{{SA|4. Les quantités <math>\rm F,G,G',H,H'</math> sont déterminées par les approximations développées dans le Livre II : nous allons déterminer <math>\rm M</math> et <math>\rm N.</math> Pour cela, reprenons la valeur de <math>\rm R</math> du n{{o}} 46 du Livre II,}}
{{c|<math>{\rm R}=\frac{m'(xx'+yy'+zz')}{r'^3}-\frac{m'}{\sqrt{(x'-x)^2+(y'-y)^2+(z'-z)^2}},</math>}}
{{SA|<math>r'</math> étant ici le rayon vecteur de <math>m'.</math> Prenons pour plan fixe celui de l’orbite primitive de <math>m,</math> et pour ligne des abscisses <math>x</math> la ligne des noeuds de l’orbite de <math>m'</math> avec ce plan. Si l’on nomme <math>v</math> l’angle formé par <math>r</math> et par cette ligne, <math>v'</math> l’angle formé par cette même ligne et par <math>r',</math> et <math>\gamma</math> la tangente de l’inclinaison respective des deux orbites, on aura}}
{{c|<math>
\left\{
x=&r\cos v,& y=&r\sin v,& z=&0,\\
x'=&r'\cos v',& y'=&\frac{r'\sin v'}{\sqrt{1+\gamma^2}},& z'=&\frac{r'\gamma\sin v'}{\sqrt{1+\gamma^2}},
\end{alignat}
\right\}
</math>}}
{{SA|ce qui donne, en négligeant la quatrième puissance de <math>\gamma,</math>}}
{{c|<math>{\rm R}=\frac{m'r}{r'^2}\cos(v'-v)-\frac{m'\gamma^2}{4}\frac{r}{r'^2}\left[\cos(v'-v)-\cos(v'+v)\right]</math>}}
{{il}}
{{c|<math>-\frac{m'}{\sqrt{r^2-2rr'\cos(v'-v)+r'^2}}+\frac{m'\gamma^2}{4}\frac{rr'\left[\cos(v'-v)-\cos(v'+v)\right]}{\left[r^2-2rr'\cos(v'-v)+r'^2\right]^\frac{3}{2}}.</math>}}
{{SA|Supposons, comme dans le n{{o}} 48 du Livre II,}}
{{c|<math>\frac{a}{a'^2}\cos(n't-nt+\varepsilon'-\varepsilon)-\left[a^2-2aa'\cos(n't-nt+\varepsilon'-\varepsilon)+a^{'2}\right]^{-\frac{1}{2}}</math>}}
{{il}}
{{c|<math>=\frac{1}{2}\sum{\rm A}^{(i)}\cos i(n't-nt+\varepsilon'-\varepsilon),</math>}}
{{il}}
{{g|<math>\left[a^2-2aa'\cos(n't-nt+\varepsilon'-\varepsilon)+a'^2\right]^{-\frac{3}{2}}</math>}}
{{c|<math>=\frac{1}{2}\sum {\rm B}^{(i)}\cos i(n't-nt+\varepsilon'-\varepsilon),</math>}}
{{SA|et représentons <math>{\rm M}\cos\left[i(n't-nt+\varepsilon'-\varepsilon)+2nt+\rm K\right]</math> par}}
{{c|<math>
\begin{align}
&{\rm M}^{(0)}e^2\cos\left[i(n't-nt+\varepsilon'-\varepsilon)+2nt+2\varepsilon-2\varpi\right]\\
+&{\rm M}^{(1)}ee'\cos\left[i(n't-nt+\varepsilon'-\varepsilon)+2nt+2\varepsilon-2\varpi-\varpi'\right]\\
+&{\rm M}^{(2)}e'^2\cos\left[i(n't-nt+\varepsilon'-\varepsilon)+2nt+2\varepsilon-2\varpi'\right]\\
+&{\rm M}^{(3)}\gamma^2\cos\left[i(n't-nt+\varepsilon'-\varepsilon)+2nt+2\varepsilon-2\Pi\right]
\end{align}
</math>}}
{{SA|<math>\Pi</math> étant la longitude du nœud ascendant de l’orbite de <math>m'</math> sur celle de <math>m,</math> comptée de la ligne où l’on fixe l’origine de <math>nt+\varepsilon.</math> On a, par}}
<references/>
Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 3.djvu/37