{{nr|86|CHAPITRE XII.||}}{{SA|puis}}
{{MathForm1|(3)|<math>\left\{ \begin{array}{cccc}
\Lambda,  & \Lambda',  & \rho_i, \\
\lambda_1,& \lambda'_1,& \omega_i,
\end{array} \right.</math>|m=0em}}
{{SA|puis}}
{{MathForm1|(4)|<math>\left\{ \begin{array}{cccc}
\Lambda,  & \Lambda',  & \mathrm{V}_i, \\
\lambda_2,& \lambda'_2,& v_i .
\end{array} \right.</math>|mt=0em|mb=1em}}

Poursuivons notre comparaison et ne considérons pour le moment
que les deux dernières paires de variables conjuguées, en
laissant de côté les deux premières paires, c’est-à-dire <math>\Lambda</math> et <math>\Lambda'</math> et
leurs conjuguées.

Nous pourrons dire alors que les variables (1) et (2) sont analogues
à des coordonnées rectangulaires et les variables (3) et (4)
analogues à des coordonnées polaires.

La difficulté que nous avons signalée au {{n°|{{t|143|112}}}} provient, comme
on l’a vu, de la présence de termes de degré {{sfrac||1|2}} par rapport aux <math>\mathrm{V}_i,</math>
provenant eux-mêmes de termes du premier degré par rapport aux
<math>\textstyle\sqrt{\rho_i}</math> et de termes du premier degré en <math>\xi,</math> <math>\xi',</math> <math>\eta,</math> <math>\eta'.</math>

Si la fonction <math>\mathrm{F}</math> ne contenait pas de pareils termes, nous n’aurions
pas rencontré cette difficulté.

Mais, comme elle est tout à fait analogue à celle que nous avons
signalée au {{n°|{{t|142|112}}}} et dont nous avons triomphé au {{n°|{{t|144|112}}}}, nous
sommes conduits à penser que nous en viendrons à bout par les
mêmes moyens, c’est-à-dire par une transformation analogue à un
changement d’origine. Il faut remplacer les variables <math>\xi,</math> <math>\xi',</math> <math>\eta,</math> <math>\eta',</math>
par d’autres qui s’annulent pour les solutions périodiques de la
première sorte étudiées au {{lia|Chap.03|par040|{{n°|{{t|40|112}}}}|109|Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 1, 1892.djvu}}, puisque ces solutions sont analogues
à la solution périodique (3) du numéro précédent.

Étudions donc ces solutions périodiques du {{n°|{{t|40|112}}}}. Nous avons
vu que, pour ces solutions périodiques de la première sorte,
{{MathForm1|(5)|<math> \left\{\begin{array}{cccc}
\Lambda,& \Lambda',& \xi\,\cos\lambda\, - \eta\,\sin\lambda\,,& +\xi\,\sin\lambda\, - \eta\,\cos\lambda, \\
&          & \xi' \cos\lambda'  - \eta' \sin\lambda' ,& +\xi' \sin\lambda'  - \eta' \cos\lambda'
\end{array}\right. </math>|m=1em}}
{{SA|sont des fonctions périodiques du temps, et qu’il en est de même
de <math>\sin(\lambda-\lambda'),</math> <math>\cos(\lambda-\lambda').</math>}}

Nous pouvons aussi considérer les {{lié|variables (5)}} comme des
<references/>
Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 2, 1893.djvu/100