{{nr||(9)|}}d’une part, des densité et température moyennes locales <math>\rho, \tau,</math> d’autre part,
de l’agitation telle qu’elle se produit autour de <math>(x, y, z),</math>
{{MathForm1|(6)|<math>\mathrm{T}_z=\mathrm{KG_z}.</math>}}



» '''9.''' L’agitation étant toujours supposée, autour de <math>(x, y, z),</math> la
même que précédemment, faisons varier les six vitesses moyennes locales
de déformation <math>\mathrm{D}_x,</math> <math>\mathrm{D}_y,</math> <math>\mathrm{D}_z,</math> <math>\mathrm{G}_x,</math> <math>\mathrm{G}_y,</math> <math>\mathrm{G}_z,</math> de manière que les trois vitesses ''principales'' correspondantes de dilatation ou ''d’extension, '' auxquelles je donnerai les noms <math>\mathrm{D}_1,</math> <math>\mathrm{D}_2,</math> <math>\mathrm{D}_3,</math> aient dans l’espace trois directions rectangulaires quelconques et prennent d’ailleurs, suivant ces directions, toutes
les grandeurs relatives. Les pressions moyennes locales correspondantes <math>\mathrm{P}_1,</math> <math>\mathrm{P}_2,</math> <math>\mathrm{P}_3,</math> également principales comme on a vu, pourront être exprimées
dans un système de coordonnées ayant leur direction et puis être développées linéairement suivant les vitesses moyennes locales correspondantes
de déformation, qui se réduisent aux trois dilatations <math>\mathrm{D}_1,</math> <math>\mathrm{D}_2,</math> <math>\mathrm{D}_3.</math> Formons
ensuite, pour tenir lieu de <math>\mathrm{P}_1,</math> <math>\mathrm{P}_2,</math> <math>\mathrm{P}_3,</math> d’une part, leur moyenne arithmétique changée de signe (''pression moyenne''), que nous appellerons <math>p,</math>
d’autre part, leurs demi-différences respectives <math>\tfrac{1}{2}\left(\mathrm{P}_2-\mathrm{P}_3\right),</math> <math>\tfrac{1}{2}\left(\mathrm{P}_3-\mathrm{P}_1\right),</math> <math>\tfrac{1}{2}\left(\mathrm{P}_1-\mathrm{P}_2\right).</math> Ce seront, avec des coefficients dépendant de <math>\rho,</math> <math>\tau</math> et de l’agitation, quatre fonctions linéaires des trois variables <math>\mathrm{D}_1,</math> <math>\mathrm{D}_2,</math> <math>\mathrm{D}_3,</math> ou, encore, de leur somme <math>\mathrm{D}_1+ \mathrm{D}_2+ \mathrm{D}_3</math> (''vitesse de dilatation cubique'') et de deux quelconques de leurs différences <math>\mathrm{D}_2-\mathrm{D}_3,</math> <math>\mathrm{D}_3-\mathrm{D}_1,</math> <math>\mathrm{D}_1-\mathrm{D}_2,</math> à somme algébrique nulle.

» Or, quand une de ces différences, celle de <math>\mathrm{D}_2</math> et <math>\mathrm{D}_3</math> par exemple, s’annule, on sait que toutes les directions comprises dans le plan des dilatations correspondantes <math>\mathrm{D}_2,</math> <math>\mathrm{D}_3</math> sont principales au point de vue des déformations ; ce qui entraîne qu’elles le soient aussi pour les pressions et que l’ellipsoïde d’élasticité, devenu de révolution autour de <math>\mathrm{D}_1</math> ou de <math>\mathrm{P}_1,</math> donne <math>\tfrac{1}{2}\left(\mathrm{P}_2-\mathrm{P}_3\right)=0.</math> Donc la demi-différence <math>\tfrac{1}{2}\left(\mathrm{P}_2-\mathrm{P}_3\right),</math> que l’on peut concevoir exprimée en fonction linéaire de <math>\mathrm{D}_1+\mathrm{D}_2+\mathrm{D}_3</math> et de <math>\mathrm{D}_2-\mathrm{D}_3,</math> <math>\mathrm{D}_3-\mathrm{D}_1,</math> se réduit au terme affecté de math>\mathrm{D}_2-\mathrm{D}_3\ ;</math> et, en considérant aussi les deux autres demi-différences analogues, l’on a des formules comme
{{MathForm1|(7)|{{t|<math>\left\{\begin{align}&\tfrac{1}{2}\left(\mathrm{P}_2-\mathrm{P}_3\right)=\varepsilon\left(\mathrm{D}_2-\mathrm{D}_3\right), \quad \tfrac{1}{2}\left(\mathrm{P}_3-\mathrm{P}_1\right)=\varepsilon'\left(\mathrm{D}_3-\mathrm{D}_1\right),\\&\tfrac{1}{2}\left(\mathrm{P}_1-\mathrm{P}_2\right)=\varepsilon''\left(\mathrm{D}_1-\mathrm{D}_2\right)=-\varepsilon''\left(\mathrm{D}_2-\mathrm{D}_3\right)-\varepsilon''\left(\mathrm{D}_3-\mathrm{D}_1\right),\end{align}\right.</math>|90}}}}
{{br0}}où <math>\varepsilon,</math> <math>\varepsilon',</math> <math>\varepsilon''</math> sont trois coefficients indépendants de <math>\mathrm{D}_1,</math> <math>\mathrm{D}_2,</math> <math>\mathrm{D}_3.</math>
<references/>
Joseph Boussinesq - Théorie de l'écoulement tourbillonnant et tumultueux des liquides dans les lits rectilignes à grande section, 1897.djvu/25