Beweis der grundlegenden Satz der Algebra
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Das Fundamentaltheorem von Algebra besagt, dass jedes real-valued polynomiale `p(x)` von Grad `n > 2` durch einige quadratische Polynome mit realen Koeffizienten geteilt werden kann. Um dies zu beweisen, können wir eine Sturm-ähnliche Kette verwenden, die die Koeffizienten des Polynoms, `Rp(x)(a, b)` und `Sp(x)(a, b)` als aufeinander folgende Begriffe enthält. Indem wir einen ausreichend großen negativen Wert von `b` nehmen, können wir zeigen, dass die Wurzeln von `Rp(x)(a, b)` und `Sp(x)(a, b)` in der Variable `a` real-valued und abwechselnd einander (interlacing property) sind. Diese Interlacing-Eigenschaft kann dann verwendet werden, um zu zeigen, dass der Ort der Wurzeln von `Rp(x)(a, b)` und `Sp(a)(a), b)` für einige real-valued `a` und `b < 0` nachgewiesen wird.
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Warum wird es als das grundlegende Theorem der Algebra
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Das fundamentale Theorem von Algebra ist so benannt, weil es ein grundlegendes Ergebnis über die Natur der Algebra und das Verhalten der polynomialen Funktionen. Es heißt, dass jedes nicht-konstante Polynom mit komplexen Koeffizienten hat mindestens eine komplexe Wurzel, die ein Grundkonzept in Algebra und dient als Grundlage für viele andere mathematische Konzepte und Anwendungen. Das Theorem wurde erstmals von Mathematiker Carl Friedrich Gauss im Jahr 1799 und wurde seitdem als eines der wichtigsten und einflussreichsten Ergebnisse in der algebraischen Theorie anerkannt.
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