تحليل ثنائية الحد إلى عوامل تحليل ثنائيات الحدود لحل المعادلات حل مسائل أصعب
التحليل هو تجزيء عدد كبير إلى أبسط أجزاء ممكنة يقبل هذا العدد القسمة عليها. يسمى كل جزء من هذه الأجزاء "عامل". على سبيل المثال: يمكن تقسيم الرقم 6 من غير باقٍ على أربعة أرقام مختلفة:   1 و2 و3 و6، وهذا يعني أن عوامل الرقم 6 هي 1، 2، 3، 6.  عوامل 32 هي 1 و2 و4 و8 و16 و32 الرقم "1" والرقم الذي تحلله هما دائمًا عاملان من عوامل هذا الرقم. بالتالي عوامل عدد صغير مثل الـ 3 هي ببساطة 1 و3. العوامل هي الأرقام التي يقبل العدد القسمة عليها من غير باقٍ، أو الأرقام "الصحيحة" فقط؛ يمكنك مثلًا تقسيم 32 على 3.564 أو 21.4952، لكن الناتج ليس أحد عوامله إنما مجرد رقم عشري آخر. ثنائية الحد هي ببساطة عملية جمع أو طرح بين رقمين، يحتوي أحدهما (أو كلاهما) على متغير. في بعض الأحيان يكون لهذه المتغيرات أسس، مثل x2{\displaystyle x^{2}} أو 5y4{\displaystyle 5y^{4}}. عندما تبدأ تحليل ثنائية حدود، يمكن أن يساعدك على ذلك أن تغير ترتيب المعادلات التي تجد متغيراتها مرتبة تصاعديًا، بمعنى أن يكون الأس الأكبر بها هو الأخير، مثلًا:   3t+6{\displaystyle 3t+6}  →  6+3t{\displaystyle 6+3t}   3x4+9x2{\displaystyle 3x^{4}+9x^{2}}  →  9x2+3x4{\displaystyle 9x^{2}+3x^{4}}   x2−2{\displaystyle x^{2}-2}  →  −2+x2{\displaystyle -2+x^{2}} لاحظ أن الإشارة السالبة تظل أمام الـ 2، إذا كان أحد الحدود يُطرح من الثاني، اترك إشارته السالبة معه. يعني هذا أن تجد أكبر رقم يمكن قسمة كلا الحدين عليه. إذا وجدت هذا صعبًا، حلل كل رقم على حدة ثم اعرف ما هو أكبر رقم يظهر في عوامل كلا الرقمين. مثال:  مسألة للتدريب:3t+6{\displaystyle 3t+6}.  عوامل 3: 1، 3 عوامل 6: 1، 2، 3، 6 العامل المشترك الأكبر هو 3 بعد معرفة العامل المشترك للحدين، يجب إخراجه منهما. لكن لاحظ أنك لا تغير العبارة الرياضية وكل ما تفعله ببساطة هو تصغير الحدود من خلال تحويل كل منها إلى مسألة قسمة. إذا نفذت هذا بشكل صحيح، فلابد أن تحتوي مسألتي القسمة على المعامل الذي أوجدته وبالتالي تُبسّط كما يفترض:   مسألة للتدرب:3t+6{\displaystyle 3t+6}.  إيجاد العامل المشترك الأكبر: 3  تخليص الحدين من العامل:3t3+63=t+2{\displaystyle {\frac {3t}{3}}+{\frac {6}{3}}=t+2} في المسألة الأخيرة قمت بحذف 3 من الحدود وأوجدت t+2{\displaystyle t+2}، لكنك لم تفعل هذا لتتخلص من الثلاثة تمامًا، بل تحليلها خارج الحدين لتبسيطهما. لا يمكنك حذف الأرقام ببساطة وعدم إعادتها! اضرب هذا العامل في العبارة الرياضية الناتجة عن الخطوة السابقة لإنهاء عملية التحليل. مثال:   مسألة للتدريب:3t+6{\displaystyle 3t+6}   إيجاد العامل المشترك الأكبر: 3  حذف العامل من الحدين:3t3+63=t+2{\displaystyle {\frac {3t}{3}}+{\frac {6}{3}}=t+2}   ضرب العامل في العبارة الجديدة: 3(t+2){\displaystyle 3(t+2)}  الإجابة النهائية بعد التحليل: 3(t+2){\displaystyle 3(t+2)} إذا فعلت كل شيء بشكل صحيح فلابد أن تكون مراجعة الحل سهلة. اضرب ببساطة العامل المشترك الأكبر في كل من الأجزاء الفردية بين القوسين، وإذا تطابق مع ثائي الحد الأصلي غير المحلل، فقد قمت بالمطلوب بشكل صحيح. قم بحل العبارة 12t+18{\displaystyle 12t+18} من البداية إلى النهاية للتدرب على الخطوات السابقة:   إعادة ترتيب الحدود:18+12t{\displaystyle 18+12t}   إيجاد القاسم المشترك الأكبر: 6{\displaystyle 6}   حذف العامل من الحدين:18t6+12t6=3+2t{\displaystyle {\frac {18t}{6}}+{\frac {12t}{6}}=3+2t}   ضرب العامل في العبارة الجديدة: 6(3+2t){\displaystyle 6(3+2t)}   التحقق من صحة الناتج: (6∗3)+(6∗2t)=18+12t{\displaystyle (6*3)+(6*2t)=18+12t} عند حل معادلة تحتوي على عبارة ثنائية الحد، وخاصة المعقد منها، قد يبدو أنه ما من طريقة للتوفيق بين جميع حدودها. على سبيل المثال: حاول حل 5y−2y2=−3y{\displaystyle 5y-2y^{2}=-3y}. إحدى الطرق لحلها - خاصةً مع الأسس - هي أن نحللها أولًا.   مسألة للتدريب: 5y−2y2=−3y{\displaystyle 5y-2y^{2}=-3y}  تذكر أن ثنائية الحد لابد ألا تحتوي على أكثر من حدين، إذا كان هناك أكثر من اثنين، يمكنك أن تتعلم حل كثيرات الحدود لحل هذه المسألة. تعتمد هذه الاستراتيجية بأكملها على أحد أهم الحقائق الأساسية في الرياضيات: أي شيء مضروب في صفر يجب أن يساوي الصفر. لذا إذا كانت المعادلة تساوي صفرًا، يجب أن يتساوى أحد حدودك مع الصفر! للبدء، قم بالجمع والطرح بما يجعل أحد جانبي المعادلة يساوي صفر.   مسألة للتدرب: 5y−2y2=−3y{\displaystyle 5y-2y^{2}=-3y}   المساواة بالصفر: 5y−2y2+3y=−3y+3y{\displaystyle 5y-2y^{2}+3y=-3y+3y} 8y−2y2=0{\displaystyle 8y-2y^{2}=0} يمكنك التظاهر في هذه المرحلة بأن الطرف الآخر غير موجود حتى تنتهي هذه الخطوة. أوجد العامل المشترك الأكبر، واقسم الحدود عليه لحذفه، ثم أنشئ عبارتك المحللة إلى عوامل.   مسألة للتدرب: 5y−2y2=−3y{\displaystyle 5y-2y^{2}=-3y}   ساوِ المعادلة بالصفر: 8y−2y2=0{\displaystyle 8y-2y^{2}=0}  التحليل: 2y(4−y)=0{\displaystyle 2y(4-y)=0} قمنا في مسألة التدريب بضرب 2y في 4 - y، ولابد أن يساوي هذا الضرب الناتج صفر. بما أن أي شيء مضروب في الصفر يساوي صفر، فإن هذا يعني أن أحد الجانبين إما 2y أو 4 - y يجب أن يكون 0. أنشئ معادلتين منفصلتين لمعرفة أي الجانبين هو المساوي لصفر.   مسألة للتدريب: 5y−2y2=−3y{\displaystyle 5y-2y^{2}=-3y}   المساواة بصفر: 8y−2y2+3y=0{\displaystyle 8y-2y^{2}+3y=0}   التحليل: 2y(4−y)=0{\displaystyle 2y(4-y)=0}   مساواة كل طرف بـ 0:  2y=0{\displaystyle 2y=0} 4−y=0{\displaystyle 4-y=0} قد يكون لديك إجابة واحدة أو أكثر؛ تذكر أن جانبًا واحدًا فقط من المعادلة يساوي صفر، لذلك قد تحصل على قيم مختلفة لـ y تحل نفس المعادلة عند التعويض بها. لإنهاء مسألة التدريب:   2y=0{\displaystyle 2y=0}  2y2=02{\displaystyle {\frac {2y}{2}}={\frac {0}{2}}} y = 0    4−y=0{\displaystyle 4-y=0}  4−y+y=0+y{\displaystyle 4-y+y=0+y} y = 4 إذا حصلت على القيم الصحيحة لـ y، فيجب أن تتمكن من استخدامها في حل المعادلة. هذا الجزء بسيط حيث يتطلب تجربة التعويض بقيمتي y التي أوجدتهما في مكانها في المعادلة كما هو موضح، بما أن الإجابة كانت y = 0 و y = 4:   5(0)−2(0)2=−3(0){\displaystyle 5(0)-2(0)^{2}=-3(0)}  0+0=0{\displaystyle 0+0=0}  0=0{\displaystyle 0=0} 'هذه الإجابة صحيحة     5(4)−2(4)2=−3(4){\displaystyle 5(4)-2(4)^{2}=-3(4)}  20−32=−12{\displaystyle 20-32=-12}  −12=−12{\displaystyle -12=-12} هذه الإجابة أيضًا صحيحة. تذكر أن التحليل هو معرفة الأرقام التي يمكن قسممة العبارة عليها من غير باق. العبارة x4{\displaystyle x^{4}} هي طريقة أخرى لقول x∗x∗x∗x{\displaystyle x*x*x*x}، ما يعني أن بإمكانك تحليل كل x وإخراجها إذا وُجد في الحد الآخر x مقابلة لها. عامل المتغيرات كما تتعامل مع أي عدد عادي، مثلًا:  يمكن تحليل 2t+t2{\displaystyle 2t+t^{2}} لأن كلا الحدين يحتويان على t. ستكون إجابتك الأخيرة t(2+t){\displaystyle t(2+t)}  يمكنك استبعاد عدة متغيرات في مرة واحدة. على سبيل المثال: يحتوي حديّ العبارة x2+x4{\displaystyle x^{2}+x^{4}} على x2{\displaystyle x^{2}}. يمكنك تحليلها إلى x2(1+x2){\displaystyle x^{2}(1+x^{2})} لنأخذ على سبيل المثال العبارة 6+2x+14+3x{\displaystyle 6+2x+14+3x}، قد يبدو لك أنها تحتوي على أربعة حدود، لكنك إذا نظرت عن كثب سيتبين لك أنها لا تحتوي سوى على حدين اثنين. يمكنك جمع الحدود المتشابهة، وبما أن الحدين 6 و14 كلاهما لا يحتويان على متغير، و 2x و3x يتشاركان نفس المتغير، يمكن إذًا جمعهم، ويصبح التحليل سهلًا بعد ذلك:   المسألة الأصلية: 6+2x+14+3x{\displaystyle 6+2x+14+3x}   إعادة ترتيب الحدود: 2x+3x+14+6{\displaystyle 2x+3x+14+6}   جمع الحدود المتشابهة: 5x+20{\displaystyle 5x+20}   إيجاد العامل المشترك الأكبر: 5(x)+5(4){\displaystyle 5(x)+5(4)}   التحليل: 5(x+4){\displaystyle 5(x+4)} المربع الكامل هو رقم إذا أوجدنا جذره التربيعي كان عددًا صحيحًا، مثل 9{\displaystyle 9} (3∗3){\displaystyle (3*3)} وx2{\displaystyle x^{2}} (x∗x){\displaystyle (x*x)}، أو حتى 144t2{\displaystyle 144t^{2}} (12t∗12t){\displaystyle (12t*12t)}. إذا كانت ثنائية الحد عبارة عن مسألة طرح بين حدين يمثلان مربعين كاملين، مثل a2−b2{\displaystyle a^{2}-b^{2}}، يمكنك التعويض في هذا القانون بقيم ثنائية الحد هذه:   قانون الفرق بين مربعين: a2−b2=(a+b)(a−b){\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}   مسألة للتدريب: 4x2−9{\displaystyle 4x^{2}-9}   إيجاد الجذور التربيعية:  4x2=2x{\displaystyle {\sqrt {4x^{2}}}=2x} 9=3{\displaystyle {\sqrt {9}}=3}   التعويض بالقيم في القانون: 4x2−9=(2x+3)(2x−3){\displaystyle 4x^{2}-9=(2x+3)(2x-3)} تمامًا مثل المربعات الكاملة، هذا قانون بسيط يستخدم عندما يكون لديك حدين مكعبين مطروحين من بعضهما. على سبيل المثال: a3−b3{\displaystyle a^{3}-b^{3}}. كما فعلنا سابقًا، نوجد ببساطة الجذر التكعيبي لكل حد ونعوض بالقيم في القانون:   قانون الفرق بين مكعبين: a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2){\displaystyle a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})}   مسألة للتدريب: 8x3−27{\displaystyle 8x^{3}-27}   إيجاد الجذور التكعيبية:  8x33=2x{\displaystyle {\sqrt[{3}]{8x^{3}}}=2x} 273=3{\displaystyle {\sqrt[{3}]{27}}=3}   التعويض بالمكعبات في القانون: 8x3−27=(2x−3)(4x2+6x+9){\displaystyle 8x^{3}-27=(2x-3)(4x^{2}+6x+9)} على عكس الفرق بين المربعات الكاملة، يمكنك في حالة جمع المكعبات الكاملة أن تحلها بسهولةباستخدام صيغة بسيطة، مثل a3+b3{\displaystyle a^{3}+b^{3}}. الطريقة هنا مشابهة إلا حد كبير للسابقتين، باستثناء عكس إشارات الجمع والطرح، يظل القانون بنفس سهولة الاثنين الآخرين. كل ما عليك فعله هو تمييز مكعبين في المسألة لاستخدامها:   قانون مجموع مكعبين: a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2){\displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})}   مسألة للتدريب: 8x3−27{\displaystyle 8x^{3}-27}   إيجاد الجذور التكعيبية:  8x33=2x{\displaystyle {\sqrt[{3}]{8x^{3}}}=2x} 273=3{\displaystyle {\sqrt[{3}]{27}}=3}   التعويض في القانون: 8x3−27=(2x+3)(4x2−6x+9){\displaystyle 8x^{3}-27=(2x+3)(4x^{2}-6x+9)}
تذكر أساسيات التحليل إلى عوامل. رتب حدود ذات الحدين بطريقة تُسهِّل من قراءتها. أوجد العامل المشترك الأكبر للحدين. اقسم كل حد على العامل المشترك الأكبر. اضرب العامل الذي أوجدته في الناتج لإنهاء التبسيط. تحقق من صحة حلك من خلال ضربه لإيجاد المعادلة الأصلية مرة أخرى. استخدم التحليل لتبسيط المعادلات وتسهيل حلها. اجمع واطرح حتى تصل لمساواة أحد جانبي المعادلة بصفر. حلل الجانب غير الصفري بالطريقة الاعتيادية. ساوِ كلا من جزأي المعادلة - ما بداخل القوس وما خارجه - بالصفر. حل المعادلتين للحصول على الإجابة أو الإجابات النهائية. ضع الإجابات في المعادلة من جديد للتأكد من أنها صحيحة. تذكر أن المتغيرات تعد عوامل كذلك، حتى مع الأسس. تعرف على ثنائيات الحدود غير المبسطة من خلال جمع الحدود المتشابهة. تعرف على القانون الخاص "بالفرق بين مربعين كاملين". تعلم قانون تحليل "الفرق بين مكعبين". اعرف أن لمجموع المكعبات الكاملة كذلك قانونًا خاصًا.
https://www.wikihow.com/Factor-Binomials https://www.wikihow.com/Factor-Binomials https://www.wikihow.com/Factor-Binomials
Factoring Binomials Factoring Binomials to Solve Equations Handling Trickier Problems