استخدام طريقة التعويض استخدام طريقة الحذف رسم المعادلات بيانيًا
تبدأ طريقة "التعويض" هذه بإيجاد قيمة س (أو أي متغير آخر) في إحدى المعادلات. لنقل مثلًا أن معادلاتنا هي 4س + 2ص = 8 و5س + 3ص = 9. ابدأ بالنظر للمعادلة الأولى فقط وأعد ترتيبها بطرح 2ص من الطرفين لتحصل على 4س = 8 -2ص.  عادة ما تستخدم هذه الطريقة الكسور لاحقًا. يمكنك أن تجرب طريقة الحذف الموضحة أدناه إذا لم تكن تحب الكسور. اقسم طرفي المعادلة ليصبح لديك حد سيني (أو أيًا كان المتغير المستخدم) في أحد طرفيها لتجعله وحده. على سبيل المثال:   4س = 8 – 2ص (4س)/4 = (8/4) – (2ص/4) س = 2 – 1/2 ص احرص أن تعود للمعادلة "الأخرى" وليس التي استخدمتها مسبقًا وعوض فيها بالمتغير الذي أوجدت قيمته حتى يتبقى لك متغير وحيد. على سبيل المثال:   تعلم أن س = 2 – 1/2 ص. المعادلة الثانية التي لم تتغير هي 5س + 3ص = 9. استبدل س في المعادلة الثانية ب"2 – 1/2ص" لتصبح 5(2 – 1/2 ص) + 3ص= 9. لديك الآن معادلة في متغير واحد لذا استخدم أساليب الجبر العادية لإيجاد قيمته. انتقل للخطوة الأخيرة إذا ألغت المتغيرات بعضها البعض، وعدا عن ذلك ستحصل على قيمة أحد المتغيرين:   5(2 – 1/2ص) + 3ص = 9 10 – (5/2)ص + 3ص = 9 10 – (5/2)ص + (6/2)ص = 9 (اقرأ عن كيفية جمع الكسور إذا لم تفهم هذه الخطوة. عادة ما يكون هذا ضروريًا لاتباع هذه الطريقة لكن ليس دومًا). 10 + 1/2ص = 9 1/2ص = -1 ص = -2 لا تقع في خطأ ترك المسألة نصف محلولة إذ عليك أن تعوض بالإجابة في المعادلات الأصلية حتى تتمكن من إيجاد قيمة المتغير الآخر:   تعلم أن ص= -2 إحدى المعادلات الأصلية هي 4س + 2ص = 8. (يمكنك استخدام المعادلة الأخرى في هذه الخطوة). عوض عن ص ب -2 لتكون 4س + 2(-2) = 8. 4س – 4 = 8 4س = 12 س = 3 ما تحاول الوصول إليه هو معادلة في متغير واحد عند التعويض بـ "س = 3ص+2" أو الإجابات المشابهة في المعادلة الأخرى، لكن أحيانًا ينتهي بك الأمر بمعادلة بلا متغيرات. راجع حلك وتأكد من أنك قد عوضت بالمعادلة الأولى (المعاد ترتيبها) في الثانية وليس فيها مرة أخرى. ستحصل على إحدى النتائج التالية إذا كنت واثقًا من عدم ارتكابك لأي أخطاء:   لا يكون هناك حل للمسألة إذا حصلت في النهاية على معادلة بلا متغيرات وغير صحيحة (مثل 3 = 5). (إذا رسمت المعادلتين رسمًا بيانيًا فستجد أنهما تتوازيان ولا تتقاطعان أبدًا.) سيكون هناك عدد لا نهائي من الحلول للمسألة إذا حصلت في النهاية على معادلة صحيحة بلا متغيرات (مثل 3 =3). تكون المعادلتان متطابقتين تمامًا (وإذا رسمتهما ستجد أنهما على نفس المستقيم.) يحذف أحد الحدود أحيانًا بمجرد جمع المعادلتين، فمثلًا حين تجمع المعادلات 3س + 2ص =11 و 5س – 2ص = 3 فإن "2ص" و"-2ص" سيلغيان بعضهما البعض ما يحذف كل الصادات من المعادلة. انظر للمعادلات في مسألتك واكتشف ما إذا كان أحد المتغيرات سيحذف هكذا، إذا لم يتحقق ذلك فتابع القراءة إلى الخطوة التالية لإيجاد النصيحة. (تجاوز هذه الخطوة إذا كانت المتغيرات تلغي بعضها بالفعل). غير إحدى المعادلات إذا لم يكن هناك متغير يمكن حذفه بصورة تلقائية حتى يحدث ذلك. يسهل فهم هذا بمثال كما يلي:   لديك نظام المعادلات 3س – ص = 3 و-س + 2ص =4. لنغير المعادلة الأولى بحيث يحذف الحد المحتوي على "ص". (يمكنك اختيار "س" بدلًا من ذلك وستحصل على الإجابة نفسها في النهاية). يجب حذف"-ص" الموجودة بالمعادلة الأولى مع "+2ص" في المعادلة الثانية ويمكننا فعل هذا بضرب "-ص" في 2. اضرب طرفي المعادلة الأولى في 2 هكذا: 2(3س - ص) = 2(3) لذا فإن 6س – 2ص = 6. ستحذف "-2ص" الآن مع "+2ص" في المعادلة الثانية. اجمع الطرفين الأيسرين معًا والأيمنين معًا لتجمع المعادلات. يفترض أن يُحذف أحد المتغيرات إذا كنت قد جهزت المعادلات بشكل صحيح. إليك مثالًا عن استخدام المعادلات نفسها كخطوة أخيرة:   معادلاتك هي 6س – 2ص = 6 و-س + 2ص = 4. اجمع الأطراف اليسرى: 6س – 2ص –س + 2ص = ؟ وبجمع الأطراف اليمنى نجد: 6س -2ص – س + 2ص = 6 + 4. بسط معادلة الجمع ثم استخدم أساسيات الجبر لإيجاد قيمة المتغير الأخير. انتقل للخطوة الأخيرة في هذا القسم إذا لم تتبق متغيرات بعد التبسيط، عدا عن ذلك يجب أن تحصل في النهاية على إجابة بسيطة لأحد متغيراتك. على سبيل المثال:   لديك 6س – 2ص – س + 2ص = 6 + 4. اجمع السينات والصادات معًا: 6س – س – 2ص + 2ص = 6 + 4. اختصر: 5س = 10 أوجد قيمة س: 5س/5 = 10/5 لذا فإن س = 2. لقد أوجدت أحد المتغيرين لكنك لم تنته بعد. عوِّض بإجابتك في إحدى المعادلات الأصلية حتى تتمكن من إيجد قيمة المتغير الآخر. على سبيل المثال:   تعلم أن س= 2 وإحدى المعادلات الأصلية هي 3س – ص =3. عوض عن س ب2 لتصبح 3(2) – ص = 3. أوجد قيمة ص في المعادلة: 6 – ص = 3 6 – ص + ص = 3 + ص لذا فإن 6 = 3 + ص ص = 3 يؤدي جمع معادلتين أحيانًا إلى حصولك على معادلة غير منطقية أو على الأقل غير مفيدة في حل المسألة. راجع حلك من البداية لكن إذا وجدت أنك لم ترتكب أي خطأ فاكتب إجابتك مما يلي:   "ليس هناك حل" للمعادلتين إذا جمعتهما وكان الناتج دون متغيرات وغير صحيح (مثل 2= 7). (إذا رسمتهما سترى مستقيمين متوازيين ولا يتقاطعان أبدًا). سيكون "هناك عدد لا نهائي من الحلول" إذا لم يكن هناك متغيرات في معادلتك بعد الجمع ولكنها صحيحة (مثل 0=0) وستكون المعادلتان متطابقتين في الحقيقة (أي أنك إذا رسمتهما فستجد المستقيم ذاته). يمكن حل العديد من أنظمة المعادلات تقريبيًا فقط بهذه الطريقة ما لم تكن تستخدم حاسوبًا أو آلة حاسبة للرسم البياني.  قد يطلب منك المعلم أو الكتاب استخدام هذه الطريقة حتى تألف رسم المعادلات كخطوط، كما يمكنك استخدامها للتأكد من إجابتك التي حصلت عليها من إحدى الطرق الأخرى.  تتمثل الفكرة الأساسية في رسم كلتا المعادلتين وإيجاد نقطة تقاطعهما. تعطينا قيم س وص عند هذه النقطة قيمة س وقيمة ص لنظام المعادلات. استخدم الجبر لتحويل المعادلتين إلى الصورة "ص = __س + __" مع إبقائهما منفصلتين.  على سبيل المثال:   معادلتك الأولى هي 2س + ص = 5. غيرها لتصبح ص = -2س + 5. معادلتك الثانية هي -3س + 6ص = 0. غيرها لتصبح 6ص = 3س + 0 ، ثم اختصرها إلى ص = 1/2 س + 0. سيصبح الخط كله "نقطة تقاطع" إذا تماثلت المعادلتان. اكتب "هناك عدد لا نهائي من الحلول". أحضر ورقة رسم بياني وارسم "محور ص" الرأسي و"محور س" الأفقي. ابدأ من نقطة تقاطعهما واكتب الأرقام 1 و2 و3 و4 إلخ مع الصعود على محور الصادات ثم يمينًا على محور السينات ثم ضع الأرقام -1 و-2... إلخ مع النزول على محور الصادات ثم يسارًا على محور السينات.   استخدم مسطرة للتأكد من مباعدة الأرقام مسافات صحيحة إذا لم تتوافر لديك ورقة الرسم البياني. قد تحتاج لاستخدام مقياس مختلف لرسمك البياني إذا كانت الأرقام كبيرة أو عشرية. (10 و20 و30 مثلًا أو 0,1 و0,2 و0,3 بدلًا من و2 و3.) يمكن أن تبدأ بالرسم البياني بعد أن تصبح المعادلة بالصورة "ص = __س + __" بأن ترسم نقطة تمثل تقاطع المستقيم مع محور الصادات وستكون قيمة الصادات دومًا مساوية للرقم الأخير في هذه المعادلة.   بالرجوع للأمثلة السابقة نجد أن المستقيم الأول (ص = -2س + 5) يتقاطع مع محور الصادات عند "5" بينما يتقاطع معه الآخر (ص = 1/2 + 0) عند "0"، (وهي النقاط (0,5) و(0,0) على الرسم البياني.) استخدام أقلامًا مختلفة الألوان إذا أمكنك لرسم المستقيمين. الرقم الموجود أمام س في المعادلة "ص = __س + __" هو "ميل" المستقيم، ومع كل مرة تزيد س بمقدار 1 تزيد ص بمقدار ميل المستقيم. استخدم هذه المعلومة لرسم نقطة من الخط عند س =1. (عوِّض عن س = 1 في المعادلات وأوجد قيمة ص بدلًا مما سبق.)   ميل المستقيم "ص = -2س + 5" هو "-2"في مثالنا، وعند س=1 ينزل المستقيم بمقدار 2 عن النقطة س=0. ارسم هذا الجزء من المستقيم الواقع بين (0,5) و(1,3). ميل المستقيم "ص = 1/2س + 0" هو"1/2" وعند س=1 يصعد المستقيم بمقدار 1/2 عنه عند النقطة س=0. ارسم الجزء الواقع بين (0,0) و(1,1/2) من المستقيم. لن يتقاطع المستقيمان أبدًا إذا كان ميلهما متساويًا لذا لن يكون هناك إجابة لنظام المعادلات. اكتب "لا يوجد حل". توقف وانظر لرسمك. انتقل للخطوة التالية إذا تقاطع المستقيمان وعدا عن ذلك اتخذ قرارك حسب حالتهما:   واصل وضع النقاط في اتجاه تقارب المستقيمين إذا كانا يتقاربان. أما إذا كانا يتباعدان، فانتقل لوضع النقاط في الاتجاه الآخر مع البدء من س = -1. جرب اتخاذ خطوة واسعة ورسم نقاط أبعد مثل س=10إذا لم يبدُ أن المستقيمين يتقاربان في مكان ما. ستصبح قيم س وص عند نقطة تقاطع المستقيمين إجابة مسألتك وإذا كنت محظوظًا، ستحصل على أرقام صحيحة. يتقاطع المستقيمان في مثالنا عند (2,1) مثلًا لذا ستكون الإجابة هي "س=2 وص=1". يتقاطع المستقيمان في بعض أنظمة المعادلات عند قيمة تقع بين رقمين صحيحين وما لم يكن الرسم الببياني بالغ الدقة فسيصعب أن تعرفها. يمكنك إذا حدث هذا أن تكتب "تقع س بين 1 و2" أو استخدم طريقة التعويض والحذف لإيجاد الإجابة الدقيقة.
انقل المتغيرات لأطراف المعادلة المختلفة. اقسم طرفي المعادلة لإيجاد قيمة س. عوض بهذه القيمة في المعادلة الأخرى. أوجد قيمة المتغير المتبقي. استخدم الإجابة لإيجاد قيمة المتغير الآخر. اعرف ما عليك فعله حين تلغي المتغيرات بعضها البعض. جد الحد المحذوف. اضرب إحدى المعادلات في رقم بحيث يحذف المتغير. اجمع المعادلتين. أوجد قيمة المتغير الأخير. أوجد قيمة المتغير الآخر. اعرف ما عليك فعله حين تلغي الحدود بعضها البعض. استخدم هذه الطريقة حين يطلب منك ذلك فقط. أوجد قيمة ص في كلتا المعادلتين. ارسم محاور الإحداثيات. ارسم تقاطع المستقيمين مع محور الصادات. استخدم الميل لإكمال الخطوط. استمر برسم نقاط المستقيمين حتى يتقاطعا. جد الإجابة عند نقطة التقاطع.
https://www.wikihow.com/Solve-Systems-of-Algebraic-Equations-Containing-Two-Variables https://www.wikihow.com/Solve-Systems-of-Algebraic-Equations-Containing-Two-Variables https://www.wikihow.com/Solve-Systems-of-Algebraic-Equations-Containing-Two-Variables
Using the Substitution Method Using the Elimination Method Graphing the Equations