{{nr|412|RECHERCHES|}}et par Γ l’ensemble de ces classes. Généralement parlant, ces
classes doivent être regardées comme inconnues ; cependant il est
clair, {{1o}}. qu’elles sont toutes positives et proprement primitives ;
{{2o}}. qu’elles appartiennent toutes à un même genre, dont le ''caractère'' peut facilement se conclure de la nature du nombre <math>M</math>,
c’est-à-dire, de ses relations avec les différens diviseurs premiers
de <math>D</math>, et de plus avec <math>4</math> ou <math>8</math>, quand il y a lieu ({{n°}}230). Puisque
nous avons supposé que <math>M</math> est contenu sous une forme de diviseurs de <math>x^2+D</math>, nous sommes sûrs d’avance qu’il répond à ce
caractère un genre positif proprement primitif de formes de déterminant <math>-D</math>, quand bien même l’expression <math>\sqrt{-D} \pmod M</math>
ne pourrait être satisfaite. Donc, puisque ce genre est connu ,
on peut trouver toutes les classes qui y sont contenues ; désignons-les
par <math>C</math>, <math>C'</math>, <math>C''</math>, etc., et leur ensemble par G, Les différentes
classes <math>K</math>, <math>-K</math>, etc. doivent être identiques avec quelque classe
comprise dans G ; il peut arriver aussi que plusieurs classes de Γ
soient identiques entre elles et qu’elles le soient parconséquent
avec une même de G, et quand G n’en contient qu’une seule,
il est certain que toutes les classes de Γ coïncident avec elle.
Donc si des classes <math>C</math>, <math>C'</math>, <math>C''</math>, etc., on tire les formes les plus
simples <math>f</math>, <math>f'</math>, <math>f''</math>, etc. respectivement, une forme de chaque classe
de Γ se trouvera parmi elles. Or si <math>ax^2+2bxy+cy^2</math> est une forme
contenue dans la classe <math>K</math>, il y aura deux représentations du
nombre <math>M</math>, par cette forme, appartenantes à la valeur <math>r</math>, et si
l’une est <math>x=m</math>, <math>y=n</math>, l’autre sera <math>x=-m</math>, <math>y=-n</math>. On doit
excepter le seul cas où <math>D=1</math>, dans lequel il y aurait quatre représentations ({{n°}}180).

Il suit de là que si on cherche toutes les représentations du
nombre <math>M</math> par les différentes formes <math>f</math>, <math>f'</math>, <math>f''</math>, etc., par la méthode indirecte exposée précédemment, et qu’on en tire les valeurs de l’expression <math>\sqrt{-D} \pmod M,</math> auxquelles chacune d’elles
appartient ({{n°}}154 et suivans), on aura ''toutes'' les valeurs de cette
expression et même chacune d’elles deux fois, ou quatre fois si
<math>D=1</math>. Si parmi les formes <math>f</math>, <math>f'</math>, etc., il s’en trouve quelques-unes par lesquelles M ne puisse pas être représenté, il s’ensuit
qu’elles n’appartiennent à aucune classe de Γ, et que parconséquent elles doivent être négligées ; et si <math>M</math> ne pouvait être
<references/>
Gauss - Recherches arithmétiques, traduction Poullet-Delisle, 1807.djvu/434