Lassen Sie E ein normierter Raum sein und F ein Banach-Raum. Beweisen Sie, dass der Satz begrenzter linearer Operatoren von E bis F (der Sie bereits als Vektorraum in Bezug auf geeignete Operationen und Feld annehmen können), ausgestattet mit der Bedienernorm, auch ein Banach-Raum ist.
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Um zu beweisen, dass der Satz begrenzter linearer Operatoren von E bis F, gekennzeichnet durch L(E, F), ausgestattet mit der Operatornorm, ein Banach-Raum ist, müssen wir zeigen, dass er vollständig ist, d.h., jede Cauchy-Sequenz von Operatoren in L(E, F) konvergiert zu einem Operator in L(E, F). Lassen Sie {Tn} eine Cauchy-Sequenz von Operatoren in L(E, F) sein. Dies bedeutet, dass für jeden ε > 0, gibt es N derart, dass es - T_mührung < ε für alle n, m > N. Unser Ziel ist es, zu zeigen, dass diese Sequenz zu einem Operator T in L(E, F) konvergiert.Da {Tn} Cauchy ist, gibt es N derart, dass [Tn] - Tm] < ε für alle n, m > N. Betrachten Sie nun die Ungleichheit: [Tn] (x) - Tm(x)] ≤ [Tn - Tm] * [x] < ε * [x]. Diese Ungleichheit impliziert, dass {Tn(x)} eine Cauchy-Sequenz in F ist. Da F ein Banach-Raum ist, ist er vollständig, so dass Tn(x) zu einem Element T(x) zusammenläuft. Nun müssen wir zeigen, dass T linear und begrenzt ist. Linearität folgt aus der Linearität jedes einzelnen Elementes.T_n. Um zu zeigen, dass T begrenzt ist, müssen wir zeigen, dass es ein konstantes C gibt, so dass es ein konstantes C gibt, dass T(x)] ≤ C *----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
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Lassen Sie *a* und *b* positive Ganzzahlen sein, so dass *ab + 1* *a2 + b2* teilt. Beweisen Sie, dass *(a2 + b2) / (ab + 1*) das Quadrat einer Ganzzahl ist.
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Wie testet und trainiert man Sie?
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