{{SA|tions (A) et (C) des n{{e|os}} 55 et 59 du Livre II ; on a donc}}
{{c|<math>and\delta{\rm R}=0,</math>}}
{{SA|d’où l’on tire, en observant que <math>n^2a^3=1,</math>}}
{{c|<math>\frac{3dt\int dtd\delta{\rm R}}{r^2dv}=\frac{3m'gdt}{na^2\sqrt{1-e^2}},</math>}}
{{SA|<math>m'g</math> étant une constante arbitraire ajoutée à l’intégrale <math>\int d\delta{\rm R}.</math>}}

Il nous reste à considérer la fonction <math>\frac{dt^2(2r\delta{\rm R'+R'}\delta r)}{r^2dv}</math> qui entre dans l’expression de <math>d\delta v,</math> donnée par la formule (T) du n{{o}} 46 du Livre II. En négligeant le carré de la force perturbatrice, cette fonction se réduit à <math>\frac{2\delta(r{\rm R'})dt^2}{r^2dv}</math> ou, par le numéro cité, à <math>\frac{2a^2\frac{\partial \delta{\rm R}}{\partial a}ndt}{\sqrt{1-e^2}}.</math> Cette quantité produit d’abord le terme <math>\frac{m'ndt.c^2\frac{\partial {\rm A}^{(0)}}{\partial a}}{\sqrt{1-e^2}},</math> qui, ajouté à celui-ci <math>\frac{3m'gdt}{na^2\sqrt{1-e^2}},</math> égal à <math>\frac{3m'agndt}{\sqrt{1-e^2}},</math> à cause de <math>n^2a^3=1,</math> le détruit, parce que <math>g=-\frac{1}{3}a\frac{\partial{\rm A}^{(0)}}{\partial a},</math> par le n{{o}} 50 du Livre II. Reprenant ensuite l’expression précédente de <math>\delta\rm R,</math> nous observerons que la fonction
{{c|<math>\frac{m'}{8}aa'{\rm B}^{(1)}\left[(p'-p)^2+(q'-q)^2\right]+\ldots</math>}}
{{SA|est égale à une constante indépendante du temps <math>t</math>, puisque sa différentielle est nulle en vertu des équations (C) du n{{o}} 59 du Livre II ; et, si l’on ne considère que les deux planètes <math>m</math> et <math>m',</math> comme nous le ferons dans ce qui va suivre, <math>(p'-p)^2+(q'-q)^2</math> est, en vertu des mêmes équations, une quantité indépendante du temps ; la fonction précédente ne peut donc produire dans <math>\frac{2ndt.a^2\frac{\partial \delta{\rm R}}{\partial a}}{\sqrt{1-e^2}}</math> qu’une quantité pareillement indépendante du temps, et que l’on peut ainsi négliger, puisqu’elle peut être supposée se confondre avec la valeur de <math>ndt.</math> On aura donc, en faisant disparaître les différences partielles de <math>{\rm A}^{(0)}</math> et}}
<references/>
Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 3.djvu/41