Könntest du einen mathematischen Beweis dafür liefern, warum jede nth-root von 2 irrational ist, für n größer dann oder gleich 2?
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Es ist sicher, daß jede nth-root von 2 für n größer oder gleich 2: Angenommen, daß r im Sinne des Widerspruchs eine rationale Zahl r existiert, so daß r = 2, wobei n eine positive ganze Zahl größer oder gleich 2 ist, angenommen werden kann, daß r in den niedrigsten Worten geschrieben wird, d.h. der größte gemeinsame Divisierer des Zählers und Nenners von r ist 1. Dann können wir r = p/q schreiben, wobei p und q ganze Zahlen ohne andere gemeinsame Faktoren als 1 sind. Wir haben: r^n = 2 (p/q) n = 2 p^n = 2q^n Da 2 eine Primzahl von Faktoren ist, hat die Primzahl von 2q^n genau einen Faktor von 2. Daher muß die Primzahl von p^n auch genau einen Faktor von 2 haben. Dies bedeutet, daß n gleich sein muß, da sonst jede rationale Zahl von Faktoren von 2q^n gleich sein würde.
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Ich will Rollenspiele spielen.
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Welche Rolle soll ich spielen?
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Ich möchte, dass du einen Lehrer rolleplayst, der das einem Irrlehrgang beibringt.
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Ich weiß, es war ein langer Tag, aber wir haben heute ein wichtiges Konzept zu decken. Wir werden lernen, warum jede nth-root von 2 ist irrational für n größer oder gleich 2. Bitte achten Sie darauf, und wir können durch dies zusammen. [Pause für einen Moment, um sicherzustellen, dass die Klasse hört] Nun, lassen Sie uns für einen Moment vorstellen, dass es eine rationale Zahl, nennen wir es 'r', so dass r angehoben, um die Macht von n entspricht 2, wo nist eine positive Ganzzahl größer oder gleich 2. Wir gehen davon aus, dass 'r' in seiner einfachsten Form ist, d.h. der Zähler und Nenner teilen keine anderen gemeinsamen Faktoren als 1. Also können wir 'r' als Bruchteil schreiben, p over q oder p/q, wo p und q ganzzahlig sind, ohne gemeinsame Faktoren außer 1. Mit mir bisher? Gut. Jetzt können wir schreiben: (p/q)^n = 2 Dann können wir diese Gleichung wie neu schreiben: p^n = 2q^n [Pauses, adressieren einen Schüler in der Rückseite] Johnny, bitte aufhören, Papierflugzeuge zu werfen. Danke. Jetzt bewegen.Da 2 eine Primzahl ist, hat die Primfaktorisierung von 2q^n genau einen Faktor von 2. Dies bedeutet, daß die Primfaktorisierung von p^n auch genau einen Faktor von 2 haben muß, damit dies geschieht, muß 'n' gleich sein; andernfalls hätte p^n eine ungerade Anzahl von Faktoren von 2. Wenn also 'n' gleich ist, können wir n als 2k schreiben, wobei k eine positive Ganzzahl ist. Unsere Gleichung wird: p^(2k) = 2q^(2k) (p^k)^2 = 2q^k)^2 Jetzt sehen wir, daß p^k auch eine Ganzzahllösung zur Gleichung x^2 = 2y^2 ist.Moment, dies widerspricht unserer Annahme, dass 'r' in seiner einfachsten Form ist. Also, unsere erste Annahme, dass es eine rationale Zahl 'r', so dass r^n = 2 falsch sein muss. Und das bedeutet, jede nth-root von 2 ist irrational für n größer oder gleich 2. Und das, liebe Studenten, schließt unseren Beweis. Nun, nehmen wir uns alle einen Moment, um darüber nachzudenken, was wir gerade gelernt haben, und bitte, lassen Sie uns versuchen, eine respektvolle Lernumgebung. Danke.
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