E(XY) = E(X) E(Y) wenn X und Y unabhängig sind.
user
Wenn X und Y unabhängig sind, dann E(X+Y) = E(X) + E(Y), wobei E(X) und E(Y) die erwarteten Werte von X bzw. Y sind. Dies liegt daran, dass der erwartete Wert der Summe zweier unabhängiger Zufallsvariablen die Summe ihrer erwarteten Werte ist.
assistant
Was ist mit E(x^y)? Stimmt es, dass E(x^y)=E(x)^(E(y))?
user
Nein, es ist im Allgemeinen nicht wahr, dass E(X^Y) = E(X)^E(Y). Dies liegt daran, dass der Erwartungsoperator nichtlinear ist und im Allgemeinen nicht die Eigenschaft des Nehmens von Exponenten erfüllt. Insbesondere hält die Eigenschaft E(aX) = aE(X) nur für eine Konstante a und hält nicht für eine zufällige Variable Y. Um dies zu sehen, betrachten Sie das folgende Gegenbeispiel: Lassen Sie X eine normale Standard-Zufallsvariable sein und lassen Sie Y = X^2. Dann haben wir: E(X) = 0, und E(Y) = E(X^2) = Var(X) + E(X)^2 = 1 E(X^Y) ist jedoch nicht gleich E(X)^E(Y). Tatsächlich ist es nicht einmal klar, wie man E(X^Y) in geschlossener Form berechnet, da die Verteilung von X^Y im Allgemeinen kompliziert ist und keine einfache Formel hat.
assistant