

La somme des deux derniers termes de <math>\mathrm{W}_2</math> est donc une fonction homogène et du second degré de ces six quantités ; par suite elle ne contiendra que <math>21</math> coefficients arbitraires (<math>6</math> coefficients pour les carrés et <math>15</math> pour les doubles produits).
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'''17.''' Nous voyons déjà que, dans le cas le plus général, la fonction <math>\mathrm{W}_2</math> ne contiendra que <math>21 + 6 = 27</math> coefficients arbitraires, nombre qui se réduira à <math>21</math> quand la pression extérieure sera nulle dans l’état d’équilibre.

Dans l’hypothèse des forces centrales, nous avons vu ('''11''') que l’on avait :

{{c|<math>\frac{d^2\mathrm{F}}{d\mathrm{R}\,d\mathrm{R}'} = 0 .</math>|m=1em}}

Le troisième terme du développement (20) de <math>\mathrm{W}_2</math> disparaît, et si, dans le second terme, on remplace <math>\rho_1^2</math> par sa valeur tirée de la relation (22), on constate que, parmi les <math>21</math> coefficients, six sont égaux deux à deux. Ainsi on a :

\text{coef. de }\; \left( \frac{d\xi}{dy} + \frac{d\eta}{dx} \right)^2
&= \text{coef. de }\; 2\frac{d\xi}{dx}  \frac{d\eta}{dy} \cdot \\[1.5ex]
\text{coef. de }\; 2\frac{d\zeta}{dz} \left( \frac{d\xi}{dy} + \frac{d\eta}{dx} \right)
&= \text{coef. de }\; 2 \left(\frac{d\eta }{dz}+\frac{d\zeta}{dy}\right)
\left(\frac{d\zeta}{dx}+\frac{d\xi  }{dz}\right)\cdot \\

Le nombre des coefficients arbitraires se trouve alors réduit à <math>15.</math>

En résumé, nous aurons dans <math>\mathrm{W}_2\,:</math>

1{{o}} <math>27</math> coefficients arbitraires dans le cas général ;

2{{o}} <math>21</math> coefficients quand la pression extérieure est nulle dans l’état d’équilibre et que les forces ne sont pas centrales ;

3{{o}} <math>21</math> coefficients quand les forces sont centrales et la
<references/>
Henri Poincaré - Théorie mathématique de la lumière, Tome 1, 1889.djvu/33