

La combinaison des {{lié|équations (4)}} et (9) fournit
\mathrm{A} &{}={} \alpha &\,e {}+{} &\alpha' &e' {}+{} &\alpha'' &e'' + \ldots, \\
\mathrm{B} &{}={} \beta  &\,e {}+{} &\beta'  &e' {}+{} &\beta''  &e'' + \ldots, \\
\mathrm{C} &{}={} \gamma &\,e {}+{} &\gamma' &e' {}+{} &\gamma'' &e'' + \ldots,
{{SA|et, comme on a}}
{{c|<math>\mathcal{S} = \mathcal{A}\,\mathrm{A} + \mathcal{B}\,\mathrm{B} + \mathcal{C}\,\mathrm{C} + \ldots ,</math>}}
{{SA|on aura}}
{{c|<math>\begin{alignat}{7}
\mathrm{S} &{}={} (a &\,e {}+{} &a' &e' {}+{} &a'' &e'' + \ldots) \;
&(\alpha &\,e {}+{} &\alpha' &e' {}+{} &\alpha'' &e'' + \ldots) \\
&{}+{} (b &\,e {}+{} &b' &e' {}+{} &b'' &e'' + \ldots) \;
&(\beta  &\,e {}+{} &\beta'  &e' {}+{} &\beta''  &e'' + \ldots) \\
&{}+{} (c &\,e {}+{} &c' &e' {}+{} &c'' &e'' + \ldots) \;
&(\gamma &\,e {}+{} &\gamma' &e' {}+{} &\gamma'' &e'' + \ldots)
&{}+{}\ldots.

{{c|{{ancre|artS16|'''16.'''}}|m=1em}}

La série des observations qui fournissent les quantités <math>v</math>, <math>v'</math>, {{nobr|<math>v''</math>, etc.}}, affectées des erreurs fortuites <math>e</math>, <math>e'</math>, {{nobr|<math>e''</math>, etc.}}, peut être considérée comme une épreuve qui ne fait pas connaître, il est vrai, la grandeur de chaque erreur, mais qui, par le moyen des règles exposées plus haut, permet de déterminer la quantité <math>\mathrm{S}</math>, fonction connue de toutes les erreurs. Dans une telle épreuve, les erreurs peuvent être les unes plus grandes, les autres plus petites ; mais plus sera grand le nombre des erreurs employées, plus il y aura une grande probabilité que <math>\mathrm{S}</math> diffère peu de sa valeur moyenne : la difficulté revient donc à trouver la moyenne de <math>\mathrm{S}</math>.

Par les principes exposés dans le premier Mémoire et qu’il est inutile de reproduire ici, on trouve pour cette valeur moyenne
{{c|<math>(a\,\alpha + b\,\beta + c\,\gamma + \ldots)\,{m}^2 + (a'\alpha' + b'\beta' + c'\gamma' + \ldots)\,{m'}^2 + \ldots .</math>}}
{{SA|En nommant <math>\mu</math> l’erreur moyenne qui correspond aux observations dont le poids {{lié|est 1}}, de telle sorte que l’on ait}}
{{c|<math>\mu^2 = pm^2 = p'{m'}^2 = p''{m''}^2 = \ldots ,</math>}}
<references/>
Gauss - Méthode des moindres carrés, trad. Bertrand, 1855.djvu/105