

Pour qu’une valeur nulle de la première expression entraîne nécessairement une valeur nulle de la seconde, il faut que les formules de transformation, qui permettent d’exprimer les composantes de la distance dans l’espace et l’intervalle dans le temps de deux événements pour les observateurs O, en fonction des mêmes éléments mesurés par les observateurs O', possèdent la propriété de laisser invariante l’expression :

{{centré|<math>\scriptstyle \mathrm{R} = (x - x_{0})^2 + (y - y_{0})^2 + (z - z_{0})^2 - \mathrm{V}^2 (t - t_{0})^2 = d^2 - \mathrm{V}^2 (t - t_{0})^2</math>{{intervalle|1em}}(1)}}

''x''{{ind|0}}, ''y''{{ind|0}}, ''z''{{ind|0}}, ''t''{{ind|0}}, ''x'', ''y'', ''z'', ''t'', étant deux événements, quelconques. Cette quantité R, qui a la même valeur pour tous les groupes d’observateurs, joue dans l’Univers de Minkowski un rôle analogue à celui de la distance de deux points en géométrie. Le groupe de Lorentz est déterminé par la condition d’invariance de cette quantité.

Dans le cas particulier où les deux systèmes d’axes ont même orientation et où leur mouvement relatif a lieu dans la direction des ''x'', avec la vitesse ''v'', la transformation de l’espace et du temps est déterminée par les équations suivantes, où β représente le rapport ''v''/V, de la vitesse du mouvement relatif à la vitesse de la lumière :

{{centré|<poem><math>\scriptstyle x - x_{0} = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}} [((x' - x'_{0})^2) + v (t' - t'_{0})]</math>
<math>\scriptstyle y - y_{0} = y' - y'_{0}</math>
<math>\scriptstyle z - z_{0} = z' - z'_{0}</math>
<math>\scriptstyle t - t_{0} = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}} \left[t' - t'_{0} - \frac{\beta}{\mathrm{V}} (x' - x'_{0})\right]</math></poem>}}
Langevin - La physique depuis vingt ans, 1923.djvu/344