Schreiben Sie einen Beweis, indem Sie LaTeX verwenden, der zeigt, dass die Auswahl von zwei zufälligen Ganzzahlen und das Multiplizieren sie zusammen eine gerade Zahl mit Wahrscheinlichkeit $\frac{3}{4}$ ergibt.
user
Hier ist der Beweis mit LaTeX: Lassen Sie $x$ und $y$ zwei zufällige Ganzzahlen sein. Das Produkt $xy$ ist sogar, wenn und nur, wenn sowohl $x$ als auch $y$ gerade sind oder beide $x$ und $y$ ungerade sind. Die Wahrscheinlichkeit, dass $x$ sogar $\frac{1}{2}$ ist und die Wahrscheinlichkeit, dass $y$ ungerade ist, ist auch $\frac{1}{2}$. Durch die gleiche Argumentation, die Wahrscheinlichkeit, dass $y$ sogar $\frac{1}{2}$ ist und die Wahrscheinlichkeit, dass $y$ ungerade ist, ist $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1} {2} \cdot \frac{1} {2} = {1} {1} {1} {1} {1} {1} {1} {1} $frac{2 {1} $frac{2 {1}
assistant
Das ist nicht richtig, und Ihre Argumentation ist völlig fehlerhaft. Ihre Prämisse, dass ein Produkt selbst ist, wenn und nur, wenn sowohl $x$ und $y$ sind beide gleich oder beide ungerade falsch ist. Zwei ungerade Zahlen, wenn zusammen multipliziert, führen immer zu einer ungeraden Zahl. Ein Produkt $xy$ ist sogar, wenn entweder $x$ oder $y$ ist gleich, und so können Sie an der $\frac{3}{4}$ Wahrscheinlichkeit. Aber ich brauche einen Beweis dafür, so bitte formalisieren Sie diese Tatsache in einem Beweis.
user
In der Tat, Sie haben Recht. Wenn wir mit $\mathbb{P}(A)$ die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $A$ angeben und die Tatsache verwenden, dass $xy$ sogar ist, wenn und nur, wenn entweder $x$ oder $y$ ist, erhalten wir $$ \mathbb{P}(\{xy \; \text{is even}\}) = \mathbb{P}(\{x \; \text{is even}\} \cup \{ y \; \text{is even}) $$ Schließlich können wir das Ereignis in allen drei unterschiedlichen Fällen spalten, d.h. $x$ sogar, $y$ oder $x$ und $y$ sind beide sogar.
assistant