{{SA|en la différen liant par rapport à <math>\alpha,</math> on aura}}
{{MathForm1|(S)|<math>
0=\frac{d^2.r\delta r}{dt^2}+\frac{\mu r\delta r}{r^3}+2\int\delta d\mathrm{R}+\delta.r\mathrm{R}'.
</math>}}
{{SA|Nommons <math>dv</math> l’arc infiniment petit intercepté entre les deux rayons vecteurs <math>r</math> et <math>r+dr</math> ; l’élément de la courbe décrite par <math>m</math> autour de <math>\rm{M}</math> sera <math>\sqrt{dr^2+r^2dv^2}\,;</math> on aura ainsi}}
{{c|<math>dx^2+dy^2+dz^2=dr^2+r^2dv^2,</math>}}
{{SA|et l’équation (Q) deviendra}}
{{c|<math>0=\frac{r^2dv^2+dr^2}{dt^2}-\frac{2\mu}{r}+\frac{\mu}{a}+2\int d\mathrm{R}.</math>}}
{{SA|En éliminant <math>\frac{\mu}{a}</math> de cette équation, au moyen de l’équation (R), on aura}}
{{c|<math>\frac{r^2dv^2}{dt^2}=\frac{rd^2r}{dt^2}+\frac{\mu}{r}+r\mathrm{R}',</math>}}
d’où l’on tire, en différentiant par rapport à <math>\alpha,</math>
{{c|<math>\frac{2r^2dvd\delta v}{dt^2}=\frac{rd^2\delta r-\delta rd^2r}{dt^2}-\frac{3\mu r\delta r}{r^3}+r\delta\mathrm{R}'-\mathrm{R}'\delta r.</math>}}
{{SA|Si l’on substitue dans cette équation, au lieu de <math>\frac{\mu r\delta r}{r^3},</math> sa valeur tirée de l’équation (S), on aura}}
{{MathForm1|(T)|<math>
d\delta v=\frac{d(dr\delta r+2rd\delta r)+dt^2\left(3\int\delta d\mathrm{R}+2r\delta\mathrm{R}'+\mathrm{R}'\delta r\right)}{r^2dv}
</math>}}
{{SA|On pourra, au moyen des équations (S) et (T), avoir aussi exactement que l’on voudra les valeurs de <math>\delta r</math> et de <math>\delta v</math> ; mais on doit observer que, <math>dv</math> étant l’angle intercepté entre les rayons <math>r</math> et <math>r+dr</math>, l’intégrale <math>v</math> de ces angles n’est pas dans un même plan. Pour en conclure la valeur de l’angle décrit autour de <math>\rm{M}</math> par la projection du rayon vecteur <math>r</math> sur un plan fixe, désignons par <math>v,</math> ce dernier angle, et nommg\varpi <math>s</math> la tangente de la latitude de <math>m</math> au-dessus de ce plan ; <math>r(1+s^2)^{-\frac{1}{2}}</math> sera l’ex-}}
<references/>
Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 1.djvu/315