提取出足以證明歐幾裡得空間子集是緊緻的兩個性質，並用專案符號列出這些性質。
緊緻性的定義因其適用範圍的不同而有所不同。特別地，歐幾裡得空間的子集如果既是閉集又是有界集，則稱其為緊緻集。這意味著，根據波爾查諾-魏爾斯特拉斯定理，該集合中的任何無限序列都有一個子序列收斂於該集合中的某個點。在一般度量空間中，可以發展出各種等價的緊緻性概念，例如順序緊緻性和極限點緊緻性。

相比之下，在一般拓撲空間中，不同的緊緻性概念並不等價，而最有用的緊緻性概念——最初稱為雙緊緻性——是使用由開集組成的覆蓋來定義的（見下面的開覆蓋定義）。這種形式的緊緻性對於歐幾裡得空間的閉合有界子整合立，這被稱為海涅-博雷爾定理。以這種方式定義的緊緻性通常允許將區域性已知的資訊——在空間的每個點的鄰域內——擴充套件到在整個空間中都成立的資訊。這種現象的一個例子是狄利克雷定理，最初由海涅應用於該定理，即緊緻區間上的連續函式是一致連續的；在這裡，連續性是函式的區域性性質，而一致連續性是相應的全域性性質。
根據海涅-博雷爾定理，以下屬性足以證明歐幾裡得空間的子集是緊的：
- 該集已關閉
- 集合是有界的