

{{c|<math>3^m-3.2^m+3.</math>}}
{{SA|On conçoit d’ailleurs que ces systèmes ne différeront six à six que
par les rangs que les trois mêmes parts y occuperont.}}

S’agit-il de former ''quatre'' parts ? en se déterminant à former la
première de <math>k</math> choses, on pourra choisir cette part d’un nombre
de manières exprimé par
{{c|<math>\frac{m}{1}.\frac{m-1}{2}.\frac{m-2}{3}\ldots\frac{m-k+1}{k}\,;</math>}}
{{SA|il restera ensuite à faire trois parts des <math>m-k</math> choses restantes, ce qui, d’après ce qui précède, pourra se faire d’un nombre de manières exprimé par}}
{{c|<math>3^{m-k}-3.2^{m-k}+3\,;</math>}}
{{SA|d’où il suit que le nombre total des modes de répartition où la première part comprend <math>k</math> choses, est}}
{{c|<math>\frac{m}{1}.\frac{m-1}{2}.\frac{m-2}{3}\ldots\frac{m-k+1}{k}\left(3^{m-k}-3.2^{m-k}+3\right)\,;</math>}}
{{SA|faisant donc successivement, dans cette formule,
<math>k=1,2,3\ldots,m-2,</math><math>m-1,</math> on trouvera, pour le nombre des systèmes de répartition relatif à chaque nombre de choses adopté à la première part, savoir :}}
{{g|<math>
\text{Pour }1&\text{chose}\ldots\ldots\ldots\frac{m}{1}\left(3^{m-1}-3.2^{m-1}+3\right),\\\\
2&\ldots\ldots\ldots\frac{m}{1}.\frac{m-1}{2}\left(3^{m-2}-3.2^{m-2}+3\right),
\end{array}
</math>|6}}
<references/>
Annales de mathématiques pures et appliquées, 1820-1821, Tome 11.djvu/179