給我一個證明，證明根號2是無理數。
這裡用反證法證明 2 的平方根是無理數。首先，回想一下，對於整數 p 和 q，無理數是不能寫為 p / q 的數。矛盾地假設 2 的平方根是有理數，這意味著對於某些整數 p 和 q，sqrt(2) = p / q。不失一般性地進一步假設該分數是簡化形式，這意味著 p 和 q 沒有共同因子。我們可以這樣假設，因為任何整數分數都可以寫成這種簡化形式，因此 sqrt(2) 的任何有理表示的存在都意味著存在簡化形式。現在我們對上式兩邊求平方，得到

2 = p^2 / q^2

對於某些整數 p 和 q 不共享任何公因數。現在乘以 q^2 得到

2 * q^2 = p^2

請注意，由於因子 2，左側是偶數，因此右側 p^2 也是偶數。這意味著 p 也必須是偶數，否則 p^2 就不是偶數。因此對於某個整數 x，p 可以寫成 2 * x。將其代入上面的方程，我們得到

2 * q^2 = (2 * x)^2 = 2^2 * x^2

請注意，方程兩邊都有一個我們可以取消的因子 2。這樣做，我們得到

q^2 = 2 * x^2

透過與上述類似的論證，我們可以得出 q 是偶數的結論。然而，這與我們的假設相矛盾，即 p 和 q 沒有共同因子。因此，我們最初的假設 sqrt(2) 是有理數是錯誤的，這正是我們要證明的。