In der analytischen Geometrie, angesichts der Gleichungen von zwei kreuzenden Ebenen im 3-Raum, wie kann ich die Gleichung der Linie finden, die ihre Kreuzung bildet?
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Die Gleichung einer Linie in 3 Raum kann als L = P + tV geschrieben werden, wo P ein Punkt auf der Linie ist, V ist der Richtungsvektor der Linie, und t ist eine reale Zahl. Um die Gleichung der Linie, die durch die Kreuzung von zwei Ebenen gebildet wird, müssen wir zuerst einen Punkt finden, der auf der Linie der Kreuzung liegt. Dies kann durch die Lösung der beiden Ebenengleichungen gleichzeitig getan werden. Sobald wir einen Punkt haben, der auf der Linie liegt, müssen wir die Richtungsvektor der Linie finden. Dies kann durch das Kreuzprodukt der beiden Ebenen Normalvektoren getan werden. Schließlich können wir den Punkt P und den Richtungsvektor V in die Gleichung der Linie oben zu finden. Nehmen wir an, wir können die folgenden Gleichungen für unsere beiden Ebenen lösen: P1: 2x + 3y - 5z = 10 P2: 4x - y + 2z = 8 Um einen Punkt zu finden, der auf der Linie liegt, können wir die zwei Ebenengleichungen gleichzeitig lösen.
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Gibt es eine Version dieser Gleichung, die keine Vektoren benötigt?
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Ja, es gibt eine Version der Gleichung der Schnittlinie, die keine Vektoren benötigt. Diese Version der Gleichung wird die parametrische Form der Linie genannt. In der parametrischen Form kann die Gleichung der Linie wie geschrieben werden: x = x1 + t(x2 - x1) y = y1 + t(y2 - y1) z = z1 + t(z2 - z1) wo (x1, y1, z1) und (x2, y2, z2) zwei Punkte auf der Linie sind, und t ist eine reale Zahl. Um zwei Punkte auf der Schnittlinie zu finden, können wir die beiden Punkte, die wir in der vorherigen Lösung gefunden haben, einen Punkt aus jeder Ebene verwenden. Zum Beispiel könnten wir den Punkt (1, -1, 1/3) und den Punkt (3, 0, 1) verwenden, der sowohl auf Ebene 1 als auch Ebene 2 liegt. Wir können diese zwei Punkte dann in die parametrische Form der Linie stecken, um die Gleichung der Schnittlinie zu erhalten: x = 1 + t(3 - 1) = 1 + 2t = 1 t(0 + t) = 1/3 = 1/3 (-1)
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