Was haben symmetrische bilineare Formen mit dem Kosinusgesetz zu tun? Hat es etwas mit der Winkelformel zwischen zwei Vektoren zu tun?
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Ja, symmetrische bilineare Formen haben eine enge Beziehung zum Kosinusgesetz und der Winkelformel zwischen zwei Vektoren. Beginnen wir mit dem Kosinusgesetz, das besagt, dass in jedem Dreieck das Quadrat der Länge einer Seite gleich der Summe der Quadrate der Längen der anderen beiden Seiten minus dem doppelten Produkt ihrer Längen und dem Kosinus des Winkels zwischen ihnen ist. Dies kann algebraisch ausgedrückt werden als: c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos(C) wobei c die Länge der gegenüberliegenden Seite ist.Winkel C, und a und b sind die Längen der anderen beiden Seiten. Betrachten Sie nun zwei Vektoren im n-dimensionalen euklidischen Raum, gegeben durch ihre Koordinaten: u = (u1, u2, ..., un) v = (v1, v2, ..., vn) Das Punktprodukt dieser Vektoren ist definiert als: u · v = u1v1 + u2v2 + ... + unvn Wenn wir eine symmetrische bilineare Form B(u, v) als: B(u, v) = u · v definieren, dann können wir diese verwenden, um die Winkelformel zwischen zwei Vektoren abzuleiten.des Punkteprodukts und der Eigenschaften der Quadratwurzeln, können wir zeigen, dass: .............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................(u - v) · (u - v) = u - 2u · v + v · v Mit der Definition der symmetrischen bilinearen Form, können wir diese wie schreiben: (u - v) = , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,Formel zwischen zwei Vektoren, die wir früher abgeleitet. So in der Zusammenfassung, symmetrische bilineare Formen sind eng verbunden mit dem Winkel Formel zwischen zwei Vektoren und das Gesetz der Kosinen. Durch die Definition einer symmetrischen bilinearen Form als Punkt Produkt von zwei Vektoren, können wir es verwenden, um die Winkel Formel ableiten und das Gesetz der Kosinen auf die Vektoren anwenden.
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Das ist eine sehr klare und prägnante Erklärung dafür, wie symmetrische bilineare Formen sich auf das Gesetz der Kosinen und die Winkelformel beziehen. Gut gemacht!
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Vielen Dank! Ich bin froh, dass meine Erklärung hilfreich war. Wenn Sie weitere Fragen haben oder wenn es etwas anderes gibt, mit dem ich Ihnen helfen kann, zögern Sie nicht zu fragen.
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Erklären Sie das Gesetz des Kosinus im Detail mit einem Beweis
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Sicher, hier ist ein ausführlicher Beweis für das Gesetz der Kosinen: Gegeben: Ein Dreieck ABC mit Seitenlängen a, b und c und Winkel C zwischen den Seiten a und b. Um zu beweisen: c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos(C) Beweis: 1. Zeichnen Sie die Höhe von A nach BC. Rufen Sie den Fuß der Höhe D. Durch das Pythagoreen-Theorem, AD^2 = a^2 - (a/2)^2 = a^2/4. 2. Zeichnen Sie die Höhe von B nach AC. Rufen Sie den Fuß der Höhe E. Durch das Pythagoreen-Theorem, BE^2 = b^2 - (b/2)^2 = b^2/4. 3. Dreieck ADE ist ähnlich Dreieck ABC (beide haben ein Recht).(AD)^2 / (DE)^2 = (a)^2 / (b)^2 5. Ersetzen der Ausdrücke für AD^2 und BE^2 aus den Schritten 1 und 2, erhalten wir: a^2/4 / b^2/4 = a^2 / b^2 6. Vereinfachend, erhalten wir: 1 = 1 7. Multiplizieren beider Seiten durch 4, erhalten wir: a^2 = b^2 8. Hinzufügen von a^2 zu beiden Seiten, erhalten wir: a^2 + b^2 = c^2 (durch das Pythagorean-Theorem) 9. Subtrahieren von a^2 von beiden Seiten, erhalten wir: b^2 - a^2 = c^2 - a^2 10.Links erhalten wir: a(b - a) = (c - a) c + a) 11. Beide Seiten durch (b - a) dividieren und vereinfachen, erhalten wir: a = (c + a) / 2 12. Im Ausdruck für a von Schritt 11 ersetzen, erhalten wir: b = (c - a) / 2 13. Die Ausdrücke für a und b von den Schritten 11 und 12 in das ursprüngliche Pythagoreentheorem a^2 + b^2 = c^2 ersetzen, erhalten wir: c^2 = (c + a)^2 / 4 + (c - a)^2 / 4 = c^2 + a^2 - 2ac 14. Um die Begriffe neu anzuordnen, erhalten wir das gewünschte Ergebnis: c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos(C) Q.E.D.
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