了解这种计算的原理 反复估算来求立方根 解立方根例题
要理解这种算法为什么能算出立方根，首先需要回想一下二项式的立方展开是什么样子的。你可能在高中代数中学过这部分内容，但很可能像大多数人那样，已经忘得一干二净了。选择两个变量A{\displaystyle A}和B{\displaystyle B}来代表个位数。然后创造一个二项式(10A+B){\displaystyle (10A+B)}来代表两位数。 使用10A{\displaystyle 10A}项来创造一个两位数。无论为A{\displaystyle A}选择哪个个位数，10A{\displaystyle 10A}都会让这个个位数占据两位数的十位。例如，如果A{\displaystyle A}等于2，B{\displaystyle B}等于6，则(10A+B){\displaystyle (10A+B)}等于26。 这里我们在倒推算法，先计算立方，然后再研究算法能够求出立方根的原理。我们需要先算出(10A+B)3{\displaystyle (10A+B)^{3}}的值。将二项式连乘三次，即(10A+B)∗(10A+B)∗(10A+B){\displaystyle (10A+B)*(10A+B)*(10A+B)}。由于计算过程太长，不在此处罗列，最终结果等于1000A3+300A2B+30AB2+B3{\displaystyle 1000A^{3}+300A^{2}B+30AB^{2}+B^{3}}。 关于展开二项式，算出此结果的详细过程，请参考二项式相乘的相关知识。更高级、更便捷的算法，可以参考使用杨辉三角形计算(x+y)^n的相关内容。 你应该注意到了，立方根的计算过程很像长除法。在长除法中，你会得到两个因式，它们相乘后等于初始数字。而在本文描述的计算中，你要求得的数字是立方根，也就是根号上最终得到的数字。这意味着它代表了(10A+B)项。A和B的具体值无关紧要，重要的是要认识到它们与答案之间的关系。 仔细看展开后的多项式，你会发现立方根算法的作用原理。算法每一步的除数是你需要计算并加总的四项之和。这些项具体如下：  第一项包含1000这个系数。首先，你要为第一位数选择一个数字，使它的立方在长除法的范围以内。这个数字使二项展开式中的1000A^3项变成已知项。 二项展开式的第二项的系数等于300。300实际上是通过3∗102{\displaystyle 3*10^{2}}计算而得。回忆一下立方根的计算过程，每一步的第一位数都要乘以300。 立方根计算的每一步中，第二位数字都来自二项展开式的第三项。在二项展开式中，第三项是30AB^2。 每一步的最后一位数来自B^3项。 使用长除算法时，你完成的每一步都会让答案更加精确。例如，本文例题要求算出10的立方根。在第一步中，解是2，因为23{\displaystyle 2^{3}}接近10而小于10。但实际上23=8{\displaystyle 2^{3}=8}。经过第二轮计算后，你得到的解是2.1。算到这一步，2.13=9.261{\displaystyle 2.1^{3}=9.261}，更加接近目标值10。而在第三轮计算后，得到2.15，2.153=9.94{\displaystyle 2.15^{3}=9.94}。你可以根据自己的需要，继续以三位数为一组，计算更加精确的答案。 如果题目要求你计算任意数字的立方根，首先选择一个尽可能接近，但不超过目标数字的完全立方数。 例如，如果要计算600的立方根，回想一下，或查询立方表，你会发现83=512{\displaystyle 8^{3}=512}，而93=729{\displaystyle 9^{3}=729}。因此，600的立方根必定是8和9之间的某个数。你可以用512和729来限制解的大小范围。 使用特定的立方数知识可以得到首位数。要算出下一位数，你可以根据目标数在两个界限数之间的位置来估算一个0到9之间的数字。 例题中，600大约位于界限数512和729之间的中间位置。因此，选择5作为下一位数。 将刚刚估算出的数字连乘三次，看与目标数字有多接近。 本例题中，8.5∗8.5∗8.5=614.1{\displaystyle 8.5*8.5*8.5=614.1}。 算出之前估算值的立方后，用结果对比目标值，来进行检查。如果结果大于目标值，你就得稍微下调估算值。如果结果小于目标值，你可能需要上调估算值，直至它超过目标值。 例如，本题中8.53{\displaystyle 8.5^{3}}大于目标值600。因此，你应该将估算值下调至8.4。计算8.4的立方，与目标值进行比较。8.4∗8.4∗8.4=592.7{\displaystyle 8.4*8.4*8.4=592.7}。结果小于目标值。因此，你知道600的立方根必定大于8.4，而小于8.5。 你可以继续从0到9中进行选择，估算下一位数，直至答案达到你的精确度要求。每次估算时，先根据目标数在最新算出的界限数之间的位置来进行估算。 本例题中，根据之前的计算可知，8.43=592.7{\displaystyle 8.4^{3}=592.7}，而8.53=614.1{\displaystyle 8.5^{3}=614.1}。相比614，目标数600更接近592一点。因此下一次估算时，可以先选择0到9之间稍微小于中间数的数值。合理的猜测是4，所以估算的立方根是8.44。 你可以根据需要多次估算，然后计算估算值的立方，并与目标数进行比较。你会找到一个略微大于目标数的数字，以及一个略微小于目标数的数字。 本例题中，先计算8.44∗8.44∗8.44=601.2{\displaystyle 8.44*8.44*8.44=601.2}。它略高于目标数，所以将8.44降到8.43，再进行检验。而8.43∗8.43∗8.43=599.07{\displaystyle 8.43*8.43*8.43=599.07}。因此，你知道600的立方根大于8.43，而小于8.44。 根据需要，继续估算、比较和再次估算，重复这些步骤，直至解的精确度达到你的要求。注意，每多一位小数，目标数字就更接近实际数字。 以600的立方根为例，使用两位小数时，解为8.43，其真实立方值距离目标数的偏差小于1。如果继续算出三位小数的解，你会发现8.4343=599.93{\displaystyle 8.434^{3}=599.93}，偏差已不足0.1。 计算一个数字的立方根就像算一道长除法问题，只是有一些特殊的区别。第一步是以正确的形式列出问题算式。  写下你要计算立方根的数字。从小数点开始，三位数为一组。在本例题中，你要计算10的立方根。那就将10写成10.000 000。额外的0是为了保证解的精确度。 在数字上画一个立方根根号。它的作用和长除法的横线相同。唯一不同的地方是符号的形状。 在横线上点一个小数点，它应该位于初始数字小数点的正上方位置。 计算中你会用到这些数字。个位数的立方值如下：  13=1∗1∗1=1{\displaystyle 1^{3}=1*1*1=1} 23=2∗2∗2=8{\displaystyle 2^{3}=2*2*2=8} 33=3∗3∗3=27{\displaystyle 3^{3}=3*3*3=27} 43=4∗4∗4=64{\displaystyle 4^{3}=4*4*4=64} 53=5∗5∗5=125{\displaystyle 5^{3}=5*5*5=125} 63=6∗6∗6=216{\displaystyle 6^{3}=6*6*6=216} 73=7∗7∗7=343{\displaystyle 7^{3}=7*7*7=343} 83=8∗8∗8=512{\displaystyle 8^{3}=8*8*8=512} 93=9∗9∗9=729{\displaystyle 9^{3}=9*9*9=729} 103=10∗10∗10=1000{\displaystyle 10^{3}=10*10*10=1000} 选择一个数字，该数字的立方值应该在小于第一组三位数的前提下与之最为接近。  在本例题中，第一组的三位数是10。找到小于10而又最接近10的整数立方值。该立方值为8，它的立方根是2。 在根号横线上、数字10的上方写下数字2。在数字10的下方写下23{\displaystyle 2^{3}}的值，也就是8，画一条横线，用10减去8，就做长除法一样。结果等于2。 相减后，你就会得出解的第一位数字。你需要判断一下，这个第一位数字是否是足够精确的结果。大部分情况下，它都不够精确。要进行判断，你可以计算该个位数的立方值，看它是否足够接近你想要的结果。本题中，由于23{\displaystyle 2^{3}}等于8，还不太接近10，所以你应该继续计算。 将下一组三位数抄到余数后，在所得数字的左边画一条垂直的短线。它将是用来计算立方根下一位数的基数。本例题中，这个数字是2000，由之前减法所得的余数2和抄下的三个一组的0组成。 在垂直线段的左边算出下一个除数，这个除数是三个单独数字的和。画三条彼此之间带有加号的空下划线，为这些数字留出空格。 要计算这个除数的第一部分，写下300乘以根号上数字的平方。本例题中，根号上的数字是2，2^2等于4，而4*300=1200。所以，在第一个空格写1200。这一步的除数等于1200加上你之后会算出的某个数。 选择一个数字乘以大概的除数1200，使之能够被余数2000减去，这个数就是解的下一位数字。这个数字只能是1，因为2乘以1200等于2400，大于2000。在根号上的下一个空格写下数字1。 此步骤的除数由三部分组成。第一部分是你已经算出的1200。你还需要两个数字来得到完整的除数。  现在，用3乘以10乘以根号上解得的那两位数字。在本例题中，也就是用3*10*2*1，等于60。用60加上已经得到的1200，等于1260。 最后，加上最后一位数的平方。本例题中，最后一位数是1，而1^2仍然为1。所以，完整的除数等于1200+60+1，即1261。在垂直线段的左边写下这个数字。 要完成这一步计算，你需要用解的最后一位数乘以刚刚算出的除数，在本例题中，也就是用1乘以1261。1*1261 =1261。在2000的下方写下这个数字，然后做减法，得到739。 完成每一步的减法部分后，你都需要考虑自己的解是否足够精确。第一步减法后算出的解是2，对于10的立方根而言，不是很精确。现在，第二步算出的解是2.1。  你可以计算2.1*2.1*2.1，来检查解的精确度。结果等于9.261。 如果觉得解已经足够精确，你可以就此停止。如果还想得到更精确的解，那么你必须继续下一步的计算。 本例题中，为了得到更多练习和更精确的解，请重复如下步骤，做下一步计算：  将下一组的三位数拉下来。本题中，这组数是三个0，放到余数739后面，得到739,000。 要计算除数，先用300乘以当前根号上数字的平方。即300∗212{\displaystyle 300*21^{2}}，等于132,300。 选择解的下一位数，使之乘以132,300后小于余数739,000。这个数字应该是5，因为5*132,300=661,500。将5写到根号上的下一个空格处。 用3乘以之前根号上的数字21，乘以你刚刚写下的数字5，再乘以10，得到3∗21∗5∗10=3,150{\displaystyle 3*21*5*10=3,150}。 最后，计算最后一位数的平方值。52=25{\displaystyle 5^{2}=25}。 将除数的各部分相加，得到132,300+3,150+25=135,475。 完成这一步计算并使解增加一位数后，按以下步骤继续进行：  用除数乘以解的最后一位数。135475*5=677,375。 做减法。739,000-677,375=61,625。 考虑解2.15是否足够精确。计算2.15的立方，2.15∗2.15∗2.15=9.94{\displaystyle 2.15*2.15*2.15=9.94}。 根号上的结果就是立方根，此时已经得出了较为准确的三位数。在本例题中，10的立方根等于2.15。要进行验证，可以计算2.15^3，结果得到9.94，非常接近10。如果你需要更精确的答案，可以继续计算下去，直至满意为止。
回顾二项展开式。 展开二项式的三次方。 认识长除算法的含义。 回顾展开的版本。 看着精确度不断上升。 使用立方数来确定上限和下限。 估算下一位数。 计算立方值来验证自己的估算。 根据需要调整估算值。 估算下一位数，求出更精确的答案。 继续检验自己的估算并做出调整。 继续估算，直至达到你想要的精确度。 列出问题算式。 知道个位数的立方值。 算出解的第一位数。 列式计算下一位数。 算出下一个除数的开始部分。 算出立方根的下一位数字。 确定除数的剩余部分。 先乘再减。 判断是否需要继续计算，以获得更精确的结果。 算出下一步的除数。 用除数乘以解的最后一位数字。 写下你的最终答案。
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Understanding How this Calculation Works Finding Cube Roots by Repeated Estimation Working Through a Sample Cube Root Problem