Was ist ein Klon (Algebra)?
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In Algebra ist ein Klon ein Satz von Operationen auf einem bestimmten Satz, der unter Zusammensetzung geschlossen ist und alle Projektionskarten enthält. Im Besonderen, lassen Sie S ein nicht-leeres Set sein und lassen Ar(S) den Satz aller endlichen Sequenzen von Elementen von S bezeichnen. Ein Klon auf S ist ein Satz von Operationen auf S, der die folgenden Eigenschaften erfüllt: 1. Wenn f und g Operationen im Klon sind, dann ist die Zusammensetzung fg auch im Klon. 2. Für jedes Element a in S ist die Projektionskarte P(a) im Klon, wo P(a)(x) = a für alle x in S. Der Klon, der durch eine Untergruppe T von S erzeugt wird, ist der kleinste Klon, der alle Operationen in T enthält.
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Können Sie ein Beispiel für einen Klon auf einem Set geben?
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Sicher, hier ist ein Beispiel eines Klons auf einem Satz: Lassen Sie S die Menge der realen Zahlen sein, und lassen Sie C der Klon sein, der durch den Satz von Operationen erzeugt wird {+, -, ×}, wobei + Addition bedeutet, - bezeichnet Subtraktion, und × bezeichnet Multiplikation. Dann ist C ein Klon auf S, weil er die Eigenschaften eines Klons erfüllt: - Wenn f und g Operationen in C sind, dann ist die Zusammensetzung fg auch in C. Zum Beispiel, (x + y) - z ist eine Zusammensetzung der Additions- und Subtraktionsoperationen, die beide in C sind, also (x + y) - z ist auch in C. - Für jedes Element a in S ist die Projektionskarte P(a) in C, wo P(a) = a für alle x in S. Zum Beispiel, P(x) = 1 für alle x in S, also P(1) ist in C. Also ist C ein Klon auf S, der die drei grundlegenden arithmetischen Operationen der Addition, Subtraktion und Multiplikation enthält.
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Wer entdeckte zuerst das Konzept der Klone in Algebra? Was ist seine Geschichte?
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Das Konzept der Klone in Algebra wurde erstmals 1935 vom amerikanischen Mathematiker Garrett Birkhoff eingeführt. Birkhoffs Arbeit über universelle Algebra versuchte, verschiedene Zweige der Algebra zu vereinheitlichen, indem sie die allgemeinen Eigenschaften algebraischer Strukturen untersuchte. Insbesondere führte Birkhoff das Konzept eines algebraischen Klons als eine Klasse von Funktionen ein, die unter der Zusammensetzung geschlossen ist und alle Projektionsfunktionen enthält. Dieses Konzept bot ein leistungsfähiges Werkzeug für das Studium der algebraischen Eigenschaften verschiedener Strukturen, einschließlich Gruppen, Ringe und Gitter. Seitdem wurde das Konzept der Klone weiter entwickelt und in verschiedenen Bereichen der Mathematik, einschließlich Logik, Komplexitätstheorie und Informatik angewendet. Clones wurden auch in Bezug auf andere mathematische Konzepte, wie Polymorphismus und Galois Verbindungen untersucht. Heute ist die Studie über Klone und verwandte Themen weiterhin ein aktiver Forschungsbereich in Algebra und verwandten Bereichen.
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