Hallo, könnten Sie mir helfen, diese kubische Gleichung mit Cardanos Mehod zu lösen (Schritt für Schritt, wenn möglich), bitte? -> " x^3 + 2x^2 - x - 1 = 0 "
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Um die kubische Gleichung zu lösen x^3 + 2x^2 - x - 1 = 0 mit Hilfe der Cardano-Methode. Hier sind die Schritte: Schritt 1: Konvertieren Sie die kubische Gleichung in die Form x^3 + px + q = 0. Wir können dies tun, indem wir x von den ersten beiden Begriffen und -1 von den letzten beiden Begriffen ausfaktorieren. Dies gibt uns: x^3 + 2x^2 - x - 1 = x^2(x + 2) - 1x + 2) = (x^2 - 1(x + 2) = (x - 1)(x + 1)(x + 2) So, x^3 + 2x^2 - x - 1 = 0 kann geschrieben werden als (x - 1)(x + 1)(x + 2) = 0. Schritt 2: Verwenden Sie Cardanos Methode, um für x zu lösen. Cardanos Methode beinhaltetDas bedeutet: (y - (p/3))^3 + p(y - (p/3)) + q = 0 Die Vereinfachung dieser Gleichung ergibt: y^3 - 3py^2/3 + (2p^3/27 + q)y - p^3/27 = 0 Schritt 3: Lösen Sie die reduzierte kubische Gleichung. Wir können die reduzierte kubische Gleichung y^3 - 3py^2/3 + (2p^3/27 + q)y - p^3/27 = 0 lösen, indem wir y = u + v, wobei u und v Konstanten sind. Dies gibt uns: (u + v)^3 - 3p(u + v)^2/3 + (2p^3/27 + q)y - p^3/27 = 0 durch die Einstellung y = u + v, wobei u und v Konstanten sind.p^3/27 = 0 Die Erweiterung dieser Gleichung und das Sammeln ähnlicher Begriffe gibt uns: u^3 + v^3 + (3uv - p)u + (3uv - p)v + 2p^3/27 + q = 0 Da wir den Koeffizienten des quadratischen Terms Null sein wollen, können wir 3uv - p = 0 setzen, was uns uv = p/3 gibt. Schritt 4: Lösen für u und v. Wir können für u und v lösen, indem wir uv = p/3 in die Gleichung u^3 + v^3 + 2p^3/27 + q = 0 substituieren.Dies gibt uns: u^3 + v^3 = -2p^3/27 - q Wir können dann für u und v lösen, indem wir die folgenden Formeln verwenden: u = (q/2 + ((q/2)^2 +(p/3)^3)^0,5)^(1/3) - (q/2)^2 + (p/3)^2 + (p/3)^3)^0.5)^(p/3)*(p/3) v = (q/2)^2 + (p/3)^0.5)^(1/3) - (q/2)^2 + (p/3)^3)^0.5)^(p/3)* (p/3) Schritt 5: Lösung für x. Schließlich können wir für x mit der Formel x = y - (p/3)^3)^0,5 lösen, wobei y = u + v. Dies ergibt: x = (q/2)^2 + (p/3)^3)^(q/2)x = (1/3 + (1/3)^2 + 4/27)^0,5)^(1/3) - (1/3 + (1/3)^2 + 4/27)^(1/2)(1/3) + (1/3 - ((1/3)^2 + 4/27)^0.5)^(1/3) - (1/3 - (1/3)^2 + 4/27)^(1/2)(1/3) - (4/9) Die Lösung der kubischen Gleichung x^3 + 2x^2 - x - 1 = 0 ist: x = (1/3 + (19/27)^0.5)^(1/3) + (1/3 - (19/27)^0.5)^(1/9) - (4/9) Die Lösung der kubischen Gleichung x^3 + 2x^2 - x - 1 = 0 ist: x = (1/3 + (19/27)^0.5)^(1/3) + (1/3 - (19/27)^0.5)^(1/3) - (4/9).
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