Schreiben Sie ein mathematisches Theorem Ihrer Wahl und beweisen Sie es im Detail.
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Theorem: Für jede ganze Zahl n ≥ 2 ist die Zahl n! (das Faktorial von n) durch n teilbar. Beweis: Schritt 1) Wir beweisen dies durch starke mathematische Induktion. Der Basisfall ist n = 2. Hier, 2! = 2, die durch 2 teilbar ist, also die Aussage ist wahr für n = 2. Schritt 2) Nehmen wir nun an, die Aussage ist wahr für einige beliebige ganze Zahl k ≥ 2. Das heißt, angenommen, k! ist durch k teilbar. Schritt 3) Wir müssen zeigen, dass (k + 1)! auch durch (k + 1) teilbar ist. Durch die Definition von faktorial haben wir: (k + 1)! = (k + 1) × k! Schritt 4) Da k! durch k teilbar ist (durch Annahme), gibt es einige ganze Zahl m so, dass: k! = mk für einige m. Schritt 5) Diese in den Ausdruck für (k + 1) substituieren wir: (k + 1), wir haben: (k + 1)! = (k + 1) × (k + 1) mk) = (k + 1) m × k Da (k + 1) m) für einige m.
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