Lassen Sie E ein normierter Raum sein und F ein Banach-Raum. Beweisen Sie, dass der Satz begrenzter linearer Operatoren von E bis F (der Sie bereits als Vektorraum in Bezug auf geeignete Operationen und Feld annehmen können), ausgestattet mit der Bedienernorm, auch ein Banach-Raum ist.
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Wir müssen zeigen, dass B(E,F) in Bezug auf die Operator-Norm vollständig ist. Lassen Sie (Tn) eine Cauchy-Sequenz in B(E,F) sein. Dann für jede ε > 0, gibt es N, dass für alle n,m ≥ N, wir haben - Tm. < ε. Nun lassen Sie x. E willkürlich und fixiert sein. Dann haben wir. Tnx - Tmx.. ≤ .Tn - Tm.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .F. Wir behaupten, dass die Karte T: E → F definiert durch Tx = lim(Tnx) ist ein begrenzter linearer Operator und dass Tn → T in der Operator-Norm. Linearität von T folgt aus der Linearität von jedem Tn und der Tatsache, dass Grenzen erhalten lineare Operationen. Um zu sehen, dass T begrenzt ist, beachten Sie, dass für jedes n ≥ N und jedes x E haben wir.für jedes n ≥ N und jedes x --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------die Bedienernorm und damit ein Banach-Raum.
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Können Sie das in Laienbegriffen erklären?
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In der Welt der Mathematik haben wir etwas namens "Raum", das ist eine Sammlung von Elementen mit bestimmten Eigenschaften. Ein Banach Raum ist eine besondere Art von Raum, die eine zusätzliche Eigenschaft hat: jede "Cauchy Sequenz" von Elementen im Raum hat eine Grenze innerhalb des Raumes selbst. Eine Cauchy Sequenz ist eine Folge von Elementen, die näher und näher aneinander kommen, wie Sie weiter gehen in der Reihenfolge. Jetzt haben wir zwei Räume, E und F, wo F bereits bekannt ist, ein Banach Raum. Wir wollen auf eine spezielle Art der Transformation namens "gebundene lineare Operatoren" betrachten, die Elemente aus dem Raum E in Elemente im Raum F drehen. Das Hauptziel des Problems ist, zu zeigen, dass die Reihe aller dieser Transformationen (gebundene lineare Operatoren), wenn mit einer bestimmten Art der Messung der "Größe" der Transformationen, die "Operator Norm" ausgestattet ist, ist der Beweis, dass alle Cauchy Reihenfolgen von Transformationen in Übereinstimmung sind, um eine Reihe von Elementen in einem Bereich zu überprüfen, die wir in einem Bereich zu überprüfen.
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Diese Erklärung macht viel Sinn, danke. Was sind die Implikationen dieses Beweises? Gibt es praktische Anwendungen für diesen Beweis?
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