抽象群的現代概念是從多個數學領域發展出來的。群論的最初動機是為了求解高於4次的多項式方程。十九世紀法國數學家埃瓦里斯特·伽羅瓦，擴充套件了保羅·魯菲尼和約瑟夫·拉格朗日先前的工作，依據特定多項式方程的根（解）的對稱群給出了對它的可解性的判別準則。這個伽羅瓦群的元素對應於根的特定置換。伽羅瓦的想法最初被同代人所拒絕，只在死後才出版。更一般的置換群由奧古斯丁·路易·柯西專門研究。阿瑟·凱萊的《On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θn = 1》（1854年）給出有限群的第一個抽象定義。幾何是第二個系統性的使用群，特別是對稱群的領域。這類群是菲利克斯·克萊因1872年的愛爾蘭根綱領的一部分。在新型的幾何如雙曲幾何和射影幾何形成之後，克萊因利用群論以更連貫的方式來組織它們。索菲斯·李進一步發展了這些想法，在1884年創立了李群的研究。對群論有貢獻的第三個領域是數論。一些阿貝爾群結構在卡爾·弗里德里希·高斯的數論著作《算術研究》（1798年）中被隱含地用到，並被利奧波德·克羅內克更明顯地用到。1847年，恩斯特·庫默爾發展了描述用素數做因數分解的理想類群，使證明費馬大定理的早期嘗試達到了高潮。把上述各種來源融合成一個群的統一理論是從卡米爾·若爾當的《Traité des substitutions et des équations algébriques》（1870年）開始的。瓦爾特·馮·迪克（1882年）給出了第一個抽象群的現代定義的陳述。在二十世紀，群在費迪南德·格奧爾格·弗羅貝尼烏斯和威廉·伯恩賽德的開拓性著作中獲得了廣泛的認識，他們研究有限群的表示理論，還有理查德·布勞爾的模表示論和Issai Schur的論文。赫爾曼·韋伊、埃利·嘉當和很多其他人推進了李群和更一般的區域性緊群的理論。它的代數對應者——代數群的理論，由克勞德·舍瓦萊（從1930年代晚期開始）和後來阿爾曼德·波萊爾和雅克·蒂茨的重要著作奠基。芝加哥大學於1960-61年舉辦的“群論年”活動促使群論家們以丹尼爾·格倫斯坦，約翰·格里格斯·湯普森和瓦爾特·法伊特為基礎展開合作。在大量其他數學家的幫助下，他們完成了有限單群的分類。這項工程，不論是從證明長度來說還是從參與人數來說，其浩大程度超越了之前一切的數學成果。簡化此證明的研究還在進行中。群論在當下仍是一個活躍的數學分支，並仍在對其他分支產生重大影響。 這項研究的目標是什麼？
抽象群的現代概念是從多個數學領域發展出來的。群論的最初動機是為了求解高於4次的多項式方程。十九世紀法國數學家埃瓦里斯特·伽羅瓦，擴充套件了保羅·魯菲尼和約瑟夫·拉格朗日先前的工作，依據特定多項式方程的根（解）的對稱群給出了對它的可解性的判別準則。這個伽羅瓦群的元素對應於根的特定置換。伽羅瓦的想法最初被同代人所拒絕，只在死後才出版。更一般的置換群由奧古斯丁·路易·柯西專門研究。阿瑟·凱萊的《On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θn = 1》（1854年）給出有限群的第一個抽象定義。幾何是第二個系統性的使用群，特別是對稱群的領域。這類群是菲利克斯·克萊因1872年的愛爾蘭根綱領的一部分。在新型的幾何如雙曲幾何和射影幾何形成之後，克萊因利用群論以更連貫的方式來組織它們。索菲斯·李進一步發展了這些想法，在1884年創立了李群的研究。對群論有貢獻的第三個領域是數論。一些阿貝爾群結構在卡爾·弗里德里希·高斯的數論著作《算術研究》（1798年）中被隱含地用到，並被利奧波德·克羅內克更明顯地用到。1847年，恩斯特·庫默爾發展了描述用素數做因數分解的理想類群，使證明費馬大定理的早期嘗試達到了高潮。把上述各種來源融合成一個群的統一理論是從卡米爾·若爾當的《Traité des substitutions et des équations algébriques》（1870年）開始的。瓦爾特·馮·迪克（1882年）給出了第一個抽象群的現代定義的陳述。在二十世紀，群在費迪南德·格奧爾格·弗羅貝尼烏斯和威廉·伯恩賽德的開拓性著作中獲得了廣泛的認識，他們研究有限群的表示理論，還有理查德·布勞爾的模表示論和Issai Schur的論文。赫爾曼·韋伊、埃利·嘉當和很多其他人推進了李群和更一般的區域性緊群的理論。它的代數對應者——代數群的理論，由克勞德·舍瓦萊（從1930年代晚期開始）和後來阿爾曼德·波萊爾和雅克·蒂茨的重要著作奠基。芝加哥大學於1960-61年舉辦的“群論年”活動促使群論家們以丹尼爾·格倫斯坦，約翰·格里格斯·湯普森和瓦爾特·法伊特為基礎展開合作。在大量其他數學家的幫助下，他們完成了有限單群的分類。這項工程，不論是從證明長度來說還是從參與人數來說，其浩大程度超越了之前一切的數學成果。簡化此證明的研究還在進行中。群論在當下仍是一個活躍的數學分支，並仍在對其他分支產生重大影響。 這項研究的目標是什麼？
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