{{tiret2|qu’arrive-|t-il}} ? Si l’on convient que les signes littéraux de l’algèbre tels que ''a'', ''b'', ''c'',{{lié}}..., ''x'', ''y'',{{lié}}... représentent tous sans exception des ''nombres complexes''<ref>Imaginaires, en général du moins. Dans le cas particulier où {{nobr|β <nowiki>=</nowiki> 0}}, le nombre {{nobr|α + β''i''}} devient réel.</ref> de la forme {{nobr|α + β''i''}}, où α {{lié|et β}} sont des nombres réels, positifs ou négatifs, et ''i'' un symbole auquel on donne pour {{lié|carré −1}}, il se trouve que toutes les combinaisons algébriques formées avec ces signes représentent elles-mêmes des nombres de la forme {{nobr|α + β''i''}}. Ainsi, lorsqu’on effectue sur les nombres {{nobr|α + β''i''}} des opérations quelconques, on ne sort jamais du système de ces nombres. En d’autres termes, il suffit d’adjoindre aux quantités algébriques ordinaires, le seul nombre fictif{{lié}}''i'', pour que tous les calculs de l’algèbre deviennent légitimes dans tous les cas, et pour que l’on puisse par conséquent effectuer sans réserve toutes les combinaisons algébriques imaginables en faisant totalement abstraction des objets — réels ou fictifs — que représentent celles-ci.

Voilà, exactement, ce qu’il y a au fond de l’algèbre imaginaire : aucune notion mystérieuse, mais simplement une propriété générale des composés qui résultent de la combinaison formelle des opérations algébriques.

Nous n’avons envisagé ci-dessus que des expressions (ou combinaisons de signes) isolées. Or l’algébriste a souvent l’occasion d’étudier simultanément plusieurs expressions différentes, associées suivant certaines règles. Comment pourra-t-il utiliser à cet effet la méthode algébrico-logique ?

Une « expression algébrique » exprime, comme on sait, une correspondance fonctionnelle établie entre
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Boutroux - L’idéal scientifique des mathématiques.djvu/149