Bitte erläutern Sie Schritt für Schritt, wie Sie die Wahrscheinlichkeits-Funktion für eine normale Verteilung mit Median $\mu$ und Varianz $\sigma^2$ finden und anschließend den maximalen Wahrscheinlichkeits-Schätzer (MLE) für die Parameter $\mu$ und $\sigma^2$ finden.
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Um die Wahrscheinlichkeitsfunktion für eine normale Verteilung zu finden und anschließend den maximalen Wahrscheinlichkeits-Schätzer (MLE) für die Parameter $\mu$ und $\sigma^2$ zu bestimmen, folgen Sie diesen Schritten: Schritt 1: Definieren Sie die normale Verteilungswahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF) Das PDF einer normalen Verteilung mit durchschnittlichen $\mu$ und Varianz $\sigma^2$ wird durch: ```js $f(x_i] \mu, \sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}} e^{-\frac{(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2}}$ ```` Step 2: Definieren Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion.Beobachtungen $x_1, x_2, \dots, x_n$, die Wahrscheinlichkeitsfunktion, $L(\mu, \sigma^2] x_1, x_2, \dots, x_n)$, ist das Produkt der einzelnen PDFs: ``js $L(\mu, \sigma^2] x_1, x_2, \dots, x_n) = \prod_{i=1}^n f(x_i] \mu, \sigma^2)$ `` Schritt 3: Berechnung der Log-Likelihood-Funktion Anstatt direkt mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion zu arbeiten, ist es üblich, die Log-Likelihood-Funktion zu verwenden, da sie Berechnungen vereinfacht und numerische Probleme vermeidet. Die Log-Likelihood-Funktion, $l(\mu, \sigma^2)$, istDer natürliche Logarithmus der Wahrscheinlichkeitsfunktion: ```js $l(\mu, \sigma^2) = \ln{L(\mu, \sigma^2)} = \sum_{i=1}^n \ln{f(x_i), \sigma^2)}$ ``` Ersetzen der normalen Verteilung PDF in die Log-Likelihood-Funktion: ```js $l(\mu, \sigma^2) = \sum_{i=1}^n \ln{\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x_i-\mu)^2{2\sigma^2}\right)}$ `` Simplify the log-Likelihood-Funktion: ``js $l(\mu, \sigma^2) = -\frac{n} {2\sigma^}} {2\\t\t\t\\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\Schritt 4: Finden Sie die MLE für die Parameter $\mu$ und $\sigma^2$ Um die MLE für $\mu$ und $\sigma^2$ zu finden, müssen wir die Log-Likelihood-Funktion in Bezug auf beide Parameter maximieren. Wir werden dies tun, indem wir die Teilderivate in Bezug auf $\mu$ und $\sigma^2$ nehmen und sie gleich Null setzen. a) MLE für $\mu$: ```js $\frac{\partial l}{\partial \mu} = \frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^n (x_i - \mu) = 0$ ``` Summing Over all $x_i$, erhalten wir: ``js $\sum_{i=1}^n x_i - n\mu = 0$ ``` Solving for$\mu$: ```js $\hat{\mu} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i$ `` Die MLE für $\mu$ ist das Sample-Mittel. b) MLE für $\sigma^2$: ```js $\frac{\partial l}{\partial \sigma^2} = -\frac{n}{2\sigma^2} + \frac{1}{2(\sigma^2)^2} \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2 = 0$ `` Jetzt multiplizieren wir uns mit $\sigma^2$, um die Gleichung zu vereinfachen: ```js $-n + \frac{1}\sigma^2} \sum_1}``` Nun können wir für $\sigma^2$ lösen: ```js $\hat{\sigma^2} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2$ ``` Die MLE für $\sigma^2$ ist die Beispielvarianz. Zusammenfassend können Sie diesen Schritten folgen: 1. Definieren Sie die normale Verteilung PDF. 2. Definieren Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion. 3. Berechnen Sie die log-likelihood Funktion. 4. Finden Sie die MLE für die Parameter `$\mu$` und `$\sigma^2$` durch Maximierung der log-likelihood Funktion in Bezug auf beide Parameter.
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