تعريف المفاهيم الرئيسية استخدام معادلات حساب نصف القطر إيجاد نصف القطر كمسافة بين نقطتين
نصف القطر (r) هو المسافة من مركز الكرة لأي نقطة على سطحها، ويمكنك إيجاد نصف قطر الكرة في العموم إذا عرفت القطر أو المحيط أو الحجم أو مساحة السطح.   القطر D: هو المسافة عبر الكرة وضعف نصف القطر. القطر هو طول الخط المار بمركز الكرة من نقطة على سطحها الخارجي إلى نقطة مناظرة لها مباشرة. بعبارة أخرى: هو أكبر مسافة ممكنة بين نقطتين على سطح الكرة.  المحيط المنحني المغلق c: المسافة الخطية حول الكرة في أعرض نقطة. بعبارة أخرى: هي محيط المقطع العرضي الكروي الذي يمر مستواه بمركز الكرة.  الحجم v: المساحة ثلاثية الأبعاد التي تضمها الكرة، وهي الفراغ الذي تحتله الكرة.    مساحة السطح A: المساحة ثنائية الأبعاد لسطح الكرة من الخارج، أي مقدار المساحة المستوية التي تغطي الكرة من الخارج.  ط أو π: ثابتٌ يعبر عن النسبة بين محيط الدائرة إلى قطرها، ودومًا ما تكون الأرقام العشرة الأولى من ط هي 3,141592653 رغم أنها غالبًا ما تقرّب إلى 3,14. يمكنك استخدام القطر والمحيط المنحني المغلق والحجم ومساحة السطح لحساب نصف قطر الكرة، كما يمكنك حساب كل من هذه الأرقام إذا عرفت طول نصف القطر نفسه لذا حاول أن تعكس معادلات حساب هذه المكونات إذا أردت استخدامها لإيجاد نصف القطر. اعرف المعادلات التي تستخدم نصف القطر لإيجاد القطر والمحيط والحجم ومساحة السطح.    D=2r. قطر الكرة ضعف نصف القطر كما في  الدوائر.   C = πD أو 2πr. يساوي محيط الكرة ط مضروبًا في القطر كما في الدائرة. القطر ضعف نصف القطر، لذا يمكننا أيضًا أن نقول إن المحيط هو ضعف نصف القطر مضروبًا في ط.   V = (4/3)πr3. حجم الكرة هو مكعب نصف القطر (مضروبًا في نفسه مرتين) مضروبًا في ط وفي 4/3.     A = 4πr2. مساحة سطح الكرة هي مربع نق (مضروبًا في نفسه) مضروبًا في ط وفي 4. مساحة الدائرة هي πr2 لذا يمكن القول إن مساحة الكرة هي 4 أمثال مساحة الدائرة التي يكونها المحيط. نصف القطر هو القطر مقسومًا على اثنين، لذا استخدم المعادلة r=D/2 وهي مطابقة للطريقة المتبعة لحساب نصف قطر الدائرة من قطرها.  جد نصف قطر كرة قطرها 16 سم بقسمة 16/2 للحصول على 8 سم، وإذا كان القطر 42 سم فنصف القطر هو 21. استخدم المعادلة  C/2π لأن المحيط يساوي πD والذي يساوي 2πr. ستعطيك قسمة المحيط على 2π نصف القطر.  إذا كانت لديك كرة محيطها 20 سم فجد نصف القطر بقسمة 20/2π = 3.183 m . استخدم المعادلة نفسها للتحويل بين نصف القطر ومحيط الدائرة. استخدم المعادلة ((V/π)(3/4))1/3.  يشتق حجم الكرة من المعادلة V = (4/3)πr3، وسيعطيك حل المعادلة للحصول على متغير r ((V/π)(3/4))1/3 = r ما يعني أن نصف قطر الكرة يساوي حجمها مقسومًا على ط مضروبًا في 3/4 وجميعها مرفوعة للأس 1/3 (أو الجذر التكعيبي).  جد نصف القطر كما يلي إذا كانت لديك كرة حجمها 254 سم3:  ((V/π)(3/4))1/3 = r ((254/π)(3/4))1/3 = r ((80.85)(3/4))1/3 = r (60.6)1/3 = r  3.9 cm = r استخدم المعادلة  r = √(A/(4π)). تشتق مساحة سطح الكرة من المعادلة A = 4πr2. يعطينا حل المعادلة لإيجاد قيمة المتغير r √(A/(4π)) = r ما يعني أن نصف قطر الكرة يساوي الجذر التربيعي لمساحة السطح مقسومًا على 4 ط، كما يمكنك أخذ الأس 1/2 للجزء (A/(4π)) للحصول على نفس النتيجة.  إذا كانت لديك كرة مساحة سطحها 1200 سم2 فجد نصف القطر كما يلي:  √(A/(4π)) = r √(1200/(4π)) = r √(300/(π)) = r √(95.49) = r  9.77 cm = r تتمثل إحدى الطرق المتاحة لتصور نصف قطر الكرة في اعتباره مسافة بين نقطة في مركز الكرة وأي نقطة على سطحها. هذا صحيحٌ، لذا يمكنك إيجاد نصف قطر الكرة إذا عرفت إحداثيات مركزها وأي نقطة على السطح بحساب المسافة بين النقطتين من خلال تعديل معادلة المسافة الأساسية. جد إحداثيات مركز الكرة لتبدأ ولاحظ أن الكرة ثلاثية الأبعاد لذا ستكون النقطة (x,y,z) بدلًا من (x,y).  يسهل فهم هذه العملية بمثال. لنفترض – لأغراض الشرح – أن لدينا كرة مركزها النقطة (4، -1، 12). سنستخدم هذه النقطة في الخطوات التالية لمساعدتنا على إيجاد نصف القطر. ستحتاج بعدها لإيجاد إحداثيات نقطة على سطح الكرة والتي يمكن أن تكون "أي" نقطة على السطح. تتباعد النقاط على سطح الكرة عن المركز مسافات متساوية حسب التعريف لذا تكون أيٌ منها مناسبة لإيجاد نصف القطر.  لنقل في مثالنا بأن لدينا النقطة (3، 3، 0) الواقعة على سطح الكرة. يمكننا إيجاد نصف القطر بحساب المسافة بين هذه النقطة والمركز. ستجد نصف القطر الآن بعد أن عرفت مركز الكرة ونقطة على السطح بحساب المسافة بينهما. استخدم معادلة المسافة ثلاثية الأبعاد d = √((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 + (z2 - z1)2) حيث d تساوي المسافة و(x1,y1,z1) تساوي إحداثيات المركز و(x2,y2,z2) تساوي إحداثيات النقطة الموجودة على السطح لإيجاد المسافة بين النقطتين.  سنعوض ب(4، -1، 12) في (x1 وy1 وz1) و(3,3,0) عن (x2 وy2 وz2)لنحل المعادلة كما يلي:  d = √((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 + (z2 - z1)2) d = √((3 – 4)2 + (3 - -1)2 + (0 – 12)2) d = √((-1)2 + (4)2 + (-12)2) d = √(1 + 16 + 144) d = √(161)  d = 12.69. هذا هو نصف قطر كرتنا. كل نقطة على سطح الكرة تبعد عن المركز نفس المسافة لذا إذا أخذنا معادلة المسافة ثلاثية الأبعاد الموضحة أعلاه واستبدلنا المتغير d بالمتغير r لنصف القطر فسنحصل على صورة من المعادلة تمكننا من إيجاد نصف القطر بمعرفة نقطة المركز (x1,y1,z1) وأي نقطة مناظرة لها على السطح. (x2,y2,z2). وبتربيع طرفي المعادلة، نحصل على r2 = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 + (z2 - z1)2. لاحظ أن هذا يساوي بالضرورة معادلة الكرة الأساسية r2 = x2 + y2 + z2 التي تفترض أن إحداثيات المركز هي (0,0,0).
حدد القياسات الأساسية للكرة. استخدم قياسات مختلفة لإيجاد نصف القطر. جد نصف القطر إذا عرفت القطر. جد نصف القطر بمعرفة المحيط. احسب نصف القطر بمعرفة حجم الكرة. جد نصف القطر من مساحة السطح. جد الإحداثيات (x، y، z) لمركز الكرة. جد إحداثيات نقطة على سطح الكرة. جد نصف القطر بالمعادلة d = √((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 + (z2 - z1)2). اعلم أنه في الحالات العامة r = √((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 + (z2 - z1)2).
https://www.wikihow.com/Find-the-Radius-of-a-Sphere https://www.wikihow.com/Find-the-Radius-of-a-Sphere https://www.wikihow.com/Find-the-Radius-of-a-Sphere
Defining Key Concepts Using Radius Calculation Formulas Finding the Radius as the Distance Between Two Points