{{p début de page|100|m=1.5em}}
{{SA/f|{{tiret2|déter|minée}} ; il y a dans R une infinité d’éléments qui ont avec ''r''<sub>1</sub>, ''r''<sub>2</sub>,{{lié}}..., ''r''<sub>λ</sub>, la même relation, soit ''r''<sub>λ + σ</sub> celui d’entre eux qui
a dans R<sub>0</sub> le plus petit indice.}}

On voit facilement alors que ''m''<sub>ν + 1</sub> a, par rapport aux éléments,
{{c|''m''<sub>1</sub>, ''m''<sub>''t''<sub>2</sub></sub>, ''m''<sub>''t''<sub>3</sub></sub>, ..., ''m''<sub>''t''<sub>λ + σ − 1</sub></sub>,|m=1em}}
{{SA|la même position dans M que ''r''<sub>λ + σ</sub> par rapport à}}
{{c|''r''<sub>1</sub>, ''r''<sub>2</sub>, ''r''<sub>3</sub>, ..., ''r''<sub>λ + σ − 1</sub></sub>,|m=1em}}
{{SA|dans R. Comme ''m''<sub>1</sub>, ''m''<sub>2</sub>,{{lié}}..., ''m''<sub>ν</sub> ont déjà été obtenus par la représentation, ''m''<sub>ν + 1</sub> est l’élément de moindre indice dans M<sub>0</sub> qui a la même position par rapport à}}
{{c|''m''<sub>1</sub>, ''m''<sub>''t''<sub>2</sub></sub>, ''m''<sub>''t''<sub>3</sub></sub>, ..., ''m''<sub>''t''<sub>λ + σ − 1</sub></sub>,|m=1em}}

D’après notre loi d’association on a donc
{{c|''m''<sub>''t''<sub>λ + σ</sub></sub> <nowiki>=</nowiki> ''m''<sub>ν + 1</sub>.|m=1em}}

Notre correspondance nous donne donc bien l’élément{{lié}}''m''<sub>ν + 1</sub> et nous voyons ici que l’élément qui lui est adjoint est ''r''<sub>λ + σ</sub>.

Ainsi, notre loi d’association nous permet de représenter  ''l’ensemble{{lié}}''M'' tout entier sur l’ensemble{{lié}}''R'' entier'' ; M et R sont donc des ensembles semblables.
{{d|{{abr|C. Q. F. D.|ce qu’il fallait démontrer.}}}}
{{p fin}}

Du théorème que nous venons de démontrer résultent par exemple les théorèmes suivants :

η ''est le type de l’ensemble de tous les nombres rationnels négatifs et positifs, y compris zéro, rangés par grandeur croissante.''

η ''est le type de l’ensemble des nombres rationnels plus grands que a et plus petits que b, rangés par grandeur croissante (a et b étant deux nombres réels quelconques {{nobr|a < b}}).''

η ''est le type de l’ensemble de tous les nombres algébriques réels rangés par grandeur croissante.''

η ''est le type de l’ensemble de tous les nombres algébriques rangés par grandeur croissante qui sont plus grands que a''
<references/>
Cantor - Sur les fondements de la théorie des ensembles transfinis, trad. Marotte, 1899.djvu/37