<math>y^n+z^n</math> soit divisible par <math>n^n</math> mais <math>y^n+z^n</math> est le produit de <math>y + z</math> par le polynôme <math>y^{n-1}-zy^{n-2}+z^2y^{n-3}-\textrm{etc.}</math> ; et si on fait
dans ce polynôme <math>y+z=0</math> ou <math>z=-y</math>, il se réduit à <math>ny^{n-1}</math> ; donc, comme <math>y</math> ne peut être divisible par <math>n</math>, puisque <math>x</math> et <math>y</math>
sont premiers entre eux, le polynôme, sera divisible par <math>n</math>
simplement et non par une puissance plus élevée de <math>n</math>. Donc
<math>y+z</math> sera divisible par <math>n^{n-1}</math>.

En général, si <math>x</math> était divisible par <math>n^{\alpha}</math>, <math>y+z</math> le serait par <math>n^{n\alpha-1}</math>, et <math>P</math> simplement par <math>n</math>.

7. Il résulte de ce qui précède que, si on fait <math>y^n+z^n=(y+z)\varphi(y,z)</math>, les deux facteurs <math>y+z</math> et <math>\varphi(y,z)</math> auront <math>n</math> pour commun diviseur ou n’en auront aucun, selon que <math>x</math> sera ou ne sera pas divisible par <math>n</math>.

La fonction <math>\varphi(y,z)=y^{n-1}-zy^{n-2}+z^2y^{n-3}\ldots+z^{n-1}</math> dont nous ferons beaucoup d’usage, est remarquable par plusieurs
propriétés. Comme les nombres <math>y</math> et <math>z</math> doivent être en général ou tous deux impairs, ou l’un pair et l’autre impair,
la fonction <math>\varphi(y,z)</math>, dont le nombre des termes est <math>n</math>, sera toujours un nombre impair. De plus, ce nombre sera positif ; car la fonction <math>\varphi</math> est de degré pair, et elle a tous ses facteurs imaginaires. On sait d’ailleurs que <math>n</math> étant, comme nous le supposons, un nombre premier, la fonction <math>4\varphi</math> peut toujours se mettre sous la forme <math>4\varphi=Y^2 \pm nZ^2</math>, savoir <math>Y^2+nZ^2</math>, si <math>n</math> est de la forme <math>4k-1</math>, et <math>Y^2-nZ^2</math>, si <math>n</math> est de la forme <math>4k+1</math>. (''Voyez'' Th. des N. n{{o}} 476.)

Maintenant, si on peut satisfaire à l’équation <math>x^n+y^n+z^n=0</math>,
voici les conséquences qui résultent de cette supposition.

8. Considérons d’abord le cas où l’un des trois nombres <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math>, serait divisible par <math>n</math>, et soit <math>x</math> ce nombre ; alors en
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Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 6.djvu/193