جمع وطرح وضرب الأسس حل الأسس البسيطة حل أسس كسرية
إذا كانت الأسس والأساسات متطابقة، مثل: 45+45{\displaystyle 4^{5}+4^{5}}، يمكنك تبسيط جمع الحدود إلى مجرد مسألة ضرب. تذكر أن 45{\displaystyle 4^{5}} يمكن اعتبارها 1∗45{\displaystyle 1*4^{5}} وبالتالي 45+45=1∗45+1∗45=2∗45{\displaystyle 4^{5}+4^{5}=1*4^{5}+1*4^{5}=2*4^{5}} من خلال جمع "1 من هذا مع 1 من ذاك = 2 من ذاك" أيًا تكن ماهية "ذاك"، وهو ما يصح عامةً في الرياضيات. اجمع فحسب عدد الحدود المتماثلة (مع الأساس والأس المتطابقين) واضرب الناتج في هذه العبارة الأسية. يمكنك ببساطة أن تحل الآن 45{\displaystyle 4^{5}} وتضرب الناتج في اثنين. تذكر أن السبب من ذلك هو أن الضرب ما هو إلا طريقة أخرى لكتابة الجمع، بما أن 3+3=2∗3{\displaystyle 3+3=2*3}. انظر لهذه الأمثلة:  32+32=2∗32{\displaystyle 3^{2}+3^{2}=2*3^{2}} 45+45+45=3∗45{\displaystyle 4^{5}+4^{5}+4^{5}=3*4^{5}} 45−45+2=2{\displaystyle 4^{5}-4^{5}+2=2} 4x2−2x2=2x2{\displaystyle 4x^{2}-2x^{2}=2x^{2}} إذا كان أمامك عددين لهما نفس الأساس، مثل: x2∗x5{\displaystyle x^{2}*x^{5}}، كل المطلوب لجمعهما هو أن تجمع الأسين وتبقي الأساس كما هو. هكذا: x2∗x5=x7{\displaystyle x^{2}*x^{5}=x^{7}}. إذا كان هذا المبدأ غريبًا عليك، حلل الأعداد إلى أجزائها كي تفهم نظام هذه الفكرة بالكامل:  x2∗x5{\displaystyle x^{2}*x^{5}} x2=x∗x{\displaystyle x^{2}=x*x} x5=x∗x∗x∗x∗x{\displaystyle x^{5}=x*x*x*x*x} x2∗x5=(x∗x)∗(x∗x∗x∗x∗x){\displaystyle x^{2}*x^{5}=(x*x)*(x*x*x*x*x)} بما أن كل ما في المسألة هو عبارة عن نفس العدد مضروبًا في نفسه لعدد من المرات، يمكننا أن نجمع ضربهم كالتالي: x2∗x5=x∗x∗x∗x∗x∗x∗x{\displaystyle x^{2}*x^{5}=x*x*x*x*x*x*x}   x2∗x5=x7{\displaystyle x^{2}*x^{5}=x^{7}} إذا كان هناك رقم مرفوع لقوة، وكلاهما مرفوعين معًا لقوة أخرى، اضرب الأسين ببساطة. إذًا: (x2)5=x2∗5=x10{\displaystyle (x^{2})^{5}=x^{2*5}=x^{10}}. كما قلنا في الخطوة السابقة؛ فكر فيما تعنيه هذه الرموز إذا شعرت أمام هذا المبدأ بصعوبة فهمه. العدد (x2)5{\displaystyle (x^{2})^{5}} يعني ببساطة أن نضرب (x2){\displaystyle (x^{2})} في نفسها 5 مرات، وبالتالي:  (x2)5{\displaystyle (x^{2})^{5}} (x2)5=x2∗x2∗x2∗x2∗x2{\displaystyle (x^{2})^{5}=x^{2}*x^{2}*x^{2}*x^{2}*x^{2}} بما أن أساسات الأساس متماثلة، يمكن أن تجمعهم معًا: (x2)5=x2∗x2∗x2∗x2∗x2=x10{\displaystyle (x^{2})^{5}=x^{2}*x^{2}*x^{2}*x^{2}*x^{2}=x^{10}} إذا كنت لا تعرف ما هو المقلوب، ستتمكن من فهمه بسهولة كالتالي: إذا كان معك هذا الأس السالب 3−2{\displaystyle 3^{-2}}، حول إشارة الكسر موجبة واجعله مقامًا لكسر بسطه الواحد، فيصبح العدد الأسي هو 132{\displaystyle {\frac {1}{3^{2}}}}. إليك بعض الأمثلة الأخرى:  5−101510{\displaystyle 5^{-10}{\frac {1}{5^{10}}}}  3x−4=3x4{\displaystyle 3x^{-}4={\frac {3}{x^{4}}}} القسمة عكس الضرب، ومع أن هذا لا يعني دائمًا أن طريقة حل كل منهم معاكسة للأخرى، لكنها كذلك هنا. إذا كانت المسألة التي معك هي 4442{\displaystyle {\frac {4^{4}}{4^{2}}}}، اطرح ببساطة الأس العلوي ناقص السفلي واترك الأساس كما هو. بالتالي: 4442=44−2=42{\displaystyle {\frac {4^{4}}{4^{2}}}=4^{4-2}=4^{2}}، أو 16. كما سترى بعد قليل، أي عدد يشكل جزءًا من كسر مثل 142{\displaystyle {\frac {1}{4^{2}}}} يمكن في الحقيقة أن يُكتَب بطريقة أخرى على الصورة 4−2{\displaystyle 4^{-2}}. الأسس السالبة تصنع كسورًا. تغطي المسائل التالية كل ما شرحناه حتى الآن، لكي تتمكن من رؤية الإجابة، قم بالتحديد على السطر الذي توجد المسألة به بالكامل.   53{\displaystyle 5^{3}} = 125   22+22+22{\displaystyle 2^{2}+2^{2}+2^{2}} = 12   x12−2x12{\displaystyle x^{1}2-2x^{1}2} = -x^12   y3∗y{\displaystyle y^{3}*y} = y4{\displaystyle y^{4}} تذكر: العدد غير المرفوع لقوة، له أس قيمته 1   (Q3)5{\displaystyle (Q^{3})^{5}} = Q15{\displaystyle Q^{1}5}   r5r2{\displaystyle {\frac {r^{5}}{r^{2}}}} = r3{\displaystyle r^{3}} عندما تقابل عددًا أسيًا مثل 23{\displaystyle 2^{3}}، أمامك جزأين بسيطين. العدد السفلي (الذي هو 2 هنا) يسمى الأساس، والعدد المرفوع له (وهو 3) يُعرَف باسم الأس أو القوة. فعندما نتحدث عن المثال 23{\displaystyle 2^{3}}، نقول أن هذه "اثنان أس ثلاثة" أو "القوة الثالثة للعدد اثنين" أو "اثنان مرفوعة للقوة الثالثة".  إذا رُفِع عدد للقوة الثانية، مثل: 52{\displaystyle 5^{2}}، يمكنك أيضًا أن تقول إن هذا العدد مربع، أي "خمسة تربيع". إذا رُفع عدد للقوة الثالثة، مثل: 103{\displaystyle 10^{3}}، يمكنك القول كذلك أنه مكعب، أي "عشرة تكعيب". إذا لم يكن للعدد أس ظاهر، مثل رقم 4 بسيط، يعتبر في الواقع مرفوعًا للقوة الأولى ويمكن أن يُكتَب على الصورة 41{\displaystyle 4^{1}}. إذا كان الأس صفرًا، ورُفع "عددٌ غير صفري" لدرجة "القوة الصفرية"، فإن قيمته تساوي 1، مثل: 40=1{\displaystyle 4^{0}=1} أو حتى إذا كان العدد من أي نوع آخر مثل عدد غير صحيح (3/8)0=1.{\displaystyle (3/8)^{0}=1.} هناك إيضاح أكثر لهذه النقطة في قسم "افكار مفيدة" في آخر المقال. لحل مسألة أسس بنفسك، ابدأ بكتابتها على صورة مسألة ضرب. بما أننا ذكرنا أنك ينبغي أن تضرب الأساس في نفسه عدد مرات قيمة الأس، إذًا في حال مسألة مثل 34{\displaystyle 3^{4}}، سوف تضرب ثلاثة كسلسلة من أربع عوامل منفصلة، أو 3∗3∗3∗3{\displaystyle 3*3*3*3}. أمثلة إضافية على هذا:  45=4∗4∗4∗4∗4{\displaystyle 4^{5}=4*4*4*4*4} 82=8∗8{\displaystyle 8^{2}=8*8}  عشرة تكعيب =10∗10∗10{\displaystyle =10*10*10} ابدأ بضرب أول عددين لتحصل على الناتج. مثال: عند حل 45{\displaystyle 4^{5}}، سوف تضرب 4∗4∗4∗4∗4{\displaystyle 4*4*4*4*4}، وهو ما يبدو مرهقًا إذا لم تتعامل مع المسألة خطوةً بخطوة . ابدأ بضرب أول أربعتين، ثم استبدل هاتين الأربعتين بناتج ضربهما كما سنوضح هنا:   45=4∗4∗4∗4∗4{\displaystyle 4^{5}=4*4*4*4*4} 4∗4=16{\displaystyle 4*4=16}  45=16∗4∗4∗4{\displaystyle 4^{5}=16*4*4*4} تابع ضرب الأعداد حتى "تُنمّي" الأس. متابعةً على مثالنا: سنضرب 16 في الـ 4 التالية، وهكذا:   45=16∗4∗4∗4{\displaystyle 4^{5}=16*4*4*4} 16∗4=64{\displaystyle 16*4=64}   45=64∗4∗4{\displaystyle 4^{5}=64*4*4} 64∗4=256{\displaystyle 64*4=256}   45=256∗4{\displaystyle 4^{5}=256*4} 256∗4=1024{\displaystyle 256*4=1024}  نستمر كما هو موضح بضرب الأساس في حاصل ضرب أول عددين من السلسلة إلى أن تنتهي الأعداد ويكون هذا هو الناتج النهائي. باختصار: استمر بضرب أول عددين ثم اضرب الناتج في العدد التالي من التسلسل؛ ينتج عن هذه الطريقة ناتجًا صحيحًا إذا طبقتها على أي أس. الناتج الذي نصل له بعد الانتهاء من مثالنا هو 45=4∗4∗4∗4∗4=1024{\displaystyle 4^{5}=4*4*4*4*4=1024}. 82{\displaystyle 8^{2}} 34{\displaystyle 3^{4}} 107{\displaystyle 10^{7}} يكاد يستحيل أن تحل مسائل أسس أكبر - مثل 915{\displaystyle 9^{15}} - بنفسك، لكن الآلة الحاسبة سوف توجد لك الناتج ببساطة. يظهر الزر عادةً موضح بإحدى علامات الأس المذكورة هنا. في الآلة الحاسبة في ويندوز 7، يمكن تغيير الآلة العادية في حاسوبك إلى واحدة علمية من خلال النقر على مربع "View/عرض" واختيار "Scientific/علمية"، أو الوصول في ويندوز 10 لنفس الخيار بعد النقر على الخطوط الثلاثة التي ترمز القائمة في أعلى الآلة. لإعادة الآلة عادية كما كانت، اختر "Standard" من نفس القائمة.  ابحث في جوجل عن المسألة لترَ ما إن كان الناتج الذي أوجدته صحيحًا. يمكنك استعمال رمز "^" من لوحة مفاتيح حاسوبك أو هاتفك الذكي أو الجهاز اللوحي الذي تستعمله كي تكتب العبارة الحسابية في بحث جوجل، وسوف يوجد لك هذا البحث نتيجة فورية ويظهر لك اقتراحات مسائل مشابهة لتستكشفها. العدد الأسي x12{\displaystyle x^{\frac {1}{2}}} هو مماثل تمامًا في الواقع للعدد x{\displaystyle {\sqrt {x}}}. تستعمل هذه الطريقة دائمًا كما هي أيًا كان مقام الكسر، فالعدد x14{\displaystyle x^{\frac {1}{4}}} هو الجذر الرابع لـ x، ويُكتب على الصورة x4{\displaystyle {\sqrt[{4}]{x}}}. الجذور هي معكوسات الأسس. إذا أخذت مثلًا الناتج x4{\displaystyle {\sqrt[{4}]{x}}} ورفعته للقوة الرابعة، ستعود للعدد x{\displaystyle x}، مثلما يمكن التعامل مع 164=2{\displaystyle {\sqrt[{4}]{16}}=2} على أنه 24=16{\displaystyle 2^{4}=16}. على سبيل المثال أيضًا: إذا كانت x4=2{\displaystyle {\sqrt[{4}]{x}}=2} فإن 24=x{\displaystyle 2^{4}=x} وبالتالي x=2{\displaystyle x=2} . قد تبدو المسألة x53{\displaystyle x^{\frac {5}{3}}} مستحيلة الحل، لكنها سهلة للغاية إذا تذكرت كيف تُضرَب الأسس. حول الأساس إلى جذر كما تفعل مع الأسس الكسرية العادية، ثم ارفعه ارفع العدد بأكمله إلى القوة التي على أعلى الكسر. إذا وجدت صعوبة في تذكر هذا، فكر جيدًا في النظرية بأكملها. بمعنى أن 53{\displaystyle {\frac {5}{3}}} ما هي إلا صورة أخرى لـ (13)∗5{\displaystyle ({\frac {1}{3}})*5} مثلًا:  x53{\displaystyle x^{\frac {5}{3}}} x53=x5∗x13{\displaystyle x^{\frac {5}{3}}=x^{5}*x^{\frac {1}{3}}} x13=x3{\displaystyle x^{\frac {1}{3}}={\sqrt[{3}]{x}}}  x53=x5∗x13{\displaystyle x^{\frac {5}{3}}=x^{5}*x^{\frac {1}{3}}} = (x3)5{\displaystyle ({\sqrt[{3}]{x}})^{5}} من الأسهل كثيرًا أن تحاول تجمع أو تطرح الأسس قبل أن تحلها أو تحولها إلى جذور. إذا كان للعددين نفس الأساس وكانت الأسس متطابقة، يمكنك جمعهم وطرحهم كالمعتاد. كذلك يمكن ضرب وقسمة الأسس كالمعتاد عند تماثل الأساسات، طالما كنت تعرف كيفية جمع وطرح الكسور وتطبق ذلك بشكل صحيح. مثال:  x53+x53=2(x53){\displaystyle x^{\frac {5}{3}}+x^{\frac {5}{3}}=2(x^{\frac {5}{3}})}  x53∗x23=x73{\displaystyle x^{\frac {5}{3}}*x^{\frac {2}{3}}=x^{\frac {7}{3}}}
تُجمَع الأسس وتُطرَح فقط في حال تماثل الأساس والأس. اضرب الأعداد متماثلة الأساس من خلال جمع أسسهم. ضرب عدد أسي مرفوع لقوة أخرى مثل (x2)5{\displaystyle (x^{2})^{5}}. عامل الأسس السالبة كالكسور أو كمقلوب العدد. اقسم عددين أسيين لهما نفس الأساس من خلال طرح الأسس. جرب التدرب على بعض المسائل كي تتعود على حل الأعداد الأسية. تعلم التعبيرات والمفردات الصحيحة لمسائل الأسس. كرر ضرب الأساس بعدد المرات الممثلة بالأس. لحل عبارة: اضرب حاصل أول زوج أعداد (16 في هذه الحالة) في العدد التالي. جرب حل أمثلة أخرى بيدك، وتأكد من إجابتك بعدها باستخدام آلة حاسبة. استخدم زر "exp" أو "xn{\displaystyle x^{n}}" أو "^" في الآلة الحاسبة لحساب الأسس. تعامل مع الأسس الكسرية مثل x12{\displaystyle x^{\frac {1}{2}}} كمسائل جذور تربيعية. حول العدد العلوي إلى أس عادي في حال كان الأس كسرًا مختلطًا. اجمع واطرح واضرب الأسس الكسرية بنفس القواعد المعتادة.
https://www.wikihow.com/Solve-Exponents https://www.wikihow.com/Solve-Exponents https://www.wikihow.com/Solve-Exponents
Adding, Subtracting and Multiplying Exponents Solving Basic Exponents Solving Fractional Exponents