{{nr|20|CHAPITRE IX.||}}pourrai écrire
\Phi_p = \mathrm{A} &+ \textstyle\sum \mathrm{B} \cos(m_1y_1 + m_2y_2 + \dots + m_n y_n) \\
&+ \textstyle\sum \mathrm{C} \sin(m_1y_1 + \dots + m_n y_n),

{{SA|les nombres <math>m_1,\,m_2,\,\dots,\, m_n</math> étant des entiers pendant que les <math>\mathrm{A},</math>
les <math>\mathrm{B}</math> et les <math>\mathrm{C}</math> sont des coefficients constants indépendants {{nobr|des <math>y.</math>}}}}

{{Ancre|p125-20}}On peut faire alors

\mathrm{S}_p ={} & \alpha_{p,1}y_1 + \alpha_{p,2}y_2 + \dots + \alpha_{p,n}y_n  \\
&+\sum\frac{\mathrm{B} \sin(m_1 y_1 + m_2 y_2+ \dots + m_n y_n)}{m_1 n^0_1+m_2 n^0_2 + \dots + m_n n^0_n} \\
&+\sum\frac{\mathrm{C} \cos(m_1 y_1 + \dots + m_n y_n)}{m_1n^0_1 + \dots + m_n n^0_n} \cdot

{{SA|Les <math>\alpha_{p,i}</math> sont des constantes qui peuvent être choisies arbitrairement
puisqu’elles sont assujetties seulement à la condition}}

{{c|<math> \alpha_{p,1}n^0_1 + \alpha_{p,2}n^0_2 + \dots + \alpha_{p,n}n^0_n  = \mathrm{A} + \mathrm{C}_p </math>|m=1em}}
{{SA|et que la {{corr|condition|constante}} <math>\mathrm{C}_p</math> est arbitraire.}}

Cette méthode ne serait en défaut que s’il existait des entiers
<math>m_1,</math> <math>m_2,</math> <math>\dots,</math> <math>m_n,</math> tels que
{{c|<math>\textstyle\sum m_i n_i^0 = 0.  </math>|m=1em}}
{{SA|Nous supposerons qu’il n’en est pas ainsi.}}

Il est à remarquer que les fonctions <math>\mathrm{S}_p</math> ainsi définies contiennent
des constantes arbitraires ; elles dépendent d’abord de
{{c|<math> x_1^0, \quad x_2^0,\quad \dots,\quad x_n^0, </math>|mb=0em|mt=1em}}
{{g|puis de}}
{{c|<math> \alpha_{1,1},\quad \alpha_{1,2},\quad \dots,\quad \alpha_{1,n}, </math>|m=0em}}
{{g|puis de}}
\alpha_{2,1},& \alpha_{2,2},& \dots,& \alpha_{2,n}, \\
\dots, &\dots, &\dots, &\dots,
\end{array}</math>|m=0em}}
{{g|puis de}}
\alpha_{p,1},& \alpha_{p,2},& \dots,& \alpha_{p,n}, \\
\dots, &\dots, &\dots, &\dots,
\end{array}</math>|mt=0em|mb=0em}}

{{SA/o|Nous ne voulons conserver que <math>n</math> constantes arbitraires ; nous
continuerons donc à considérer les <math>x_i^0</math> comme arbitraires, en {{tiret|choi|sissant}}}}
<references/>
Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 2, 1893.djvu/34