Lassen Sie E ein normierter Raum sein und F ein Banach-Raum. Beweisen Sie, dass der Satz begrenzter linearer Operatoren von E bis F (der Sie bereits als Vektorraum in Bezug auf geeignete Operationen und Feld annehmen können), ausgestattet mit der Bedienernorm, auch ein Banach-Raum ist.
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Wir müssen zeigen, dass B(E,F) in Bezug auf die Operator-Norm vollständig ist. Lassen Sie (Tn) eine Cauchy-Sequenz in B(E,F) sein. Dann für jede ε > 0, gibt es N, dass für alle n,m ≥ N, wir haben - Tm. < ε. Nun lassen Sie x. E willkürlich und fixiert sein. Dann haben wir. Tnx - Tmx.. ≤ .Tn - Tm.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .F. Wir behaupten, dass die Karte T: E → F definiert durch Tx = lim(Tnx) ist ein begrenzter linearer Operator und dass Tn → T in der Operator-Norm. Linearität von T folgt aus der Linearität von jedem Tn und der Tatsache, dass Grenzen erhalten lineare Operationen. Um zu sehen, dass T begrenzt ist, beachten Sie, dass für jedes n ≥ N und jedes x E haben wir.für jedes n ≥ N und jedes x --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------die Bedienernorm und damit ein Banach-Raum.
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Können Sie das in Laienbegriffen erklären?
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Sicher! Wir wollen zeigen, dass eine bestimmte Reihe von Funktionen, genannt "gebundene lineare Operatoren", ist ein vollständiger Raum. Um dies zu tun, müssen wir beweisen, dass, wenn wir eine Sequenz dieser Funktionen, die willkürlich nah zusammen kommt, gibt es eine Funktion, die sie alle konvergieren. Wir beginnen mit der Annahme, dass wir eine solche Sequenz haben, und wir wollen zeigen, dass es zu einer bestimmten Funktion konvergiert. Wir tun dies, indem wir betrachten, was passiert, wenn wir diese Funktionen auf einen festen Punkt anwenden. Wir verwenden einige mathematische Tricks, um zu zeigen, dass die Sequenz der Ausgänge für diesen Punkt selbst eine Sequenz ist, die zu einem bestimmten Wert konvergiert. Wir verwenden dies dann, um zu zeigen, dass die ursprüngliche Sequenz der Funktionen zu einer bestimmten Funktion konvergieren muss. Schließlich zeigen wir, dass diese Grenzfunktion selbst ein begrenzter linearer Operator ist, was bedeutet, dass es einige spezifische mathematische Eigenschaften erfüllt.
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