
{{c|<math>+\int\left(N-\frac{\operatorname{d}P}{\operatorname{d}x}+\frac{\operatorname{d}^2Q}{\operatorname{d}x^2}-\frac{\operatorname{d}^3R}{\operatorname{d}x^3}+\ldots\right)\omega \operatorname{d}x.</math>}}
{{c|§. III. ''Application aux questions de ''maxima'' et ''minima. |m=1em}}
La dernière formule que nous venons d’obtenir sert à résoudre une des questions les plus importantes du calcul des variations, celle des ''maxima'' et ''minima''. Une partie de cette question ressort du calcul différentiel ; mais cette partie est peu étendue ; elle ne comprend que le cas où l’on demande le ''maximum'' ou le ''minimum'' d’une fonction dans laquelle on ne fait varier que les variables courantes <math>x,y,\ldots</math>. Ainsi, ce sera la détermination de l’ordonnée ''maximum'' ou ''minimum'' d’une certaine courbe ou d’une certaine surface. Mais si, dans une fonction, on fait varier les constantes ou paramètres, on peut se demander quelles sont les valeurs à leur attribuer, pour que la fonction jouisse d’une certaine propriété à un degré ''maximum'' ou ''minimum''. Cette importante question a beaucoup occupé les géomètres du dernier siècle. Euler l’a résolue, en partie, dans un ouvrage ayant pour titre : ''Methodus inveniendi'', etc.

Or, la série de Taylor donne, comme on sait, dans le cas de plusieurs variables, et conséquemment pour
{{c|<math>u=\operatorname{f}(x,y,p,q,\ldots a,b,c,\ldots),</math>}}
{{brn|1}}
{{c|<math>\operatorname{f}\left(x+\delta x,\ y+\delta y,\ p+\delta p,\ q+\delta q,\ldots a+\delta a,\ b+\delta b,\ c+\delta c,\ldots\right)</math>}}
{{brn|1}}
{{c|<math>=u+\frac{\operatorname{d}u}{\operatorname{d}x}\delta x+\frac{\operatorname{d}^2u}{\operatorname{d}x^2}\frac{\delta x^2}{1.2}+\ldots</math>}}
{{brn|1}}
{{c|<math>+\frac{\operatorname{d}u}{\operatorname{d}y}\delta y+2\frac{\operatorname{d}^2u}{\operatorname{d}x \operatorname{d}y}.\frac{\delta x \delta y}{1.2}+\ldots</math>}}
<references/>
Annales de mathématiques pures et appliquées, 1825-1826, Tome 16.djvu/148