البدء بالصورة العامة للدالة استخدام الصورة القياسية أو الرأسية استخدام التفاضل لاشتقاق القيم العظمى والصغرى=
إن الدالة التربيعية هي دالة بها حد x2{\displaystyle x^{2}}، وقد تحتوي على حد x{\displaystyle x} أو لا، ولن يكون هناك أس أكبر من 2. إن الصورة العامة للدالة هي f(x)=ax2+bx+c{\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}. إذا استدعت الضرورة، قم بتجميع الحدود المتشابهة وإعادة ترتيب الدالة للصورة العامة. على سبيل المثال: افترض أنك بدأت بالتالي: f(x)=3x+2x−x2+3x2+4{\displaystyle f(x)=3x+2x-x^{2}+3x^{2}+4}. قم بتجميع الحدود x2{\displaystyle x^{2}} والحدود x{\displaystyle x} لتحصل على الدالة التالية في الصورة العامة: f(x)=2x2+5x+4{\displaystyle f(x)=2x^{2}+5x+4} يكون شكل الرسم البياني للدالة التربيعية على شكل قطع مكافئ؛ إما يكون القطع المكافئ مفتوحًا لأعلى أو لأسفل. إذا كان a{\displaystyle a} معامل الحد x2{\displaystyle x^{2}} موجبًا يكون القطع المكافئ مفتوحًا لأعلى، وإذا كان المعامل a{\displaystyle a} سالبًا يكون القطع المكافئ مفتوحًا لأسفل. انظر الأمثلة التالية:  بالنسبة للدالة f(x)=2x2+4x−6{\displaystyle f(x)=2x^{2}+4x-6} نجد أن المعامل a=2{\displaystyle a=2} إذن فإن القطع المكافئ مفتوح لأعلى. بالنسبة للدالة f(x)=−3x2+2x+8{\displaystyle f(x)=-3x^{2}+2x+8} نجد أن المعامل a=−3{\displaystyle a=-3} إذن فإن القطع المكافئ مفتوح لأسفل. بالنسبة للدالة f(x)=x2+6{\displaystyle f(x)=x^{2}+6} نجد أن المعامل a=1{\displaystyle a=1} إذن فإن القطع المكافئ مفتوح لأعلى. إذا كان القطع المكافئ مفتوحًا لأعلى، فسوف توجد قيمته الصغرى. أما إذا كان مفتوحًا لأسفل فسوف توجد القيمة العظمى. حيث أن قيمة −b2a{\displaystyle -{\frac {b}{2a}}} تعطيك القيمة x{\displaystyle x} لرأس القطع المكافئ. عندما تُكتب الدالة التربيعية في الصورة العامة ax2+bx+c{\displaystyle ax^{2}+bx+c}، استخدم معاملات الحدود x{\displaystyle x} و x2{\displaystyle x^{2}} كالتالي:  بالنسبة للدالة f(x)=x2+10x−1{\displaystyle f(x)=x^{2}+10x-1}، فإن المعاملات a=1{\displaystyle a=1} و b=10{\displaystyle b=10}. بالتالي احسب القيمة x لرأس المنحنى كالآتي:  x=−b2a{\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}} x=−10(2)(1){\displaystyle x=-{\frac {10}{(2)(1)}}} x=−102{\displaystyle x=-{\frac {10}{2}}} x=−5{\displaystyle x=-5}   كمثال آخر، فكر في الدالة f(x)=−3x2+6x−4{\displaystyle f(x)=-3x^{2}+6x-4}. في هذا المثال a=−3{\displaystyle a=-3} و b=6{\displaystyle b=6}. وبالتالي احسب القيمة x لرأس المنحنى كالآتي:  x=−b2a{\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}} x=−6(2)(−3){\displaystyle x=-{\frac {6}{(2)(-3)}}} x=−6−6{\displaystyle x=-{\frac {6}{-6}}} x=−(−1){\displaystyle x=-(-1)} x=1{\displaystyle x=1} أدخل قيمة x التي حسبتها للتو إلى الدالة لحساب قيمة f(x) المناظرة. سوف تكون تلك القيمة الصغرى أو العظمى للدالة.  بالنسبة للمثال الأول أعلاه f(x)=x2+10x−1{\displaystyle f(x)=x^{2}+10x-1}، لقد قمت بحساب قيمة x لرأس المنحنى وإثبات أن x=−5{\displaystyle x=-5}. أدخل −5{\displaystyle -5} بدلًا من x{\displaystyle x} في الدالة لإيجاد القيمة العظمى:  f(x)=x2+10x−1{\displaystyle f(x)=x^{2}+10x-1} f(x)=(−5)2+10(−5)−1{\displaystyle f(x)=(-5)^{2}+10(-5)-1} f(x)=25−50−1{\displaystyle f(x)=25-50-1} f(x)=−26{\displaystyle f(x)=-26}   بالنسبة للمثال الثاني أعلاه f(x)=−3x2+6x−4{\displaystyle f(x)=-3x^{2}+6x-4}، لقد قمت بحساب قيمة x لرأس المنحنى وإثبات أن x=1{\displaystyle x=1}. أدخل 1{\displaystyle 1} بدلًا من x{\displaystyle x} في الدالة لإيجاد القيمة العظمى:  f(x)=−3x2+6x−4{\displaystyle f(x)=-3x^{2}+6x-4} f(x)=−3(1)2+6(1)−4{\displaystyle f(x)=-3(1)^{2}+6(1)-4} f(x)=−3+6−4{\displaystyle f(x)=-3+6-4} f(x)=−1{\displaystyle f(x)=-1} راجع السؤال؛ وإذا كان عن إحداثيات نقطة الرأس، فسوف تحتاج لكتابة كل من قيم x{\displaystyle x} و y{\displaystyle y} (أو f(x){\displaystyle f(x)}). إذا كان المطلوب القيمة العظمى أو الصغرى فقط، فسوف تحتاج لكتابة قيمة y{\displaystyle y} (أو f(x){\displaystyle f(x)}). قم بالتعويض مرة أخرى بقيمة المعامل a{\displaystyle a} للتأكد ما إذا كان لديك القيمة العظمى أو الصغرى.  بالنسبة للمثال الأول f(x)=x2+10x−1{\displaystyle f(x)=x^{2}+10x-1}، تكون قيمة a{\displaystyle a} موجبة، لذا فسوف تكتب القيمة الصغرى. توجد نقطة الرأس عند (−5,−26){\displaystyle (-5,-26)} والقيمة الصغرى هي −26{\displaystyle -26}. بالنسبة للمثال الثاني f(x)=−3x2+6x−4{\displaystyle f(x)=-3x^{2}+6x-4}، تكون قيمة a{\displaystyle a} سالبة، لذا فسوف تحسب القيمة العظمى. توجد رأس المنحنى عند النقطة (1,−1){\displaystyle (1,-1)} والقيمة العظمى هي −1{\displaystyle -1}. إن الصورة القياسية للدالة التربيعية العامة والتي تسمى أيضًا الصورة الرأسية تكتب كالتالي:   f(x)=a(x−h)2+k{\displaystyle f(x)=a(x-h)^{2}+k} إذا كانت الدالة معطاة لك في تلك الصورة، فسوف تحتاج فقط لملاحظة المتغيرات a{\displaystyle a} و h{\displaystyle h} و k{\displaystyle k}. وإذا كانت الدالة معطاة من البداية في الصورة العامة f(x)=ax2+bx+c{\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}، فسوف تحتاج إلى إكمال المربع لإعادة كتابتها في الصورة الرأسية. راجع كيفية إكمال المربع. تمامًا مثل الدالة التربيعية في الصورة العامة، يمكنك تحديد اتجاه القطع المكافئ بالنظر للمعامل a{\displaystyle a}. إذا كان المعامل a{\displaystyle a} في الصورة القياسية موجبًا، فإن القطع المكافئ يفتح لأعلى. وإذا كان المعامل a{\displaystyle a} سالبًا فإن القطع المكافئ يفتح لأسفل. انظر الأمثلة التالية:  بالنسبة للدالة f(x)=2(x+1)2−4{\displaystyle f(x)=2(x+1)^{2}-4}، فإن المعامل a=2{\displaystyle a=2} موجب ولذا فسوف يفتح القطع المكافئ لأعلى. بالنسبة للدالة f(x)=−3(x−2)2+2{\displaystyle f(x)=-3(x-2)^{2}+2}، فإن المعامل a=−3{\displaystyle a=-3} سالب ولذا فسوف يفتح القطع المكافئ لأسفل. إذا فتح القطع المكافئ لأعلى فسوف تتمكن من حساب القيمة الصغرى، أما إذا فتح القطع المكافئ لأسفل فسوف تتمكن من حساب القيمة العظمى. عندما تٌكتب الدالة في الصورة القياسية، يكون حساب القيمة الصغرى أو العظمى سهلًا كقراءة قيمة المتغير k{\displaystyle k}. بالنسبة للمثالين أعلاه، فإن تلك القيم كالتالي:  بالنسبة للدالة f(x)=2(x+1)2−4{\displaystyle f(x)=2(x+1)^{2}-4}، فإن k=−4{\displaystyle k=-4}. هذه هي القيمة الصغرى للدالة لأن الدالة تفتح لأعلى. بالنسبة للدالة f(x)=−3(x−2)2+2{\displaystyle f(x)=-3(x-2)^{2}+2}، فإن k=2{\displaystyle k=2}. هذه هي القيمة العظمى للدالة لأن الدالة تفتح لأسفل. إذا طُلب منك حساب إحداثيات القيمة العظمى أو الصغرى، فسوف تكون النقطة (h,k){\displaystyle (h,k)}. لاحظ أنه في حالة الصورة القياسية للمعادلة، فإن الحد داخل الأقواس هو (x−h){\displaystyle (x-h)}، لذا فسوف تحتاج إلى إشارة معاكسة للرقم الذي يتبع x{\displaystyle x}.  بالنسبة للدالة f(x)=2(x+1)2−4{\displaystyle f(x)=2(x+1)^{2}-4}، فإن الحد داخل الأقواس هو (x+1)، والذي يمكن كتابته كالآتي (x-(-1)). وبناءً عليه فإن h=−1{\displaystyle h=-1}. وبالتالي فإن إحداثيات الرأس لهذه الدالة هي (−1,−4){\displaystyle (-1,-4)}. بالنسبة للدالة f(x)=−3(x−2)2+2{\displaystyle f(x)=-3(x-2)^{2}+2}، فإن الحد داخل الأقواس هو (x-2). وبناءً عليه فإن h=2{\displaystyle h=2}. وبالتالي فإن إحداثيات الرأس لهذه الدالة هي (2، 2). اكتب الدالة في الصورة العامة f(x)=ax2+bx+c{\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}. إذا اضطررت لذلك، قد تحتاج إلى تجميع الحدود وإعادة ترتيبها للحصول على صورة ملائمة. ابدأ بالصورة المبسطة f(x)=2x2−4x+1{\displaystyle f(x)=2x^{2}-4x+1}. يمكنك باستخدام تفاضل السنة الأولى إيجاد المشتقة الأولى من الدالة التربيعية والتي ستكون f′(x)=2ax+b{\displaystyle f^{\prime }(x)=2ax+b}. بالنسبة للدالة المبسطة f(x)=2x2−4x+1{\displaystyle f(x)=2x^{2}-4x+1}، احسب المشتقة كالتالي: f′(x)=4x−4{\displaystyle f^{\prime }(x)=4x-4} تذكر أن مشتقة الدالة تعطيك ميل الدالة في نقطة محددة. تحدث القيمة العظمى أو الصغرى للدالة عندما يساوي الميل صفر، لذا لحساب أين تحدث القيمة العظمى أو الصغرى ضع المشتقة مساوية للصفر. استمر مع المسألة البسيطة أعلاه:   f′(x)=4x−4{\displaystyle f^{\prime }(x)=4x-4} 0=4x−4{\displaystyle 0=4x-4} استخدم قواعد الجبر الأساسية لإعادة ترتيب الدالة وحلها بالنسبة للحد x عندما تساوي المشتقة صفر. سوف يعطيك هذا الحل قيمة الإحداثي x لنقطة الرأس لهذه الدالة وهي حيث تحدث القيمة العظمى أو الصغرى.  0=4x−4{\displaystyle 0=4x-4} 4=4x{\displaystyle 4=4x} 1=x{\displaystyle 1=x} سوف تكون القيمة العظمى أو الصغرى هي قيمة f(x){\displaystyle f(x)} عند موضع x{\displaystyle x} المحدد. أدخل قيمة x{\displaystyle x} في الدالة الأصلية وقم بحلها لإيجاد القيمة الصغرى أو العظمى. بالنسبة للدالة f(x)=2x2−4x+1{\displaystyle f(x)=2x^{2}-4x+1} عند x=1{\displaystyle x=1}،  f(1)=2(1)2−4(1)+1{\displaystyle f(1)=2(1)^{2}-4(1)+1} f(1)=2−4+1{\displaystyle f(1)=2-4+1} f(1)=−1{\displaystyle f(1)=-1} يعطيك هذا الحل نقطة الرأس العظمى أو الصغرى. بالنسبة للدالة المعطاة في المثال، f(x)=2x2−4x+1{\displaystyle f(x)=2x^{2}-4x+1}، يحدث الإنقلاب عند النقطة (1,−1){\displaystyle (1,-1)}. إن المعامل a{\displaystyle a} موجب، لذا فإن الدالة تفتح لأعلى. وبناءً عليه فإن القيمة الصغرى للدالة هي الإحداثي y لنقطة الانقلاب وقيمتها −1{\displaystyle -1}.
أعد الدالة في صورتها العامة. حدد اتجاه الرسم البياني. احسب -b/2a. احسب قيمة f(x) المناظرة. اكتب نتائجك. اكتب الدالة التربيعية في الصورة القياسية أو الرأسية. قم بتحديد اتجاه المنحنى. احسب القيمة العظمى أو الصغرى. أوجد نقطة الرأس. ابدأ بالصورة العامة. استخدم قاعدة القوة لإيجاد المشتقة الأولى. ضع المشتقة مساوية لصفر. قم بحل الدالة بالنسبة للحد x. أدخل قيمة x الناتجة في الدالة الأصلية. اكتب الحل.
https://www.wikihow.com/Find-the-Maximum-or-Minimum-Value-of-a-Quadratic-Function-Easily https://www.wikihow.com/Find-the-Maximum-or-Minimum-Value-of-a-Quadratic-Function-Easily https://www.wikihow.com/Find-the-Maximum-or-Minimum-Value-of-a-Quadratic-Function-Easily
Beginning with the General Form of the Function Using the Standard or Vertex Form Using Calculus to Derive the Minimum or Maximum