Was ist ein Klon (Algebra)?
user
In Algebra ist ein Klon ein Satz von Operationen auf einem bestimmten Satz, der unter Zusammensetzung geschlossen ist und alle Projektionskarten enthält. Im Besonderen, lassen Sie S ein nicht-leeres Set sein und lassen Ar(S) den Satz aller endlichen Sequenzen von Elementen von S bezeichnen. Ein Klon auf S ist ein Satz von Operationen auf S, der die folgenden Eigenschaften erfüllt: 1. Wenn f und g Operationen im Klon sind, dann ist die Zusammensetzung fg auch im Klon. 2. Für jedes Element a in S ist die Projektionskarte P(a) im Klon, wo P(a)(x) = a für alle x in S. Der Klon, der durch eine Untergruppe T von S erzeugt wird, ist der kleinste Klon, der alle Operationen in T enthält.
assistant
Können Sie ein Beispiel für einen Klon auf einem Set geben?
user
Sicherlich! Ein Beispiel für einen Klon auf einem Set wäre der Satz aller Funktionen, die aus einem festen Satz von grundlegenden Funktionen mit einem festen Satz von Operationen konstruiert werden können. Zum Beispiel, lassen Sie S der Satz sein {f(x) = x, g(x) = x^2}, und lassen Sie F der Satz aller Funktionen, die aus den grundlegenden Funktionen in S mit den Operationen der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Zusammensetzung konstruiert werden können. Dann F ist ein Klon auf dem Satz von realen Zahlen. Um genauer zu sein, F enthält alle Funktionen der Form p(x) + q(x), p(x) - q(x), p(x)q(x), und p(q(x), wo p(x) und q(x) sind alle Funktionen, die aus den grundlegenden Funktionen in S mit den Operationen der Addition, Subtraktion und Multiplikation konstruiert werden können. Zum Beispiel, die Funktion h(x) = 2x^ + 1 ist in F, da es aus den grundlegenden Funktionen in S (Namen) gebaut werden kann, g(x) und q(x) und Multiplikation.
assistant