استخدام التحليل للعوامل الأولية
تستخدم هذه الطريقة عوامل الرقم لإيجاد جذره التربيعي (قد تكون الإجابة دقيقة أو تقريبية حسب الرقم). عوامل الرقم هي مجموعة من الأرقام تضرب في بعضها البعض لتعطي الرقم.  يمكنك مثلًا أن تقول أن عوامل 8 هي 2 و4 لأن 2*4=8، وبالمقابل فإن المربعات الكاملة هي الأرقام الصحيحة التي تنتج عن ضرب أرقام صحيحة أخرى، فمثلًا 25 و36 و49 مربعات كاملة لأنها 52 و62 و72 بالترتيب. عوامل المربعات الكاملة –كما خمنت- هي مربعات كاملة بحد ذاتها. حاول أولًا أن تختصر الرقم إلى عوامله المربعة الكاملة لتبدأ بإيجاد الجذر التربيعي من خلال التحليل للعوامل الأولية.   لنستخدم مثالًا. إننا نريد إيجاد الجذر التربيعي للرقم 400 باليد. سنقسم الرقم إلى عوامله المربعة الكاملة لنبدأ، 400 من مضاعفات 100 لذا نعلم أنها تقبل القسمة على 25 وهي مربعٌ كامل. ستعلمك القسمة الذهنية السريعة أن 25 تدخل في 400 16 مرة، ومن المصادفة أن 16 مربعٌ كاملٌ أيضًا لذا فإن العوامل المربعة الكاملة للرقم 400 هي 25 و16 لأن 15 مضروبة في 16 = 400. سنكتب الجذر التربيعي(400) = الجذر التربيعي(25 × 16). تقول خاصية ضرب الجذور التربيعية أنه لأي رقمين "a" و"b" فإن الجذر التربيعي(a × b) = الجذر التربيعي(a) × الجذر التربيعي(b)، ونتيجة لهذه الخاصية يمكننا أخذ الجذور التربيعية للعوامل المربعة الكاملة وضربها ببعضها البعض للحصول على إجابتنا.  سنأخذ الجذور التربيعية ل25 و16 في مثالنا، انظر أدناه:  الجذر التربيعي(25 × 16) الجذر التربيعي(25) × الجذر التربيعي(16) 5 × 4 = 20 الأغلب في الحياة الواقعية أن الأرقام التي ستحتاج لإيجاد جذورها التربيعية لن تكون أعدادًا صحيحة جميلة لها عوامل جذورها التربيعية واضحة مثل 400، ولن يكون من الممكن في هذه الحالات إيجاد الإجابة بدقة كعدد صحيح، وإنما يمكنك إيجادها بصورة جذر تربيعي أصغر وأبسط وأسهل معالجة بإيجاد أي عوامل مربعة كاملة قدر الإمكان، ولفعل هذا اختصر الرقم إلى مجموعة من العوامل المربعة الكاملة وعوامل أخرى ليست كذلك ثم بسطها. . لنستخدم الجذر التربيعي للرقم 147 كمثال. 147 ليس حاصل ضرب مربعين كاملين لذا لا يسعنا الحصول على قيمة صحيحة دقيقة كما رأينا أعلاه، لكنه حاصل ضرب مربع كامل ورقم آخر، 49 و3. يمكننا استخدام هذه المعلومة لكتابة إجابتنا في أبسط صورة كما يلي:  الجذر التربيعي(147) = الجذر التربيعي(49 × 3) = الجذر التربيعي(49) × الجذر التربيعي(3) = 7 × الجذر التربيعي(3) عادة ما يكون الحصول على تقدير تقريبي للإجابة سهلًا نسبيًا من خلال تخمين قيمة أي جذور تربيعية متبقية وضربها حين يكون الجذر التربيعي في أبسط صورة. تتمثل إحدى طرق الاستدلال في التقريب في إيجاد المربعات الكاملة على أي من جانبي الرقم في الجذر التربيعي. ستعرف أن القيمة العشرية للرقم في الجذر التربيعي تقع بين هذين الرقمين لذا ستتمكن من تخمينه بينهما. لنعد لمثالنا. 22 = 4 و12 = 1 لذا نعلم أن الجذر التربيعي(3) بين 1 و2 والأرجح أنه أقرب للرقم 2 منه إلى 1، سنقدر أن 1.7. 7 × 1.7 = 11.9 وإذا راجعنا هذا في الآلة الحاسبة فيسعنا أن نرى أننا اقتربنا نسبيًا من الإجابة المضبوطة وهي 12,13. ينطبق هذا على الأقام الكبيرة أيضًا فمثلًا يمكن تقدير الجذر التربيعي(35) على أنه بين 5 و6 (شديد القرب من 6 غالبًا). 52 = 25 و62 = 36. يقع 35 بين 25 و36 لذا لابد أن يقع جذره التربيعي بين 5 و6، وحيث أن 35 أقل من 36 بمقدار 1 فقط لذا يسعنا القول بثقة أن الجذر التربيعي أقل من 6 بشيء يسير. لنتفقد الآلة الحاسبة ونحصل على الإجابة 5,92 وسنجد أننا كنا على صواب. ليس بالضروري إيجاد العوامل المربعة الكاملة إذا استطعت تحديد العوامل الأولية بسهولة (العوامل التي بحد ذاتها أرقام أولية أيضًا).اكتب الرقم بصورة عوامله الأولية ثم ابحث عن زوج متطابق من الأعداد الأولية بين العوامل. حين تجد عاملين أوليين متطابقين احذفهما من الجذر التربيعي وضع أحدهما خارج الجذر.  لنجد الجذر التربيعي للرقم 45 بهذه الطريقة كمثال. نعلم أن 45 = 9 مضروبة في 5 وأن 9 = 3 مضروبة في 3 لذا يمكننا كتابة الجذر التربيعي بعوامله مثل: الجذر التربيعي(3 × 3 × 5) . تخلص من الرقمين 3 وضع أحدهما خارج الجذر لتحصل على الجذر في أبسط صوره وهي (3)الجذر التربيعي(5). يسهل التقريب من هنا. لنجرب إيجاد الجذر التربيعي للرقم 88 كمثال أخير:  الجذر التربيعي(88) = الجذر التربيعي(2 × 44) = الجذر التربيعي(2 × 4 × 11) = الجذر التربيعي(2 × 2 × 2 × 11). لدينا عددٌ من الرقم 2 في جذرنا التربيعي وحيث أن 2 رقمٌ أوليٌ فيمكننا إزالة زوج منه ووضع أحدها خارج الجذر. = جذرنا التربيعي في أبسط صورة(2) الجذر التربيعي(2 × 11) أو (2) الجذر التربيعي(2) الجذر التربيعي(11). ويمكننا من هنا تقريب الجذر التربيعي(2) والجذر التربيعي(11) وإيجاد إجابة تقريبية إذا أردنا.
اقسم الرقم إلى عوامله المربعة الكاملة. خذ الجذور التربيعية للعوامل المربعة الكاملة. اختصر الإجابة لأبسط صورة إذا لم يسعك تحليل الرقم لعوامله الكاملة. الجأ للتقدير عند الضرورة. اختصر الرقم  بالعامل المشترك الأصغر كخطوة أولى.
https://www.wikihow.com/Calculate-a-Square-Root-by-Hand
Using Prime Factorization