

6. Dans le cas où le développement se termine, et où conséquemment <math>N=0,</math> on a simplement
{{c|<math>\frac{Ab^m}{B}=M\,;</math>}}
{{SA|d’où l’on voit qu’alors <math>b^m</math> doit être exactement divisible par <math>B</math> ; et
dans le cas où ce développement est immédiatement périodique, et
où conséquemment <math>M=0,</math> on a simplement}}
{{c|<math>\frac{A\left(b^n-1\right)}{B}=N\,;</math>}}
{{SA|d’où l’on voit qu’alors <math>b^n-1</math> doit être exactement divisible par <math>B.</math> Ainsi, {{ho|1}}''lorsque le développement de la fraction génératrice se termine, son dénominateur est diviseur exact de quelque puissance de la base de ce développement, c’est-à-dire, qu’il ne contient aucun facteur premier étranger à cette base ;'' {{ho|2}}''lorsque ce développement est immédiatement périodique, le dénominateur de la fraction génératrice, premier à la base, est nécessairement diviseur exact de quelque nombre moindre d’une unité qu’une puissance de cette base''.<ref> De là résulte ce théorème : <math>a</math> ''et <math>b</math> étant deux nombres entiers premiers entre eux, l’équation''
{{c|<math>b^x-1=ay</math>}}
{{SA|''est toujours résoluble en nombres entiers.''}}</ref>}}

7. Soit toujours <math>B=CD,\ C</math> et <math>D</math> étant les mêmes que ci-dessus
(5). Soit <math>m</math> la moindre des puissances <math>b</math> qui soit divisible par C<math>,</math> et soit <math>n</math> la moindre des puissances de ce même nombre <math>b</math> qui,
diminuée d’une unité, devienne divisible par <math>D</math> ; il suit de ce qui
a été dit ci-dessus, que le développement de <math>\frac{A}{B}</math> suivant la base
<math>b</math> ne pourra avoir moins de <math>m</math> termes avant la première période,
ni moins de <math>n</math> termes à chaque période. Nous allons prouver de
<references/>
Annales de mathématiques pures et appliquées, 1813-1814, Tome 4.djvu/284