إيجاد الحد التالي في متتالية حسابية إيجاد حد مفقود في منتصف المتتالية استخدام الصيغة الصريحة لإيجاد معلومات أخرى إيجاد الحد النوني في متتالية حسابية
أحيانًا يكون موضحًا لك بشكل مباشر أن قائمة الأعداد التي تتعامل معها هي متتالية حسابية، وفي أحيان أخرى تحتاج إلى معرفة ذلك بنفسك. الخطوة الأولى هي نفسها في كلتا الحالتين. انظر لأول حدين متتاليين في القائمة واطرح الأول من الثاني؛ هذا الناتج هو الفرق المشترك في المتتالية.  على سبيل المثال: لنفترض أنك تتعامل مع القائمة 1,4,7,10,13{\displaystyle 1,4,7,10,13}.... اطرح 4−1{\displaystyle 4-1} لإيجاد الفرق المشترك 3. افترض أن المتتالية الحسابية تتناقص، مثل 25,21,17,13{\displaystyle 25,21,17,13}…. لا يزال بإمكانك طرح الحد الأول من الثاني لمعرفة الفرق المشترك. في هذه الحالة تكون العملية كالتالي: 21−25=−4{\displaystyle 21-25=-4}، هذا الناتج السلبي يعني أن قائمتك آخذة في التناقص عند قراءتها من اليسار إلى اليمين. يجب عليك دائمًا التحقق من أن إشارة الفرق تطابق الاتجاه الذي يبدو أن الأرقام تسير نحوه. لا يمكنك التأكد أن قائمة الأعداد هي عبارة عن متتالية حسابية من خلال إيجاد الفرق بين الحدين الأولين فقط، بل لا بد من معرفة أن الفرق ثابت للقائمة بأكملها. تحقق من الفرق عن طريق طرح حدين متتاليين من أي مكان في القائمة، وإذا كانت النتيجة متسقة عند طرح زوجي أعداد آخريًان أو أكثر، فهذه على الأغلب متتالية حسابية.  باستخدام المثال نفسه، 1,4,7,10,13{\displaystyle 1,4,7,10,13}… اختر الحدين الثاني والثالث من القائمة لتطرح 7−4{\displaystyle 7-4}، وتجد أن الفرق لا يزال 3. للتأكد، تحقق من مثال آخر واطرح 7−4{\displaystyle 7-4}؛ ستجد أن الفرق دائمًا يساوي 3. هنا يمكنك أن تكون متأكدًا تمامًا أنك تتعامل مع متتالية حسابية. من الوارد أن تبدو قائمة أعداد على أنها متتالية حسابية استنادًا للفرق بين الحدود الأولى منها، لكن يظهر اختلافًا بها بعد ذلك. على سبيل المثال، لننظر لقائمة الأعداد 1,2,3,6,9{\displaystyle 1,2,3,6,9}…. الفرق بين الحدين الأول والثاني هو 1، والفرق بين الحدين الثاني والثالث هو أيضًا 1. مع ذلك، فإن الفرق بين الحدين الثالث والرابع هو 3. بما أن الفرق ليس ثابتًا في القائمة بأكملها، فهذه ليست متتالية حسابية. من السهل إيجاد الحد التالي من متتابعة حسابية بعد معرفة الفرق المشترك؛ ما عليك سوى أن تجمع الفرق المشترك مع الحد الأخير من القائمة، وستحصل على الرقم التالي. على سبيل المثال: لإيجاد العدد التالي في مثالنا 1,4,7,10,13{\displaystyle 1,4,7,10,13}…، اجمع الفرق المشترك 3 مع الحد الأخير؛ تجد نتيجة جمع 13+3{\displaystyle 13+3} تساوي 16، وهو الحد التالي. يمكنك الاستمرار في جمع 3 لإطالة قائمتك كما تشاء. على سبيل المثال، ستكون القائمة 1,4,7,10,13,16,19,22,25{\displaystyle 1,4,7,10,13,16,19,22,25}…. ويمكنك الاستمرار بذلك لجعلها بأي طول تريده. في بعض الحالات تكون لديك قائمة أعداد بها حد مفقود في المنتصف. ابدأ – كما فعلنا سابقًا – بالتحقق أن القائمة متتالية حسابية. اختر أي حدين متتاليين وأوجد الفرق بينهما ثم تأكد من هذا الفرق من خلال حدين آخريًان متتاليين أخريين في التسلسل. إذا كان الفرق متطابقًا، فيمكنك افتراض أنك تتعامل مع متتالية حسابية وتنتقل للخطوة التالية. على سبيل المثال: في التسلسل 0,4{\displaystyle 0,4},___,12,16,20{\displaystyle 12,16,20}.... ابدأ بطرح 4−0{\displaystyle 4-0} لإيجاد فرق قدره 4. تأكد من هذا بالتطبيق على متتاليين آخرين، مثل 16−12{\displaystyle 16-12}، تجد أن الفرق مرة أخرى هو 4 وبالتالي يمكنك المتابعة. هذا مشابه لجمع الحد مع نهاية التسلسل. حدد الحد الذي يسبق الفراغ مباشرةً على تسلسل الأعداد؛ هذا هو "آخر" رقم معروف. اجمع الفرق المشترك مع هذا الحد لإيجاد الرقم الذي يُفتَرَض أن يُكمل الفراغ. في مثالنا المستخدم هنا 0,4{\displaystyle 0,4},____,12,16,20{\displaystyle 12,16,20}…، الحد السابق للفراغ هو 4، والفرق المشترك لهذه المتتالية هو أيضًا 4. اجمع 4+4{\displaystyle 4+4} لتجد الناتج 8، وهو الرقم الذي يفترض أن يكمل الفراغ. تحقق من الاتجاه الآخر للتأكد من صحة إجابتك. يجب أن تكون المتتالية الحسابية متسقة من الاتجاهين. إذا كنت تضيف 4 عندما تتحرك من اليسار إلى اليمين، إذًا عند التحرك بالاتجاه المعاكس – من اليمين إلى اليسار – ستفعل العكس وتطرح 4. في مثالنا 0,4{\displaystyle 0,4},___,12,16,20{\displaystyle 12,16,20}…، الحد الذي يلي الفراغ مباشرةً هو 12. اطرح الفرق المشترك 4 من هذا الحد لإيجاد 12−4=8{\displaystyle 12-4=8}، وهي النتيجة التي ستضعها في الفراغ. يجب أن تتطابق نتيجة الجمع من الأسفل مع نتيجة الطرح من الأعلى، وعندها تكون قد وجدت قيمة الحد المفقود. إذا لم تتطابق النتيجتين فأنت بحاجة إلى مراجعة حسابك. قد لا تكون سلسلة الأعداد متتالية حسابية حقيقية. في مثالنا السابق، كانت نتيجة كل من 4+4{\displaystyle 4+4} و12−4{\displaystyle 12-4} تساوي 8، وبالتالي فإن الحد المفقود في هذا التسلسل الحسابي هو 8. التسلسل بالكامل هو 0,4,8,12,16,20{\displaystyle 0,4,8,12,16,20}…. باستخدام الصيغة الصريحة وبعض أساسيات الجبر، يمكنك حساب معلومات مختلفة في المتتالية الحسابية. الصيغة الأصلية a(n)=a(1)+(n−1)d{\displaystyle a(n)=a(1)+(n-1)d} مصممة على أن توجد قيمة an فتعرف منها الحد النوني من المتتالية. مع ذلك، يمكنك تعديل هذه الصيغة جبريًا واستعمال الصيغة الجديدة لحل أي متغيرات أخرى.  على سبيل المثال، افترض أن لديك نهاية تسلسل الأعداد، لكنك تريد أن تعرف بدايته. يمكنك إعادة ترتيب الصيغة كما يلي a(1)=(n−1)d−a(n).{\displaystyle a(1)=(n-1)d-a(n).}  إذا كنت تعرف نقطة بدء المتتالية الحسابية ونقطة نهايتها، لكنك تحتاج إلى معرفة عدد حدودها، يمكنك إعادة ترتيب الصيغة الصريحة لمعرفة قيمة n. ستكون كالتالي n=a(n)−a(1)d+1{\displaystyle n={\frac {a(n)-a(1)}{d}}+1}. إذا كنت بحاجة إلى مراجعة القواعد الأساسية للجبر للوصول لهذه النتيجة، فاقرأ مقال تبسيط التعبيرات الجبرية أو ابحث في جوجل عن أساسيات الجبر. إذا عرفت أن الحد الخمسين في متتالية حسابية هو 300 وأن الحدود تزداد بمقدار 7 (الفرق المشترك) لكنك تريد معرفة الحد الأول، استخدم الصيغة الصريحة المعدلة التي توجِد قيمة a1 لمعرفة الإجابة. استخدم المعادلة a(1)=(n−1)d−a(n){\displaystyle a(1)=(n-1)d-a(n)} وأدخل بها المعلومات التي تعرفها. بما أنك تعرف أن الحد 50 هو 300، إذًا n=50 وn-1=49 و(n)=300، وتعرف من المعطيات أيضًا أن الفرق المشترك "d" هو 7. بهذا تصبح الصيغة a(1)=(49)(7)−300{\displaystyle a(1)=(49)(7)-300}، ويكون حلها 343−300=43{\displaystyle 343-300=43}. تبدأ هذه المتتالية من 43 وتزيد بمقدار 7. بالتالي تكون كما يلي: 43،50،57،64،71،78 ... 293،300. لنقل إنك تعرف كل شيء عن حدود المتتالية وبدايتها ونهايتها، لكنك لا تعرف طولها. استخدم الصيغة المعدلة n=a(n)−a(1)d+1{\displaystyle n={\frac {a(n)-a(1)}{d}}+1}.  لنفترض أنك تعلم أن متتالية حسابية معينة يبدأ عند 100 وتزيد بمقدار 13، كما من المعلوم لديك أن الحد الأخير هو 2,856. لمعرفة طول متتالية كهذه، استخدم الحدود a1=100 وd=13 وa(n)=2856. أدخل هذه الحدود في الصيغة لتكون n=2856−10013+1{\displaystyle n={\frac {2856-100}{13}}+1}. إذا طبقت ذلك بشكل صحيح ستحصل على n=275613+1{\displaystyle n={\frac {2756}{13}}+1}، ما يساوي 212+1 وهو 213. هناك 213 حدًا في هذا التسلسل. سيبدو تسلسل هذا المثال 100، 113، 126، 139 ... 2843، 2856. ليست كل المتتاليات تبدأ بالأعداد 0 أو 1، فانظر لقائمة الأعداد وعيّن حدها الأول. هذا العدد هو نقطة البداية، والذي يمكن تمثيله باستخدام متغير مثل a(1).  من الشائع في التعامل مع متواليات حسابية استخدام المتغير a(1)  لتمثيل الحد الأول منها. يمكنك بالطبع اختيار أي متغير تريده، ويفترض أن تكون النتائج متطابقة. على سبيل المثال، بالنظر إلى التسلسل 3,8,13,18{\displaystyle 3,8,13,18}...، الحد الأول هو 3{\displaystyle 3}، والذي يمكن تمثيله جبريًا باعتباره a(1). أوجد الفرق المشترك للمتتالية بالطريقة المذكورة في الجزء الأول والثاني. في مثالنا المستخدم هنا، الفرق المشترك هو 8−3{\displaystyle 8-3}، أي 5. تأكد ان طرح الحدود الأخرى في المتتالية له نفس النتيجة. سنشير لهذا الفرق المشترك بمتغير جبري نسميه d. الصيغة الصريحة هي معادلة جبرية يمكنك استخدامها لإيجاد أي حد في متتالية حسابية دون الحاجة إلى كتابة التسلسل بالكامل. الصيغة الصريحة لمتتالية جبرية هي a(n)=a(1)+(n−1)d{\displaystyle a(n)=a(1)+(n-1)d}. يمكن قراءة الحد a(n) على أنه "الحد النوني 'n' من a"، حيث تمثل n أي عدد تود إيجاده في التسلسل، وa(n) هي القيمة الفعلية لهذا الرقم. على سبيل المثال: إذا طُلب منك إيجاد العنصر رقم 100 في متتالية حسابية، فستكون n هي 100. لاحظ أن n هي 100 في هذا المثال، لكن a(n) ستكون هي قيمة الحد رقم 100 وليس الرقم 100 نفسه. باستخدام الصيغة الصريحة للمتتالية، اجمع المعلومات التي تعرفها لإيجاد الحد الذي تحتاجه. في مثالنا المستخدم هنا 3,8,13,18{\displaystyle 3,8,13,18}…، نعلم أن a(1) هو الحد الأول 3، والفرق المشترك d هو 5. افترض أن المطلوب منك هو أن تحسب الحد 100 في هذا التسلسل. بالتالي n=100 و(n-1)=99. الصيغة الصريحة الكاملة بعد إدخال بيانات المتغيرات عليها هي a(100)=3+(99)(5){\displaystyle a(100)=3+(99)(5)}. نتيجة تبسيط هذه المسألة 498، وهو الحد 100 من هذه المتتالية.
أوجد الفرق المشترك للتسلسل. تأكد أن الفرق المشترك ثابت. اجمع الفرق المشترك مع آخر حد ظاهر. تحقق من أنك تبدأ بحل متتالية حسابية. اجمع الفرق المشترك مع الحد السابق للفراغ. اطرح الفرق المشترك من الحد التالي للفراغ. قارن نتائجك. أعد ترتيب الصيغة الصريحة لحساب أي قيم أخرى مطلوبة. أوجد الحد الأول من التسلسل. اعرف طول المتتالية. انظر للحد الأول من المتتالية. ارمز للفرق المشترك بالحرف d. استخدم الصيغة الصريحة. استكمل معلوماتك لحل المسألة.
https://www.wikihow.com/Find-Any-Term-of-an-Arithmetic-Sequence https://www.wikihow.com/Find-Any-Term-of-an-Arithmetic-Sequence https://www.wikihow.com/Find-Any-Term-of-an-Arithmetic-Sequence https://www.wikihow.com/Find-Any-Term-of-an-Arithmetic-Sequence
Finding the Next Term in an Arithmetic Sequence Finding a Missing Internal Term Using the Explicit Formula to Find Additional Information Finding the Nth Term of an Arithmetic Sequence