فهم آلية عمل هذه العملية الحسابية إيجاد الجذور التكعيبية بالتقدير المتكرر حل مثال على الجذور التكعيبية
عليك أولًا تذكر نظرية ذات الحدين مع التكعيب لتفهم سبب نجاح هذه الطريقة في إيجاد الجذور التكعيبية؛ لقد تعلمت هذا في الغالب في مادتي الجبر 1 و2 في المدرسة الثانوية (وعلى الأرجح سرعان ما نسيته فيما بعد)! اختر متغيرين A{\displaystyle A} وB{\displaystyle B} لتمثيل الأرقام أحادية الخانات ثم أنشئ المعادلة ثنائية الحدين (10A+B){\displaystyle (10A+B)} لتمثيل الرقم المكون من خانتين. استخدام الحد 10A{\displaystyle 10A} هو ما يكون الرقم ذا الخانتين، وأيًا كان الرقم الذي تختاره للمتغير A{\displaystyle A} فإن 10A{\displaystyle 10A} سيضعه في خانة العشرات فمثلًا إذا كان A{\displaystyle A} يساوي 2 وB{\displaystyle B} يساوي 6 فإن (10A+B){\displaystyle (10A+B)} تصبح 26. إننا نعمل بشكل معكوس هنا بتكوين المكعب أولًا ومن ثم معرفة سبب نجاح حل الجذور التكعيبية؛ علينا إيجاد قيمة (10A+B)3{\displaystyle (10A+B)^{3}} ويتم هذا بضرب (10A+B)∗(10A+B)∗(10A+B){\displaystyle (10A+B)*(10A+B)*(10A+B)}، وهذا أطول من أن نوضحه هنا لكن النتيجة النهائية هي 1000A3+300A2B+30AB2+B3{\displaystyle 1000A^{3}+300A^{2}B+30AB^{2}+B^{3}}. يمكنك مراجعة ضرب ذات الحدين لمزيد من المعلومات عن فك ذات الحدين للحصول على هذه النتيجة. اقرأ حساب (س+ص)^ن بمثلث باسكال لنسخة مختصرة وأكثر تقدمًا. لاحظ أن طريقة حساب الجذر التكعيبي تعمل كالقسمة المطولة، ففي الأخيرة تجد عاملين يُضربان في بعضهما البعض ليعطياك الرقم الذي بدأت به. الرقم الذي تحاول إيجاده هنا (الذي يتكون فوق علامة الجذر) في العملية الحسابية الموضحة هو الجذر التكعيبي، ويعني هذا أنه يمثل الحد(10A+B). قيم A وB الفعلية الآن غير مهمة ما دمت تعرف علاقتهما بالإجابة. يمكنك عند النظر إلى كثيرة الحدود بعد فكها أن ترى سبب تحقق خوارزمية الجذر التكعيبي. اعرف أن المقسوم في كل خطوة من الخوارزمية هو مجموع 4 حدود عليك حسابها وجمعها معًا، والحدود كما يلي:   يحتوي أول حد على أحد مضاعفات 1000. ستجد أولًا رقمًا يمكن تكعيبه ويظل ضمن نطاق القسمة المطولة لأول خانة من الرقم، وهذا سيعطيك الحد 1000A^3 في كثيرة الحدود. أما الحد الثاني من ذات الحدين فمعامله 300 (ويرجع السبب إلى 3∗102{\displaystyle 3*10^{2}}) تذكر أن أول خانة في كل خطوة تضرب في 300 لحساب الجذر التكعيبي. تنتج الخانة الثانية من كل خطوة في حساب الجذر التكعيبي عن الحد الثالث في مفكوك ذات الحدين، إذ يمكنك أن ترى الحد 30AB^2 في المفكوك. الخانة الأخيرة لكل خطوة هي B^3. كل خطوة تتمها بعد خوارزمية القسمة المطولة تزيد من دقة إجابتك، فمثلًا في نفس المثال المستخدم في هذه المقالة لإيجاد الجذر التكعيبي للرقم 10، في الخطوة 1 كان الحل 2 لأن 23{\displaystyle 2^{3}} مقاربة لكنها أقل من 10، في الحقيقة 23=8{\displaystyle 2^{3}=8}. ستحصل على 2,1 في الجولة الثانية وحين تجربها ستجد 2.13=9.261{\displaystyle 2.1^{3}=9.261} وهذا أقرب بكثير للقيمة المرجوة 10. ستحصل على 2,15 بعد الجولة الثالثة ما يعطيك 2.153=9.94{\displaystyle 2.15^{3}=9.94}. يمكنك متابعة العمل في مجموعات من 3 خانات لتحصل على إجابة دقيقة قدر الحاجة. ابدأ باختيار مكعب كامل قريب قدر الإمكان إذا طلب منك الجذر التكعيبي لأي رقم تقريبًا دون تجاوز الرقم المستهدف.  تذكر أن 83=512{\displaystyle 8^{3}=512} و93=729{\displaystyle 9^{3}=729} (أو استخدم جدول الأرقام المكعبة) مثلًا إذا أردت إيجاد الجذر التكعيبي للرقم 600، لذا فإن الجذر التكعيبي للرقم 600 لابد أن يكون بين 8 و9. ستستخدم الأرقام 512 و729 كحدود عليا وسفلى لحلك. أتى أول رقم من معرفتك بأرقام مكعبة معينة. قدر رقمًا ما بين 0 و9 بناءً على موقع الرقم المستهدف بين الحدين لإيجاد الرقم التالي.  يقع الرقم المستهدف 600 في المنتصف بين 512 و729 في المثال الحالي لذا اختر 5 للرقم التالي. جرب ضرب القيمة التقديرية التي تعمل عليها حاليًا لترى مدى اقترابك من الرقم المستهدف. اضرب 8.5∗8.5∗8.5=614.1.{\displaystyle 8.5*8.5*8.5=614.1.} في هذا المثال. تحقق من النتيجة بمقارنتها بالرقم المستهدف بعد تكعيب آخر قيمة، إذا كانت أكبر من الرقم المستهدف فعليك تقليلها بمقدار 1 أو أكثر، أما إذا كانت أصغر منه فعليك زيادتها حتى تتجاوز الرقم المستهدف.  في هذه المسألة مثلًا 8.53{\displaystyle 8.5^{3}} أكبر من الرقم المستهدف 600 لذا يجب أن تقلل القيمة التقديرية إلى 8,4. كعب هذا الرقم وقارنه بالرقم المستهدف، ستجد أن 8.4∗8.4∗8.4=592.7{\displaystyle 8.4*8.4*8.4=592.7} وهذا أصغر من الرقم المستهدف لذا تعلم أن الجذر التكعيبي ل600 لابد أن يكون 8,4 على الأقل ولكن أصغر من 8,5. ستستمر بهذه العملية في تقدير الأرقام من 0 إلى 9 حتى تصبح إجابتك دقيقة كما تريد. ابدأ في كل جولة بملاحظة مكان الحساب الأخير بين الأرقام التي تشكل الحدود.  تظهر جولة التقدير الأخيرة في المثال الحالي أن 8.43=592.7{\displaystyle 8.4^{3}=592.7} بينما 8.53=614.1{\displaystyle 8.5^{3}=614.1}. الرقم المستهدف 600 أقرب قليلًا إلى 592 منه إلى 614 لذا ابدأ في التقدير التالي باختيار رقم أقل من نصف المسافة بين 0 و9 بقليل. 4 تخمينٌ جيد وسيكون القيمة التقديرية للجذر التكعيبي 8,44. كعب القيمة التقديرية وقارنها بالرقم المستهدف قدر الحاجة. يجب أن تجد الأرقام التي تقع تحت الرقم المستهدف وفوقه تمامًا.  ابدأ بإيجاد 8.44∗8.44∗8.44=601.2{\displaystyle 8.44*8.44*8.44=601.2} في هذا المثال. هذا بالكاد فوق الرقم المستهدف لذا قللها واختبر 8,43 فهذا سيعطيك 8.43∗8.43∗8.43=599.07{\displaystyle 8.43*8.43*8.43=599.07} وبالتالي ستعرف أن الجذر التكعيبي للرقم 600 أكبر من 8,43 وأقل من 8,44. استمر بخطوات التقدير هذه والمقارنة وإعادة التقدير حسب الحاجة حتى يصبح الحل دقيقًا قدر ما تشاء. لاحظ أن الأرقام المستهدفة ستزداد قربًا من الرقم الفعلي مع كل علامة عشرية. في مثالنا للجذر التكعيبي للرقم 600 حصلنا على 8,43 حين استخدمنا رقمين عشريين وكنا على بعد أقل من 1 عن الرقم المستهدف. وحين استمرينا للرقم العشري الثالث نحصل على 8.4343=599.93{\displaystyle 8.434^{3}=599.93} وهو أقل من الإجابة الفعلية ب0,1. سيبدو إيجاد الجذر التكعيبي لرقم ما كحل مسألة قسمة مطولة مع وجود بعض اختلافات واضحة. أول خطوة هي تجهيز المسألة بصيغة مناسبة.   اكتب الرقم الذي تريد إيجاد جذره التكعيبي. اكتب الأرقام المكونة للعدد في مجموعات ثلاثية مستخدمًا العلامة العشرية كنقطة بداية. سنجد الجذر التكعيبي للرقم 10 في هذا المثال، اكتبه بالصورة 10,000000 وسنستخدم الأصفار الإضافية لزيادة دقة الحل. ارسم علامة الجذر على الرقم. يؤدي هذا نفس غرض شرطة القسمة المطولة لكن الفرق الوحيد هو شكل الرمز. ضع علامة عشرية فوق الخط، تمامًا فوق العلامة العشرية للرقم الأصلي. 13=1∗1∗1=1{\displaystyle 1^{3}=1*1*1=1} 23=2∗2∗2=8{\displaystyle 2^{3}=2*2*2=8} 33=3∗3∗3=27{\displaystyle 3^{3}=3*3*3=27} 43=4∗4∗4=64{\displaystyle 4^{3}=4*4*4=64} 53=5∗5∗5=125{\displaystyle 5^{3}=5*5*5=125} 63=6∗6∗6=216{\displaystyle 6^{3}=6*6*6=216} 73=7∗7∗7=343{\displaystyle 7^{3}=7*7*7=343} 83=8∗8∗8=512{\displaystyle 8^{3}=8*8*8=512} 93=9∗9∗9=729{\displaystyle 9^{3}=9*9*9=729} 103=10∗10∗10=1000{\displaystyle 10^{3}=10*10*10=1000} اختر الرقم الذي يعطي عند تكعيبه أكبر نتيجة ممكنة تكون أصغر من مجموعة الأرقام الأولى المكونة من 3 خانات.   أول مجموعة من 3 أرقام في هذا المثال هي 10. جد أكبر مكعب كامل يكون أصغر من 10، هذا الرقم هو 8 وجذره التكعيبي 2. اكتب الرقم 2 فوق خط الجذر. اكتب قيمة 23{\displaystyle 2^{3}} وهي 8 تحت الرقم 10 وارسم خطًا واطرح كما في القسمة المطولة تمامًا. النتيجة هي 2. ستحصل على أول رقم من الحل بعد الطرح. يجب أن تحدد ما إذا كان هذا الرقم دقيقًا بما يكفي كنتيجة، ولن يكون كذلك في معظم الحالات. يمكنك التحقق من هذا بتكعيب الرقم المفرد وتحديد مدى قربه من النتيجة المطلوبة. يجب أن تستمر هنا لأن 23{\displaystyle 2^{3}} 8 فقط وهي ليست شديدة القرب من 10. انسخ مجموعة الأرقام التالية المكونة من 3 خانات في الباقي وارسم خطًا رأسيًا صغيرًا إلى يسار الرقم الناتج. سيكون هذا هو الرقم الأساسي لإيجاد الرقم التالي من حل الجذر التكعيبي، وفي هذا المثال يجب أن يكون 2000 الذي يتكون من 2 (باقي عملية الطرح السابقة) مع مجموعة الأصفار التي أنزلتها.  ستجد المقسوم التالي إلى يسار الخط الرأسي كناتج جمع 3 أرقام منفصلة. ارسم مساحات تلك الأرقام بوضع 3 شرطات سفلية فارغة مع علامات زائد بينها. اكتب 300 أمثال مربع ما يوجد فوق علامة الجذر أيًا كان لإيجاد أول جزء من المقسوم. الرقم الموجود بالأعلى في هذه الحالة هو 2 و2^2 هو 4 و4*300=1200 لذا اكتب 1200 في الخانة الأولى. سيكون المقسوم في هذه الخطوة من الحل 1200 زائد شيء ستجده بعد ذلك. جد الرقم التالي من الحل باختيار ما يمكن ضربه في المقسوم، 1200- رقم ما تطرحه من بقية الرقم 2000 بعدها، وقد يكون 1 فقط لأن 2 مضروبة في 1200 ستكون 2400 وهو أكبر من 2000. اكتب الرقم 1 في الفراغ التالي فوق علامة الجذر. يتكون المقسوم في هذه الخطوة من الحل من 3 أجزاء: أول جزء هو 1200 الذي أوجدته بالفعل ويجب أن تضيف حدين أخرين لإكمال المقسوم.   احسب الآن حاصل ضرب 3 في 10 في كل من الرقمين الموجودين بالحل فوق علامة الجذر، ما يعني في هذا المثال 3*10*2*1 وهي 60. أضف هذا إلى 1200 التي أوجدتها بالفعل لتحصل على 1260. اجمع مربع الرقم الأخير في النهاية – وهو 1 في هذا المثال و1^2 لا زالت 1 – وبالتالي يصبح المقسوم الكلي 1200+60+1 أو 1261. اكتبه إلى يسار الخط الرأسي. أتم هذه الجولة من الحل بضرب الرقم الأخير – وهو في هذه الحالة 1 – في المقسوم الذي حسبته للتو، 1261,1*1261=1261. اكتب هذا تحت 2000 واطرح لتجد 739. يجب أن تفكر ما إذا كانت الإجابة دقيقة بما يكفي بعد أن تتم جزء الطرح من كل خطوة. كان الجذر التكعيبي للرقم 0 بعد عملية الطرح الأولى 2 فحسب وهذا ليس دقيقًا كفاية، أما الآن بعد التقريب الثاني فالحل هو 2,1.   يمكنك التحقق من دقة هذه النتيجة بتكعيب 2,1*2,1*2,1 وستكون النتيجة 9,261. يمكنك التوقف إذا شعرت أن النتيجة دقيقة بما يكفي، أما إذا أردت إجابة أدق فعليك المتابعة وإتمام جولة أخرى. كرر الخطوات لجولة أخرى كما يلي في هذه الحالة لمزيد من التدريب وللحصول على إجابة أدق:   أنزل المجموعة التالية ثلاثية الأرقام. ستكون 3 أصفار في هذه الحالة وستتبع 739 لتحصل على 739000. ابدأ المقسوم ب300 أمثال مربع الرقم الموجود فوق اخط الجذر حاليًا وهو 300∗212{\displaystyle 300*21^{2}} أي 13200. اختر الرقم التالي من الحل بحيث يسعك ضربه في 132300 ويكون الناتج أقل من الباقي 739000. سيكون 5 خيارًا جيدًا لأن 5*132300=661500. اكتب الرقم 5 في الفراغ التالي فوق خط الجذر. جد 3 أمثال الرقم السابق الموجود فوق خط الجذر –وهو 21- في آخر رقم كتبته –وهو 5- في 10، وسيعطيك هذا 3∗21∗5∗10=3,150{\displaystyle 3*21*5*10=3,150}. وأخيرًا ربع الرقم الأخير وهو 52=25.{\displaystyle 5^{2}=25.}  اجمع أجزاء المقسوم لتحصل على 132300+3150+25=135475. تابع كما يلي بعد حساب المقسوم في الجولة التالية وإضافة خانة أخرى للحل:   اضرب المقسوم في آخر رقم من أرقام الحل. 135475*5=677375. اطرح 739000-677375=61625. فكر ما إذا كان الحل 2,15 دقيقًا بما يكفي، وكعبه لتحصل على 2.15∗2.15∗2.15=9.94{\displaystyle 2.15*2.15*2.15=9.94}. النتيجة الموضحة فوق الجذر – وهي الجذر التكعيبي – دقيقة عند هذه النقطة لثلاثة أرقام. الجذر التكعيبي للرقم 10 في هذا المثال هو 2,15. تحقق من ذلك بحساب 2,15^3=9,94 وهي تقارب 10. واصل العملية قدر ما تشاء إذا أردت دقة أكبر.
راجع نظرية ذات الحدين. حول ذات الحدين إلى معادلة تكعيبية. اعرف معنى خوارزمية القسمة المطولة. راجع المعادلة بعد فكها. لاحظ تزايد الدقة. استخدم الأرقام المكعبة لوضع الحدود العليا والصغرى. قدر الرقم التالي. اختبر تقديرك بتكعيبه. عدل القيمة التقديرية حسب الحاجة. قدر الرقم التالي لمزيد من الدقة. استمر باختبار القيم التقديرية وتعديلها. استمر قدر ما ترغب للدقة. جهز المسألة. اعرف مكعبات الأرقام المفردة لأنك ستستخدمها في الحسابات، وهي كالتالي: جد أول رقم في الحل. استعد لإيجاد الرقم التالي. جد بداية المقسوم التالي. جد الرقم التالي من حل الجذر التكعيبي. حدد بقية المقسوم. اضرب واطرح. حدد ما إذا كنت ستستمر بذلك لمزيد من الدقة. جد مقسوم الجولة التالية. اضرب المقسوم في الرقم الذي أوجدته في الحل. اكتب الإجابة النهائية.
https://www.wikihow.com/Calculate-Cube-Root-by-Hand https://www.wikihow.com/Calculate-Cube-Root-by-Hand https://www.wikihow.com/Calculate-Cube-Root-by-Hand
Understanding How this Calculation Works Finding Cube Roots by Repeated Estimation Working Through a Sample Cube Root Problem