Lower semicontinuous function as the limit of an increasing sequence of continuous functions Let $ f:\mathbb{R}^m \rightarrow (-\infty,\infty] $ be lower semicontinuous and bounded from below. Set $f_k(x) = \inf\{f(y)+k d( x,y ): y\in \mathbb{R}^m\} $ , where $d(x,y)$ is a metric. It is easy to see that each $f_k$ is continuous and $f_1  \leq f_2\leq ...\leq f \\$. However, I don't know how to prove that $ \lim_{k \rightarrow \infty}f_k(x) = f(x) $ for every $x\in\mathbb{R}^m $.
Sea $-M$ una cota inferior de $f$ (con $M &gt; 0$).\
Tomemos $x\in X$, para todo $\epsilon &gt; 0$ existe $\delta &gt; 0$ tal que si $y\in B(x,\delta)$ entonces $f(y) &gt; f(x) - \epsilon$.\
          Por otro lado, para todo $k\geq 1$ existe  $y_k \in X$ tal que
          $$f(y_k) + kd(x,y_k) &lt; f_k(x) + \epsilon \leq f(x) + \epsilon$$
         Como $f(y_k) \geq f_k(x) \geq -M$  la desigualdad $kd(x,y_k) &lt; f(x) + \epsilon + M$ es satisfecha. Luego, dividiendo por $k$ se tiene que $0\leq d(x,y_k) &lt; \dfrac{(f(x) + \epsilon + M)}{k}$, como esto sucede para todo $k\geq 1$ deducimos que $d(x,y_k)$ converge a $0$. Luego existe $k_0 \geq 1$ para el cual $d(x,y_k) &lt; \delta$ cuando $k\geq k_0$. De esto, se cumple que $f(y_k) &gt; f(x) - \epsilon$ para todo $k\geq k_0$.\
          Luego $0\leq f(x) - f_k(x) &lt; f(x) - (f(y_k) + kd(x,y_k) - \epsilon) = (f(x) - f(y_k)) - kd(x,y_k) + \epsilon &lt; 2\epsilon$ para todo $k\geq k_0$. Por lo tanto $f_k(x)$ converge a $f(x)$.
This is where the lower semicontinuity comes in. When $y$ is close to $x$, you have a lower bound $f(y)\ge f(x)-\epsilon$. When $y$ is far from $x$, the term $kd(x,y)$ is large. Put these together and you have a lower bound on $f_k(x)$.