Können Sie einen einfachen Beweis für das bolzano-weierstraß-Theroem liefern?
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Es, Ich kann einen einfachen Beweis für die Bozen-Weierstraß-Theorem: Die Bozen-Weierstraß-Theorem besagt, dass jede gebundene Sequenz in $\mathbb{R}$ hat eine konvergente Folgefolge. Beweis: Lassen Sie $(a_n)$ eine gebundene Sequenz in $\mathbb{R}$. Das heißt, es gibt $m,M \in \mathbb{R}$ so, dass $m \leq a_n \leq M$ für alle $n \in \mathbb{N}$. Teilen Sie das Intervall $[m,M]$ in zwei Teil-Intervalle: $[m,\frac{m+M}{2}$ und $[\frac{m+M}{2},M]$. Mindestens einer dieser Intervalle enthält unendlich viele Begriffeder Sequenz $(a_n)$. Wenn nicht, dann gibt es nur endlich viele Begriffe in der gesamten Sequenz, was unserer Annahme widerspricht, dass $(a_n)$ unendlich ist. Angenommen, dass $[m_1,M_1]$ ein Intervall ist, das unendlich viele Begriffe von $(a_n)$ enthält. Dann teilen Sie $[m_1,M_1]$ in zwei Teilintervalle und wählen Sie das, das unendlich viele Begriffe von $(a_n)$ enthält. Lassen Sie $[m_2,M_2]$ dieses Teilintervall sein. Fahren Sie so fort, eine verschachtelte Sequenz von geschlossenen Intervallen $[m_k,M_k]$ so zu konstruieren, dass jederDas Intervall enthält unendlich viele Begriffe von $(a_n)$. Durch das verschachtelte Intervalltheorem ist die Schnittstelle $\bigcap_{k=1}^{\infty} [m_k,M_k]$ nicht leer. Lassen Sie $L$ ein Element dieser Schnittstelle sein. Dann gibt es für jedes $\epsilon > 0$ ein Intervall $[m_k,M_k]$, so dass $L \in [m_k,M_k]$ und $M_k - m_k < \epsilon$. Da $a_n \in [m_k,M_k]$ für unendlich viele Werte von $n$, folgt es, dass $a_n$ auf $L$ konvergiert, da $n$ sich unendlich nähert.beweist die Bozen-Weierstraß-Theorem. Ich hoffe, das hilft! Lassen Sie mich wissen, wenn Sie Fragen haben.
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