

2. Considérons d’abord les répartitions <math>r,r',r'',\ldots</math> appartenant
à l’espèce (I). Si de chacune de ses répartitions on retranche la
part formée par <math>k,</math> il restera des répartitions
<math>\rho,\rho'\rho'',\ldots</math> de <math>c-1</math> choses distribuées en <math>p-1</math> parts, ou, suivant notre notation,
des répartitions appartenante l’ensemble <math>(c-1,p-1).</math> Réciproquement si, à des répartitions
<math>\rho,\rho'\rho'',\ldots</math> contenues dans ce dernier
ensemble, on ajoute une part formée d’une nouvelle chose <math>k,</math> on
obtiendra
<math>r,r',r'',\ldots</math> de l’espèce (I). Il est de plus évident
que si
<math>r,r',r'',\ldots</math> ne sont pas identiques,
<math>\rho,\rho'\rho'',\ldots</math> ne le seront pas non plus, et réciproquement ; d’où il suit que le
nombre des répartitions (I) est égal à celui des répartitions <math>(c-1,p-1),</math> lequel est exprimé, suivant notre notation, par <math>Z_{(c-1,p-1)}.</math>

3. Retranchons la chose <math>k</math> de chacune des répartitions de l’espèce (II) ;
nous aurons diminué d’une unité le nombre des choses, sans changer
celui des parts ; ainsi, les répartitions résultant de ce retranchement
appartiendront à l’ensemble <math>(c-1,p).</math> Réciproquement, ayant une
répartition appartenant à ce dernier ensemble, si l’on ajoute la chose
<math>k</math> à l’un quelconque des parts de cette répartition, on obtiendra
une répartition de l’espèce (II) ; et, comme il y a <math>p</math> parts, et par
conséquent <math>p</math> manières de faire cette adjonction, chaque répartition
de L’ensemble <math>(c-1,p)</math> produira <math>p</math> répartitions de l’espèce (II),
lesquelles, seront évidemment différentes entre elles. De plus, il est facile de voir que deux répartitions différentes de l’ensemble <math>(c-1,p)</math> le seront encore lorsqu’on y aura ajouté <math>k</math> d’une manière quelconque.
Donc le nombre des répartitions (II) est <math>p</math> fois celui des répartitions
<math>(c-1,p)\,;</math> c’est-à-dire, qu’il est <math>=pZ_{(c-1,p)}.</math>

Ainsi, <math>(c,p)</math> étant composé de (I) et de (II), on aura
{{c|<math>Z_{(c,p)}=p.Z_{(c-1,p)}+Z_{(c-1,p-1)}.\qquad</math>(A)}}

4. Au moyen de cette équation, nous  pourrons former une
table à double entrée des valeurs de
<math>Z_{(c,p)}</math> pourvu que nous en
connaissions les valeurs initiales. Or, si <math>p=1,</math> on a
<math>Z_{(c,p)}=1\,;</math>  car, quel que soit le nombre des choses, il n’y a qu’une manière
<references/>
Annales de mathématiques pures et appliquées, 1815-1816, Tome 6.djvu/26