접선의 방정식 구하기 관련 문제 풀기
그래프는 문제를 풀 때 답이 맞는지 확인할 수 있어 좋아요. 그래프 모눈 종이 위에 필요하다면 그래프 계산기를 참고하여 함수를 그리세요. 주어진 점에서의 접선을 그리세요(명심하세요, 접선은 주어진 점을 지나며 그 점에서의 기울기를 가집니다.)   예제 1: 포물선 f(x)=0.5x2+3x−1{\displaystyle f(x)=0.5x^{2}+3x-1}을 그리세요. 점 (-6, -1)을 지나는 접선을 그리세요. 아직 접선의 방정식을 모르지만 기울기가 음수라는 것을 알 수 있죠. 또한 y절편이 음수 값(포물선의 꼭지점 아래로 내려가 y값이 -5.5)인 것도 알 수 있어요. 최종 답이 이를 만족하지 않는다면 어디서 실수를 했는지 확인해볼 수 있어요. 함수 f(x)의 미분 값인 f'(x)은 함수 f(x) 위의 한 점에서 그은 접선의 기울기 값을 의미합니다: 이를 구하는 데에는 여러 가지 방법이 존재합니다. 멱의 법칙을 사용하는 간단한 예가 있습니다.  예제 1 (cont.): 함수의 그래프는f(x)=0.5x2+3x−1{\displaystyle f(x)=0.5x^{2}+3x-1}입니다. 멱의 법칙을 떠올리며 미분하세요: ddxxn=nxn−1{\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}}.함수 미분 = f'(x) = (2)(0.5)x + 3 - 0.f'(x) = x + 3. 방정식의 x에 임의의 값 a를 넣으세요. 이 값은 함수 f(x) 위의 점 x=a에서 그은 접선의 기울기입니다. 문제를 읽은 뒤 접선을 긋는 점의 x좌표를 알아내세요. f'(x)에 x값을 넣으세요. 결과 값이 바로 그 점에서의 접선의 기울기입니다.   예제 1 (계속): 문제에서 주어진 점은 (-6, -1)입니다. x좌표 -6을 f'(x)에 넣으세요:f'(-6) = -6 + 3 = -3 접선의 기울기는 -3입니다. 직선 방정식의 점-기울기 형태는 y−y1=m(x−x1){\displaystyle y-y_{1}=m(x-x_{1})}입니다. m은 기울기를 나타내고 (x1,y1){\displaystyle (x_{1},y_{1})}는 직선 위의 점입니다. 이제 당신은 이런 형태의 접선의 방적식을 만들기 위한 모든 정보를 다 가지고 있습니다.   예제 1 (cont.): y−y1=m(x−x1){\displaystyle y-y_{1}=m(x-x_{1})} 직선의 기울기는 -3, 그러므로 y−y1=−3(x−x1){\displaystyle y-y_{1}=-3(x-x_{1})} 접선은 점 (-6, -1)을 지납니다, 그러므로 최종 방정식은 y−(−1)=−3(x−(−6)){\displaystyle y-(-1)=-3(x-(-6))} 정리하면 y+1=−3x−18{\displaystyle y+1=-3x-18}y=−3x−19{\displaystyle y=-3x-19} 그래프 계산기가 있다면 기존 함수를 그리고 접선도 그려서 답이 맞는지 확인해보세요. 종이에 과정을 썼다면 원래 그래프를 보며 눈이 띄는 실수를 하지 않았는지 확인하세요.  예제 1 (cont.): 기존 그림을 보면 접선의 기울기는 음수 값입니다. 그리고 y절편은 -5.5보다 작은 값입니다. 우리가 구한 접선 방정식은 기울기-절편 형태로는 y = -3x - 19이고, 이는 기울기가 -3이고 y절편이 -19이라는 뜻입니다. 이 특성들을 통해 기존 예상 결과 값과 비교해볼 수 있죠. 모든 필요 과정을 다시 거칩니다. 이번 에는, x = 2에서 f(x)=x3+2x2+5x+1{\displaystyle f(x)=x^{3}+2x^{2}+5x+1}의 접선 방정식을 구합니다:  멱의 법칙을 사용하여 미분 값을 구하면 f′(x)=3x2+4x+5{\displaystyle f'(x)=3x^{2}+4x+5}입니다. 이 함수는 접선의 기울기를 말해줄 겁니다. x = 2에서의 값을 찾으면 f′(2)=3(2)2+4(2)+5=25{\displaystyle f'(2)=3(2)^{2}+4(2)+5=25}. 이 값이 x=2에서의 기울기 값입니다. 이번에는 점이 아니라 x좌표만 주어졌다고 합시다. y좌표를 찾으려면 원래 함수에 x=2를 넣으세요: f(2)=23+2(2)2+5(2)+1=27{\displaystyle f(2)=2^{3}+2(2)^{2}+5(2)+1=27}. 좌표는 (2,27)입니다. 접선 방정식을 점-기울기 형태로 적으세요: y−y1=m(x−x1){\displaystyle y-y_{1}=m(x-x_{1})}y−27=25(x−2){\displaystyle y-27=25(x-2)} 필요하다면, 정리하세요. y = 25x - 23. . 이 점은 그래프가 최고점(각 앞뒤 좌표보다 높이 위치한 점)에 달했을 때나 최소점(각 앞뒤 좌표보다 낮게 위치한 점)에 달했을 때를 말합니다. 이 점에서의 기울기는 항상 0입니다 (수평선). 하지만 기울기가 0이라고 꼭 극점인 것은 아닙니다. 어떻게 찾는지 보세요:  함수를 한 번 미분해서 f'(x)를 구하세요. 접선의 기울기 식이죠. f'(x) = 0을 만족하는 값을 찾아서 잠정적인 극점을 구하세요. 미분을 한 번 더 해서 f''(x)를 구하세요. 접선의 기울기가 빨리 변하는지를 알려주는 식입니다. 각 가능한 극점에서 f''(x)에 x좌표 a를 대입하세요. 만약 f''(a)이 양수라면 a에서 그 근처 최소값이 존재합니다. 만약 f''(a)이 음수라면 최대값이 존재합니다. 만약 f''(a)이 0이라면, 극점이 아니라 변곡점이라는 뜻입니다.  a에서 최소값 또는 최대값을 보인다면, f(a)를 찾아 y좌표를 찾아내세요. 어떤 특정한 점을 지나는 지점의 기울기에 대한 법선은 그 점을 지납니다. 하지만 접선과 수직입니다. 법선의 방정식을 찾으려면, (접선의 기울기)(법선의 기울기) = -1이라는 사실을 이용하세요. 그래프 위의 같은 점을 지납니다.  다른 말로:  f'(x)을 찾으세요, 접선 기울기 식입니다. x = a인 점이라면, f'(a)를 찾아 그 점에서의 접선 기울기를 찾으세요.  −1f′(a){\displaystyle {\frac {-1}{f'(a)}}}를 계산하여 법선의 기울기를 찾으세요. 법선 방정식을 기울기-좌표 형태로 쓰세요.
함수와 접선을 그리세요(그리는 걸 추천해요). 접선의 방정식의 기울기를 미분하여 구하세요. 구하는 x 값의 좌표를 넣으세요. 접선 방정식을 점 경사 형태로 적으세요. 그래프를 보고 식이 맞나 확인하세요. 더 어려운 문제를 풀어보세요. 함수의 극점 찾기 법선의 방정식 찾기.
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Finding the Equation of a Tangent Line Solving Related Problems