{{nr|212|RECHERCHES|}}<center>
| align=right|<math>10t+</math>  ||  <math>275u</math>,   || {{caché|—}}
|  align=right|<math>t+</math>  ||  <math>10u</math>,   || {{caché|—}}
| align=right|<math>-15t-</math>  ||  <math>275u</math>,
| {{caché|—}} ||  align=right|<math>-t</math>  ||  <math>-15u</math>.
|-
|}
</center>

{{Br0}}Ainsi ces deux formules embrassent toutes les transformations
propres cherchées.

On trouve de la même manière que les transformations impropres sont données par les deux formules,

<center>
| align=right|<math>65t-</math>  ||  <math>1100u</math>,   || {{caché|—}}
|  align=right|<math>4t</math>  ||  <math>-65u</math>,   || {{caché|—}}
| align=right|<math>-15t+</math>  ||  <math>275u</math>,
| {{caché|—}} ||  align=right|<math>-t</math>  ||  <math>+15u</math>,
|-
| align=right|<math>10t+</math>  ||  align=right|<math>275u</math>,   || {{caché|—}}
|  align=right|<math>-10t</math>  ||  <math>-10u</math>,   || {{caché|—}}
| align=right|<math>-15t-</math>  ||  <math>275u</math>,   || {{caché|—}}
|  align=right|<math>t</math>  ||  <math>+15u</math>,
|-
|}
</center>

215. Jusqu’à présent nous avons écarté de nos recherches les
formes dont le déterminant <math>=0</math>. Pour compléter notre théorie,
il nous reste à ajouter quelque chose à leur sujet. Comme il a
été démontré généralement que si une forme de déterminant <math>D</math>
renferme une forme de déterminant <math>D'</math>, <math>D'</math> <!--La correction suivante est indiquée sur la première page d’errata.-->{{corr|étant|est}} multiple de <math>D</math> ; il
s’ensuit qu’une forme de déterminant <math>= 0</math> ne peut renfermer aucune forme dont le déterminant ne soit aussi <math>= 0</math>. Il ne nous reste
donc que deux problèmes à résoudre ; savoir :

{{1o}}. ''Étant données deux formes <math>\mathrm{f}</math> et <math>\mathrm{F},</math> dont la seconde a <math>0</math> pour déterminant, découvrir si la première renferme la seconde ; et dans ce cas, trouver toutes les transformations de <math>\mathrm{f}</math> en'' <math>\mathrm{F}.</math>

{{2o}}. ''Trouver toutes les représentations d’un nombre donné par une forme donnée de déterminant'' <math>= 0</math>.

Le premier problème doit être traité différemment, quand le
déterminant de la première forme est aussi <math>= 0</math>, et quand il ne
l’est pas.

I. Observons avant tout qu’une forme <math>ax^2+2bxy+cy^2</math> dont
le déterminant <math>=0</math>, peut se représenter ainsi : <math>m (gx + hy)^2</math>,
<math>g</math> et <math>h</math> étant entiers et premiers entre eux, et m un nombre entier.
Soit en effet <math>m</math> le plus grand commun diviseur des nombres <math>a</math>, <math>c</math>,
en lui donnant le même signe qu’à ces nombres, qui doivent
évidemment en avoir un semblable, <math>\frac{a}{m}</math> et <math>\frac{c}{m}</math> seront entiers, positifs et premiers entre eux ; leur produit doit être égal à <math>\frac{b^2}{m^2}</math> qui est
un quarré, et partant, chacun d’eux en doit être un aussi. Soit
<math>\frac{a}{m}=g^2</math> et <math>\frac{c}{m}=h^2</math>, <math>g</math> et <math>h</math> seront aussi premiers entre eux, et l’on
<references/>
Gauss - Recherches arithmétiques, traduction Poullet-Delisle, 1807.djvu/234