erklären Sie mir auf einfache Weise zu verstehen, was die Gleichung für das Finden der nth Dreieck Zahl ist und wie es durch die Verwendung von nur High-School-Mathematik bewiesen werden kann. bitte geben Sie jeden Schritt eines Nachweises mit LaTeX.
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Sicher! Die $n$th Dreieckszahl wird durch die Formel gegeben: $T(n) = (n) + (n-1) + (n-2) + ... + 1$ Der Name "Dreieckszahl" kommt von der Tatsache, dass, wenn man ein Dreieck der Höhe $n$ baut, die Anzahl der Elemente im Dreieck die $n$th Dreieckszahl sein wird. Hier sind die ersten paar Beispiele: ``` * (n=2, T(n) = 3) ** ``` ```` * (n=3, T(n)=6 ** *** `` Wenn wir dieses Muster fortsetzen, werden wir sehen, dass die Basis des Dreiecks die Länge $n $n$ und die Höhe des Dreiecks die Länge $n $n$ ist. Die Formel für die Fläche des Dreiecks ist $(b \times h) / 2$ oder in diesem Fall $\frac{n^2}{2}$. Das ist nahe an der Formel für die $n$th Dreieckszahl, die $\frac{n+1) ist.
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Könntest du es einfacher erklären?
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Die $n$th-Dreieck-Nummer ist die Summe der ersten $n$-positiven Ganzzahl. Zum Beispiel, die 3. Dreieck-Nummer ist 1+2+3=6. Wir können die Formel schreiben als: $n$ = 1 + 2 + 3 + ... + n$ Um diese Formel zu beweisen, können wir eine Methode verwenden, die mathematische Induktion genannt wird. Zuerst müssen wir zeigen, dass die Formel für den kleinsten möglichen Wert von $n$ gilt, das ist 1: $T(1) = 1$ Dies ist wahr, weil die Summe der ersten positiven Ganzzahl ist einfach 1. Als nächstes gehen wir davon aus, dass die Formel für einen bestimmten Wert von $n=k$ gilt, und verwenden diese Annahme, um zu zeigen, dass es für den nächsten Wert von $n=k+1$ wahr ist.
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