فهم المربعات والجذور التربيعية تقدير المربعات غير الكاملة بسرعة استخدام خوارزميات القسمة المطولة
يفضل البدء بالمربعات لفهم الجذور التربيعية. المربعات سهلة، فمربع الرقم هو حاصل ضربه في نفسه. مثال: مربع 3 هو نفسه 3*3=9 ومربع 9 هو نفسه حاصل ضرب 9*9 = 81. تكتب المربعات بوضع "2" صغيرة فوق الرقم الذي نريد تربيعه وإلى اليمين هكذا 32 و92 و1002 وهكذا.  جرب تربيع بضعة أرقام إضافية بنفسك لاختبار هذا المفهوم. تذكر أن تربيع أي رقم هو حاصل ضربه بنفسه، حتى أنه يسعك تطبيق هذا على الأرقام السالبة وستكون الإجابة موجبة دومًا فمثلًا -82 = -8 × -8 = 64. يعني رمز الجذر التربيعي (يسمى برمز الجذر أيضًا (√) "مقلوب" الرمز 2. يجب أن تسأل نفسك حين ترى الجذر: "ما الرقم الذي يجب ضربه في نفسه لنحصل على الرقم الواقع تحت الجذر؟" إذا رأيت √(9) مثلًا فيجب أن تجد الرقم الذي يمكن تربيعه لتحصل على 9؛ الإجابة في هذه الحالة هي 3 لأن 32 = 9.  لنجد الجذر التربيعي للرقم 25 (√(25)) كمثال آخر. يعني هذا أن علينا إيجاد الرقم الذي يربع للحصول على 25. 52 = 5 × 5 = 25 لذا يمكننا القول بأن √(25) = 5. يمكننا تصور الأمر على أنه "تفكيك" للمربع. مثلًا إذا أردنا إيجاد √(64) – أي الجذر التربيعي للرقم 64 – فلنبدأ بالتفكير في 64 على أنها 82، ولأن رمز الجذر التربيعي يلغي المربع فيمكننا القول أن √(64) = √(82) = 8. لقد كانت إجابات مسائل الجذر التربيعي حتى الآن لطيفة وأرقامًا صحيحة لكن ليس هذا ما يحدث دومًا ففي الحقيقة، فقد تكون إجابات مسائل الجذور التربيعية أحيانًا أرقامًا عشرية مزعجة وطويلة للغاية!  تسمى الأرقام التي تعطي جذورها التربيعية أرقامًا صحيحة (بعبارة أخرى ليست كسورًا أو أرقامًا عشرية) بالمربعات الكاملة. جميع الأمثلة الموضحة أعلاه (9 و25 و64) مربعات كاملة لأنها نحصل على أرقام صحيحة (3 و5 و8) عند حساب جذورها التربيعية.  بالمقابل تسمى الأرقام التي لا تعطي أرقامًا صحيحة عند أخذ جذورها التربيعية "مربعات غير كاملة". عادة ما نحصل عند أخذ الجذر التربيعي لهذه الأرقام على رقم كسري أو عشري، وأحيانًا تكون الأرقام العشرية فوضوية تمامًا مثل √(13) = 3.605551275464.... يمكن أن يكون أخذ الجذر التربيعي للمربعات الكاملة سهلًا جدًا كما لاحظت، ونظرًا لسهولة هذه المسائل فهي تستحق الوقت المبذول لحفظ الجذور التربيعية لأول 12 مربع كامل. ستصادفك هذه الأرقام بكثرة، لذا فإن تكريس الوقت لتعلمها سيوفر عليك الكثير من الوقت على المدى الطويل. المربعات الكاملة الأولى ال12 هي:   12 = 1 × 1 = 1  22 = 2 × 2 = 4  32 = 3 × 3 = 9  42 = 4 × 4 = 16  52 = 5 × 5 = 25  62 = 6 × 6 = 36  72 = 7 × 7 = 49  82 = 8 × 8 = 64  92 = 9 × 9 = 81  102 = 10 × 10 = 100  112 = 11 × 11 = 121  122 = 12 × 12 = 144 يمكن أن يكون إيجاد جذور المربعات غير الكاملة متعبًا أحيانًا خاصة إذا لم تستخدم الآلة الحاسبة (ستجد حيلًا لتسهيل هذه العملية في الأقسام المذكورة أدناه) لكن عادة ما يمكن اختصار الأرقام في الجذور لتسهيل العمل عليها.  ستحتاج هنا لتحليل الرقم الموجود تحت الجذر إلى عوامل ثم تأخذ الجذر التربيعي لأي من هذه العوامل التي تشكل مربعات كاملة وتكتب الإجابة خارج الجذر. هذا أسهل مما يبدو، فتابع القراءة لمزيد من المعلومات!   لنقل بأننا نريد إيجاد جذر 900. يبدو هذا للوهلة الأولى صعبًا للغاية لكنه ليس بصعب إذا حللنا 900 إلى عوامله. "العوامل" هي الأرقام التي يمكن ضربها في بعضها البعض لتكوين رقم آخر، فمثلًا يمكننا الحصول على 6 من ضرب 1 و6 وكذلك 2و3 لذا فإن عوامل الرقم 6 هي 1 و2 و3 و6. لنكتب 900 في صورة 9 × 100 بدلًا من العمل عليه كما هو حتى لا يكوم مربكًا. سنجد الآن أن 9 – وهو مربع كامل – قد انفصل عن 100 لذا يمكننا أخذ جذره التربيعي بمفرده. √(9 × 100) = √(9) × √(100) = 3 × √(100)، بعبارة أخرى √(900) = 3√(100). حتى أنه يمكننا تبسيط هذه الخطوات أكثر بتحليل 100 إلى العوامل 25 و4، √(100) = √(25 × 4) = √(25) × √(4) = 5 × 2 = 10 لذا يمكننا القول بأن √(900) = 3(10) = 30. فكر: ما الرقم الذي يضرب في نفسه فتحصل على -16؟ ليس 4 ولا -4 فتربيع أي منهما يعطي 16، هل استسلمت؟ في الحقيقة ليس ثمة طريقة لكتابة الجذر التربيعي للرقم -16 أو أي رقم سالب آخر بالأرقام العادية، وإنما علينا في هذه الحالات التعويض بالأعداد التخيلية (في صورة حروف أو رموز غالبًا) لتحل محل الجذر التربيعي للرقم السالب، فمثلًا يستخدم المتغير ت أو "i" غالبًا لجذر -1. وكقاعدة عامة، فإن الجذر التربيعي للرقم السالب سيكون رقمًا تخيليًا دومًا (أو يتضمنه).  لاحظ أنه رغم عدم إمكانية تمثيل الأرقام التخيلية بالأعداد العادية إلا أنها لا تزال تعامل نفس معاملتها من عدة أوجه، فمثلًا يمكن تربيع الجذور التربيعية للأرقام السالبة لنحصل على الأخيرة كأي جذر تربيعي آخر. i2 = -1 على سبيل المثال. سيغدو إيجاد الجذور التربيعية للمربعات غير الكاملة أسهل بكثير بحفظ المربعات الكاملة. أنت تعرف 12 مربعًا كاملًا تقريبًا لذا يمكن إيجاد أي رقم يقع بين اثنين منها بالتقريب. جد المربعات الكاملة التي يقع الرقم بينها في البداية ثم حدد أيها أقرب إليه. لنقل مثلًا أننا نحتاج جذر الرقم 40، ونحن نحفظ المربعات الكاملة لذا يمكننا القول بأن 40 بين 62 و72 أو 36 و49 وحيث أن 40 أكبر من 62 فإن جذرها التربيعي سيكون أكبر من 6، وحيث أنه أصغر من 72 فجذره التربيعي سيكون أقل من 7. 40 أقرب قليلًا إلى 36 منه إلى 49 لذا ستكون الإجابة أقرب إلى 6. سنضيق نطاق إجاباتنا في الخطوات القليلة التالية. يصبح الأمر مسألة تأرجح في التقدير حتى تصل لإجابة مرضية بعد أن تختار مربعين كاملين يقع العدد بينهما، وكلما تقدمت أكثر كانت الإجابة أدق. اختر رقمًا بعد العلامة العشرية لإجابتك؛ لا يجب أن يكون صحيحًا لكنك ستوفر الوقت إذا استخدمت حدسك لاختيار رقم مقارب للإجابة الصحيحة. في مثالنا قد يكون التقدير المعقول لجذر 40 هو "6,4" لأننا نعرف مما سبق أن الإجابة ستكون أقرب قليلًا إلى 6 منها إلى 7. ربع الرقم التقريبي بعد ذلك؛ لن تحصل على الرقم الأصلي ما لم تكن محظوظًا فإما أن يكون الناتج أعلى أو أقل بقليل. جرب مجددًا مع رقم أقل بقليل إذا وجدت الإجابة أعلى بكثير (والعكس إذا كانت أقل بكثير).   اضرب 6,4 في نفسه لتحصل على 6.4 × 6.4 = 40.96 وهو أعلى بقليل من الرقم الأصلي. بعد ذلك سنضرب الرقم الأصغر من هذا التخمين الموضح أعلاه بمقدار واحد من عشرة لنحصل على 6.3 × 6.3 = 39.69 لأننا تجاوزنا إجابتنا. 39,69 أقرب إلى 40 من 40,96 لذا ستعرف أن الجذر التربيعي أقرب إلى 6,3 منه إلى 6,4. يمكنك أن تستخدم أحد التخمينين الأوليين كرقم تقديري إذا رضيت عن إجاباتك عند هذه النقطة، أما إذا أردت إجابة أدق فكل ما عليك فعله هو اختيار عدد تقديري لخانة الكسور المئوية والتي تضع الرقم التقديري بين الناتجين السابقين. استمر بهذا النمط لتحصل على 3 أرقام عشرية في إجابتك أو أربعة وهكذا، يعتمد الأمر على المدى الذي ترغب الوصول إليه.  لنختر في مثالنا 6,33 كرقم تقديري ذي خانتين عشريين. اضرب 6,33 في نفسه لتحصل على 6.33 × 6.33 = 40.0689 وحيث أن هذا أكبر من الرقم الأصلي قليلًا فسنجرب رقمًا أصغر مثل 6,32، 6.32 × 6.32 = 39.9424، هذا أقل من الرقم الأصلي بقليل لذا نعرف أن الجذر التربيعي المضبوط يقع بين 6,33 و6,32. يجب أن نستمر باتباع الطريقة نفسها إذا أردنا الاستمرار للحصول على إجابة متزايدة الدقة أكثر فأكثر. رغم أن هذا قد يستغرق بعض الوقت، لكنه سيمكنك من إيجاد جذور المربعات غير الكاملة الصعبة دون آلة حاسبة، ولفعل هذا سنستخدم طريقة حل (أو "خوارزمية") مشابهة  للقسمة المطولة لكن ليست هي نفسها.   ابدأ بكتابة مسألة الجذر التربيعي بنفس صيغة مسائل القسمة المطولة. لنقل مثلًا أننا نريد إيجاد الجذر التربيعي للرقم 6.45 وهو قطعًا ليس مربعًا كاملًا مريحًا. أولًا سنكتب رمز الجذر العادي (√) ثم سنكتب الرقم تحته، وبعدها سنرسم خطًا فوق الرقم بحيث يصبح في مربع صغير تمامًا كالقسمة المطولة. يجب أن نحصل حين ننتهي على رمز "√" له ذيل طويل ومكتوب تحته الرقم 6,45. سنكتب الأرقام فوق المسألة لذا احرص أن تترك مساحة. عليك أن تجمع أرقام العدد الواقع تحت علامة الجذر في أزواج مع البدء من العلامة العشرية لتبدأ حل المسألة. قد ترغب في وضع علامات صغيرة (كالنقاط أو الشرطات المائلة أو الفواصل إلخ) بين الأزواج لتتابعها.  سنقسم 6,45 في مثالنا إلى أزواج كما يلي: "6-,45-00". لاحظ وجود أرقام "متبقية" إلى اليسار؛ لا بأس بهذا. ابدأ بأول رقم أو زوج على اليسار واختر أكبر رقم مربعه أقل من أو يساوي المجموعة، فمثلًا إذا كانت المجموعة 37 فيجب أن تختار 6 لأن 62 = 36 < 37 لكن 62 = 36 < 37 but 72 = 49 > 37. اكتب هذا الرقم فوق المجموعة الأولى؛ هذه أول خانة في إجابتك.  أول مجموعة في مثالنا 6-,45-00 هي 6، وأكبر رقم مربعه أقل من أو يساوي 6 هو "2" حيث 22 = 4. اكتب 2 فوق 6 تحت الجذر. خذ أول رقم من إجابتك (الرقم الذي وجدته للتو) وضاعفه. اكتبه تحت المجموعة الأولى واطرحه لإيجاد الفرق ثم أنزل زوج الأرقام التالي بجوار الإجابة، وأخيرًا اكتب آخر رقم – وهو مضاعف أول خانة في الإجابة – إلى اليسار واترك فراغًا بجوارك. سنبدأ في مثالنا بأخذ مضاعف أول رقم من الإجابة – أي 2 – فنجد أن 2 × 2 = 4 ثم نطرح 4 من 6 (المجموعة الأولى) لنحصل على 2 في الإجابة. ثم ننزل المجموعة التالية (45) لنحصل على 245، وأخيرًا سنكتب 4 مرة أخرى لليسار مع ترك فراغ صغير في النهاية هكذا: 4_. عليك بعد ذلك أن تضيف رقمًا إلى يمين الرقم الذي كتبته لليسار. اختر أكبر رقم يضرب في رقمك الجديد ليكون الناتج أقل من أو يساوي الرقم الذي أنزلته. مثلًا إذا كان الرقم الذي أنزلته 1700 والرقم الموجود إلى اليسار 40_ فيجب أن تملأ الفراغ ب الرقم 4 لأن 404 × 4 = 1616 < 1700 بينما 405 × 5 = 2025. الرقم الذي ستجده في هذه الخطوة هو ثاني خانة في الإجابة لذا يمكنك إضافته فوق علامة الجذر.  يجب في مثالنا أن نجد أكبر رقم ممكن يملأ الفراغ 4_ × _ ويعطي ناتجًا أصغر من أو يساوي 245. الإجابة في هذه الحالة هي 5. 45 × 5 = 225 بينما 46 × 6 = 276. تابع تنفيذ أسلوب القسمة المطولة المعدل هذا حتى تبدأ بالحصول على أصفار عند الطرح من الرقم الذي أنزلته أو تصل لدرجة الدقة المرغوبة، ستشكل الأرقام التي استخدمتها لملأ الفراغات في كل خطوة (بجانب أول رقم مستخدم) أرقام الإجابة حين تنتهي.  استكمالًا لمثالنا، سنطرح 225 من 245 لنحصل على 20، ثم علينا أن ننزل الزوج التالي من الأرقام وهو 00 لنحصل على 2000. بمضاعفة الأرقام الواقعة فوق علامة الجذر سنحصل على 25 × 2 = 50 وبإيجاد القيمة المفقودة في الفراغ في 50_ × _ =/< 2,000 نحصل على 3. سيصبح لدينا عند هذه النقطة 253 فوق علامة الجذر، وبتكرار هذه العملية مرة أخرى سنحصل على 9 في الخانة التالية. يجب أن تضع العلامة العشرية في مكانها الصحيح لنختم الإجابة؛ لحسن الحظ هذا سهل، فكل ما تحتاجه هو محاذاتها مع العلامة العشرية في الرقم الأصلي. مثلًا إذا كان الرقم الموجود تحت الجذر هو 49,8 فيجب أن تضع العلامة بين الرقمين الموجودين بالأعلى 8 و9.  الرقم الواقع تحت الجذر في مثالنا هو 6,45 لذا سنضع العلامة العشرية بين 2 و5 في الإجابة لنحصل على 2,539.
ربع الرقم بضربه في نفسه. جد "معكوس" المربع في حالة الجذور التربيعية. اعرف الفرق بين المربعات الكاملة وغير الكاملة. احفظ أول 10-12 مربع كامل. بسط الجذور التربيعية بالتخلص من المربعات الكاملة متى أمكن. استخدم الأعداد التخيلية لجذور الأرقام السالبة. جد المربعات غير الكاملة بالتقدير. قرب الجذر التربيعي إلى علامة عشرية واحدة. اضرب الرقم التقديري في نفسه. استمر بالتقدير حسب الحاجة. صغ مسألة الجذر التربيعي كمسألة قسمة مطولة. اجمع الأرقام في أزواج. جد أكبر رقم مربعه أقل من أو يساوي المجموعة الأولى. ضاعف الرقم الذي كتبته للتو ثم أنزله واطرحه. املأ الفراغ. استمر باستخدام أرقام الفراغ للحصول على إجابتك. انقل العلامة العشرية من المقسوم الأصلي.
https://www.wikihow.com/Solve-Square-Root-Problems https://www.wikihow.com/Solve-Square-Root-Problems https://www.wikihow.com/Solve-Square-Root-Problems
Understanding Squares and Square Roots Quickly Estimating Imperfect Squares Using Long Division-Style Algorithms