

{{c|<math>x'y'+x''y''=0,\qquad</math>(4)<math>\qquad\text{ou}\qquad 2x''.2y''=-2x'.2y'\,;</math>}}
{{SA|ce qui fait voir que les deux rectangles dont il s’agit ne diffèrent
que par le signe et sont conséquemment équivalens.}}

M. Bérard a remarqué qu’en transposant, dans les équations (3)
et (4), et en les multipliant et les divisant ensuite l’une par l’autre,
on en conclut les deux suivantes
{{c|<math>\pm a^2y'^2=b^2x''^2,\qquad</math>(5)<math>\qquad \pm a^2y''^2=b^2x'^2\,;\qquad</math>(6)}}
{{SA|équations en vertu desquelles les équations (1) et (2) deviennent}}
{{c|<math>x'^2+x''^2=a^2,\qquad</math>(7)<math>\qquad y'^2+y''^2=\pm b^2.\qquad</math>(8)}}
Or, en ajoutant ensemble les équations (7) et (8), il vient
{{c|<math>\left(x'^2+y'^2\right)+\left(x''^2+y''^2\right)=a^2\pm b^2\,;</math>}}
{{SA|équation qui exprime la relation connue entre les longueurs des
axes d’une ellipse ou d’une hyperbole et celles de deux diamètres
conjugués.}}

Si, ensuite, du produit des deux mêmes équations (7) et (8), on
retranche le quarré de l’équation (4) on aura
{{c|<math>(xy'-x'y)^2=\pm a^2b^2\,;</math>}}
{{SA|autre équation qui exprime la propriété connue des parallélogrammes
construits sur les diamètres conjugués.<ref> C’est là, bien certainement, le moyen le plus simple d’arriver à ces deux
relations auxquelles la plupart des auteurs d’élémens ne parviennent qu’à travers
des calculs assez compliqués.

Remarquant aussi que les équations (1), (2), (3), desquelles
résulte l’équation (4), ont lieu également lorsque <math>2a</math> et <math>2b,</math> au lieu
d’être les deux axes de la courbe, sont deux diamètres conjugués
auxquels on la rapporte ; M. Bérard en conclut cet autre théorème,
plus général que le premier :

''THÉORÈME. Les parallélogrammes qui ont respectivement pour diagonales deux diamètres conjugués d’une ellipse ou d’une {{tiret|hy|perbole}}''
<references/>
Annales de mathématiques pures et appliquées, 1813-1814, Tome 4.djvu/267