

'''{{Ancre+|par006|6. Ondes planes.}}''' — Dans les cas des ondes planes, <math>\xi</math> et <math>\eta</math>
ne dépendent que de <math>z</math> et de <math>t.</math> Par suite :

{{c|<math>
\Delta\xi   = \frac{d^2\xi}{dz^2}\qquad
\Delta\eta  = \frac{d^2\eta}{dz^2}\qquad
\theta      = \frac{d\zeta}{dz} \qquad
\Delta\zeta = \frac{d^2\zeta}{dz^2}\cdot

Les dérivées prises par rapport à <math>x</math> et à <math>y</math> sont nulles et les
équations du mouvement se réduisent à :

\rho\,\frac{d^2\xi  }{dt^2} &= \mu\,\frac{d^2\xi  }{dz^2} \\[1.5ex]
\rho\,\frac{d^2\eta }{dt^2} &= \mu\,\frac{d^2\eta }{dz^2} \\[1.5ex]
\rho\,\frac{d^2\zeta}{dt^2} &= \mu\,\frac{d^2\zeta}{dz^2} + (\lambda+\mu)\frac{d^2\zeta}{dz^2}
= (\lambda+2\mu)\frac{d^2\zeta}{dz^2}\cdot

Ces équations sont celles des cordes vibrantes.

Supposons que le déplacement soit parallèle à <math>\mathrm{O}x\,:</math>

{{c|<math>\eta = \zeta =  0\qquad \xi\neq0.</math>|m=1em}}

{{SA|Le plan d’onde est parallèle au plan des <math>xy.</math> La vibration est
transversale.}}

Il reste donc seulement l’équation

{{c|<math> \rho\,\frac{d^2\xi}{dt^2} = \mu\,\frac{d^2\xi}{dz^2} .</math>|m=1em}}

Cette équation a pour intégrale :

{{c|<math> \xi
= f \left(z + t \sqrt\frac{\mu}{\rho}\right)
+f_1\left(z - t \sqrt\frac{\mu}{\rho}\right) </math>|m=1em}}

{{SA|<math>f</math> et <math>f_1</math> étant des fonctions arbitraires. Cette onde se propage
avec la vitesse <math> \sqrt\frac{\mu}{\rho}\cdot</math>}}
<references/>
Henri Poincaré - Théorie mathématique de la lumière, Tome 2, 1892.djvu/19