b"\n_START_ARTICLE_\nKo\xc5\xa1i - \xc5\xa0varco nelygyb\xc4\x97\n_START_PARAGRAPH_\nMatematikoje Ko\xc5\xa1i\xe2\x80\x93\xc5\xa0varco nelygyb\xc4\x97 (dar vadinama Ko\xc5\xa1i\xe2\x80\x93Buniakovski\xe2\x80\x93\xc5\xa0varco arba CBS nelygybe) yra viena i\xc5\xa1 pagrindini\xc5\xb3 optimizavimo priemoni\xc5\xb3 tiesin\xc4\x97je algebroje, analiz\xc4\x97je, tikimybi\xc5\xb3 teorijoje, fizikoje ir kitose srityse. Nelygyb\xc4\x97 turi labai daug apibendrinim\xc5\xb3, tarp kuri\xc5\xb3 pati svarbiausia\xc2\xa0\xe2\x80\x93 Holderio nelygyb\xc4\x97. Ko\xc5\xa1i\xe2\x80\x93\xc5\xa0varco nelygyb\xc4\x97 gali b\xc5\xabti i\xc5\xa1reik\xc5\xa1ta vektorin\xc4\x97je, algebrin\xc4\x97je ir integralin\xc4\x97se formose._NEWLINE_Pirmasis \xc5\xa1i\xc4\x85 nelygyb\xc4\x99 skai\xc4\x8di\xc5\xb3 sekoms suformulavo ir \xc4\xafrod\xc4\x97 Augustinas Liuisas Ko\xc5\xa1i (1821), o teorem\xc4\x85 integralin\xc4\x97je formoje pirmasis \xc4\xafrod\xc4\x97 Viktoras Buniakovskis (1859). Pirmas modernus integralin\xc4\x97s nelygyb\xc4\x97s \xc4\xafrodymas buvo pateiktas Hermano Amad\xc4\x97jaus \xc5\xa0varco (1888)._NEWLINE_Algebrinio tipo nelygyb\xc4\x97 dar gali b\xc5\xabti i\xc5\xa1reik\xc5\xa1ta vadinamoje Engel formoje. Titas Andreskas ir Bogdanas Aneskas buvo pirmieji matematikai, kurie pateik\xc4\x97 save apibendrinant\xc4\xaf \xc4\xafrodym\xc4\x85 tokioje formoje.\n_START_SECTION_\nVektorin\xc4\x97 forma\n_START_PARAGRAPH_\nTeorema: Tegul  [x,y] \xc2\xa0\xe2\x80\x93 tiesin\xc4\x97s erdv\xc4\x97s vektori\xc5\xb3 skaliarin\xc4\x97 sandauga, tai su vektoriais x ir y, priklausantiems \xc5\xa1iai erdvei, galioja nelygyb\xc4\x97:_NEWLINE_ [ x,x ]  [ y,y ] \\geq |[ x,y ]| ^2  _NEWLINE_be to, lygyb\xc4\x97 galioja tada ir tik tada kai vektoriai x ir y yra tiesi\xc5\xa1kai priklausomi.\n_START_SECTION_\nIntegralin\xc4\x97 forma\n_START_PARAGRAPH_\nTeorema: Bet kokioms tolyd\xc5\xbeioms ir integruojamoms intervale [a,b] funkcijoms f:\\mathbb{R}\\rightarrow \\mathbb{R} ir g:\\mathbb{R}\\rightarrow \\mathbb{R} galioja nelygyb\xc4\x97:_NEWLINE_ \\int\\limits_{a}^{b} \\left ( f(x) \\right)^2 dx \\int\\limits_{a}^{b} \\left ( g(x) \\right)^2 dx \\geq \\left ( \\int\\limits_{a}^{b} f(x)g(x) dx \\right)^2 _NEWLINE_Lygyb\xc4\x97 galioja tada ir tik tada, kai egzistuoja toks c\\in\\mathbb{R}, kad f(x)=cg(x).\n_START_SECTION_\nAlgebrin\xc4\x97 forma\n_START_PARAGRAPH_\nTeorema: Tarkime  (x_n)_{n \\geq 1}  ir  (y_n)_{n \\geq 1}  yra reali\xc5\xb3j\xc5\xb3 skai\xc4\x8di\xc5\xb3 sekos, tuomet galioja nelygyb\xc4\x97:_NEWLINE_ \\left (\\sum_{i=1}^n x_i^2 \\right)\\left (\\sum_{i=1}^n y_i^2 \\right) \\geq \\left (\\sum_{i=1}^n x_i y_i \\right)^2 _NEWLINE_Lygyb\xc4\x97s atvejis pasiekiamas tada ir tik tada, kai:_NEWLINE_ \\frac{x_1}{y_1}=\\frac{x_2}{y_2}=...=\\frac{x_n}{y_n}.\n_START_SECTION_\nLagran\xc5\xbeo b\xc5\xabdas\n_START_PARAGRAPH_\nNelygyb\xc4\x97 lengvai \xc4\xafrodoma pasinaudojus Lagran\xc5\xbeo tapatybe:_NEWLINE_ \\left (\\sum_{i=1}^n x_i^2 \\right)\\left (\\sum_{i=1}^n y_i^2 \\right) - \\left (\\sum_{i=1}^n y_i x_i \\right)^2 = \\sum_{1 \\leq i < j \\leq n} \\left (x_iy_j - x_jy_i \\right)^2 \\geq 0 \\Rightarrow _NEWLINE_\\left (\\sum_{i=1}^n x_i^2 \\right)\\left (\\sum_{i=1}^n y_i^2 \\right) \\geq \\left (\\sum_{i=1}^n x_i  y_i  \\right)^2 \\blacktriangle\n_START_SECTION_\nKvadratin\xc4\x97s lygties metodas\n_START_PARAGRAPH_\nTarkime  (a_n)_{n \\geq 1}  ir  (b_n)_{n \\geq 1}  yra reali\xc5\xb3j\xc5\xb3 skai\xc4\x8di\xc5\xb3 sekos. Pasteb\xc4\x97kime, kad kvadratin\xc4\x97 funkcija  f(x)=\\sum_{i=1}^n \\left (a_ix-b_i \\right)^2  yra teigiama su bet kokiu x\\in\\mathbb{R}, taigi jos diskriminantas D turi b\xc5\xabti ma\xc5\xbeesnis arba lygus u\xc5\xbe nul\xc4\xaf. Taigi:_NEWLINE_ f(x)=\\sum_{i=1}^n \\left (a_ix-b_i \\right)^2 = x^2\\sum_{i=1}^n a_i^2 -2x\\sum_{i=1}^n a_ib_i + \\sum_{i=1}^n b_i^2 \\geq 0 , bei  D \\leq 0 \\Rightarrow _NEWLINE_D = 4\\left (\\sum_{i=1}^n a_i b_i \\right)^2  - 4\\left (\\sum_{i=1}^n a_i^2 \\right)\\left (\\sum_{i=1}^n b_i^2 \\right) \\leq 0 \\Rightarrow _NEWLINE_\\left (\\sum_{i=1}^n a_i^2 \\right)\\left (\\sum_{i=1}^n b_i^2 \\right) \\geq \\left (\\sum_{i=1}^n a_i  b_i  \\right)^2 \\blacktriangle\n_START_SECTION_\nAM\xc2\xa0\xe2\x80\x93 GM metodas\n_START_PARAGRAPH_\nPa\xc5\xbeym\xc4\x97kime  A=\\sqrt{\\sum_{i=1}^n a_i^2}  ir  B=\\sqrt{\\sum_{i=1}^n b_i^2} , tuomet pagal aritmetinio\xc2\xa0\xe2\x80\x93 geometrinio vidurkio (AM  \\geq  GM) nelygyb\xc4\x99 turime:_NEWLINE_ \\sum_{i=1}^n \\frac{a_ib_i}{AB} \\leq \\frac{1}{2} \\sum_{i=1}^n \\left (\\frac{a_i^2}{A^2}+\\frac{b_i^2}{B^2} \\right) = 1 \\Rightarrow \\sum_{i=1}^n a_ib_i \\leq AB  , o pak\xc4\x97lus abi puses kvadratu gausime tai, k\xc4\x85 ir reik\xc4\x97jo \xc4\xafrodyti.  \\blacktriangle\n_START_SECTION_\nJenseno nelygyb\xc4\x97s metodas\n_START_PARAGRAPH_\nAkivaizdu, kad funkcija  f(x)=x^2  yra \xc4\xafgaubta visoje skai\xc4\x8di\xc5\xb3 ties\xc4\x97je (t. y. jos  f''(x) > 0 ), tod\xc4\x97l galime taikyti pasvert\xc4\x85j\xc4\x85 Jenseno nelygyb\xc4\x99:_NEWLINE_ \\sum_{i=1}^n w_ix_i^2 \\geq \\left (\\sum_{i=1}^n w_ix_i \\right)^2  ,\xc4\x8dia  w_i  yra pasirinktas funkcijos svorio vienetas, o \xc5\xa1i\xc5\xb3 svorio vienet\xc5\xb3 suma yra apibr\xc4\x97\xc5\xbeta ir lygi vienetui:  \\sum_{i=1}^n w_i = 1; _NEWLINE_Dabar kiekvienam  b_i \\neq 0  ir  i=1, 2, 3, ..., n  parenkame  x_i=\\frac{a_i}{b_i}  bei  w_i = \\frac{b_i^2}{\\sum_{i=1}^n b_i^2} , o tai \xc4\xafsista\xc4\x8dius \xc4\xaf Jenseno nelygyb\xc4\x97s i\xc5\xa1rai\xc5\xa1k\xc4\x85 gausime Ko\xc5\xa1i\xc2\xa0\xe2\x80\x93 \xc5\xa0varco nelygyb\xc4\x99.  \\blacktriangle\n_START_SECTION_\nAndresko\xc2\xa0\xe2\x80\x93 Anesko \xc4\xafrodymas\n_START_PARAGRAPH_\nTarkime a,b\\in\\mathbb{R} ir x,y\\in\\mathbb{R^+}, tuomet akivaizdu, kad galioja:_NEWLINE_\\left (ay-bx \\right)^2 \\geq 0 \\Rightarrow _NEWLINE_ a^2y^2+b^2x^2 -2abxy \\geq 0 \\Rightarrow _NEWLINE_ \\frac{a^2y}{x} + \\frac{b^2x}{y} \\geq 2ab \\Rightarrow _NEWLINE_ \\frac{a^2y}{x} + \\frac{b^2x}{y} +a^2 +b^2 \\geq \\left (a+b\\right)^2 , o pertvark\xc4\x99 gauname:_NEWLINE_ \\frac{a^2}{x} + \\frac {b^2}{y} \\geq \\frac{(a+b)^2}{x+y}.  \xc5\xa0i nelygyb\xc4\x97 dar vadinama Tito lema. Dabar pakeit\xc4\x99  b  \xc4\xaf  b+c  , kur  c\\in\\mathbb{R} , bei  y  \xc4\xaf  y+z  , kur  z \\in\\mathbb{R^+}  ir pritaik\xc4\x99 Tito lem\xc4\x85, gausime:_NEWLINE_ \\frac{a^2}{x} + \\frac {b^2}{y} +\\frac{c^2}{z} \\geq \\frac{(a+b+c)^2}{x+y+z} , o kartodami \xc5\xa1ias pakeitimo operacijas n kart\xc5\xb3, gausime apibendrint\xc4\x85 Tito lem\xc4\x85, dar vadinam\xc4\x85 Ko\xc5\xa1i\xc2\xa0\xe2\x80\x93 \xc5\xa0varco nelygybe Engel formoje (matematiko Art\xc5\xabro Engelio garbei):_NEWLINE_ \\sum_{i=1}^n \\frac{a_i^2}{b_i} \\geq \\frac{\\left (\\sum_{i=1}^n a_i\\right)^2}{\\sum_{i=1}^n b_i}.  Belieka tik pasteb\xc4\x97ti, kad parink\xc4\x99 tokius  a_i=\\alpha_i \\beta_i  ir  b_i = \\beta_i^2  gausime standartin\xc4\x99 Ko\xc5\xa1i\xc2\xa0\xe2\x80\x93 \xc5\xa0varco nelygyb\xc4\x99:_NEWLINE_\\left (\\sum_{i=1}^n \\alpha_i^2 \\right)\\left (\\sum_{i=1}^n \\beta_i^2 \\right) \\geq \\left (\\sum_{i=1}^n \\alpha_i  \\beta_i  \\right)^2 \\blacktriangle"