358 NOUVELLE MÉTHODE POUK DÉTERMINER
La méthode de ce Mémoire est aussi applicable à ces sortes de
questions, car soient y une ordonnée quelconque du polygone, et x l’ab-
scisse correspondante, on aura pour l’élément fini de l’aire
h — dy ) dx,
comme il est aisé de s’en assurer par l’inspection d’une figure fort
simple; par conséquent l’aire entière sera
f(r+^r)d*.
Donc, suivant notre méthode,
ô /(y -1 — dy dx = J (ëy)dx-i — (§dy) dx -t- ( y H — dyèdx I— o.
Or, chaque côté du polygone est en général /dx 2 -+- dy’ 2 ; donc on aura
. ,-= =— dx o dx ■+■ dyô dy
Û sjdx 2 -+- dy = ’ ' =■: — = o,
s/dx 2 -t- dy 2
c’est-à-dire
dxèdx -+- dyôdy = o
et
. , dyèdy
ô dx = — - 1 — ; — — :
dx
substituant cette valeur de <5dx dans l’équation précédente, elle devien-
dra celle-c’i :
f[dxôy+ [dx-r± - L *£} ârf r ] = o.
Qu’on mette au lieu de èdy son égale dày, et qu’on fasse, pour abréger,
l d . — rclr — - i^~ —
a dx i dx
on aura la formule zddy qu’il faudra intégrer par parties, afin de faire
disparaître la différence de 5y. Pour cela, je remarque que dans le cas
des différences finies on a
d(zèy) = dzoy + zddy ■+- dzdèy = zdèy -f- dz(ày -h dày),
<references/>
Lagrange - Œuvres (1867) vol. 1.djvu/418