حساب التباين لعينة حساب تباين المجتمع
يملك الإحصائيون في معظم الحالات القدرة على الوصول إلى عينة فقط أو مجموعة جزئية مما يدرسونه، فمثلًا يستطيع الإحصائي إيجاد كلفة عينة عشوائية لآلاف قليلة من السيارات بدلًا من تحليل المتمع الكلي "تكلفة كل سيارة في مصر". يمكنه استخدام هذه العينة للحصول على تقدير جيد لتكلفة السيارات المصرية لكنه لن يطابق الأرقام الفعلية تمامًا.   ستأخذ ستة أيام عشوائية مثلًا لتحليل عدد كعك المافن الذي يباع يوميًا في مطعم صغير وتحصل على هذه النتائج: 38 و37 و36 و28 و18 و14 و12 و11 و10,7 و9,9. هذه عينة وليست الكل لأنك لا تملك بيانات عن كل يوم كان المطعم مفتوحًا به.   انتقل للطريقة الموضحة أدناه إذا كنت تعرف كل نقاط البيانات في المجتمع الإحصائي. يخبرك تباين مجموعة بيانات بكيفية توزيع هذه المجموعة. كلما اقترب التباين من الصفر زاد تقارب وتجمع نقاط البيانات. استخدم المعادلة التالية لحساب التباين عند العمل مع عينات مجموعة البيانات:    s2{\displaystyle s^{2}} = ∑[(xi{\displaystyle x_{i}} - x̅)2{\displaystyle ^{2}}]/(n - 1)  التباين هو s2{\displaystyle s^{2}} ويقاس دومًا بالوحدات المربعة. يمثل xi{\displaystyle x_{i}} حدًا من مجموعة البيانات. تعني ∑ الجمع وتخبرك أن تحسب الحدود التالية لقيم xi{\displaystyle x_{i}} ثم تجمعها. متوسط العينة هو x̅. عدد نقاط البيانات هو n. . يشير الرمز x̅ أو إكس شرطة إلى متوسط العينة.  احسبه كما تحسب أي متوسط: اجمع كل نقاط البيانات ثم اقسمها على عددها.    مثال: اجمع أولًا نقاط البيانات: 17 + 15 + 23 + 7 + 9 + 13 = 84 ثم اقسم الإجابة على عدد النقاط وهي ستة في هذه الحالة: 84 ÷ 6 = 14. أي أن متوسط العينة = x̅ =14. يمكنك التفكير في المتوسط على أنه "نقطة منتصف" البيانات. يكون التباين منخفضًا إذا تجمعت البيانات قرب المتوسط بينما يرتفع إذا تباعدت عنه. حان الآن وقت حساب xi{\displaystyle x_{i}} - x̅ حيث xi{\displaystyle x_{i}} هو كل رقم في مجموعة البيانات. تخبرك كل إجابة بمدى انحراف ذلك الرقم عن المتوسط، أو للتبسيط أكثر: مدى ابتعاده عنه. .   مثال: x1{\displaystyle x_{1}} - x̅ = 17 - 14 = 3x2{\displaystyle x_{2}} - x̅ = 15 - 14 = 1x3{\displaystyle x_{3}} - x̅ = 23 - 14 = 9x4{\displaystyle x_{4}} - x̅ = 7 - 14 = -7x5{\displaystyle x_{5}} - x̅ = 9 - 14 = -5x6{\displaystyle x_{6}} - x̅ = 13 - 14 = -1 مراجعة عملك أمر سهل، لأن مجموع الإجابات يجب أن يكون صفرًا. يرجع سبب تعريف المتوسط أن الإجابات السالبة (المسافة من المتوسط إلى الأرقام الأصغر) تلغي تمامًا الإجابات الموجبة (المسافة من المتوسط إلى الأرقام الأكبر). مجموع الانحرافات الحالية (xi{\displaystyle x_{i}} - x̅)  صفر كما لاحظنا أعلاه. يعني هذا أن "متوسط الانحراف" سيساوي الصفر دومًا لذا لا يعلمك هذا أي شيء عن مدى توزيع البيانات. جد مربع كل انحراف لحل هذه المشكلة. سيحول هذا كل الأرقام لأرقام موجبة فلا تعود القيم الموجبة والسالبة تلغي بعضها البعض.    مثال: (x1{\displaystyle x_{1}} - x̅)2=32=9{\displaystyle ^{2}=3^{2}=9}(x2{\displaystyle (x_{2}} - x̅)2=12=1{\displaystyle ^{2}=1^{2}=1}92 = 81(-7)2 = 49(-5)2 = 25(-1)2 = 1 لديك الآن قيمة (xi{\displaystyle x_{i}} - x̅)2{\displaystyle ^{2}} لكل نقطة بيانات من العينة. حان الآن وقت حساب قيمة بسط المعادلة بأكمله: ∑[(xi{\displaystyle x_{i}} - x̅)2{\displaystyle ^{2}}]. يخبرك رمز السيجما ∑ بأن عليك جمع قيمة الحد التالي لجميع قيم xi{\displaystyle x_{i}}. لقد حسبت (xi{\displaystyle x_{i}} - x̅)2{\displaystyle ^{2}} مسبقًا لكل قيمة xi{\displaystyle x_{i}} في العينة لذا كل ما عليك فعله هو جمع النتائج.   مثال: 9 + 1 + 81 + 49 + 25 + 1 = 166. كان الإحصائيون يقسمون على n عند حساب تباين عينة فيما مضى. يعطيك هذا القيمة المتوسطة لمربع الانحراف وهو مطابق مثالي لتباين تلك العينة، لكن تذكر أن العينة مجرد تقدير لمجتمع أكبر وستحصل على نتائج مختلفة إذا أخذت عينة عشوائية أخرى وأجريت نفس الحسابات، بينما تمنحك القسمة على n-1 بدلًا من ذلك تقديرًا أفضل لتباين مجتمع أكبر وهو ما يثير اهتمامنا فعلًا. هذا التصحيح شائع لدرجة أنه يمثل الآن تعريفًا مقبولًا لتباين العينة.   مثال: هناك ست نقاط بيانات في العينة لذا فإن n=6 وتباين العينة = s2=1666−1={\displaystyle s^{2}={\frac {166}{6-1}}=} 33.2 لاحظ أن التباين يقاس بالوحدة المربعة للبيانات الأصلية، نظرًا لوجود أس في المعادلة. قد يصعب هذا الفهم البديهي للأمر لكن من المفيد استخدام الانحراف المعياري. لم يضع جهدك سدى، لأن الانحراف المعياري يُعرّف على أنه الجذر التربيعي للتباين. هذا سبب كتابة تباين العينة بصورة s2{\displaystyle s^{2}} والانحراف المعياري لها s{\displaystyle s}.  الانحراف المعياري للعينة الموضحة أعلاه مثلًا= s = √33.2 = 5.76. يشير مصطلح "المجتمع" إلى المجموعة الكلية من الملاحظات المتصلة. سيتضمن المجتمع مثلًا إذا كنت تدرس عمر سكان القاهرة عمر كل ساكن. ستنشئ صفحة بيانات جدولية لمجموعات البيانات الكبيرة المشابهة لكننا سنقدم لك هنا مثالًا على مجموعة أصغر:   مثال: هناك ستة أحواض سمك في غرفة بمزرعة مائية. تحتوي الأحواض الستة على الأعداد التالية من الأسماك: x1=5{\displaystyle x_{1}=5}x2=5{\displaystyle x_{2}=5}x3=8{\displaystyle x_{3}=8}x4=12{\displaystyle x_{4}=12}x5=15{\displaystyle x_{5}=15}x6=18{\displaystyle x_{6}=18} تعطيك هذه المعادلة التباين الدقيق للمجتمع نظرًا لتضمنه كل البيانات التي تحتاجها. يستخدم الإحصائيون متغيرات مختلفة لتمييزه عن تباين العينة (الذي يعد مجرد تقدير):   σ2{\displaystyle ^{2}} = (∑(xi{\displaystyle x_{i}} - μ)2{\displaystyle ^{2}})/n  تباين المجتمع = σ2{\displaystyle ^{2}}. وهو الصورة الصغير من الرمز سيجما ويقاس التباين بالوحدات المربعة. يمثل xi{\displaystyle x_{i}} حدًا في مجموعة البيانات. يحسب الحد الموجود داخل رمز ∑ لكل قيم xi{\displaystyle x_{i}} ثم تجمع. متوسط المجتمع هو μ. عدد نقاط البيانات في المجتمع هو n. يمثل الرمز μ ("ميو") المتوسط الحسابي عند تحليل المجتمع. اجمع كل نقاط البيانات ثم اقسمها على عددها لإيجاد المتوسط.   يمكنك التفكير في المتوسط الحسابي على أنه "وسط"، لكن احترس إذ قد تكون هناك عدة تعريفات للكلمة.  مثال: المتوسط = μ = 5+5+8+12+15+186{\displaystyle {\frac {5+5+8+12+15+18}{6}}} = = 10.5' '. ستعطي نقاط البيانات المقاربة للمتوسط فوارق مقاربة للصفر. كرر عملية الطرح لجميع النقاط وقد تبدأ باستشعار كيفية توزيع البيانات.   مثال: x1{\displaystyle x_{1}} - μ = 5 - 10.5 = -5.5x2{\displaystyle x_{2}} - μ = 5 - 10.5 = -5.5x3{\displaystyle x_{3}} - μ = 8 - 10.5 = -2.5x4{\displaystyle x_{4}} - μ = 12 - 10.5 = 1.5x5{\displaystyle x_{5}} - μ = 15 - 10.5 = 4.5x6{\displaystyle x_{6}} - μ = 18 - 10.5 = 7.5 ستجد الآن أن بعض الأرقام الناتجة عن الخطوة الأخيرة سالبة وبعضها الآخر موجب. تمثل هاتان المجموعتين الأرقام الموجودة على يسار المتوسط ويمينه، إذا مثلت بياناتك على خط الأعداد. لن يفيدك ذلك شيئًا في حساب التباين، لأن المجموعتين ستلغيان بعضهما البعض. قم بتربيع كل الأرقام حتى تصبح جميعها موجبة.   مثال: (xi{\displaystyle x_{i}} - μ)2{\displaystyle ^{2}} لكل قيمة i من 1 إلى 6:(-5.5)2{\displaystyle ^{2}} = 30.25(-5.5)2{\displaystyle ^{2}} = 30.25(-2.5)2{\displaystyle ^{2}} = 6.25(1.5)2{\displaystyle ^{2}} = 2.25(4.5)2{\displaystyle ^{2}} = 20.25(7.5)2{\displaystyle ^{2}} = 56.25 لديك الآن قيمة لكل نقاط البيانات تتصل (بشكل غير مباشر) بمدى بعدها عن المتوسط. خذ متوسط هذه القيم بجمعها كلها ثم قسمتها على عددها.   مثال:  تباين المجتمع= 30.25+30.25+6.25+2.25+20.25+56.256=145.56={\displaystyle {\frac {30.25+30.25+6.25+2.25+20.25+56.25}{6}}={\frac {145.5}{6}}=} 24.25 جرب كتابة المسألة كلها نسخًا إذا لم تكن واثقًا من مطابقة الناتج للمعادلة الموضحة في بداية هذه الطريقة:   تصبح لديك قيم (x1{\displaystyle x_{1}} - μ)2{\displaystyle ^{2}} و(x2{\displaystyle x_{2}} - μ)2{\displaystyle ^{2}} وهكذا وصولًا إلى (xn{\displaystyle x_{n}} - μ)2{\displaystyle ^{2}} حيث xn{\displaystyle x_{n}} هي آخر نقطة بيانات في المجموعة بعد إيجاد الفارق بين المتوسط والتربيع. اجمع القيم ثم اقسمها على n لإيجاد المتوسط: n: ( (x1{\displaystyle x_{1}} - μ)2{\displaystyle ^{2}} + (x2{\displaystyle x_{2}} - μ)2{\displaystyle ^{2}} + ... + (xn{\displaystyle x_{n}} - μ)2{\displaystyle ^{2}} ) / n يصبح لديك ما يلي بعد إعادة كتابة البسط داخل رمز سيجما (∑(xi{\displaystyle x_{i}} - μ)2{\displaystyle ^{2}})/n وهي معادلة التباين.
دون عينة مجموعة البيانات. اكتب معادلة تباين العينة.  احسب متوسط العينة اطرح المتوسط من كل نقطة. قم بتربيع كل النتائج. جد مجموع القيم التربيعية. اقسم على n – 1 حيث n هي عدد نقاط البيانات. افهم التباين والانحراف المعياري. ابدأ بمجموعة بيانات المجتمع الإحصائي. دون معادلة تباين المجتمع. جد متوسط المجتمع. اطرح المتوسط من كل نقاط البيانات. قم بتربيع جميع الإجابات. جد متوسط نتائجك. أعد ربط هذا بالمعادلة.
https://www.wikihow.com/Calculate-Variance https://www.wikihow.com/Calculate-Variance
Calculating Variance of a Sample Calculating Variance of a Population