두 분수를 교차로 곱해 대소 비교하기 1보다 큰 가분수 정렬하기 일반적인 분수 정렬하는 법
이번에는 3/5과 2/3를 비교하려고 한다. 일단 비교하기 쉽게 나란히 옆에 써준다. 위 그림처럼 3/5를 왼쪽에, 2/3을 오른쪽에 써 보자. 위 그림을 보면 쉽게 이해할 수 있는데. 첫 번째 분수 (3/5)의 분자 3과 두 번째 분수 (2/3)의 분모 3을 곱하면 된다. 3 x 3 = 9가 나오는 것을 알 수 있다. 이 방법을 교차 곱셈이라고 부른다. 대각선으로 두 숫자를 곱하기 때문이다. 곱한 값을 위 그림처럼 첫 번째 분수 옆에 작게 쓰도록 하자. 우리가 구한 값은 3 x 3 = 9이므로 옆에 작게 9 라고 쓰면 된다. 아무래도 왼쪽에 쓰는 것이 보기 쉬울 것이다. 어떤 분수가 더 큰지 확인하기 위해 우리는 아까 위해서 구한 숫자를 다른 교차 곱셈의 결과와 놓고 비교할 필요가 있다. 이제 같은 방식으로 두 숫자를 위 그림을 참고해 곱하도록 하자. 3/5와 2/3에서 두 번째 교차 곱셈을 하려면 2와 5를 곱하면 된다. 이제 교차곱을 해서 나온 값을 두 번째 분수 오른쪽에 위 그림처럼 적도록 하자. 우리는 2와 5를 곱했기 때문에 10이 나왔다. 이렇게 대각선으로 곱해 얻은 곱셈의 결과를 교차곱이라고 부른다. 이제 두 값을 비교해보자. 간단히 말하자면 교차곱의 값이 더 큰 쪽의 분수가 더 크다. 우리가 방금 구한 두 교차곱의 값은 왼쪽이 9, 오른쪽이 10이므로 2/3이 3/5보다 더 크다는 말이 된다. 교차곱의 값을 쓸 때 헷갈리지 않도록 주의한다. 분자를 곱한 쪽 옆에 써야 한다. 두 분수를 비교하기 위해서는 분모를 같게 만들 필요가 있다. 사실 교차곱은 이 과정을 교묘히 비틀어 한 것에 불과하다. 교차곱을 통해 분수를 비교하는 과정에서는 실제로 분모를 써서 공분모로 바꾸고 비교하는 과정을 넘겨 빠르게 계산한 것이다. 이 과정은 우리에게 주어진 분수가 2개 밖에 없기 때문에 가능한 것이다. 즉, 우리가 이번에 비교한 3/5과 2/3의 경우에는 분수가 2개 뿐이기에 교차곱을 통해 빠르게 계산한 것이다:  3/5=(3x3)/(5x3)=9/15 2/3=(2x5)/(3x5)=10/15 9/15 < 10/15 따라서 3/5 < 2/3 가분수는 분수의 위쪽에 위치한 숫자인 분자가 아랫쪽에 위치한 숫자인 분모보다 큰 분수를 의미한다. 예를 들면 8/3같은 것이 있겠다. 추가적으로, 이 방법은 1과 같은 값을 가지는 분수, 즉 분모와 분자 값이 같은 9/9같은 분수에도 적용할 수 있다. 이 두 가지 형태의 분수를 통틀어 가분수라고 칭한다. 가분수 형태의 분수도 위에서 쓴 방법을 사용해 크기 순으로 정렬할 수 있다. 하지만 여기서 설명할 방법이 더 빠르고 효율적일 것이다. 먼저 가분수를 대분수로 바꿔야 한다. 물론 암산으로 할 수도 있겠지만 약간 풀어 써보자면 분모를 분수로 나눴을 때 나오는 몫을 분수 앞에 쓰고 나머지를 분자에 쓰면 쉽게 가분수를 대분수로 바꿀 수 있다. 참고로 9/9의 경우에는 분자와 분모가 같기 때문에 값을 1이라고 써도 무방하다. 과정을 약간 써보자면:  8/3 = 2 + 2/3 9/9 = 1 19/4 = 4 + 3/4 13/6 = 2 + 1/6 처럼 될 것이다. 이제 모든 수를 정수 혹은 대분수로 바꿨으면 이제 각 분수가 실제로 어느 정도의 크기를 가지는지 짐작할 수 있을 것이다. 일단 분수 부분은 무시하고 자연수, 혹은 정수를 기준으로 해서 작은 수부터 나열하도록 하자:  1이 가장 작은 정수이다. 다음으로 2 + 2/3와 2 + 1/6를 쓴다. (아직 어떤 수가 더 큰지는 모른다) 마지막으로 4 + 3/4가 가장 큰 수이다. 같은 정수를 가지는 대분수가 여러개 나왔다고 가정하자. 위 그림의 예시처럼 2 + 2/3와 2 + 1/6가 있는 경우에는 이제 정수 부분을 떼고 분수끼리 비교해야 할 것이다. 비교 방법은 이미 위에서 설명했으니 원하는 것을 골라 비교하면 된다. 여기서는 두 분수 2 + 2/3와 2 + 1/6의 분모를 공분모로 만들어 비교해 보도록 하겠다:  2/3 = (2x2)/(3x2) = 4/6 1/6 = 1/6 4/6 > 1/6 따라서 2 + 4/6 > 2 + 1/6이며 2 + 2/3 > 2 + 1/6이다. 같은 정수를 가지는 대분수의 대소를 완전히 판별했으면 이제 다시 정렬하도록 한다. 제대로 구했다면 다음과 같이 나왔을 것이다: 1, 2 + 1/6, 2 + 2/3, 4 + 3/4. 이제 다 정렬했으니 대분수를 가분수로 되돌리도록 하자. 하지만 순서는 그대로 놔두도록 한다: 9/9, 8/3, 13/6, 19/4. . 먼저 아래 방법을 써서 모든 분모의 배수 중 가장 작은 수를 찾아야 한다. 이 것을 최소공분모라 하는데 모든 분모들이 같은 분모를 가지게 되면 분자만 놓고 비교를 해 어떤 분수가 더 큰지 쉽게 파악할 수 있기 때문이다:  모든 분모를 곱해보자. 예를 들어 2/3, 5/6, 1/3의 세 수를 비교하고 싶다면 분모들끼리 곱한다: 3 x 6 = 18. 3은 중복되므로 뺀 것을 확인할 수 있다. 이 방법은 매우 간단하지만 분모가 클 때는 곱셈이 복잡해지므로 시간이 많이 걸릴 수 있다는 단점이 있다.  아니면 각 분모의 배수를 따로 적어보는 방법이 있다. 각 분모의 2배수부터 차례대로 적다보면 모든 분모가 공통적으로 가지는 숫자를 발견할 수 있을 것이다. 예를 들어 아까처럼 2/3, 5/6, 1/3을 비교하려 한다면 먼저 3의 배수를 찾고: 3, 6, 9, 12, 15, 18. 다음에 6의 배수를 찾는다: 6, 12, 18. 그러면 18이 3과 6의 배수 양쪽을 만족하는 것을 확인할 수 있을 것이다. (물론 12를 쓸 수도 있겠지만 이번에는 18을 써서 문제를 풀어보도록 하자) 분자와 분모에 같은 수를 곱하면 숫자는 바뀌지만 결국 그 분수의 값은 바뀌지 않는다는 사실을 기억하자. 따라서 우리가 방금 구한 공분모를 보면서 비교하고자 하는 분수의 분모에 특정 숫자를 곱해 공분모로 만들고, 분자에도 같은 숫자를 곱하도록 하자. 이 방법을 2/3, 5/6, 1/3의 세 분모에 적용시켜 보자. 공분모는 18이므로 다음 과정을 거칠 것이다:  18 ÷ 3 = 6이다. 따라서 2/3 = (2x6)/(3x6)=12/18 18 ÷ 6 = 3이다. 따라서 5/6 = (5x3)/(6x3)=15/18 18 ÷ 3 = 6이다. 따라서 1/3 = (1x6)/(3x6)=6/18 이제 모두 같은 분모를 가진 분수를 비교하는 문제이기 때문에 쉽게 해결할 수 있다. 분수 위에 있는 숫자인 분자를 작은 수부터 차례대로 나열하면 된다. 방금 구했던 분수의 경우에는 6/18, 12/18, 15/18의 순서대로 쓸 수 있을 것이다. 이제 나열한 분수는 현재 위치에 가만히 놓고 아까와는 반대로 약분하도록 하자. 분모를 공분모로 만드는 과정에서 분자와 분모에 어떤 수를 곱했는지 기억하고 있다면 반대로 그 숫자로 분자와 분모를 나누면 된다:  6/18 = (6 ÷ 6)/(18 ÷ 6) = 1/3 12/18 = (12 ÷ 6)/(18 ÷ 6) = 2/3 15/18 = (15 ÷ 3)/(18 ÷ 3) = 5/6 따라서 정답은 "1/3, 2/3, 5/6"가 된다.
비교하고자 하는 두 분수를 나란히 쓰기. 첫 번째 분수의 분자와 두 번째 분수의 분모를 대각선으로 곱하기. 곱해서 나온 값을 첫 번째 분수 옆에 써 놓기. 같은 방식으로 두 번째 분수의 분자와 첫 번째 분수의 분모 곱하기. 구한 값을 두 번째 분수 옆에 쓰기. 교차곱을 해서 나온 값 비교하기. 왜 이 방법이 통하는지 이해하기. 이 방법은 분자와 분모의 값이 같거나 분자가 분모보다 큰 경우에 쓰는 것임을 유념하기. 가분수를 대분수로 바꾸기. 자연수의 크기를 기준으로 대분수 정렬하기. 필요하다면 같은 정수를 가진 분수끼리 비교하기. 결과를 보고 대분수 다시 정렬하기. 대분수를 가분수로 되돌리기. 분모들의 최소공분모 찾기 모든 분수의 분모를 공분모로 통일하기. 분자를 비교하기. 분수 약분하기.
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Ordering Two Fractions using Cross-Multiplication Ordering Fractions Larger than One Ordering Any Number of Fractions