基於這段文字，Burnside引理在組合數學中有哪些實際應用？
Burnside引理，有時也稱為Burnside計數定理、Cauchy-Frobenius引理、軌道計數定理或不是Burnside的引理，是群論中的一個結果，通常在計算數學物件的對稱性時很有用。它的各種名字都基於William Burnside、George Pólya、Augustin Louis Cauchy和Ferdinand Georg Frobenius。這個結果並不是由Burnside本人發現的，他只是在他的書《有限階群理論》中引用了它，並將其歸因於Frobenius（1887年）。Burnside引理計算「軌道」，這與考慮對稱性計算不同物件的數量是相同的。其他說法是計算等價關係R下的不同物件，或計算處於規範形式的物件。

在下面，讓G是一個作用於集合X上的有限群。對於每個g∈G，讓Xg表示由g固定的元素組成的集合（也稱為g左不變），即Xg={x∈X|g.x=x}。Burnside引理斷言軌道的數量，表示為|X/G|，具有以下公式：

|X/G| = 1/|G| * ∑g∈G |X^g|

因此，軌道的數量（自然數或+∞）等於G的一個元素固定的平均點數（也是自然數或無窮大）。如果G是無限的，則除以|G|可能無法定義良好；在這種情況下，基數算術中的以下語句成立：

|G| * |X/G| = ∑g∈G |X^g|

列舉應用的示例
項鍊
長度為3的位向量有8種可能，但長度為3的僅有四個不同的雙色項鍊：000、001、011和111，因為100和010透過旋轉等效於001；同樣，110和101等效於011。該公式基於旋轉的數量，在這種情況下為3（包括空旋轉），以及每個旋轉保持不變的位向量的數量。所有8個位向量都不受空旋轉的影響，兩個（000和111）都不受其他兩個旋轉的影響，因此得到：

4 = 1/3 * (8 + 2 + 2)。

對於長度為4的情況，有16個可能的位向量；4個旋轉；空旋轉使所有16個位向量都不變；1旋轉和3旋轉各使兩個位向量不變（0000和1111）；2旋轉使4個位向量不變（0000、0101、1010和1111），因此得到：

6 = 1/4 * (16 + 2 + 4 + 2)。

這些是：0000、0001、0011、0101、0111和1111。

立方體的著色
可以使用三種顏色對立方體的面進行旋轉不同的著色的數量可以透過以下公式確定。

讓X是可以應用於一個特定方向的立方體的36種可能的面顏色組合的集合，讓立方體的旋轉群G以自然方式作用於X。因此，當且僅當一個是另一個的旋轉時，X的兩個元素屬於同一軌道。因此，旋轉不同的著色數量與軌道數量相同，並且可以透過計算G的24個元素的固定集的大小來找到。

帶有彩色面的立方體
一個恆等元素，它使X的所有36個元素保持不變
六個90度面旋轉，每個旋轉使33個X的元素保持不變
三個180度面旋轉，每個旋轉使34個X的元素保持不變
八個120度頂點旋轉，每個旋轉使32個X的元素保持不變
六個180度邊旋轉，每個旋轉使33個X的元素保持不變
這些自同構的詳細研究可以在此處找到。

因此，平均固定大小為：

1/24 * (3^6 + 6 * 3^3 + 3 * 3^4 + 8 * 3^2 + 6 * 3^3) = 57。

因此，在三種顏色的情況下，立方體面的旋轉不同的著色數量為57。一般來說，立方體面的旋轉不同的n種顏色的著色數量由以下公式給出：

1/24 * (n^6 + 3n^4 + 12n^3 + 8n^2)。

8皇后難題
在八皇后難題中，有92個解，其中12個基本解在旋轉和反射棋盤的情況下是不同的。有8種旋轉和反射的組合，包括空動作。空動作使所有92個解都不變。92個解中有4個是對稱的，不受180°旋轉的影響。因此得到：

12 = 1/8 * (92 + 4)。`
* 項鍊計數問題：計數不同長度的旋轉不同的項鍊，其中每個珠子可以是兩種顏色之一。文章數了長度為3和4的項鍊，答案分別是4和6。
* 立方體的顏色問題：計算立方體各面旋轉不同的顏色。本文考慮使用 3 種顏色的情況，答案為 57。
* 8 個皇后難題：該問題的經典版本是計算將 8 個國際象棋皇后放置在 8x8 棋盤上的不同方法，以便沒有皇后攻擊另一個皇后（答案是 92）。透過 Burnside 的引理應用，本文計算了皇后在旋轉和反射之前的不同位置的數量，得出 12 作為答案。