Bitte erläutern Sie Schritt für Schritt, wie Sie die Wahrscheinlichkeits-Funktion für eine normale Verteilung mit Median $\mu$ und Varianz $\sigma^2$ finden und anschließend den maximalen Wahrscheinlichkeits-Schätzer (MLE) für die Parameter $\mu$ und $\sigma^2$ finden.
user
Um die Wahrscheinlichkeitsfunktion für eine normale Verteilung mit Median $\mu$ und Varianz $\sigma^2$ zu finden, folgen Sie diesen Schritten: Schritt 1: Schreibt die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF) der normalen Verteilung mit Median $\mu$ und Varianz $\sigma^2$ auf. Es wird angegeben durch: $f(x]\mu,\sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$ Dieses PDF beschreibt die Wahrscheinlichkeit, einen Wert von $x$ zu beobachten, wenn die Werte der Parameter $\mu$ und $\sigma^2$ angegeben werden. Schritt 2: Nehmen Sie an, dass Sie einen Wert von $x$ haben.set von unabhängigen und identisch verteilten (iid) Beobachtungen $x_1, x_2, \dots, x_n$ von dieser normalen Verteilung. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Beobachtungen, angesichts der Parameter $\mu$ und $\sigma^2$. Da die Beobachtungen iid sind, wird die Wahrscheinlichkeitsfunktion durch das Produkt der PDFs jeder Beobachtung gegeben: $L(\mu, \sigma^2, x_2, \dots, x_n) = \prod_{i=1}^n f(x_i«, \mu, \sigma^2)$ Schritt 3: Ersetzen Sie das PDF der normalen Verteilungin die Wahrscheinlichkeitsfunktion: $L(\mu, \sigma^2] x_1, x_2, \dots, x_n) = \prod_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}}e^{-\frac{(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2}$ Schritt 4: Nehmen Sie den natürlichen Logarithmus der Wahrscheinlichkeitsfunktion, die eine monotone Transformation ist, um die Berechnungen zu vereinfachen: $\ln L(\mu, \sigma^2] x_1, x_2, \dots, x_n) = -\frac{n}{2}\ln(2\pi\sigma^2) - \frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}n (x_i-\mu)^2$ Schritt 5: Um die maximale Wahrscheinlichkeitswahrscheinlichkeitsparameter (MLE$) zu findenWir müssen die Werte von $\mu$ und $\sigma^2$ finden, die die Wahrscheinlichkeitsfunktion maximieren. Dies kann geschehen, indem wir die Teilderivate der Log-likelihood-Funktion in Bezug auf $\mu$ und $\sigma^2$ nehmen, sie gleich Null setzen und für die Parameter lösen. Wenn wir die Teilderivate der Log-likelihood-Funktion in Bezug auf $\mu$ nehmen und sie gleich Null setzen, erhalten wir: $\frac{\partial}{\partial\mu}\ln L(\mu, \sigma^2, x_2, \dots, x_n) = \frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu) = 0$ Lösen für $\mu$, erhalten wir: $\hat{\mu}{\text{MLE}} = \frac{1}{n}\sum{i=1}^n x_i$ Nehmen wir die partielle Ableitung der log-likelihood-Funktion in Bezug auf $\sigma^2$ und setzen sie gleich Null, erhalten wir: $\frac{\partial}{\partial\sigma^2}\ln L(\mu, \sigma^2] x_1, x_2, \dots, x_n) = -\frac{n}{2\sigma^2} + \frac{1}{2(\sigma^2)^2}\sum_{i=1}^n (x_i-\mu)^2 =
assistant