CDF of $X=\min\{X_1, X_1\cdot X_2, X_1\cdot X_2\cdot X_3, \ldots, X_1\cdot X_2 \cdots X_N\}$ $X=\min\{X_1, X_1\cdot  X_2, X_1\cdot  X_2\cdot  X_3, \ldots, X_1\cdot  X_2 \cdots X_N\}$ where $X_i, \forall i\in\{1,2,...,N\}$ are continuous random variables, $X_i\geqslant 0$, e.g., exponential distribution. 

I want to find the CDF of $X$ for any general $N$, i.e., $F_X(x)$. 

For example, when $N=2, X=\min\{X_1, X_1\cdot X_2\}$, then we can write 
$$F_X(x) = \mathsf P(X &lt; x) = \mathsf P(X_1 &lt; x \mid  X_2 \geqslant 1) + \mathsf P(X_1\cdot X_2 &lt; x \mid X_2 &lt; 1).$$ 

Can any one help me to write $F_X(x)$ for any $N$?
So for $N=3$ we have

$$\begin{align}
F_X(x) &amp; = \mathsf P(X_3\geq 1, X_2\geq 1)\mathsf P(X_1&lt; x\mid X_3\geq 1, X_2\geq 1)\\ &amp; + \mathsf P(X_3\geq 1, X_2&lt; 1)\mathsf P(X_1\cdot X_2 &lt; x\mid X_3\geq 1, X_2&lt; 1) \\ &amp; + \mathsf P(X_3&lt; 1)\mathsf P(X_1\cdot X_2\cdot X_3&lt; x\mid X_3&lt; 1)
\end{align}$$

So in general.
$$\begin{align}
F_X(x) &amp; = \mathsf P(\bigcup_{j=2}^{N} \{X_j\geq 1\})\mathsf P(\{X_1 &lt; x\}\mid \bigcup_{j=2}^{N} \{X_j\geq 1\})
\\ &amp; + \sum_{k=2}^{N}\mathsf P(\{X_k &lt; 1\}\cup \bigcup_{j=k+1}^{N}\{X_j \geq 1\})\mathsf P(\{\prod_{i=1}^k X_i &lt; x\}\mid \{X_k &lt; 1\}\cup \bigcup_{j=k+1}^{N}\{X_j \geq 1\})
\end{align}$$
So for $N=3$ we have

$$\begin{align}
F_X(x) &amp; = \mathsf P(X_3\geq 1, X_2\geq 1)\mathsf P(X_1&lt; x\mid X_3\geq 1, X_2\geq 1)\\ &amp; + \mathsf P(X_3\geq 1, X_2&lt; 1)\mathsf P(X_1\cdot X_2 &lt; x\mid X_3\geq 1, X_2&lt; 1) \\ &amp; + \mathsf P(X_3&lt; 1)\mathsf P(X_1\cdot X_2\cdot X_3&lt; x\mid X_3&lt; 1)
\end{align}$$

So in general.
$$\begin{align}
F_X(x) &amp; = \mathsf P(\bigcup_{j=2}^{N} \{X_j\geq 1\})\mathsf P(\{X_1 &lt; x\}\mid \bigcup_{j=2}^{N} \{X_j\geq 1\})
\\ &amp; + \sum_{k=2}^{N}\mathsf P(\{X_k &lt; 1\}\cup \bigcup_{j=k+1}^{N}\{X_j \geq 1\})\mathsf P(\{\prod_{i=1}^k X_i &lt; x\}\mid \{X_k &lt; 1\}\cup \bigcup_{j=k+1}^{N}\{X_j \geq 1\})
\end{align}$$