Lassen Sie E ein normierter Raum sein und F ein Banach-Raum. Beweisen Sie, dass der Satz begrenzter linearer Operatoren von E bis F (der Sie bereits als Vektorraum in Bezug auf geeignete Operationen und Feld annehmen können), ausgestattet mit der Bedienernorm, auch ein Banach-Raum ist.
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Um zu beweisen, dass der Satz begrenzter linearer Operatoren von E bis F, gekennzeichnet durch L(E, F), ausgestattet mit der Operatornorm, ein Banach-Raum ist, müssen wir zeigen, dass er vollständig ist, d.h., jede Cauchy-Sequenz von Operatoren in L(E, F) konvergiert zu einem Operator in L(E, F). Lassen Sie {Tn} eine Cauchy-Sequenz von Operatoren in L(E, F) sein. Dies bedeutet, dass für jeden ε > 0, gibt es N derart, dass es - T_mührung < ε für alle n, m > N. Unser Ziel ist es, zu zeigen, dass diese Sequenz zu einem Operator T in L(E, F) konvergiert.Da {Tn} Cauchy ist, gibt es N derart, dass [Tn] - Tm] < ε für alle n, m > N. Betrachten Sie nun die Ungleichheit: [Tn] (x) - Tm(x)] ≤ [Tn - Tm] * [x] < ε * [x]. Diese Ungleichheit impliziert, dass {Tn(x)} eine Cauchy-Sequenz in F ist. Da F ein Banach-Raum ist, ist er vollständig, so dass Tn(x) zu einem Element T(x) zusammenläuft. Nun müssen wir zeigen, dass T linear und begrenzt ist. Linearität folgt aus der Linearität jedes einzelnen Elementes.T_n. Um zu zeigen, dass T begrenzt ist, müssen wir zeigen, dass es ein konstantes C gibt, so dass es ein konstantes C gibt, dass T(x)] ≤ C *----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
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Lassen Sie *a* und *b* positive Ganzzahlen sein, so dass *ab + 1* *a2 + b2* teilt. Beweisen Sie, dass *(a2 + b2) / (ab + 1*) das Quadrat einer Ganzzahl ist.
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Um zu beweisen, dass (a^2 + b^2) / (ab + 1) das Quadrat einer Ganzzahl ist, müssen wir zeigen, dass es eine Ganzzahl ist und dass seine Quadratwurzel eine Ganzzahl ist. Erstens, beachten Sie, dass (a^2 + b^2) / (ab + 1) eine Ganzzahl ist, wenn und nur, wenn (a^2 + b^2) - k(ab + 1) = 0 für einige Ganzzahl k. Rearranging, erhalten wir: a^2 - kab + b^2 - k = 0 Betrachten wir dies als quadratische Gleichung in a, muss der Diskriminant ein perfektes Quadrat sein, das heißt: k^2 - 4(b^2 - k) = m^2 für einige Ganzzahl m. Vereinfachend, erhalten wir: k^2 - 4b^2 + 4k - m^2 = 0 Dies ist aQuadratische Gleichung in k, und sein Diskriminant muss auch ein perfektes Quadrat sein, d.h.: 16b^2 - 4m^2 = n^2 für einige ganze Zahl n. Dies kann wie folgt umgeschrieben werden: (4b + n)(4b - n) = 4m^2 Da 4b + n und 4b - n beide gleich sind, können wir sie als 2r bzw. 2s schreiben, für einige ganze Zahl r und s. Dann haben wir: rs = m^2 / 4 und b = (r + s) / 2 Ersetzen in die ursprüngliche Gleichung, erhalten wir: a^2 - (r + s)a + [(r - s) / 2]^2 = 0 Dies ist eine quadratische Gleichung in a, und sein Diskriminant muss auch eine perfekte sein.Quadrat, das heißt: (r + s)^2 - 4[(r - s) / 2]^2 = t^2 für einige ganze Zahl t. Vereinfachend, erhalten wir: (r - s)^2 + t^2 = (r + s)^2 Dies ist das Pythagoreen-Theorem, und seine Lösungen sind: r = uv, s = uw, t = u(v^2 - w^2) wobei u, v und w positive ganze Zahlen mit v > w und (v - w) ungerade sind. Daher haben wir: b = (r + s) / 2 = uwv und a = (r - s) / 2 = u(v^2 - w^2) Wir haben also gezeigt, dass (a^2 + b^2) / (ab + 1) eine ganze Zahl ist, und seine Quadratwurzel ist: (a^2 + b^2) / (ab + 1) = (u^2v^2) / u^2w^2) / u^2w+ 1 =(v^2 + w^2) / vw + 1 = (v/w)^2 + 1, das eindeutig eine ganze Zahl ist. (a^2 + b^2) / (ab + 1) ist daher das Quadrat einer ganzen Zahl.
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