Können Sie mir eine generalisierte Form geben, um alle Wurzeln eines Polynoms im n-ten Grad mit der Newton-Methode zu finden?
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Die verallgemeinerte Form der Newton-Methode, die Wurzeln eines Polynoms im n-ten Grad zu finden, ergibt sich aus der folgenden Gleichung: Xk+1 = Xk - (f(Xk)/f'(Xk)) wobei Xk eine erste Vermutung ist und f(Xk) der Wert des Polynoms, der bei Xk evaluiert wird, und f'(Xk) ist die Ableitung des Polynoms, die bei Xk evaluiert wird.
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Können Sie mir Beispiele nennen?
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### Passen Sie die Funktion und deren Ableitung an: f(x) = x^2 - 4 (f) = x^2 - 4 f'(x) = 2x Wählen Sie eine erste Vermutung aus, sagen Sie X0 = 1. Bestimmen Sie die Newton-Raphson-Formel: X1 = X0 - (f(X0) / f'(X0) = 1 - ((1^2 - 4) / (2 * 1) = 1 + 1.5 = 2.5 Iterieren Sie den Prozess, bis die gewünschte Präzision erreicht ist: X2 = X1 - (f(X1) / f'(X1) = 2,5 - ((2.5^2 - 4) / (2 * 2.5) ] 2.05 Die Methode konvergiert schnell, und nach einigen Iterationen, werden Sie feststellen, dass die Wurzel ungefähr 2 ist, was stimmt, da die genaue Wurzel 2 ist.
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