표본의 분산 계산 총 모집단의 분산 계산
대부분의 경우 통계학자는 표본 또는 연구중인 모집단의 일부 자료만 다룰 수 있습니다. 예를 들어 통계학자는 "독일의 모든 자동차 가격" 자료를 분석하는 대신 몇 천대의 자동차에 대한 표본의 비용을 찾을 수 있습니다. 독일 자동차 비용 전체를 충분히 추정할 수 있지만 실제 수치와 정확히 일치하지는 않습니다.   예: 카페테리아에서 매일 판매되는 머핀 수를 분석하려면, 6일동안 무작위로 표본을 채집하여 다음의 결과를 얻습니다. 38, 37, 36, 28, 18, 14, 12, 11, 10.7, 9.9. 카페테리아가 개장한 후 매일 데이터를 수집한 것이 아니기 때문에 이것은 전체 자료가 아닌 표본입니다.  모집단의 모든 데이터가 있는 경우 아래의 방법으로 넘어가세요. 데이터 세트의 분산은 데이터 내의 자료가 얼마나 분산되어 있는지 알려줍니다. 분산이 0에 가까울수록 자료들이 더 밀접하게 모여 있습니다. 표본 데이터 세트로 작업을 할 때는 다음 공식을 사용하여 분산을 계산하세요   s2{\displaystyle s^{2}} = ∑[(xi{\displaystyle x_{i}} - x̅)2{\displaystyle ^{2}}]/(n - 1)   s2{\displaystyle s^{2}}가 분산입니다. 분산은 항상 제곱 단위로 계산됩니다.  xi{\displaystyle x_{i}} 은 데이터 집합의 항을 나타냅니다. "합"을 의미하는 ∑는 xi{\displaystyle x_{i}}의 각 값에 대해 다음 항을 계산한 다음 함께 더하라는 의미입니다. x̅는 표본의 평균입니다. n은 데이터 포인트의 수입니다. . 기호 x̅ 또는 "x-바"는 샘플의 평균을 나타냅니다. 평균을 구하는 식을 이용해 계산하십시오. 모든 데이터 포인트를 함께 더한 다음 데이터 포인트의 수로 나눕니다.   예: 먼저 데이터 포인트를 더합니다: 17 + 15 + 23 + 7 + 9 + 13 = 84다음으로 합을 데이터 포인트 의 수(이 경우 6)로 나눕니다: 84 ÷ 6 = 14.샘플 평균 = x̅ = 14. 평균을 데이터의 "중심점"으로 생각할 수 있습니다. 데이터가 평균 주위에 모였다면, 분산은 낮고, 평균에서 멀어지면 분산이 높은 것입니다. 이제 xi{\displaystyle x_{i}} -x̅를 계산해야 합니다. 여기서 xi{\displaystyle x_{i}} 는 데이터 세트의 각 숫자입니다. 각 답변은 평균과의 편차 또는 간단히 평균에서 얼마나 멀리 떨어져 있는지 알려줍니다..   예:x1{\displaystyle x_{1}} - x̅ = 17 - 14 = 3x2{\displaystyle x_{2}} - x̅ = 15 - 14 = 1x3{\displaystyle x_{3}} - x̅ = 23 - 14 = 9x4{\displaystyle x_{4}} - x̅ = 7 - 14 = -7x5{\displaystyle x_{5}} - x̅ = 9 - 14 = -5x6{\displaystyle x_{6}} - x̅ = 13 - 14 = -1 모든 편차의 합은 0이므로 계산을 쉽게 확인할 수 있습니다. 평균의 정의에 따라, 음수 편차(평균보다 작은 숫자까지의 거리)가 양수 편차(평균보다 큰 수까지의 거리)를 정확하게 없애기 때문입니다. 위에서 언급했듯이 현재 편차 목록(xi{\displaystyle x_{i}} -x̅)의 합계는 0입니다. 즉, "평균 편차"도 항상 0이므로 데이터가 얼마나 분산되었는지에 대해서는 아무 것도 알려주지 않습니다. 이 문제를 해결하려면 각 편차의 제곱을 찾으십시오. 이렇게 하면 모두 양수가 되므로 음수 및 양수 값은 더 이상 0으로 상쇄되지 않습니다.   예: (x1{\displaystyle x_{1}} - x̅)2=32=9{\displaystyle ^{2}=3^{2}=9}(x2{\displaystyle (x_{2}} - x̅)2=12=1{\displaystyle ^{2}=1^{2}=1}92 = 81(-7)2 = 49(-5)2 = 25(-1)2 = 1 표본의 각 데이터 포인트에 대해 (xi{\displaystyle x_{i}} -x̅)2{\displaystyle ^{2}}를 구했습니다. 이제 전체 수식의 분자를 계산할 차례입니다: ∑[(xi{\displaystyle x_{i}} - x̅)2{\displaystyle ^{2}}]. 대문자 시그마 ∑는 xi{\displaystyle x_{i}}의 각 값에 대해 다음 항의 값을 합산하라는 뜻입니다. 이미 표본에서 xi{\displaystyle x_{i}} 의 각 값에 대해 (xi{\displaystyle x_{i}} -x̅)2{\displaystyle ^{2}}을 계산했으므로 결과를 함께 합하기만 하면 됩니다.  예: 9 + 1 + 81 + 49 + 25 + 1 = 166. 여기서 n은 데이터 포인트 개수입니다. 오래 전에 통계학자들은 표본의 분산을 계산할 때 단순히 n으로 나눴습니다. 이는 제곱 편차의 평균값을 제공하며, 해당 표본의 분산을 구하는 것입니다. 그러나 표본은 더 많은 데이터의 추정치일 뿐입니다. 다른 임의의 표본을 취하여 동일한 계산을 수행하면 다른 결과를 얻을 수 있습니다. 알려진 바에 따르면 n 대신 n-1로 나누면 더 큰 자료의 분산을 더 잘 추정할 수 있습니다. 이 특징은 아주 일반적이어서 오늘날 표본 분산의 정의가 되었습니다.  예: 표본에 데이터 포인트가 6개 있으므로, n = 6.표본의 분산 = s2=1666−1={\displaystyle s^{2}={\frac {166}{6-1}}=} 33.2 수식에 지수가 있으므로 분산은 원래 데이터의 제곱 단위로 측정됩니다. 이 숫자를 직관적으로 이해하기 어려울 수 있습니다. 대신 표준 편차를 사용하는 것이 종종 유용합니다. 표준 편차는 편차의 제곱근이므로, 편차를 배우느라 고생한 것을 써먹으면 됩니다. 표본의 분산이 s2{\displaystyle s^{2}}이고 샘플의 표준 편차가 s{\displaystyle s}인 이유입니다. 예를 들어, 위의 표본 표준 편차는 = s = √33.2 = 5.76입니다. "모집단"이라는 용어는 전체 관련 데이터를 나타냅니다. 예를 들어, 인천 시민의 나이를 연구하는 경우, 모집단은 모든 인천 시민의 나이를 의미합니다. 일반적으로 이와 같은 큰 데이터 세트에는 스프레드시트를 사용하지만, 지금은 작은 데이터 세트를 예로 들겠습니다.  예: 수족관 하나에 정확히 6개의 어항이 있습니다. 여섯 개의 어항에는 각자 다음과 같은 수의 물고기가 있습니다: x1=5{\displaystyle x_{1}=5}x2=5{\displaystyle x_{2}=5}x3=8{\displaystyle x_{3}=8}x4=12{\displaystyle x_{4}=12}x5=15{\displaystyle x_{5}=15}x6=18{\displaystyle x_{6}=18} 모집단에 필요한 모든 데이터가 포함되어 있으므로, 이 공식은 모집단의 정확한 분산을 계산합니다. 표본 분산(추정치)과 구별하기 위해 통계학자들은 다른 변수를 사용합니다.  σ2{\displaystyle ^{2}} = (∑(xi{\displaystyle x_{i}} - μ)2{\displaystyle ^{2}})/n  σ2{\displaystyle ^{2}} = 모집단 분산입니다. 이것은 소문자 시그마이며, 제곱입니다. 분산은 제곱 단위로 측정됩니다.  xi{\displaystyle x_{i}} 은 데이터 집합의 항을 나타냅니다. ∑ 안의 항은 xi{\displaystyle x_{i}}의 각 값에 대해 계산 한 후 합산됩니다. μ는 모집단 평균입니다 n은 모집단의 데이터 포인트 수입니다. 모집단을 분석할 때 기호 μ("mu")는 산술 평균을 나타냅니다. 평균을 구하려면 모든 데이터 포인트를 더한 다음 데이터 포인트의 개수로 나눕니다.  여기서 "평균"을 일반적 평균으로 생각할 수 있지만, 평균이라는 단어는 수학에서 여러 정의를 가지고 있으므로 주의하십시오.  예: 평균 = μ = 5+5+8+12+15+186{\displaystyle {\frac {5+5+8+12+15+18}{6}}} = 10.5 평균에 가까운 데이터 포인트는 0에 가까운 차이를 가집니다. 각 데이터 포인트로 빼기를 반복하면 데이터가 얼마나 분산되어 있는지 알 수 있습니다.  예:x1{\displaystyle x_{1}} - μ = 5 - 10.5 = -5.5x2{\displaystyle x_{2}} - μ = 5 - 10.5 = -5.5x3{\displaystyle x_{3}} - μ = 8 - 10.5 = -2.5x4{\displaystyle x_{4}} - μ = 12 - 10.5 = 1.5x5{\displaystyle x_{5}} - μ = 15 - 10.5 = 4.5x6{\displaystyle x_{6}} - μ = 18 - 10.5 = 7.5 현재 이전 계산 결과의 일부 숫자는 음수이고 일부는 양수입니다. 데이터를 숫자 줄에 그림으로 표시하면 이 두 범주는 평균의 왼쪽 숫자와 평균의 오른쪽 숫자를 나타냅니다. 이 두 수 그룹은 서로 상쇄되므로 분산 계산에는 적합하지 않습니다. 각 숫자를 제곱하여 모두 양수로 만듭니다.  예:(xi{\displaystyle x_{i}} - μ)2{\displaystyle ^{2}} 1에서 6까지 i의 모든 값을 계산합니다:(-5.5)2{\displaystyle ^{2}} = 30.25(-5.5)2{\displaystyle ^{2}} = 30.25(-2.5)2{\displaystyle ^{2}} = 6.25(1.5)2{\displaystyle ^{2}} = 2.25(4.5)2{\displaystyle ^{2}} = 20.25(7.5)2{\displaystyle ^{2}} = 56.25 이제 데이터 포인트가 평균에서 얼마나 멀리 떨어져 있는지에 대한 값을(간접적으로) 구했습니다. 이 값을 모두 더한 다음, 데이터 개수로 나누어 평균을 구하십시오.  예:모집단의 분산 = 30.25+30.25+6.25+2.25+20.25+56.256=145.56={\displaystyle {\frac {30.25+30.25+6.25+2.25+20.25+56.25}{6}}={\frac {145.5}{6}}=} 24.25 이 방법의 처음에 있던 수식과 이 값이 어떻게 맞는지 모르겠다면, 전체 수식을 전체적으로 작성해 보십시오.  평균과 제곱 편차의 값을 구하고 난 후, (x1{\displaystyle x_{1}} - μ)2{\displaystyle ^{2}}, (x2{\displaystyle x_{2}} - μ)2{\displaystyle ^{2}}와 같은 값이 (xn{\displaystyle x_{n}} - μ)2{\displaystyle ^{2}}까지 있을 것이며, xn{\displaystyle x_{n}}가 마지막 데이터입니다. 이 값의 평균을 구하려면 값을 합산하여 n으로 나눕니다: ( (x1{\displaystyle x_{1}} - μ)2{\displaystyle ^{2}} + (x2{\displaystyle x_{2}} - μ)2{\displaystyle ^{2}} + (xn{\displaystyle x_{n}} -μ)2{\displaystyle ^{2}} ) / n 분자를 시그마 표기로 다시 적은 결과는 (∑(xi{\displaystyle x_{i}} - μ)2{\displaystyle ^{2}})/n이며, 이는 분산 공식입니다.
표본 데이터 세트를 작성하십시오. 샘플 분산 수식을 작성합니다. 표본의 평균을 계산합시다 각 데이터 포인트에서 평균을 뺍니다. 각 결과를 제곱합니다. 제곱 값의 합을 구하십시오. n - 1로 나눕니다. 분산과 표준 편차를 이해합니다. 모집단 데이터 세트로 시작하십시오. 모집단 분산 공식을 씁니다. 모집단의 평균을 찾으십시오. 각 데이터 포인트에서 평균을 뺍니다. 각 결과를 제곱합니다. 결과의 평균을 찾으십시오. 계산 결과를 공식에 다시 적용시킵니다.
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Calculating Variance of a Sample Calculating Variance of a Population