erklären Sie mir auf einfache Weise zu verstehen, was die Gleichung für das Finden der nth Dreieck Zahl ist und wie es durch die Verwendung von nur High-School-Mathematik bewiesen werden kann. bitte geben Sie jeden Schritt eines Nachweises mit LaTeX.
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Sicher! Die $n$th Dreieckszahl wird durch die Formel gegeben: $T(n) = (n) + (n-1) + (n-2) + ... + 1$ Der Name "Dreieckszahl" kommt von der Tatsache, dass, wenn man ein Dreieck der Höhe $n$ baut, die Anzahl der Elemente im Dreieck die $n$th Dreieckszahl sein wird. Hier sind die ersten paar Beispiele: ``` * (n=2, T(n) = 3) ** ``` ```` * (n=3, T(n)=6 ** *** `` Wenn wir dieses Muster fortsetzen, werden wir sehen, dass die Basis des Dreiecks die Länge $n $n$ und die Höhe des Dreiecks die Länge $n $n$ ist. Die Formel für die Fläche des Dreiecks ist $(b \times h) / 2$ oder in diesem Fall $\frac{n^2}{2}$. Das ist nahe an der Formel für die $n$th Dreieckszahl, die $\frac{n+1) ist.
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Könntest du es einfacher erklären?
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Die nth Dreieckszahl kann durch Hinzufügen der ersten n natürlichen Zahlen zusammen gefunden werden. Die Formel für die nth Dreieckszahl, $T_n$, wird durch: $$T_n = 1+2+3+...+n = \frac{n(n+1)}{2}$$$ Wir können diese Formel unter Berücksichtigung der Summe der ersten n natürlichen Zahlen beweisen, das heißt: $$T_n = 1+2+3+...+n$$ Wenn wir diese Summe zu sich selbst hinzufügen, aber die Reihenfolge umkehren, erhalten wir: $$2T_n = (1+2+3+...+n) + (n+(n-1)+(n-2)+...+1)$$$ Daher $$2T_n = (1+n)+(2+(n-1)+(n-2)++(n-2)+(n)+(n+1)$$ Wir können sehen, dass wir $n$ Terme haben und sie addieren sich zu $n+1$, also $2T_n = n*(n+1) Von $$ welche direkt ist, die wir wollen.
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