Können Sie mir eine generalisierte Form geben, um alle Wurzeln eines Polynoms im n-ten Grad mit der Newton-Methode zu finden?
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Die verallgemeinerte Form der Newton-Methode, die Wurzeln eines Polynoms im n-ten Grad zu finden, ergibt sich aus der folgenden Gleichung: Xk+1 = Xk - (f(Xk)/f'(Xk)) wobei Xk eine erste Vermutung ist und f(Xk) der Wert des Polynoms, der bei Xk evaluiert wird, und f'(Xk) ist die Ableitung des Polynoms, die bei Xk evaluiert wird.
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Können Sie mir Beispiele nennen?
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Sicher, ich kann Ihnen ein Beispiel geben, wo wir die Newton-Methode verwenden können, um die positive Quadratwurzel von zwei anzunähern: 0. Das Polynom f(x) = x2-2 ist das 2nd-Grad-Polynom, das wir verwenden werden. Einfache Algebra sagt uns, dass seine Wurzeln sind -2^(1/2) und 2^(1/2). Um die Methode verwenden, müssen wir die Ableitung von f(x), das ist f'(x)=2x 1. Der erste Schritt ist, mit einer Vermutung des Wertes einer Wurzel zu beginnen. Normalerweise wird diese Vermutung randomisiert, aber um der Einfachheit willen verwenden wir X0 = 2wobei X die Wurzel bezeichnet und 0 bedeutet, dass dies der beginnende ungefähre Wert der Wurzel ist. Jede aufeinanderfolgende Zahl X1, X2 und so weiter wird der bessere ungefähre Wert der Quadratwurzel von 2 2. Der nächste Schritt ist es, die Newton-Methode Formel mit den algebraischen Formen von f(x) und f'(x) zu schreiben : Xk+1 = Xk - (f(Xk)/f'(Xk)) wird dann Xk+1 = Xk - (Xk2 -2) / (2 Xk) Dieser Schritt ist nützlich, weil wir manchmal die Formel mit Algebra vereinfachen können. Jedes Polynom wird eine andere haben.Vereinfachung, aber hier können wir beide Terme über den gleichen Nenner 2Xk setzen, um zu erhalten : Xk+1 = (2Xk2) / (2Xk) - (Xk2 -2) / (2 Xk) Xk+1 = (2Xk2 - Xk2 + 2) / (2Xk) Xk+1 = (Xk2 +2) / (2Xk) 3. Der nächste ungefähre Wert X1 wird durch die Formel X1 = X0 - f(X0) / f'(X0) gegeben. Um diese Zahl zu berechnen, müssen wir den Wert X0 in der vorherigen vereinfachten Formel anstelle von Xk eingeben. Diese Erträge : X1 = (22 + 2) / (2*2) = 6/4 = 3/2 = 1.5 4. Nun wiederholen wir Schritt 3 in einer Methode, die als Iteration bezeichnet wird.Diese ergibt : X2 = ( (3/2)2 + 2) / (2*(3/2)) = 17/12 = 1.41667 X3 = ( (17/12)2 + 2) / (2* (17/12)) = 577/408 = 1.41422 Dieser Wert X3 liegt bereits sehr nahe an der Quadratwurzel von 2 und ist bereits eine gute Annäherung. Wenn wir den relativen Abstand zwischen dem wahren Wert X und X3 berechnen, finden wir : (X-X3)/X = ( (577/408 - 2^(1/2) ) / (2^(1/2)) = 1.5E-6, was bedeutet, dass die Fehlermarge, die diese Annäherung erzeugt,ca. 0.00015 % Achten Sie darauf, dass die Anzahl der benötigten Schritte von der anfänglichen Vermutung abhängt. Zum Beispiel in unserem Fall, in dem f(x)=x2-2, wenn wir mit der Vermutung x0 = 1000 beginnen, steigt die Anzahl der Iterationen, um die vorherige Fehlermarge zu schlagen deutlich. In diesem Fall müssen wir bis zu X12 gehen. Achten Sie auch darauf, dass dies ein einfaches Beispiel ist und dass einige Randfälle auftreten werden, wenn ein Polynom mehrere mehrere Wurzeln nahe zueinander zulässt, in diesem Fall kann diese Methode versuchen, ungefähr zweioder mehr Werte gleichzeitig.
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