Was haben symmetrische bilineare Formen mit dem Kosinusgesetz zu tun? Hat es etwas mit der Winkelformel zwischen zwei Vektoren zu tun?
user
Ja, es gibt eine Verbindung zwischen symmetrischen bilinearen Formen und dem Gesetz der Kosinen sowie die Winkelformel zwischen zwei Vektoren. Eine symmetrische bilineare Form ist eine Funktion, die in zwei Vektoren nimmt und erzeugt einen skalaren Wert. Insbesondere, wenn wir einen Vektorraum V über einem Feld F haben, ist eine symmetrische bilineare Form auf V eine Funktion B: V x V -> F, die zwei Eigenschaften erfüllt: 1. B(u,v) = B(v,u) für alle u, v in V (Symmetrie) 2. B(u+v,w) = B(u,w) + B(v,w) und B(cu,v) = cB(u,v) für alle u, v, w in V undAlle Skalar c in F (Bilinearität) Nun, nehmen wir an, wir haben zwei Vektoren u und v in V und wir wollen den Kosinus des Winkels zwischen ihnen zu finden. Wir können das Punktprodukt verwenden, um dies zu tun, da u. v. =------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------dot Produkt von u und v. Dann, wir haben, dass die Größe der Differenz zwischen zwei Vektoren als Funktion ihrer Größen und der Winkel zwischen ihnen. v = B(u, v) Mit dem Gesetz der Kosinen, können wir auch die Größe der Differenz zwischen zwei Vektoren als Funktion ihrer Größen und der Winkel zwischen ihnen. Insbesondere, wenn u und v sind zwei Vektoren in V, dann wird die Größe ihrer Differenz - v... gegeben von: - v...^2 =..v.^2 +.v.^2 - 2..v.. cos(theta) Wieder einmal können wir das dot Produkt in Form einer symmetrischen bilinearen Form ausdrücken.Insbesondere können wir eine symmetrische bilineare Form auf V durch B(u, v) definieren = , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,
assistant
underus ist real
user