

Soit <math>\mathrm{MT}</math> ({{fig.|4}}) une tangente à l’enveloppante courbe <math>\mathrm{MM'M''}\ldots\,;</math> si je mène à toutes les enveloppées des tangentes <math>\mathrm{Q'T',Q''T''},\ldots,</math> parallèles à cette première droite, la suite des points de contact <math>\mathrm{Q,Q',Q''},\ldots</math> déterminera une courbe <math>\mathrm{QQ'Q''}\ldots</math> qui passera par le point <math>\mathrm{M.}</math> Je dis de plus qu’en ce point elle sera tangente à <math>\mathrm{MM'M''}\ldots.</math> En effet, la position d’une tangente se détermine en prenant la limite de la position d’une corde dont l’une des extrémités s’approche indéfiniment de l’autre, considérée comme fixe. Or, si l’on considère la corde <math>\mathrm{MQ'},</math> il est évident que l’extrémité <math>\mathrm{Q'}</math> s’approchera indéfiniment du point <math>\mathrm{M',}</math> quand ce dernier s’approchera du point <math>\mathrm{M},</math> et qu’ils se confondront à la limite, puisqu’alors <math>\mathrm{M'T'}</math> sera parallèle à <math>\mathrm{MT}\,;</math> donc la limite de la corde <math>\mathrm{MQ'}</math> est la même que celle de la corde <math>\mathrm{MM'}\,;</math> mais cette dernière étant corde de la courbe <math>\mathrm{MM'M''}\ldots</math> a pour limite la tangente <math>\mathrm{MT}\,;</math> donc cette dernière droite est aussi tangente à la courbe transversale <math>\mathrm{\mathrm{QQ'Q''}.}</math>

Nous pouvons conclure de là que les enveloppes cherchées se trouveront parmi les enveloppes des transversales <math>\mathrm{QQ'Q''}\ldots,</math> dont il faut présentement chercher l’équation générale.

Si l’équation <math>\phi=0</math> était donnée, en y mettant pour <math>c</math> la valeur qui convient à l’enveloppée <math>\mathrm{A'M'B',}</math> on trouverait les coordonnées du point <math>\mathrm{Q'}</math> en résolvant simultanément les équations
{{c|<math>\phi=0,\qquad\frac{\operatorname{d}\phi}{\operatorname{d}x}+\frac{\operatorname{d}\phi}{\operatorname{d}y}p=0,</math>}}
{{SA|après avoir mis pour <math>p,</math> dans la dernière, la tangente tabulaire de l’angle que fait la droite <math>\mathrm{Q'T'}</math> avec l’axe des <math>x\,;</math> et, pour obtenir l’équation de la transversale <math>\mathrm{QQ'Q''}\ldots,</math> il faudrait éliminer <math>c</math> entre les deux mêmes équations ; mais (6) le résultat de cette élimination serait <math>\phi'=0\,;</math> donc cette dernière équation, en y considérant <math>p</math> comme uns constante arbitraire, représentera les transversales cherchées.}}
<references/>
Annales de mathématiques pures et appliquées, 1822-1823, Tome 13.djvu/350