Was ist der Unterschied zwischen euklidischer Geometrie und hyperbolischer Geometrie?
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Euklidische Geometrie und hyperbolische Geometrie sind zwei verschiedene Arten von Geometrie, jede auf verschiedenen Annahmen und Axiome basiert. Hier sind einige der wichtigsten Unterschiede zwischen ihnen: 1. Parallele Linien: In Euklidische Geometrie, parallele Linien nie treffen, und die Summe der inneren Winkel eines Dreiecks ist immer 180 Grad. In hyperbolischen Geometrie, jedoch, parallele Linien können kreuzen, und die Summe der inneren Winkel eines Dreiecks ist immer weniger als 180 Grad. 2. Raumkrümmung: Euklidische Geometrie nimmt an, dass Raum flach ist, während hyperbolische Geometrie nimmt an, dass Raum gekrümmt ist. In hyperbolischen Geometrie, die Krümmung ist negativ, was bedeutet, dass die Winkel eines Dreiecks bis zu weniger als 180 Grad addieren. 3. Entfernung: In Euklidische Geometrie, der Abstand zwischen zwei Punkten ist die gerade Linie zwischen ihnen. In hyperbolische Geometrie, der Abstand zwischen zwei Punkten wird entlang der Kurve des Raumes gemessen, die gekrümmt ist. 4. Geometrie der Kreise: Euklidische Geometrie und hyperbolische Geometrie bietet unterschiedliche Regeln für Kreise. In Euklidische Geometrie, ein Kreis ist definiert als die Geometrie.
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Ich habe den 3. nicht ganz verstanden. Kannst du das nochmal erklären? Was ist diese Kurve des Raumes?
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Sicher. Um dies zu vereinfachen, lassen Sie uns einige 2D-Räume abbilden. * Euklidische Geometrie wäre eine flache Ebene. Wenn Sie den kürzesten Pfad zwischen zwei Punkten zeichnen würden, wäre es eine gerade Linie. * Sphärische Geometrie wäre eine Kugel. Wenn Sie den kürzesten Pfad zwischen zwei Punkten auf der Kugel zeichnen würden, wäre es tatsächlich ein Bogensegment, wenn man es im 3D-Raum betrachtet. Dies ist eine positive Krümmung. * Für Hyperbolische Geometrie können Sie Bilder von "Hyperbolische Ebene crochet" nachschlagen, aber es sieht ein bisschen wie eine Koralle aus. Wenn Sie den kürzesten Pfad zwischen zwei Punkten darauf zeichnen würden, wäre es keine Linie sein, aber es wäre nicht unbedingt ein Bogensegment entweder. Es wäre ein Segment von dieser Koralle oder Häkel. Das ist jede negative Krümmung. Der Unterschied zwischen positiven und negativen Krümmung ist, mit positiver Krümmung, der Raum ist wie eine normale Kugel gekrümmt, und somit geschlossen. So gibt es eine maximale Entfernung, die zwei Objekte können weg sein. Wenn eine Stadt bereits in einem positiven gekrümmten Raum war, so weit auseinander zu gehend, dass man den Raum herausfahren würde.
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