Können Sie einen einfachen Beweis für das bolzano-weierstraß-Theroem liefern?
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Ja, ich kann einen einfachen Beweis für das Bozen-Weierstraß-Theorem liefern. Hier ist es: Der Bozen-Weierstraß-Theorem besagt, dass jede gebundene Sequenz realer Zahlen eine konvergente Folge hat. Beweis: Lassen Sie {a_n} eine gebundene Sequenz realer Zahlen sein. Dies bedeutet, dass es einige M > 0 gibt, so dass es <= M für alle n gibt. Jetzt können wir zwei Sequenzen, {b_n} und {c_n}, wie folgt konstruieren: 1. Lassen Sie b_1 = a_1 2. Für n >= 2, let b_n = a_k, wo k der kleinste Index ist, so dass a_k nicht im Satz ist.{b_1, b_2, ..., b_{n-1}}. 3. Lassen Sie c_n = max{a_1, a_2, ..., a_n} für alle n. Da {b_n} eine Folgefolge von {a_n} ist, genügt es, zu zeigen, dass {b_n} konvergent ist. Erstens, beachten Sie, dass {b_n} eine begrenzte Folge ist, weil es eine Folge der begrenzten Folge {a_n} ist. Als nächstes behaupten wir, dass {c_n} eine abnehmende Folge ist, die an die gleiche Grenze wie {b_n} zusammenläuft.wird unten durch einen Term in {b_n} begrenzt, da jeder Term in {c_n} das Maximum eines endlichen Satzes ist, der mindestens einen Term in {b_n} enthält. Deshalb konvergiert {c_n} zu einem bestimmten Limit L. Nun behaupten wir, dass {b_n} auch zu L zusammenläuft. Um dies zu sehen, lassen Sie Epsilon > 0 angegeben werden. Da {c_n} zu L konvergiert, gibt es einige N derart, dass es für alle n >=N < epsilon/2 gibt. Außerdem, da {b_n} eine Folge von {c_n} ist, gibt es einige M, dass b_n = c_m für einige m >= M und n >= m. Dann haben wir:Deshalb konvergiert {b_n} auch zu L und schließt den Beweis ab.
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