对二项式进行因式分解 分解二项式来解方程 处理更复杂的问题
因数分解是将一个大数分解成几个最简单的可除部分。每个部分被称为“因数”。例如，数字6可以被分解为四个不同的数字：1、2、3和6。因此，6的因数有1、2、3、6。  32的因数有1、2、4、8、16、32。 数字“1”和你分解的数字本身必定是因数。因此，像3这样的小数字的因数只有1和3。 因数只包括可以整除的数字，即“整数”。你可以用3.564或21.4952去除32，但它们不构成32的因数，仅仅是一个小数。 二项式是两个数字在做加法或减法，其中至少一个数字含有一个变量。有时，变量会有指数，如x2或5y4。分解二项式时，你可以先按变量升序来重新排列方程式，即将指数最大的项放到最后。例如：   3t + 6  →  6 + 3t    3x4 + 9x2  →  9x2 + 3x4    x2 - 2  →  -2 + x2 注意，2前面的负号在重新排序后得到了保留。如果项是减数，重新排序时请保留前面的负号。 这意味着你要找到能同时整除二项式两项的最大数字。如果觉得很难，只要分别将两个数字因数分解，然后找到最大的匹配数字即可。例如：  练习题：3t + 6。  3的因数：1，3 6的因数：1, 2, 3, 6。 最大公因数为3。 知道公因数后，你需要将它从各项中约去。但是请注意，你要做的只是将各项分解，对它们做简单的除法。如果你找到的最大公因数是正确的，那么两项都会有这个因数：   练习题：3t + 6。  求最大公因数：3  从两项中约去因数：3t/3 + 6/3 = t + 2 在上一道练习题中，你约去3之后，得到t + 2。但是，约去3只是为了简化问题，并不是说问题与3不再有任何关系。你不能让一个数字凭空消失，它必须重新出现在表达式中！最后，用因数乘以表达式。例如：   练习题：3t + 6   求最大公因数：3  从两项中约去因数：3t/3 + 6/3 = t + 2   用因数乘以新表达式：3(t + 2)  因式分解后的最终答案：3(t + 2) 如果每一步都正确，那么检查结果是否正确就很简单了。用因数乘以括号内的各项即可。如果所得结果与初始的未分解二项式一样，说明因式分解是正确的。写下分解表达式12t + 18的全过程，来练习因式分解：   重新排列两项的顺序：18 + 12t   找出最大公因数：6   从两项中约去因数：18t/6 + 12t/6 = 3 + 2t   用因数乘以新表达式：6(3 + 2t)   检查答案：(6 * 3) + (6 * 2t) = 18 + 12t 解含有二项式的方程，尤其是含有复杂二项式的方程时，可能看上去没办法找到所有项的公因数。例如，试着解{{{1}}}。对于这类方程，尤其是带指数的方程，一种解法是先做因式分解。   练习题：5y - 2y2 = -3y  记住，二项式必须只包含两项。如果项数多于二，你就必须用到解多项式的相关知识。 这种方法完全依赖于数学中最基本的事实之一：任何数乘以零都等于零。所以，如果方程式等于零，那么因式项之一必定等于零。首先，做加减法让一边等于零。   练习题：5y - 2y2 = -3y   使等式等于零：5y - 2y2 + 3y = -3y + 3y 8y - 2y2 = 0 在这一步中，你可以当方程式的另一边不存在。找到最大公因式，用它去除方程式，得到分解后的表达式。   练习题：5y - 2y2 = -3y   使等式等于零：8y - 2y2 = 0    因式分解：2y(4 - y) = 0 练习题中，表达式可写为2y乘以4 - y，结果等于零。由于任何数乘以零都等于零，这意味着2y或4-y等于0。生成两个单独的方程，求出使它们等于零的y值。   练习题：5y - 2y2 = -3y   使等式等于零：8y - 2y2 + 3y = 0    因式分解：2y(4 - y) = 0    设两个因式等于0：   2y = 0  4 - y = 0 答案可能有一个或多个。记住，只要一个因式等于零就能让方程成立，所以同一个方程式的解可能有几个不同的y值。解练习题的最后步骤：    2y = 0  2y/2 = 0/2 y = 0     4 - y = 0   4 - y + y = 0 + y y = 4 如果你得到的y值是正确的，那么它们应该能使方程成立。如下文所示，验算非常简单，将每个值代入到变量中即可。由于答案是y = 0和y = 4：   5(0) - 2(0)2 = -3(0)  0 + 0 = 0  0 = 0 所以，这个答案是正确的     5(4) - 2(4)2 = -3(4)  20 - 32 = -12  -12 = -12 所以，这个答案也是正确的。 记住，因式分解是找出能够整除方程式的因式。表达式x4是x*x*x*x的另一种写法。这意味着如果其他项也含有x，那么你可以使用x来进行因式分解。你应该将变量视为普通的数字。例如：  由于两项都包含t，所以2t + t2可被因式分解，分解后的答案等于t(2 + t)。 你甚至可以一次提取多个变量。例如，在x2 + x4中，两项都包含相同的x2。你可以将之分解为x2(1 + x2)。 以表达式6 + 2x + 14 + 3x为例，它看上去有四项，但细看后你会发现，实际上只有两项。你可以合并同类项，由于6和14都没有变量，而2x和3x拥有相同的变量，所以它们都可以互相合并。之后的因式分解就很简单了：   初始问题：6 + 2x + 14 + 3x   重新排列各项：2x + 3x + 14 + 6   合并同类项： 5x + 20   求最大公因数：5(x) + 5(4)   因式分解：5(x+4) 完全平方数指的是平方根是一个整数的数字，例如9等于3 * 3，x2等于x * x，甚至144t2也是完全平方数，因为它等于12t * 12t。如果二项式是两个完全平方数（式）的减法问题，如a2 - b2，那么你只需要将它们代入到以下公式即可：   完全平方差公式：a2 - b2 = (a + b)(a - b)   练习题：4x2 - 9   求平方根  √4x2 = 2x √9 = 3   将平方代入到公式中： 4x2 - 9 = (2x + 3)(2x - 3) 和完全平方一样，两个立方项相减时，也有一个简单的公式。例如，a3 - b3。和之前一样，你只用求出各项的立方根，然后将它们代入到公式中即可：   完全立方差公式：a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)   练习题：8x3 - 27   求立方根：  ∛8x3 = 2x ∛27 = 3   将立方代入到公式中： 8x3 - 27 = (2x - 3)(4x2 + 6x + 9) 和完美平方差不同，你可以用一个简单的公式，轻松地分解a3 + b3这样的立方和表达式。它和立方差公式几乎相同，只是加减号略有区别。这个公式写出来和其他两个公式一样简单，你需要认出题目中的两个立方项，然后套用公式就可以了：   完全立方和公式：a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)   练习题：8x3 - 27   求立方根：  ∛8x3 = 2x ∛27 = 3   将立方代入到公式中： 8x3 - 27 = (2x + 3)(4x2 - 6x + 9)
回顾因数分解的基础知识。 将二项式的各项放到合适位置，使之便于一目了然。 找到两项的最大公因数。 两项分别除以最大公因数。 最后，用因数乘以所得表达式。 用因数乘以括号内的各项，看结果是否等于初始方程式。 使用因式分解来简化方程，使之更容易求解。 做加法或减法，让方程式的一边等于零。 像平时那样，对方程式不为零的那一边做因式分解。 设括号内和括号外的因式等于零。 解这两个等于零的方程，得到最终答案。 将答案代入到原方程式中，看是否正确。 记住，变量，甚至是带指数的变量，都算作因式。 合并同类项，将未简化的二项式转化为二项式形式。 识别特殊的“完全平方差”。 学会分解“完全立方差公式”。 知道完美立方和也有一个公式。
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