

'''215. Théorème de Mac-Cullagh.''' — Soit <math>\mathrm{O}</math> [''fig''.{{lié}}27) un
{{Img float|file=H.Poincaré-Limière-Fig-27.png|width=200px|align=left|cap=Fig. 27.}}
point du plan de séparation ; menons par ce point trois droites
<math>\mathrm{OI},</math> <math>\mathrm{OR}'</math> et <math>\mathrm{OR}</math> dont les projections
sur les trois axes soient respectivement,
<math>u_1,\,v_1,\,w_1\,;</math> <math>u_2,\,v_2,\,w_2\,;</math>
<math>u_3,\,v_3,\,w_3.</math> Ces trois droites
représenteront en grandeur et direction,
dans la théorie de Neumann, les vibrations
incidente, réfléchie et réfractée.
D’après les équations (1), <math>\mathrm{OR}</math>
est la somme géométrique de <math>\mathrm{OI}</math> et
de <math>\mathrm{OR'},</math> c’est-à-dire la diagonale du
parallélogramme construit sur <math>\mathrm{OI}</math> et
<math>\mathrm{OR}'.</math> Les trois droites <math>\mathrm{OI},</math> <math>\mathrm{OR}</math>
et <math>\mathrm{OR}'</math> sont donc dans un même plan.

Cherchons à déterminer ce plan. Soient <math>\mathrm{OF}</math> et <math>\mathrm{OF}'</math> les
directions des vibrations incidente et réfractée dans la théorie
de Fresnel. Le plan <math>\mathrm{IOF}</math> est celui de l’onde incidente, le plan
<math>\mathrm{R'OF'}</math> celui de l’onde réfractée. D’après un théorème démontré
plus haut ('''204'''), <math>\mathrm{OF}</math> est la projection de <math>\mathrm{OF'}</math> sur l’onde
incidente.  Les deux plans, <math>\mathrm{IOF}</math> et <math>\mathrm{F'OF}</math> sont donc rectangulaires ;
de plus l’angle <math>\mathrm{IFO}</math> est droit ; donc <math>\mathrm{OI}</math> est perpendiculaire au
plan <math>\mathrm{FOF'}</math> et par conséquent à <math>\mathrm{OF'}\,;</math> <math>\mathrm{OF'}</math>
perpendiculaire à la fois à <math>\mathrm{OI}</math> et à <math>\mathrm{OR}</math> est perpendiculaire au plan
<math>\mathrm{ROI}.</math> Donc le plan <math>\mathrm{ROI}</math> et le plan de l’onde réfractée sont rectangulaires.
Donc ''le plan des trois vibrations <math>{OI},</math> <math>OR</math> et <math>OR'</math> passe par le''
''rayon réfracté''.

Ceci permet de résoudre le problème suivant : connaissant
en grandeur et direction la vibration incidente <math>\mathrm{OI}</math> (dans la
théorie de Neumann) construire les vibrations réfléchie et réfractée.
<references/>
Henri Poincaré - Théorie mathématique de la lumière, Tome 1, 1889.djvu/366