une force F, appliquée suivant sa direction. Trouver quelle inclinaison il faut donner à la barre pour que le glissement de l'extrémité B sur le plan RRr soit possible. 

La force F est décomposable en deux forces, l'une, P, normale, l'autre, T, parallèle au plan; le frottement exercé par le plan sur la barre a pour limite P/'; 

le glissement n'est donc possible que si T est supérieur à Vf. Si T est moindre que Pf, il n'y aura pas de glissement, et ondit alors que la barre est arc-boutée sur le plan. "S 

Or, remarquons que les forces T et P sont toutes deux proportionnelles îi la force F appliquée à la barre, 

de sorte que l'intensité de cette force ri=- 87- 

peut varier sans altérer le rapport p de ses composantes; si ce 

rapport est plus petit que f, ou si l'angle de la barre avec la normale au plan est plus petit que l'angle du frottement, le glissement est ivipossible quelque grande que soit la force F. C'est en cela que consiste le phénomène de l'arc-boutement. 

On voit que cet effet est à craindre toutes les fois que la force qui tend à faire glisser un corps sur une surface, tend en même temps à l'appuyer contre cette surface, en faisant avec la normale un angle trop aigu. En pratique, si on augmentait indéfiniment la force F, on produirait, soit l'écrasement de l'extrémité B de la barre, soit la flexion latérale de la barre entière, soit enfin une 

déformation du plan, telle que l'enlèvement dun copeau de la matière dont le plan est formé. 

En général, l'arc-boutement doit être soigneusement évité dans les machines, notamment dans les engrenages. On y a secours cependant dans quelques appareils spéciaux, dans Yencliquetage Dobo, par exemple. 

94. Lorsqu'un corps glisse sur une surface, le frottement subi par le corps est dirigé en sens contraire 

51 du mouvement, et est égal àPf, f étant 

le coefficient de frottement, et P la ;pression normale. Il est quelquefois utile t d'exprimer le frottement en fonction de la réaction totale S, dont P n'est que la Fig. 88. composante. 

L'angle SAP est alors égal à l'angle S P 

du frottement, et l'on a ^-p = f. 

ÂS2=AP2 + SP2 = ÂP2x[l + (||yj = AP2 X(l +/2)- 

On obtiendra donc le frottement SP en multipliant la réaction 

totale oblique, AS,parle facteur constant ^ ^ ^ . 

Lorsque f est très-petit, ce qui a lieu lorsque les surfaces en contact sont bien polies et bien graissées, le carré /"^ est négligeable par rapport à l'unité, et le frottement SP est sensiblement égal au produit AS X f- Cela revient à confondre la réaction totale AS avec sa composante normale AP : chose permise quand l'angle SAP est très-petit. 

9o. Le theorème du travail virtuel résumé toute la statique, 'et permet de faire rentrer toutes les conditions d'équilibre d'un système quel qu'il soit, dans un seul et même énoncé. 

Soit M un point matériel que nous supposerons d'abord entièrement libre dans l'espace. Ce point est sollicité par une force F, dont la direction et l'inten sité sont connues. Le point M, qui est mobile, subit un déplacement infiniment petit, MM', dont la direction ne coïncide généralement pas avec la di- M rection de la force F. Projetons le dé- M-placement 

M-placement sur la direction MF. Nous F's- S9- 

obtiendrons pour projection une longueur infiniment petite, Jim, qui sera le déplacement élémentaire du point estimé suivant la direction de la force. Cela posé, on appelle travail élémentaire de la force F le produit F X M?n de la force par le déplacement projeté, ce produit étant pris avec M le signe —j— si la projection du déplacement m y a la même direction que la force, ou si l'angle M'MF est aigu (fig. 89), et avec le signe —, si elle a une direction contraire, F ou si l'angle M'MF est obtus (lig. 90). Le travail élémentaire est nul si le déplacement MM' est normal à la force F. 

96. Lorsqu'un point M, libre ou non, parcourt une trajectoire ÀB, et est sollicité à chaque instant par une force F, variable en direction et en intensité, on appelle travail total de la force F, correspondant au passage du point mobile de 

MÉCANIQUE. ENS. SPÉCIAL, 3» ANN. 9 

la position M à une autre position M, , la somme des travaux 

élémentaires que l'on obtient en décomposant l'arc parcouru MM, en un nombre très-grand do parties MM', M' M", M" M'", ..., égales ou inégales, mais toutes très-petites. 

SoientF, F',F", F"',... les forces successives, données en grandeur et en direction, qui sollicitent le point mobile pendant qu'il décrit chacun de ces éléments, et Mm, M'm', M"m", ... les projections, sur les directions des forces, des éléments de chemin décrit ; le travail total de la force variable est la somme 

étendue à tous les éléments de l'arc MMi , ou plutôt, c'est la limite vers laquelle tend cette somme, lorsque le nombre des parties MM', M'M", ... augmente indéfiniment. 

Chacun des facteurs Mm, M'm', ... doit d'ailleurs être pris avec le signe ou le signe — , suivant que la force fait un angle aigu, ou un angle obtus avec la direction du mouvement. 

97. Au lieu de projeter l'élément de chemin MM' sur la direction MF de la force, on peut projeter la force MF sur 

la direction MP du chemin décrit, et faire le produit MP X MM' au lieu du produit MF X Mm .... En effet, les angles m et Pétant droits, les quatre points M', m, F, P, sont situés sur une même circonférence, et les produits 

MF X Mm et MP X MM' sont égaux. Le signe qu'on doit donner à ces produits ne dépend d'ailleurs que de l'angle FMP. La projection MP de la force F est la composante tan-genlielle de cette force, décomposée suivant la tangente et suivant une normale à la trajectoire. Si l'on prend positivement les éléments MM' de chemin décrit, il faudra donner à cette composante le signe -j- quand elle agit dans la direction du mouvement, et le signe — quand elle agit en sens contraire ; le produit aura alors le signe convenable. Lorsque au contraire le calcul assigne aux éléments MM' tantôt le signe , tantôt le signe —, il faudra, pour que le produit ait le signe fixé par la définition du travail élémentaire, prendre la composante tangentielle avec le même signe que l'élément MM', ou avec un signe contraire, suivant que la composante et le déplacement sont dirigés dans le même sens ou dans des sens opposés. 

98. Le travail total d'une force F, variable en direction et en intensité, agissant sur un point qui parcourt un arc MM, de sa trajectoire, peut se déterminer par la quadrature d'une courbe plane. A la somme (iig. 91) 

F X Mm + F' X M'm' + F"X M"m" + ... 

nous pouvons substituer, en vertu de la proposition précédente la somme (lig. 93) 

P X JIM' + P'x M'M" + P" X M"M"' + ... , 

étendue aux mêmes limites, M et M,. Dans cette seconde somme, P, P', P", sont les composantes tangentielles des forces F, F', 

F", ... prises avec les signes que nous avons définis 

une courbe dont les abscisses (V, 0(4', ..., OjA, 

soient respectivement égales aux arcs de la trajectoire 

AM, AM', ..... AM,, comptés à partir d'un point fixe A, et dont les ordonnées correspondantes JJ-ÎS, |/<5', ... ^,<5, , soient égales aux composantes tangentielles MP, M'P', ..., M.P, des forces successives F, F', ... F,. L'aire de cette courbe sera la limite de la somme 

p] X fV + p-'5' X nV" + V-""" X n'V" ••• 

dont les termes sont égaux respectivement à 

et par suite l'aire de la courbe, comprise entre les ordonnées U.53, jx, cô, , est égale au travail total cherché. 11 est facile de reconnaître que cette égalité est générale, pourvu qu'on observe les conventions relatives aux signes des composantes P. 

Si la force F était en tous points normale à la trajectoire les composantes tangentielles P seraient constamment nulles, et le travail total serait égal à zéro. 

• 99. Lorsqu'un point est en équilibre, on appelle travail virtuel d'une force appliquée à ce point, le travail élémentaire de cette force pour un déplacement infiniment petit, attribué fictivement au point, et le théorème du travail virtuel consiste dans l'énoncé suivant : Pour qu'un sijstème matériel quelconque soit en équilibre, il faut et il suffit que la somme des travaux virtuels de toutes les forces, intérieures et extérieures qui sollicitent ce système, soit égale à zéro, pour tous les déplacements infiniment petits qu'on peut lui attribuer 

Les lois de l'équilibre que nous avons établies dans les chapitres précédents sont toutes comprises dans cet énoncé. 

Nous montrerons par quelques exemples le parti qu'on peut tirer du théorème pour traiter les questions d'équilibre. Mais il faut commencer par poser plusieurs lemmes préliminaires. 

TRAYAIL ÉLÉMENTAIRE DE LA RÉSULTANTE DE PLUSIEURS FORCES 

100. Le travail élémentaire de la résultante R de plusieurs forces F, F', F", ... qui sollicitent un même point matériel M, est là somme algébrique des travaux élémentaires correspond dants à chaque composante considérée seule. 

Projetons toutes les forces F, F', F". ... sur la direction du déplacement infiniment petit, MM', du point mobile, et soientP, P', P", ... les composantes tangentielles de ces forces prises avec leurs signes. La somme algébrique des travaux élémentaires des forces sera (§ 97) 

Mais la somme algébrique P + P'-f-P" + ••• des projections des forces F, F', F", ... sur la direction MM', est égale en grandeur et en signe càla projection de leur résultante R ; le produit obtenu est donc égal au produit de la composante tangentielle de la force R, prise avec son signe, par le déplacement MM', c'est-à-dire au travail élémentaire de la force R. 

'101. On démontre d'une manière analogue que si l'on • décompose, d'une manière quelconque, en plusieurs éléments composants, l'élément MM' de chemin décrit, le travail élémentaire d'une force R est la somme algébrique des travaux élémentaires de cette force correspondant à chacun de ces déplacements, considéré seul. 

Cette proposition rentre même dans la précédente, car celle-ci n'est autre chose qu'un théorème de géométrie 

pure ; or rien n'empêche de prendre la droite finie qui représente la force R pour le déplacement imprimé au point mobile, et la droite finie MM' pour représenter la force qui est appliquée au point. La proposition précédente devient alors applicable, et la nouvelle proposition s'en déduit en ' restituant aux divers facteurs leur véritable signification. 

102. Plus généralement, si l'on décompose la force R qui sollicite le point matériel en un certain nombre de composantes F, F, F", ..., et le chemin élémentaire décrit, MM', 

en un certain nombre de chemins composants, s, s', s", ..., le travail élémentaire de la force R est la 

somme algébrique de tous les tra-x 

tra-x élémentaires que l'on obtient en combinant successivement les — forces F, F', F", ... avec chacun des chemins composants s, s',s" .... 

Supposons que le point mobile M soit rapporté à trois axes rectangulaires fixes OX, OY, OZ. 

Décomposons la force R qui lui est appliquée, en trois composantes, X', Y', Z', parallèles aux axes. Soit MM' le déplacement infiniment petit imprimé au point ; décompo-sons-le de même en trois déplacements parallèles aux axes, Mra, nm, mM'. Le travail élémentaire de la force R pourra s'obtenir en considérant successivement les neuf combinai-Fig 

X' et Mn, Y' et Mra, Z' et M;i, 

X' et nm, Y' et nm, Z' et nm, 

X' et m M', Y' et mM', Z' et mM', 

et en faisant la somme algebrique des travaux correspondants Mais le déplacement M)i est perpendiculaire à la fois aux forces Y' et Z' ; le déplacement nm est perpendiculaire aux forces X' et Z', enfin le déplacement mM' est perpendiculaire aux forces X' et Y'. Les travaux correspondants sont donc nuls, et des neuf combinaisons indiquées, six 

DONT ON DONNE LES COMPOSANTES. 135 

peuvent être supprimées. On n'a plus à considérer que les trois combinaisons 

X' et M?i, Y' et nm, Il et mW, 

pour chacune desquelles la direction' du déplacement coïncide, dans un sens ou dans l'autre, avec la direction de la force. Représentons M)i par ?, nm par rj, et mil' par -Ç, ces quantités étant prises d'ailleurs avec les signes -j- ou —, suivant les conventions ordinaires. Le travail élémentaire de X' sera X'ij, le travail de Y', Y'vj, et le travail de Z', Z'Ç. Le travail de R sera donc égal à la somme algébrique 

expression où chaque facteur X', Y', Zr, ij, •/), Ç, porte son signe avec lui. 

Le travail élémentaire de la force R, pour un déplacement MM' dont les composantes sont ?, r) et Ç, est nul si la direction de R est normale à l'élément MM'. On a alors 

X'Ç -|- Y'r) + Z'Ç = 0 ; 

cette équation indique donc que la direction définie par les projections Xr, Y', Z' sur les trois axes, et la direction définie par les projections X, t\ et Ç sur les mêmes axes, sont rectangulaires Nous avions déjà démontré ce théorème d'une autre manière (§ 61). 

103. Supposons que le point M fasse partie d'un système invariable auquel on imprime un déplacement angulaire infiniment petit autour d'un axe AB. 

Dans ce mouvement, le point M décrit autour de l'axe un élément de circonférence , M M' , qui a pour centre le point G, projection du point M sur l'axe, et qui est' situé dans un plan perpendiculaire à cet axe. Décomposons la force F, appli-quéeaupointxM en deuxforces, l'une Q, normale à ce plan, l'autre P, 

située dans ce plan. Le travail de la force F est égal à la 

136 FORCE APPLIQUEE IA UN CORPS TOURNANT. 

somme des travaux de ses composantes P et Q ; mais la ■ force Q, qui est normale à l'élément \ de chemin décrit MM', a un trac 

trac ^ va'l nul- Le travail de la force F 

est donc égal au travail de la force P, et en projetant (fig. 97) le point M' E / en m sur la direction de MP, le 

Fjg 97. • travail élémentaire cherché sera égal au produit P X Mm. 

Du point C abaissons sur la direction de MP une perpendiculaire CE. Les triangles CEM, Mm M', qui ont leurs côtés respectivement perpendiculaires chacun à chacun, sont semblables et donnent la proportion 

P X CE est le produit de la projection P de la force F sur un plan normal à l'axe de rotation, par la distance de laforceP ou de la force F à l'axe ; c'est donc le moment de la force F 

par rapport à l'axe ÀB (§ 38). Le rapport est la mesure 

de l'angle M'CM, décrit par le système invariable ; c'est, en d'autres termes, le déplacement angulaire du système. On a donc ce théorème : 

Le travail élémentaire d'une force appliquée en un point d'un corps solide auquel on imprime un mouvement infiniment petit de rotation autour d'un ax&, est égal au produit du moment de la force par rapport à cet axe, par le déplacement angulaire du corps. 

Ce théorème est général , moyennant qu'on donne les signes convenus au moment de la force et au déplacement angulaire. 

ÏHÉOKÊME DU TRAVAIL VIRTUEL POUR UN POINT MATÉRIEL UNIQUE 

104. Soit M un point matériel libre dans l'espace, et sollicité par des forces F, F, F", ... données en grandeur et en direction. 

Si ce point est en équilibre, la somme des travaux élémentaires des forces F. F', F", ... pour un déplacement quelconque MM' du point, sera nulle. Nous savons en effet que la somme des travaux élémentaires de ces forces est égale au travail élémentaire de leur résultante R ; or, la résultante R est nulle par hypothèse. Donc son travail élémentaire est égal à zéro ; 

il en est donc de même de la somme des travaux des composantes 

Réciproquement, si la somme des travaux élémentaires des forces F, F', F", ... est nulle pour tout déplacement du point, le point est en équilibre. 

En effet, on peut remplacer la somîne des travaux élémentaires des composantes F, F', F", ... par le travail élémentaire de leur résultante R ; ce travail étant nul, ou bien la force R est nulle, ou bien elle a une direction perpendiculaire à l'élément MM'. Mais il en est ainsi pour tout déplacement du point, et par conséquent la direction de MM' est arbitraire. La direction de la résultante devrait donc être normale à toutes les directions qu'on peut mener par le point M, ce qui est impossible. Donc R = 0, et le point est en équilibre. 

Traduisons analytiquement ces conditions; nous retrouverons les trois équations d'équilibre posées dans le § 21 . 

Soient X, Y, Z, les composantes de la force F, parallèles à trois axes rectangulaires ; 

X', Y', Z', les composantes de la force F' ; 

X", Y", Z", les composantes de la force F", etc. 

Décomposons aussi l'élément MM' parallèlement aux mômes axes, et soient ?, t\, Ç ses composantes. 

Le travail élémentaire de la force F sera égal à X Y?) -(- ZÇ, le travail de la force F', à X'ç 4" Y'YJ -j- Z'Ç, le travail de la force F" à X"? -j- Y"-/)-j- Z"Ç, etc., et la somme des travaux élémentaires de toutes les forces données sera égale à 

(X? + Yr, + ZÇ) + (X'S 4- Y'V) + Z'Ç) + (X"Ç+ Y"*, + Z"Ç) + , 

(X + X' + X"+...)? + (Y + Y' + Y"+...)v) 

+ (Z + Z' + Z"+-) S-Cette 

S-Cette doit être identiquement nulle, quel que soit le déplacement MM', c'est-à-dire quelles que soient les projections v), Ç de ce déplacement sur les trois axes. Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit que l'on ait les trois •équations : 

Ce sont les trois équations d'équilibre d'un point matériel libre dans l'espace. 

Les quantités ri, Ç sont des quantités auxiliaires infiniment petites, qui doivent rester arbitraires dans toute la suite du calcul, et qui disparaissent du résultat définitif. 

405. Considérons un point matériel M, assujetti à glisser sans frottement sur une surface fixe, S, et sollicité par des forces données F, F', F", .... 

Nous pouvons regarder ce point comme libre en joignant aux forces données la réaction normale inconnue, N, de la surface. Le point devenu libre pourra recevoir des déplacements dans toutes directions autour de la position M qu'il occupe. Mais, parmi ces déplacements, considérons seulement ceux qui sont compatibles avec les liaisons du point, c'est-à-dire 

POUR UN TOINT UNIQUE. ' 139 

ceux qui s'opèrent autour du point M dans la surface S. Tous ces déplacements sont normaux à la direction de la réaction N, et par suite, pour chacun d'eux, le travail élémentaire de la réaction est nul. 

Il faut et il suffit, pour que le point M soit en équilibre, que la somme des travaux de toutes les forces qui y sont appliquées, y compris la réaction N, soit nulle pour un déplacement quelconque. Si l'on ne considère que les déplacements compatibles avec les liaisons, le travail de la réaction N étant nul pour chacun d'eux, le travail des forces données, F, F', F", ... est aussi égal à zéro. Et cette condition nécessaire pour l'équilibre est suffisante; car elle indique que la résultante des forces données F, F', F", ... est normale aux déplacements considérés, c'est-à-dire normale à la surface S au point M. La réaction N est égale et contraire à la résultante de ces forces. 

Les conditions d'équilibre d'un point assujetti à glisser sans frottement sur une surface lixe sont donc comprises dans l'énoncé suivant : II faut et il suffit que la somme des travaux élémentaires de toutes les forces données soit nulle, pour tout déplacement du point tangentiel à la surface, c'est à-dire compatible avec la liaison. 

Il est facile de reconnaître, en décomposant un déplacement quelconque du point parallèlement à deux axes rectangulaires menés dans le plan tangent, que ces conditions, dont le nombre paraît illimité, se réduisent seulement à deux conditions distinctes. 

106. Prenons encore un point M assujetti à glisser sans frottement sur une ligne fixe, L. On répétera les mêmes raisonnements que pour le point glissant sur une surface : La condition nécessaire et suffisante pour l'équilibre est que la somme des travaux élémentaires des forces données soit nulle, ;pour les déplacements compatibles avec la liaison, c'est-à-dire ici, pour un déplacement infiniment petit, donné au point le long de la ligne L. 

On exprime par cette condition que les forces données ont une résultante normale à cette ligne ; la réaction de la ligne est égale et contraire à la résultante. 

107. Les trois énoncés particuliers que nous venons de donner sont tous compris dans cet énoncé général : 

Pour qu'un point matériel assujetti à certaines liaisons soit en équilibre, il faut et il suffit que la somme des travaux élémentaires des forces données qui le sollicitent, soit égale à zéro, pour tout déplacement compatible avec les liaisons. 

Les liaisons dont il est question dans cet énoncé, équivalent à des égalités, et s'expriment analytiquement par des équations ; dire par exemple qu'un point est assujetti à glisser sur une sphère fixe, c'est dire que la distance de ce point au centre de la sphère est constante et égale à son rayon. Nous avons vu qu'il y a des liaisons d'un autre genre ; ce sont celles qui équivalent à des inégalités : telle est la condition, pour un point matériel, d'être toujours à l'intérieur d'une sphère donnée ; on la traduirait analytiquement en exprimant que sa distance au centre de la sphère est au plus égale au rayon , et on peut l'imaginer réalisée matériellement en supposant le point matériel relié au centre par un fil inextensible égal au rayon de la sphère. Dans ce cas, ou bien le point est comme libre dans l'intérieur de la sphère, et alors la condition nécessaire et suffisante pour son équilibre, est que la somme des travaux des forces données soit égale à zéro pour tous les déplacements qu'on peut lui attribuer ; ou bien le point est sur la surface, et son équilibre suppose l'intervention de la réaction du fil, laquelle est normale et dirigée vers l'intérieur. Parmi les déplacements virtuels qu'on peut donner au point, les uns sont dirigés le long de la surface : pour ceux-là, le travail de la réaction est nul ; les autres sont dirigés en dedans de la surface, et pour ceux-là, le travail de la réaction est positif. Le point matériel doit être considéré comme libre, dès qu'on remplace la surface par une réaction équivalente. La somme des travaux élémentaires de toutes les forces qui le sollicitent est donc nulle pour tous les déplacements qu'il peut recevoir. En définitive, la somme des travaux des forces données est nulle pour les déplacements qui se font le long de la surface, et elle est négative pour les déplacements dirigés vers l'inté rieur ; car on doit obtenir zéro en ajoutant à cette somme 

le travail positif de la réaction qui complète l'équilibre. 

On voit par là que l'équilibre n'exige pas toujours que la somme des travaux élémentaires des forces données soit nulle pour les déplacements compatibles avec les liaisons. Lorsqu'on laisse de côte certaines forces, comme ici la réaction du fil, il est possible que la somme des travaux des forces que l'on a prises à part soit différente de zéro pour certains déplacements admissibles ; il faut alors et il suffit que cette somme soit négative. Ce cas particulier ne se présente jamais lorsque les liaisons permettent de changer le sens de tous les déplacements ; car ce changement de sens entraîne un changement du signe des travaux des forces, et par suite la somme des travaux, si elle est négative pour un déplacement particulier, redeviendrait positive pour le déplacement contraire ; l'équilibre ne serait donc plus assuré. Qu'on reprenne l'exemple simple que nous venons de traiter, et l'on reconnaîtra que la somme négative correspond en effet à des déplacements virtuels pour lesquels le changement de sens n'est pas admissible, tandis que la somme nulle correspond à des déplacements qui peuvent s'opérer suivant la surface dans un sens ou en sens opposé. 

APPLICATION A LA RECHERCHE DES NORMALES AUX COURBES ET AUX SURFACES. 

108. Le théorème du travail virtuel fournit dans certains cas une méthode très-élégante pour mener la normale à une courbe ou une surface. 

variable MF, et r' la distance 

variable MF', et soit 2a le grand axe. Nous aurons pour tous les points de l'ellipse, la relation 

Soient F et F' les foyers de l'ellipse, et M un point de la courbe. Appelons r la distance 

Pour en donner un exemple simple, nous chercherons la normale à l'ellipse. , 

Jqui est, dans un système particulier de coordonnées, l'équa tion de la courbe. 

Considérons un point M'de l'ellipse, très-voisin du point M; et appelons r -j- h la distance M'1J de ce point au foyer F. La somme M'F +M'F' étant égale à MF MF', la distance M'F sera égale à r' — h, et par conséquent, si du point M' nous abaissons des perpendiculaires M'm, M'm', sur les droites M'F et MF', les quantités Mm, Mm' mesureront les variations simultanées de longueurs subies par les deux distances r et r' ; elles seront égales entre elles et représenteront chacune la quantité h. 

Or, supposons qu'un point matériel assujetti à glisser sans frottement sur l'ellipse, soit placé au point M, et soumis à l'action de deux forces extérieures égales, P et P', l'une dirigée suivant MF, l'autre dirigée suivant MF'. Imprimons au point matériel un déplacement virtuel, MM', le long de la courbe qu'il est assujetti à décrire. Le travail de la force P sera négatif et égal à — P X ^'n ou à — P/«, et le travail de la force P' sera positif et égal à P' X M"1' — I"/-- La somme des travaux élémentaires des forces extérieures est donc égale à P'/J — P h = (P' — P) h ou à 0, puisque les forces P et P' sont égales, et par suite le point matériel est en équilibre au point M. Donc la résultante des forces P et P' est normale à la courbe, et comme elles sont égales, leur résultante est bissectrice de l'angle FMF' ; par suite, la normale à l'ellipse en un point donné divise en deux parties égales l'angle des droites menées de ce point aux deux foyers. 

On peut retrouver de même les propriétés connues de la normale à l'hyperbole (dont l'équation est r — r' = 2a), de la normale à la parabole (dont l'équation est r — r' =0, r désignant la distance d'un point au foyer, et r' la distance du même point à la directrice), de la normale au cercle délini par l'équation r = Kr' (Cinèm., § 59). 

La même méthode s'applique à des équations contenant les distances du point qui décrit la ligne ou la surface à autant de points, de lignes ou de surfaces lixes qu'on voudra. Elle est connue en géométrie sous le nom de méthode de Tchirnhausen. 

TRAVAIL ELEMENTAIRE DE DEUX FORCES MUTUELLES 

109. Il est nécessaire, pour étendre à un système de points matériels le théorème du travail virtuel, que nous n'avons encore démontré que pour un point isolé, de déterminer la somme des travaux élémentaires de deux forces mutuelles, FetF', égales et contraires, sollicitant deux points matériels, À et B. Nous B> 

supposerons d'abord que ces forces ~7\ 

soient attractives. Donnons au point A à 'F pf~6 \ A un déplacement infiniment petit, Fig. 100. 

A A', en même temps que le point B reçoit un déplacement infiniment petit, BB'. Projetons les points A' et B' en a et 6, sur la droite AB. Le travail de la force F, appliquée au point A, est égal au produit F X > le travail de la force F', appliquée au point B, est de inème F X Bô, et dans l'état de la ligure , ces deux travaux sont positifs ; leur somme algébrique est donc égale à F X (Ao Bô), ou bien à F X — ab). 

Mais les déplacements AA', BB' étant infiniment petits, la droite A'B'fait un angle infiniment petit avec la droite AB, et par suite (Ciném., Introd., § 8), on a, à moins d'un infiniment petit du second ordre, A'B' = a6; en définitive, le travail F X (AB — ab) est aussi égal à F X — A'B'),. c'est-à-dire au produit de la force mutuelle qui tend à rapprocher les deux points A et B, par la diminution de leur distance. 

Ce résultat est général, pourvu que l'on tienne compte des signes. Si F est la réaction mutuelle de deux points A et B, r leur distance AB, et r' ce que devient la distance r après les déplacements virtuels imprimés aux points A et B, le travail élémentaire des deux forces F a pour expression générale 

pourvu qu'on prenne positivement les forces F si elles sont répulsives, et négativement si elles sont attractives. Grâce à cette convention, on pourra dire que le travail des deux forces 

'F est égal au produit de leur valeur commune par la variation r' —r subie par la distance de leurs points d'application. 

On en conclut que si les déplacements virtuels imprimés aux points A et B laissent sans altération la distance de ces deux points, r' — r étant alors égal à zéro, le travail des forces mutuelles est aussi égal à zéro. 

■110. On ne change pas le travail d'une force F, appliquée à un point A, en supposant que cette force soit appliquée en un autre point B, pris sur sa direction, et invariablement lié au premier. En effet, appliquons au point B deux forces égales et contraires F' et F", toutes deux égales à la force F, €t agissant dans la direction de la droite AB. Cette addition de deux forces égales et contraires, appliquées en un même point B, ne change rien à la somme des travaux élémentaires de toutes les forces données ; car, quel que soit le déplacement infiniment petit qu'on imprime au point B, le travail correspondant de l'une des forces F', est égal en valeur absolue, et de signe contraire, au travail de l'autre force F". L'ensemble des forces F, F', F" donne donc une somme de travaux égale au travail de la Fig. 101. f°rce F Pr'se seule. Mais les forces F et F1' prises ensemble ont, en vertu du théorème précédent, un travail égal au produit de la force F par la variation de la distance AB, et, comme nous supposons cette distance constante, la somme des travaux de ces deux forces est nulle; il reste donc le travail de la force F', égal au travail de la force F. 

1 1 1 . Le travail élémentaire de deux forces parallèles F et F', appliquées à deux points A et B, invariablement réunis l'un à l'autre, est égal au travail de leur frésul-Fig 102. tante R. 

En effet, la distance AB restant constante, la somme des travaux des forces F et F' n'est pas 

THEOREME POUR UN SYSTÈME SOLIDE. 145 

altérée quand on introduit deux nouvelles forces f et f, égales et contraires, et agissant dans la direction A.B. Les deux forces f et F se composent en une seule force CT, dont le travail est la somme des travaux des deux composantes (| 100) ; de même, le travail de la force G' est la somme des travaux de ses composantes F et f. On ne change pas les travaux des forces G et. G' en les supposant transportées au point II, qui appartient à la fois à leurs deux directions et qu'on peut supposer relié invariablement au système des points À et B (§ \ 10) ; les forces G et G', transportées en II, se composent en une seule force R, qui est la résultante des forces F et F', et dont le travail est la somme des travaux des composantes ; enfin, on n'altère pas ce travail en transportant la force R du point 11 au point I. En résumé, le travail de la force R est la somme algébrique des travaux des forces F, f, F', f, c'est-à-dire la somme algébrique des forces F et F', puisque les travaux f et f se détruisent (§ 109). 

THEOREME DU TRAVAIL VIRTUEL POUR UN SYSTÈME SOLIDE INVARIABLE 

112. Nous pouvons toujours supposer, en remplaçant les liaisons par des forces qui ea tiennent lieu, que le système solide est entièrement libre dans l'espace. 

Nous avons vu (§ 56) qu'on peut ramener à deux forces, F et F', le système des forces données qui sont appliquées aux divers points du système. Dans toutes les opérations que l'on fait pour arriver à cette réduction, on compose ou l'on décompose les forces d'après la règle du parallélogramme on les transporte suivant leur direction en des points invariablement réunis aux points d'application primitifs on les compose par la règle des forces parallèles ; or, nous venons de voir que toutes ces opérations , faites sur un corps solide, conservent sans altération la somme des travaux élémentaires ; de sorte que la somme des travaux des forces F et F' est égale à la somme des travaux des forces données. 

Pour l'équilibre du système, il faut et il suffit (§ 74) que les deux forces F et F' soient égales, contraires, et dirigées suivant une seule et même droite ; prenons donc deux points quelconques A et B, l'un sur la direction de la force F. l'autre sur la direction de la force F' ; on pourra regarder F et F' comme appliquées respectivement en A et en B, et par suite la droite AB est la direction commune des deux forces F et F', lesquelles doivent en outre ? ! A E *F' être égales et agir en sens opposés. 

Fig. 103. La somme des travaux des forces F 

et F' est donc égale à zéro, car ces deux forces sont égales, opposées, agissant suivant la mémo droite, et la distance AB de leurs points d'application reste invariable, par hypothèse, dans les déplacements imprimés au système. I'ar conséquent la somme algébrique des travaux virtuels de toutes les forces, pour un déplacement quelconque du système matériel, est égale à zéro si le système est en équilibre 

Réciproquement, le système matériel est en équilibre si la çomme des travaux virtuels de toutes les forces qui y sont appliquées est nulle pour tout déplacement infiniment petit qu'on lui communique. 

En effet, réduisons les forces données à deux forces, F et F', que nous pouvons supposer appliquées l'une au point A, l'autre au point B ; la somme des travaux des forces F et F' sera égale à la somme des travaux dos forces données ; elle est donc nulle par hypothèse pour un déplacement quelconque imprimé au solide. Considérons les déplacements qu'on peut communiquer au solide en le faisant tourner autour du point À devenu fixe ; le point B est assujetti dans ces Flg- ,04' mouvements à rester à la surface 

d'une sphère dont le centre sera en A, et dont le rayon sera AB. Le travail de la force F est nul pour tous ces déplacements puisque le point A reste fixe ; le travail de la force F' est donc aussi nul, et par suite la force F' est normale aux chemins décrits par le point B, c'est-à-dire normale à la 

sphère sur laquelle ce point se déplace, et la direction de la force F' coïncide avec la direction ÀB du rayon de celte sphère. On prouverait de même, en considérant les déplacements sphériques autour du point B, que la force F agit suivant la direction AB. Donc les deux forces F et F' sont appliquées suivant une seule et même direction. Considérons en troisième lieu un déplacement parallèle à cette direction commune ; la somme algébrique des travaux des forces F et F' sera égale au produit de leur somme algébrique F F' par ce déplacement ; elle est nulle par hypothèse, et par suite F — F' = 0, ce qui nous montre que les forces F et F' sont égales en valeur absolue et dirigées en sens contraires Le système des forces appliquées au corps solide se réduit donc à deux forces égales, opposées et appliquées suivant la même droite, et par suite (§ 74) le corps solide est en équilibre. 

M 3.Les équations d'équilibre que nous avons posées (§ 7f>) ne sont que des applications du théorème qui vient d'être établi. 

Premier cas. — Considérons un solide libre dans l'espace et sollicité pur certaines forces, et appliquons à ce système le théorème qui vient d'être démontré. 

Imprimons d'abord au solide une translation infiniment petite parallèle à une droite quelconque ÀB, et soit s la longueur du déplacement, qui est la même pour tous les points du sys- F 

du chemin décrit (§9/), ou, ce 

qui revient au meme, sur la droite 

AB, de donner aux projections les signes convenables, puis, de multiplier les projections par le chemin s, et de faire la somme. Le résultat sera égal au produit de E par la somme 

teme. Pour trouver le travail des forces appliquées au corps, il suffira de les projeter sur la direction X 

algébrique des projections des forces sur la droite ÀB; le j théorème du travail virtuel nous apprend donc que lorsqu'un I système solide est en équilibre, la somme algébrique des projections des forces sur une droite ÀB quelconque est égale à j zéro. ! 

Faisons ensuite tourner d'un angle infiniment petit, a, le ; 

système solide autour d'une droite quel-p conque P Q ; le travail de chaque force 

dra (| 103) en multipliant par a le moment 

de la force par rapport à l'axe P Q ; la somme 

des travaux élémentaires sera donc égale au produit par a de la somme algébrique 

103 ^es moments i or e^e ' ^oit ®tre nu"e ! 

Flg" J' • en vertu du théorème. Donc lorsqu'un j système solide est en équilibre, la somme algébrique des moments des forces par rapport à une droite quelconque est égale à zéro. 

Il reste à montrer que ces conditions, qui paraissent en nombre infini, se réduisent à six conditions distinctes. 

Imprimons au système solide un déplacement arbitraire infiniment petit; nous savons (Ciném., § 89) que tout ! déplacement élémentaire d'un système invariable est décora-posable en deux mouvements élémentaires , savoir une translation et une rotation autour d'un axe , et qu'on peut regarder cet axe comme passant par un point quelconque du système, en disposant de la translation en conséquence. La translation peut ensuite être décomposée en trois translations, et la rotation en trois rotations distinctes, en appliquant à chacun de ces mouvements la règle du parallélépipède. Cela étant, par un point 0 pris arbitrairement dans l'espace, menons trois axes rectangulaires OX, OY, OZ ; décomposons le déplacement élémentaire imprimé au solide en une rotation infiniment petite autour d'un axe OÀ, passant par le point 0, rotation qui peut être représentée par la droite 0 A, et en une translation infiniment petite représentée en grandeur et en direction par une autre droite, OB. Puis décomposons suivant les 

trois axes les deux droites OÀ et OB ; appelons p, g, r les trois composantes de la rotation OÀ, et ?, -/], Ç les trois composantes de la translation OB. 

Nous savons (§§ 100 et 101) que pour trouver le travail d'une force on peut décomposer comme on voudra cette force et le chemin décrit par son point d'applica tion. Le chemin décrit par un point quelconque M du corps est la résultante des trois déplacements égaux à Ç, à ni et à Ç, 

parallèles aux axes, déplacements dus à la translation et communs à tous les points du solide, et des trois rotations, égales kp, à g et à r, du solide autour des mêmes axes. Décomposons de même en trois composantes X, Y, Z les forces appliquées aux divers points M. Il restera à associer chacune des composantes à chacun de ces déplacements, puis à faire la somme des produits résultants. 

Relativement au déplacement les forces Y et Z, perpendiculaires à ce déplacement, ne donnent rien, et le travail se réduit à X? ; la somme des travaux sera donc exprimée par 

X.S + X,5 4-X,Ç+... + XllÇl 

(XI +X,+X, + ... + X„ Ç, 

somme étendue à toutes les composantes parallèles à l'axe OX. 

De môme, le déplacement -r\ donnera une somme de travaux égaux à 

et le déplacement Ç une somme égale à 

(Z, —{— Za — Z3 —J— — —j— Z„) Ç. 

Les déplacements angulaires p, q, r donnent lieu chacun 

à une somme de travaux égale à la somme des produits de p, q, r par les moments des forces par rapport aux axes (| 103) ; appelons 

les moments des forces données par rapport aux trois axes; les sommes des travaux correspondants seront : 

(L,HrL1 +... + L„)XP, (M, 4- + M„)X<7> 

(N, + N, + ...+ N„)Xr. 

Réunissant toutes ces sommes par voie d'addition algébrique, il vient pour le total des travaux correspondant au déplacement considéré : 

(X1 4-...+X„)?+(Y, + ...'+Y„)r,+ (ZI + ... + Z„)? "h 14~ • • ■ 4~Ln )p4~ (M, -4"-. • • -1-Mn ) q+(N, -J-... -}-N„ ) r=0, 

somme que nous égalons à zéro, pour exprimer les conditions d'équilibre. Mais le déplacement considéré est tout à fait arbitraire ; par conséquent nous pouvons attribuer aux composantes m, P, q, i\telles valeurs que nous voudrons, et pour que l'équation résultante soit toujours satisfaite, quelles que soient les valeurs qu'on substitue aux arbitraires, il faut et il suffit que les facteurs qui multiplient ces arbitraires soient séparément nuls, c'est-à-dire qu'on ait les six équations : 

X, +x, + ... + x„=o, 

Z, -J- Za -J- Z„ = 0. 

M, 4~ M, 4~ ••• 4~ MB = 0, t N, 4- Na 4- ... + N„ =0. 

Ge sont les équations que nous avions trouvées au § 76 en suivant une marche différente. 

114. Deuxième cas. — Le corps solide a un point fixe, 0. 

Imprimons au solide un déplacement infiniment petit compatible avec les liaisons ; ce déplacement consistera (Cinêm. , § 88) en une rotation infiniment petite autour d'une droite 0 À passant par le point 0 ; la somme des travaux des forces sera égale à la somme algébrique de leurs moments par rapport à l'axe OÀ, multipliée par le déplacement angulaire du corps ; le théorème du travail virtuel montre donc que la somme algébrique des moments des forces extérieures, par rapport à toute droite passant par le point 0, est égale à zéro. 

Si l'on imprimait au corps un déplacement virtuel incompatible avec les liaisons, par exemple une rotation infiniment petite autour d'un axe ne passant pas par le point 0 , on obtiendrait un théorème analogue , mais il faudrait comprendre dans l'énoncé de ce théorème le moment de la réaction du point fixe ; l'adoption d'un déplacement compatible avec les liaisons a pour objet d'éliminer les réactions inconnues. 

Par le point 0 menons trois axes rectangulaires et décomposons la rotation autour de 0 À en trois rotations autour de chacun des axes. La somme des travaux élémentaires des forces sera égale à la somme algébrique des produits obtenus en multipliant respectivement les sommes des moments pris par rapport aux axes, par les déplacements angulaires correspondants ; égalant à zéro la somme résultante, on aura l'équation générale de l'équilibre, équation qui se décomposera en trois autres, en tenant compte de l'indétermina tion des arbitraires. En résumé, on retrouvera les trois équations d'équilibre (§ 78), exprimant que les sommes des moments des forces par rapport à trois axes rectangulaires sont séparément nulles. 

-1 15. Troisième cas. —Le corps solide est assujetti à tourner autour d'un axe fixe. Le seul déplacement compatible avec les liaisons sera une rotation infiniment petite autour de l'axe; la somme des travaux des forces extérieures sera 

donc égalé à la somme algébrique des moments de ces forces par rapport à l'axe, multipliée par le déplacement angulaire ; et l'application du théorème conduit ainsi à exprimer qu'il y a équilibre quand la somme des moments des forces par rapport à l'axe de rotation est égale à zéro (§' 79). 

Ici encore, le choix du déplacement virtuel a pour conséquence d'éliminer les réactions inconnues, c'est-à-dire les forces tenant lieu fies liaisons. 

11 G. Quatrième cas. — Le corps solide est assujetti à glisser sans frottement sur un plan fixe. 

'10 Si le contact du corps et du plan est établi par un point unique, les déplacements virtuels compatibles avec les liaisons pourront consister en une translation parallèle au plan et en une rotation autour d'un axe mené par le point. Ces mouvements sont décomposables, le premier en deux translations parallèles à deux axes rectangulaires tracés dans le plan iixe par le point de contact, le second en trois rotations, dont deux autour de ces deux axes, et la troisième autour de la normale au plan. Les conditions d'équilibre sont donc au nombre de cinq, savoir : deux équations exprimant que la somme algébrique des forces projetées sur chacun des axes tracés dans le plan est nulle ; et trois équations exprimant que la somme algébrique des moments par rapport à chacun des trois axes est égale à zéro (| 81, 1°). 

Le corps peut être simplement posé sur le plan ; on pourra admettre, comme compatible avec les liaisons, un déplacement parallèle à la normale au plan, mais dirigé dans un sens particulier. À ce déplacement correspond un travail positif de la réaction du plan, et ce travail, ajouté à la somme des travaux des autres forces, doit donner zéro pour somme. On doit donc ajouter comme condition aux cinq que nous avons déjà posées, que la somme des travaux correspondants à un déplacement du corps parallèle à la normale, dans le sens, bien entendu, où ce déplacement est admissible, soit négative, ce qui revient à dire que la somme des projections sur la normale des forces extérieures qui 

tendent à appuyer le corps contre le plan, doit être plus grande en valeur absolue que la somme des projections contraires. 

2° Si le contact est établi par deux points, il n'y aura plus lieu de considérer que trois déplacements distincts, savoir : deux translations parallèles respectivement à deux axes rectangulaires tracés dans le plan , et deux rotations l'une autour de la droite menée par les deux points de contact, l'autre autour de la normale au plan. De là quatre conditions d'équilibre : deux relatives aux sommes algébriques des forces projetées sur les deux axes, et deux relatives à la somme des moments par rapport à la normale et à la droite des points d'appui. Ces quatre sommes devront être nulles pour l'équilibre (§ 81 , 2°J. 

Si le corps est posé sur le plan, on pourra admettre tous les déplacements qui détachent le corps de son plan d'appui ; à ces déplacements correspondront des travaux positifs des réactions normales et par suite la somme des travaux des forces données doit être négative. Soient À et B les deux points d'appui. Prenons, pour axes dans le plan fixe la droite AB et une droite AG, perpendiculaire à AB ; puis, pour Fig 103 

troisième axe, la normale au plan AD, 

menée par le point A. Les six déplacements élémentaires distincts auxquels se réduit un déplacement virtuel quelconque se réduisent à trois translations parallèles à AB, àACetàAD,età trois rotations autour des mêmes droites ; les deux premières translations sont possibles dans les deux sens, et la somme des travaux correspondants à chacune d'elles doit par conséquent être égale à zéro. La troisième n'est possible que dans un sens particulier, et la présence du plan l'empêche en sens contraire ; la somme des travaux correspondants doit donc être nulle ou négative. Des trois rotations, celles qui s'effectuent autour de AB ou de AD sont possibles dans les deux sens : les sommes des moments des forces autour de ces axes sont donc nulles ; tandis que 

la troisième, autour de AC, n'est possible que dans un sens unique, celui qui détache le corps du plan au point B ; la somme des moments des forces par rapport à l'axe A C doit donc être négative. 

3° Enfin, s'il y a trois points d'appui non en ligne droite, on imprimera au corps deux translations parallèles au plan, ou une rotation autour d'une normale au plan, ce qui donnera trois équations d'équilibre ; de plus, on pourra admettre, si le corps est simplement posé, une translation normale au plan, et des rotations autour de deux axes situés dans le plan, mais avec certaines restrictions : la translation devra s'opérer dans un sens défini ; les rotations ne peuvent s'ef fectuer que dans un sens défini, et autour d'axes qui m traversent pas le polygone formé enjoignant les points d'appui. Car une rotation autour d'un axe laissant les points d'appui de différents côtés de sa direction, tendrait à faire pénétrer le corps dans le plan en certains points, en même temps qu'elle tendrait à l'en détacher en d'autres. Elle serait donc incompatible avec la nature des liaisons. En résumé, les conditions d'équilibre sont les suivantes : la somme des forces projetées sur deux axes rectangulaires tracés dans le plan, et la somme des moments par rapport à une normale au plan, doivent être séparément nulles ; si l'on projette les forces sur la normale, la somme des projections qui tendent à appuyer le corps contre le plan doit être supérieure (en valeur absolue] à la somme des projections qui agissent en sens contraire ; et si l'on prend les moments des forces par rapport à deux axes rectangulaires laissant chacun les points d'appui d'un même côté de leur direction, la somme des moments des forces qui tendent à appuyer le corps contre le plan doit être plus grande en valeur absolue que la somme des moments des forces qui tendent à le faire tourner en sens opposé. 

Nous retrouvons ainsi toutes les conditions établies précédemment par la méthode de la composition des forces. 

TOEOTIÈME DU TRAVAIL VIRTUEL POUR UN SYSTÈME MATÉRIEL QUELCONQUE 

117. Un système matériel peut toujours être considéré comme formé de points matériels libres, sollicités par des forces ; nous avons vu (§ 8) que ces forces peuvent être partagées en deux grandes catégories, savoir : les forces extérieures qui sontdirigéesvers des points étrangers au système, et les forces intérieures, forces mutuelles qui s'exercent d'un pointdusystème à un autre point. Les liaisons, quelles qu'elles soient, peuvent être remplacées par des forces équivalentes, et ces forces se partagent entre les deux catégories que nous venons d'indiquer ; les unes sont des forces extérieures, telles sont les réactions d'un point fixe, d'un axe fixe, d'une surface fixe, ... ; les autres, des forces intérieures mutuelles, telles que la tension d'un fil ou d'une barre réunissant deux points du système l'un à l'autre. Si nous remplaçons les liaisons par des forces équivalentes, les points matériels qui forment le système pourront être considérés comme libres, et le théorème du travail virtuel s'appliquera à l'équilibre de chacun d'eux. Quelque déplacement infiniment petit qu'on imprime à chaque point, la somme des travaux virtuels de toutes les forces qui sollicitent ce point en particulier sera nulle, puisque le point est en équilibre, et par suite, la somme des travaux virtuels de toutes les forces qui sont appliquées au système, forces extérieures, forces intérieures, forces tenant lieu des liaisons, est aussi égale à zéro. Réciproquement si la somme des travaux virtuels des forces est nulle pour tout déplacement du système, l'équilibre a lieu. Car les points étant tous libres et indépendants les uns des autres, prenons pour déplacement virtuel le déplacement d'un point en particulier, et laissons fixes tous les autres points. La somme des travaux virtuels de toutes les forces se réduira à la somme des travaux des forces appliquées à ce point ; cette somme est donc nulle, et par suite (| 104) le point est en équilibre. Le même raisonnement peut être fait pour un 

point quelconque : par conséquent, l'équilibre de toutes les parties du système est assuré si les conditions énoncées dans le théorème sont satisfaites. 

118. Le théorème ainsi formulé est remarquable par sa généralité, mais il est sans usage dans les applications de la statique, tant qu'on n'en restreint pas l'énoncé par des conditions particulières ; la méthode fondée sur l'emploi du théorème du travail virtuel a pour objet d'éliminer les forces inconnues, et de découvrir les équations de condition qui doivent exister entre les forces données pour qu'il y ait équilibre. On choisit pour cela parmi tous les déplacements possibles, ceux auxquels correspondent des travaux nuls pour les forces inconnues. 

Par exemple, veut-on éliminer les forces intérieures et avoir des relations entre les forces extérieures seules, on imprimera au système des déplacements qui laissent invariables les distances mutuelles des divers points matériels. Le travail de deux forces mutuelles étant égal au produit de leur valeur commune par la variation, positive ou négative de la distance de leurs points d'application (§ 109), est égal à zéro si cette distance reste constante, et par suite, les forces intérieures sont éliminées. Il restera donc seulement le travail des forces extérieures ; mais le système peut alors être considéré comme un solide géométrique. On parviendra donc par la considération de ces déplacements aux six équations d'équilibre d'un système solide, et dans ces six équations les forces extérieures seules iigureront. Nous retombons ainsi sur les théorèmes démontrés au § 83. 

119. En général, pour éliminer le travail du aux forces tenant lieu des liaisons, il suffit d'imprimer au système un déplacement compatible avec ces liaisons. Nous nous bornerons à vérifier cette règle dans les principaux cas qui se présentent dans les machines. 

. 1° Si le système est assujetti à tourner autour d'un point fixe, ou d'un axe fixe, la réaction du point ou de l'axe est une force extérieure qui ne produit aucun travail tant qu'on imprime au système des déplacements compatibles avec la fixité de l'axe ou du point. 

2° On peut en dire autant d'un système assujetti à glisser sans frottement sur une surface fixe, sans pouvoir s'en détacher car la réaction de la surface est normale. Nous excluons ici le cas où le système serait simplement posé sur la surface et pourrait s'en détacher dans un sens. Des exemples (f 1 16) nous ont fait voir que dans ce cas la somme des travaux virtuels, abstraction faite du travail correspondant aux liaisons, pouvait être négative, et non pas nulle. 

3° Le travail dû à la réaction normale d'une courbe fixe le long de laquelle le système serait assujetti à glisser est nul de lui-même. Tout déplacement compatible avec ce genre de liaison n'introduira donc aucun terme contenant la réaction inconnue. 

Si la surface ou la courbe directrice exerçait un frottement sur le système, il faudrait au contraire tenir compte du travail correspondant à ce frottement. 

4° Quand deux points matériels sont réunis l'un à l'autre par une tige de longueur invariable, le travail de la réaction mutuelle de ces deux points est nul, pour tout déplacement commun compatible avec cette liaison, puisque l'un des facteurs de l'expression du travail est nul. 

5° Enfin, considérons lé cas particulier où deux portions du système se touchent par deux surfaces qui glissent l'une sur l'autre sans frottement. La réaction mutuelle des deux surfaces est normale au point de contact. Considérons un déplacement infiniment ^— petit compatible aveccegenredeliai- N' -* son, c'est-à-dire laissant les deux surfaces tangentes. Les deux surfaces S, 

S'tangentes en M, se transportent par suite de ce déplacement dans les positions S,, S', ; elles sont encore tangentes en un certain point N ; 

mais ce point diffère en général des positions géométriques que le déplacement assigne aux deux points matériels appartenant l'un à la surface S, l'autre à la surface S', qui 

_ 158 THEOREME DU TRAVAIL VIRTUEL 

daient au point M. Ces deux points se transportent, l'un en M,, l'autre en M',, et par suite, la somme des travaux des deux forces égales, R, R', est exprimée par 

m' et m étant les projections des points M, etMr, sur la direction commune RR' des deux forces. 

Or, les points M, et M', sont situés à des distances infiniment petites du point N, par lequel se touchent les deux surfaces ; on peut donc les regarder comme appartenant au plan tangent commun mentaux deux surfaces par ce point; ce plan fait un angle infiniment petit avec le plan tangent au point M, . Il dilfère donc infiniment peu d'un plan normal à la droite RR' ; par suite, la distance mm' est un infiniment' petit du second ordre, et enlin la dilTérence Mm' — Mm est égale à zéro, aux infiniment petits du second ordre près. La somme des travaux virtuels des forces R et Rr est donc égale à zéro, et la proposition est vérifiée. 

Si les surfaces S et S' exerçaient un frottement l'une sur l'autre, il n'en serait plus de même, car la réaction mutuelle pourrait être oblique aux deux surfaces, et fournir par suite un certain travail. 

Dans tous les cas que nous venons d'examiner, on n'aura pas à évaluer le travail virtuel des forces dues aux liaisons, si l'on imprime au système des déplacements qui soient compatibles avec ces liaisons, c'est-à-dire qui les laissent subsister pendant le déplacement. 

120. Mais alors la démonstration de la réciproque du théorème général (§ 117) doit être modifiée. Nous avons d'a bord établi que lorsqu'un système matériel est en équilibre, la somme des travaux virtuels de toutes les forces qui le sollicitent pour un déplacement virlud quelconque, est égale à zéro ; cette proposition s'applique aux déplacements compatibles avec les liaisons comme à tous les autres, et nous venons de montrer que pour ceux-là en particulier le travail des forces dues aux liaisons est identiquement nul. Nous avons ensuite démontré la réciproque : si la somme des travaux 

POUR UN SYSTEME' A LIAISONS. 159 

virtuels des forces est nulle pour tous les déplacements virtuels, le système est en équilibre. Et pour cela, nous avons considéré des déplacements affectant un point unique du système, et laissant, les autres immobiles. Cette hypothèse suppose les points matériels libres et indépendants, et elle n'est pas compatible avec l'existence de liaisons que les déplacements imprimés au système doivent laisser subsister. Nous avons donc à démontrer pour ainsi dire un nouveau théorème qu'on peut énoncer comme il suit : 

Un système à liaisons est en équilibre, lorsque la somme des travaux virtuels des forces, soit extérieures, soit intérieures qui le sollicitent, est égale à zéro pour tout déplacement compatible avec les liaisons. 

La démonstration est facile en employant la réduction à l'absurde. Supposons que la condition soit remplie, et que le système matériel ne soit pas en équilibre. L'équilibre n'existant pas, le système prendra un mouvement réel délini, lequel sera nécessairement compatible avec les liaisons ; le premier pas du système dans le mouvement qu'il va prendre peut donc être regardé comme l'un des déplacements virtuels compris dans l'énoncé du théorème, et par suite, la somme des travaux- des forces est nulle pour ce déplacement particulier. Mais nous pouvons empêcher le mouvement du système en appliquant en ses divers points des forces convenables, dirigées ensens contraire du mouvement qui tend à se produire. Il y aura alors équilibre entre les forces primitivement appliquées au système, et les nouvelles forces qu'on vient d'y ajouter ; la somme des travaux de toutes ces forces est donc nulle, en vertu de la proposition directe. Or, la somme des travaux des forces primitives est nulle par hypothèse. La somme des travaux des nouvelles forces est donc nulle aussi, ce qui est impossible, car chacune de ces forces agissant en sens contraire du déplacement admis pour son point d'application, le travail de chaque force est négatif, et la somme de leurs travaux est aussi négative. L'hypothèse du mouvement du système conduit ainsi à une contradiction ; le système est par suite en équilibre. 

121. Les machines qu'on emploie dans l'industrie sont en 

général des systèmes à liaisons complètes (Ciném § 117). Dans un tel système, il n'y a qu'un déplacement possible dans un sens ou dans lé sens opposé. La condition d'équi libre de la machine s'exprimera en égalant à zéro la somme des travaux des forces correspondant à ce déplacement infiniment petit. 

Prenons pour exemple une machine composée de la manière suivante 

Une tige AB est destinee a pousser ou à tirer, le long de la droite lixe OA, le point B, extrémité de la bielle BC ; le point C, autre extrémité de la bielle, est articulé à la manivelle OC, mobile autour de l'arbre tournant 0. Sur cet arbre tournant est montée une roue d'engrenage M; elle engrène avec un pignon m', monté sur l'arbre parallèle 0' ; le pignon m' fait corps avec la roue M' qui est centrée sur le même arbre. Cette roue engrène avec le pignon m", monté sur un troisième arbre parallèle 0". Le tambour K, concentrique au pignon m", est sollicité à sa circonférence par une force tangente R ; son rayon est égal à r. On demande quelle force F il faut appliquer à la tige B A pour tenir la force R en équilibre. 

Si l'on désigne par e le déplacement infiniment petit du point B, point d'application de la force F, et par E' le déplacement infiniment petit correspondant du point K, point d'application de la force B, et si l'on suppose qu'il n'y ait aucun frottement dans les articulations et les engrenages, l'équation d'équilibre sera 

et la question est ramenée à un problème de cinématique : trouver le rapport - des déplacements linéaires simultanés 

Nous pouvons prendre s pour mesure de la vitesse linéaire du point B. La vitesse angulaire de l'arbre 0 sera égale à 

(Ciném § 81), la vitesse angulaire de l'arbre 0' est à 

celle de l'arbre 0 dans le rapport inverse des nombres de dents des deux roues M et m' ; appelons M et m' ces nombres de dents; la vitesse angulaire de l'arbre 0' est donc 

celle de l'arbre 0" est par la même raison 

et par suite la vitesse du point K, ou e', est e w M w M' 

On remarquera qu'aux points morts 01 est nul, et par suite F est infinie ; ce qui indique qu'il est impossible de tenir en équilibre une force R tangente à la roue 0", en employant une force F dirigée suivant la longueur de la bielle, lorsque la manivelle est à l'un des points morts. 

Nous avons fait abstraction du frottement. Si 1 on devait 

MÉCANIQUE. ENS. SPÉCIAL, 3« AXN. _ CT3~3.11 

en. tenir compte, il faudrait introduire dans l'équation les travaux des composantes tangentielles aux surfaces qui glissent les unes sur les autres. Mais ces composantes sont inconnues tout ce qu'on sait, c'est qu'elles sont au plus égales aux produits des réactions normales par le coefficient de frottement (| 89). Elles ne deviennent égales à cette limite supérieure que quand le glissement a effectivement lieu. Mais, même dans ce cas, elles sont encore inconnues, puisqu' renferment en facteur les réactions normales, que la méthode du travail virtuel a pour objet d'éliminer. Il faut alors traiter séparément l'équilibre de chaque partie de la machine, ce qui met en évidence, comme forces extérieures, les réactions mutuelles de ces parties. Nous aurons l'occa sion, dans le chapitre "VII, de résoudre quelques questions de ce genre. 

Le théorème du travail virtuel est comme un lien qui rattache ensemble, les diverses parties de la mécanique. Nous venons de voir qu'il introduit dans la statique des considérations cinématiques qui, au premier abord, paraissent complètement étrangères à la science de l'équilibre, et nous verrons plus tard qu'il peut être regardé comme un corollaire du plus important des théorèmes de la dynamique, le théorème des forces vives. 

122. On appelle pesanteur la propriété qu'ont les corps placés à la surface du globe d'être attirés vers la terre par une force déterminée, qui leur fait exercer une pression sur leurs appuis, s'ils sont en équilibre, ou qui les fait tomber, s'ils sont abandonnés à eux-mêmes. Tous les corps sont pesants A. la vérité, on trouve certains corps, dits corps légers, qui peuvent se maintenir en Vair sans tomber à la surface du sol ; mais ce phénomène est dû à la présence de l'air atmosphérique, qui exerce une poussée de bas en haut sur tous les corps qui y sont plongés ; dans le vide, un corps léger tomberait comme un corps lourd, et le mouvement des ■ deux corps présenterait les mêmes variations de vitesse. Dans l'air, la force due à la pesanteur est diminuée de la poussée du gaz, et le corps n'est sollicité en réalité que par la différence, positive ou négative, de ces deux forces contraires ; la résultante peut, dans certains cas, être dirigée de bas en haut. • 

123. Les lois de la pesanteur sont fort compliquées,'et elles ne peuvent être entièrement étudiées que dans la dynamique La pesanteur est variable pour un même corps avec la latitude, avec la hauteur au-dessus du niveau de la mer ; elle varie en direction d'un point à l'autre de la surface du globe, et si on laisse tomber un corps d'une grande hauteur ce corps ne parcourt la verticale, direction de la pesanteur que pendant les premiers instants de sa chute ; la rotation du globe a pour effet de l'en faire dévier. Nous laisserons de côté pour le moment l'examen de ces variations, et nous simplifierons l'étude de la pesanteur en supposant 

qu'il s'agisse simplement d'un corps de petites dimensions, placé en repos à peu de distance de la surface des mers, comme cela a lieu généralement pour les corps entrant dans la construction des machines. La pesanteur exercera sur les parties de ce corps des actions verticales, toutes parallèles entre elles. Supposons le corps solide. Toutes ces forces parallèles et de même sens pourront se composer en une seule force égale à leur somme ; c'est cette résultante qu'on appelle le poids du corps ; elle a pour point d'application le centre des forces parallèles, qu'on nomme dans ce cas particulier le centre de gravité du corps. 

Remarque. — Bien que la composition des forces suppose que les points d'application appartiennent à un même système solide, un système matériel non solide peut être considéré comme ayant un centre de gravité; c'est le centre de gravité du système qu'on aurait rendu solide par la pensée sans en altérer la forme. Si le système matériel se déplace et change de forme, à chacune de ses formes succesives correspond un centre de gravité particulier. 

COJIPS HOMOGÈNES. — POIDS SPECIFIQUE . 

124. Le poids total d'un corps, solide ou non solide, est la somme des poids de ses diverses parties. On dit qu'un corps est homogène lorsqu'un volume donné du corps a toujours le même poids, en quelque endroit qu'on prenne ce volume. Dans ce cas, le poids est proportionnel au volume, et par suite on obtiendra le poids total d'un corps dont le volume est donné, en multipliant le volume par un nombre dépendant de la nature du corps, et qu'on nomme poids spécifique. Si l'on appelle P le poids total d'un corps homogène, Y son volume et p son poids spécifique, on a entre ces trois quantités là relation ' 

P-La P. ést rapportée à l'unité de poids; la quantité 

j V, à l'unité de volume. Enfin, le nombre p exprime en unités ■ de poids le poids de l'unité de volume. L'équation est ; donc homogène. L'unité de poids reste arbitraire. On est | convenu en France de prendre pour unité de poids le poids de l'unité de volume d'eau distillée. Pour l'eau, par conséquent le volume et le poids sont exprimés par un même nombre. Si l'on prend, par exemple, pour unité, de volume le centimètre cube, l'unité de poids s'appelle le gramme ; c'est le poids d'un centimètre cube d'eau. Si l'on prend le ! décimètre cube, l'unité de poids correspondante est le kilogramme poids égal à 1,000 grammes, ou au poids de 1,000 centimètres cubes d'eau. Le décimètre cube contient en effet 1 ,000 centimètres cubes. Enfin, si l'on prend pour unité de volume le mètre cube, l'unité de poids correspondante est la tonne, qui équivaut à 1,000 kilogrammes, ou à 1,000,000 de grammes, et qui représente le poids de 1,000 décimètres cubes ou de 1 ,000 litres d'eau, ou encore de 1,000,000 de centimètres cubes. Pour l'eau distillée, quelle que soit l'unité de volume qu'on adopte, le poids spécifique p est égal à l'unité numérique. Cette convention suppose que l'eau est prise à une température définie, qu'on a fixée à 4° centigrades environ et qui correspond à son maximum de densité. Au-dessus comme au-dessous de cette température, un centimètre cube d'eau distillée a un poids un peu moindre qu'un gramme, et un poids spécifique un peu inférieur à l'unité. 

125. On détermine en physique les poids spécifiques des divers corps solides, liquides ou gazeux, ou plutôt les rapports de ces poids spécifiques à celui de l'eau, et les lois de la variation des poids spécifiques avec la température et avec la pression. On a dressé des tables qui donnent le poids spécifique des différents corps. Celui du mercure est d'en viron 13,6; celui de la fonte, d'environ 7,2; cela veut dire qu'un volume donné de mercure (pris à la température de 0°) aie même poids que 13,6 volumes égaux d'eau distillée (à la température de 4°), et qu'un volume donné de fonte pèse autant que 7,2 fois ce même volume d'eau. Par exemple, 1 centimètre cube de mercure à 0° pèse 136r, 6, 

et un metre cube de fonte à la même temperature pèse 7 lon"05, 2 ou 7,200 kilogrammes. 

Le volume correspondant à un poids donné d'un certain corps se déterminera de même en divisant le poids donné par le poids spécifique. Cherchons, par exemple, quel volume occupe un poids de 480 grammes de mercure à la température de zéro. 11 suffira de diviser 480 par 13,6, poids spécifique du mercure; il vient au quotient le nombre 35,294..., qui exprime en centimètres cubes le volume cherché. Si l'on demande quel volume de fonte il faut pour peser 40 tonnes, on divisera 40 par 7,2 ; le quotient est 5,555555 ...; le volume demandé est donc 5 mètres cubes 555 décimètres cubes 555 centimètres cubes, etc., ou 5 mè-. 

Lorsqu'il s'agit d'un gaz, il est nécessaire de connaître non-seulement sa température, mais encore sa pression, pour déterminer son poids en fonction de son volume et réciproquement. Cela tient à ce que le même poids de gaz occupe des volumes très-différents, suivant qu'on le comprime plus ou moins, tandis que les pressions extérieures les plus considérables exercées sur un liquide ou sur un solide en altèrent à peine le volume. 

426. Lorsque des volumes égaux, pris en différents points d'un corps, n'ont pas des poids égaux, le corps n'est pas homogène et le quotient de la division du poids total par le volume ne donne plus que le poids spécifique moyen. Si on divise de même le poids d'une portion définie du corps par le volume que cette portion occupe, on obtient le poids spécifique moyen de la portion considérée. Enfin, le poids spécifique d'un corps non homogène en un point donné est le poids spécifique moyen d'une portion infiniment petite prise dans le corps autour du point donné, ou la limite vers laquelle tend le rapport du poids de cette portion variable au volume qu'elle occupe, à mesure qu'on en réduit les dimensions jusqu'à zéro. 

MESURE DES QUANTITÉS DE MATIÈRE. — MESURE DES FORCES 

427. Le poids d'un corps peut servir à l'évaluation numérique de la quantité de matière que ce corps renferme. Nous ne savons pas ce que c'est que la matière, et il paraît à peu près impossible d'en donner une définition claire et précise. Nous pouvons du moins admettre que deux corps ayant le ~ même poids renferment la même quantité de matière, et que deux corps ayant des poids différents renferment des quantités de matière proportionnelles à leurs poids respectifs. Sans doute, il existe une différence de nature intime entre les divers corps simples de la chimie : l'on ne peut changer, par exemple, du fer en hydrogène ou en mercure; on dira néanmoins qu'un kilogramme de fer, un kilogramme d'hy drogène, un kilogramme de mercure, représentent chacun des quantités égales de matière. Les réactions chimiques qui s'opèrent entre des corps de natures différentes, n'altèrent pas les quantités de matière mises en présence les unes des autres ; elles se résument dans de nouveaux groupements des molécules constitutives des corps, mais il n'y a ni matière créée ni matière détruite. La recherche des poids per-r met de constater cette vérité, principe fondamental de la chimie moderne. 

Dans la vie pratique, c'est au poids que se vendent la plupart des produits de l'agriculture et de l'industrie; parfois on substitue au poids la mesure d'un volume, mais c'est qu'alors on trouve plus commode de mesurer une capacité que d'effectuer une pesée, et que la constance, absolue ou approximative, du poids spécifique de la chose vendue, permet de regarder le volume comme sensiblement proportionnel au poids. Un kilogramme de pain représente bien une quantité définie de pain, c'est-à-dire, abstraction faite de toutes les qualités physiques et chimiques du pain , une quantité définie de matière. La recherche du poids n'a donc souvent pour objet que l'évaluation d'une quantité de 

tière, et c'est pour cela que, dans la définition légale de l'unité de poids, on n'a fait entrer ni la hauteur au-dessus du niveau de la mer, ni la latitude du lieu où doit se faire l'ex périence. Le gramme est, en tous lieux, le poids du centimètre cube d'eau distillée à 4°; et bien qu'à égalité d'altitudes la pesanteur soit moindre à l'équateur qu'aux pôles, un poids d'un gramme transporté de l'équateur au pôle représentera partout un poids égal à celui du centimètre cube d'eau, car ces deux poids varient tous deux de la même manière avec la latitude et restent égaux, s'ils sont égaux en un point particulier du globe. 

Il n'en est plus de même si l'on se sert du poids comme mesure de la force. Le poids d'un corps est la résultante des forces parallèles dues à la pesanteur, appliquées à toutes les molécules de ce corps. La pesanteur variant avec l'altitude et avec la latitude, ces forces et leur résultante varient pour un même corps avec la position qu'on lui donne par rapport au globe terrestre^ Le poids d'un corps ne représente donc pas partout la même force, et pour évaluer les forces en kilogrammes comme on le fait communément, il faut avoir soin de définir le lieu où l'évaluation doit être faite. Nous admettrons ici que ce lieu soit situé au niveau de la mer, et sous la latitude de Paris (48° 50'). Du reste, les variations de la pesanteur sont généralement assez faibles dans les circonstances ordinaires de la pratique pour qu'on puisse en faire abstraction , même quand il s'agit de mesurer les forces. 

MESURE DES FORCES PAR LE DYNAMOMÈTRE 

128. Si l'on veut s'affranchir de ces variations de la pesanteur il faut comparer la force à mesurer, non plus à un poids qui varie d'un point à l'autre, mais à une force qui soit la même partout, et la force que l'on choisit comme terme de comparaison est celle que fournit l'élasticité des Solides. L'appareil d'évaluation prend le nom de dynamomètre , 

Soit AB une lame d'acier, solidement engagée dans un murfixeMN sur toute la longueur AC, de manière quecette portion A C puisse être regardée comme fixe.' Si l'on applique à l'extrémité B une force F, perpendiculaire à la direction de la lame et agissant dans son plan moyen, la lame se courbe et la portion libre devient une courbe AB', tangente en A à sa direction primitive AB. Le s déplacement total BB' du point B, c \ B 

extrémité libre de la lame, c'est- ; 

à-dire la flèche prise par le ressort, ; 

dépend de l'intensité de la force F, N de la longueur et des dimensions Fjg Jn 

de la lame , enfin de l'élasticité 

plus ou moins grande de la matière dont elle est composée Or, l'expérience montre que tant que la flèche est suffisamment petite, elle est proportionnelle à la force F qui la produit. La flèche peut donc servir de mesure à la force, et pour évaluer la force, il suffira d'évaluer la flèche BB' correspondante, au moyen d'une échelle convenablement graduée. 

Le dynamomètre est fondé sur le môme principe. 

Il est formé de deux lames élastiques toutes pareilles, AB, A'B', auxquelles on donne un profd parabolique propre à en augmenter la flexibilité ; ces deux lames sont réunies en À A',. B B', par des brides courtes et rigides ; l'une d'elles est attachée en son milieu C à un point qu'on peut regarder comme fixe ; en face de ce point, on applique en D la force à évaluer. A l'origine de l'expérience, on a noté exactement la position du point n par rapport au 

point m. Après l'application de la force , les lames fléchissent toutes deux de quantités égales, et prennent la forme A,mB,, A!,11,B', (fig. 113); la distance mn est devenue, par suite de la flexion, égale à mn, ; et comme les brides AA', BB' sont très-courtes et très-peu déformables, l'accroisse 

ment nn, de la distance des milieux est la somme des flèches prises par les deux ressorts, ou le double delà flèche AA,, prise par l'un d'eux. La longueur nn, est donc proportionnelle à la force appliquée au point D, et il suffit par suite d'évaluer cette longueur sur une échelle, E, convenablement graduée, et ayant son zéro en face du point n, pour avoir la mesure demandée. 

On attachera successivement au point D , par exemple, des poids de 1 , 2, 3, . . . n kilogrammes, et l'on notera sur l'échelle les positions correspondantes prises par le point mobile n, après chaque expérience. La graduation sera ainsi faite empiriquement ; supposons qu'on l'ait opérée à Paris, et au niveau de la mer. Chaque division de l'échelle correspondra à une force d'un kilogramme (valeur de Paris) ; transporté ailleurs, le dynamomètre donnera des évaluations de force dans cette même unité. Ainsi, le poids coté \ kilogramme courbera un peu plus le dynamomètre à Pétersbourg qu'à Paris, et marquera à l'échelle une déviation mit plus considérable, parce que Pétersbourg est plus voisin du pôle que Paris; le même poids, porté sur une haute montagne, produira une déviation moindre, parce que la pesanteur décroît à mesure qu'on s'éloigne de la terre ; et l'échelle fera connaître exactement les forces subies par ce même poids dans ces diverses positions, en les évaluant 

toutes en kilogrammes, valeur du lieu où s'est opérée la graduation Le dynamomètre permet donc d'étudier les lois des variations de la pesanteur. . 

La forme donnée aux lames du dynamomètre, et l'assem blage des deux lames, ont pour objet d'augmenter la sensibilité de l'appareil et d'accroître la longueur dont on doit déterminer la mesure. L'appareil serait parfait si l'élasticité des métaux n'était pas sujette à s'altérer à la suite des efforts qu'ils ont subis. Mais il arrive qu'au bout d'un certain nombre d'expériences le dynamomètre, rapporté au lieu de sa graduation et soumis successivement aux mêmes poids, ne prend plus rigoureusement les mêmes accroissements de flèche qu'à l'origine. 

La dynamique donne des moyens bien plus parfaits d'étudier les variations de la pesanteur en différents points du globe. 

129. Newton a reconnu que la pesanteur est un cas particulier d'une loi beaucoup plus' générale, celle de la gravitation universelle 

Voici comment cette loi est formulée. 

Soient A et B deux molécules, situées à une distance AB = r. Appelons m la quantité de matière contenue dans la molécule —2 

A, et m' la quantité de matière 

contenue dans la molécule B, Fie. 114. 

à une unité arbitraire, à l'unité de poids, par exemple. La molécule A exerce sur la molécule B une attraction F, dirigée de B vers A ; la molécule B exerce sur la molécule A une attraction ;Fr égale, dirigée de A vers B, et la valeur commune de ces deux forces mutuelles est donnée par la formule 

où f est un nombre constant, dépendant du choix des unités qui 

ont servi à évaluer la distance r, la force F et les quantités de matière m et m'. 

130. La terre, comme le soleil et comme les planètes, est un corps à peu près sphérique; cherchons la résultante de toutes les actions attractives exercées par les molécules terrestres sur un point matériel placé à une distance donnée de sa surface. Nous admettrons dans cette recherche que |le globe terrestre soit formé d'une infinité de couches sphériques concentriques et homogènes, et nous nous occuperons d'abord de déterminer la résultante des actions exercées par les molécules composant l'une de ces couches en particulier. 

Soit 0 le centre, BCle diamètre, BFC le profil d'une couche sphérique homogène, dont le rayon OB est égal à R, et qui renferme une quantité de matière de p unités par unité de surface. 

Soit A le point attiré, que nous supposerons d'abord au dehors 

de la sphère, à une distance AO=a du centre nous désignerons par m la quantité de matière de ce point. 

Coupons la ■surface sphérique par deux plans infiniment voisins, Fig. us. perpendiculaires 

la droite AO; l'un de ces plans est profilé sur la figure en MPN; l'autre est situé à une distance infiniment petite du premier ; tous deux déterminent sur la surface une zone sphérique profilée suivant les arcs infiniment petits MM', N N'. 

Tous les points de cette zone sont à égale distance du point A, abstraction faite de l'excès de distance du bord M'N' sur le bord MN, lequel excès est infiniment petit, et négligeable par rapport à la distance finiç A M. Prenons en particulier une molécule M de la zone; l'action attractive <p qu'elle exerce sur le point A a pour mesure 

ji étant la quantité de matière contenue dans la molécule; cette force, <p, dirigée suivant AM peut se décomposer en deux forces, l'une AR, dirigée suivant AP, l'autre AS dirigée normalement à AP dans le plan PAM. Or la force AS est détruite par la composante normale, AS', de la force <p\ égale à y, exercée sur le point A par la molécule N, symétrique de M par rapport à l'axe AO ; de sorte que toutes les forces normales à AO, et provenant des actions de la zone MM', se détruisent deux à deux, tandis que les forces AR, dirigées suivant AO, s'ajoutent, et donnent par leur somme l'ac tion totale exercée par la zone entière. 

La composante AR, qui correspond à l'action de la molécule M, se déduit de la similitude des triangles AR<p, APM; il vient en effet 

Pour passer de là à la somme des composantes AR provenant des actions de toutes les molécules de la zone MM'N'N, il suffît de remplacer le facteur fi par la quantité totale de matière que cette zone renferme. Or la surface de cette zone, qu'on peut confondre avec la surface convexe d'un tronc de cône, a pour mesure le produit de l'arc MM', génératrice de la surface du cône, parla circonférence décrite par le milieu de cette génératrice; mais, à cause de la petitesse de l'arc MM', on peut substituer à la circonférence décrite par le milieu de cet arc la circonférence décrite par l'une, M, de ses extrémités, c'est-à-dire le produit ' 2ic x M P. La surface de la zone est donc, en négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur au premier, 

• La quantité de matière contenue dans l'unité de surface étant représentée par p, la matière contenue dans la zone MM'N'N est représentée par le produit 

et enfin, l'action attractive totale H, exercée par la zona sur le point A, et dirigée de A vers 0, a pour mesure 

H = fm X r-,yi X 2-p xIPx MM', A M 

AP X MP X MM' H = 2-rr/mp X ===s 

Du point 0, abaissons les perpendiculaires 01, 01' sur les droites AM, A M' prolongées. Les points I, I', milieux des cordes MM,, M'M', sont situés sur une même circonférence OFA, décrite sur AO comme diamètre. Joignons MO, et enfin abaissons MK perpendiculaire sur A M'. 

Les triangles rectangles AMP, AOI, sont semblables et donnent les proportions : 

Nous substituerons au rapport le produit égal des rap-MM 

Le triangle KMM', dont les trois côtés sont infiniment petits, est semblable au triangle MOI; car ils sont tous deux rectangles, l'un en K, l'autre en I, et de plus, l'angle KMM', ayant ses côtés KM, MM', respectivement perpendiculaires à Al'et à MO, ou, â la limite, à AI et à MO, diffère infiniment peu de l'angle MOI. On a donc la proportion 

Les triangles AMK, ALI' sont d'ailleurs semblables et donnent la quatrième proportion 

Multiplions membre à membre les égalités (I), (2), (3) et (4); il viendra, en supprimant le facteur commun MK, 

AP X MP x MM' _ AI X 01 v MO X LP Â!:1 IÔ2 MIX AL' 

de Sorte que 1 attraction H s exprime par le produit 

Remarquons que les longueurs finies AI et AL diffèrent d'une quantité LI, infiniment petite; leur rapport a donc pour limite l'unité; observons de plus que MO est égal à R, rayon de la couche sphérique, et que AO est égal à a, distance du point A au centre; en résumé, nous pouvons mettre l'attraction de la zone MM'N'N sous la forme suivante; 

la première parenthèse comprenant tous les facteurs constants, et la seconde les facteurs qui varient avec la position de la zone. Nous allons transformer encore cette seconde parenthèse. Le triangle MOI étant rectangle en I, nous avons l'équation 

Retranchons la première de ces deux équations de la seconde. B Tiendra 

<)î'a — 0? -f- FIT'2 — ilPe* 0, 

(6) (or+oi) (or — oi)=(iM+i'M') (IM—w). 

Or 01' — 01 est égal à LI', car l'angle I étant droit, et l'angle LOI infiniment petit, les longueurs OL, 01 sont égales à un infiniment petit du second ordre près (T.I.,J?iir., §8). Pour évaluer de même, IM — I'M', remarquons que, par la même raison, ML est égal à Kl', projection de ML sur la droite AI', qui fait avec ML un angle KAM infiniment petit ; donc 

MI — MT = (ML + LI) —(Kl' - KM') == LI + KM'. 

Enfin à la limite 01' + 01 est égal à 201, et IM -+- I'M' = 2MI. Introduisant toutes ces simplifications dans l'équation (6) , et supprimant le facteur 2, elle prend la forme 

Mettons cette valeur à la place de la seconde parenthèse dans l'équation (5), et nous aurons l'égalité beaucoup plus simple : 

Il ne reste plus qu'à faire la somme des valeurs de H pour s toutes les zones infiniment petites dans lesquelles on peut décomposer la surface spliérique, c'est-à-dire à faire la somme des quantités LI et KM', qui seules varient de l'une à l'autre. Or, remarquons que KM' est la différence des droites AM', AM, menées du point A aux deux extrémités de l'arc qui engendre la zone considérée. De même, LI est la différence des droites AI, AI', menéesdumême point Aaux deux extrémités de l'arc II',-que les mêmes directions interceptent sur la circonférence OFA, décrite sur A 0 comme diamètre. La somme <les quantités KM', pour un certain arc fini BM de la demi-circonférence BC, sera donc égale à la différence, AM — AB, des distances du point A aux deux extrémités de cet arc, et la sommé correspondante des 

01 X LI' = MI X (LI -t- KM'). ■ 

quantités LI donnera la différence AG-^-AI des distances du point A aux deux extrémités 0 et I de l'arc 01 qui correspond à l'arc BM sur la circonférence OF A. 

Cette circonférence OFA coupe la circonférence BFC au point de contact F de la tangente issue du point A. L'attraction exercée sur le point A par la zone FBF', située à gauche du plan FF, a donc pour mesure 

H, = 2 R x(AF - AB + AO —AF)= 2ff/k^x R*; 

de même l'attraction exercée sur le point A par la zone FCF, qui complète la sphère entière, a pour mesure 

H" — 2"^X R X(AC—AF + AF —AO) = 

L'attraction de la sphère entière est la .somme H' -f- H", ou bien 2H'„ ou enfin 

Pour la sphère entière, la somme de tous [les éléments KM' est égale au diamètre, tandis que la somme des éléments LI, qui sont positifs pour toute la zone BF, et négatifs pour toute la zone FC, se réduit à zéro.. 

L'expression R peut s'écrire de la manière suivante : 

Or, la surface de la couche sphérique a pour [mesure 4-irR2. Le produit de cette surface par p est la quantité totale de matière contenue dans la couche ; si on appelle M cette quantité, l'attrac îon a pour mesure 

c est-à-dire qu'elle est égale à l'attraction exercée sur là molécule 

A par une molécule contenant la quantité M de matière, placée au centre 0 de la couche sphérique. En d'autres termes, une couche sphérique homogène exerce sur un point matériel extérieur la même attraction que si toute la matière formant la couche était concentrée en son centre. 

131. On peut en dire autant de chacune des couches sphériques homogènes dont nous avons supposé le globe terrestre composé; de sorte que l'attraction exercée sur un point extérieur par une sphère massive, composée de couches concentriques homogènes, est la même que si toute la matière de la sphère était concentrée en son centre. 

132. Si enfin on considère deux sphères massives S et S', composées chacune de couches concentriques homogènes, on ne changera rien, en vertu du théorème précédent, à l'attraction exercée par la sphère S sur un point matériel pris dans la sphère S', en réunissant toute la matière de la sphère S en son centre 0. On est ramené par là à considérer l'attraction exercée par le point matériel fictif 0, sur tous les points de la sphère S', attraction égale à celle que tous les points de la sphère S' exercent sur le point matériel 0 ; appliquant de nouveau le même théorème, on pourra supposer que toute la matière de la sphère S'soit concentrée en son centre 0'; de sorte qu'en résumé on n'altère pas les attractions mutuelles en concentrant à la fois la matière de la sphère S' en son centre 0, et la matière de la sphère S' en son centre0'. Deux sphères matérielles, composées chacune de couches concentriques homogènes, s'attirent donc de la même manière que si la matière de chaque sphère était réunie en son centre. 

133. Nous avons supposé (§ 130 et suiv.) que le point A, attiré 

vons fait dans le premier cas, l'attraction totale exercée sur le point A par la matière de la 

par la matière répartie uniformément sur une surface sphérique, était extérieur à cette surface. Cherchons à résoudre la même question dans le cas où le point A est placé à l'intérieur de la couche. On pourrait suivre une marche analogue à celle que nous avons indiquée pour le premier cas. Mais une remarque de géométrie permet d'abréger la solution \ 

POINT AU DEDANS D'UNE COUCHE SI'IIERIQUE. 

zone profilée en MM' et NN , et comprise entre les deux plans parallèles MPN, M'P'N' infiniment'rapprochés. Cette attraction est dirigée du point A vers le point 0, et a pour mesure 

2~fRm? X =3 X MP X MM'. 

Prolongeons les droites AM, A M' jusqu'à leur seconde rencontre avec la circonférence en M,, M',. L'arc M, M', sera le profil d'une zone sphérique comprise entre les deux plans parallèles M, P, N,, M' , P', N', , et l'attraction totale exercée sur le point A par la matière de cette zone, attraction dirigée dans le sens AB, aura pour mesure, en appliquant la même formule : 

Les arcs infiniment petits MM', M,M', peuvent être confondus avec leurs cordes, et forment avec les droites AM, A)I', AM,, AM', deux triangles semblables; les triangles AMP, AM,P, sont aussi semblables. Ces triangles donnentles proportions: 

Les multipliant membre à membre, et observant qu à.la. limite AM', se confond avec AM,, il vient 

=-, X MM' X PM = X M.M'. X P,M, . AM AM, 

Les deux attractions sont donc égales, et comme elles agissent sur le point A en sens contraire l'une de l'autre, elles se font équilibre. L'attraction de la première zone est donc détruite par l'attraction égale et contraire de la seconde. 

L'attraction totale exercee par une couche sphérique homogène sur un point matériel placé au dedans de celte couche est donc nulle. 

On peut remarquer que le plan mené parle point A, perpendiculairement à la droite BC, partage la couche sphérique en deux régions, dont les attractions partielles sur le point A sont égales et contraires. 

La même méthode nous ferait reconnaître, si nous ne l'avions vu déjà, que lorsque le point A est à l'extérieur, le plan EE' (fig. US) partage la couche en deux zones à une base dont les attractions sur le point A sont égales, mais de même sens. 

134. Résumons les lois de l'attraction des sphèreshomogènessur un point matériel. SoitO le centre, et CB la surface d'une sphère massive que nous supposerons homogène; nousreprésenteronspar M la quantité de matière contenue dans chaque unité de volume 

de cette sphère. Nous supposerons ensuite qu un point matériel, A, parcoure la droite indéfinie OX, menée par le centre de la sphère. En chacune de ses positions, nous appliquerons les théorèmes précédemment trouvés, et nous déterminerons l'attraction totale exercée sur ce point par la sphère matérielle ; nous pourrons donc élever en ce point une ordonnée proportionnelle à cette attraction, et nous construirons ainsi une ligne dont les ordonnées successives représenteront les valeurs de l'attraction qui correspondent aux positions occupées par le point matériel sur l'axe OX. - 

Lorsque le point matériel est placé au centre 0, il est au centre de toutes les couches composant la sphère, et l'attraction qu'il subit est nulle, en vertu de la symétrie. L'ordonnée de la ligne cherchée est donc nulle pour le point 0. 

Prenons ensuite un point A appartenant au rayon OB, à une distance x du centre. Du point .0 comme centre avec OA pour rayon, décrivons une sphère : le point A sera placé à la surface de cette sphère, et par suite, il sera extérieur aux différentes 

chesdont .on peut la regarder comme formée. Le point A est au contraire situé à l'intérieur de toutes les couches sphériques remplissant l'intervalle compris entre la sphère OA et la sphère OB, et par suite ces couches n'exercent pas d'action sur lui (§133). La sphère OA agit sur le point A comme si toute sa matière était 

réunie en son centre ; or son volume est g ; la quantité de matière qu'elle renferme est donc 

et l'attraction exercée par un point ayant cette quantité de matière 

et placée au point 0 est donnée par la formule 

Nous prendrons donc au point A une ordonnée AD = ^ w/'Mma;, 

et nous obtiendrons le point D qui appartiendra au lieu. La même formule s'applique à toutes les positions que peut recevoir le point attiré sur le rayon OB; à la limite, quand il est placé en B, il suffit de faire x = R, rayon de la sphère, et on aura pour l'attraction correspondante 

Cette quantité est représentée sur la figure par l'ordonnée BE. Les ordonnées AD, BE, sont proportionnelles aux abscisses OA, OB, et par suite le lieu cherché est une droite OE. Mais cette droite ne doit pas être prolongée au delà de l'ordonnée BE. car la loi d'attraction change quand le point matériel est en dehors de la sphère. 

Supposons donc <r>R; le point attiré occupe la position A'. 11 est en dehors de toutes les couches sphériques matérielles, par conséquent, toute la matière de la sphère agit comme si elle était concentrée au point 0. L'attraction est donc représentée pa 

fm x f -R3 X M TWMWRS 

182 - ATTRACTION DES SYSTEMES. ■ 

quantité qui décroît indéfiniment à mesure que x augmente, et qui est représentée par les ordonnées décroissantes de la courbe EF, laquelle a l'axe AX pour asymptote. 

135. Cette théorie trouve son application dans l'étude de la pesanteur. La terre est à peu près sphérique. La direction de l'attraction exercée par elle sur un corps quelconque est donc à peu près dirigée vers son centre, et elle décroît à mesure qu'on s'élève, proportionnellement à l'inverse du carré de la distance a.u centre. Mais le mouvement de rotation de la terre vient altérer ces résultats; le poids d'un corps n'est pas seulement dû à l'attraction de la terre, il subit aussi en grandeur et en direction l'influence du mouvement diurne ; sous cette même influence, la terre ne peut conserver la forme sphérique, et prend une forme ellipsoïdale. De là un nouveau problème à résoudre, e[ problème de l'attraction des ellipsoïdes, qui est beaucoup plus compliqué que celui de l'attraction des sphères, et dont nous ne nousoccuperonspasici.il nous suffit d'indiquer que le poids d'un corps est une véritable résultante de deux actions principales savoir : l'attraction terrestre, et une force fictive due à la rotation du globe, et qu'il a pour direction la verticale, droite normale à la surface de l'ellipsoïde terrestre. 

Observons encore que si deux systèmes matériels sont situés à une distance extrêmement grande par rapport à leurs dimensions, les actions attractives exercées par les molécules de l'un sur les molécules de l'autre sont sensiblement parallèles, et proportionnelles aux quantités de matière de ces molécules; car les distances sont à peu près égales pour tous les groupes de molécules prises deux à deux d'un système à l'autre. Dans ce cas, l'attrac tion peut être assimilée à la pesanteur, en ce sens que toutes les forces appliquées aux divers points matériels de l'un de ces systèmes sont parallèles et proportionnelles aux poids de ces points matériels. Elles se composent donc toutes en une force unique, qui représente le poids total du système, et qui est appliquée en son centre de gravité. On peut donc dire encore, mais seulement à titre d'approximation, que deux systèmes matériels très-èloignès l'un de l'autre s'attirent comme si la matière de chacun d'eux était concentrée en son centre de gravité. Cette proposition n'est rigoureuse que pour les systèmes ayant la forme sphérique et composés de couches concentriques homogènes. 

ATTRACTION EXERCEE PAR UN POINT MATÉRIEL SDR UNE CODCHE SPIIÉRIQUE HOMOGÈNE, LORSQUE L'ATTRACTION EST SUPPOSÉE PROPORTIONNELLE A LA DISTANCE. 

136. Partageons la couche en une infinité d'éléments égaux, et soit A le point attirant; soit M un des éléments, jJ. la quantité de matière qu'il contient, et qui est la môme pour tous, en vertu de l'homogénéité; appelons m la quantité de matière contenue dans le point attirant; l'attraction MP - exercée par le point A sur le point M 

On peut la décomposer en deux forces, l'une M N, dirigée de M versO, 

l'autre, MQ, parallèle àOA; il suffit ' 

pour cela d'achever le parallélogramme MNP Q dont MP est la diagonale. 

Le triangle MNP est semblable au triangle MOA; on aura les valeurs des composantes : 

Les deux composantes sont donc constantes, quel que soit le point que l'on prenne sur la couche sphérique. 

En résumé, aux attractions dirigées suivant MA on peut substituer deux forces constantes, l'une dirigée vers le centre 0 de la sphère, l'autre parallèle à la direction OA, et, pour avoir la résultante de toutes les forces attractives M A, il suffit de composer ensemble toutes les forces MO et toutes les forces MN. 

Les forces MN se détruisent deux à deux; car à toute force MN correspond une force M'N', égale et contraire, composante de l'action exercée par le point A sur le point M', antipode du point M. 

Les forces MQ sont toutes égales, parallèles, et dirigées dans 

et elle s'exercera de M vers A. 

le même sens ; elles se composent donc en une seule force, égale à leur somme, et appliquée au centre de gravité 0 de la couche sphérique ; c'est la résultante cherchée ; elle est égale à la somme des composantes fmy. X AO, c'est-à-dire à /mM X AO, en désignant par M la quantité totale de matière contenue dans la couche sphérique. 

L'attraction totale d'un point sur une couche sphérique homogène est donc la même que si toute la matière de cette couche était concentrée en son centre, lorsque l'attraction élémentaire est proportionnelle à la distance. Cette proposition subsiste toujours, que le point soit situé à l'extérieur de la couche ou à l'intérieur. 

RECHERCHE DES CENTRES DE GftAVITÉ. MÉTHODE GÉNÉRALE 

137. La recherche du centre de gravité d'un système matériel se ramène immédiatement à la recherche du centre des forces parallèles (§ 31). Il suffit d'appliquer à tous les points matériels du système des forces parallèles, de même sens, et proportionnelles chacune au poids ou à la quantité de matière contenue dans ce point. Puis on emploie les formules du § 45, c'est-à-dire les équations des moments par rapport à trois axes rectangulaires ; on trouve ainsi les trois coordonnées du point cherché. 

Soit par exemple un système formé de n points, dont les coordonnées sont 

et dont les poids, sont respectivement 

le poids total P du systeme sera 

et les coordonnées x, y, z du centre de gravité seront données par les équations : 

.. P.tf.-fP,!/, + •■■ +P.V. ' y= p > 

Remarque 1. —Si l'on multiplie par un même nombre K les 3n coordonnées des n points donnés, les coordonnées x, y, z du centre de gravité de ces n points sont multipliées par le même nombreK. Or, si l'on multiplie les trois coordonnées 06, ba, aA d'un même point A par un même nombre K, on obtient les coordonnées 06', b'al, a'A'd'un second point A', sur la droite 0 A, menée du premier à l'origine 0 des axes, à une distance 0 A' du point 0 égale à OAXK. Par conséquent la figure que l'on obtient en multipliant par un même nombre les 3n coordonnées des n points donnés, est une figure semblable à la figure donnée, et K est le rapport de similitude; les coordonnées du centre de gra - vité sont multipliées par le même nombre ; donc le centre de gravité de la seconde figure est le point homologue du centre de gravité de la première, et dans des figures semblables (les poids des points homologues étant les mêmes, ou variant d'une figure à l'autre dans un même rapport) les centres de gravité sont des points homologues. 

Remarque II. — Considérons séparément les deux premières équations. Elles font connaître les coordonnées a: et y du centre de gravité des points pt , p,, ...pn , projetés en conservant leurs poids sur le plan XO Y. Donc le centre de 

gravité de la projection d'un système donné sur un plan est la projection du centre de gravité de ce système. Il en est de même de la projection du système sur une droite : chacune des équations, prise isolément, le démontre. 

138. Lorsqu'on a à déterminer le centre de gravité d'un système matériel continu, tel qu'un corps solide renfermant un nombre indéfini de molécules, les sommes précédentes se composent d'une infinité de termes, et les opérations indiquées ne sont plus exécutables. La recherche de ces sommes se ramène à des quadratures de courbes. On peut procéder pour cela de la manière suivante. 

Supposons, pour simplifier, que le système ÀB dont on' 

cherche le centre de gravité, soit un système homogène. Cou-pons-le par une série de plans P, P', P", équidistants, et parallèles au plan ZOY. A chaque plan correspondra une section, dont l'aire peut être évaluée ; soient S, S', S" , ... les mesures des aires de ces sections ; appelons x , x', x", ... les abscisses des plans P, P', P", ..., et soit e la différence commune, x — x', a? — x", ... entre leurs abscisses consécutives. Soitp le poids de l'unité de volume du corps. Le poids total sera la limite de la somme 

a mesure que le facteur E décroît indéfiniment, et la somme des moments des poids par rapport à l'axe 0 Y sera la limite de la somme 

p (Sx -j- S'œ' -J- S"x" -}-.. .) e ; 

pour avoir l'abscisse X du centre de gravité, il suffira de diviser cette seconde limite par la première. 

Construisons deux courbes, l'une A.'MB', dont les abscisses soient respectivement égales aux abscisses x, x', x", ..., et les ordonnées P,m, P',m', P',m", ... aux valeurs correspondantes des sections S, S', 

S", ... ; l'autre, A'NB', ayant les mêmes abscisses que la première, mais ayant pour ordonnées P, n, P' t n', P", n", 

... les valeurs des produits -y—j, r, p B, 

Sa;, S'a;', S'V, .... Ces deux Fi m 

courbes une fois tracées, on >s' 

en mesurera les aires, et l'on aura 

aire (A'MB') = lim. (S-f S' + S"+ ...) s, 

aire (A'NB') = limi. (S® + S'a:' + S'V -{-) £- 

aire A'NB' lim. (Sa; -|- S'a;' S"a;" s 

aire A'MB lim. (S -j- S' -j- S" -|- ...) e 

lim. p{Saj-f- S'a;' — S"a;" —(— ...) e lim. p (S-f-S' + S" ...) £ 

= X, abscisse du centre de gravité cherché. 

On obtiendra de même les valeurs des coordonnées Y et Z du centre dp gravité, en construisant les courbes qui correspondent aux sections du solide faites par des plans parallèles aux plans ZOX et XOY. 

139. Des méthodes analogues peuvent être suivies pour déterminer le centre de gravité d'une aire matérielle terminée à un contour donné, ou d'une ligne matérielle finie, terminée en deux points donnés. S'il s'agit d'une surface, on partagera l'aire dont on cherche le centre de gravité en bandes par des plans parallèles infiniment rapprochés, et on aura à faire deux quadratures, l'une pour obtenir la 

somme des surfaces élémentaires, l'autre pour obtenir la somme des produits de ces surfaces par leurs distances respectives à un plan fixe. S'il s'agit d'une ligne, on la partagera en tronçons infiniment petits, et on procédera de la même manière. 

140. Prenons pour exemple la recherche du centre de gravité d'un triangle homogène, OAB. 

Du point 0, abaissons OX perpendiculaire sur le côté AB du triangle, puis menons 0 Y parallèle à ce même côté. Nous prendrons pour axes les droites OX if et 0 Y. Soit OP = h, la distance de 

la base AB du triangle à l'origine 0. Prenons les moments par rapport à l'axe OY, ce qui nous fournira la valeur de l'abscisse X du centre de gravité cherché. . 

Pour cela décomposons la surface du triangle en bandes, mnn'm', infi-/ ~ Animent étroites, par une série de 

/*> droites équidistantes, menées paral-Fig 122 lèlement à l'axe OY. L'aire élémentaire 

élémentaire l'une de ces bandes est exprimée par le produit mn X s, 'e facteur s désignant la distance des bases du trapèze infinitésimal mnn'm! ; et le moment de l'aire de l'une de ces bandes par rapport à l'axe OY est le produit 

On a donc à déterminer : 

10 La limite de la somme des produits mn X £, laquelle n'est autre chose que l'aire du triangle OAB ; appelant donc 6 

la base AB, la somme cherchée est ^ 

2° La somme des produits 0 M X mn X e- 

Or les triangles semblables 0mn, OAB donnent la proportion 

et les triangles OmM, OAP, la proportion 

mnX OM Ô!2 AB ~~ OP * 

Aux produits OMX mnX E 011 peut donc substituer l'ex pression 

dans laquelle le facteur OM2 seul est variable d'une bande à l'autre. 

Soit n le nombre des parties égales dans lesquelles on a partagé la hauteur 0 P ; les valeurs successives de l'abscisse OM des différentes bandes seront : 

0, e, 2e, 3s, ... (n — 1)e, 

et les valeurs de leurs carrés OM2, 

0, s2, e2 X4, *2 X9, - **X(n- \f. La somme de tous les produits sera donc égale à 

çpX £X[»+ s2+ E2X4+ e2XH ». +A»-1)2] 

Or on sait trouver la somme des carrés des n — 1 premiers 

nombres' entiers ; elle est égale à l'expression 

La somme cherchée a donc pour expression : 

Il ne reste plus qu'à trouver la limite vers laquelle tend cette somme à mesure que n grandit indéfiniment. Pour 

cela, remarquons que ne = 0 P ; donc e = — ; substituant, il vient pour la somme : 

Sous cette forme, on voit facilement que la somme a pour AB V OP2 

limite g—— quand n grandit au delà de tout nombre 

La limité cherchée est donc et l'abscisse X du centre de gravité est donnée par la formule 

Le centre de gravité du triangle 0 AB est donc situé sur une droite menée parallèlement à la base AB, aux deux tiers de la hauteur OP. 

On peut prendre un autre côté OB pour la base du triangle La formule s'appliquant encore, le centre se trouvera sur une droite menée parallèlement à OB, aux deux tiers de la distance du sommet opposé A à cette base : ces deux droites se u 

couperont au point cherché. De là résulte la construction suivante : 

Partageons chacun des trois côtés OA, AB, BO, en trois parties égales, 

aux points bt ,ba, pour le premier, 

o( , oa, pour le second, a( et a, pour 0 b, b. K le troisième; les indices sont distribués Fig_ 123 

sur le périmètre du triangle en suivant ce périmètre dans un même sens. Cela posé, les trois droites bi oa, o( aa, a( ba, se coupent en un même point G, qui est le centre de gravité du triangle. 

Il est facile de reconnaître que ce point est le point de concours des trois médianes, ou des droites menées de chacun des sommets au milieu du côté opposé; nous le démontrerons directement tout à l'heure. 

CENTRE DE GRAVITE DU PRISME DROIT HOMOGÈNE 

141. Soit AB un prisme droit homogène, terminé en A et B à deux plans perpendiculaires à ses arêtes. Le centre de gravité de ce prisme sera situé dans le plan MN mené à égale distance des plans des bases A et B. 

Cette proposition résulte immédiatement de la symétrie du système par rapport au plan MN. On peut aussi la vérifier en décomposant le prisme en une infinité d'éléments matériels infiniment petits qu'on supposera sollicités par des forces parallèles entre elles et au plan M N, et proportionnelles à leurs poids respectifs. On prendra ensuite les mo-7 

192 CENTRE DE GRAVITE pu PRISME. 

ments de ces forces par rapport à un axe quelconque tracé dans le plan MN ; la somme des moments sera nécessairement nulle, puisque à chaque force appliquée à un élément pq correspond une force égale et parallèle, appliquée à l'élé ment symétrique p'q', et donnant un moment égal en valeur absolue, mais de signe contraire ; ces deux moments se détruisent donc dans la somme. Le plan MN contient par conséquent le centre de gravité cherché. 

Fig. 124. Cette conclusion serait encore vraie pour 

un prisme droit non homogène, pourvu que la distribution de matière fût symétrique par rapport au plan moyen MN ; c'est-à-dire pourvu que deux éléments égaux, pq, p'q', égalements distants du pîanMN, renfermassent chacun la même quantité de matière. 

COROLLAIRE. — Le centre de gravité d'un parallélépipède rectangle homogène est à l'intersection de ses trois diagonales. 

On peut en effet considérer le parallélépipède rectangle comme un prisme droit ayant pour base une quelconque de ses faces ; le centre de gravité se trouve donc à la fois dans les trois plans menés parallèlement aux faces opposées, à égale distance de ces faces, c'est-à-dire au milieu des trois diagonales. 

Un rectangle matériel peut être considéré comme la limite d'un parallélépipède rectangle dont une dimension décroît indéfiniment. Le centre de gravité d'un rectangle matériel homogène est donc au point de rencontre de ses deux diagonales. 

De même, une droite finie homogène peut être regardée comme la limite d'un rectangle homogène dont une dimension aurait été indéfiniment réduite; le centre de gravité d'une droite finie homogène est donc le milieu de cette droite. 

• 142. Enfin, si un système matériel a un plan de symétrie, eu égard non-seulement à ses formes et à ses dimensions géométriques mais encore à la distribution des quantités de matière réparties entre ses divers éléments, de telle sorte que deux éléments symétriquement placés renferment d'égales 

tilès de matière, le centre de gravité du système est situé dans le plan de symétrie. Car ce système peut être décomposé en une infinité de prismes droits normaux au plan de symétrie, et dont les centres de gravité sont tous situés dans ce plan. Le centre de gravité de l'ensemble est donc aussi un point du même plan. 

Corollaires. — 10 Le centre de gravité d'une sphère homogène ou formée de couches concentriques homogènes, est son centre de ligure. 

2° 11 en est de même pour un ellipsoïde homogène. 

3° Le centre de gravité d'un corps de révolution est situé sur l'axe. 

4° Le centre de gravité d'un cercle homogène ou d'une ellipse homogène est situé au centre de ligure. Il en est de même du centre de gravité d'une circonférence homogène ou du périmètre d'une ellipse. 

Ces derniers exemples montrent de plus que le centre de gravité d'un système matériel peut être un point géométrique en dehors de l'espace occupé par ce système. 

Considérons par exemple le solide engendré par la révolution d'un cercle autour d'une droite menée dans son plan en dehors de ce cercle. Ce solide reçoit le nom de tore. Le centre de gravité d'un tore homogène est le centre du tore, c'est-à-dire le pied de la perpendiculaire abaissée du centre du cercle générateur sur l'axe de révolution. Ce point est en dehors de l'épaisseur du solide. 

5° Le centre de gravité d'un polygone régulier homogène, quel que soit le nombre de ses côtés, est le centre du cercle circonscrit au polygone. 

CENTRE DE GRAVITÉ DU TRIANGLE ET DES POLYGONES 

143. Soit ABC un triangle homogène. Partageons-le en bandes infiniment minces, en menant une série de droites parallèles au côté BC. Nous pouvons regarder l'une quelconque de ces bandes, mm'n'n', comme un rectangle infiniment mince : ce rectangle étant homogène par hypothèse, 

son centre de gravité est au point I, intersection de ses dia-r gonales. À la limite, quand l'é paisseur du rectangle devient infiniment petite, le centre de gravité se confond avec le milièu de la dimension mn. 

Tous les milieux des droites parallèles mn , inscrites dans le triangle, sont situés sur une même droite AD, menée du sommet À au milieu D du côté opposé. Le Flg- 125- centre de gravité du triangle est 

donc aussi sur cette droite, car pour l'obtenir, il suffit de composer ensemble les poids respectifs des bandes mm'nn', appliqués aux milieux des diverses droites mn, c'est-à-dire appliquées aux différents points de la droite AD. 

On connaît donc une droite AD qui contient le centre cherché ; pour achever la solution, on peut observer que le centre de gravité du triangle se trouve aussi sur la droite BE, menée du sommet B au milieu E du côté opposé. Il est donc situé au point G, intersection de ces deux droites. 

On peut aussi avoir recours, pour achever la solution du problème, au principe de la similitude. 

Prenons les milieux E et F des côtés AB, AC, et joignons ED, DF. FE Nous partageons ainsi le triangle donné en quatre triangles égaux entre eux, AEFFDE,, FDB, EDC, et ayant par conséquent une surface égale au quart de la surface du triangle total. Le point K, intersection des droites EF, AD, est le milieu de la droite FE; prenons les milieux L et M des deux parties BD, DC, de la base. Les centres de gravité des quatre triangles partiels seront res-Fig lî6 pectivement sur les droites AK. DK, 

FL, EM. Mais dans deux figures homogènes semblables, les centres de gravité sont des points 

homologues (§ 137, Rem,.). Soit donc G le centre de gravité du triangle total ; appelons x la distance A G ; pour avoir les centres de gravité des triangles partiels, il suffira de remarquer que ces triangles sont semblables au triangle total, et 

que le rapport de similitude est Soit ÀD = l. Le centre 

de gravité g du triangle AFE sera situé à une distance A g 

du point A égale à ^ x. 

Le centre de gravité g' du triangle EFD sera situé à une 

distance Dg' du sommet D de ce triangle égale aussi à ^ ; la 

distance kg' sera donc égale kl — ^ x- 

Les centres de gravité g", g'", des deux derniers triangles sont situés sur une parallèle à la base BC, qui coupe la droite AD en un point I, situé à une distance du point A 

égale à AK-j-Fg", ou à | Les poids de ces deux triangles se composent donc en un seul, égal à leur somme et appliqué au point I. ■ . 

Appelons S la surface du triangle donné ; ^S sera la surface de chacun des triangles partiels ; ces surfaces sont proportionnelles aux poids, à cause de l'homogénéité de la figure. Ainsi le poids S, appliqué en G, est la résultante du poids 

2 appliqué en g, du poids j appliqué en g' , et du poids ^ 

Prenons les moments de ces poids par rapport au point A ; nous obtenons l'équation : 

Le facteur commun S disparaît, et il vient 

ce que nous avions trouvé plus haut d'une autre manière (§ 140). 

144. Soit ABCD un trapèze homogène dont on demande le centre de gravité. 

On reconnaîtra, comme pour le triangle, que le point cherché se trouve sur la droite KH qui joint les milieux K et H des bases parallèles. Menons ensuite la diagonale BD, 

et prenons-en le milieu 1; cette droite partage le trapèze en deux triangles DAB, B D C ; le centre de gravité du premier triangle est au points, intersection des droites DK, AI. Le centre de gravité du second triangle est en g', à l'intersection des médianes BH, CI. Donc, le centre de gravité du trapèze est situé sur la droite gg'. Le point cherché est donc à l'in tersection G des droites KH et gg'. 

145. Il est facile de calculer la distance x du point G, à ,l'une AB des bases du trapèze. Soit H la hauteur, ou distance des parallèles AB, DC ; soit AB = b, et D C = B, les deux bases. Les deux triangles ADB, DB C, ont même hauteur H ; ils sont donc entre eux comme leurs bases b et B, et leur somme, c'est-à-dire le trapèze entier, est proportionnelle à b -|- B ; le poids total b -j- B du trapèze, appliqué en G, est donc la résultante du poids b appliqué en g, et du poids B 

appliqué en g'. La distance de g au côté ÀB est et la dis-Fig 

tance de g' au même côté est g H ; le théorème des moments par rapport à l'axe AB nous donne donc l'équation : 

(6 + B)® = &X-Ô + BX|H. 

La distance y du point G au côté D C s'obtiendra en changeant b en B, et B en b ; ce qui donne 

La somme x -j- y est bien en effet la distance totale H des deux bases. 

Le rapport - est égal à ^ _i_q^ > ou à 

remarque une nouvelle construction du point G. 

Prolongeons en sens opposés les deux bases AB, CD, de quantités w 

puis joignons MN. Cette droite coupera au point G la droite RH qui joint le milieu des bases. 

En effet, par le point G menons la droite LP 

laire sur les bases ; nous aurons 

^ ' 146. Décomposons en deux triangles ABD, CBD, en menant la diagonale BD, le quadrilatère donné ABCD. Prenons le milieu I de cette diagonale, et joignons AI. CI. Sur 

ces droites de jonction,1 prenons I# = ^ IA et,Ig' = g IC. 

Les points g et g' seront les centres de gravité des triangles ABD, CBD, et le centre de gravité G du quadrilatère sera 

situé quelque part sur la droite -l! gg', laquelle est parallèle à la 

ou enfin comme les segments proportionnels flM, #'51, interceptés par la même diagonale sur la droite gg'. Le centre de gravité cherché partage donc 

Les deux triangles ABD, CBD ont une base commune BD; ils sont donc entre eux comme leurs hauteurs AH, CK, ou comme les segments AL, CL, interceptés sur la seconde diagonale A'C par la première, 

la distance gg'an segments dont le rapport 

l'inverse du rapport, des poids appliqués respectivement aux points g et g'. 

Il suffit pour obtenir le point G de porter sur gg' à partir du point g une longueur g Ci = <?'M, ce qui revient à retourner bout pour bout la droite gg' sur elle-même. Le point M, intersection de cette droite avec la diagonale BD, passe alors au point G cherché. 

147. Remarque. — Le point g, centre de gravité du triangle ADB, est situé sur la droite DN qui joint le sommet D au milieu M de la base, et le segment est le tiers de la longueur totale DN de cette droite. 

Nous pouvons partager le quadrilatère en deux triangles en menant l'autre diagonale AC ; nous obtiendrons de même deux centres de gravité g", g'", » 

aux tiers des droites B l'y- DI', 

qui joignent les sommets B et D au milieu I' de cette diagonale Le centre de gravité du quadrilatère sera situé sur la droite g"g"', et par suite, il sera au point G, intersection des droites gg', g"g"', ou intersection des diagonales du quadrilatère gg"g'g"'. 

Mais le point g" est situé sur la droite CN, qui joint le 

sommet C au milieu N de la base ÀB du triangle C AB, dont le point g' est le centre de gravité. N#" est le tiers de NC. Ladroite gg", joignant les tiers des deux droites ND, NC, est parallèle à DC, et égale au tiers de D C. Par la même raison la droite g'g" est parallèle à AD et égale au tiers de AD, g1 g'" est parallèle à AB et égal au tiers de AB, g"'g est parallèle à BG et égal au tiers de BC. 

Le quadrilatère go"g'g est donc semblable au quadrilatère ABCD, et semblablement placé ; la similitude est inverse 

le rapport de similitude est ^ . Le centre de similitude sera 

le point de concours des quatre droites, qui joignent les points homologues C g, D g", B g'" A g. Les diagonales du quadrilatère gg"g'g"' se couperont mutuellement au centre de gravité du quadrilatère ABCD. 

CENTRE DE GRAVITÉ D ON POLYGONE PLAN HOMOGÈNE 

148. Soit ABCDEun polygone plan homogène, d'autant de côtés qu'on voudra. Nous le supposerons convexe. 

Par un sommet A, menons les diagonales AC, AD, qui partagent la surface du polygone en n — 2 triangles, n étant le nombre des côtés. On peut mesurer la surface de chacun de ces n — 2 triangles ; le centre de gravité de chacun d'eux s'obtient facilement, en joignant le point A aux milieux I, I', I", ... des côtés qui n'aboutissent pas à ce sommet, et en prenant les points G, G', G" ... aux deux tiers, à partir du point A, des longueurs AI, AI', AI". Ces points G, G', G", seront les centres de gravité des triangles. On peut observer qu'ils sont situés à la rencontre des droites AL, AI', AL" ... avec un contour polygonal bccle semblable au contour BCDE, et réduit dans le rapport 

de 3 a 2, en prenant le point A comme centre de similitude 

On supposera donc aux points G, G', G" ... des forces parallèles appliquées, proportionnelles respectivement aux surfaces des triangles A.BC, ACD, ADE, et on composera ces forces. Pour cela, menons par le point A dans le plan du polygone deux axes rectangulaires A X, AY. Appelons a;,, y,, V*y ®3, HJ, • les coordonnées respectives des points I, I', I", .., milieux des côtés qui n'aboutissent pas au point A; appelons S,, S,, S3, ... les surfaces de chacun des triangles ABC, ACD, ADE ; et X, Y, les coordonnées du centre de gravité cherché. Les coordonnées des points G, G', G", ... seront égales à 

et nous aurons par suite les équations : 

Y ? Si i/[ -f- S,y, -f- S,?/-, -f- ... 

3 Si —j— Sa -4— S3 ... 

CENTRE DE GRAVITÉ D UNE LIGNE DROITE NON HOMOGÈNE 

149. La recherche du centre de gravité d'une droite finie non homogène revient à* la recherche de l'abscisse du centre de gravité d'une aire plane. 

Si p est la quantité de matière, rapportée à l'unité de longueur contenue dans la droite au point M, le centre de gravité de la droite s'obtiendra en faisant la somme des produits p X M"1» et P X X et en divisant la seconde somme par la première. Elevons aux différents points de la droite des ordonnées AA', MM', BB', égales aux valeurs correspondantes du facteur p en ces points. Nous 

rons ainsi une courbe À'M'B', qui pourra être continue ou discontinue, et dont l'aire élémen-«' taire Mmm'M'représentera le produit p X Mnt, ou la quantité de matière contenue dans l'élément Mm. La formule qui donne le centre de gravité de la droite ÀB, est donc identique à celle qui donne l'abscisse du centre de gravité de la surface homogène ABB'Ar. 

Supposons par exemple que le facteur p soit nul au point A, et varie du point A au point B, proportionnellement à la 

distance au point A ; alors la ligne dont les ordonnées représentent les valeurs successives de p est une droite AB', et le centre de gravité G de I y] S l'aire ABB' est situé aux deux 

! tiers de la distance AB. Il 

F'e' 133' en est donc de même du centre 

centre gravité g de la droite AB. 

Remarqua. — Le centre de gravité d'un système de points ne change pas si on augmente ou qu'on diminue les poids de ces points dans un même rapport. Or, augmenter ou diminuer dans un certain rapport le poids p, qui varie d'un point à l'autre de la droite AB, cela revient à augmenter ou à diminuer dans le même rapport les ordonnées de la ligne A' B' ; par conséquent les centres de gravité de deux aires planes homogènes, dont les abscisses sont communes et les ordonnées proportionnelles, ontmême abscisse. —La même proposition a lieu quand les coordonnées sont obliques. 

CENTRE DE GRAVITÉ D'UNE SURFACE COURBE HOMOGÈNE 

!50. Comme exemple de la recherche du centre de gravité d'une surface courbe, proposons-nous de trouver le centre de gravité d'une zone sphérique homogène. Soit 0 le 

centre de la sphere à laquelle appartient cette zone, et OF = OR=OE, son rayon. La zone dont on demande le centre de gravité est la zone ABCD, comprise entre deux plans parallèles, profilés sur la figure en AB, 

DC, et distants du centre 0 de quantités OS, OR. 

Par le centre 0 de la sphère, menons un plan EF parallèle aux bases de la zone ; ce plan coupe la surface sphérique suivant un grand cercle ; circonscrivons à la sphère un cylindre qui lui soit tangent tout le long de ce grand cercle Il suffira pour cela de mener au point F une tangente FK au profil FPE de la sphère, et d'imaginer la surface cylindrique engendrée par la révolution de cette droite F K autour de l'axe OR. Les plans AB, CD, coupent cette surface cylindrique suivant deux circonférences projetées en M H et LG, et on sait que la surface de la zone sphérique ABCD est égale à la surface convexe du cylindre IIGLM, comprise entre les mêmes plans. Partageons la hauteur R S de la zone en un très-grand nombre de parties égales, et soit pp' l'une de ces parties aliquotes. Par les points de division menons des plans pq, p'q' parallèles aux bases ; ces plans couperont la zone donnée en zones élémentaires engendrées par les arcs qq', et la surface cylindrique en tronçons engendrés par les éléments correspondants ss'. Or les hauteurs pp' de tous ces éléments étant les mêmes, toutes les zones qq', égales aux surfaces ss', sont équivalentes. Chaque zone qq' a pour centre de gravité un point situé sur l'axe RS, entre les points p et p' ; à la limite, lorsque le nombre des parties aliquotes pp' est infiniment grand, le centre de gravité de la zone élémentaire peut être confondu sans erreur avec le point p ; il en est de même de la zone cylindrique ss' 

pondante. En définitive, on peut remplacer la zone sphérique CB par la zone cylindrique G H, sans changer les surfaces et par suite les poids des zones élémentaires, et sans déplacer leurs centres de gravité respectifs. Le centre de gravité de la zone sphérique CB coïncide donc avec le centre de gravité de la surface cylindrique G H, c'est-à-dire, avec le milieu I de la hauteur R S. 

Le centre de gravité d'une zone sphérique homogène, à une ou à deux bases, est donc situé sur son axe, au milieu de sa hauteur. 

CENTRE DE GRAVITÉ DE IA SURFACE CONVEXE D UN CÔNE DROIT HOMOGÈNE. 

h 51 . Considérons la surface engendrée par la révolution de l'hypoténuse SA d'un triangle rectangle SO A, tournant autour d'un côté SOde l'angle droit. Cette surface est celle d'un cône droit, dont le sommet est en S, et dont la base est une circonférence située dans le plan mené par le point 0 normalement à l'axe SO et ayant pour rayon le second côté OA de l'angle droit. Soit le cercle oa le rabattement de cette base. On demande le centre de gravité de la surface homogène SAB. 

Cette surface étant de révolution autour de S 0 , tout plan conduit par SO la coupe en deux parties symétriques; par conséquent le centre de gravité est situé dans tout plan conduit par SO, ce qui montre qu'il est situé sur S 0. Il suffit donc de trouver un second plan qui contienne le centré, et qui coupe l'axe S 0. Pour cela, partageons la circonférence de base en une infinité de parties 

égales ou inégales, et soit (mn, MN) une de ces parties. Joignons SM, SN ; ces deux génératrices forment sur la surface conique un triangle (SMN, omn) infiniment petit, dont le centre de gravité (G, g) est situé (§ 143) sur la médiane (SK, ok), aux deux tiers de sa longueur à partir du sommet (S, o). Les centres de gravité de tous les triangles élémentaires dans lesquels on a décomposé la surface du cône, sont donc situés dans un plan PP' mené parallèlement à la base AB, à une distance 

du sommet S égale aux ^ de la 

hauteur SO du cône. Le centre de gravité général est donc aussi dans ce plan, et par suite il est placé 2 

en un point F, aux g- de SO. 

Si l'on demandait le centre de gravité d'une surface conique ayant pour base une ellipse ABCD , et pour sommet un point S, on reconnaîtrait de même que le point cherché est situé sur la droite qui joint le point S au centre de la base, et dans 

le plan P P' mené parallèlement au plan de la base, aux g de la distance du sommet à cette base. 

CENTRE DE GRAVITÉ D UN VOLUME HOMOGÈNE 

152. Le centre de gravité d'un cylindre homogène à base circulaire ou elliptique, terminé à deux plans parallèles, est situé au milieu de l'axe du solide, ou de la droite qui joint les centres des bases. 

153. Soit S AB un cône homogène ; S son sommet, AB sa base, et G le centre de gravité de sa base. Si nous menons une infinité de plans équidistants, parallèles à la base, entre le point S et le plan AB, ces plans couperont le cône suivant 

des sections semblables et semblablement placées par rapport au point S ; les centres de gravité des sections étant 

des points homologues, seront tous situés sur la droite S G. 

Considérons deux sections successives mn, m'n', et soient g, g' leurs centres de gravité. Du point S abaissons sur le plan AB une perpendiculaire S H , qui sera perpendiculaire aux plans de toutes les sections. Puis prenons les moments des poids des volumes élémentaires compris entre deux sections successives par rapport à un plan PQ, mené par le point S parallèlement à la base. Appelons B la surface de la base AB, et II la hauteur totale S1I. Appelons 11 le nombre des parties égales dans lesquelles on a 

divise la hauteur S H : 

des plans sécants successifs au point S seront : 

Les surfaces des diverses sections mn sont proportionnelles aux carrés de leurs distances au sommet ; on peut donc les représenter par les expressions : 

D'où resuite que la somme des volumes élémentaires ou le volume total du cône est égal à 

quand n croît indéfiniment, et que la somme des moments par rapport au plan P Q est égale à 

1,"ïx t>X;+TX ï +-.X- + ^ 

La distance Z du centre de gravité au plan P Q est donc donnée par la formule 

II /BH . 81?H . 27BII , 

Nous avons déjà donné (§ 140) la somme des carrés des n — 1 premiers nombres entiers. Nous sommes conduits^ chercher la somme de leurs cubes ; or on démontre facilement que la somme des cubes des n — 4 premiers nombres entiers est éaale à 

Substituant dans la formule, il vient : 

lim «(n— i)(2n — 1) 2* / \\( 1,m" 6n3 hmV~n)^-n) 

quantité qui se réduit à r = ^ H pour n = co. 

Le centre de gravité du cône est donc situé dans un plan parallèle à la base ÀB, et mené à une distance du sommet égale aux trois quarts de la distance du sommet à la base. 

D'un autre côté, le centre de gravité d'une tranche élémentaire mnm'n', réduite à une épaisseur infiniment petite, est infiniment voisin du point g, centre de gravité de la section mn qui lui sert de base. Les centres de gravité des tranches dans lesquelles on a décomposé le cône sont tous sur la droite S G. Le centre de gravité de l'ensemble est donc aussi sur cette droite, et par suite, le point cherché est le point F, sur la droite S G, aux trois quarts de la distance SG à partir du point S. 

154. Les mêmes raisonnements s'appliquent à la pyramide. 

Donc 10 le centre de gravité d'une pyramide quelconque ho-3 

mogène est aux p à partir du sommet, de la droite qui joint le 

sommet au centre de gravité de la base ; 2° les quatre droites qui, dans un tétraèdre, joignent les sommets aux centres de gravité des faces opposées, se coupent en un même point, qui est le centre de gravité du tétraèdre, et qui partage chaque ligne de jonction en deux segments dont le rapport est égal au nombre 3. 

Il est facile de démontrer aussi que le centre de gravité d'un tétraèdre homogène coïncide avec le centre de gravité de quatre poids égaux, concentrés en ses sommets; comme 

corollaires de ce théorème, on peut déduire les propositions suivantes : le centre de gravité d'un tétraèdre homogène est au milieu de la droite qui joint les milieux de deux arêtes opposées, et les trois droites qui joignent les milieux de deux arêtes opposées d'un tétraèdre concourent en un même point qui les divise chacune en deux parties égales. 

Remarquons que, de même, le centre de gravité d'un triangle homogène coïncide avec le centre de gravité de trois poids égaux concentrés en ses sommets. 

CENTRE DE GRAVITÉ DC TItONC DE PYRAMIDE OD DE CÔIfE 

155. 1 o Considérons d abord un tronc de pyramide triangulaire compris entre deux plans parallèles ABC, DEF; les arêtes DC, BE, À F, prolongées vont se couper en un même point S, sommet de la pyramide entière. 

Rappelons la méthode suivie dans la géométrie pour obtenir la mesure du volume du tronc de pyramide. Par un des sommets E de la petite base, on mène deux plans, l'un EAD. 

passant par la diagonale AD de la face latérale opposée l'autre EAC, passant par le côté de la grande base appartenant à la même face. 

Ces deux plans partagent le tronc de pyramide en trois pyramides triangulaires 

ADEF, EABC, E ADC ; la première a pour base la petite base du tronc ; la seconde, la grande base ; elles ont toutes deux pour hauteur la hauteur même du tronc ; la troisième peut être transformée, sans altérationjjde son volume, en 

une pyramide ayant pour base ADC, et pour sommet le point K, à l'intersection de l'arête AB avec une parallèle EK menée à l'arête À F ; on peut donc la considérer comme ayant pour sommet le point D, et pour base le triangle ACK, dont la surface est moyenne proportionnelle entre la grande base et la petite base ; cette troisième pyramide est donc ramenée à avoir la hauteur du tronc. 

Appelons donc II la hauteur du tronc, ou la distance des plans ABC, DEF ; B la grande base, b la petite. 

Les trois pyramides auront respectivement pour volumes, savoir : 

la pyramide E A D C|, équivalente àDACK, ^ H^/Bè. 

Les centres de gravité de ces pyramides partielles s'obtien nent en appliquant les propositions qu'on vient de démontrer Le centre de la première est à une distance du plan 

EFD égale à ^ H, et à une distance du plan AB G égale à - H; 

de même, le centre de la seconde est à des distances des 

mêmes plans respectivement égales H et j H. Pour le centre 

de gravité de la troisième, remarquons qu'en vertu d'un corollaire indiqué tout à l'heure, il est situé au milieu g de la droite IL qui joint les milieux I et L de deux arêtes opposées ED, AC du tétraèdre EADC; il est donc dans le plan mené à égale distance des plans des deux bases, et par suite 

sa distance à chacun des deux plans est ^ H. 

La somme des moments des poids des trois pyramides par rapport au plan EFD est égale au produit du poids total du 

tronc par la distance x de son centre de gravité à nous avons donc l'équation : 

sXV = g&HX 44H + -3BHXjH+lH/Blx|>H 

= ^H2(6 + 3B + 2/B6), 

en appelant, pour abréger, V le volume du tronc, bu 5H (& — B —J— \/Bb). Le solide étant supposé homogène, 

nous pouvons en effet remplacer dans l'équation des moments les poids par les volumes qui leur sont proportionnels Appelons y la distance du centre de gravité au plan de la base ABC ; nous aurons de même : 

yX Y= 1 6HX \ H+ l BHX \ H+ J II v/F&X | H = ^H2(B + 36+2V/B6)- 

x _ fe + 3B+2v/ÏÏ6 y~ B + 36+2\/Bb 

Cette équation fait connaître le rapport des distances du centre de gravité aux plans des bases, et permet par suite de conduire parallèlement à ceux-ci un plan qui contienne le point cherché ; il se trouvera à l'intersection de ce plan avec la droite qui joint les centres de gravité G, G' des deux bases. 

2° La même formule s'applique à un tronc de pyramide à base quelconque. 

Soit ABCDEa&cde le tronc de pyramide obtenu en coupant la pyramide SABCDE par un plan abcde parallèle à la baseABCDE. 

Construisons dans le plan de la base un triangle MNP équivalent au polygone ÂBCDE ; puis prenons un point S' dans le plan mené par le sommet S parallèlement au plan de la base. Nous formons ainsi la pyramide S'MNP, dans laquelle 

le plan abcde prolongé détermine une section mnp ; le tronc triangulaire MNPpmJi est équivalent au tronc donné ; et les sections faites dans ces deux solides par des plans parallèles aux bases sont équivalentes. Donc, si l'on décompose les deux troncs en tranches infiniment minces, les volumes de ces tranches et leurs distances aux points S et S', seront respectivement les mêmes ; les sommes des moments par rapport aux points S et S' seront aussi égales, et par suite, les centres de gravité des deux troncs sont situés dans un même plan parallèle aux bases. La formule démontrée pour le tronc de pyramide triangulaire MNPpnw, s'applique donc sans modification au tronc de pyramide équivalent ÀBCDEeaôcd. 

On remarquera que dans cette formule on peut remplacer les surfaces B et 6 des deux bases, par les carrés de deux arêtes homologues. Les sections ABCDE, abcde étant semblables on a en effet 

PARA 130 LOI DE DE REVOLUTION. 213 

3" La formule s'applique enfin à un tronc de cône ; car le cône est la limite vers laquelle tend une pyramide inscrite à mesure qu'on multiplie le nombre de côtés de sa base. 

CENTRE DE GRAVITÉ D'UN SEGMENT DE PARABOLOÏDE DE RÉVOLUTION 

156. Dans la parabole rapportée à son axe et à son sommet, les carrés des ordonnées sont entre eux comme les abscisses. Soient donc S le sommet, SA l'axe de la courbe, pris pour axe des abscisses, SD l'axe des ordonnées, M et B deux points de la courbe ; on aura la proportion : 

PM2 _ S P AB2 ~~ SA' 

Le paraboloîde de révolution s obtient en faisant tourner autour de l'axe SA la parabole SMB. On coupe la surface par un plan CAB normal à l'axe, et on de- , 

mande le centre de gravité du volume homogène compris entre ce plan et la surface CNSMB. 

Le centre de gravité de ce 

volume étant situé sur l'axe SA, Z_ 

il suffit de déterminer sa dis- / 

Menons deux plans infiniment voisins NPM, npm, qui interceptent dans ce volume un élément cylindrique dout la hauteur est Pp, et dont la base est un cercle ayant pour rayon PM. Le volume de ce petit cylindre est donc w X PMâ x Pp ; nous pouvons, à cause de l'homogénéité, prendre ce volume pour la mesure du poids; le moment, par rapport au point S, sera : 

ic X PM2 X PjJ X SP. 

Prenons dans un plan (fig. 141) une droite S'A'=SA; puis élevons au point A' une perpendiculaire indéfinie sur laquelle nous prendrons arbitrairement deux longueurs égales, A'B'=A'C'. Joignons S'B', S' C' ; nous formons ainsi un triangle S'B'C', qu'on 

peut considérer comme la base d'un prisme droit homogène dont la hauteur H sera déterminée plus loin. Je dis que le centre de gravité de ce prisme, lequel se projette au centre de gravité du 

triangle, est à la même distance du point S' que dans le paraboloïde le centre de gravité cherché du point S. 

Considérons en effet la tranche formée dans le prisme par deux plans parallèles à la base M'N', m'ri, menés à des distances S' P' ,■ S'p', respectivement égales à SP, Sp. Le volume élémentaire compris entre ces deux plans, a pour mesure 

et son moment, par rapport à l'arête S', est 2H x P' M' X P X S'P' . 

Les triangles semblables S'P'M', S'A'B' donnent la proportion: 

nous pouvons donc remplacer P'M par « XÏP.. 

S' A' X ' le volume élémentaire devient alors 

Dans la parabole, au contraire, on a 

de sorte que nous pouvons remplacer PM par 

pour son moment par rapport au point S. 

S' A' = SA, SP = S'P', P'p' = Pp; 

quant à la hauteur H, que nous n'avons pas encore définie, nous pouvons la choisir de telle sorte que nous ayons l'égalité : 

Cette condition remplie, il y aura partout égalité entre les volumes des tranches dans le prisme et le paraboloïde, et égalité des moments de ces volumes par rapport à l'axe projeté en S ou en S' sur le plan de la figure. 

Donc les centres de gravité des deux volumes sont à des distances 

égales du point S et du point S', et comme le centre de gravité » 

du prisme est aux ^ de la médiane S'A', à partir du point S', le 

centre de gravité du paraboloïde est aux - de l'axe SA, à par-*5 

Observons que le volume du segment de paraboloïde est égal au volume du prisme triangulaire, lequel est exprimé par 

II X A'B' X s S'A', 

Le volume du segment de paraboloïde est donc le quart du volume d'un cylindre droit, ayant môme hauteur SA, et môme cercle de base, C B. 

157. Le théorème de Guldin, connu aussi sous le nom de théorème de Pappus, donne le volume engendré par une figure plane, toni'nant autour d'un axe fixe tracé dans son plan, en fonction du chemin décrit par le centre de gravité de cette figure, eu bien la superficie d'une surface de révolution engendrée par une ligne plane tournant autour d'une droite menée dans son plan, lorsqu'on connaît le chemin décrit par le centre de gravité de cette ligne. 

Inversement le théorème de Guldin permet quelquefois de déterminer le centre de gravité d'une aire plane ou d'une ligne. 

Yoici l'énoncé de ce théorème : 

1° Le volume engendré par une figure plane A, faisant une révolution entière autour d'un axe CB, tracé dans son plan {en dehors de la figure) est égal au produit de l'aire A par la circonfé-| ' renee décrite par le centre de gravité 

Si donc on appelle A l'aire de la figure, V le volume engendré par sa révolution, et H la distance EG du centre de gravité de l'aire plane A à l'axe CB, on aura : 

Considérons en effet le volume engendré par l'élément rectangulaire mnpq, pris où l'on voudra dans la figure A, mais tracé de manière que les côtés mn, pq soient perpen-Fig 

diculaires à l'axe BC, et les deux autres côtés, mq, np, parallèles au même axe. Prolongeons les côtés mn, pq jusqu'à la rencontre de l'axe en r et s ; le volume engendré par le petit rectangle mnpq sera la différence de deux cylindres droits, dont la hauteur commune est rs, et dont les rayons sont pr et qr ; le volume cherché est donc 

IÎ (pr2 — ,/r2) X rs, 

expression qu'on peut mettre sous la forme 

Sous cette forme, il est facile de vérifier l'énoncé du théorème ; car qp X (lm est l'aire w de la surface mnpq , et / pr or\ 

X \ —2—) est à X 9^, 9 étant le centre de 

gravité du rectangle, et gh la distance de ce centre à l'axe ; Ï-K X est donc la circonférence décrite par le centre de gravité quand le rectangle fait une révolution entière autour de BC. 

Pour passer de là au volume engendré par la figure totale A, il faudra décomposer cette figure en éléments rectangulaires infiniment petits ; foire pour chacun le produit 

io désignant l'aire du rectangle considéré, et h la distance de son centre de gravité à la droite B C ; et enfin faire la somme de tous ces produits. Or cette somme sera, à part le facteur constant 2TT, la somme des moments des aires 10 par rapport à l'axe B C ; elle sera donc égale au moment de la somme des aires, c'est-à-dire au produit de l'aire totale, A, par la distance, H, de son centre de gravité au même axe. Le volume engendré est donc 

Si au lieu de faire un tour entier autour de BC, la figure décrivait seulement autour de cet axe un angle mesuré par l'arc a, le volume engendré serait réduit dans le rapport de a à 2TT, et serait exprimé par le produit a H A. 

2° La surface engendrée par une ligne plane finie À A' quand elle fait une révolution entière autour d'une droite BC, tracée dans son plan (de manière à ne pas la couper), est égale au produit de la longueur L de cette ligne par la circonférence décrite par son centre de gravité G. 

Soit GE = H, la distance du centre de gravité de la ligne à l'axe BC ; l'aire engendrée par 8 A la révolution entière de A À' sera 

En effet, cette aire est la somme des aires engendrées par les arcs élémentaires successifs mn, qui composent l'arc total A A'. Abaissons des points m et n des perpendiculaires ms, nr sur l'axe ; l'élément mn étant infiniment petit, peut être considéré comme rectiligne ; il engendre donc la surface convexe d'un tronc de cône qui a pour mesure la moyenne des circonférences des bases, multipliée par la génératrice mn, ou bien : 

. , m 4- srn , , soit g le milieu de mn ; la demi-somme ^— est égalé 

à la distance gh du milieu de mn à l'axe B C ; le produit précédent devient donc : 

et il faut faire la somme de tous ces produits élémentaires ; ce qui revient à multiplier par2ir la somme des produits mn^gh, 

ou la somme des moments des arcs mn par rapport à l'axe BC ; car le point g, milieu de mn, est le centre de gravité de l'arc mn. La somme des moments des arcs élémentaires est égale au moment de la somme de ces arcs, ou au produit de la longueur totale L de l'arc A A', par la distance H = GE du centre de gravité de cet arc à l'axe de révolution, ce qui donne en définitive 

Si la ligne A A' ne faisait pas un tour entier, et qu'elle décrivît seulement un angle a autour de l'axe BC, a étant mesuré en parties du rayon, la surface engendrée serait seulement aHL. 

APPLICATION" DO THÉORÈME DE GULDIN A i/ÉVALUATlON DES VOLUMES OU DES SURFACES. 

158. Soit proposé de trouver le volume engendré par le triangle ABC, faisant une révolution entière autour d'une droite AP, menée par le sommet A en dehors de ce triangle. On déterminera le milieu I de la base B C du triangle, puis le point G, centre 

de gravité, en prenant AG = ^ AI. 

Abaissant G H perpendiculairement à l'axe AP, on aura pour mesure du volume cherché : 

Du point I, abaissons IF perpendiculaire sur A P. La dis-2 

tance H G est les ^ de IF ; substituant, il vient : 

Cherchons aussi l'aire engendrée dans le meme 

ment par le côté B C ; cette aire S sera égale au produit du côté B C par la circonférence décrite par le centre ' de gravité I de ce côté : 

car l'aire du triangle ABC est la moitié du produit delà base B C par la hauteur AK, abaissée du point A, perpendiculairement sur BC. 

159. Volume du tronc de cône. — Le tronc de cône peut être considéré comme engendré par la révolution entière A . d'un trapèze ADCB, dont deux 

/T -y\ angles A et B sont droits, autour 

--■!/[ \/' / \ du côté AB. Le volume V du 

-7 I \ tronc de cône sera donc égal au y''" \j9' \ produit 

* c Y = 2TTGL X sm'f- ABCD. 

Fis' U5' Soient BC = R,AD = r,les 

rayons des bases du tronc de cône, et AB = II sa hauteur. 

La distance x = LG du centre de gravité du trapèze s'ob tiendra en prenant par rapport à A B les moments des deux triangles ABD, DBC, ce qui donne l'équation : 

surf. ABDXffi+surf. DBCX^' = surf. ABCDX^- Or 

surf. ABCD = i (R + r) H. 

DES VOLUMES ET DES SURFACES. 221 

Pour obtenir g'I', observons que la diagonale BD du trapèze divise cette droite en deux segments, dont l'un l'm est le tiers de AD, tandis que l'autre est égal aux deux tiers de BK, ou au tiers de BC ; donc 

S7 = 1(AD + BC)=4 (R + r). 

Le volume Y, égal à %TZX X sui'i- ABCD, est donc donné par la formule 

160. Le volume d'un tore, engendré par la révolution du cercle 0 autour d'une droite AB tracée dans son plan en dehors du cercle, est le produit de l'aire du cercle 0, par la circonférence dont le rayon est égal à la distance 0 H ; H [ 

R étant le rayon du cercle 0, et H la distancé OH. 

La surface engendrée par la circonférence a pour mesure 

On trouverait de même le volume engendré par une ellipse tournant autour d'une droite tracée dans son plan. 

APPLICATION DD THÉORÈME DE GTILDIN A LA RECHERCHE DES CENTRES DE GRAVITÉ DES AIRES ET DES LIGNES PLANES. 

161. Soit proposé de chercher le centre de gravité d'un arc de cercle homogène AB. 

L'arc ÀB est symétrique par rapport à la droite 0 C menée du centre 0 au milieu de l'arc. Le centre de gravité G est donc situé sur cette droite, à une certaine distance x du point 0. 

Par le centre 0 menons une droite OP, perpendiculaire à 0 C ; puis, faisons tourner la figure autour de 0 P ; l'arc AB engendrera dans ce mouvement une zone sphérique dont la hauteur P Q est égale à la corde AB de l'arc donné. Cette zone a pour mesure le produit de sa hauteur, ou de la corde AB, par la circonférence d'un grand cercle de la sphère, c'est-à-dire par X 0 C. Le théorème de Guldin nous montre d'un autre côté que la surface engendrée par une révolution entière de Fig. 16,1. j>arc est égale au produit de la longueur de l'arc par la circonférence décrite par le centre de gravité, ou à arc AB X 2*®- a donc 

corde ÀB X 2-OC = arc AB X 2-a-, 

Le centre de gravité d'un arc de cercle est donc à une distance du centre de cet arc dont le rapport au rayon est égal au rapport de la corde à l'arc. 

Lorsque l'arc est très-petit, le rapport est sensiblement 

sensiblement à l'unité, et x est sensiblement égal au rayon OC ; le centre de gravité d'un arc très-petit se confond en 

effet sensiblement avec le milieu de cet arc, qui est très-près 'd'être rectiligne. 

La formule donne le centre de gravité de la circonférence entière ; car la corde d'un tel arc est nulle ; on a donc x = 0, et le centre de gravité coïncide avec le centre du cercle. 

Le centre de gravité de la demi-circonférence se déterminera en faisant : 

arcAB = TrXOC, et corde AB = 2 X OC. 2 7 

Donc a; = OGX^ = OCX^j" environ , en remplaçant n 

Pour le quart de la circonférence, on aurait de même : 

ou bien, en remplaçant y 2 par g etirpar ■=-, i 

Remarque.—Si 1 on considère (fig. \ 50) une serie d'arcs A B, commençant tous en un point fixe A, et terminés en un point B variable, on pourra construire le centre de gravité de chacun d'eux, lequel se trouvera sur la bissectrice OC de l'angle au centre correspondant, à une distance OG=& donnée par la formule. On obtiendra ainsi un lieu géométrique qui passe au point A et au point 0, et qui peut se prolonger indéfiniment en considérant les arcs plus grands que la 

férence. Si G est le centre de gravité de l'arc AB, il est facile de voir que la droite B G est tangente au lieu géométrique au 

point G. En effet, pour passer du centre de gravité G de l'arc ÀB au centre de gravité G' de l'arc AB', infiniment peu différent de l'arc AB, il suffit de composer le poids de l'arcAB, appliqué en G, avec le poids de l'arc BB' appliqué au milieu de l'arc B B' ; le centre de gravité G' est donc sur la droite qui joint le point G au milieu de l'arcinfinimentpetit BB', c'est-à-dire à la limite, sur la droite GB. Cette propriété appartient à toutes les courbes analogues. 

Le lieu géométrique des centres de gravité a donc pour tangente au point 0 le,rayon OA ; car le point 0 est le centre de gravité de la circonférence entière qui se termine au point A. 

162. Le centre de gravité du secteur circulaire homogène se déduit du centre de gravité de l'arc de cerclé. 

Décomposons le secteur À 0 B en une infinité de secteurs infiniment petits, par des rayons 0m, OK ; ces secteurs peuvent être assimilés à des triangles, car l'arc mn est un élément rectiligne et leurs surfaces sont proportionnelles aux arcs vin qui leur servent de base. Le centre de gravité du triangle 0mn est situé en g, sur la bissectrice de l'angle au 2 

centre, et aux ^ du rayon à partir 

du point 0. Tous les centres de gravité des éléments sont donc situés sur un arc de cercle, A'B, 2 

décrit du point 0 comme centre, avec les Ô du rayon du 

secteur donné pour rayon, et le poids de chacun de ces secteurs est proportionnel à l'arc mn qui lui sert de base, ou 2 

à l'arc rn'n', qui est les g de cet arc. En résumé, le centre 

de gravité cherché s'obtiendra en composant des poids appliqués en différents points de l'arc A' B', proportionnels aux longueurs m'n' des éléments de cet arc ; c'est donc le centre de gravité de l'arc A'B' lui-même. 

Le centre de gravité d'un secteur circulaire homogène, coïncidant avec le centre de gravité de l'arc décrit entre 

les côtés" du secteur avec un rayon égal aux ^ du rayon 

donné, est situé sur la droite OC, bissectrice du secteur, à une distance OG du centre, donnée par la formule : 

OG - OC' y cordeA'B' _ Q(y y corde AB OG-UL X arc A'B' — Ut X arc AB 

Remarque. — Il est facile d'en déduire le volume engendré par une révolution entière du secteur AOB autour d'une 

droite OP, perpendiculaire à la bissectrice OC. 

La surface du secteur est égale à ^ 0 C X arc • Le volume cherché est donc égal au produit : . 

c'est-à-dire aux g du volume du cylindre ayant pour base le cercle de rayon 0 C, et pour hauteur 

163. Revenons au centre de gravité de l'arc de cercle AB. 

Si l'on veut sa distance à l'un des rayons OA, OB, menés du centre aux extrémités de l'arc, on n'aura qu'à imaginer que >B l'arc AB tourne autour du côté OA; il engendre dans ce mouvement une zone sphérique à une base, dont la surface est 

et qui est égale d'autre part à 

égalité qu'on pouvait déduire de la comparaison des triangles semblables, GHO, AEB. 

CENTRE DE GRAVITE DU SEGMENT DE CERCLE 

164. Cherchons enfin le centre de gravité du segment homogène compris entre l'arc ACB et la corde AB. Soit g le centre de gravité cherché. Si on compose le poids du segment, appliqué en g, avec le poids du triangle OAB, appliqué en g' aux deux tiers de la médiane 01, on obtiendra pour résultante le poids du secteur 0 ACB, appliqué en son f. j.g centre de gravité G, que nous connais-lg 

• DD SEGMENT DE CERCLE. . 227 

La surface du segment est la diiférence 

et l'équation des moments par rapport au point 0 nous donne : 

| (0 A X arc AB—01X corde AB) x4- -| 01X corde AB X \ 01 = ^ OAX arc ABX o OA X = î ÔI2 Xcorde AB. 

2 (OA2 X corde AB — Oi2 X corde AB) 5(0AX arc AB — 01 X corde AB) 

3 OA X arc AB — 01 corde AB ' 

3 OA X arc AB — 201 X1A. 

165. Supposons qu'on trace un contour A dans un plan P, qui roule sans glisser sur une surface développable, en tournant successivement d'un angle infiniment petit autour des arêtes rectilignes AB, A'B', A"B",..., de cette surface. 

Dans ce mouvement, la figure A engendrera un volume, et le 

le pcrimèire de la surface A. a pour mesure le produit du périmetre L, par le chemin décrit par son centre de gravité G'. 

Pour démontrer ces théorèmes, il suffit en effet d'observer que pendant un instant infiniment court, le plan P tourne autour d'un axe fixe AB, et que la figure A engendre, pendant cet instant, un élément de solide de révolution. Le théorème de Guldin peut s'appliquer à cet instant très-court; il ne reste plus qu'à faire la somme de tous les éléments décrits, ce qui donnera l'aire A, ou le périmètre L, facteurs constants, multipliés par le chemin total décrit par le centre de gravité. 

166. L'axe de rotation, dans tout ce qui précède, est supposé extérieur à la figure mobile. Le théorème s'applique encore au cas où l'axe traverse la figure méridienne, sauf à prendre posi-. tivement les volumes et les superficies engendrées par les parties situées d'un côté de l'axe, et négativement les volumes et les superficies engendrées par les parties situées du côté opposé. 

Si l'on adopte cette convention, on pourra dire que le volume engendré par une aire fermée, tournant autour d'une droite tracée dans son plan et passant par son centre de gravité, est égal à zéro. Car le chemin décrit par le centre de gravité est nul. : ne faut pas oublier que dans cet énoncé on prend avec des signes contraires les volumes élémentaires engendrés par es deux parties de la figure séparées par l'axe de rotation. 

périmètre de cette figure engendrera une surface. 

gendre par la surface A entre deux positions quelconques du plan mobile, est égal au produit de l'aire A, par le chemin décrit par son centre de gravité G. 

167. Si l on ■projette orthogonalement une figure plane F sur un plan fixe P, le centre de gravité de la projection F' est la projection orthogonale du centre de gravité de la figure. 

Cette proposition peut être considérée comme un cas particulier de la remarque II du § 137. Mais on peut aussi l'établir directement. 

Supposons, pour fixer les idées, que le plan de projection P soit horizontal, et que le plan delà figure Fie coupe, 

suivant la droite 31N. Prenons pour axe OX dans le plan de la figure, une ligne de plus grande pente de ce plan, et pour axe OY la ligne 

horizontale MN; ces deux axes, projetés sur le plan de projec- ' tion, donneront encore deux axes OX', OY rectangulaires. Les ordonnées des divers points de la figure seront donc conservées en vraie grandeur, tandis que les abscisses x seront réduites dans un certain rapport constant; les aires élémentaires seront réduites dans le même rapport; cela étant, appliquons les formules de la recherche du centre de gravité aux deux figures. 

Soient o>, , »„ ... u„ les aires élémentaires de la figure F; les' aires correspondantes de la figure F' seront les produits 

KM ,, KM,, . . Ko.,,. 

les abscisses de ces aires seront : 

x2, ... x„ Kx, , Kij, ... Kx„ 

pour l'autre. Elles ont enfin mêmes ordonnées y. Soient X et Y les ordonnées du centre de gravité de la figure P , rapportées aux axes OX, OY; et X', Y' les coordonnées du centre de gravité 

de la figure F', rapportées aux axes 0X', OY. Nous aurons les équations - 

CO . «+- (i), ... -f- tùn . 

Y -f- 4- ••• H- Mwt/n 

Ku, xKi,+Ku,xKa)1 + ... + KxKi» — Ku, 4- Ku, + ... -+- KM„ ' 

y, fa|X;, + K», Xya + -..+ KM,, X y„ 

Ku, — Ku, —j- ... —j— lvu„ 

Les équations X'=KX, Y'=Y, montrent que le point (X', Y') du plan P, est la projection du point (X, Y) pris dans le plan de la figure F. 

Corollaire. La proposition subsiste encore pour les projections obliques, faites par des droites parallèles. Il suffit, pour l'établir, de couper les droites projetantes par un plan perpendiculaire à leur direction commune, et d'appliquer la proposition qu'en vient de démontrer. 

• 168. Soit MN une surface cylindrique ou prismatique, coupée par un plan ABCD. Soit G le centre de gravité de cette section. Par ce point, menons une droite AB dans le plan de la section, et conduisons par cette droite un second plan AEBF, faisant un angle infiniment petit avec le premier.. De cette manière, nous ajoutons d'un côté au volume du prisme ou du cylindre un onglet infiniment petit AFDB, et nous retranchons de l'autre le volume de l'onglet infiniment petit ACEB. Faisons tourner la figure ACDB autour de AB pour l'amener dans le plan AEBF. Dans ce mouvement elle engendrera deux onglets de révolution opposés parle sommet, qui différeront des onglets cylindriques AFDB et ACEB, d'infiniment petits du second ordre; or ces deux onglets de révolution sont égaux en vertu du théorème de Guldin; car l'un est positif, l'autre négatif, et leur somme algébrique est nulle (§ 166). Il en est donc de môme des onglets cylindriques, et par suite le volume du cylindre ou du prisme, comprisentre une section quelconque MN et la section ACBD, n'est pas altéré par la substitu-Fig 

tion au plan ACBD, du plan infiniment voisin AEBF, pourvu que le second plan passe par le centre de gravité G de la section déterminée par le premier. 

Le centre de gravité de la nouvelle section coïncide avec le centre de gravité G de l'ancienne, car la seconde section est la projection de la première, parallèlement aux arêtes du cylindre (§ 167). Par suite, on n'altère pas le volume du cylindre en faisant encore tourner le plan de la section EF d'un angle infiniment petit sans qu'il cesse de passer par le point G. En définitive on peut modifier comme on voudra l'orientation du plan de la section ACBD, pourvu que ce plan passe toujours par le centre de gravité G de la section : le volume du cylindre n'en sera pas altéré. 

169. Cette remarque conduit à la mesure du volume du cylindre ou du prisme tronqué. Soit ABCD un cylindre coupé par deux plans AB, CD, menés d'une manière quelconque. Prenons le centre de gravité G de la section AB : la section CD est la projection de la section AB sur le a ~® plan CD, faite parallèlement aux génératrices du A 

cylindre. Donc, le centre de gravité G', de la section CD, est situé sur une parallèle aux génératrices GG', menée par lecentre de gravité de l'autre section AB (§ 167). Par les points G et G', menons deux plans ab, ccl, normaux aux génératrices Ces sections n'altèrent pas le volume du D cylindre (§ 168), de sorte que le volume abcd est dc 

égal au volume ABCD; mais le cylindre abcd est F( J5Ï un cylindre droit, dont le volume s'obtient en multipliant la base, surface ah, par la hauteur G G' ; le produit surf, ab X GG' est dcnc aussi la mesure du volume ABCD, et l'on obtient ce théorème : 

Le volume d'un cylindre ou d'un prisme tronqué est le produit de l'aire de sa section droite par la dislance des rentres de gravité de ses deux bises. 

DÉTERMINATION EMPIRIQUE DU CENTRE DE GRAVITÉ POUR UN CORPS DE PETIT VOLUME. 

170. Lorsqu'on veut déterminer le centre de gravité d'un corps À de petit volume, on peut suspendre ce corps à un lil CB, par un point quelconque de sa surface. Après une série d'oscillations, dont on peut à volonté réduire l'amplitude, le 

corps et le fil prennent une position d'équilibre, dans laquelle le fil CB est vertical, et le centre de gravité G du corps se trouve sur la droite CB prolongée. Car le poids du corps appliqué en G fait équilibre à la tension du fil, dirigée suivant la droite BC. Cette expérience fait donc connaître une droite BE, sur laquelle est situé le point cherché. 

On obtiendra facilement une seconde droite sur laquelle le point G se trouve aussi ; il suffit pour cela de répéter l'expérience en attachant le corps A Fis- *58- par un autre point de sa surface. Le centre de gravité du corps se trouvera à l'intersection des deux droites. 

La construction du point d'intersection de ces deux lignes, serait en général peu commode, parce qu'on ne peut opérer que sur la surface du corps, et que ces lignes n'ont, la plupart du temps, que deux points communs, B et E, avec cette surface. On se fera une idée plus nette de la position du centre de gravité en considérant le plan qu'on peut conduire par les deux droites. 

Ce plan coupe la surface du corps suivant une ligne L qu'il est aisé de construire sur le papier. On peut y reporter , les points B, B', par lesquels 

le corps a été successivement suspendu. Pour avoir les directions correspondantes du de suspension, on peut re' porter sur la ligne L les points E et E' où les directions cherchées rencontrent pour la seconde fois le contour de la section; ou bien, si l'on ne peut observer la position de ces points E et E', on fixera arbitrairement sur la section trois points M, N, P, et on mesurera les distances KM, KR, K'N, K'P, de ces points à deux points K, K', pris sur les directions du fil ; ce qui permettra de tracer sur le plan de la section les droites KB, K'B, dont les prolongements se coupent au point G. 

171. On se sert beaucoup dans les arts de I appareil formé d'un lil et d'un corps pesant attaché à son extrémité ; cet appareil, qu'on nomme fil à plomb, donne la direction de la verticale, une fois les oscillations éteintes et l'équilibre obtenu. Le fil à plomb sert aussi à vérifier qu'un plan est horizontal, ou à trouver sa ligne de plus grande pente et son inclinaison. On emploie pour cela l'instrument appelé niveau de maçon, parce que les maçons s'en servent pour régler horizontalement les assises d'un mur en construction. 

Le niveau de maçon est un triangle isocèle en bois, ABC, formé de deux jambes BA, BC, dont les pieds sont coupés en A a, et Ce suivant la direction 

direction la base AC; une traverse IIK, placée un peu au-dessus de la base maintient l'angle ABC. Un lil à plomb DE est suspendu en un point D de la bissectrice de l'angle ABC ; les pieds du niveau 

sont posés sur la surface supérieure d'une règle RR' qu on 

pose sur le plan dont on Lorsque la règle est horizontale le lil DE doit battre un trait dessiné en F sur la traverse. Pour placer ce trait, on a recours à une expérience préalable. On incline la règle d'un certain angle R'RN ; le niveau participe à cette inclinaison, et -le fil à plomb qui reste tou-veut 

jours vertical, vient battre la traverse en un point F', qu'on marque. On retourne ensuite le niveau sans changer la 

tion de la règle ; le fil à plomb prend alors la position DE", et bat le point F", qu'on marque aussi. 

On a ainsi sur la traverse deux points F' et F", qui, chacun, représentent l'écart pris par le fil à plomb, lorsque la règle 

reçoit unç inclinaison égale à R'RN. On obtiendra la direction de la perpendiculaire abaissée du point D sur la direction de la règle, en menant la bissectrice, DF, de l'angle F'DF". Car si l'on abaisse D F perpendiculaire sur RB , l'angle F'DF et l'angle ll'RN sont égaux, comme ayant leurs côtés respectivement perpendiculaires. Il en est de même de FDF" et R'RN, et par suite DF partage en deux parties égale l'angle F'DF". 

Pour mesurer avec le niveau de maçon l'inclinaison d'une droite à l'horizon, il faut tracer sur la traverse une droite 

MP perpendiculaire à DF, et sur laquelle on porte des longueurs égales à une partie aliquote de la distance DF, au centième par exemple. Lorsque le lil se met en équilibre dans une position DF', on lit sur F'&- 1(i3- l'échelle graduée PM le nombre 

de divisions comprises entre le point F et le point F'; ce nombre exprimera en centièmes l'inclinaison de la ligne AC, mesurée par le rapport de sa hauteur à sa base. 

Pour mesurer l'inclinaison d'un plan à l'horizon, 011 cherche d'abord la ligne horizontale du plan ; cela peut se faire par tâtonnement en faisant tourner la règle sur le plan et en observant le fil à plomb. Une fois l'horizontale tracée, on lui élève dans le plan une perpendiculaire qui sera la ligne de plus grande pente, et on mesure l'inclinaison de cette ligne comme il vient d'être dit. 

On peut éviter le tâtonnement qui a pour objet de 

miner la direction de 1 horizontale du plan. Par un point 0, traçons dans le plan deux droites quelconques OA, OB, et mesurons à l'aide du niveau les inclinaisons de ces deux lignes ; soit i l'inclinaison de la première , et i' 

l'inclinaison de la seconde. Prenons arbitrairement un point quelconque À sur la droite OA, et cherchons sur la droite OB un point B qui soit à la même hauteur que le point A. Puisque la droite OA a sur l'horizon une inclinaison égale à i, la longueur OA mesurée sur le plan a une projection horizontale égale à 1 

0 A X ■ • et parsuite la différence de niveau entre le 

point 0 et le point A est égale à OAX ./ -• La différence 

de niveau doit être la même du point 0 au point B ; mais la longueur OB, mesurée sur le plan, a une projection horizontale 

horizontale à OB X / de sorte <lue 'a différence de 

niveau entre les points 0 et B est OB X J7<i ~ j On a donc l'équation : 

qui fait connaître la longueur OB et définit par conséquent l'horizontale AB. La ligne de plus grande pente OH est perpendiculaire à la droite AB. 

THÉOItÈMES SUR LE CENTRE DE GRAVITÉ D'UN SYSTÈME DE 11 POINTS 

172. Soient A, B, C, ...D, « points matériels donnés de position dans l'espace ; soient j>, , p„ p3, ... leurs poids respectifs. Déterminons le centre de gravité G du système formé par ces n points. 

236 SOMME DES 'CARRÉS DES DISTANCES' 

Soit enfin 51 un point quelconque pris dans l'espace. Le théorème que nous allons démontrer consiste dans l'énoncé suivant: La somme 

fFx p, + MB2 X!)1 + MC2 XJ)3 + ... + MD2 x pn 

des carrés des distances du point M aux n points donnés, multipliés par les poids respectifs de ces points1 est égale à la même somme ' prise pour le centre de gravité G, 

GA2 X Pi + GB" XJ)J + GC XPÎ + + GD~ X p,* , 

augmentée du produit du carré de la distance des points M et G, par le poids total (p, + p, + p} + ... + pn) du système. 

En d'autres termes on a l'équation : 

MA2 Xp, + ... +MD2 Xp«=(GA2X p, + ... 4- GD2 X p») MG X (pi + ... -1~~ Pu)• 

Nous démontrerons d'abord ce théorème pour un système de deux points A, B. Nous ferons voir ensuite que s'il est vrai pour» points, il est vrai aussi pourn+i;la M proposition, démontrée pour 2 points, 

s'étendra donc à 3, à 4, ...à un nombre / \ quelconque de points donnés. / \ 1° Soient A et B les deux points < A g H B donnés, p, et p 3 leurs poids, le centre 

Fjg lfi5 de gravité g de ces deux points sera sur 

la droite AB, et divisera la distance AB en segments réciproquement proportionnels aux poids p, et p, ; nous aurons donc : 

Soit M un point quelconque, et proposons-nous d'évaluer la somme MA2 X p, -t-MB2 X î>a. 

Joignons et du point M abaissons Mil perpendiculaire sur AB. Le triangle MA# dans lequel le côté M</ se projette en <?H sur le prolongement du côté gA, nous donne la relation 

MA2 = g A + M/y" +2«A X oïl 

• D'UN POINT A n AUTRES POINTS. • 237 

Dans le triangle MBj, le côté Mg se projette sur le côté 3B lui-même de sorte qu'on a 

(3) MB2 = ffB2 + %2 - 2ÔB X gH. 

Multiplions l'équation (2) par p,, l'équation (3) par p,, et ajoutons ; il viendra 

ÏÏÂ2Xî>. -I- MB2X?'5 = !/A2 Xji. +jB!Xp, 4-M<j2 X(p, +pa) en effaçant la somme 

2#H x (gÀ. X }', — 9B x p,) 

qui est nulle en vertu de l'équation (i). 

Le théorème est donc démontré pour un système de deux points. 2° Supposons que la proposition ait été reconnue vraie pour un système de M 

n points. Je dis qu'elle sera vraie aussi pour un système de n + 1. Soient A, 

B, C, .... D, un système de n points, 

...p„; soit g le centre de gravité de ce système ; on aura par hypothèse, 

pour un point quelconque M, l'équa tion " Fig. 166. 

(4) MA2 X p, + ffxji, + ... 4-MD2 x Vn 

= [gk~ X p, + f/B2 X p, + ... + gifxp„) + M^2 X {P, + P, + - + Pn). 

Soit E le (n + 1)' point que l'on ajoute au système, et soit p„ + 1 son poids. Pour avoir le centre de gravité G du système total, il suffira de joindre g E, et de partager cette droite au point G en deux segments inversement proportionnels aux poids pn + 1 et (P 1 + p, 4- ... + pn). Le point G étant le centre de gravité du système formé par le point matériel E et par un point matériel placé en g et ayant pour poids la somme (p, -f-p, 4- ... + pn), 

. '.38 , SOMME DES CARRES DES DISTANCES ■ 

on peut appliquer le théorème que nous venons d'établir pour deux points, ce qui donne l'équation 

= [^f?3 X (Pi -t~P3 + •■■-hPn) + GF Xp« + )J 

Mais nous pouvons appliquer l'équation (4) au point G, comme au point M, ce qui nous donnera, en intervertissant les deux membres de l'équation : 

(6) (jÂ2Xp, + ffB2Xp,+...+yD2XiJ/.) + G32x(p.+j)34-...+p„) = GÂ2XîJ,+'GB2 Xp, + ... + GD2 Xpn- 

Ajoutant membre à membre les trois équations (4), (5) et (6), il vient, après suppression des termes communs aux deux membres : 

MÂ2Xî>, + MB2 Xp,+ ... + WD2 X p»+ SFXî'ti 

=GA XjJi+GB X PJ + ... + GD2 x Pn + GE" Xp« +t 

Si donc la proposition est vraie pour n points, elle est vraie aussi pour n + 1. Or elle est démontrée pour deux points. Donc elle est générale. 

173. COROLLAIRES. —■!o Le lieu géométrique des points M tels que la somme 

MA2 X p, + MB2 X p, + ... 4- Ml)2 X pn 

des carrés de leurs distances à n points donnés, multipliés respectivement par les poids de ces points, soit constante, est une surface sphérique décrite du centre de gravité G des n points comme centre. En effet, la somme 

(MA2 x P, + ••• + Mlr x Pn) 

se décompose en deux parties; l'une 

(GA Xp. + ... + GD2 X Pn)> 

D'US POINT A tl AUTRES POINTS. . est indépendante de la position du point M, et l'autre 

.ne dépend que de la distance MG. La somme est donc constante, si MG est constant, ce qui a lieu pour tous les points de la sphère décrite du point G pour centre avec MG pour rayon. 

Si l'on veut par exemple que 

MA Xpi -4- ... + MD" x Pu 

soitégaleà une quantitédonnée,P2, on déterminera MG par l'équa tion : 

GT X p. + ... + GÎT X pu + MG2 X (p, -h ... + pn) = P2, ce qui donne 

, /P2—(GA" X p, +... + GIT x j)„) MG = y V,+V, + ...+pn 

2° Le minimum de la somme 

a lieu lorsque MG = 0, c'est-à-dire lorsque le point M coïncide avec le centre de gravité des n points donnés. 

174. Application. — On inscrit dans un cercle 0 un polygone régulier de n côtés, ABCDEF. 

On demande la somme des carrés des distancesd'un point M pris dans le plan du cercle aux sommets du polygone. 

P, =n, = ... pn= 1; 

le centre de gravité de n poids égaux placés aux sommets du polygone est le centre du cercle circonscrit, 0 (§ 142, S°). Donc on a l'équation : 

MA2 + MB2+ ... + MF2= (ÔA2 + Ô"B2 + ... +ÔF) + MO" X « = ii X(ÏÏr + MÔ2). 

240 . SOMME DES CARRES DES DISTANCES " 

Élevons au point 0 une perpendiculaire sur la droite MO, et joignons ML ; le carré ML2 sera égala 0L2 + M02 ou à 0A2 + MÔ2, et par suite la somme cherchée sera égale à M L" x n. 

Le carré de la distance du point .M au point L est donc la moyenne entre les carrés des distances du point M aux sommets du polygone. 

173. ADIRÉ THÉOBÈME. •— Etant donnés n points matériels A, B, C, ... D, dont les poids respectifs sont p,, p,, ... p„, et une droite LL', on abaisse de tous les points sur la droite des perpendiculaires, A a, Bb, ... D d, et on forme la somme : 

des carrés des distances de chaque point à la droite, multipliée par le poids de ce point. 

Par le centre de gravité, G, du système des n points, on mène une parallèle XX' d la droite LV, et on abaisse des points donnés des 

perpendiculaires Aa, B|3, Cf, ..., Da sur cette nouvelle droite. On forme la somme I„ prise pour cette nouvelle droite 

Cela posé, la somme I est égale à la somme 10 augmentée du produit 

du carré de la distance des deux droites LL', XX', multiplié par le poids total du système. 

DE n POINTS A UNE DROITE. , ' 241 

Menons un plan PP' perpendiculaire'aux parallèles LL', XX, puis projetons ortliogonalement sur ce plan tous les points donnés, A, B, ... D; nous obtenons ainsi les points A', B', ..., D', auxquels nous pouvons attribuer les poids p,, p„ Le 

centre de gravité du système projeté sera la projection du centre de gravité G du système donné (§ 137, Rem. //); soit X ce point, et soit L le pied de la droite LL'. 

Nous pouvons appliquer le théorème précédent au système projeté ; il viendra : 

(Â7!2 X p, + B"7!2 XJ, + ... + D7!2 X p.) 

= (Âô.2 x p, -h Bâ3 x p, + ... -+- iFx2 x Pn) 

Or, les distances Aa, B6, ... D d, des points donnés à ia droite LL' se projettent en vraie grandeur sur le plan PP', et ont pour . projections les distances des points A', B', ... , D', au point L. On a donc : A'L = A a, B'L = Bi, ... , D'L = Dd. De même, A'x=Aœ, B'X = B|3, .. . , D'X = DS ; et par suite, l'équation précédente peut s'écrire : 

Aa2XP, + B62X|'a-^-... + 5d2 Xpn=Aa2 xp, +Bp2X 

qui n'est autre chose que l'expression algébrique du théorème qu'il s'agissait de démontrer. 

Corollaires. — 1" La somme des produits du poids de chaque point par le carré de sa distance à une droite LL' est la même pour toutes les positions de cette droite sur la surface d'un cylindre droit à base circulaire, décrit autour de la droite xx' comme axe. 

2° Elle est minimum pour l'axe XX' lui-même. 

176. Le travail élémentaire d'une force s'obtient (§ 98) en multipliant la force par la projection sur sa direction du chemin infiniment petit décrit par le point matériel qu'elle 

MÉCANIQUE. ENS. SPÉCIAL, 3" ANN. 16 

sollicite, et en attribuant au produit le signe -j- ou le signe —, suivant que la projection du chemin décrit a le même sens due la force, ou le sens opposé. Appliquons cette règle à la 

pesanteur. Soit M un point matériel , p son poids , qui s'exerce suivant la verticale MIL Prenons trois axes rectangulaires OX, OY, OZ, dont l'un, OZ, soit vertical. Si le Y point M reçoit un déplacement MM' infiniment petit, le travail élémentaire de la force p sera égal au produit p X Mm, avec le signe -f- si le point s'çst abaissé, avec le signe — s'il s'est élevé par suite de son déplacement. Appelons 2 la hauteur M il du point M au-dessus du plan horizontal XO Y, et z' la hauteur M'II' au-dessus du môme plan de la nouvelle position prise par le point mobile. Le travail élémentaire de la pesanteur correspondant au déplacement infiniment petit MM' sera égal en grandeur et en signe au produit 

produit positif si 'z > z', c'est-à-dire si le point mobile s'abaisse, et négatif si z < z' , c'est-à-dire s'il s'élève; produit nul enfin si z — z', c'est-à-dire si le mobile ne change pas de hauteur. 

Ceci suppose, d'après la définition, que la différence z—z' est infiniment petite en valeur absolue. Mais la force p due à la pesanteur ne variant pas sensiblement avec la hauteur Mil, du moins dans les limites restreintes où se font les applications aux machines, on peut étendre cette mesure du travail à un déplacement fini du point M. En effet, supposons que le point matériel M parcoure une trajectoire quelconque MN, et qu'on demande le travail total (§ 96) du poids p pour le déplacement MN ; on partagera l'arc de trajectoire MN en parties aussi petites qu'on voudra, pour chacune desquelles 

on pourra déterminer le travail élémentaire de la force- appelons donc z, z', z", s"', ..., Z, les hauteurs des points M, M', M", , N ; les travaux élémentaires du poids p pour chacun de ces déplacements infiniment petits seront exprimés par les produits 

Le travail total s'obtiendra en faisant la somme algébrique de ces produits ; or, cette somme se réduit à 

c'est-à-dire au produit de la force p par la quantité z — Z dont le point M s'est abaissé suivant la verticale, ou par la perte de hauteur du point M. 

177. Au lieu d'un point unique, prenons-en plusieurs. Soient M,, Ma> ... M„, un système de n points matériels, dont les poids sont respectivement pn p,, et 

qui reçoit un déplacement quelconque, fini ou infiniment petit. Appelons 

les hauteurs des points donnés au-dessus d'un même plan horizontal, dans la position initiale du système, et 

les hauteurs des mêmes points, dans une seconde position. Pour trouver le travail de la pesanteur correspondant au passage du système de la première position à la seconde, il faudra former pour chaque point le produit p X (-s — Z), et 

244 • , . • . ÉQUILIBRE D'UN SYSTEME 

faire la somme algébrique de tous ces résultats ; le travail 

cherché, T, est donc donné par l'équation : 

T — P'i (zi — Z,) -4- p, (za Za) + --+P» C'2" ^") > 

Or, appelons z la hauteur, au-dessus du plan horizontal de comparaison, du centre de gravité du système dans sa première position (| 123, Rem.), et Z la hauteur du centre de gravité du système dans sa seconde position ; nous aurons (| 1 37) : 

P.Z. + + ••• -\~PnZn = (p. + Pa + •" + P») X Si P.Z, +p3Z, + -f-p„Z„ = (p, + ••• +Ï>«)X Z- 

Introduisons ces valeurs dans l'équation (1), il viendra : 

(2) T = (p, 4-/J, -j- •••+P») C3— Z). 

Le travail de la pesanteur sur un système matériel qui subit un déplacement fini ou infiniment petit, est égal au poids total du système, multiplié par la quantité (positive ou négative dont est descendu son centre de gravité en passant de la première position à la seconde. 

Le travail de la pesanteur est nul si, en passant de la première position à la seconde, le centre de gravité ne change pas de hauteur. 

CONDITION D'ÉQUILIBRE D'L'N STSTÈME MATÉRIEL A LIAISONS COMPLÈTES, QUI N'EST SOLLICITÉ QUE PAR SON PROPRE POIDS. 

178 Nous avons démontré (J§ 117-120) que pour qu'un système matériel soit en équilibre, il faut et il suffit que la somme des travaux virtuels des forces qui sont appliquées à 

ce système soit nulle pour tout déplacement compatible avec ces liaisons. 

Appliquons ce théorème à un système pesant, que nous supposerons d'abord à liaisons complètes ; l'équilibre de ce système sous l'action de la pesanteur et des forces qui tiennent lieu des liaisons, sera assuré dans une position particulière si le déplacement inliniment petit qu'on peut supposer imprimé au système à partir de cette position, n'altère pas la hauteur du centre de gravité. Car alors (§ 177) le travail de la pesanteur est nul. Le système étant à liaisons complètes, tous les points qui le composent, et par suite le centre de gravité de ces points décrivent des trajectoires définies ; le déplacement virtuel subi par le centre de gravité s'opère donc suivant un arc infiniment petit de sa trajectoire particulière, et pour que le travail de la pesanteur soit nul, il faut et il suffit que ce petit arc décrit soit horizontal La position d'équilibre du système est donc définie par cette condition que le centre de gravité occupe sur sa trajectoire le point où la tangente est horizontale. Pour trouver les positions d'équilibre, on construira donc la trajectoire du centre de gravité ; on mènera à cette courbe des tangentes horizontales, et les points de contact seront les positions du centre de gravité lorsque l'équilibre existe ; à chacune de ces positions du centre de gravité correspond une position particulière du système qui sera l'une des positions demandées. 

179. Prenons pour exemple une droite pesante homogène, AB, dont les deux extrémités A et B sont assujetties à glisser sans frottement le long de deux droites fixes, OX, OY, rectangulaires tracées dans un plan vertical. 

Le centre de gravité G du système donné est le milieu de la droite AB; l'angle AOB étant droit, la distance GO est égale à la moitié de la longueur AB, et par conséquent, le lieu décrit par le centre de gravité est la circonférence GCMD, 

décrite du point 0 comme centre avec un rayon égal à ^ AB. 

Par le point 0, menons une verticale MN ; elle coupe la circonférence en deux points M et N, où les tangentes 51T, 

NT' seront horizontales ; ce sont les positions d équilibre; 

des points II et N comme centres, avec des rayons égaux \ 

à jjj AB, on décrira des arcs de cercle qui couperont la direction OY aux points À, et À',, et les droites A,B,, A'.B', 

seront les deux positions d'équilibre qu'on peut donner à la droite mobile AB. 

Ces deux positions se distinguent l'unedel'autre en ce que l'une, A,B, , est une position d'équilibre stable, tandis que l'autre, A.'< B'( , est une position d'équilibre instable. En effet, si on donne un petit déplacement à la droite AtBi , et qu'on l'aban donne ensuite , le poids de cette droite tendra à la ramener à sa position d'é quilibre, tandis que si l'on opère de même sur la droite A't B'( , le poids de la droite tendrait au contraire à l'écarter de sa position première. En général, l'équilibre stable correspond à la position qui rend le centre de gravité le plus bas possible. L'équilibre est instable, au contraire, si le centre de gravité est situé le plus haut possible, comme au point N. Il 

est également instable si la trajectoire PQ du centre de gravité présente dans le sens vertical une inflexion au point 11 où la tangente IIK est horizontale ; car de quelque côté qu'on déplace le système, ou bien il tend à s'écarter . de sa position d'équilibre, ou bien il tendra à y revenir, mais pour la dépasser et s'en écarter de plus en plus ensuite. 

Enlin, il y a un cas singulier très-remarquable, c'est celui où la trajectoire du centre de gravité est contenue dans un plan horizontal. Dans ce cas, l'équilibre est possible dans 

toutes les positions du système, et on dit qu'il est indiffèrent. 11 en est de même lorsque le centre de gravité est immobile. 

180. Pour achever la solution du problème que nous avons pris pour exemple, proposons-nous de trouver les réactions des droites fixes 0 A, OB, qui concourent avec le poids de la barre AB à tenir cetie barre en équilibre dans la position A(B). 

Le poids de cette barre peut être considéré comme appliqué en son milieu M; il agit suivant la verticale MP, prolongement de OM ; on peut d'ailleurs le représenter par la longueur A,B| de la barre, en prenant l'échelle des forces en conséquence. Les réactions des points A( et Bi sont normales à 0 A) , OB, , et contenues dans le plan vertical de la figure ; leurs directions se coupent donc au centre instantané de rotation P, de la droite A|B|, et ce point est situé sur la droite OM prolongée, puisque cette droite est normale à la trajectoire du point M. On peut donc regarder le poids de la barre comme appliqué au point P, et le décomposer en deux forces, suivant les directions PA( etPBi ; les composantes seront les réactions cherchées. Si l'on représente le poids de la barre par sa longueur A|B| = OP, la réaction du point A i sera représentée par la longueur PAi = OB, , et la réaction du point Bi sera de même représentée par la longueur O A ,. 

CONDITIONS D ÉQUILIBRE D UN SYSTÈME PESANT A LIAISONS NON COMPLÈTES. 

481. Lorsqu'un système pesant n'est pas à liaisons complètes il est possible que les liaisons soient suffisantes pour assujettir le centre de gravité de ce système à parcourir une surface fixe, S, quels que soient les déplacements, compatibles avec les liaisons, qu'on attribue aux points composant le système donné. Dans ce cas, le théorème du travail virtuel joint au théorème du travail de la pesanteur, indique encore les conditions d'équilibre ; il faut et il suffit que pour tous 

les déplacements virtuels imprimés au système à partir de sa position d'équilibre, le travail de la pesanteur soit nul, c'est-à-dire que le déplacement correspondant du centre de gravité sur la surface S soit horizontal, c'est-à-dire enfin, que le centre de gravité du système occupe un point P de la surface S où le plan tangent soit horizontal. L'équilibre peut d'ailleurs être stable, ou instable, ow conditionnel-, il sera conditionnel si la forme de la surface S aux environs du point P est telle que certains déplacements du système ■ fassent naître une tendance constante du système vers sa position d'équilibre, tandis que d'autres déplacements développent la tendance du corps à s'en écarter indéfiniment. La dynamique seule permet de distinguer ces divers caractères. 

On peut admettre, du moins comme règle générale, que l'équilibre du système est stable quand son centre de gravité est aux points les plus bas de la surface S. 

L'équilibre est indiffèrent si la surface S se réduit à un plan horizontal ; alors l'équilibre du système est assuré dans toutes ses positions. 

APPLICATION A UN SYSTÈME SOLIDE PESANT 

' 182. Pour que le centre de gravité du solide que nous considérons soit assujetti à se mouvoir sur une surface fixe, ' il faut et il suffit que quatre points du solide, À, B, C, D, soient assujettis à parcourir des surfaces données, que nous désignerons par les lettres (a), (p), {-() et (S), et sur lesquelles les points seront supposés glisser sans frottement. Si, en effet, on prend arbitrairement un point a de la surface (a) pour y placer le point A, les points B, C et D se trouveront sur les lignes d'intersection respectives des surfaces (p), (Y), (S), avec les sphères décrites du point a comme centre avec les distances AB, AC, AD pour rayons. La position du système solide pourra donc être considérée comme définie par le mouvement du triangle invariable BCD dont les sommets B, C et D glisseraient sur ces trois lignes d'intersection ; / dans ce mouvement, le quatrième point A décrirait une 

DONT LES POINTS GLISSENT SUR DES SURFACES. 249 

ligne qui passerait au pointa; la position du tétraèdre ABCD, et par suite la position du solide invariable, est déterminée dès qu'on connaît la position a de l'un de ses sommets, A, sur l'une (a) des surfaces directrices. 

La position correspondante g du centre de gravité G du système est donc aussi définie dès qu'on donne la position a de l'un des sommets A; et en faisant varier la position du sommet A sur la surface (a), on obtiendra pour le lieu du point G une surface que nous appellerons la surface S. 

L'équilibre du corps correspondra à la position dans laquelle le centre de gravité G occupe sur la surface S un plan où le point tangent est horizontal. 

Soit G ce point, GP la direction de la pesanteur, qui est normale en G à la surface S. Soient A. B, C. D les positions correspondantes des sommets du tétraèdre ABCD, et AN, BN', CN", DN'" les directions des normales menées en ces points aux surfaces (a), (p), (y), et (S). Les réactions des surfaces seront dirigées suivant ces normales dont la position est entièrement déterminée. On obtiendra donc les valeurs des réactions en décomposant la force P, donnée de grandeur et de position, suivant les quatre directions données, AN, BN', CN", DN'". 

Pour cela, menons une droite L, qui rencontre à la fois trois de ces directions, sans rencontrer la quatrième, DN'"; puis prenons les moments des forces par rapport à l'axe L. Les réactions des points A, B, C, rencontrant l'axe, ont des moments nuls. Donc les moments des forces P et N'" sont égaux en valeur absolue et désignés contraires. Connaissant le moment de P par rapport à la droite L, on déduira de cette relation la valeur de la force inconnue N'". On obtiendrait les valeurs des autres réactions N, N", N", par un procédé analogue. 

183. Étant données trois droites, AN, BN', CN", qui ne se trouvent pas deux à deux dans un même plan, on peut mener une infinité de droites, L, qui les rencontrent toutes les trois; il suffit en effet de faire glisser la droite L sur les trois directrices AN, BN', CN'1 ; elle engendre dans ce mouvement une surface du second degré, appelée Y hyperboloïde à une nappe. La quatrième droite, DN'", à moins qu'elle ne soit tout entière située sur cette surface, ne peut la rencontrer en plus de deux points; soient Dr, D" ces deux points, et X, X' les positions correspondantes de la génératrice L. Si l'on prend les moments des forces P, N, N', N", N'" par rapport à la ligne X, ou à la ligne X', les moments des forces N, N', N", N'" seront nuls puisque les directions des forces rencontrent l'axe. Donc il en est de même du moment de la cinquième force P; et par suite, la direction PG rencontre aussi les deux droites X et X'. 

184, De là résulte un fort beau théorème de cinématique, dû à M. Mannheim, et démontré par lui au moyen de considérations différentes. 

Les quatre points A, B, C, D d'un corps solide sont assujettis à se mouvoir sur des surfaces fixes (a), (pj), (-)•), (S) ; le lieu d'un point \ quelconque E du solide est alors une cinquième surface déterminée (e). Considérons les normales A A', BB', CC', DD', EE' menées à ces cinq surfaces par les positions occupées simultanément par les points ■ A, B, C, D, E. Les deux droites! et X', qui rencontrent les quatre premières normales, rencontreront aussi la cinquième. 

Nous pouvons regarder les quatre surfaces données comme des surfaces directrices matérielles sans frottement, et la cinquième (E), 

comme un lieu géométrique. En vertu du théorème du travail virtuel, le système sera en équilibre dans la position qu'on lui attribue si nouslui appliquons, au point E, une force normale à la surface (E) ; la force F est alors tenue en équilibre par les réactions normales des surfaces données Donc la somme des moments de la force F et des quatre réactions est égale à zéro par rapport à un axe quelconque et si l'on prend pour axe la ligne X, ou la ligne X', pour 

lesquelles les moments des réactions sont nuls, le moment de la force F sera également nul pour toutes deux, et par suite la direction EE' de cette force rencontre à la fois les droites X et X'. 

Connaissant les normales en A, B, C, D aux quatre surfaces ■ directrices, on aura la normale à la surface décrite par un cinquième point E, en menant par ce point une droite EE', qui rencontre les deux droites X et x'. 

18o. Balance à fléau (iïg. 174). —La balance à fléau, ou balance ordinaire, se compose essentiellement (fig. 175) d'une tige pesante ÀB, symétrique par rapport au plan moyen Cl) ; elle est mobile autour d'un axe horizontal H, situé 

dans le plan moyen CD ; pour obtenir celte mobilité, il suffit de faire passer à travers le fléau un prisme triangulaire ou couteau 11, qui repose par son arête inférieure, de chaque côté du ileau, sur un plan d'agatlie bien poli et 

dressé horizontalement. Cette arête est ce qu on appelle l'axe de suspension du fléau. Aux deux extrémités de la même pièce, on place, le dos en bas et le tranchant en dessus, deux autres couteaux E et F, dont les tranchants sont parallèles à l'axe projeté en II ; a | n ce sont les axes de sus— 

~ ; F lesquels on fait les pesées 

pesées s'arrange pour Flg- 175- que les trois points E, H 

et F soient rigoureusement en ligne droite , et que le point H soit le milieu de la distance E F. Enfin, le centre de gravité G du fléau doit être situé, dans le plan de symétrie CD au-dessous du point H, et non au-dessus. Dans ces conditions, le fléau est en équilibre dans la position horizontale. 

L'addition des deux plateaux que l'on suspend aux points E et F, et qui ont des poids égaux ne trouble pas cet équilibre L'équilibre du fléau est encore conservé si l'on charge les plateaux de poids égaux. On a alors en effet deux forces égales, verticales, appliquées l'une en E, l'autre en F, puis le poids du fléau, appliqué en G ; ces forces sont tenues en équilibre par une force unique, verticale appliquée en II, et 

fournie par la réaction du plan d'appui. 

Si au contraire, on met dans l'un des plateaux un poids P, et dans l'autre un poids P -}- p, l'équilibre ne peut subsister dans la position horizontale, car la résultante des forces parallèles inégales, appliquées en E et en F, ne passe plus par le milieu II de la distance des points d'application. 

Pour chercher la position d'équilibre, appelons a la distance HE = IIF, et b la distance IIG ; Q, le poids de chacun . des plateaux, y compris les chaînes et le crochet de suspen-0+r 

sion, enfin g le poids du fléau. Supposons que le fléau ait pris la position d'équilibre EF, dans laquelle il fait un angle avec l'horizon. Le point G est sorti du plan vertical 11' conduit par l'axe H ; les forces qui agissent sur le plan sont la force Q + P -f- p , appliquée au point E suivant la verticale, la force Q -j- P, appliquée au point F, le poids du fléau q, appliqué en G, et enfin la réaction du plan d'agathe, appliquée en H. Toutes ces forces sont verticales ; elles se font équilibre et par conséquent, la réaction de l'appui est égale à la somme des poids, on a 

Pour trouver la condition d'équilibre qui définit la position du fléau, appliquons le théorème des moments pris par rapport à l'axe projeté en II. Il viendra : 

Mais la ligne EF étant droite, et le point H en étant le milieu , on a Ff=Ee; l'équation précédente se réduit donc à 

Or les triangles EeH, GIIg sont rectangles en e et en g, et ont de plus les angles HEe, GH# égaux ; ils sont donc semblables et donnent la proportion : 

Divisant membre à membre ces deux équations, il vient : 

121 — — l) II e~p*a 

Ce rapport définit l'angle Elle que doit faire le iléau avec la verticale, car il permet de construire un triangle rectangle semblable au triangle EeH. 

On voit que pour un môme poids p, l'angle Elle sera d'au tant plus petit que le rapport b sera plus petit ; l'inclinaison prise par le fléau est donc d'autant plus grande, pour une même différence entre les poids placés dans les deux plateaux que le centre de gravité du iléau est plus voisin de l'axe autour duquel il oscille ; et par suite, la sensibilité de la balance croit à mesure que cette distance diminue ; car la différence des poids s'accuse par l'inclinaison plus ou moins grande que prend le fléau. Aussi, pour faire varier à volonté 

la sensibilité d'une balance, on place souvent sur le fléau, au-dessus du point H, une tige filetée le long de laquelle on peut faire mouvoir un écrou pesant, E, dont le poids s'a joute au poids q du iléau. En faisant monter cet écrou, on rapproche du point II le centre de gravité G du système. On l'en éloigne au contraire en faisant descendre l'écrou. 

186. Mais, si l'on augmente la sensibilité de la balance en diminuant la distance G H, il ne faut pas oublier qu'il y aurait un grave inconvénient à rendre cette distance tout à fait nulle ; si en effet, b était égal à zéro, l'équation (2) donnerait Ee=o, pour la position d'équilibre; le fléau EF devrait donc prendre une position verticale, c'est-à-dire qu'il chavirerait sous l'influence d'une erreur de pesée p, si petite qu'elle fût. La sensibilité de l'appareil serait infinie, mais l'appareil ne pourrait plus servir à rien, car c'est l'in clinaison variable que prend le fléau à mesure que l'excès de poids p varie lui-même, qui guide dans l'opération de la pesée : tandis que le fléau suspendu par son centre de gravité G, forme un système en équilibre indifférent sous l'ac tion de poids égaux placés dans les deux bassins (§ 179), le centre de gravité G restant immobile dans toutes les positions successives de l'appareil. Il faut donc, pour que 

la balance soit utile, que le centre de gravité G soit au-dessous du centre d'oscillation du fléau, d'une quantité qu'on règle suivant le degré d'exactitude qu'on veut apporter aux pesées. 

On voit aussi que si l'on suspendait le lléau au-dessous de son centre de gravité, le lléau serait dans un état d'équilibre instable ; car le poids q du lléau contribuerait à accroître, et non à limiter, l'inclinaison prise par le lléau sous l'action de l'excès de poids p. On dit alors que la balance est folle. 

Nous avons supposé les trois points E, H, F en ligne droite, et le point II au milieu de la distance EF. C'est sur ces deux suppositions qu'est fondée la réduction de l'équa tion (1). On pourrait faire des pesées avec une balance où les trois points E, II, F ne seraient pas en ligne droite; mais cette disposition serait nuisible à la sensibilité de l'ap pareil. D'un autre côté, si les bras HE, IIF étaient inégaux, les poids placés dans les deux plateaux, au lieu d'être égaux pour l'équilibre, devraient être dans le rapport inverse des bras auxquels ils sont appliqués. Nous décrirons tout à l'heure des appareils fondés sur ce principe et destinés à peser de lourds fardeaux avec des poids beaucoup plus petits. 

MANIÈRE 1IE FAI HE LES PESEES AVEC LA BALANCE ORDINAIRE. 

187. On met dans un des bassins la matière dont on veut évaluer le poids. Le fléau s'incline aussitôt et vient reposer sur l'un des deux arrêts destinés à limiter sa course. Une aiguille, attachée au centre du fléau, abandonne la verticale et prend une position inclinée ; son extrémité s'arrête en un point d'un arc gradué fixé sur le pied de l'instrument. 

On charge alors graduellement de poids le second bassin, jusqu'à ce qu'il enlèoe le premier, c'est-à-dire jusqu'à ce qu'il détache le fléau de l'arrêt sur lequel il a trouvé un appui. Le fléau se met à osciller autour de chacune des positions d'é quilibre qu'il tend successivement à prendre, et que modifie l'addition d'un nouveau poids sur le plateau. Ces oscillations sont 

assez lentes en général, et elles s'éteignent vite; d'ailleurs, on a à peu près la position d'équilibre du fléau, à un instant quelconque, en attribuant à l'aiguille la position moyenne entre les extrémités de sa course, observées le long de l'arc gradué. La pesée est terminée, par conséquent, quand la position moyenne de l'aiguille coïncide avec la verticale ou avec le zéro de la graduation. Mais pour faire des pesées exactes, on doit attendre que les oscillations soient éteintes, et éviter à la balance les trépidations, les , courants d'air, les oscillations des plateaux, qui peuvent fausser les résultats. Enfin, le résultat de l'opération doit parfois être corrigé de la poussée de l'air, qui s'exerce inégalement sur le corps à peser et sur les poids qui lui font équilibre. 

188. La double pesée, imaginée par Borda, a pour objet d'éliminer les petites erreurs dues aux vices de construction de l'appareil. Si la balance était parfaite, on n'altérerait pas l'équilibre en changeant les charges de plateaux. Supposons que cette vérification ne réussisse pas avec une entière exactitude. Une quantité de matière dont on cherche le poids x, placée dans le plateau de droite de la balance, est équilibrée par un poids P, placé dans le plateau de gauche; la même matière, placée dans le plateau de gauche, sera équilibrée par un autre poids P', peu différent de P. Cela indique que les distances HE, H F, ne sont pas rigoureusement égales. On aura donc pour le premier équilibre : 

Divisant membre à membre, il vient : 

. Le poids cherché est une moyenne proportionnelle entre les deux poids trouvés. Ces poids étant très-peu différents si la balance est bien construite, on peut substituer sans erreur leur 

moyenne arithmétique, —^—, à leur moyenne proportionnelle. 

189. Les boites à poids qui sont jointes aux balances doivent contenir tous les poids nécessaires pour faire le genre de pesées auxquelles la balance est destinée. Si par exemple il s'agit d'une balance de précision employée par un chimiste, le minimum du poids à employer sera un milligramme, et le maximum pourra ne pas dépasser 500 grammes. La boîte devra fournir par conséquent tous les multiples d'un milligramme, depuis 1 jusqu'à 300,000, pour évaluer un poids à i milligramme près. Dans le commerce de détail, le minimum du poids à mesurer est en général le gramme, et le maximum peut atteindre 10 kilogrammes ; la boîte devra contenir assez de poids pour évaluer de 1 à 10,000 grammes, et les pesées se feront à un gramme près. 

190. La composition d'une boîte à poids est possible de plusieurs manières. On peut par exemple introduire dans la boite le plus petit poids à employer, puis un poids double, un poids quadruple un poids huit fois plus grand, seize fois et ainsi de suite, suivant les puissances du nombre 2. Tout nombre entier étant une somme de puissances de 2 , on pourra avec ces poids former tout multiple du poids le plus petit, inférieur à la puissance de 2 avant laquelle on s'arrête. Par exemple, avec les poids 

1, 2, 4, 8, 16, 32 j 64, 128, 256, 512, 1024, 

on peut former un poids entier quelconque inférieur à 2,048 ; proposons-nous de former le poids 1529, qui n'excède pas cette limite. On divisera par 2 le nombre 1529, ce qui donne le reste 1 et le quotient 764 ; on divisera par 2 le quotient, ce qui donne le reste 0 et le quotient 382 ; et on continuera ainsi, jusqu'à ce que la division par 2 du quotient ne soit plus possible ; il vient en suivant cette marche la série d'égalités : 

382 = 2 X 191 + 0, 191 = 2 X 95-1-1, 

Multiplions la deuxième égalité par 2, la troisième par 4, la 

MÉCANIQUE ENS. SPÉCIAL, 3' ANN. >7 

258 . . BOITE A POIDS. 

quatrième par 8, la cinquième par 16, la sixième par 32, la septième par 64, la huitième par 128, la neuvième par 256 et la dixième par 512, et ajoutons ; il viendra en réduisant les termes communs aux deux membres de l'équation finale : 

1529 =1 + 0x2 + 0x4 + 1x8 + 1x 16 + 1x 32 

" Le poids 1529 se formera donc en réunissant les poids suivants : 

1, 8, 16, 32, 64, 128,: 256, 512, 1028. 

191. L'usage du système décimal a conduit à une composition déboîté à poids un peu différente : on trouve dans les boîtes destinées à peser de 1 à 9999 grammes : 

— de 2000 . — de 5000 

On formera un poids quelconque, 7892 grammes, de la manière suivante : 

Le poids de 5 kilogrammes Un des deux poids de 2 kil. 

Le poids de 100 ■ —• 

Le poids de 50 " —• 

500 j 200 | 800 100 ) 

192. La balance romaine (fig. 180) permet de faire des pesées avec un poids unique, mobile lelong d'un fléau gradué. 

Le fléau BC (fig. 178) est mobile autour d'un axe H, que l'on tient à la main, ou que l'on suspend à un point fixe, A. D'un côtéB, se trouve, à demeure, un crochet destiné à suspendre le corps dont on demande le poids Q. De l'autre, un poids P, accroché à un anneau, peut glisser le long de la tige graduée HC. Le centre de gravité du fléau et de tous les accessoires qui y sont attachés, se trouve, lorsque la barre BC est horizontale, 

en un point G situé sur u ^ i 

la verticale passant par le Flg" l<8' 

point H, et au-dessous de ce point. 

Lorsque l'équilibre est obtenu, et que la barre BC est horizontale, les forces P et Q, le poids q du fléau appliqué en G, et là tension T du lien ÀH qui suspend la balance, se font équilibre ; la tension T est donc verticale et égale à la somme P -(- Q -j- q de tous ces poids ; de plus, on a, en prenant les moments par rapport au point H : 

. Le poids P et la longueur BII sont des quantités constantes ; le poids cherché Q est donc proportionnel à la distance variable HD. En faisant sur la barre HC une graduation convenable, on pourra donc lire le poids cherché sur l'échelle. Pour opérer cette division de la droite HC, on mettra le zéro de l'échelle au point H ; puis on fera 

Q == 1 kilogramme; et l'équation (1) donnera la valeur correspondante de la distance HD, ou plutôt du rapport de HD à BH. Mais cette manière de procéder exige la connaissance du poids P. On évite la détermination préalable de ce poids, en cherchant empiriquement la position qu'il convient de lui donner pour équilibrer un poids Q déterminé, d'un kilogramme par exemple. On connaît alors deux points de l'échelle, et rien n'est plus simple que d'achever de la construire 

Si le centre de gravité G du fléau ne se trouvait pas sur la 

pareil pourrait encore servir à mesurer les poids, mais î il faudrait introduire un 

Flg- 179- nouveau terme dans l'équa 

tion (1), pour tenir compte du moment du poids q du fléau. On aurait 

Le terme q\ est constant; le second terme P X 

est proportionnel à HD. Le poids cherché est donc encore une fonction linéaire de la distance HD. La graduation de la barre se fera par les mêmes principes que tout à l'heure, mais le zéro de l'échelle ne sera pas au point H. 

On peut remarquer que la disposition qui amène le point G au-dessous du point H, augmente la sensibilité de l'appareil tout en assurant la. stabilité de son équilibre. On accroîtra encore la sensibilité de la balance, c'est-à-dire l'inclinaison prise par le fléau sous l'action d'une petite différence entre le poids cherché et le poids lu sur l'échelle, en rapprochant le point G du point H. 

Les romaines dont on se sert dans le commerce, ont en général deux crochets de suspension et deux graduations 

différentes qui correspondent chacune à un crochet, de sorte qu'on peut à volonté évaluer des poids plus petits ou des poids plus forts. 

193. La balance de Quintenz, est un appareil dans lequel le poids cherché est tenu en équilibre par un poids plus petit, '10 fois plus petit par exemple. Elle se compose d'une plate-forme mobile, qui peut monter et descendre sans cesser d'être horizontale, et qui est destinée à recevoir le corps dont on cherche le poids ; d'un plateau suspendu à la façon des bassins des balances ordinaires, et destiné à recevoir les poids ; enfin d'un système de deux leviers qui rattachent l'une à l'autre ces deux parties de la machine, et qui tournent autour d'axes fixes horizontaux et parallèles entre eux. Le système entier est 

à liaisons complétés ; un déplacement vertical infiniment petit communiqué à la plate-forme produit sur le plateau un déplacement vertical proportionnel. Soit donc P le poids déposé dans le plateau, qui équilibre le poids cherché, Q, posé sur la plate-forme. Si on imprime à la plate-forme suivant la verticale un déplacement virtuel infiniment petit, e, le plateau recevra un déplacement vertical en sens inverse, E', et l'on aura pour l'équilibre l'équation du travail virtuel : 

De sorte que le poids cherché, Q, sera égal à la fraction ^ du poids connu, P, qui lui fait équilibre. Il reste donc à évaluer le rapport 

Yoici la disposition de l'appareil, que nous représentons coupé longitudinalement par un plan perpendiculaire aux axes de rotation des leviers mobiles. 

LD est la plate-forme et R le plateau ; C A est le premier levier, mobile autour de l'axe H. et FE le second levier, mobile 

autour de l'axe F. Le plateau R est suspendu au point A du ' levier AC. La plate-forme est soutenue par deux points D et M ; l'un de ces points, D. est réuni au premier levier par une tige verticale rigide, articulée en D et en B. L'autre repose 

£n un point G du second levier, par une arête de contact, normale au plan delà figure. Enfin une tige rigide, verticale, articulée en E et en C, rattache l'un des deux leviers à l'autre. . Supposons que l'équilibre soit établi entre les poids P et Q, et que dans cette position les deux leviers ÀC, FE soient horizontaux. Imprimons à la plate-forme, suivant la verticale, un déplacement infiniment petit E, que nous supposerons s'effectuer de haut en bas. Pour cela, il faut que tous les points de la plate-forme descendent à la fois de quantités égales. Il faut donc que les points D et M s'abaissent ensemble de la même quantité, ce qui impose une condition à la construction de l'appareil. En effet le point D s'abaissant de la quantité s, le point B, lié invariablement au point D par la tige rigide BD, s'abaisse de la même quantité ; le point M s'abaissant de E, communique ce même abaissement au point G du levier FE; le levier va donc tourner autour du point fixe F, et l'abaissement s de son point G entraînera FE 

un abaissement E X pg de son extrémité E. Cet abaissement se transmet intégralement au point C du levier CH, par l'intermédiaire de la tige rigide CE ; les points B et C du même 

levier CH s'abaissent à la fois de quantités E et e X ]f(J ! 

ces deux abaissements simultanés sont donc proportionnels aux distances BII, Cil au point fixe H, et par suite la construction de la balance doit satisfaire à la relation 

Lorsque cette condition est remplie, les abaissements simultanés des points D et M de la plate-forme sont égaux, et par suite les déplacements de la plate-forme à partir de sa position d'équilibre se réduisent à une translation verticale. 

Le poids Q s'abaissant verticalement de la quantité e, produit un travail positif Qs. Mais le poids P monte en même temps d'une quantité s' qu'il est facile de calculer, car c'est la quantité dont s'élève le point A quand le point B du premier levier s'abaisse de E ; donc 

Le poids P produit donc un travail négatif égal en valeur absolue à Pe', et l'équilibre exige que l'on ait 

c'est-à-dire que tout se passe comme si le poids Q était tout entier suspendu au point B du levier. 

Si l'on veut équilibrer le poids Q avec un poids P dix fois moindre, il suffira donc de faire H A = IIB X 10. 

Au lieu d'un plateau R, suspendu en un point fixe A du premier levier, et chargé de poids variables, on pourrait n'employer qu'un poids unique, P qu'on déplacerait le long de la tige HA, comme on le fait pour la balance romaine ; on peut aussi adopter une combinaison de ces deux procédés. 

La stabilité et la sensibilité de l'appareil exigent encore que lorsque le levier CA est horizontal, son centre de gravité soit situé sur la verticale passant par le point H, à peu de distance au-dessous de ce point. 

Le déplacement vertical de la plate-forme L D rend indif— ' férente à l'équilibre la position du poids Q sur cette plateforme 

Dans la balance telle qu'on s'en sert, on ajoute à l'appa 

reil que nous venons de décrire une poignée pour arrêter le mouvement quand la balance ne doit pas fonctionner, et 

un repère n, n', qui permette de juger de 1 horizontalité du levier CA. La figure 182 représente l'appareil ainsi complété. 

494. Nous venons de traiter au moyen du théorème du travail virtuel la question de l'équilibre de la balance de Quintenz. Nous allons traiter la même question par les décompositions de force ; nous retrouverons les conditions trouvées, et de plus, nous déterminerons les tensions des tiges C E, B D, et les réactions des points fixes F et H. 

Le poids Q du fardeau à peser est applique en son centre de gravité g ; décomposons-le en deux forces parallèles, 

q et q', appliquées l'une en M, l'autre en D. La première q 

La force q se transmet au point G du second levier, qui est par suite en équilibre sous l'action de cette force q, de la tension T de la tige CE, et de la réaction R du point F. Donc la réaction du point F est verticale, et égale en grandeur et en signe h q — T ; et la tension T sera donnée par l'équation des moments, pris par rapport au point F : 

• La force q' se transmet directement à la tige DC, et est égale à la tension de cette tige. 

Donc le levier A C est sollicité par les forces q', appliquée en B,.T appliquée en C, P appliquée en A, et enfin, par la réaction R' du point H on a donc 

équation qui donne .le rapport de Q à P. Les équations précédentes font connaître les tensions des tiges, et les charges R et R' des points fixes. L'équation (3) est plus générale que l'équation (2). On remarquera en effet qu'elle contient les quantités MI, 1D, qui définissent la position du centre de gravité du fardeau sur la plate-forme, et que, par contre, nous n'avons nulle part rencontré dans cette analyse la condition exprimée par l'équation (1). Effectivement, l'é ' quation (1) exprime que le seul mouvement possible de la plate-forme est une translation verticale, et nous savons que ce mouvement rend indifférente à l'équilibre la position donnée au fardeau. Si nous tenons compte de l'équation (1), les quantités MI,DI doivent donc disparaître de l'équa tion (3). En effet, l'équation (l)nous montre que les produits R1I X EF, Ff» X GII sont égaux entre eux; on peut donc remplacer la fraction 

laquelle se réduit à BII, en supprimant le facteur commun EF, et en observant que MI + D1 = MD. L'équation (3) devient alors 

qui n'est autre que l'équation (2). , , . . 

Les changements de position du fardeau Q ne modifient pas l'équilibre une fois établi quand la condition (1) est satisfaite ; mais ils ont une influence sur les efforts intérieurs développés dans les tiges BD, et CE ; si on rapproche par exemple le fardeau du point D, on augmente la tension q' de la tige BD. on diminue la charge q du point G, et par suite on diminue la tension T de la tige B E. On peut par exemple placer le fardeau de telle sorte que les tensions T et q' soient égales ; il suffit pour cela qu'on ait la relation 

D'où l'on tire, en supprimant les facteurs communs, 

Plus on rapproche du point M le centre de gravité du fardeau g, plus on augmente q, plus on diminue T, et par suite plus la charge, R —T, du point fixe F augmente. Quant à la charge R' du point fixe H, elle est égale à 

à mesure qu'on rapproche le fardeau du point M, q' diminue et T augmente, et l'on ne voit pas tout de suite si la somme P 4" Q' + T varie ni dans quel sens. Or cette somme est constante si la condition (1) est remplie ; car nous avons vu que tout se passe alors comme si le fardeau Q était tout entier suspendu au point C ; dans ce cas, la charge du point A est donc constante et égale à P -j- Q, quelle que soit la position du fardeau. 

195. La balance de Roberval, réduite à ses parties essentielles se compose d'un paraléllogramme articulé À B CD, dont les côtés AD, BC sont verticaux, et dont les côtés AB 

et CD sont libres de tourner autour de deux points fixes 0 et 0', placés aussi sur une verticale. Dans la déformation de la figure, les droites AD et B G restent parallèles à la droite fixe 00'. 

En des points M et N, pris arbitrairement sur les côtés verticaux AD, BE, on attache à ces côtés des bras horizontaux ME, NF, auxquels on suspend, en des points 

conques I et R, des poids P et Q. On demande la condition d'équilibre du, système occupant la situation que nous lui avons attribuée dans la figure. 

Appliquons le théorème du travail virtuel. Imprimons au parallélogramme une déformation infiniment petite ; cette déformation s'opérera en faisant tourner d'un même angle infiniment petit AOA', DO'D', les droites AB, DC, autour des points 0 et 0', et en déplaçant parallèlement à elles-mêmes les droites AD, BC, qui entraînent dans ce déplacement les poids P et Q. La quantité e = I i dont descend verticalement le poids P dans ce mouvement de translation est égale à la projection, ka, sur la verticale, du chemin A A' décrit par l'extrémité A de la droite AB ; de même la quantité e' = R'r dont s'élève verticalement le.poids Q, est égale à la projection verticale, B 'b, du chemin BB' décrit par le point B. Or les chemins A A', BB' décrits simultanément par 

les points À et B de la droite AB, mobile autour de l'axe projeté en 0, sont proportionnels aux distances AO, BO ; d'ailleurs, ils font des angles égaux avec la verticalê, et par suite, leurs projections sur cette direction leur sont proportionnelles ; on a donc en définitive 

Mais le théorème du travail virtuel donne pour équation d'équilibre 

Donc enfin, éliminant les quantités auxiliaires e, E', on obtient pour condition d'équilibre l'équation 

Cette relation ne renferme que le rapport JJQ- des segments dans lesquels le côté AB est divisé. Par conséquent, si les poids P et Q satisfont à la condition qu'elle exprime, l'équilibre subsistera quelle que soit la forme qu'on donne au parallélogramme articulé, quels que soient les points M et N auxquels on implante les bras sur les côtés verticaux, quels que soient enfin les points I et N auxquels on suspende à ces bras les poids P et Q. 

L'équilibre est donc indifférent, puisqu'il subsiste dans toutes les positions de la figure mobile. On peut observer que le centre de gravité des poids P et Q ne change pas de hauteur par suite de la déformation du parallélogramme, et qu'il ne change pas de hauteur non plus quand on déplace , les poids P et Q le long des droites horizontales ME, NF. 

496. Nous traiterons aussi cette question par la méthode de la composition des forces. L'emploi des couples rend les ' opération^ faciles. Nous considérerons séparément l'équilibre des quatre côtés du parallélogramme, en remplaçant les articulations par les forces équivalentes. r 

Au point M, appliquons deux forces verticales, en sens contraire l'une de l'autre, et toutes deux égales à P. Nous pouvons substituer à la force P, agissant en I sur le système rigide formée des barres IM et AD, une force P, égalé et parallèle agissant en M, et un couple (P, — P) dont le moment est égal à P X IM. et qui tend à faire tourner de 

droite à gauche son bras de levier IM. Ce couple et cette force sont équilibrés par les actions exercées par les barres AB, DC sur les points A et D du même système. Nous pouvons décomposer chacune de ces réactions en deux forces, l'une, X et X', dirigée suivant le côté AD, l'autre, Y et Y', dans les directions parallèles AO, DO'. Les deux composantes X et X' appliquées en A et D dans la direction du côté AD, se composent en une seule, X'-j-X', qui équilibre la force P j et les composantes Y, Y', parallèles, formeront un éouple qui doit tenir en équilibre le couple P, — P. Donc Y = Y' et de plus les moments des deux couples devant être égaux, on a, en abaissant du point 0 une perpendiculaire OS sur le côté CD, l'équation ' - 

qui détermine Y. - - 1 , . 

On connaît donc les composantes Y, Y', des actions exercées par les barres AO, DO' sur le côté vertical AD et la somme X -f- X' des composantes verticales des mêmes actions. 

On peut opérer de même pour le poids Q ; on trouvera la somme X" -f- X'" = Q des composantes verticales des actions des barres obliques sur les barres verticales, et les composantes égales et contraires, Z, Z', exercées dans les directions des côtés obliques, et données par l'équation des couples ou des moments : 

Considérons maintenant l'équilibre de la pièce AB, sous l'ac tion des forces X, Y, X". Z, changées de sens, et l'équilibre de la pièce DC sous l'action des forces X', Y', X'", Z', également changées de sens. Pour la première, les deux forces Z et Y, agissant dans la direction du pointiixe 0. sont détruites par la fixité du point, sur lequel elles exercent une pression Z — Y, dans la direction du côté AB. Les forces X et X", parallèles, doivent se composer en une seule, appliquée au point 0. Donc elles exercent sur le point 0, parallèlement aux côtés verticaux, une action égale à X -j- X", et de plus on a entre elles la relation 

C'est la condition d'équilibre de la pièce AB. 

De même, la seconde pièce D C est en équilibre si l'on a 

et le point 0 est alors sollicité, suivant le côté DC, par une force Z — Y, et suivant la verticale, par une force X'-f-X'". 

On a donc à la fois les quatre équations : 

XXDO'=X"'XCO', ou bien X'XAO = X'"XCO, 

Ajoutant la deuxième et la quatrième, il vient (X4-X'jxA0 = (X"+X"')xC0,. 

condition d'équilibre qui doit être remplie pour que les quatre équations soient compatibles. Ces équations ne sont donc pas distinctes, et ne peuvent servir à déterminer entièrement les inconnues ; l'une d'elles reste arbitraire. La statique seule ne permet pas en effet d'opérer le partage de la force P entre les deux points À et D ; ce partage, ainsi que celui de la force Q entre les deux points B et C, dépend de la flexibilité plus ou moins grande des barres ÀB, CD, et doit l'ester inconnu tant qu'on ne fait pas intervenir la loi de la flexion de ces pièces. 

Le déplacement des poids P et Q, et la déformation du parallélogramme, s'ils 11e produisent aucune altération de l'équilibre une fois obtenu, modifient du moins les efforts développés dans les barres ÀB, CD et les réactions des points fixes 0 et 0'. 

197, Dans la balance de Roberval ordinaire, employée aujourd'hui sur presque tous les comptoirs, on prend les points 0 et 0' au milieu des côtés ÀB, CD, et au lieu de suspendre les poids P et Q à des bras ME, NE, on les place dans des plateaux faisant corps avec les tiges verticales Al) et BC. L'équilibre exige alors l'égalité des poids P et Q. 

L'appareil ainsi construit serait un appareil indifférent; pour lui donner la sensibilité qui lui est nécessaire (f 485), on fait en sorte que le centre de gravité des fléaux ÀB, CD, placés horizontalement, soit situé dans chacun, sur la verticale des points 0 et 0', et un peu au-dessous de ces points. Alors le poids des fléaux tend à les ramener dans la position horizontale s'ils s'en écartent, et à limiter la déformation prise par le parallélogramme sous l'action de poids inégaux placés dans les deux plateaux. On a soin aussi de réduire autant que possible les frottements dans les quatre articulations parallélogramme, et aux points fixes 0 et 0'; on 

y parvient en substituant des arêtes vives aux axes de rotation Les figures suivantes représentent, ce mode d'assem blage, lequel n'est admissible que lorsque les charges sont très-limitées. La ligure 489 représente la balance complète. 

Détails de l'articulation A'. Pièce 0rAf. Pièce AÀ'. 

198. Pont-levis à flèche. — Le pont-levis à flèche se compose de deux parties : un. tablier OA, qui est mobile autour d'une charnière horizontale projetée en 0, et qui s'appuie à son autre extré-^ 

mité A sur une feuillure C, pratiquée dans le couronnement du mur M ; 

Et une flèche BD, mobile autour d'un axe fixe projeté en 0', parallèle à la charnière 0 ; cette flèche porte un contre-poids Q, dont nous déterminerons plus loin le poids et la position. 

La flèche est réunie au tablier au moyen d'une double chaîne projetée en AB; on dispose les points d'at tache, A et B, de cette chaîne, de manière que les droites OA, O'B soient égales et parallèles ; la chaîne a alors une longueur AB égale à la distance 00' des centres de rotation des deux parties mobiles, de sorte que dans toutes les positions qu'elle prend quand on relève le tablier, la figure OO'BA reste un parallélogramme. 

On peut placer le contre-poids de manière que le centre de gravité de tout le système soit immobile, et que par suite le pont-levis soit en équilibre dans toutes ses positions. 

Soit G le centre de gravité du tablier, y compris la moitié inférieure des deux chaînes projetées en AB, et soit P le poids de cette partie du système. Soit de même G' le centre de gravité de la flèche, y compris le contre-poids Q et la moitié supérieure des deux chaînes; soit P' le poids correspondant. 

Supposons que nous ayons donné au contre-poids Q un poids et une position tels que le centre de gravité G' de la flèche soit situé sur une droite 0'G' parallèle à OG, et qu'en outre on ait la proportion 

Joignons G G', et soit K le point où cette droite coupe la droite 00'. Les triangles GKO, G'KO' sont semblables, et resteront semblables dans toutes les positions du système ; ils donnent la proportion 

et par suite le point K est le centre de gravité du système total composé des poids P etP'. Ce point K est d'ailleurs immobile, car les mêmes triangles donnent la proportion 

rapport constant qui définit un seul point K sur la droite 00'. Le centre de gravité général est donc immobile, et l'équilibre de l'appareil est indifférent. 

199. Nous avons supposé que le poids Q satisfaisait à certaines conditions. 11 est facile de voir comment elles pourront être remplies. 

Nous voulons, par exemple, que le centre de gravité G' de , l'ensemble de la flèche et du contrepoids 

contrepoids un point défini, G', de la ' droite O'G' menée parallèlement à OG. Soit g le centre de gravité de . la flèche prise seule, abstraction faite du contre-poids ; soit p son poids. Joignons gG' ; le centre de gravité g' du contre-poids Q sera situé en un point du prolongement de cette droite. Déplus, nous 

savons que P' doit être égal à P X QTÇ, ; ce qui définit le poids P' 

Mais p + Q =. P' ; donc Q = P' — p ; connaissant Q, on déterminera la position du point g' par l'équation 

où tout est connu, excepté g'G'. On saura donc ce que doit peser le contre-poids, et en quel point doit être situé son centre de gravité, ce qui suffit pour régler l'appareil. ' , . , 

; 200. On peut se proposer de déterminer, dans une position quelconque de la figure, la tension dé la chaîne AB, et les charges des points fixes 0 et 0'. 

Pour y parvenir, considérons à part l'équilibre du tablier et de la flèche. 

Le tablier, dans la position OA, est en équilibre sous l'action de sort poids P, de la tension T, et de la réaction 0 de la charnière . ■ ' La tension T sera donnée par l'équation des moments autour de l'axe 0 : 

La charge R de l'axe 0 se déterminera ensuite en transportant au point 0, parallèlement à elles-mêmes, les forces P et T, 

La réaction de l'axe sur le tablier est la force —■ R, égale et contraire à l'action R du tablier sur sa charnière. 

L'équation des moments des forces appliquée à la flèche donnerait là même valeur T ; 

la charge de l'axe 0' s'obtien drait en appliquant au point 0 des forces T, et P',, égales et parallèles à la tension BT et H' 

au poids P'; eu qui donnerait / 

à la fois la pression R' de la ' 

flèche sur l'axe 0', et la réaction — R' de l'axe 0r sur la flèche. 

La force P fait équilibre aux deux forces — R et AT ; par conséquent , les trois directions OR, GP, AB concourent en un même point S. De même, les trois directions AB, G'P1 OR', concourent en un même point S'. 

- 201. On emploie aussi dans les places de guerre la disposition suivante, due à Bélidor; elle a l'avantage des upprimer la flèche,, dont les bras se dressent en l'air quand le pont est relevé, et sont exposés par là à être brisés parles projectiles ennemis. . : -, 

: Le tablier AO est équilibré dans toutes ses positions par un contre-poids cylindrique, E, qui roule sur une courbe FK; le tablier y est rattaché par une chaîne ABCE, qui passe sur une 

poulie 0'. La courbe FK doit être tracée de telle sorte que, dans toutes les positions de la figure, le centre de gravité du tablier et du contre-poids E soit situé sur un môme plan horizontal, XY. 

Soit G le centre de gravité du tablier; 

A, le point d'attache de la chaîne; 

E, la position correspondante du centre du rouleau, 

Nous négligerons le poids de la chaîne, qui est en général très-petit par rapport au poids du rouleau et du tablier. 

Le centre de gravité du système, dans la position représentée par la figure, est un point H, situé sur la droite GE, et défini par la proportion : 

Menons par ce point H l'horizontale XY. 

Donnons au tablier un déplacement angulaire quelconque, qui amènera le point G en G', et le point A en A'. La chaîne, qui avait la position ABCE, quitte cette position, pour en prendre une autre, A'B'C'E', composée, comme la première, de trois parties : 1" une partie rectiligne A'B', menée du point A' tangentiellement à la poulie 0' : celle-là a une longueur bien déterminée ; 2° une partie circulaire, appliquée à partir du point B' sur le pourtour de la poulie; 3° enfin une seconde partie rectiligne qui 

se détache tangentiellement à la poulie. L ensemble de ces deux dernières parties a une longueur connue d'avance, égale à la longueur L de la chaîne, diminuée de la première partie, A'B' ; mais on ne connaît pas le partage de cette longueur totale, L—A'B', entre les deux parties qui la composent. L'extrémité de la chaîne, quand on fait varier la longueur de l'arc embrassé sur la poulie, décrit une courbe MN qu'on peut tracer, et qui est une développante du cercle 0'. Il reste à déterminer le point E' de cette courbe où l'on doit placer l'extrémité de la chaîne, ou le centre du rouleau. Nous ferons usage pour cela de là condition relative au centre de gravité. Au point G', connu de position, nous avons un poids P appliqué; au point E', encore inconnu, nous avons un poids Pr. Enfin, le centre de gravité H' de ces deux poids doit être situé sur la droite donnée XY. Nous avons donc la proportion . . " . 

P -j- P' — E'H' + G'H' E'G'- 

Le point E' appartient, donc à une droite X'Y', parallèle à X Y, et construite en amplifiant les distances des points de XY au 

point G', dans le rapport connu g-q-p;. 

Le point E' cherché est l'intersection de cette droite X' Y' avec la développante dé cercle, 51N. 

On pourra construire ainsi par points la courbe LR, qu'on doit faire suivre au centre du rouleau. On en déduira la courbe FK sur laquelle le contre-poids doit rouler, en traçant une courbe parallèle à LR, à une distance égale au rayon du contre-poids. 

La tension T de la chaîne, dans une position quelconque AB, se déterminera en prenant les moments par rapport au point 0 : 

.01 et 01' étant les perpendiculaires abaissées du point 0-sur les directions des forces. 

SUR LA SOMME DES CARRÉS ET DES CUBES DES tl PREMIERS NOMBRES ENTIERS. 

202. Les n premiers nombres entiers 

forment une progression arithmétique dontla somme S, s'obtient w -f- i 

en multipliant la moyenne —=—■ des termes extrêmes par le 

Proposons-nous de trouver une formule donnant la somme des carrés, Sa : 

S2 = 1 -f- 2"-j- 3" -f- ... -f-Pour 

-f-Pour parvenir, observons qu'on a l'identité 

(n -f- if—n + 3»2 -f- 3n + 1. 

Remplaçons dans cette identité, n par n — 1, puis par n— 2, puis par n — 3, et ainsi de suite jusqu'à l'unité ; il viendra la suite d'équations : 

n3=(n— i)3+3(n—1)2+3(JI — 1) + 1, • (n — l)3 = (n—2)3 +3 (M — 2)2 + 3 (ra — 2) +1, 

23 = 13 + 3xi2 + 3xl+1. 

Faisons la somme des n équations que nous venons d'écrire, 

SOMME DES CARRES ET DES CUBES. 281 

et supprimons les termes n3, (n — l)3, 23 communs aux deux membres de l'équation résultante. Il viendra 

(n+ 1) = i+ 3S,+3S, + n. 

S3 = || (n + l)3-l-»--ân(n + i) | 

La somme des carrés des (n —1) premiers nombres s'obtiendra en changeant dans cette formule n en n —• i ; ce qui donne 

expression dont nous avons fait usage dans les §§ 140 et 153. 

Pour obtenir la somme S3 des cubes des n premiers nombres entiers, on procédera de même, en partant de l'identité 

et après avoir remplacé n par n —• 1, par n — 2, ... par 3, par2, par 1, et fait la somme, on obtiendra une équation où les termes en n4, (n — l)4, ..., 34, 2' disparaîtront, et qui contiendra les sommes S3, Sa, S,. Comme nous connaissons déjà S, et Slt cette équation nous donnera S3 ; on trouve ainsi : 

La somme des cubes- des n premiers entiers est le carré de la somme de ces nombres. 

La formule dont nous nous sommes servis, § 133, se déduit de la précédente en remplaçant n par n— 1, ce qui donne 

203. Par machines simples, on entend en statique le levier, le treuil, le plan incliné, le polygone funiculaire, et leurs combinaisons les plus élémentaires, telles que la vis, la poulie, les moufles, la grue, le coin. Nous allons passer en revue ces diverses machines, et appliquer à chacune les principes généraux posés dans les chapitres précédents. 

204. Le levier est une barre solide, AB, droite ou courbe, assujettie à tourner autour d'un point fixe, 0. On applique une force P à l'une des extrémités A de cette barre, et une force R à l'autre extrémité B ; l'une de ces forces, la force P par exemple, prend le nom de puissance, l'autre, la force R, 

... le nom de résistance. On demande 

demande conditions d'équi libre du système solide AB. 

Cette question a été résolue au § 77, lorsque nous avons traité le problème de l'équi libre d'un solide qui a un point fixe. Il faut, pour l'é quilibre, que la somme algébrique des moments des forces P et R, par rapport à trois axes coordonnés menés par le point 0, soit nulle ; et la charge du point 0 est la résultante des forces P et R, transportées parallèlement à elles-mêmes en ce point. 

Nous pouvons opérer autrement. Au point 0, appliquons 

deux forces, P et —P parallèles et égales à la force AP; appliquons au même point deux forces R et •—R, égales et parallèles à la force BR. Nous ne changeons rien à l'équi libre du système par cette addition de forces qui se détruisent deux à deux. Les forces OR, OP, composées ensemble, donnent pour résultante une force OF, qui est détruite par la réaction du point 0, et qui mesure la charge subie par ce point. Restent les deux couples (P, — P), (R, — R) qui doivent se faire équilibre. Les axes de ces couples sont l'un perpendiculaire au plan (0, AP), l'autre au plan (0, BR); ils sont d'ailleurs proportionels aux moments PXOH, RXOK, de ces couples. Enfin ils se composent à la manière des forces. Pour qu'il y ait équilibre, il faut et il suffit que ces deux axes soient égaux et qu'ils soient dirigés en prolongement l'un de l'autre. 

La condition d'équilibre exige donc que les forces BR, AP, et le point 0 soient situés dans un seul et même plan ; que les forces P et R tendent à faire tourner le levier en sens contraires et que leurs moments par rapport au point 0 soient égaux en valeur absolue. Cette dernière condition peut s'ex primer d'une autre manière en disant que la somme algébrique des moments des forces P et A doit être nulle par rapport à un axe élevé au point 0 perpendiculairement au plan contenant les forces et le point fixe. 

Ordinairement le levier est une barre droite, et les forces P et R sont parallèles (fig. 195). Alors la charge F du point fixe est égale à la somme (algébrique) des forces P et R. L'équi libredu levier se réduit à la composition des forces parallèles. 

205. Les machines ne sont pas destinées en général à équilibrer une ou plusieurs forces, mais bien à vaincre des forces données, c'est-à-dire à déplacer leurs points d'appli cation dans un sens opposé au sens des actions propres de ces forces. . 

Par exemple, lorsqu'on emploie une machine pour 

ver un fardeau, on ne se propose rien autre chose que de faire parcourir à ce fardeau un chemin vertical, de bas en haut, c'est-à-dire en sens contraire du sens dans lequel la pesanteur tend à l'entraîner. La machine n'est là qu'un intermédiaire entre la résistance à vaincre, qui est la pesanteur, et la force qu'on doit appliquer à la machine pour produire 

tandis que le point d'application de la résistance se déplace en sens contraire de sa direction. En d'autres termes une force mouvante est celle qui a un travail élémentaire positif ou moteur, et une force résistante est celle dont le travail élémentaire est négatif ou résistant. 

À l'état d'équilibre, lorsque la machine est en repos, il n'y a d'autres travaux à considérer que les travaux virtuels qui correspondent à des déplacements fictifs. La distinction entre la puissance et la résistance est alors arbitraire. Dans l'exem ple que nous venons de donner (§204), on pourrait appeler R la puissance, etP la résistance; car un déplacement angulaire du levier de droite à gauche autour du point 0 justifierait ces désignations, en rendant positif le travail de la force R, et négatif le travail de la force P. Le déplacement contraire justifie les désignations dont nous nous sommes servis. 

Mais comme une machine est presque toujours destinée à recevoir un mouvement particulier, dans un sens défini, il n'y a pas d'indécision sur le partage des forces qui y sont appliquées en forces mouvantes et forces résistantes. Nous verrons de plus que l'équilibre entre ces forces peut avoir lieu pendant le mouvement aussi bien qu'à l'état de repos, et qu'il en est toujours ainsi lorsque la machine possède un mouvement uniforme. L'étude des conditions d'équilibre des machines a donc de l'intérêt, non-seulement au point de vue de la statique, mais encore au point de vue de la dynamique. 

1 effet voulu. Cette force est appelée puissance ou force mouvante. Lorsqu'une machine est en mouvement, la puissance déplace son point d'application dans le sens desadirection propre, 

206. On distingue trois genres de levier suivant la position relative de la puissance, de la résistance et du point d'appui. 

Le levier du premier genre (fig. 196) est celui dans lequel le point d'appui 0 .est situé entre la .. 

puissance P et la résistance R. 

Les deux forces agissent alors dans le même sens, et le point d'appui subit une charge égale à leur somme. 

Le levier du second genre (fig. 197) est celui dans lequel la résistance R est située entre le point d'appui 0 et la puissance P. Alors la résistance est plus grande que la puissance ; elles sont d'ailleurs dirigées en sens contraires, et la charge ,, 

de l'appui est égale à leur dif- ^ ; j 

Le levier du troisième genre est celui dans lequel (fig. 198) B la puissance P est située entre larésistanceRet le point d'ap pui 0. 11 faut pour l'équilibre de ce levier que la puissance soit plus grande que la résistance et dirigée on sens contraire ; le point d'appui a une charge dirigée dans le sens de la puissance et égale à P—R. p" 

Le levier du troisième genre est peu usité, parce qu'il exige l'emploi d'une puissance P plus grande que la résistance R qu'on veut vaincre Les machines ont plutôt pour but d'employer des 

1. Au point de vue de la statique, il n'y a pas de différence entre les deux derniers genres de levier. 

forces moindres à vaincre des forces plus grandes; un levier, par exemple, doit permettre à un homme de soulever un poids qui excède la limite de l'effort dont cet homme est capable. Le levier du troisième genre serait à cet égard sans utilité. 

207. Soit AB (fig. 199) un levier du premier genre, dans lequel la distance OB soit un centième de la distance 0A; on aura pour l'équilibre les forces P et R l'équation 

c'est-à-dire qu'avec une force R on pourra faire équilibre à une force 400 fois plus grande. Au lieu de tenir simplement en équilibre la 

nous le savons, ce que l'on se propose dans toute machine en mouvement. En même temps que le point B parcourt l'arc BB', le point A se déplace de la quantité A A', laquelle est 100 fois plus grande que BB'; le travail moteur ou positif, P X AA' de la puissance, se trouvera donc égal au travail de la résistance, RX^B', pris en valeur absolue. Si donc la machine permet de réduire la force P au centième de la force R, par contre elle exige que le point d'ap plication de la force P reçoive un déplacement 100 fois plus grand que le déplacement du point d'application de la force R, de sorte que la réduction de. l'effort moteur est rachetée par une augmentation du chemin que son point d'application doit décrire. * 

Remarquons que l'intervention du levier se résume dans 

force R, admettons qu il s'agisse de déplacer son 

J _ point . d'application , B , d'une certaine quantité très-petite, BB', en sens contraire de la direction de cette force ; c'est là, 

la division de la force R en un- certain nombre, 100, de parties égales. Supposons qu'un moteur, un manœuvre par exemple, soit susceptible de développer sans fatigue un effort constant égal au centième de la force R. Si la force R est effectivement décomposable en 100 forces égales, si par exemple la force R est le poids d'un système matériel homogène qu'on puisse partager effectivement en 100 morceaux d'égal volume, le manœuvre, une fois ce partage 

accompli, pourra prendre le premier morceau qui pèse —Q, 

et le déplacer verticalement de la quantité BB', sans excéder la limite de ses efforts ; cela fait il passera au second, au troisième, au quatrième..., et ainsi de suite jusqu'au centième. Il aura ainsi, partie par partie, effectué le transport du système entier. Mais au point de vue des efforts développés et du travail accompli, le déplacement vertical BB' du second morceau, du troisième ..., du centième , équivaut au transport vertical BB' du premier. Le travail du manœuvre équivaut donc en définitive au 

transport vertical d'un morceau unique, du poids de 

à une distance égale à 100 fois BB'. Or c'est, précisément ce qu'il fait d'un seul coup , au moyen du levier, sans division préalable de la charge. Car il applique au point A R 

un effort P égal à et fait décrire à ce point un chemin A A', égal à 100 fois BB'. Son travail dépensé P X AA' est donc égal au travail produit, R X BB'. 

On voit par là quelle est l'erreur de ceux qui vantent la puissance du levier, comme si un levier avait par lui-même une puissance. Le levier n'agit sur une résistance que quand une force mouvante lui est appliquée. 11 permet d'équili brer cette résistance avec une force moindre, mais comme à l'état de mouvement les chemins décrits par les points d'application des deux forces, estimés suivant les directions respectives de ces forces, sont inversement proportionnels aux forces elles-mêmes, le travail de la force mouvante est égal au travail de la force résistante, de sorte que le levier 

transforme le travail sans en creer. Il en est de même de toutes les machines. Nous développerons ces premiers aperçus plus tard, dans le cours de dynamique. 

208. Deux personnes d'inégale force portent les extrémités d'une barre rigide ÀB, horizontale, en un point, C, de laquelle est attaché un fardeau de poids P. En quel point 

de la barre ce fardeau doit-il être suspendu pour que la personne .qui porte l'extrémité B n'ait à exercer que le quart de .l'effort exercé par la personne qui porte l'extrémité A. 

On peut regarder la barre AB comme un levier du second genre, dans lequel le poids P est la résistance, le point Aestlepoint d'appui, etl'elfortX exercé en B de bas en haut est la puissance. 

L'effort Y, exercé en A, est égal et contraire à la charge 

P — X de l'appui A, c'est-à-dire égal ^ P X jyj • 

Par conséquent ^ est égal à , et puisqu'on veut que X 

' soit le quart de Y, il faut que AG soit le quart de CB, ou le cinquième de AB. 

Le fardeau doit donc être suspendu au cinquième de la longueur du levier, à partir du point A le plus chargé. 

La décomposition de la force P en deux forces parallèles appliquées en À et B, conduit directement à la solution cherchée. 

DOUBLE LEVIER A SOULEVER LES VOITURES 

209. On se sert, pour soulever une voiture, de manière à rendre l'une des roues mobile, d'un double levier que la 

figure 201 represente. Cet appareil comprend un chevalet MN, qui repose verticalement sur le sol ; un levier du premier genre. AB, mobile autour d'un axe projeté en 0, traversant la charpente du chevalet ; et un levier du second genre BC, articulé en B avec le premier levier, et portant à son autre extrémité C sur le sol. On passe le levier sous la voiture, de manière à faire porter l'essieu en un point E de sa longueur. Puis on exerce en A. un effort qui fait basculer le levier ÀB, ramène la branche OA contre le chevalet, et soulève par conséquent le point B, et par suite le point E. Dans ce mouvement le chevalet M N s'incline un peu vers le second levier, et l'extrémité C de ce levier, qui porte par terre, glisse légèrement sur le sol, de manière à maintenir invariable la longueur BC. On fixe l'appareil dans sa nouvelle position en accrochant le levier AO à la traverse du chevalet. 

Cherchons quel effort F il faut exercer en À, au commencement du soulèvement, pour tenir en équilibre un poids 

MÉCANIQUE. ENS. SPÉCIAL, 3« ANN. 13 

donné, Q, placé en E, en supposant qu'il n'y ait aucun frottement dans l'appareil. 

Le poids Q se partage entre les deux appuis, C et Br du levier BC; en C, la réaction du sol, R, est égale à BE 

Q X g-Q ; en B. la réaction du premier levier sur le second 

est une force verticale S, égale à QX L'action du second levier sur le premier est donc une force égale et contraire S', et l'équilibre exige par conséquent qu'on ait l'équation : 

Si, par exemple, le point E est le milieu du levier BC, et que OA soit égal à 10 fois OB. on aura : 

l'our équilibrer un poids de 300 kilogrammes, placé en E, il faudra donc un effort de 15 kilogrammes exercé en A. Mais le soulèvement du point E est alors le vingtième de l'abaissement donné au point A. 

210. L'équilibre des fermes que l'on emploie dans les toitures donne un exemple de la théorie du levier. 

Considérons une ferme du système le plus simple. Deux arbalétriers égaux, et également inclinés à l'horizon, AB, A'B, viennent s'assembler au sommet B; leurs pieds A, A\ sont engagés dans un entrait A A', qui achève le triangle iso-MWMUUyiHi 

cèle ABA'. L'entrait est posé sur deux murs verticaux, dont les coupes sont indiquées en M et M'. On suppose enfin que chaque arbalétrier ait à supporter une charge uniformément répartie sur toute sa longueur, 

à raison de p kilogrammes par mètre ; cette charge comprend outre le poids propre de l'arbalétrier, le poids des pannes, des chevrons des tuiles, des ardoises, de îa tôle ou du zinc, que l'on emploie pour rendre la couverture étanche, enfin les charges additionnelles que la toiture peut avoir à subir, par exemple le poids des neiges. Chaque arbalétrier sera en équilibre sous l'action du poids uniformément réparti, et égalàpX-^B, qui le sollicite, et des réactions exercées par les pièces avec lesquelles il est en contact, à son pied et à son sommet. Au sommet B, les deux arbalétriers exercent l'un sur l'autre des actions mutuelles et égales ; la symétrie de la ligure et des charges, par rapport au plan vertical moyen BC, exige donc que la réaction des deux arbalétriers au point B soit horizontale Appelons R cette réaction. Considérons à part l'un des arbalétriers, A B. Il est sollicité par un poids totalpX^B, que l'on peut supposer, puisqu'il est également réparti, appliqué au milieu I delà longueur AB. Il est en outre sollicité par la force R, horizontale et appliquée en B. Cette force a une intensité inconnue. Pour la déterminer, compo-sons-la avec la force verticale P=pX-^®' en transportant ces deux forces au point Goù se rencontrent leurs directions. La résultante, devant être équilibrée par la réaction du point A, doit passer par ce point; elle a donc la direction GA. Prenant sur la verticale GI une longueur GK pour représenter le poids donné P, on trouvera , en achevant le parallélogramme GKLNG, la longueur GN qui représente la réaction R au sommet, et la longueur GL qui représente une force égale et contraire à la réaction de l'appui 

inférieur À. Cette force, appliquée en A. suivant AG, peut être décomposée suivant la verticale et l'horizontale ; la composante verticale sera égale à GK, ou à P ; l'horizontale est égale à G N,, ou à R, c'est la tension développée dans l'entrait. 

Pour calculer la force R, qui représente à la fois la tension de l'entrait et la pression mutuelle des deux arbalétriers au point B où ils s'assemblent l'un à l'autre, on peut appliquer le théorème des moments, en prenant le point À pour centre. 

La force horizontale R, appliquée en B, la force verticale P appliquée en I, et la réaction du point À se faisant équilibre la somme de leurs moments est nulle par rapport à un axe quelconque. Prenons pour axe la perpendiculaire élevée au point A sur le plan de la figure. Le moment de la réaction appliquée en A sera nul ; et par suite l'équation des moments se réduit à l'égalité suivante 

Cette équation fait connaître la réaction R, car tout y est connu, sauf cette réaction. 

Nous pouvons construire géométriquement cette expres-PXAI 

sion. Remplaçons P par sa valeur et AI' par ^AC. 11 viendra : 

Au point A, élevons sur AB une perpendiculaire AE, qui rencontrera en E la verticale R C prolongée. 

Le triangle rectangle ACE est semblable au triangle ABC, et nous avons la proportion : 

La réaction R équivaut donc au poids d'une charge égale par unité de longueur à celle que porte l'arbalétrier, répartie sur la longueur AI". On voit qu'à égalité de poids p, la réaction mutuelle R et la. tension de l'entrait sont d'autant moindres que AE est plus petit, ou que l'arbalétrier AB est plus incliné à l'horizon. 

211 . Cherchons la solution du même problème en supposant que la ferme ne soit pas symétrique ou qu'elle soit non symétriquement chargée; nous supposerons toujours que chaque arbalétrier AB, A'B, soit chargé uniformément, à 

raison de p kilogrammes par mètre de longueur, pour 1 un, et de p' kilogrammes pour l'autre. La résultante des poids ainsi répartis sur chaque arbalétrier sera verticale, appliquée aux milieux I, I' de chacun, et égale à P = p X A.B pour le premier et à P' = p' X ^ ^ Pour sec011tl 

La réaction mutuelle, R, des deux arbalétriers au point B ne sera plus horizontale ; mais en vertu du principe de l'ac tion égale à la réaction, la force BR, exercée par l'arbalé-' 

trier BÀ' sur l'arbalétrier B A, sera égale et contraire à la force BB' exercée par l'arbalétrier BÀ sur l'arbalétrier BA'. 

La tension T développée dans l'entrait A À' aura la môme valeur aux points A et À' ; mais elle sera dirigée de A vers A' au point A. de A' vers A au point A'. 

Exprimons l'équilibre des deux arbalétriers pris séparément pour cela, prenons les moments par rapport aux points A et A', ce qui élimine la tension inconnue T. Nous aurons, en abaissant les perpendiculaires AU, A'II' sur la direction de la réaction B, 

Multipliant et supprimant le facteur commun R, il vient : 

Cette dernière équation fait connaître le rapport -^-Q- ; or 

prolongeons la droite IIII' jusqu'à la rencontre, au point 0, avec la droite À A' prolongée. Les triangles OA'II', OAII donnent la proportion : 

Le rapport est donc égal à un nombre donné ; on 

pourra par conséquent trouver le point 0 sur le prolongement de A A', et joignant OB, on aura la direction de la réaction mutuelle. 

On pourra alors déterminer la valeur B de cette réaction au moyen de l'une des équations des moments. 

Comme le point 0 peut être très-éloigné, il est plus commode de déterminer sur le côté BA du triangle ABA', un point F tel que l'on ait la proportion 

Si du point F nous abaissons FL, perpendiculaire à B1I, les triangles semblables BAII, BFL, donnent la proportion 

P'XA'K' A'H' P X AK — AH - 

La direction cherchée BII s'obtiendra en menant par le point B une parallèle à la droite A'F. 

212. Proposons-nous encore de construire la force R. Elle est donnée par l'équation 

PXAK PXABXAC * n— AH ~~ 2 Ail 

Or, les triangles OBC, OAII sont semblables, car ils ont un angle en 0 commun, et les angles 1L et C égaux comme droits. Donc 

» , , BCXOA f Remplaçons A11 par sa valeur — , et nous aurons : 

Au point A (fig. 205) élevons AE perpendiculaire à AB. 

ABYAC , , , , , IJT Nous avons vu tout a 1 heure que est égal a AE. 

Rabattons par un arc de cercle la longueur OB en OB' 4 sur la direction OA ; puis joignons OE, et par le point B' 

menons B'G parallèle à OE, jusqu'à la rencontre de ÀE. Les parallèles B'G, OE donnent la proportion : 

Et, si l'on prend le milieu N de la distance E G, la réaction R sera égale au produit p X EN. 

On prouverait de même que R est égale au produit p' X E' N', N' étant le milieu de là distance E' G', déterminée en menant par le point B' une parallèle à la droite OE'. 

Pour déterminer la tension T de l'entrait, on peut prendre la projection de la force R sur l'horizontale (fig. 204) ; car l'arbalétrier AB étanten équilibre sous l'action des forces R,P et T, la somme algébrique des projections de ces forces sur un axe quelconque est nulle ; en prenant cet axe horizontal, on élimine la force verticale P , dont la projection est nulle, et la force T se projette en vraie grandeur. On peut aussi composer les forces P et R, au point 51 où leurs directions se rencontrent. La résultante S passera par le point A, et en la décomposant en ce point suivant l'horizontale et la verticale on auraàJa fois la force T, et la pression verticale exercée par la ferme au point A sur le mur qui lui sert d'appui. 

213. Le treuil est un cylindre horizontal, tournant sur deux tourillons; une corde partiellement enroulée à la surface de ce cylindre, porte un poids à son extrémité libre. Pour 

faire équilibre à ce poids, on applique une force tangentiellement à la circonférence d'une roue concentrique au cylindre, et montée dans un plan perpendiculaire à son axe. 

Soient 0, 0', les tourillons, D le cylindre, AA', le plan de la roue; BC, la portion libre de la corde, qui porte au point 

C le poids Q, et qui se prolonge de B en E, et au delà, par une portion appliquée sur le cylindre. Nous supposerons que la corde y soit arrêtée en un point peu éloigné du point E, de telle sorte que l'arc EB soit un arc de la section droite de la surface cylindrique. Si la corde avait un diamètre infiniment petit, cette restriction serait inutile; quelle que fût la longueur enroulée, la corde, qui se détache du cylindre au point B suivant la verticale BC, s'enroulerait à sa surface suivant le pourtour de la section droite tangente à la direction BC. Dans la pratique, la corde a un certain diamètre, etquandellefaitplusieurs fois le tour du cylindre, chaque spire vient se placer à côté de la spire voisine, de sorte que la ligne moyenne de la corde dessine sur la surface cylindrique une hélice de faible pas, qui ne se raccorde pas d'elle-même avec la verticale BC. Le raccordement se fait cependant au moyen d'une courbe plus compliquée, qui dépend de la roideur plus ou moins grande de la corde. Nous supposerons ici que la corde soit sans roideur, et qu'elle s'applique sur le cylindre suivant l'arc de cercle qui prolonge la tangente verticale BC. 

Sur l'élévation latérale, nous voyons la corde projetée 

■en bc, et la puissance P, appliquée au point a de la roue, tangentiellement à sa circonférence. Le petit cercle o représente la projection des deux tourillons, et les distances ob, oa, sont les rayons du cylindre et de la roue. 

Le treuil est un solide assujetti à tourner autour de l'axe fixe 00'; la condition d'équilibre se réduit donc à l'équa tion des moments des forces extérieures pris par rapport à cet axe (§ 78), ce qui donne 

214. Proposons-nous ensuite de trouver les réactions des appuis 0 et 0'. 

L'équilibre ayant lieu, nous pouvons, sans le troubler, regarder la portion BE de la corde comme fixée invariablement à la surface du cylindre; la tension de la corde BC est égale au poids Q ; nous pouvons donc regarder la force Q comme appliquée en B au système invariable formé par le treuil. 

Dans le plan normal de l'axe 0 0' conduit par la droite BC, appliquons à l'axe, l'une en sens contraire de l'autre, deux forces égales et parallèles à la force Q. Nous pouvons substituer, sans altérer l'équilibre, à la force Q appliquée en B, la force Q appliquée à l'axe, et le couple (Q, — Q), dont le moment est égal à Q X <?&• 

De même, dans le plan de la roue, transportons la force P parallèlement à elle-même, ce qui nous donnera, à la place de la force P appliquée en a, la force P appliquée en un point de l'axe, et le couple (P, — P), dont le moment est P X oa. 

Les deux couples se faisant équilibre, il reste à considérer les forces, qui sont équilibrées par les réactions des tourillons 0, 0'. 

Pour trouver ces réactions, décomposons la force Q, verticale et appliquée à l'axe dans la section BE, en deux forces Q' et Q", parallèles, appliquées au centre des sections moyennes des tourillons 0, 0'. La force Q', appliquée en 0, O'B 

sera égale à Q X my > 'a force Q", appliquée en 0', sera 

égale à Q X ^(Jr Nous pouvons de même remplacer la 

force P, appliquée à l'axe dans le plan de la roue, par deux forces parallèles P' et P", appliquées Tune en 0, l'autre 

en 0', et égales respectivement à PX (jjj, et P X (JQ'' 

Composant ensuite les forces Q' et P', appliquées en 0, nous aurons pour résultante la pression R exercée par le tourillon 0 sur son coussinet, et de même, la composition des forces Q" et P", appliquée en 0', nous donnera la pression R', exercée sur le coussinet 0'. Les forces R et R' ne sont pas'parallèles, mais elles sont toutes deux normales à l'axe du cylindre. 

21 o. On voit qu'avec une force P donnée, on peut faire équilibre à un poids Q aussi grand qu'on voudra, en se servant d'un treuil dans lequel le rayon ob du cylindre serait suffisamment petit par l'apport au rayon de la roue oa. Mais il faut remarquer que pour le treuil, comme pour le levier et comme pour toutes les machines analogues, les déplacements des points d'application des forces P et Q qui se font équilibre, sont en raison inverse de ces forces elles-mêmes de sorte que pour élever d'une petite quantité le poids Q en employant une force P. il faudra faire parcourir au point a d'application de cette force un chemin d'autant plus grand que la force P est plus petite. Le rôle du treuil, comme celui du levier, équivaut à la division du poids Q en parties dont chacune puisse être déplacée par la force mouvante P. 

216. Le treuil différentiel (fig. 207), dont nous avons donné la description dans la cinématique (§ 170) permet d'équi librer un poids Q avec une petite force P, sans réduire le diamètre du cylindre, et sans diminuer la solidité )de l'ap pareil. Le cylindre est double; la corde porte le poids Q par l'intermédiaire d'une poulie M ; les brins cb, c'b' sont parallèles et leur tension commune est égale à la moitié du poids Q. Quand le brin cb s'enroule sur le cylindre de rayon 06, le brin b'c' se déroule du cylindre de rayon Ob'. Pour un angle très-petit a, dont on fait tourner la roue et 

les cylindres, le poids Q s'élève de la moitié de la différence 06 X a — 06' X a> entre la longueur de corde enroulée et la longueur déroulée. 

Le travail résistant est donc égal en valeur absolue à 

^QX(06X«-06'X«) = | QX«X(0b-0b'). L'équation d'équilibre est 

Tout se passe comme si l'on employait un treuil dont la 

roue aurait le même rayon oa, mais dont le cylindre aurait pour diamètre la différence bb" des rayons des deux cylindres. 

La recherche des pressions sur les tourillons peut se faire par la méthode que nous avons suivie pour le treuil simple. On remarquera que les deux 

en b et en b' , se transportent parallèlement à elles-mêmes aux points de l'axe où se projettent les points b et b'\ puis qu'on peut les composer en une seule égale à Q, appliquée à l'axe, au milieu de l'inter valle compris entre les deux sections droites où se font l'enroulement et le déroulement du fil. 

ÉQUILIBRE DO TREUIL EN TENANT COMPTE DU FROTTEMENT ' ^ 

217. Revenons au treuil ordinaire, et cherchons-en les conditions d'équilibre en tenant compte du frottement des j 

tourillons dans leurs paliers. Nous avons vu (§ 88) que le problème n'est pas déterminé lorsque le treuil est à l'état ' f , de repos ; il suffit en effet que la résultante des forces qui ] : 

pressent le tourillon sur la surface de glissement, fasse un ,•< 

angle moindre que l'angle du frottement avec la normale à cette surface. Lasolutionestdonnéealors par uneinégalité, ce qui permet de faire varier les forces extérieures entre certaines limites sans troubler l'équilibre. Pour rendre le problème déterminé, on peut supposer que le treuil, tout en ■ restant encore en repos, est sur le point de prendre un mou- j vement sous l'action des forces qui le sollicitent, hypothèse j , qui revient à admettre que la résultante de ces forces fait avec la normale à la surface de glissement, un angle égal , : ( h Y angle du frottement au départ; on peut aussi supposer que le treuil est animé autour de son axe d'un mouvement uniforme ; dans ce cas les forces extérieures se font équi- f ( libre comme si le système était en repos, ainsi qu'on le dé- j , montrera dans la dynamique; de plus le frottement est égal " • à sa limite, puisque le glissement des corps en contact a j. effectivement lieu, et la résultante des forces extérieures fait par conséquent avec la normale aux surfaces frottantes " ; un angle égal à l'angle du frottement pendant le mouvement. ; 

SoitOÀ(lig. 208) le rayon de la roue, tangentiellement à .. j 

laquelle est appliquée la force P; 1 

OB, le rayon du cylindre, tangentiellement auquel est j 

suspendu le poids Q ; - j 

OC, le rayon du tourillon, qui touche au point C la sur- : Vj 

face AIN du palier. , ! 

Le mouvement du treuil se faisant ou allant se faire dans , 

le sens de la puissance, la roue peut être supposée tourner dans le sens de la flèche ; le frottement subi par le'treuil est dirigé en sens contraire ; c'est donc une force F, appliquée au point C, tangentiellement à la circonférence du tourillon. : 

Outre cette action tangentielle, la surface d'appui MN exerce sur le tourillon une action normale S ; et il résulte 

de notre hypothèse que nous avons la relation : 

en désignant par f le coefficient du frottement. 

Sur l'autre tourillon, nous aurons de même à considérer une réaction normale S', et une réaction tangentielle ou frottement F', égale à S'f. u II y a donc équilibre entre les 

Fls- 208- forcesP, Q,et les forces inconnues 

inconnues S' et F = S f, F' = S'f. 

Prenons les moments par rapport à l'axe projeté en 0 ; il viendra l'équation : 

(1) PXOÀ = QXOB + (F + F)XOC 

= QXOB + (S + S')x/-XOC, 

équation où entre la somme inconnue S -J- S'. 

Pour déterminer séparément S et S', et pour trouver la condition d'équilibre entre les forces P et Q, nous procéderons comme nous l'avons fait dans le | 214 ; nous substituerons aux forces P et Q des couples PX OA, Q X 01!, et deux forces parallèles Pr et P", Q' et Q", appliquées à l'axe 0, dans les plans moyens des tourillons. Nous pouvons de même substituer aux forces F et F', des couples F XOC, F' X OC, et ces forces elles-mêmes, appliquées à l'axe 0. 

Nous obtenons par là dans des plans parallèles, 4 couples qui se font équilibre en vertu de l'équation des moments (1); et deux groupes de quatre forces, savoir les forces 

appliquées au centre du premier tourillon, et les forces P", Q", S' et F, 

EX TENANT COMPTE DU FROTTEMENT. 303 

au centre du second tourillon : ces huit forces se font donc aussi équilibre. 

Je dis que chaque groupe considéré séparément est en équilibre. S'il en était autrement, les quatre forces P', Q', S et F, qui sont appliquées en un même point 0, auraient une résultante, qui devrait faire équilibre à la résultante-des quatre autres forces P", Q", S' et F, appliquées de même en un point. Or cela est impossible, car les quatre premières forces sont situées dans un plan normal à l'axe du treuil, et leur résultante, située dans ce, plan, ne peut être égale et opposée à la résultante des quatre forces du second groupe situées dans un plan parallèle. Donc enfin, la résultante des forces S et F est égale et opposée à la résultante des forces P' et Qr ; et de même la résultante des forces S' et F' est égale et opposée à la résultante des forces Pi' et Q". 

Composant les forces OP', OQ' (fig. 209), on obtiendrai résultante OR. Puis, par le point 0 on mènera une droite indéfinie 01, faisant un angle, IOR', 

égal à l'angle <p du frottement, avec le prolongement OR' de OR. On décomposera ensuite la force OR', 

égale et opposée à OR, en deux forces, dont l'une 0 S sera la réaction normale et l'autre, OF,le frottement cherché. On procédera de même pour l'autre tourillon. 

Si c'est là force Q qui est donnée et qu'il s'agisse de déterminer la puissance Pi on fera une F'B- 209- hypothèse arbitraire sur la valeur de cette inconnue ; il convient de lui attribuer une valeur un peu supé - rieure à celle qu'elle aurait s'il n'y avait aucun frottement, 

c'est-à-dire, un peu supérieure à Qx constructions 

indiquées feront connaître F et F', et l'on pourra vérifier si l'équation d'équilibre (1) est satisfaite. On pourra ainsi obtenir la valeur de P par une série de tâtonnements. 

DE LA ROUE A CHEVILLES. 305 

rières des environs de Paris, e'stmis en mouvement par des hommes, dont le travail consiste à marcher à l'intérieur d'une roue à chevilles. Soit P, le poids des hommes qui sont montés dans la roue, et qu'on suppose placés au point A; 

Q, le poids de la pierre à élever; OA, le rayon de la roue; OB, le rayon du cylindre sur lequel s'enroule la corde du treuil. 

Du point 0, abaissons une perpendiculaire OC sur la direction AP de la puissance P. 

L'équilibre des poids P et Q exigera la relation 

équation qui fait connaître le point A, où les hommes doivent se placer pour équilibrer le poids Q. Il est facile de voir que cette position d'équilibre est stable. Si les hommes font un pas, et se placent en A', leur poids l'emportera sur celui de la pierre, et la roue tournera de l'angle A'OA, pour les ramener à leur position A. 11 en résultera pour le poids Q , une élévation égale à OB X angle A'O A. 

Le travail moteur est égal au mo- p * I 

ment de la force P, par rapport il J_ 

l'axe 0, multiplié par l'angle décrit Q | 

(S 104) ; c'est-à-dire à PXOCX(^'OA), 

ou à QX OB X angle A'O A, ou eniin, F's' 21'' 

au travail résistant, abstraction faite des résistances passives telles que le frottement et la roideur des cordes. 

Il s'agit, par exemple, d'élever une pierre d'un mètre cube, pesant 2500 kilogrammes; le rayon du cylindre est de ■ 0m,18, et le rayon de la roue à chevilles de 3m ; eniin, on suppose que les hommes se placent à une distance moyenne 2 

de l'axe OC égale aux ^ du rayon; le poids moteur P sera donné par l'équation : 

MÉCANIQUE. E.N'S. SPÉCIAL, 3« A.NN. 20 

Un homme pèse environ 70 kilogrammes; on voit qu'avec 3 hommes on aurait un poids de 210 kilogrammes, qui suffit presque, à la distance de 2 mètres où on l'a supposé appliqué. Les 3 hommes obtiendront donc l'effet voulu en s'éloignant un peu plus de l'axe, à une distance x donnée par l'équation : 

210 X ® = 2,500 X 0,18. 

2I9. Un cabestan est un treuil à axe vertical. 

La figure 212 représente un appareil de cette espèce employé dans les ports. Le cylindre du treuil est maintenu dans la position verticale par une charpente ABCD, qui est fixée 

au sol au moyen de cordes attachées à des piquets. La téte E du cabestan est traversée par la barre FF, aux extrémités de laquelle on applique l'ellort moteur. La corde TV s'en 

roule d'un côté sur le cylindre, et se déroule dé l'autre côté. Il suffit, comme nous le verrons plus loin, d'un petit effort exercé en T, pour équilibrer une très-grande tension T. développée dans l'autre partie de la corde ; la différence des deux tensions est équilibrée par le frottement entre la corde et le cylindre. 

La théorie du cabestan est la même que celle du treuil. 

220. Le cric employé pour.soulever les voitures, peut être aussi assimilé au treuil ; seulement, au lieu d'une corde qui s'enroule à la surface du cylindre , le cric emploie une crémaillère qui engrène avec un pignon. Le pignon pourrait être mis en mouvement par une manivelle ; mais 

ordinairement, il fait corps avec une roue dentee de plus grand diamètre, qui engrène avec un second pignon, auquel on applique l'effort moteur. Une roue à rochel, placée en dehors de l'appareil, a pour objet d'arrêter le mouvement ascensionnel de la crémaillère à telle dent qu'on voudra, sans empêcher la continuation de ce mouvement, si on veut 

élever le fardeau davantage. Pour faire descendre le fardeau,' on soulève le doigt del'encliquetage.et les roues dentées deviennent libres de tourner dans les deux sens ; mais il faut alors faire équilibre au fardeau par un effort exercé sur la manivelle. 

Appelons F la force qu'il faut appliquer à l'extrémité A. de la manivelle, perpendiculairement à sa direction 0 À, pour faire équilibre au poids Q qui pèse sur la crémaillère MN. 

Soit 0A=Z;0B=r, rayon du pignon de la manivelle , 0' B = R , rayon de la roue dentée, 0' C — r', rayon du pignon de la crémaillère. Cherchons le rapport des forces F et Q , en faisant abstraction du frottement. 

La force Q est transmise intégralement par la crémaillère à la dent située au point C. De même , au point B où les roues OB et O'B engrènent l'une avec l'autre, s'exerce une pression mutuelle S, que nous supposerons normale à la ligne des centres, et dirigée suivant BS pour la roue 0, et suivant BS' pour la roue Or. La pression S est la composante perpendiculaire à la direction 00', de l'action mutuelle des deux roues au point B. 

L'équilibre de la roue 0 sera exprimé par l'équation des moments pris par rapport à l'axe 0 : 

et l'équilibre du système 0' par l'équation : SXO'B = QV O'C. 

Telle est la force qu'il faut appliquer perpendiculairement à l'extrémité de la manivelle pour équilibrer le poids Q. 

Les dents du pignon 0' et de la crémaillère doivent être assez résistantes pour supporter chacune le poids Q tout entier; la force S, déterminée par l'une des équations que nous venons de poser, tend aussi à rompre les dents de l'en grenage 0, 0'. Enfin, les axes de rotation 0, 0', doivent être assez résistants pour supporter, l'un, la résultante des forces F, S, et des frottements que nous avons négligés, l'autre, 

a résultantedesforces S, Q, et des frottements. 

On calculera de même la pression P développée dans le doigt 0"D de l'enclique tage, quand le cric est au repos. 

Cette pression P remplace la force F appliquée à la manivelle ; seulement elle est appliquée tangentiellement à la circonférence intérieure OD de la roue à rochet. 

La pression P s'exerce sur l'axe 0"'du rochet, dans le sens 0"P. 

Le théorème du travail virtuel donnerait immédiatement le rapport des forces F et Q. 

221. Nous avons déjà traité la question de l'équilibre d'un corps solide placé sur un plan fixe (g 80). Ici, nous ferons l'application de cette théorie à un corps pesant posé sur un plan incliné, et nous chercherons quelle force il faut appli— querà ce corps pour qu'il soit en équilibre. On peut traiter ce 

problème à deux points de vue : en négligeant le frottement, > ou en en tenant compte. 

Supposons d'abord qu'il n'y ait aucun frottement. 

Soit AB la ligne de plus grande pente du plan, qui fait 1 avec l'horizon AH un angle 

' „ Le corps solide M N repose 

sur le plan par une face plane ; 

il a un poids Q, appliqué en son centre de gravité, G. 

On demande quelle nouvelle force il faut lui appliquer pour qu'il soit en équilibre. 

La résultante des actions élémentaires exercées par le plan sur le corps est une force R, normale au plan, puisqu'on suppose le frottement nul ; cette force R rencontre la direction GQ en un certain point I, où l'on peut considérer les forces Q et II comme appliquées. De ces deux forces, toutes deux connues en direction, l'une, Q, est en outre donnée de grandeur, l'autre, R, est encore inconnue. Le plan RIQ coïncide avec le plan de la figure. 

La force à appliquer au système pour compléter l'équi libre est une force P, appliquée au point I, et dont la direc-' tion et la grandeur sont également inconnues. Pour déterminer les inconnues, par le point I, menons dans le plan de la figure deux axes rectangulaires, IX, IY, l'un, IX, normal au plan, l'autre, IY, parallèle. Décomposons la force 

connue P en deux composantes, suivant ces deux axes, et appelons X et Y ces deux composantes ; décomposons de même la force Q en deux composantes, Q' et Q", suivant les mêmes axes. 

Les trois forces P, Q, R, se faisant équilibre, la somme algébrique de leurs projections sur une droite quelconque est nulle, donc 

La première équation fait connaître la composante ï. La seconde fait connaître la somme des deux inconnues X -f- R ; l'une d'elles reste donc arbitraire. 

Si l'on veut trouver la moindre valeur possible pour la force P, il faut faire X = 0 ; car l'équation 

dans laquelle Y est égalé à une force donnée Q", montre que le minimum de P correspond à la moindre valeur de X, ou à X = 0. Dans ce cas, R = Q'. 

On équilibrera donc le poids Q du corps avec une force P, parallèle au plan incliné, et dirigée de bas en haut, suivant la ligne de plus grande pente ; cette force sera égale à la projection IQ" du poids Q sur la ligne de plus grande pente, c'est-à-dire, à cause de la similitude des triangles IQQ", 

ABU, égale au produit du poids Q Blf , 

par le rapport de la hauteur BII, du" plan incliné à sa longueur, ÀB. 

222. Proposons-nous le même problème en tenant compte du frottement; pour que la question soit déterminée, il faut 

supposer que le glissement du corps sur le plan est sur le point de se produire dans un sens délini, ou même qu'il se produit réellement, le corps étant animé d'un mouvement uniforme le long de la ligne de plus grande pente A B. 

Admettons que le corps glisse ou va glisser de A vers B, c'est-à-dire en montant. Le frottement exercé par le plan 

sur le corps est alors une force F, parallèle au plan et dirigée de B vers A. La résultante des actions du plan sur le corps est donc dirigée suivant une droite IR, faisant avec la normale I S, dans le plan de la figure, un angle RIS égal à l'an gle du frottement. Cette réaction totale R se décompose en deux forces, une force normale S, et une force F, qui est le frottement. 

Menons encore les axes IX, IY ; décomposons le poids Q suivant ces deux directions, ce qui nous donnera les forces Q' et Q", et décomposons de même la force inconnue I*. Nous aurons pour l'équilibre les deux équations : 

A ces deux équations il faut ajouter la relation entre F et S : 

Il y a donc trois équations pour déterminer quatre inconnues X, Y, S et F. L'une des quatre inconnues est donc arbitraire et l'on peut imposer au problème une nouvelle 

condition ; nous chercherons, par exemple, à rendre la force P la plus petite possible. 

Le problème se résout géométriquement d'une manière très-simple. Le poids Q et les forces P et R se faisant équilibre au point I, le poids Q est la résultante de deux forces. IP', IR', égales et opposées aux forces P et R ; la droite IQ est donc la diagonale du parallélogramme IR'QP' construit sur ces deux forces. Dans ce parallélogramme, le côté IR' a une direction connue, et la force P est représentée en grandeur par la droite Q R', qui joint le point donné Q au point R', extrémité de la droite IR'. La moindre valeur dé la force P correspond donc à la perpendiculaire abaissée du point Q sur la droite IR', c'est-à-dire le minimum cherché a lieu quand on donne à la puissance P une direction perpendiculaire à la droite IR, ou enfin une direction faisant avec la ligne de plus grande pente AR un angle PI Y égal à l'angle du frottement. 

La solution algébrique du problème s'achèvera donc en posant 

Des équations (I), (2), (3) et (i), on tire : 

Remarque. Nous avons supposé que le corps glissait ea 

montant. S'il glissait en descendant, il n'y aurait qu'à changer la direction du frottement F, ce qui revient à mener la 

droite IR de l'autre côté de la normale 1S. 

• \° Si le prolongement de la verticale IQ passe dans l'angle SIR (fig.220), on aura les équations : 

et le minimum de P correspondra à la direction normale à IR, ou à la condition X = Yf. La force P tend à la fois à entraîner le corps le long de la ligne de plus grande pente, et à le détacher du plan. 

On déduit de ces quatre équations : 

2° Si, au contraire (fig. 220), la verticale IQ prolongée est en dehors de l'angle SIR, on aura les équations : 

Le minimum de P correspond à une direction 1P normale à IR, ou à: 

La force P tend ici à retenir le corps et à l'appuyer contre le plan. 

3° Enfin, dans le cas intermédiaire où le poids Q est en prolongement de la réaction R, 

la force P est nulle, et le corps glisse d'un mouvement uniforme le long du plan incliné. 

L'inclinaison du plan sur l'ho rizon est alors égale à l'angle du frottement. 

223. Application aux traîneaux On emploie, dans certains pays, pour effectuer les transports sur la neige, des traîneaux MN, glissant sur le sol ÀB (iig. 221). Le cheval qui mène le traîneau est attelé à un brancard incliné OA, articulé en un point 0, au milieu à peu près de la portée du patin ; d'après ce qui vient d'être démontré l'inclinaison la plus avantageuse à donner 

au brancard et aux traits par rapport à la ligne A If est l'angle du frottement. C'est dans cette direction que 

le cheval dépensera la moindre force en agissant sur le traîneau, soit pour lui faire gravir une rampe (§ 222). soit pour lui faire descendre une pente peu inclinée (§ 222, Bon. 1°), soit pour le retenir sur une pente forte (§ 222. Rem. 2°). La réaction étant égale et contraire à l'action, le cheval est sollicité obliquement par le brancard ou les traits, suivant qu'il tire ou qu'il retient. Cette force oblique se décompose en deux forces ; l'une, horizontale, s'exerce sur le poitrail, par l'intermédiaire du collier, quand le cheval tire ; sur l'arrière-train, par l'intermédiaire du reculoir, quand le cheval retient ; dans les deux cas, cette force horizontale est équilibrée par le frottement développé au contact des pieds du cheval avec le sol. L'autre force, verticale, s'exerce tantôt de haut en bas, tantôt de bas en haut ; dans le premier cas, elle appuie la sellette du cheval sur son dos et se transmet de là par les jambes jusqu'au sol ; dans le second cas, elle tend à soulever le cheval au moyen de la sous-ventrière, et est contre-balancée par le poids de l'animal. C'est ce qui arrive toutes les fois que le cheval descend une côte où il est forcé de retenir. 

Si le frottement du traîneau sur le sol est très-faible, l'inclinaison du brancard doit être elle-même très-petite ; ce qui conduit à relever le point d'attache, 0, du brancard. 

TRAVAIL DU FROTTEMENT SUR LE PLAN INCLINE 

224. Reprenons la question générale traitée au § 222. Dans tous les cas que nous avons examinés, il y a équilibre entre les trois forces P, Q et R, et par suite la somme algébrique des travaux de ces forces, 

pour un déplacement élémentaire quelconque, est égale à zéro. Prenons pour déplacement élémentaire le glissement que subit effectivement le corps le long de la ligne de plus grande pente du plan incliné, 

quand il est animé le long de cette ligne d'un mouvement uniforme. La somme algébrique des travaux des """ 

trois forces qui correspondent au déplacement 11' est donc nulle. Examinons d'abord le cas où le corps monte. Le travail de la puissance P est égal au produit du déplacement II' par la composante Y parallèle au chemin, ou à Y XI I- Le travail de la réaction R est de même égal au produit négatif — F X II'- Enfin le travail de la pesanteur est égal au produit négatif— QXI'I">du poids Q parla quantité dont s'est élevé le centre de gravité du corps mobile. On a donc l'équation : 

°-Si corps descend, on a l'équation : 

quand la force P est mouvante, et l'équation 

quand la force P est employée à retenir le corps. Dans ces trois équations, le travail du frottement est négatif parce que le frottement est une résistance au glissement du corps ; le travail de la pesanteur est positif si le corps descend, négatif s'il monte; le travail de la force P est positif ou négatif, suivant que cette force est dirigée dans le sens du mouvement ou en sens contraii'e. 

Le cheval qui mène un traîneau le long d'une route, avec une vitesse constante, exerce sur ce traîneau une force P, dont la composante Y produit seule un travail ; l'autre composante X, est perpendiculaire au chemin décrit, et son travail est constamment nul. Le cheval se trouve, à l'égard de cette composante, dans la situation d'un support chargé du poids X. 

Le travail du cheval du à la composante Y se partage ensuite en deux parties : l'une qui correspond au travail de la pesanteur, et l'autre au travail du frottement. Si la route que le traîneau parcourt est horizontale, le travail développé par le cheval est entièrement absorbé par le frottement. 

Remarquons, en passant, que la foi'ce X, bien qu'elle ne produise pas de travail, contribue aussi bien que la force Y à fatiguer le cheval, et qu'il y a lieu de réduire cette charge au-dessous d'une certaine limite, pour laisser à l'animal la liberté de développer dans de bonnes conditions l'effort utile Y qu'on lui demande. Théoriquement, on pourrait réduire à zéro le travail à fournir sur une route horizontale, en plaçant sur le dos du cheval la totalité du fardeau à transporter ; car cette disposition rendrait nulle la composante Y ; mais elle augmenterait la force X et imposerait au cheval une charge qui pourrait excéder ses forces. 

En d'autres termes, un cheval, considéré comme bêle de somme, ne peut transporter qu'une très-petite fraction du poids qu'il traînerait sur une bonne route, sur laquelle le coefficient de frottement est très-petit. 

225. Le coin est un prisme triangulaire, A B C, qu'une force P enfonce entre les deux corps Ë et F, qu'il s'agit de séparer On demande la condition d'équilibreentrela puissance P, et les réactions que les corps E et F exercent sur les faces latérales ÀC, BC, du coin. 

Généralement la base ABC du coin est un triangle isocèle, et les corps E et F sont de môme nature. 

Nous adopterons ces hypothèses qui simplifient le problème. 

La force P est appliquée dans F's" 

le plan moyen CD du prisme, perpendiculairement à la face AB. 

Cherchons les conditions d'équilibre au moment où le glissement du coin va se produire sur les corps voisins. Alors, la réaction du corps F sur le coin sera une force R, dont on peut assigner la direction ; elle fait en effet, avec la perpendiculaire G H à la face BC, dans le sens opposé au mouvement, un angle HGR égal à l'angle ep du frottement. Le frottement étant le même sur la face AC, la réaction R' sur cette face fait dans le même sens, avec la normale LI au plan AC, un angle égal ko. On ne connaît pas les points d'application, G et L, de ces réactions, qui ne sont en réalité que les résultantes des actions élémentaires développées au contact des corps frottants, de M en N, et de M' en N'. Toutce qu'on sait, c'est que la résultante des deux forces R et R' est égale et contraire à la force P. Les trois forces passent donc par un même point 0 ; et par suite, on aura les valeurs des forces R et R' en prenant sur la médiane CD du triangle ABC, direction de la force donnée P, un point 0 quelconque, en menant par ce point deux droites 0 L, 0 G, faisant avec les faces 

AC, BC des angles égaux à 90°— o, et en décomposant la ■force P, transportée au point 0, suivant les directions OG, OL. 

Pour que le problème soit possible, il faut et il suffit que .l'angle 90° — soit plus grand que la moitié de l'angle C, au 

sommet du coin, ou qu'on ait © -j- < 90°. 

Le théorème du travail virtuel fait connaître le rapport des forces P et II. 

Imprimons au coin ABC un déplacement DD' infiniment petit , qui l'amène en A'B'C'. Nous pouvons admettre que le corps E reste.fixe, et que le corps F subisse seul le déplacement dù à l'enfoncement du coin. Décomposons les forces R et R' en deux composantes, l'une normale à la face du coin , l'autre située dans cette face ; f étant le coefficient du frottement, la composante nor-maie 

nor-maie R et de R' sera 

transporte en L', par suite du déplacement du coin , à une distance LL' = A A' de sa position primitive. Le point G se transporte en G' , à une pareille distance ; mais nous pouvons décomposer le chemin G G' en deux chemins G'G", G"G', l'un normal, l'autre parallèle à la face BC du coin. 

Le travail de la force P est positif et égal à P X DD' ; 

Le travail de la force R', appliquée en L, se réduit au travail négatif de sa composante tangentielle — — . ou à 

— 1 / j—- X LL' ; l'autre composante est en effet y \ j~-inale 

j~-inale la direction du déplacement ; 

Le travail de la force R, appliquée en G, est égal à la somme des travaux négatifs de ses deux composantes, ou bien à 

Divisons les deux termes de la fraction par A A' ; et observons que 

GG" GG" AS AA' — GG' — AC 

G"G' G" G' CS AA' - GG' — AC' 

S étant le pied de la perpendiculaire abaissée du point A sur le côté B C ; il viendra l'équation suivante, où il n'y a plHS que des rapports de quantités finies : 

P AS + f (AC -f- CS) 

MÉCANIQUE. ENS. SPÉCIAL, 3" ANS. 21 

Si le frottement était assez petit pour qu'on puisse le négliger on ferait f—0 dans la formule, qui donnerait 

car ces produits mesurent tous deux le double de l'aire du triangle ABC. 

et la réaction commune des deux corps E et F, supposés sans frottement, est à la puissance, comme le côté du coin CB est à sa base AB. Plus l'angle C du coin est aigu, plus la puissance P est petite par rapport à la réaction. 

226. Le coin peut être employé pour produire de grandes pressions : c'est ce qui a lieu dans la presse à coin, représentée ci-dessous. 

La force F, appliquée sur la tête du coin, le fait descendre entre le bloc fixe N, et le bloc M, mobile le long de la semelle S S ; dans ce mouvement, le bloc M comprime un 

corps placé en P contre 1 obstacle fixe 1111. Dans l'état de repos ou de mouvement uniforme, les forces R et R, , réactions obliques développées sur les joues du coin, font équilibre à la force F; puis, la force R', égale et contraire à Ri , et la force R". réaction oblique de la semelle sur la base du bloc mobile, font équilibre à la force P, réaction développée par la compression du corps. 

227. La vis est un cylindre droit à base circulaire, dont la surface convexe est revêtue d'une saillie continue de forme héliçoïdale. On emploie des vis à filets carrés, et des vis à filets triangulaires. 

La saillie des vis à filets carrés est engendrée par un rectangle de forme constante abdc, placé dans l'un des plans diamétraux du cylindre formant noyau, de telle sorte que le côté ac soit situé le long de la génératrice MN. On suppose qu'à partir de cette position, le rectangle reçoive un mouvement héliçoïdal, résultant de la composition d'une rotation uniforme autour de l'axe du cylindre , et d'une translation uniforme, parallèle au même axe. 

Tous les points du rectangle générateur décrivent dans ce mouvement des hélices de même pas. En général, le rectangle abdc a ses deux dimensions égales, et le pas ae des hélices décrites est double de sa hauteur ac. 

Les filets triangulaires sont engendrés de la même manière, mais un triangle isocèle, ordinairement équilatéral, 

y remplace le rectangle des filets carrés et le pas des hélices est égal à la base du triangle générateur, de sorte que la surface entière du noyau est recouverte des spires successives du filet. 

La vis s'engage dans un écrou EE', taraudé intérieurement 

de manière à offrir en creux la même forme que le filet de la vis ; l'écrou est donc traversé par un cylindre vide , dont la surface est refouillée par un sillon engendré de la même manière que 1er filet saillant de la vis, c'est-à-dire par la même figure génératrice, animée du même mouvement héliçoïdal. Si l'écrou est fixe, et qu'on tourne la vis, la vis se déplace le long des spires de l'écrou, et reçoit par conséquent un mouvement hé-liçoïdal qui la fait avancer d'un pas pour chaque tour ; si au contraire, la vis est assujettie à tourner sur des tourillons fixes, sans pouvoir se déplacer longitudinalement, si en même temps la rotation de l'écrou autour de l'axe de la vis est empêchée par des obstacles, la rotation de la vis déterminera la translation de l'écrou, à raison d'un pas pour un tour. 

Supposons que l'écrou soit fixe ; soit F, F', un couple de forces appliquées, dans un plan normal à l'axe de l'ap pareil, aux extrémités d'une barre AB traversant la tête de la vis et à angle droit sur cette barre ; soit P l'effort résultant développé contre un obstacle , dans le sens de l'axe 0 0' ; il y aura ainsi équilibre entre les forces P, F, F', et les réactions développées au contact du filet et de l'écrou. Nous pouvons déterminer la valeur de la force P. Faisons d'abord abstraction du frottement entre l'écrou et le filet, et appliquons le théo-i 

rème du travail. Un déplacement angulaire très-petit, 6, de la vis , entraîne un déplacement longitudinal E. Les travaux virtuels des forces F, F', qui correspondent à la rotation 0 de la vis, seront égaux aux produits de ces forces par l'angle 0 ; si donc on suppose les forces F et F' appliquées à des distances égales OB, OÂ, de l'axe de la vis, et qu'on représente ces distances par la lettre b, la somme des travaux des forces F et F' sera 2F b X Le travail de la résistance P est négatif et égal à — Pe; l'équation d'équilibre est donc 

Or, soit h le pas de la vis ; pour un tour, c'est-à-dire pour une rotation égale à 2it, la translation de la vis est égale à A; le déplacement angulaire 0 est au déplacement linéaire E dans le même rapport, et l'on peut, par suite, remplacer le rap-6 

port - par le rapport d'où résulte l'équation définitive : 

La force P est donc inversement proportionnelle au pas de la vis h, et en prenant un pas suffisamment petit, on pourra exercer un effort aussi grand qu'on voudra, avec un couple, 2 F6, d'intensité donnée. Cette remarque montre l'uti lité de la disposition que nous avons décrite dans la cinématique (§ 170), sous le nom de vis différentielle de Prony. Il est impossible, en pratique, de réduire le pas d'une vis au-dessous d'une certaine limite. Mais si l'on place bout à bout sur le même cylindre deux filets de vis, de pas h et h' ; que l'on fasse passer le premier filet dans un écrou fixe, et que-le second passe dans un écrou susceptible seulement de 

cevoir un déplacement longitudinal, la vis, en tournant, produira une translation de l'écrou mobile ; et cet écrou s'a vancera de la déférence h — h' des deux pas pour chaque tour de vis. La pression P, développée contre un obstacle par l'écrou mobile, sera donc donnée par la formule 

et elle pourra être rendue aussi grande qu'on voudra, en réduisant en conséquence la différence h —■ h'. 

228. Proposons-nous, en second lieu, de trouver la relation entre la résistance P et le couple moteur FY:.2i, en tenant 

extrême des lilets. Soit ?'= OM, le rayon de cette hélice moyenne, que nous représenterons par la courbe AB. En un point M de cette hélice, menons une normale MN à la surface héliçoïdale, et supposons, pour plus de simplicité, qu il s'agisse de la vis à filet carré, auquel cas la normale MN seia contenue dans un plan NMV tangent au cylindre sur lequel est tracée l'hélice ÀB. Menons aussi la tangente à 1 hélice au point M. Au moment où le glissement va se produire, la réaction totale, exercée sur le point M par 1 écrou, se décompose suivant les deux directions que nous venons de définir, et nous donne une composante normale, N, et une composante tangentielle ou frottement, /"N. Ces deux forces font le 

compte du frottement développé au contact du filet de la vis avec la surface interne de l'écrou. 

Nous simplifierons le problème en admettant que le contact de ces deux parties est concentré tout le long d'une hélice moyenne , tracée par exemple à égale distance entre le cylindre formant le noyau et le cylindre tangent au bord 

EN TENANT COMPTE DU FROTTEMENT. 3-27 

même angle i avec les droites M Y, MH, menées par le point M dans le plan tangent au cylindre contenant l'hélice AB, l'une parallèlement à l'axe 00', l'autre perpendiculairement à la première. Nous pouvons les décomposer chacune suivant ces deux directions ; appelons N', N" les composantes de la force N ; les composantes de la force /"N seront égales en valeur absolue à /"N', fN", de telle sorte que nous aurons suivant la direction MV, les composantes N' et — fN" ; et suivant la direction Mil, les composantes N" et /"N'. 

Nous pouvons faire la même décomposition en tous les points de l'hélice AB ; en chacun de ces points, nous trou- . verons de même deux composantes parallèles à l'axe 00', dont la somme est N' — fN", et des composantes perpendiculaires à l'axe 00' et ayant, par rapport à cet axe, un moment total égal à (N" -j- /"N') X r- Faisons la somme de toutes ces forces longitudinales et de tous ces moments pour toute la portion d'hélice engagée dans l'écrou ; nous trouverons, pour la somme de toutes les composantes parallèles à 00', l'expression 

en appelant N'( et N''( les sommes des composantes N' et N". et pour somme des moments des réactions par rapport à l'axe, 

Nous pouvons, par suite, écrire les équations de l'équi libre de la vis, qui sont au nombre de deux : l'équation des forces estimées suivant l'axe, et l'équation des moments autour de l'axe ; les quatre autres équations sont satisfaites d'elles-mêmes en vertu de nos suppositions. Nous avons donc, en omettant les indices. 

P = N' — fN", 2F6 = (N" -j- /"N') r. 

Or, on connaît le rapport de N' à N" ; car l'angle i est |v donné , et par suite on peut construire un triangle semblable au triangle rectangle 

NN'M, où le rapport des côtés ^ est égal N' 

Divisons la seconde équation par la première il viendra : 

cette équation donne le rapport , en fonction du rap - N' 

port jy-n qui ne dépend que de l'angle i et du coefficient de 

frottement f. Le rapport contenu dans le second membre N' 

n'est positif que si f < ^77 

Remarquons que si f = ^77, le dénominateur du second 

membre devient nul ; il faut donc aussi que P = 0, ce qui indique qu'une vis dans laquelle l'angle i serait tel que f fût N' 

égal à -jy7, ne pourrait servir à exercer un effort P, quelque 

grand que fût le couple moteur 2Fb. 

229. Supposons que la force P devienne la puissance et que le couple FX 26 soit au contraire résistant. Le calcul que nous avons fait pourra s'appliquer, sauf une seule modification ; il faudra changer le signe du coefficient f, ce qui correspond à un déplacement contraire de la vis dans l'écrou, et à un renversement de la direction du frottement. On aura donc alors : 

EN TENANT COMPTE DU FROTTEMENT. 329 

le numérateur du second membre s'annule pour /"= ce 

qui indique que 2Fb serait nul dans ce cas, quelle que fût la force P. La vis ne permet donc pas de transmettre l'effort P 

aux extrémités de la barre , si f est supérieur à 

l'unité. Nous avons déjà vu qu'elle ne permet pas de transmettre à l'extrémité de l'axe l'effort développé par le 

couple FX 26, si f n'est pas moindre que -.y,. La condition 

nécessaire et suffisante pour que la vis soit réciproque est donc que f soit moindre que la moindre des deux fractions 

Si f est compris entre les deux fractions, si par exemple / 

est moindre que ^rr, tout en étant plus grand que et cela 

aura lieu pour une petite valeur de l'angle i, on pourra faire tourner la vis et développer la pression P au moyen du couple des forces F, mais la réaction du corps pressé sur la vis ne pourra pas produire la rotation inverse, et par suite la pression exercée sur le corps se conservera sans altération même après suppression du couple moteur. C'est sur ce principe qu'est fondée la presse à vis. 

230. La résistance au roulement, appelée aussi, mais improprement frottement déroulement ou frottement dusecond ordre, est un résultat de la déformation qui se produit toujours au contact du corps roulant et de la surface sur laquelle il se meut. Cette déformation suit le point ou l'arête de contact des deux systèmes matériels, s'effaçant en partie aux points 

pour lesquels le contact a cessé. Si , par exemple , le cylindre 0 se meut dans le sens de la flèche f, en roulant sur le plan MM' autour de l'arête géométrique projetée en A, le contact du cylindre avec le plan, au lieu d'être, comme on le suppose en géométrie, concentré sur cette arête sans épaisseur, s'étend à une surface de largeur finie, AB, située tout entière en avant du point géométrique de contact A, dans le sens où le mouvement du cylindre tend à comprimer 

une trace visible, qui se forme en avant du point de contact géométrique de la roue et du sol par la compression des matériaux de la chaussée. 

La réaction du plan MM' sur le cylindre, résultante des pressions développées de A en B, ne passe donc pas par le point A, mais en un point C situé un peu en avant du point A ; elle se décompose d'ailleurs généralement en deux forces, l'une CN, normale au plan, l'autre CT, parallèle au plan ; cette dernière représente le frottement de glissement. Pour tenir compte de la résistance au roulement, il suffit de faire passer la réaction normale CN à une distance S, toujours très-petite, en avant du point A. 

Cette quantité S a été déterminée par les expériences de Coulomb, confirmées depuis par celles de M. Morin. Elle dépend de la nature des corps en contact, et est indépendante du rayon du cylindre. Pour le bois de gaïac roulant sur un plan de bois chêne, on l'a trouvée égale à 0m,00048. 

En général, il n'y a pas lieu d'en tenir compte dans les applications. 

le terrain sur lequel il roule ; en arrière du point A, le plan a conservé une partie au moins du tassement qu'il avait éprouvé au moment du passage du cylindre ; de sorte que le contact n'a plus lieu de ce côté. C'est ainsi que le passage d'une roue de voiture sur une chaussée empierrée laisse 

231 . La brouette porte, par son extrémité antérieure, sur une roue qui est destinée à rouler sur le sol ; à l'autre extrémité elle est terminée par des manches que l'ouvrier routeur tient dans ses mains et pousse en avant. Le rouleur porte ainsi une partie de la charge contenue dans la caisse de la brouette, et de plus il développe un travail moteur pour faire avancer la brouette le long du chemin qu'il doit lui faire décrire. 

Cherchons les conditions d'équilibre de l'appareil, lorsque l'ouvrier gravit une rampe d'un mouvement uniforme. 

Soit S S', le profil de la rampe ; 

OB, la roue de la brouette ; 

B, le point de contact géométrique de la roue avec le sol ; 

C, le point de contact réel, reporté un peu en avant, à la distance S, pour tenir compte de la résistance au roulement ; 

A 0, les longerons de la brouette ; 

A, le point que tient l'ouvrier rouleur et auquel il applique une force AF ; ' 

G, le centre de gravité, et P le poids de la brouette, y compris la charge qu'elle contient, mais non compris la roue ; 

P', le poids de la roue, qu'on peut supposer appliqué en son centre 0 ; 

G', le centre de gravité des poids P et P', et Q, le poids total, P + P', du système. 

La réaction du sol sur la roue passe par hypothèse au point C; on peut donc la représenter par une droite CL, dont la direction et la grandeur restent encore à déterminer. La force CL, composée avec le poids G'Q, doit être égale et contraire à la force A F, mais cette force ÀF est elle-même inconnue en direction et en grandeur, et on ne connaît jusqu' que son point d'application A. 

Pour achever de déterminer les inconnues, nous chercherons séparément les conditions d'équilibre du corps de la brouette et de la roue. Ces deux systèmes sont en contact sur une arête des tourillons de la roue, et là, comme il y a glissement de l'un des systèmes sur l'autre, la réaction totale des deux systèmes fait avec la normale commune aux surfaces en contact, en sens contraire du mouvement relatif, un angle égal à l'angle tp du frottement. Les tourillons de la roue sont mobiles dans l'œil du longeron. 

Soit OE le tourillon (/M?. 234), etE le point de contactavecl'œil;laroue tournant dans le sens de la flèche f, la réaction subie par la roue de la part du longeron a pour direction une droite ER faisant aveclanormaleEO un angle OER=cp. La réaction de la roue sur le corps de la brouette est une force R', égale et contraire à la force R. Abaissons du point 0 une perpendiculaire 01 sur la direction commune des forces R, R'. On connaît dans le triangle rectangle OIE l'angle E, égal à l'angle du frottement, et l'hypoténuse OE, égale au rayon du tourillon de la brouette. Donc on peut construire ce triangle, et en déduire la longueur du côté 01. Si du point 0 comme centre, avec cette longueur pour rayon, on décrit un cercle, on saura donc que la direction commune des réac-Fie 

tions mutuelles de la roue et du corps de la brouette est une tangenteà cecercle(^.235).Onsait de plus que la force R'fait équilibre aux forces GP et AF, tandis que la force R fait équilibre aux forces OP' et CL; ce qui exige, d'une part, que les trois droites RR', GP, AF, concourent en un même point, de l'autre que les trois droites RR', CL, OP', concourent en un même point. 

Les droites GP, OP' sont connues déposition; quant aux droites AF, CL, on n'en connaît qu'un point, A et C; 

enfin pour la droite RRr, on sait seulement qu'elle est tangente à un cercle donné décrit du point 0 comme centre avec 01 pour rayon. 

Le problème est donc ramené à tracer par des points donnés A et C, deux droites AF, CL, telles qu'en joignant les points M et H où ces droites coupent respectivement les droites données G P, OP', la droite M H soit tangente au cercle donné 01. 

Supposons le problème résolu ; joignons les points donnés A et C, et prolongeons cette droite jusqu'à la rencontre D de la droite MH. Prolongeons, d'ailleurs, CL et AF jusqu'à leur rencontre en N ; le point N est, comme nous l'avons observé, sur la direction connue de la force G'Q, résultante des forces GP et OP'. On connaît donc une droite G'Q sur laquelle se trouve le point N. Or, dans le triangle ANC, la 

transversale rectiligne MHD donne la relation (§ 35) : 

AMV NH DG MiNA H0 XDA— '• 

Le rapport ^ est égal a — , a cause des parallèles MP, Mrv i > NH nh 

M y ; de meme = ^ ; ces rapports sont connus. La 

relation précédente fait donc connaître le rapport 

DC mn X hC DA A my^nh' 

et, par suite, définit la position du point D sur le prolongement de AC. Il suffira de mener par le point D une droite DM tangente au cercle donné 01. Cette droite sera la direction commune des réactions R, R', de la roue et du corps de la brouette. 

Elle coupe les directions GP, OP', aux points Met H, qu'on joindra aux points A et C. La force P', décomposée suivant les directions IIC, HM, aura pour composantes la réaction R et la réaction CL du sol sur la roue. La force P, décomposée suivant les directions MA, MD, aura pour composantes la réaction R, déjà connue, et la force A F qué doit développer l'ouvrier. 

On remarquera qu'on peut mener par le point D deux tangentes au cercle 01; mais ces deux tangentes ne donnent pas deux solutions du problème, car l'une, celle que nous avons tracée, correspond au cas où la brouette remonte la pénte, ce que nous avions admis, tandis que l'autre correspond au cas où la brouette descend : la force ft doit toujours en effet, être dirigée en sens contraire de la rotation de la roue. 

232. Dans la mécanique rationnelle, on admet qu'un fil est un système matériel affectantlaformed'uneligne, c'est-à-dire n'ayant ni largeur, ni épaisseur ; le fil idéal est, en général, considéré comme inextensible et sans roideur, c'est-à-dire que sa longueur est regardée comme invariable, quelles que soient les forces qui agissent sur lui pour l'étendre, et qu'on peut le courber, l'infléchir, lui faire dessiner telle ligne qu'on voudra, courbe ou brisée, sans éprouver de résistance. Les fils, les cordes, que l'on rencontre dans les applications, sont loin d'avoir ces propriétés ; ils s'étendent sous l'action des forces qu'on leur applique, ils ne peuvent être courbés sans effort, et la roideur s'y manifeste par la courbure qu'ils prennent aux environs des points où on veut changer leur direction d'une manière brusque. Les lois de l'équilibre des fils parfaits s'étendent néanmoins aux fils réels, de la même manière que les lois de l'équilibre des solides géométriques s'étendent à l'équilibre de tous les systèmes. 

Le problème que nous nous proposons consiste à déterminer la forme d'équilibre d'un fil parfait soumis à des forces données, et de trouver les tensions développées en ses différents points. 

La tension d'un fil en un point donné, est la réaction mutuelle des deux portions de fil qui se réunissent l'une à l'autre en ce point. Si l'on coupe un fil en équilibre en un certain point, il faudra, pour rétablir l'équilibre de chaque portion , supposer que deux forces égales et contraires soient appliquées aux extrémités des tronçons séparés par la coupure ; ces forces ne sont autre chose que la tension du fil au point considéré. 

233. Il résulte de laque toute portion d'un fil en équilibre, est en équilibre sous l'action des forces directement appliquées à cette portion et des deux tensions qu'elle subit à ses extrémités. On peut démontrer , en s'appuyant sur cette remarque, que dans un fil parfait soumis à des forces 

réparties d'une manière continue sur sa longueur (comme la pesanteur, par exemple), la tension est en chaque point tangente à la ligne dessinée par le fil. Soit, en effet, un fil MN en équilibre sous l'action de forces ainsi réparties. Considérons isolément un élément infiniment petit, AB ; cet élément est en équilibre sous l'action des tensions T et T', qui sont des forces finies appliquées à ses extrémités, et des forces infiniment petites réparties de AenB; ces forces sont, par hypothèse, sensiblement parallèles, et leur résultante est proportionnelle à la longueur px AB de l'élément; elle peut, par suite, être exprimée par le produitpXAB, °ùp Fig. 236. représente un nombre fini, et elle est 

appliquéeen un point I, intermédiaire entre A etB. Puisqu'il y a équilibre entre les forces T, T' et p X AB, nous pouvons écrire l'équation des moments par rapport à un point quelconque et prenant le point A pour centre des moments, il vient 

h étant la distance du point A à la direction de la force T', et h' la distance du même point à la direction de la force 

Or N est nécessairement moindre que AB, et, par suite, p X AB X h' est plus petit que p X AIT2, quantité infiniment petite du second ordre; le produit égal,T 'X^> es^ donc aussi infiniment petit du second ordre : et comme Tr est une force finie, h est un infiniment petit du second ordre, ou du mêmé ordre de grandeur que le carré de la longueur AB. La direction de la tension en B est donc telle qu'un point A, infiniment voisin du point B, pris sur la courbe M N, soit à une distance infiniment petite du second ordre de cette direction elle est donc tangente à la courbe MN au point B1. 

1. Cette démonstration suppose expressément que le fll soit sans raideur; autrement il y aurait à considérer au point A, non-seulement une tension T, mais encore un couple dù à la courbure du fil en ce point. 

Si, outre les forces infiniment petites réparties d'une manière continue le long du iil S1N, on appliquait au fil une force finie isolée F, le raisonnement précédent ne serait plus admissible pour un élément qui comprendrait le point d'ap plication A de cette force; la forme d'équilibre du fil présenterait en ce point un point anguleux; la tension varierait d'une manière brusque en grandeur et en direction, d'un côté à l'autre du point A ; dans chaque branche AM, AN, les tensions seraient \M y 

encore tangentes à la courbe d'équilibre; îv\ / et au point Aon aurait deux tensions, ' "r> 

l'une Ti, tangente à la branche AM, l'autre i 

T„ tangente à la branche AN ; ces deux | 

tensions feraient équilibre à la force F. On v 

obtiendrait donc ces deux tensions en dé- g_ 

composant la force F, suivant les directions des tangentes aux branches qui se réunissent au point A., 

234. On appelle polygone funiculaire la figure d'équilibre d'un fil idéal, non pesant, sollicité en différents points de sa longueur par de^ forces 

de grandeur et de di- < r , ;i > 

rection connues. F> A T= c '■ " ^ 

Un fil sans poids , Fig, 238 

soumis à deux forces F( , 

F,, appliquées à ses deux extrémités A et B, est en équilibre si ces deux forces tendent à allonger le fil, et si elles sont égales. La tension du fil est en tout point égale à la valeur commune de ces deux forces. 

Si, en effet, on coupe le fil en un point C, il faudra pour rétablir l'équilibre, appliquer comme force extérieure à l'ex trémité C du tronçon AC, considéré seul, une force T,, égale et contraire à F4, et à l'extrémité C du tronçon CB, une force Ta égale et contraire à F,. 

MÉCANIQUE. ENS. SPÉCIAL, 3" ANN. 22 

23o.Enun point C duiil sanspoidsAB, appliquonsune force 

F de direction connue, et cherchons quelles forces F,, F,, il faut appliquer suivant les directions des cordons CA, CB, pour qu'il y ait équilibre. 

Du point A au point C, le fil n'est soumis, par hypothèse, à aucune, autre force extérieure que la force F, ; donc la tension en tous les points de ce cordon est égale à F ; de même en tous les points du cordon 

la tension est égalé à BC. 

Nous pouvons donc considérer le point C du fil Gomme un point matériel isolé, en équilibre sous l'action de la force F, et des tensions F, etF,, appliquées suivantles directions CA, CB, et par suite la force F est égale et contraire à la résultante des forces F, et F, ; on trouvera donc les tensions des deux cordons, et les forces qu'il faut appliquer dans leur prolongement, en décomposant une force égale et 

opposée à la force F suivant les directions données CA, CB. 

Les tensions sont généralement inégales dans les deux brins CA, CB ; elles ne sont égales que quand la direction CF est bissectrice de l'angle ACB. 

Supposons encore que la force F, au lieu de solliciter directement le point C, soit appliquée dans le prolongement d'un cordon CD, attaché au point C (fig. 240). La solution sera la même, car le point C, considéré isolément, se trouve solli-Fig 

cité à la fois par les tensions des cordons CA, CB, CD, égales respectivement aux forces F,, F,, F. Chacune de ces forces est donc égale et contraire à la résultante des deux* autres. 

236. Si le cordon CD était attaché à un anneau, libre de glisser sans frottement le long du fil A C B, l'équilibre exigerait que les forces F, et Fa fussent 

égales : autrement le fil ACB , 

serait entraîné à glisser dans l'anneau du côté où le sollicite la plus grande des deux forces F,, F,; le frottement de l'an neau contre le fil est en effet la seule résistance qui pùt contrebalancer cette tendance, et nous supposons qu'il est nul. Dans 

ce cas F, et F, étant égales, la direction du cordon CD est bissectrice de l'angle ACB. 

Soit ACB un fil inextensible, attaché aux points fixes A et B (fig. 242) ; soit C un anneau libre de glisser sans frottement sur le lil, et F une force appliquée à l'anneau de manière à tendre à la fois les deux portions du fil. L'anneau sera en équilibre dès que la direction de la force F sera bissectrice de l'angle ACB. Or, le lieu des positions de l'anneau dans_ le plan de la figure est l'ellipse qui a pour foyers les points A et B , et pour grand axe la somme constante C A -j- CB, égale à la longueur du fil. ' ^ 

L'équilibre du point mobile C sur cette f I , \ 

courbe a lieu quand la force qui le sol- 1 \ ' B j 

licite est normale à la courbe. On retrouve 

retrouve ce théorème de géométrie : 

la normale en un point de l'ellipse 

partage en deux parties égales l'angle formé par les droites 

menées de ce point aux deux foyers de la courbe. 

237. Occupons-nous enfin du cas général, c'est-à-dire de l'équilibre d'un fil sans pesanteur, ABCDE, sollicité aux points B, C, D, par des forces F, F', F", et à ses extrémités A 

et E par les forces R et S. Appelons T,, Ta, T3, T4, les tensions des cordons successifs AB, BC, CD, DE. 

L'équilibre du cordon AB, considéré isolément, exige 

sions T, et T, des cordons BA, BC, et la force F. Chacune de ces trois forces est donc égale et opposée à la résultante des deux autres ; et par suite on trouvera la tension inconnue T,, en composant la force F avec la force R transportée au point B. On peut observer que les trois directions BA, BC, BF, sont contenues dans un même plan. 

La tension ï3, ainsi déterminée, règne en tous points du cordon BC; il faut et il suffit pour l'équilibre de l'extré mité C de ce cordon, qu'il y ait équilibre entre les trois forces T,, F' et T3 ; la tension T3 est donc égale à la résultante des deux forces connues Ta et F', et les trois directions CB. CD, CF', sont contenues dans un même plan. 

On reconnaîtrait de même que la tension T4 du quatrième cordon est égale à la résultante de la force F" et de la tension T3 du troisième cordon; elle est d'ailleurs égale à la force S, qui sollicite le dernier cordon dans sa propre direction On peut donc, pour définir le polygone, donner en grandeur et en direction les forces R, F, F', F"; on devra donner aussi les longueurs AB, BC, CD, DE, des cordons successifs qui séparent les points d'application des forces. La construction du contour polygonal AB CDE fera connaître la grandeur et la direction de la force S qui est restée indéterminée. 

Il est plus simple, pour trouver la grandeur de cette force, 

que la force R agisse dans la direction de ce cordon; la tension T,, qui y est développée, fait équilibre à cette force, et par suite on aura : T. = R. 

Le point B est sollicité à la fois par trois forces, savoir les 

d'observer que S est égale et contraire à la résultante des forces extérieures R, F, F', F", qui sollicitent "le système matériel ABCDE; on aura donc sa valeur en transportant toutes ces forces en un même point, et en les composant par la règle du polygone des forces. La résultante sera égale et parallèle à la force cherchée. 

• La construction de ce polygone auxiliaire a l'avantage de faire connaître du même coup les tensions des divers côtés du polygone funiculaire, et les directions de ces côtés; on lui donne le nom de polygone de Varignon. 

Par un point 0 quelconque (fig. 244), menons une droite Or, parallèle à la force R et au premier côté AC, et prenons sur cette droite à une échelle arbitraire une longueur Or égale à la force R. Par le point r ainsi obtenu menons une droite rf, parallèle et égale à la force F. La droite 0f est la résultante des forces Or et rf appliquées au point 0 ; cette droite 0 f est donc parallèle et égale à la tension T, du second côté BC du polygone funiculaire, et par suite, elle est parallèle à ce second côté. Menons ensuite fp égale et parallèle à la force F'; 

la droite 0f' sera de même parallèle au côté CD, et égale à la tension T3 ; enfin, 

menons ff" égale et parallèle à F"; la droite 0f" qui ferme le polygone sera égale et parallèle à T4, c'est-à-dire à la force S, 

et déterminera cette force en grandeur et en direction. 

On peut observer que dans le polygone de Yarignon, les deux côtés Or, 0f', qui aboutissent au point 0, et les diagonales menées de ce point aux autres sommets, représentent les directions des côtés successifs du polygone, et les valeurs des tensions qui y sont développées. 

Remarquons encore que si on considère une portion quelconque du polygone funiculaire, les tensions dans les côtés extrêmes qui limitent cette portion , font équilibre aux forces extérieures appliquées aux sommets intermédiaires ; ainsi, les tensions Ta et T4 font équilibre aux forces F' et F", et les tensions T, et T, aux forces F et F'.. 

238. De là résulte un moyen de trouver la résultante de forces situées dans un même plan et données en grandeur et en position. 

Soient F,F',F''(fig. 245), les forces données. En un point A de la direction de l'une d'elles, on appliquera une force quelconque AR; on composera cette force R avec la force F transportée en A, ce qui donnera une résultante A m. La direction de cette résultante, prolongée si cela est nécessaire, rencontre en R la direction de la force F'. Transportons en 

de notre construction, sous l'action des forces R, F, F', F", S ; les forces extrêmes R et S représentent les tensions des côtés extrêmes du polygone. 

Donc ces forces font équilibre aux forces F, F', F", et par suite leur résultante est égale et contraire à la résultante cherchée. Prolongeons donc les directions AR, CS, jusqu' leur rencontre en D ; transportons en ce point les forces R et S, et achevons le parallélogramme DrPs; la diagonale DP sera égale et opposée à la résultante des forces données. La droite finie PD représentera donc en grandeur, en position et en sens, la résultante cherchée. 

R les forces Am et F' ; puis composons-les , ce qui nous donnera la résultante Bu ; prolongeons de même la direction de cette résultante, qui coupe .la direction de F" en C ; transportons en ce point les forces 

F" et Rit, et composons-les pour avoir leur résultante Cp ; considérons enfin une force S, appliquée en C, égale et contraire à Cp. Nous pouvons imaginer unpolygonefuniculaireRARCS, qui sera en équilibre, en vertu 

239. Le tablier des ponts suspendus est attaché, par des tiges verticales équidistantes, aux sommets successifs d'un polygone funiculaire. Proposons-nous de trouver la forme d'é quilibre de ce polygone et les valeurs des tensions développées dans ses divers côtés, en supposant que chaque tige ait à supporter un poids égal. 

Soit ABC DE F, un fragment de polygone; les poids égaux, P, P', P", ... sont suspendus aux sommets B, C, D, ... dont les distances horizontales sont constantes et connues. Soient T», T,, T1( ... les tensions développées dans les côtés successifs 

Construisons le polygone de Yarignon. Pour cela, par un point 0 quelconque, menons une droite Oa parallèle au côté AB, et égale en longueur à la tension To de ce côté. Menons par le point a une droite verticale az, 

sur laquelle nous prendrons des longueurs successives ab, bc, cd, 

de, ... égales entre elles et au poids P suspendu à chacune des barres. Joignons ensuite Ob, Oc, 

Od, 0e, ...; ces droites seront parallèles aux côtés BC, CD, 

DE, ... du polygone, et leurs longueurs respectives représenteront les valeurs des tensions T, , 

T,, T,, ... des mêmes côtés. 

Étant données la direction AB du premier côté, et la valeur To de la tension qui y est développée, la figure auxiliaire Oabcd ... permettra de construire le polygone; car on sait que les sommets de ce polygone se trouvent sur les droites équidistantes PB, P'C, P"D, ...; on trouvera, par conséquent la position du sommet C sur la droite P'C en menant 

par le sommet B une parallèle B C à la droite Ob ; par le point C ainsi obtenu, on mènera à Oc une parallèle CD, qui déterminera le point D sur la droite P"D, et ainsi de suite. 

Supposons, pour fixer les idées, que la chaîne polygonale du pont suspendu ait un côté horizontal ÀB, réunissant deux parties symétriques ; on -aura, par exemple, à droite du côté ÀB, les trois côtés inclinés BC, CD, DE, et à gauche les trois côtés AC', C'D', D'E', symétriques des premiers par rapport à la verticale IY, menée par le milieu du 

cote central. Les points E et E sont les points d attache de la 

chaîne aux culees du pont. Désignons encore par la lettre P le poids suspendu à l'un quelconque des sommets du polygone jusqu'aux sommets E et E', qui ne portent pas de poids semblables. Le poids total porté par la chaîne sera égal à 6 P, puisqu'il y a six sommets chargés, et ce poids se partage également, à cause de la symétrie de la figure et des charges, entre les deux appuis, E et E'. Cherchons la valeur de la tension To du côté A B ; pour cela, il suffit d'ex primer que cette tension fait équilibre, à l'aide de la réaction du point E, aux poids appliqués à la moitié'de la chaîne; prenons donc les moments par rapport au point E, ce qui élimine la réaction de ce point. Soit h la distance IG du côté AB à la droite horizontale EE'; et soit a la distance horizontale entre deux tiges consécutives ; distance que nous supposerons aussi entre le dernier sommet chargé D, et la verticale du point d'appui. Le moment de To, par rapport au point A, est ToX'1; ^ fait équilibre à la somme des moments des poids P, c'est-à-dire à 

PXna + PX(n-1)a+PX('ï-2)a + ..- + l>X"- 

il étant d'une manière generale le nombre de sommets chargés dans la moitié de la chaîne. Cette somme des moments est égale à 

PaX0+2 + 3 + ..- + n) = PaX n(n 2M)- et par suite on aura l'égalité 

On connaîtra donc To, et on pourra construire le polygone de Varignon, qui permettra ensuite de tracer la forme à donner à la chaîne. 

En appliquant la remarque faite précédemment (§ 238), on voit que les côtés CD, ÀB, prolongés, se couperont en un point M, qui appartiendra à la résultante des forces BP, CP', et qui, par suite, sera au milieu de la distance horizontale des points B et C ; de même D£; prolongé, coupera la direction ÀB au point N, sur la résultante des trois forces égales P, P', P" ; et l'on pourra prolonger, aussi loin qu'on le voudra, le tracé du polygone par cette considération; il suffira pour obtenir un nouveau côté de joindre le dernier sommet obtenu au milieu de l'intervalle compris, sur l'ho rizontale ÀX, entre le point B et la projection de ce dernier sommet. 

240. On peut aussi calculer les coordonnées des sommets successifs. Prenons pour axes coordonnés les droites IX. IY. Le point B aura pour coordonnées 

0-Le C a pour abscisse x = 2a, et pour ordonnée une quantité CN, què l'on peut construire au moyen du 

polygone de Varignon, ou bien directement, en composant la force P avec la tension To, et en prolongeant la direction de la résultante jusqu'à la rencontre de la verticale CP'. Représentons par 6 cette quantité CN. Nous aurons pour les coordonnées du point C, 

Les coordonnées du point D seront, d'une part, x = 

de l'autre y = DL ; prolongeons le côté B C jusqu'à sa rencontre en R avec DL; la quantité DL sera la somme des deux parties RL et DR ; or RL est double de CN, ou égale à 2b ; quant à DR, le polygone de Varignon, ou la composition des forces, montre qu'elle est égale à CN ou à b. Donc y — 2b + b. 

Le quatrième sommet E aura pour coordonnées 

car en prolongeant CD, BC, jusqu'aux points S et T, on a TS = DRX2, et SU = CN X 3. Enfin, on reconnaîtrait toujours de la même manière que TE est égal à CN ou à b. 

Cette loi est générale, et si l'on veut les coordonnées du nién" sommet, à partir du sommet B inclusivement, elles seront données par les formules : 

y — (n — 1 ) b -f- (n — 2) b -\-(n — 3)6 + ...4-36 + 26+6 = 6 X(1 +2+...+(71 — 11) 

On peut démontrer, au moyen de ces formules, que le polygone BCDE, ... est inscriptible dans une parabole. 

241. Remarque.— Si, passant à la limite, on suppose les poids P, P', P", ... infiniment rapprochés, le polygone se change en une courbe continue, et cette courbe est une parabole. 

Soit ABC le fil attaché à des points fixes A et C, situés à égale hauteur; soitB son point le plus bas. Les poids qui sollicitent le fil sont supposés uniformément répartis suivant l'horizontale; soit p le poids porté par le fil par unité de longueur horizontale ; soit, 2a la portée A C du fil, partagée au point B en deux 

parties égales. La résul- - A & : 

une moitié, BC, sera égale L 

à pa, et cette force passera " T„ " >' 11 c 

en un point I, milieu de Bc. Appelons To la tension du fil au point B ; la force 'e' 

horizontale To et la force verticale ^a font équilibre à la tension du fil au point C ; prenons donc les moments par rapport à ce point ; nous aurons pour déterminer To l'é quation : 

f étant la flèche B6, égale à la hauteur Ce du point d'appui au-dessus du point le plus bas. La tension au point C est tangente à la courbe formée par le fil ; et comme elle fait équilibre aux forces To et pa, les trois directions se coupent en un même point, c'est-à-dire au point 1 ; on obtient donc la tangente à la parabole en un point C quelconque en joignant ce point au milieu de la projection Bc de l'arc BC sur la tangente au sommet B. Plus généralement deux tangentes quelconques, menées à la parabole, se coupent en un point de la droite menée, parallèlement à l'axe, par le milieu' de la corde qui joint les points de contact. 

La composante horizontale de la tension en un point quelconque du fil en équilibre est constante et égale à T0. 

11 est facile de reconnaître que dans la courbe d'équilibre ABC, la distance M m d'un point M quelconque à la tangente au point le plus bas, est proportionnelle au carré de la distance Bm du même point à la verticale Bb ; en effet, il y a équilibre pour l'arc B M entre la force horizontale To, le poids B«XPI vertical et appliqué au milieu n de la distance B m, et enfin la tension au point M. Prenant donc les moments par rapport à ce point, on aura l'équation 

242. La chaînette est la courbe d'équilibre d'un fil homogène pe sant. Elle diffère de laparabole en ce que le poidsp, au lieu d'être uniformément réparti sur l'horizontale, est uniformément réparli suivant la courbe elle-même. Il résulte de là qu'il y a très peu de différence entre la chaînette et une parabole dans la région voisine du sommet B des deux courbes ; car dans cette région, il y a peu de différence entre la longueur de l'arc de courbe et la longueur de sa projection. 

Nous supposerons que la forme de la chaînette ait été déterminée soit empiriquement, soit par une méthode analytique, et nous allons chercher ses principales propriétés géométriques, en exprimant qu'un arc quelconque de courbe est en équilibre sous l'action de son poids et des tensions qui s'exercent tangentiellement à ses deux extrémités. 

Soit ABC la forme d'équilibre à laquelle nous donnons le nom 

de chaînette. A et C sont par exemple les points où s'attache le fil, B est son point le plus bas. 

Prenons un arc quelconque de courbe MN, et menons en ces points les tangentes MT, NT', 

qui seront les directions des tensions T etT'. Les deux directions MT, NT', se coupent en un point S, et ce point se trouvera sur la verticale menée par le centre de gravité de l'arc MN, car les deux forces T et T' 

font équilibre au poids MNxp de l'arc, qu'on peut regarder comme appliqué en son centre de gravité. 

Décomposons les forces T et T' en deux composantes, l'une horizontale T0, l'autre verticale, T,, et T',.Les deux composantes horizontales seront égales ; quant aux composantes verticales on aura entre elles la relation 

On a enfin à exprimer l'équilibre du couple(T0,—T0) et du couple auquel on peut réduire les forces parallèles T',, T,, et p x MN ; ce qui conduit à l'équation des moments 

T. x EN+ (p x MN) xFN = T0 X ME. 

Nous pouvons trouver très-facilement une relation entre les tensions T et T'. En effet, prenons un arc infiniment petit MN, et projetons les trois forces T.T'etpX MN, qui sont en équilibre sur une môme direction, à savoir, sur la direction de la tangente au point M ou de la force T ; la direction de la force T' faisant avec l'axe de projection un angle infiniment petit, 

s'y projette en vraie grandeur aux infiniment petits du second ordre près. Donc, 

la force T' excède la force T de la projection sur la tangente de la force verticale pXMN ; mais projeter sur la tangente une longueur proportionnelle à MN, prise sur la verticale, cela revient à prendre cette quantité sur la tangente, ou sur l'arc lui-même, et à la projeter sur la verticale; la projection cherchée est donc 

égale au produit de p parla projection NP de l'arc MN sur la verticale, ou par la différence de hauteur, h, des deux extrémités, M et N, de l'arc. 

Cette relation peut s'appliquer à un arc MN quelconque, car on peut toujours décomposer cet arc en éléments aussi petits qu'on voudra, à chacun desquels l'équation sera applicable, et il n'y aura qu'à faire la somme de toutes ces équations pour obtenir l'équation relative à un arc quelconque : 

La tension au point le plus bas, B, est horizontale, et par suite égale à To, puisque la composante horizontale de la tension est partout la même. Appelons donc H la hauteur d'un point quelconque M, au-dessus du point le plus bas : la tension T en ce point sera donnée par l'équation 

On peut représenter les tensions par le poids d'une certaine longueur de fil ; la tension To sera par exemple représentée par une longueur a de fil fournie par l'équation pu — T» ; dans cette hypothèse, la tension T en un point M quelconque est représentée par la longueur de fil a + H, car on a toujours 

T —To + p H =p x (a+H). 

Menons au-dessous de la courbe, à une distance Bb=a de son 

point le plus bas, une horizontale bm. 

Le point M de la courbe sera à la distance MP + P»), ouH-fa, de cette droite, et par conséquent Mm représente, en longueur de fil, la tension T au point M. On voit que si l'on place en M une poulie infiniment petite, et qu'on fasse passer le fil sur cette poulie, l'é quilibre sera assuré par le poids dubrinMw.pourvuqu'on donne à ce brin une longueur telle qu'il atteigne sans la dépasser l'horizontale b m. 

Nous avons vu tout à 1 heure que la composante verticale, T,, de la tension au point M surpasse la môme composante en un autre point B, de tout le poids de l'arc BM ; soit S cet arc, compté à partir du point le plus bas ; la composante verticale étant nulle en B, on aura simplement 

'La tension .totale T est la résultante des deux forces rectangulaires To et T, ; donc 

Appelons?/, pour abréger, la distance totale Mm; il viendra, en supprimant le facteur commun p, 

équation qui permet de construire géométriquement la longueur rectifiée de l'arc S. Cet arc est en effet le second côté de l'angle droit d'un triangle rectangle, dont le premier côté est égal à a, ou à B6, et l'hypoténuse égale à y ou à Mm. 

Du point m abaissons «m'perpendiculaire surla tangente Mm'; le triangle mm'M sera semblable au triangle MTo T, et par conséquent 

OrMm=a + H, donc mm' = a. 

Le triangle mm'M est rectangle en m'; il a l'hypoténuse Mm = y, et le côté de l'angle droit mm' = a ; donc le second côté de l'angle droit, Mm, est égal à l'arc S. 

Le point m' est un point de la développante de chaînette qui part du point B. On obtient ainsi ces deux théorèmes remarquables : 

La distance du pied m de l'ordonnée M m à la tangente est constante ; 

La projection Mm' de l'ordonnée sur la tangente est égale à l'arc Bm. 

La droite mm! est tangente à la courbe lieu des points m' ; 

on voit que la portion de la tangente menée à cette courbe, comprise entre le point de contact et la droite bm, a une longueur constante. La développante de chaînette qui part du sommet, est pour cette raison appelée trantrice ; c'est la courbe décrite sur un plan horizontal par un point matériel qui serait tiré à chaque instant par un fil sans poids, de longueur constante m'm, dont la seconde extrémité parcourrait la droite fixe b m. 

Les droites M m' et BP se coupent en un point I qui appartient à la verticale passant par le centre de gravité de L'arc BM. Les triangles IPM, MT0T sont semblables et donnent la proportion 

PM T, pS S 1/y- — a-équation 

a-équation permet de calculer la distance I P. 

Si du point m on abaisse une perpendiculaire mQ sur la droite MN, normale à la chaînette au point M,on aura dans le rectangle MQ?nrn', MQ= mm' — a. Donc le lieu du point Q est une courbe parallèle à la chaînette , équidistante et passant au point b. 

243. Nous avons fait usage, pour établir toutes ces propriétés, de l'équation que l'on obtient en projetant sur la tangente à la courbe les deux tensions du fil en deux points infiniment voisins. Cherchons encore ce que nous apprend la projection des mêmes forces sur la normale MN. 

Soit C le centre de courbure d'un arc infiniment petit M' M"; 

menons la normale CM qui passe par le milieu de cet arc, et appelons M l'angle M" C M'. L'équilibre a lieu entre le poids ys de l'arc M"M', qui s'exerce verticalement suivant M P et les tensions T et T'. 

Projetons ces trois forces sur la droite CN. La projection du poids MP = ps nous donnera d'abord une certaine droite M H, égale au produit de p par Fig 252 la projection sur MN d'une longueur 

longueur prise sur MP ; or M'M" fait avec l'horizontale M'R le môme angle que la verticale M P 

avecla normale MN, etparsuite la projection de pxs sur la normale est égale au produit pxM'R, 

La force T fait avec la tangente à la courbe en M un angle 

égal à a-; la projection de T sur la normale est représentée sur la 4 

figure par le côté TT, du triangle rectangle TT, M', obtenu en menant par M' une perpendiculaire à la direction CN, et par T une parallèle à la môme direction. L'angle TM'T, est égal à 

l'angle g. Or, TT, diffère infiniment peu de l'arc décrit du point 

M' comme centre avec M'T pour rayon, et cet arc pour longueur 

T x -• De même la projection de T' sur CN a pour valeur 2 

T' x -, et la somme de ces deux composantes est égale à 2 

(T + T') x| = px M'R, 

ou bien, en observant que les tensions T ou T' sont infiniment peu différentes l'une de l'autre , et que l'on peut substituer par conséquent à leur somme le double de l'une d'elles, 2 T, 

Dans cette équation, remplaçons u par le rapport de 

l'arc MrM" au rayon de courbure CM ; remplaçons de môme T par sa valeur py, ou p X M m, il viendra 

Prolongeons la normale jusqu'au point N où elle coupe la droite b m ; les triangles M m N, M'RM" ont leurs côtés respectivement perpendiculaires, et sont par suite semblables : nous avons donc la proportion 

Dans la chaînette, le rayon de courbure en un point donné M est égal à la portion de normale comprise entre le point M et la droite bm. 

24i. Nous obtiendrions encore des propriétés de la chaînette en appliquant d'autres théorèmes de statique. Par exemple, nous savons que la position d'équilibre d'un système pesant à liaisons est celle dans laquelle le centre de gravité est le plus bas possible. On peut en conclure sur-le-champ que de toutes les courbes ACB joignant deux points donnés dans un plan vertical et ayant une même longueur, la chaînette est celle qui a son centre de gravité le plus bas possible ; appliquant ensuite le théorème de Guldin, on reconnaîtra que de toutes les surfaces engendrées en faisant tourne? autour d'une horizontale HH', les diverses courbes ACB qui ont une même longueur et qui joignent les deux points donnés, A et B celle qui a la moindre superficie est engendrée par la chaînette. 

ÉQUILIBRE D UN FIL APPLIQUÉ SUR UNE SURFACE 

245. Supposons qu'un fil sans pesanteur soit appliqué sur une surface qui n'exerce sur lui aucun frottement. Les seules forces qui agiront sur une portion quelconque de fil seront les tensions en ses deux extrémités, et les réactions normales delà surface. Pre nons sur le fil un arc infiniment petit AB ; cet arc pourra, sans 

erreur, être confondu avec un arc de cercle, dont le centre C sera le centre de courbure de la courbe dans l'intervalle des pointsAet B. Les réactions de la surface sur l'élément AB se composent en une force unique IN, normale à la surface, et par suite normale à la courbe, et qui fait équilibre aux tensions T et T'. Donc les trois forces T, ,T' et N sont dans un même plan; la normale IN à la surface est située par conséquent dans le plan des deux tangentes infiniment voisines AT et BT\ ou dans le plan osculateur c'est donc la normale principale de la courbe, et elle passe par suite par le centre de courbure C. En d'autres termes, 

la normale à la surface coïncide avec la normale principale à la courbe. 

Projetons les trois forces N, T et T' sur la tangente à la courbe au point I. Les forces T et T' faisant des angles infiniment petits avec cette tangente, se projettent en vraie grandeur, tandis que la force N, normale à l'axe de projection, a une composante nulle. Donc T=T'; et par conséquent la tension est la même en tous les points du fil. 

Le théorème du travail virtuel conduit au même résultat. Prenons une portion finie quelconque de fil ; elle est en équilibre sous l'action des deux tensions extrêmes, T et T', et de toutes les réactions de la surface, qui sont normales; cela posé, imprimons au fil un déplacement longitudinal, s, commun à tous ses points et infiniment petit. La somme des travaux des tensions T et T' sera égale à T'e, ou à (T — T')e, et cette somme doit être égale à zéro, car les travaux des réactions sont nuls ; donc enfin T = T'. 

Cherchons la réaction de la surface. 

Soit & l'angle de contingence ACB, égal au rapport - 

de l'arc AB au rayon de courbure CA. La projection des trois forces N,T, T'.'dont les deux dernières sont égales, sur la direction delà force N, donne la valeur de la réaction. Nous avons obtenu, dans un cas tout semblable (§ 244) , l'équation suivante 

— est la réaction de la surface rapportée à l'unité de longueur 

du fil ; on voit qu'elle est égale à la tension T divisée par le rayon de courbure p de la courbe affectée par le fil ; mais T est partout le même ; donc la réaction de la surface rapportée à l'unité de longueur est inversement proportionnelle au rayon de courbure 

246. La courbe dessinée sur une surface par un fil en équilibre qui y est appliqué, jouit de cette propriété, qu'elle a entre deux quelconques de ses points la plus petite longueur possible. Car le fil, d'abord placé de manière à passer par les deux points, sera amené par la tension àoccuper la position où il ne peut plus subir de raccourcissement. On appelle lignes géodésiques les lignes qui, sur une surface donnée, ont la longueur minimum. Elles ont ce caractère géométrique que leur plan osculateuren un point quelconque est normal à la surface. Par exemple, les lignes géodésiques de la sphère sont des arcs de grand cercle ; sur le cylindre droit à base circulaire, ce sont des arcs d'hélice, et comme cas particulier, les cercles de section droite ou les génératrices rectilignes Sur le plan, les lignes géodésiques sont des droites ; pour toute autre ligne, le plan osculateur coïncide avec la surface au lieu de lui être perpendiculaire. 

Lorsqu'on applique sans déchirure ni duplicature une surface sur une autre, des lignes quelconques tracées sur la première conservent leurs longueurs sur la seconde, et les angles sous lesquels leurs directions se coupaient restent aussi les mûmes après la déformation. Les lignes géodésiques de la première surface se transforment donc en des lignes géodésiques sur la seconde. 

On voit par là que la sphère n'est pas applicable sur le plan. Car un triangle sphérique formé par trois arcs de grand cercle, ou par trois lignes géodésiques, se transformerait sur le plan en un triangle rectiligne, et les angles des deux triangles seraient respectivement égaux, ce qui est impossible, puisque la somme des angles du triangle rectiligne est égale à deux droits, tandis que la somme des angles du triangle sphérique surpasse deux droits de la quantité appelée excès sphérique. 

247. Étant donnée dans l'espace une courbe quelconque, L, on peut faire passer par cette courbe une surface développable dont cette courbe soit une ligne géodésique. 

En effet, menons par les tangentes à la courbe en des points trôs-rapprochés, A,B, C, des plans normaux aux normales principales ou ce qui revient au même, normaux aux plans osculateurs Ces plans se couperont deux à 

deux suivant des droites, et à la limite, ' / '• • 

lorsque les points A,B,C, se seront in- / 

définiment rapprochés , la surface S ' 

qui contient ces droites seral'enveloppe des positions du plan mobile ; ce sera '■ 

donc une surface développable. Ses ris- 255- . 

plans tangents successifs sont normaux aux plans osculateurs de la ligne donnée; donc cette ligne est une ligne géodésique de la surface S. 

DE LA POULIE ET DES MOUFLES 

248'. Lne poulie est une roue A assujettie à tourner autour d'un axe B qui traverse une chape mobile C, destinée soit à suspendre la poulie à un point fixe 0 (fig. 256), soit à supporter un poids Q (fig. 257). 

La surface convexe de la roue est généralement creusée en forme de gorge, de manière à recevoir un fil qui l'en veloppe sur un arc plus ou moins grand ; une puissance P, et une résistance R, sont appliquées aux deux extrémités de ce fil. On demande dans quel rapport doivent être les forces P et R, et quelle force Q il faut appliquer à la chape pour qu'il y ait équilibre. . 

Supposons d'abord que l'axe B soit fixe, en sorte que la poulie ne puisse que tourner autour de cet axe ; fixons par la pensée le fil à la surface de la gorge ; alors tout se passe comme si les forces P et R, qui mesurent les tensions du fil, étaient directement appliquées aux points a et b tangentielle-merit à la surface de la roue. La roue se trouve donc dans 

les mêmes conditions qu'un treuil sollicité par deux forces P et R, appliquées à des distances égales Ba, B& de son axe ; l'équilibre du treuil exige donc que les deux forces P et R soient égales. 

Cette condition satisfaite, on peut rendre au fil la liberté de glisser sur la gorge de la poulie ; car les forces P et R, qui le sollicitent en sens opposés, étant égales, le glissement ne pourra pas se produire. 

Considérons ensuite l'équilibre de l'en semble de la poulie et de la chape. La chape est sollicitée dans la direction B E, soit par la force donnée Q soitpar la réaction inconnue du point fixe 0, que nous pouvons aussi appeler Q. Il en résulte que les trois forces P, Q, R', se font équilibre, et par suite, elles sont dans un même plan et elles concourent en un même point, ou bien elles sont toutes Fig. 257. trois parallèles ; dans les deux cas l'une est la résultante des deux autres. 

Si elles sont toutes trois parallèles, comme cela a lieu dans 

les figures 256 et 257,1a force Q est égale à la somme des deux autres P et R, et comme ces deux dernières forces sont égales, la tension de la chape est double de la puissance P. 

Si les forcesP, Q, R ne sont pas parallèles (iig. 258), elles concourent en un même point L, et la force Q, dont la direction passe par le centre 0, tesla bissectrice de l'angle RLP des deux autres forces. Pour trouver la valeur de Q, menons par le point 0 deux rayons Op, Or, parallèles aux 

forces P et R ; joignons rp, et prolongeons la droite LO, qui rencontrera la corde rp en son milieu I. Nous pouvons prendre Or, 0;? comme les mesures des deux forces égales P etR; la distance 01 est la moitié de la diagonale du parallélogramme construit sur ces deux droites, et par suite 2 01 sera la mesure de la force Q. Nous aurons donc > 

"Mais le triangle Orl est égal au triangle OaK; car ces deux triangles, rectangles, l'un en K, l'autre en I, ont les hypoténuses Oa, Or, égales, et l'angle IOr est égal à IOp, lequel est égal à l'angle OaK, leurs côtés étant respectivement perpendiculaires Donc 01 = Ka, et par suite 

Q _ 2Ka ab P "Or" — Or' 

Cette équation contient comme cas particulier la relation Q = 2 P, qui a lieu lorsque les forces P, Q; R sont parallèles 

249. Lorsqu'on veut se servir de la poulie pour élever un poids, il y a avantage à rendre les deux brins du fil qui passe sur la poulie parallèles et par suite verticaux. Car cette disposition est celle qui correspond à la moindre tension du fil. On peut d'ailleurs adopter soit l'une, soit l'autre, des dispositions représentées dans les figures 256 et 257. Dans la première la poulie est fixe, et le poids à soulever est attaché à l'extrémité du fil Ull] la puissance P est alors égale à ce poids. Dans la seconde, le fil 6R est attaché en un point fixe R, qui supporte une charge égale à la puissance P, et le poids à soulever, Q, est attaché à la chape mobile de la poulie ; 

on a dans ce cas P = ^ Q- Ainsi la première disposition 

exige l'emploi d'une puissance égale au poids à soulever la seconde exige l'emploi d'une puissance moitié 

moindre. Le théorème du travail virtuel confirme ce résultat Dans le premier cas, la poulie est fixe ; si l'on fait parcourir au fil . une longueur E dans le sens - de la force P , le poids R monte de toute la quantité z ; donc Ps == RE, et par suite P = R. Dans le second cas, le parcours E effectué par le point d'application de la force P dans le sens de sa direction, équivaut à un raccourcissement du fil égal à s ; ce raccourcissement se partage par moitié entre les deux brins aP, 611 ; il en résulte pour chacun un 

raccourcissement de |, et c'est de cette quantité que se 

relèvent la poulie, la chape, et le poids Q; l'équation d'équi libre est donc 

250. On peut, en combinant ensemble plusieurs poulies, réduire autant qu'on le voudra le rapport de la puissance au poids soulevé. La combinaison connue sous le nom de moufles consiste à réunir sur l'axe traversant une chape, un certain nombre de poulies ; on fait usage de deux moufles semblables ; l'une, A (lig. 259), est attachée à un point fixe 0 ; l'autre, B, soutient le poids Q qu'il s'agit de tenir en équilibre. Un même fil réunit les deux moufles en passant successivement et alternativement sur toutes les poulies qui les composent. La figure 259 représente deux moufles de 3 poulies chacune. Le fil, attaché au point C de la première chape, passe sur la poulie 1 , revient de là à la poulie 2, puis passe sur la poulie 3, d'où il remonte à la poulie 4, redescend ensuite à la poulie 5, qui le renvoie à la poulie 6 ; la puissance P est appliquée au brin qui quitte cette dernière poulie. On suppose d'ailleurs, pour plus de simplicité, les deux moufles assez éloignées l'une de l'autre, pour que tous les cordons compris dans leur intervalle soient sensiblement 

parallèles. La force P peut être ou n'être pas parallèle aux autres cordons ; sa direction influe sur la charge de la chape supérieure et du point 0, sans rien chan- . 

ger à la tension des six cordons qui sou- Jo 

tiennent la chape inférieure et le poids Q. 

Ces tensions sont partout égales à la force /"; □ P, si toutefois on fait abstraction du frottement des poulies sur leurs axes. Coupons les six cordons par un même plan intermédiaire aux deux moufles ; nous obtiendrons dans chacun une tension égale à P, et l'ensemble de ces six tensions verticales fait équilibre au poids Q. On a donc 

6°-Le du travail virtuel conduit à la même relation ; si l'on imprime au fil dans la direction de P un déplacement E, ce 1 

déplacement produit un raccourcissement r's" 2o9' 

égal sur les six cordons qui réunissent les deux moufles, et fait 

monter par conséquent le poids Q de la quantité Donc. 

Ps = Q X {ji 0U bien P — "y i en supprimant le facteur s. 

231. Onappelle palan différent iel (fig. 260) un système de deux poulies, l'une attachée à un point fixe 0, l'autre mobile et portant le poids Q qu'il s'agit de soulever; la poulie supérieure A. comprend en réalité deux roues ag, cd, solidaires l'une de l'autre, et de diamètres inégaux; un fil sans fin passe-sur ce système de 3 poulies en suivant le chemin abcdefga. Concevons qu'en un point C du brin ab, on applique une force P verticale; et supposons que le fil ne puisse glisser à la surface des gorges des diverses poulies ; cherchons les tensions dans les différents brins du fil. Les tensions dans les brins 

ed, fg seront égales, car il est nécessaire qu'il en soit ainsi pour l'équilibre de la poulie B autour de son axeN ; les brins «tant d ailleurs supposés parallèles, il en résulte que la tension 

T dans ces deux brins est égale à Coupons le fil par un 

plan CD ; nous trouverons dans les deux brins qui aboutissent en d et en g sur la poulie supérieure ces tensions égales à T ou à 

Il n'y a pas de tension dans le brin 

cb, qui tombe librement du point c, et dont le poids est supposé négligeable. L'équilibre du treuil A, sous l'action des 

troi forces P, -, nous donnera l'é quation 

quantité qu on peut rendre aussi petite qu'on le voudra en diminuant la différence des rayonsdes deux poulies accolées. 

Pour traiter la même question par le théorème du travail virtuel, faisons descendre le point C de la quantité E; le point g du fil montera de la même quantité ; le point c du 

fil montera donc de la quantité E X jy^, et cette quantité 

mesurera la descente du point d ; donc le fil qui embrasse 

l'arc ef, s'élève de e du côté f, et s'abaisse de e x ^ du ■côté e; il se raccourcit donc de t — ïïg)' et Par su'le 'a 

poulie B se relève de la moitié, ^ e ; telle est la 

quantité dont s'élève le poids Q. Donc l'équation d'équilibre est 

équation identique à la précédente, puisque Ma = i%, et Me = M <2. 

On néglige le poids du fil, sans quoi il faudrait introduire un terme pour représenter le travail correspondant. 

Les tensions du fil étant inégales dans les brins qui aboutissent à la poulie supérieure, on voit qu'il est nécessaire d'empêcher le glissement du fil le long des arcs embrassés sur cette poulie, si le frottement ne suffit pas pour assurer ee résultat. 

OBSERVATION SUR LA THEORIE DES MOUFLES 

252. Considérons un système matériel en équilibre sous l'action de forces F, F', F"... respectivement appliquées en des points À, A', A" ... 

Supposons que les forces F, F', F"... soiept proportionnelles à des nombres entiers, m, m', m",... et soit T, la valeur F F' p' 

commune des quotients r Il sera toujours possi-1 

ble de trouver des nombres entiers qui soient proportionnels 

aux forces données, sinon rigoureusement, du moins avec 

une approximation aussi grande qu'on voudra. 

Remplaçons laforce F (fig. 261) par une paire de moufles 

dontl'une, la supérieure B, sera attachée au point A, et 

dont l'autre, l'inférieure, C, sera traversée en son centre-par un axe fixe 0 choisi de telle sorte que la droite A 0 coïncide avec la direction de la force F. Nous composerons cette moufle d'un nombre de poulies égal au nombre m, de manière qu'une section faite dans les fils entre les deux chapes B et C nous donne m fils tendus. 

Nous pourrons de même remplacer la force F' appliquée en 'À par une moufle présentant m' cordons, et nous pourrons faire passer sur les poulies de la seconde moufle le fil CD qui quitte la première au point C. 

De même, pour produire au point A" la traction F", nous appliquerons en ce point une troisième moufle à m" cordons, sur laquelle nous ferons c » encore passer le même fil à sa- sortie 

Fig. 261. des poulies de la moufle précédente. 

Si l'on opère ainsi pour toutes les forces, il suffira d'ap pliquer au bout du fil un poids égal à T, pour y produire partout une tension T, et pour développer par suite dans les liens qui attachent les chapes supérieures aux points A, Ar, A"... des tensions mT, m'T, m"T ..., égales aux forces F, F', F" ... 

Cela posé, donnons au système matériel un déplacement infiniment petit quelconque, compatible avec ses liaisons ; ce déplacement va faire varier les distances respectives des points A, A' A", ... aux points fixes 0, 0' 0", ... auxquels ils sont réunis par les moufles ; soiente, E', B", ... les variations des distances OA, OA', OA", ..., positives quand la distance diminue, négatives, quand elle augmente. Cette variation va produire un déplacement du lil à la surface des poulies: pour une diminution de B dans la distance des points B et C, il se déroulera de la paire de moufles BC qui est à m cor» dons, une longueur de fil égale à me; les variations s', s", ... des autres distances produiront le déroulement (positif ou négatif) de longueurs de fil respectivement égales à m'e', à m"a", ... ; donc en définitive, le déplacement imprimé au. 

système produira sur le poids tenseur T une descente totale •égale à 

ms -j- mV -f" m"t -j- ... 

Or ce poids tenseur est la seule force qui, étant donnée la nouvelle constitution du système, puisse y produire un déplacement effectif; et comme il tend à descendre, et non à monter, on est certain que le déplacement fictif que nous avons imprimé au système ne peut se produire, si la somme 

nu -j- m'e -|- m"e" -(-••• 

Mais si les .déplacements du système sont possibles dans les deux sens, on pourra, dans le cas où cette somme serait négative, la rendre positive en considérant le déplacement contraire au premier (§ 107). Il faut donc qu'elle soit nulle pour que le poids T ne puisse descendre ni par l'un ni par l'autre de ces deux déplacements contraires. Donc enfin, pour que le système soit en équilibre, c'est-à-dire pour qu'aucun déplacement ne puisse y résulter de l'action simultanée des forces, il faut et il suffit que la somme m£-j-m'E'-j-m"e"-|- ... soit nulle pour tout déplacement compatible avec les liaisons, ou ce qui revient au même, que la somme 

Tflte + TroV + Tm"e" + ... 

FE + F'6' + F"E" + ... 

soit égale à zéro, quel que soit le déplacement fictif que l'on considère. 

, Cette proposition n'est autre chose que le théorème du travail virtuel. La démonstration très-simple que nous venons de donner est tirée de la Mécanique analytique de Lagrange. 

233. La grue tournante représentée par la figure 262 est un appareil destiné au chargement et au déchargement des voitures et des navires.. 

Il comprend un arbre vertical OB, posé sur une crapau-dineO et appuyé latéralement, dans la région A, sur un col-Fig 

lier de galets; la partie 0 A s'enfonce dans un puits réservé au milieu d'un massif de maçonnerie, et la partie AB fait saillie au-dessus du sol. L'axe OB porte une charpente formée de deux pièces obliques, l'une tl', appelée tirant, l'autre vv, 

appelée volée, qui se réunissent en un point situé en dehors de l'axe; le tirant, formé de deux poutres jumelles, dépasse la volée d'une certaine quantité; on y attache une poulie fixe,D, sur laquelle on fait passer une corde dont l'extrémité est fixée au tirant, et qui porte une poulie mobile m, à la chape de laquelle on suspend le fardeau. L'autre extrémité de la corde s'enroule sur un treuil T, dont l'axe, supporté par l'axe vertical OB, emprunte son mouvement à une manivelle n par un équipage de roues dentées. 

Soit P le poids soulevé par la grue(fig. 263). La tension de 

la corde qui passe sur la poulie mobile sera égale à ^ P ; le tirant î/'est donc sollicité par deux forces, dont l'une est verti-s 

cale, appliquée en Eau point d'attache de la corde, et égale\ 

à ^ P; l'autre est la résultante de deux forces égales à 4 

ig P, agissant toutes deux sur la poulie D, suivant les deux brins qui passent sur cette poulie; elle est bissectrice de 

l'angle des deux brins. La résultante R de toutes ces forces 

■s'obtiendra plus simplement en composant le poids P trans\ 

porté au point G avec une force ^ P appliquée suivantle cordon DF. La volée YV' doit soutenir le tirant le plus près possible du point de passage de cette force R ; décomposant la force R suivant les directions YV', et tl', on aura la tension S ■du tirant, et la compression C de la jambe de force. 

L'arbre vertical est donc sollicité par une force t'S, agissant dans la direction du tirant; par une force Y'C, agissant dans 

la direction du prolongement de la volée; enfin par les ■actions exercées sur le treuil et les manivelles, tant par la 

puissance que par la force ^ P, tension de la corde qui joue-le 

joue-le de résistance sur cette partie de la machine. 

Pour calculer l'effort nécessaire pour soulever le poids P, il suffira d'exprimer l'équilibre du système formé par le treuil, les manivelles et les roues dentées intermédiaires. Appelons f la force, ou la somme des forces appliquées aux manivelles, dans la direction du mouvement produit, X la longueur des manivelles, e la raison de l'équipage de roues dentées (Ciném., § 128), rie rayon du treuil ; un déplacement angulaire a imprimé aux manivelles produit un déplacement angulaire ae sur le treuil ; les déplacements linéaires des points d'application des forces sont respectivement Xx et rote ; l'équation d'équilibre est donc 

Prenons pour exemple une grue dans laquelle les manivelles ont une longueur X triple du rayon r du treuil, et dans laquelle l'engrenage se compose des roues dentées suivantes : 

Sur l'axe des manivelles, un pignon de 9 dents engrenant avec une roue de 54 

Sur l'axe de cette roue, un second pignon de 9 dents, engrenant avec une seconde roue de oi dents ; 

Sur son axe, un pignon de 1 1 dents, engrenant avec une roue de 66, faisant corps avec le treuil. 

Donc, pour soulever un poids de 30,000 kilogrammes, il suffira d'un effort f de 

a X 30000 X ô x =78 N ~ ~TT" =23kil., 15. 2 3 oi X 66 6J ' 

On obtiendra l'effort voulu en faisant agir trois manœuvres sur les manivelles ; chacun aura à développer un effort d'environ 8 kilogrammes. 

On dispose l'équipage de roues dentées de manière à pouvoir introduire à volonté tous les engrenages dans la transmission, ou en laisser un en dehors ; en opérant ainsi on pourra accélérer le déplacement des poids faibles, et réduire, au contraire, la vitesse ascensionnelle des poids plus lourds qui exigent de plus grands efforts. 

SUPPLEMENT AU CHAPITRE VU PROBLÈMES SUR LE FROTTEMENT 

254. Soit Ali la coupe de l'établi d'un menuisier; CD, la coupe d'une pièce de bois posée sur l'établi. On emploie pour la fixer un valet en fer,EFG, dont on introduit la branche'.droite FE dans l'ouverture 0, et dont la branche courbe, FG, vient presser la surface de la pièce de bois. On frappe sur la tête F quelques 

légers coups de maillet. Le valet se coince dans l'ouverture 0, en s'appuyant sur les arêtes M et P de l'établi ; en même temps il se développe en G une réaction verticale N, qui tend à soulever le valet, et un frottement qui s'oppose au déplacement de la pièce CD. Il est facile de voir à quelle condition l'appareil doit satisfaire pour que la réaction N ne puisse pas faire glisser le valet dans l'ouverture 0 à travers laquelle on l'a fait passer. 

Pour que le glissement ait lieu au point M, il faut que la réaction mutuelle du valet et de la table fasse avec la normale à la surface de contact, un angle égal à l'angle du frottement de fer sur bois ; élevons donc au point M une perpendiculaire MM' à la surface de contact, c'est-à-dire au plan tangent au cylindre du valet suivant l'arête FE, puis menons la droite Mm faisant avec MM' un angle M'Mira égal à l'angle du frottement; cette droite Mm représentera la direction de la pression de la table sur le valet, au moment où le glissement commence. 

Menons de même PP' normale à la surface du contact en P, et Pp faisant avec cette normale l'angle P'P/> égal à l'angle du frottement. Lorsque le glissement commencera au point P, la droite Vp sera la direction de la pression exercée au point P par la table sur le valet. ' 

Le glissement ne peut donc se produire sous l'action de la force N, qu'autant que cette force est décomposable en d«ux forces suivant les directions Mm et Pp, ou en deux forces extérieures aux angles mMM', pPP'. Or ces deux directions se coupent en un point I, situé, entre le valet et la force N. Le point G est à la fois dans les deux angles mMM', P'Pp ; donc la décomposition de la force N en deux forces appliquées en M et en P ne peut produire le glissement du valet à travers l'établi. 

Il en serait autrement si le point I était au delà de la verticale passant par le point G. Le coinçage du valet ne suffirait pas alors pour assujettir la pièce à la surface de la table. 

Pour décoincer, il suffit de frapper quelques coups de maillet, soit en M sur le dos du valet, le long de l'établi, soit en E, sur l'extrémité du valet, de bas en haut. 

255. Un arbre tournant, 0 (i'ig.265), porte quatre ailes égales AB, A'B", A"B", A"',B'", mobiles autour des points A, A',A'% A'", voisins du centre ; elles sont soutenues dans leur position par des ressorts fixés à l'arbre et figurés en A, A', A", A'". Sur ces ailes, est centrée une poulie folle CD, qui en touche' le pourtour extérieur, et qui est destinée à transmettre à l'arbre 0 le mouvement qu'elle reçoit. Si la poulie tourne de gauche à droite dans le sens de la flèche f, 

elle glisse à frottement fléchissent légèrement, et 

mouvement dans un sens en sens contraire. 

doux sur les ailes, les ressorts ['arbre n'est pas entraîné. Si, au contraire , la poulie tourne dans le sens de la flèche p, la poulie tend à entraîner les ailes dans l'autre sens, c'est-à-dire à accroître la distance des points B au centre 0 ; cet accroissement de distance n'étant pas possible, il se produit un arc-boutement aux extrémités B des quatre ailes (f 93), et l'arbre 0 est entraîné. 

Cet appareil permet donc de produire une transmission de , sans produire la transmission 

FROTTEMENT D DNE CORDE QUI GLISSE SDR UN CYLINDRE FIXE 

256. Soit MN une corde tendue à la surface d'un cylindre droit à base circulaire, le long d'un arc infiniment petit ÀB de la section droite de ce cylindre. Supposons que la courroie 

glisse, ou soit sur le point de glisser, dans le sens de la flèche ; la tension l', qui agit au point B, dans le sens du mouvement, surpassera la tension t. qui agit en sens contraire au point À, de tout le frottement développé au contact de la corde et du cylindre Ce frottement est infiniment petit. Pour le calculer, transportons les forces l et V au point I, point de concours des deux tangentes BN, A M ; ces deux forces sont égales à un infiniment petit près, elles se 

posent donc en une force unique IP, qui est dirigée suivant la bissectrice de leur angle, et qui va, par suite, passer au point 0, centre de l'arc AB. La résultante IP est la pression totale exercée par la corde sur le cylindre et, par suite, le frottement mutuel des deux systèmes en contact est, au Imonient du glissement, égal au produit IP xf, dans lequel e facteur f est le coefficient du frottement de la corde sur le cylindre. 

Le triangle IPR a ses côtés respectivement perpendiculaires aux côtés du triangle AOB; ces deux triangles sont donc semblables, et donnent la proportion : 

en appelant a l'angle au centre infiniment petit AOB, ou plutôt le rapport de l'arc AB au rayon. 

La pression de la corde sur le cylindre est, par suite, égale à al, et le frottement à fat. On a donc entre t1 et î la relation : 

fa-Cette suppose expressément le nombre a infiniment petit. 

Passons au cas où l'arc de contact, AB, de la corde et du cylindre a une longueur finie. Partageons l'angle au centre 

AOB en un très-grand nombre, n, de parties égales, et appelons a le rapport de la ri*"" partie de cet angle au rayon. 

Soient U, t,, t,, ... tn-\, T, les tensions de la corde • aux points À, a', a", a'", .... a„_4, B; les arcs ka', a'a", étant infiniment petits, nous pourrons appliquer à chacun d'eux l'équa tion précédente, ce qui donne la série d'équations : 

Multiplions ces équations membre à membre ; les tensions intermédiaires disparaissent comme facteurs communs, et il vient en définitive 

équation où a est la n""" partie de l'angle AOB, et où « est supposé infiniment grand. Soit donc A la mesure en arc de l'angle au centre AOB ; nous pourrons poser l'équation rigoureuse : 

•QUI GLISSE'SUR UN CYLINDRE FIXE. 375 

L'analyse conduit à la détermination de la limite de ^ I + n lorsque le nombre n croît au delà de toute grandeur donnée. Si d'abord on remplace fk par l'unité, on trouvera pour cette limite un nombre qu'on représente par la lettre e dans les calculs , et qui a pour valeur 2,71828 18281 59045... 

La limite de (J -f- —J est ensuite égale à ce nombre e élevé à la puissance dont l'exposant est /"A. i. 

1. Il suffit, pour le faire voir, de démontrer que la limite def 1 _) l 

^juand n grandit indéfiniment, est égale a la limite de / 1 -j- _ ) élevée à 

la puissance dont l'exposant est a. Or cette égalité est facile à vérifier. En 

effet la puissance a'™' de M +~ J est M1 +—■ J , et l'exposant an 

grandit indéfiniment avec ». Posons an—n',tt remplaçons dans la n' 

parenthèse n par — ; il viendra 

/ 1 \an f a \» (*+;) =(' + ,-) 

<ît par suite, faisant croître indéfiniment n et nr9 et passant à Ja limite : • " 

car le changemeut de »' en n .;st indifférent dès qu'on fait à la fois n et ri infinis. 

Si donc le nombre e est la limite do I 1 -j-— j 3 c est aussi la li/■ a \n 

•mite de M -)— j , ainsi que uous l'avions annoncé. 

On a donc en définitive : 

L'emploi des logarithmes facilite le calcul des puissances fractionnaires du nombre e. 

Pour montrer quel usage on peut faire de la formule, supposons qu'une corde M N (fig. 268) passe sur un cylindre horizontal en bois, à la surface duquel elle glisse dans le sens AB, en embrassant une demi-circonférence; on fera : 

Le coefficient du frottement de la corde sur le bois du cylindre est 0,50. 

On aura donc entre les tensions T et U, l'équation 

T — U X en.5°x3,Mi5 — x e'-s'= U X 4,80. 

Par exemple, une personne attachée à l'extrémité N de la corde, tient dans ses B mains l'autre brin AM, qu'elle laisse filer peu à peu, de manière à se laisser descendre. T La somme T-j-/» des tensions fait équilibre au poids de cette personne; supposons qu'elle pèse 63 kilogrammes : les tensions U et T se détermineront par les équa-N tions : 

U = K°è = '11 kil. 21. 

Cette tension est l'effort que la personne doit exercer 

QUI GLISSE SUR UN CYLINDRE FIXE. 3" 

tamment sur la corde pour rester maîtresse de la vitesse avec laquelle elle descend. 

Si la corde faisait un tour entier autour du cylindre, il faudrait faire À = 2ît; si elle faisait deux tours entiers,. A = 4n, ... On peut facilement reconnaître que le rapT 

port - grandit très-rapidement avec la valeur de À, ou avec 

Cette loi explique qu'un seul homme puisse, à l'aide d'un câble enroulé plusieurs fois autour d'un poteau fixe, arrêter une masse très-considérable animée d'une faible vitesse, un navire par exemple : une tension même très-petite, U, multipliée par le facteur e/A, qui augmente très-rapidement avec l'arc A, produit dans le brin du câble qui va du poteau au navire, une tension T assez considérable pour détruire la vitesse du bâtiment. 

257. Soient 0, 0', deux arbres tournants parallèles, entre lesquels un engrenage établit une transmission de mouvement. 

Soient OA et O'A les rayons descirconférencès primitives, 

et BE, CD, les profils en prise au point P. La droite AP est normale à la fois aux deux courbes BE, CD (Cinèm. , 

§124). Appliquons en m, tan-gentielleinent à la circonférence primitive OA, une force F agissant dans le sens du mouvement, et en m', tangentiellement à la circonférence O'A, une force résistante F'. Proposons de chercher les conditions d'équilibre des forces F et F', en tenant compte du frottement qui se pro-Fig 

duit en P, lorsque les deux profils sont sur le point de glisser l'un sur l'autre. 

La réaction mutuelle des solides en contact au point P peut se décomposer en deux forces ; l'une normale, l'autre tangentielle aux profils, et celle-ci est le frottement. Soit II la réaction normale de la roue 0' sur la roue 0 ; le frottement &3ra égal à /"H, et sera dirigé en sens contraire du mouvement. Les forces II' et /II', respectivement égales et contraires aux forces 11 et /H, seront les réactions de la roue 0 sur la roue 0'. On peut remarquer que le frottement /H' subi par la roue 0' agit dans le sens du mouvement. 

La roue 0 est donc en équilibre sous l'action des forces F, H, /"H, et des réactions de l'axe 0 ; l'équation d'équilibre s'exprimera en égalant à zéro les moments de ces forces par rapport à l'axe ; on aura donc, en abaissant du point 0, sur les directions de H et de fil les perpendiculaires OK, 01 : 

De même en abaissant du point 0' sur les directions de II' •et de fil1 les perpendiculaires O'K', OT : , / 

II' x O'K' + /II' x OT = F' x 0'm'. 

■Or H' et II sont des forces égales. Multipliant membre à membre, et supprimant le facteur commun H, il vient pour l'équation d'équilibre : 

F X Om X (O'K' + f x OT) = F' X O'm' X (OK—fOY). Donc 

Si le frottement était nul, on aurait f— 0, et cette relation se réduirait à 

car les triangles semblables OAK, O'ÀK' donnent la pro. 

portion Q^"= > et les rayons UA, 0 A sont respectivement égaux à 0m, 0'm'. 

On voit que le rapport jasera toujours un nombre fini, 

assez voisin de l'unité, lorsque la dent, BE, de la roue me-nante pousse le profil du creux, CD, de la roue menée. En effet, la réaction totale développée au point P, est la résultante S, des forces II et /II pour la roue 0, et la résultante S' des forces H' et fW pour la roue 0'. La direction SS' fait avec la normale commune H II' un angle égal à l'angle du frottement or la direction H H' fait généralement avec la ligne des centres 00' un angle assez voisin de l'angle droit, 75° par exemple (Cinêm § 137, 1°) ; il en résulte que la direction S S' est sensiblement perpendiculaire à 0 0' ; il est toujours possible de trouver pour une telle direction, pourvu qu'elle passe suffisamment près du point A, la valeur des forces S qui font équilibre aux forces données F et F'. 

258. Il en serait autrement si c'était la roue 0' qui menât la roue 0, le creux CD poussant la dentBE.Dansce cas, les frottements changeraient de sens et, par suite, la réaction totale, au lieu de se rapprocher de la direction perpendiculaire à 00', se rapprocherait de la ligne des centres, et pourrait même passer par le point 0 ou au delà de ce point. Dans ce cas, la transmission ne serait plus possible et un arc-boutement se produirait. 

La figure 270. rend compte de ce cas particulier. 

La force F' est mouvante, et la force F résistante. Dans le mouvement commun des deux roues, le point de contact P des deux profils en prise se déplace le long des arcs PB, PC, et parcourt dans un même temps des espaces inégaux le long de ces arcs ; il est facile de voir qu'il parcourt un plus grand espace sur l'arc PB que sur l'arc PC; de sorte que le - glissement mutuel tend à ralentir la roue OA qui porte la dent, et à accélérer le mouvement de la roue O'A qui porte le creux. Le frottement subi par cette seconde roue est donc moteur, et dirigé dans le sens /"H', tandis que 

l'autre roue subit un frottement résistant, dirigé dans le sens fil. Or la résultante des forces II et fR est une force PS 

distance du point A. Soit S la valeur commune du pas de L'engrenage, mesuré sur les circonférences primitives ; le travail correspondant au déplacement d'un pas sera F S pour la force F, et F'S pour la force résistante, F' ; si II est la pression normale des dents en prise, 11/est le frottement, et le travail du frottement est le produit de Uf par le glissement relatif! (Cinèm., § 126). Or 

R et R' étant les rayons des circonférences primitives ; on a donc l'équation : 

Appelons Tm le travail moteur, F S ; Trle travail résistant, pris positivement, F'S ; et observons que H est sensiblement égal à F', d'où résulte que H S est égal aussi à Tr ; il viendra l'équation approximative : 

et cette équation s'applique à une période quelconque du mouvement. 

Soient encore m et m' les nombres de dents des deux roues, on aura : 

et par suite l'équation du travail prend la forme : 

Le frottement absorbe donc une fraction du travail moteur égal à 

cette fraction est d'autant plus petite que les nombres de dents, m etm', sont plus grands. 

Nous avons supposé que l'engrenage était cylindrique. S'il était conique, la formule 

serait encore approximativement vraie, en prenant pour R et R' les rayons des circonférences primitives que l'on obtient en transformant l'engrenage conique en engrenage plan par 4a méthode de Tredgold. (Ciném., § 140). 

260. Nous avons toujours considéré les cordes comme des fils entièrement dépourvus de roideur, et pouvant être infléchis sans effort. Les cordes que l'on emploie dans les machines sont loin de posséder cette propriété, et lorsqu'on doit leur communiquer une courbure prononcée, on éprouve une résistance du môme genre que celle qui s'oppose à la flexion d'une tige solide. Il en résulte qu'en réalité, la courbure d'une ' corde ne varie pas d'une manière brusque comme on le suppose dans la solution élémentaire des problèmes dont nous nous sommes occupés. Supposons par exemple qu'une corde MN passe sur une poulie 0, et que le mouvement soit établi 

dans le sens de la flèche f. Le brin MA, rectiligne sur sa plus grande étendue, ne s'appliquera pas nettement au point A sur la poulie, et la roideur de la corde l'écartera du centre 0 pour répartir sur une certaine longueur la variation de la courbure ; par la même raison le brin BN ne perd pas au point B la courbure qu'il a prise sur la poulie, et la roideur le rapproche du centre 0 ; il résulte de là que l'équilibre de la puissance P et de la résis- ® j tance Q entraîne l'inégalité P > Q; on a déterminé par expérience la différence P—Q, et Fig- 271- on a trouvé qu'elle était inversement proportionnelle au diamètre D de la poulie, et qu'elle croissait avec la résistance Q. Ces lois ne sont pas encore parfaitement connues. 

1. Démontrer que lorsque des forces se font équilibre autour d'un môme point, ce point est le centre de gravité d'un système de points également pesants, placés aux extrémités des droites représentatives de ces forces. (Cf. § 23.) 

2. Lorsque différentes forces sont appliquées en un môme point M, la résultante de ces forces passe par le centre de gravité G d'un système de points également pesants placés aux extrémités des droites représentatives de ces forces, et elle est égale au produit de la distance MG par le nombre des forces données. 

— Déduire de ce théorème la démonstration de la proposition du § 136. 

3. Démontrer qu'un tétraèdre est en équilibre quand il est soumis à l'action de quatre forces normales à ses faces, appliquées en leurs centres de gravité, et proportionnelles à ,leurs aires respectives. 

— Étendre cette propriété à un polyèdre quelconque; — à un corps solide quelconque. 

4. Démontrer par des considérations de statique que, quand une figure plane invariable reçoit dans son plan un déplacement infiniment petit, les normales aux chemins élémentaires décrits par ses différents points, concourent en un même point. 

5. Trouver sur une droite L un point M, tel qu'en joignant ce 

point à deux points fixes A et B, la somme MA Xo + IIB X b, des produits des droiles de jonction par deux nombres donnés, a et b, soit un minimum. Démontrer qu'au point cherché, deux forces respectivement proportionnelles aux nombres a et b, appliquées en ce point dans les directions MA, MB, ont une résultante normale à la droite L. 

— Môme question, en remplaçant la droite par un plan. 

— Étendre les conclusions à un nombre quelconque de droites ou de plans, séparant les deux points donnés. 

6. Sachant: 1» que toutes les paraboles sont semblables, 2° que lorsqu'on augmente, dans un même rapport , les ordonnées d'une courbe, sans changer les abscisses correspondantes le centre de gravité de l'aire de la courbe ainsi transformée conserve son abscisse, et que son ordonnée est augmentée dans le môme rapport (Cf. § 167), déterminer le centre de granité d'un segment de parabole. 

7. Trouver sur une ligne donnée un point tel que la somme •des carrés des distances de ce point à m points donnés, soit à à la somme des carrés des distances du môme point à n autres points donnés dans un rapport donné. 

8. Trois tiges droiles, pesantes, de longueurs données, sont articulées bout à bout. Les extrémités du polygone ainsi formé sontarticulées en des points fixes. Trouver la position d'équilibre. 

— Même problème pour quatre tiges, — pour n liges. 

9. Ëludier, au point de vue statique, la transmission par courroie (Cinèm., § 118); calculer les tensions des deux brins, en Admettant que la moyenne de ces deux tensions soit égale à la iension de la courroie à l'état de repos. Chercher la moindre tension moyenne qui empêche le glissement de la courroie à la surface de l'un des tambours. 

— Même problème, en tenant compte des frottements des arbres des tambours dans leurs tourillons. 

10. Reprendre le problème de l'équilibre de la grue, en tenant compte des frottements de l'équipage de roues dentées. 

11. Chercher les conditions d équilibre de la vis sans fin, en tenant compte du frottement. On assimilera le glissement de la dent de la roue sur la surface héliçoïdale au glissemcnt d'un corps solide sur un plan incliné. 

INTRODUCTION A LA STATIQUE ET A LA DYNAMIQUE I 

Principe de l'indépendance do l'effet des forces ;Î 

Principe de l'égalité de l'action et de la réaction.,. 0 

Équilibre d'un point matériel libre 18 

Composition des forces parallèles non dirigées dans le même sens. 36 

Applications du théorème des moments 52 

Analogie de la statique avec la cinématique 64 

Composition et rèduction'au moindre nombre possible des forces appliquées à un corps solide 07 

Réduction des forces à trois 07 

388 ' - TABLE DES MATIERES. 

Réduction des trois forces à deux 68 

Axe central des moments et des couples 73 

Détermination analytique de la résultante de translation et du couple résultant 74 

Condition pour que les forces aient une résultante unique 7b 

Équilibre d'un point matériel assujetti à glisser sans frottement 

Équilibre d'un point matériel assujetti à glisser sans frottement 

Équilibre d'un solide invariable libre 93 

Équilibre d'un solide qui a un point fixe P6 

Équilibre d'un solide qui a deux points fixes 98 

Équilibre d'un solide assujetti à glisser sans frottement sur un plan 

Équilibre des systèmes matériels quelconques 108 

Pressions exercées par les pieds d'une table 112 

Travail élémentaire de la résultante de plusieurs forces 133 

Théorème du travail pour un point unique.... 137 

Recherche des normales à certaines courbes et certaines surfaces.. . lil 

Travail de deux forces mutuelles 143 

Théorème du travail pour un système invariable ' li'i 

Équation d'équilibre d'un solide invariable I'i7 

Théorème du travail pour un système matériel quelconque loo 

Équilibre d'un système à liaisons., 150 

Mesure des quantités des matières et des forces 167 

Recherche des centres de gravilé . • 184 

Théorèmes sur le centre de gravité d'un système de points 23o 

Travail do la pesanteur , 211 

Équilibre d'un système pesant à liaisons complètes 244 

Équilibre d'un système à liaisons non complètes 247 

NOTE. — Somme des carrés et des cubes des n premiers nombres 

De l'équilibre des machines simples 282 

Équilibre d'un fil appliqué sur une surface 3bi 

Équilibre de la poulie et des moufles 3o7 

Démonstration du théorème du travail virtuel 363 

SUPPLÉMENT AU CUAPITRE VU. — Problèmes sur le frottement 370 

Frottement d'une corde qui glisse sur un cylindre fixe 372 

1MP1I1MEHIE L. TOINON ET C', A SAINT-GERMAIN, 

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