Il y a donc sur la surface S une infinité de solutions dou-
blement asymptotiques homoclines.
c.Q.F.D.
396. Soit AoHoCo un arc quelconque de notre courbe asym-
ptotique de la première famille, et supposons que cet arc coupe
une courbe asymptotique de seconde famille aux deux points
extrêmes A0 et C0. Je dis qu'entre ces deux points A0 et Co il y
aura toujours d'autres points d'intersection avec la courbe de la
seconde famille.
Soit en effet AoKoCo l'arc de la courbe de la seconde famille
qui joint les deux points A0 et Co.
Ou bien les deux arcs AoHoCo et AoKoCo ont d'autres points
communs que leurs extrémités, et alors le théorème se trouve
démontré.
Ou bien ces deux arcs n'ont pas d'autre point commun que
leurs extrémités A0 et C0 ; alors les deux arcs limitent une aire 0,,
analogue à celle que nous avons envisagée à la fin du numéro pré-
cédent; les mêmes raisonnements lui sont applicables cl nous
pouvons conclure que l'arc AoHoCo coupe une infinité de fois la
courbe de la seconde famille.
Donc sur une courbe asymptotique de la première famille entre
deux points d'intersection quelconques avec la courbe de la
seconde famille, il y en a une infinité d'autres.
Sur une surface asymptotique quelconque, entre deux solu-
tions doublement asymptotiques quelconques, il y en a une
infinité d'autres.
Nous n'avons pas encore le droit de conclure que les solutions
doublement asymptotiques sont uberalldicht sur la surface asym-
ptotique; mais cela semble probable.
Les points d'intersection des deux courbes asymptotiques
peuvent se répartir en deux catégories. En effet, on peut parcourir
la courbe asymptotique dans deux sens opposés; nous considére-
rons ce sens comme positif, si l'on va d'un point à son conséquent.
Soient alors A un point d'intersection des deux courbes, BAB',-
CAC' d eux arcs de courbes asymptotiques se coupant en A.
Supposons que BAB' soit de la première et CAC' de la seconde
famille, et qu'en suivant les courbes dans le sens positif on aille
<references/>
Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 3, 1899.djvu/399