{{Nr||LOGARITHMIQUES.|179}}{{SA|mais, dans le système de logarithmes de Neper, on a aussi}}
{{c|<math>\operatorname{l}\left(\tfrac{1+y}{1-y}\right)=2\left\{y+\tfrac{1}{3}y^3+\tfrac{1}{5}y^5+\tfrac{1}{7}y^7+\ldots\right\}.</math>}}
{{SA|Formant le produit de ces deux équations, l’équation résultante deviendra, par la suppression de la série commune à ses deux membres, et la division par <math>1-y^2</math>}}
{{c|<math>\operatorname{l}\left(\tfrac{1+y}{1-y}\right)=\tfrac{2}{1-y^2}\left\{y-\tfrac{2}{1.3}y^3-\tfrac{2}{3.5}y^5-\tfrac{2}{5.7}y^7-\ldots\right\}.</math>}}
{{SA|Posant alors}}
{{c|<math>\tfrac{1+y}{1-y}=x,\text{ d’où }y=\tfrac{x-1}{x+1},\quad \tfrac{2}{1-y^2}=\tfrac{(x+1)^2}{2x}~;</math>}}
{{c|<math>\operatorname{l}x=\tfrac{(x+1)^2}{2x}\left\{\left(\tfrac{x-1}{x+1}\right)-\tfrac{2}{1.3}\left(\tfrac{x-1}{x+1}\right)^3-\tfrac{2}{3.5}\left(\tfrac{x-1}{x+1}\right)^5-\ldots\right\}.</math>}}
{{SA|Formule qui revient à}}
{{c|<math>\operatorname{l}x=\tfrac{(x-1)}{x}\left\{\tfrac{x+1}{2}-\left[\tfrac{1}{1.3}\tfrac{(x-1)^2}{(x+1)}+\tfrac{1}{3.5}\tfrac{(x-1)^4}{(x+1)^3}+\tfrac{1}{5.7}\tfrac{(x-1)^6}{(x+1)^5}+\ldots\right]\right\}.</math>}}
La formule donnée par M. Dubourguet est
{{c|<math>\operatorname{l}x=\tfrac{x-1}{2}\left\{\tfrac{x+1}{2}-\left[\tfrac{1}{1.3}\left(\tfrac{x-1}{x+1}\right)^2+\tfrac{1}{3.5}\left(\tfrac{x-1}{x+1}\right)^4+\tfrac{1}{5.7}\left(\tfrac{x-1}{x+1}\right)^5+\ldots\right]\right\}.</math>}}
{{SA|et son calcul est exact jusqu’au bout ; de manière que l’erreur ne peut venir uniquement que de ce que, dans la substitution de la valeur de <math>\tfrac{2z^2}{\sqrt{1+z^2}},</math> il aura sans doute écrit <math>\tfrac{(x-1)^3}{2x(x+1)^2},</math> au lieu de <math>\tfrac{(x-1)^3}{2x(x+1)}.</math>}}

Il est fâcheux, au surplus, que cette formule doive avoir la forme que je viens d’indiquer, attendu qu’elle perd ainsi un peu de sa convergence.

Agréez, Messieurs, etc.
{{d|Lafère, 2 octobre 1811.|3}}
<references/>
Annales de mathématiques pures et appliquées, 1811-1812, Tome 2.djvu/189