indéfinie de points <math>b_1</math>, <math>b_2</math>,&nbsp;..., répond à la question, puisque la série <math>{\textstyle\sum \left\vert f(b_i) - f(b_{i+1}) \right\vert}</math> est divergente.

Je terminerai en donnant quelques exemples des diverses particularités qui ont été signalées.

La fonction <math>x \sin{\frac{1}{x}}</math> est égale à <math>{(-1)^{\mathrm{K}+1} \frac{1}{\mathrm{K}\pi - \frac{\pi}{2}}}</math> pour <math>{x = \frac{1}{\mathrm{K}\pi - \frac{\pi}{2}}}</math>, donc, si l’on emploie ces valeurs de <math>x</math> pour calculer <math>u</math> dans l’intervalle <math>{\left( 0, \frac{1}{\pi} \right)}</math>, on trouve
{{c|<math>u = \frac{1}{\mathrm{K}\pi - \frac{\pi}{2}} + \frac{2}{2\mathrm{K}\pi - \frac{\pi}{2}} + \frac{3}{3\mathrm{K}\pi - \frac{\pi}{2}} + \ldots</math>,|m=1em}}
{{SA|et la fonction est à variation non bornée bien qu’elle soit continue. Pour une fonction continue nulle pour <math>x</math> négatif, égale à <math>x \sin{\frac{1}{x}}</math> pour <math>x</math> positif, la variation totale de −1 à <math>x</math> saute brusquement de 0 à {{nobr|<math>+\infty</math>}} quand <math>x</math> dépasse la valeur zéro.}}

La fonction <math>x \sin{\frac{1}{x}}</math> a une infinité de maxima et de minima, mais cette condition ne suffit pas pour qu’une fonction soit à variation non bornée. La fonction <math>x^2 \sin{\frac{1}{x^{\frac{4}{3}}}}</math> admet un maximum ou un minimum, et un seul, dans chaque intervalle <math>{\left( \frac{1}{(\mathrm{K}\pi)^{\frac{3}{4}}}, \frac{1}{[(\mathrm{K}+1)\pi]^{\frac{3}{4}}} \right)}</math> ; si l’on remarque que la valeur absolue de ce maximum ou de ce minimum est au plus <math>\frac{1}{(\mathrm{K}\pi)^{\frac{3}{2}}}</math> on voit que la fonction est à variation totale finie au plus égale à <math>\sum \frac{1}{(\mathrm{K}\pi)^{\frac{3}{2}}}</math>.

Les deux fonctions précédentes n’ont une infinité de maxima et de minima que dans le voisinage de l’origine ; si l’on veut qu’il en soit ainsi autour de tout point, il faut appliquer le principe de condensation des singularités. Il est nécessaire d’employer ce principe d’une façon assez particulière parce que la limite vers laquelle tendent uniformément des fonctions à variation bornée peut être à variation non bornée et parce que les maxima et minima ne se conservent pas dans l’addition.

Considérons les deux fonctions, définies dans {{nobr|(−1, +1)}},
{{c|<math>a(x) = x \sin{\frac{\pi}{x}}</math>,{{em|2}}<math>b(x) = x^2 \sin{\frac{\pi}{x^{\frac{4}{3}}}}</math> ;|m=1em}}
<references/>
Lebesgue - Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives, 1928.djvu/74