b'\n_START_ARTICLE_\nTeigini\xc5\xb3 logika\n_START_PARAGRAPH_\nTeigini\xc5\xb3 logika yra matematin\xc4\x97s logikos mokslo teorija, kurioje formaliosios kalbos simboliais bei login\xc4\x97mis operacijomis nusakomi teiginiai. I\xc5\xa1vedimo ir ekvivalencijos taisykli\xc5\xb3 sistema leid\xc5\xbeia i\xc5\xa1vesti tam tikras formules, kurios vadinamos teoremomis, o tokie teiginiai yra interpretuojami kaip teisingi. Visa eil\xc4\x97 formuli\xc5\xb3, kuri yra sura\xc5\xa1oma naudojantis \xc5\xa1ia sistema, yra vadinama i\xc5\xa1vedimu, o paskutin\xc4\x97 i\xc5\xa1 j\xc5\xb3 yra teorema, kurios i\xc5\xa1vedimas ir yra laikomas teiginio teisingumo \xc4\xafrodymu. Teigini\xc5\xb3 logikos interpretacij\xc4\x85 riboja teisingumo reik\xc5\xa1m\xc4\x97, kuri da\xc5\xbeniausiai b\xc5\xabna arba teisinga, arba klaidinga.\n_START_SECTION_\nTeigini\xc5\xb3 formalizacija\n_START_PARAGRAPH_\nPasinaudodami turima informacija ir \xc5\xbeiniomis apie logines jungtis ir neigim\xc4\x85 galime teigin\xc4\xaf u\xc5\xbera\xc5\xa1yti logini\xc5\xb3 simboli\xc5\xb3 kalba, kitaip tariant formalizuoti j\xc4\xaf u\xc5\xbera\xc5\xa1ant naudojant \xc5\xbeinomus loginius simbolius._NEWLINE_Vis\xc5\xb3 pirma, formalizuojant teigin\xc4\xaf svarbiausia susirasti paprastuosius teiginius, arba kintamuosius, kurie da\xc5\xbeniausia susideda i\xc5\xa1 dviej\xc5\xb3 arba keli\xc5\xb3 \xc5\xbeod\xc5\xbei\xc5\xb3 (\xc5\xbeinoma, kintamasis gali b\xc5\xabti ir vienas \xc5\xbeodis). Toliau ie\xc5\xa1kome logini\xc5\xb3 jung\xc4\x8di\xc5\xb3, kurios, kaip \xc5\xbeinome, turi save i\xc5\xa1skirian\xc4\x8dias teiginio jungtis, pavyzd\xc5\xbeiui, jeigu; ir; arba; tai ir pan. Kintamieji pa\xc5\xbeymimi skirtingais simboliais ir i\xc5\xa1skiriami i\xc5\xa1 kit\xc5\xb3 kintam\xc5\xb3j\xc5\xb3, pavyzd\xc5\xbeiui, vienas kintamasis \xc5\xbeymimas , kitas \xe2\x80\x93 , sekantis \xe2\x80\x93 , it t. t._NEWLINE_Dabar vis\xc4\x85 tai pritaikykime praktikoje, taigi formalizuokime vien\xc4\x85 paprast\xc4\x85 teigin\xc4\xaf: \xe2\x80\x9eJei pamoka baigsis, tai gal\xc4\x97sime keliauti namo, arba nesibaigis ir namo keliauti negal\xc4\x97sime.\xe2\x80\x9c Taigi, vis\xc5\xb3 pirma nustatome kintamuosius: pirmasis \xe2\x80\x93 jei pamoka baigsis, antrasis \xe2\x80\x93 gal\xc4\x97sime keliauti namo. Pirm\xc4\x85j\xc4\xaf pa\xc5\xbeym\xc4\x97kime \xe2\x80\x93 , antraj\xc4\xaf \xe2\x80\x93 , taip pat turime ir \xc5\xa1i\xc5\xb3 kintam\xc5\xb3j\xc5\xb3 neiginius, kuriuos \xc5\xbeym\xc4\x97sime taip pat, tik su neigimo \xc5\xbeenklu - . Toliau nustatome logines jungtis, kurios yra teiginyje: pirmoji yra implikacija, antroji \xe2\x80\x93 disjunkcija, tre\xc4\x8dioji \xe2\x80\x93 konjunkcija. Dabar apipavidalinkime vis\xc4\x85 tai loginiais simboliais ir u\xc5\xbera\xc5\xa1ykime formul\xc4\x99. \xc5\xa0itaip atrodo m\xc5\xabs\xc5\xb3 formalizuotas teiginys, matome visas logines jungtis ir m\xc5\xabs\xc5\xb3 pa\xc5\xbeym\xc4\x97tus kintamuosius: .\n_START_SECTION_\nSud\xc4\x97tinio teiginio teisingumo reik\xc5\xa1m\xc4\x97s nustatymas\n_START_PARAGRAPH_\nSud\xc4\x97tinio teiginio teisingumas priklauso nuo j\xc4\xaf sudaran\xc4\x8dio paprast\xc5\xb3j\xc5\xb3 teigini\xc5\xb3 (, ,  ir pan.) teisingumo. Taigi, jei mes \xc5\xbeinome, jog paprastieji teiginiai yra teisingi, taip mes galime teigti, jog sud\xc4\x97tinis teiginys yra taip pat teisingas, nes naudojant konjunkcijos, disjunkcijos ir kit\xc5\xb3 logini\xc5\xb3 jung\xc4\x8di\xc5\xb3 taisykles, mes galime nustatyti ar paprastieji teiginiai teisingi, tokiu b\xc5\xabdu gal\xc4\x97sime \xc4\xafrodyti, jog ir sud\xc4\x97tinis teiginys teisingas._NEWLINE_Tarkime, turime teigin\xc4\xaf , kuriame  yra teisingas (t),  - taip pat teisingas,  \xe2\x80\x93 klaidingas (k), o  \xe2\x80\x93 teisingas. Dabar pakeiskime teisingas reik\xc5\xa1mes raide \xe2\x80\x93 t, o klaidingas \xe2\x80\x93 k. Dabar m\xc5\xabs\xc5\xb3 teiginys atrodys \xc5\xa1itaip: ._NEWLINE_Taigi, pirmoji dalis yra disjunkcija, tod\xc4\x97l taikysime disjunkcijos teisingumo taisykles:  \xe2\x80\x93 pagal grie\xc5\xbetosios disjunkcijos teisingumo reikalavim\xc4\x85, \xc5\xa1itoks teiginys b\xc5\xabt\xc5\xb3 neteisingas, bet disjunkcijos simbolis neturi br\xc5\xabk\xc5\xa1nio, taigi \xc4\x8dia \xe2\x80\x93 silpnoji disjunkcija, o jos teisingumo reikalavimai nustato, jog jeigu abu arba bent vienas disjunkcijos narys teisingas, tai disjunkcija yra teisinga._NEWLINE_Toliau seka implikacija: , o pasak implikacijos taisykli\xc5\xb3 mes \xc5\xbeinome, jog ji yra teisinga tada, kai abu nariai teisingi, arba antecedentas klaidingas, o konsekventas teisingas. \xc5\xa0iuo atveju, m\xc5\xabs\xc5\xb3 antecedentas ( yra klaidingas), o konsekventas ( \xe2\x80\x93 teisingas), taigi m\xc5\xabs\xc5\xb3 implikacijos reik\xc5\xa1m\xc4\x97 yra teisinga._NEWLINE_Jungtis tarp disjunkcijos ir implikacijos yra ekvivalencija: , o ekvivalencija bus teisinga tik tada, kai abu nariai tur\xc4\x97s tas pa\xc4\x8dias teisingumo reik\xc5\xa1mes. Dabar pakeisime tiek disjunkcijos, tiek implikacijos narius j\xc5\xb3 teisingumo reik\xc5\xa1m\xc4\x97mis ir pa\xc5\xbei\xc5\xabr\xc4\x97kime, kaip atrodo m\xc5\xabs\xc5\xb3 ekvivalencija: . Tiek silpnoji disjunkcija, tiek implikacija yra teisingos, tod\xc4\x97l m\xc5\xabs\xc5\xb3 ekvivalencija yra taip pat teisinga, tod\xc4\x97l dabar mes galime teigti, jog \xc5\xa1is teiginys teisingas.\n_START_SECTION_\nDvejybi\xc5\xa1kumas\n_START_PARAGRAPH_\nGalimyb\xc4\x97 keisti logines jungtis mums rodo, jog kiekvien\xc4\x85 teigini\xc5\xb3 logikoje sutikt\xc4\x85 i\xc5\xa1rai\xc5\xa1k\xc4\x85, mes galime pakeisti ir pertvarkyti taip, kad j\xc4\x85 sudaryt\xc5\xb3 tik trys operacijos, kurios b\xc5\xabt\xc5\xb3 konjunkcija, disjunkcija ir neigimas. Konjunkcijos ir disjunkcijos operacijos yra vadinamos dvejybi\xc5\xa1komis, t.y konjunkcija dvejybi\xc5\xa1ka disjunkcijai ir disjunkcija dvejybi\xc5\xa1ka konjunkcijai._NEWLINE_Dvejybi\xc5\xa1kos i\xc5\xa1rai\xc5\xa1kos vadinamos tokiomis tik tada, kai vien\xc4\x85 galime gauti i\xc5\xa1 kitos, kiekvien\xc4\x85 veiksm\xc4\x85 pakeitus dvejybi\xc5\xa1ku veiksmu. Pavyzd\xc5\xbeiui,  ir ; \xc5\xa1ios i\xc5\xa1rai\xc5\xa1kos yra dvejybi\xc5\xa1kos. Taip pat dvejybi\xc5\xa1k\xc5\xb3 i\xc5\xa1rai\xc5\xa1k\xc5\xb3 teisingumas ir klaidingumas yra dvejybi\xc5\xa1kas. Nesikei\xc4\x8dia tik neigimas, kuris savaime yra vadinamas dvejybi\xc5\xa1ku._NEWLINE_Dvejybi\xc5\xa1kumo principas \xe2\x80\x93 jei dvi i\xc5\xa1rai\xc5\xa1kos yra lygiavert\xc4\x97s, tai joms dvejybi\xc5\xa1kos i\xc5\xa1rai\xc5\xa1kos, taip pat lygiavert\xc4\x97s.\n_START_SECTION_\n\xc4\xaerodymai\n_START_PARAGRAPH_\nLoginiuose samprotavimuose i\xc5\xa1 prielaid\xc5\xb3 konjunkcijos daroma i\xc5\xa1vada, o \xc4\xafrodymuose i\xc5\xa1 argument\xc5\xb3 konjunkcijos i\xc5\xa1vedamas tez\xc4\x97s teisingumo pagrindimas. Skirtumas tas, jog samprotavimuose yra \xc5\xbeinomos prielaidos ir reikia nustatyti, ar si\xc5\xabloma i\xc5\xa1vada logi\xc5\xa1kai i\xc5\xa1plaukia i\xc5\xa1 t\xc5\xb3 prielaid\xc5\xb3, kai \xc4\xafrodymuose atramos ta\xc5\xa1kas yra tez\xc4\x97 ir reikia parinkti tokius argumentus i\xc5\xa1 kuri\xc5\xb3 tez\xc4\x97 i\xc5\xa1plaukt\xc5\xb3 taip, kaip i\xc5\xa1vada i\xc5\xa1 prielaid\xc5\xb3 samprotavimuose._NEWLINE_\xc4\xaerodymai b\xc5\xabna formal\xc5\xabs, kai argumentais parinktos tam tikros aksiomos, o reikia parodyti, jog tez\xc4\x97s formul\xc4\x97, kaip teorema i\xc5\xa1plaukia i\xc5\xa1 argument\xc5\xb3, tad tokiu atveju \xc4\xafrodymas priklauso tik nuo strukt\xc5\xabros; arba prasmin\xc4\x97se sistemose, kuriuose ir tez\xc4\x97je, ir argumentuose naudojamos prasm\xc4\x99 turin\xc4\x8dios s\xc4\x85vokos, o juose argumentai parenkami remiantis praktiniu objektin\xc4\x97s srities pa\xc5\xbeinimu._NEWLINE_Tiesioginiai \xc4\xafrodymai paremti implikacijos pereinamumo taikymu, t. y. ie\xc5\xa1koma prielaid\xc5\xb3 forma: . Kai turima begalin\xc4\x99 implikacij\xc5\xb3 grandin\xc4\x99 ir fizi\xc5\xa1kai negalima jos realizuoti, naudojama matematin\xc4\x97 indukcija: kai yra \xc5\xbeinoma, kad ka\xc5\xbekokiam tai skai\xc4\x8diui  yra teisinga savyb\xc4\x97  ir norima \xc4\xafrodyti, jog ta savyb\xc4\x97 yra teisinga bet kuriam skai\xc4\x8diui , t. y. teisinga . \xc4\xaerodymo schema yra tokia:_NEWLINE_Netiesioginiuose \xc4\xafrodymuose u\xc5\xbeuot \xc4\xafrod\xc5\xbeius, kad logi\xc5\xa1kai teisingas sakinys , \xc4\xafrodomas kitas, ekvivalentus teiginys. \xc4\xaerodymas per transpozicij\xc4\x85, kaip vienas tokio \xc4\xafrodymo b\xc5\xabd\xc5\xb3, u\xc5\xbeuot \xc4\xafrod\xc4\x99s, kad sakinys  yra logi\xc5\xa1kai teisingas, \xc4\xafrodomas jam ekvivalentus kontrapozicijos teiginys . Pana\xc5\xa1us netiesioginis \xc4\xafrodymas yra reductio ad absurdum, arba \xc4\xafrodymas per prie\xc5\xa1tar\xc4\x85. Jeigu reikia \xc4\xafrodyti tez\xc4\x99 , tai priimama prie\xc5\xa1inga prielaida  ir gaunamas prie\xc5\xa1taravimas , tada daroma i\xc5\xa1vada, kad tur\xc4\x97jo b\xc5\xabti teisinga , t. y. . Dar vienas netiesioginis \xc4\xafrodymas \xe2\x80\x93 atskiriamasis \xc4\xafrodymas, kuriame tez\xc4\x97s teisingumas nustatomas nustatant kit\xc5\xb3 disjunkcijos alternatyv\xc5\xb3 klaidingum\xc4\x85.'