Ist der Satz aller invertiblen Matrizen ein linearer Unterraum des Satzes aller quadratischen Matrizen über den Realen?
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Ja, der Satz aller invertiblen Matrizen ist ein linearer Subraum des Satzes aller quadratischen Matrizen über den realen Zahlen. Ein Subraum ist eine Teilmenge eines Vektorraums, der selbst ein Vektorraum ist, d.h. er muss den Nullvektor enthalten und unter Addition und skalarer Multiplikation geschlossen werden. Der Satz aller invertiblen Matrizen ist eine Teilmenge des Satzes aller quadratischen Matrizen, und er wird unter Addition und skalarer Multiplikation geschlossen, denn wenn zwei Matrizen invertibel sind, dann sind auch ihre Summe und skalarer Vielfaches invertibel. So ist der Satz aller invertiblen Matrizen ein linearer Subraum des Satzes aller quadratischen Matrizen über die realen Zahlen.
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Nein, der Satz aller invertiblen Matrizen ist kein linearer Subraum des Satzes aller quadratischen Matrizen über die realen Zahlen. Um ein linearer Subraum zu sein, muss ein Satz den Nullvektor enthalten, unter Hinzufügung geschlossen werden und unter skalarer Multiplikation geschlossen werden. Der Satz der invertiblen Matrizen enthält nicht die Nullmatrix, und das Produkt aus zwei invertiblen Matrizen ist nicht unbedingt invertibel, so dass er nicht den Anforderungen entspricht, ein linearer Subraum zu sein.
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