b'\n_START_ARTICLE_\nAnatolijus Karacuba\n_START_SECTION_\nAnkstyvieji darbai i\xc5\xa1 informatikos\n_START_PARAGRAPH_\nB\xc5\xabdamas Maskvos valstybinio Lomonosovo universiteto studentu, Karacuba lank\xc4\x97 Andrejaus Kolmogorovo seminarus ir i\xc5\xa1sprend\xc4\x97 dvi Kolmogorovo i\xc5\xa1keltas problemas, kurios buvo svarbios automat\xc5\xb3 teorijos vystymui ir dav\xc4\x97 prad\xc5\xbei\xc4\x85 naujai matematikos \xc5\xa1akai \xe2\x80\x93 greit\xc5\xb3j\xc5\xb3 algoritm\xc5\xb3 teorijai.\n_START_SECTION_\nAutomatai\n_START_PARAGRAPH_\nEdvardo F. Muro (Edward F. Moore) straipsnyje  tipo  automatu arba ma\xc5\xa1ina yra vadinamas \xc4\xafrenginys su  b\xc5\xabsen\xc5\xb3,  \xc4\xaf\xc4\x97jimo simboli\xc5\xb3 ir  i\xc5\xa1\xc4\x97jimo simboli\xc5\xb3. Straipsnyje buvo \xc4\xafrodytos devynios teoremos apie  strukt\xc5\xabr\xc4\x85 ir eksperimentus su . V\xc4\x97liau  buvo pavadintos Muro ma\xc5\xa1inomis. Straipsnio pabaigoje skyrelyje "Naujos problemos" Muras suformulavo problem\xc4\x85 apie \xc4\xafver\xc4\x8di\xc5\xb3, gaut\xc5\xb3 8 ir 9 teoremose patikslinim\xc4\x85._NEWLINE_8 teorema (Muro). Tarkime, jog  yra tokia tipo  ma\xc5\xa1ina, kad bet kurios dvi b\xc5\xabsenos yra skirtingos viena nuo kitos. Tuomet egzistuoja  ilgio algoritmas, savo pabaigoje identifikuojantis  b\xc5\xabsen\xc4\x85._NEWLINE_1957 m. Karacuba \xc4\xafrod\xc4\x97 dvi teoremas, kurios pilnai i\xc5\xa1sprend\xc4\x97 Muro problem\xc4\x85 apie 8 teoremos algoritmo ilgio patikslinim\xc4\x85._NEWLINE_A teorema (Karacubos). Tarkime, jog  yra tipo  ma\xc5\xa1ina, kurios bet kurios dvi b\xc5\xabsenos yra skirtingos. Tuomet egzistuoja ne didesnio negu  i\xc5\xa1si\xc5\xa1akoj\xc4\x99s algoritmas, pagal kur\xc4\xaf ekspermento pabaigoje gali b\xc5\xabti surasta ma\xc5\xa1inos  b\xc5\xabsena._NEWLINE_B teorema (Karacubos). Egzistuoja tokia  tipo ma\xc5\xa1ina su skirtingomis b\xc5\xabsenomis, kad b\xc5\xabsenos radimo trumpiausio algoritmo ilgis yra _NEWLINE_\xc5\xa0ias dvi teoremas Karacuba \xc4\xafrod\xc4\x97 ketvirtame kurse, jos buvo jo kursinio darbo pagrindas. Atitinkamas straipsnis 1958 m. gruod\xc5\xbeio 17 d. buvo \xc4\xafteiktas \xc5\xbeurnalui "Uspechi Matem. Nauk" ir paskelbtas 1960 m. Iki \xc5\xa1iol \xc5\xa1is Karacubos rezultatas, v\xc4\x97liau pavadintas Muro-Karacubos teorema, lieka tiksliausias (tiksliausias ne tiesinis eil\xc4\x97s \xc4\xafvertis) ne tiesinis rezultatas tiek automat\xc5\xb3 teorijoje, tiek ir analogi\xc5\xa1kose skai\xc4\x8diavim\xc5\xb3 sud\xc4\x97tingumo teorijos problemose.\n_START_SECTION_\nGreitieji algoritmai\n_START_PARAGRAPH_\nGreitieji algoritmai yra matematikos sritis, nagrin\xc4\x97janti duotos funkcijos apskai\xc4\x8diavimo nurodytu tikslumu algoritmus naudojant kiek galima ma\xc5\xbeiau operacijos bit\xc5\xb3. Tarkime, jog skai\xc4\x8diai yra u\xc5\xbera\xc5\xa1yti binarioje sistemoje, kurios \xc5\xbeenklai  ir  yra vadinami "bitais". Vienos "operacijos bitas" apibr\xc4\x97\xc5\xbeiamas ra\xc5\xa1ant vien\xc4\x85 i\xc5\xa1 \xc5\xbeenkl\xc5\xb3 , plius, minus, skliausteliai; ra\xc5\xa1ant greta, atimant ir sudauginant du bitus. Andrejus Kolmogorovas pirmasis i\xc5\xa1k\xc4\x97l\xc4\x97 problemas apie skai\xc4\x8diavimo sud\xc4\x97tigumo bitus. Daugybos sud\xc4\x97tigumas  yra skai\xc4\x8dius operacijos bit\xc5\xb3, reikalingas apskai\xc4\x8diuoti dviej\xc5\xb3  skaitmen\xc5\xb3 skai\xc4\x8di\xc5\xb3 sandaug\xc4\x85, naudojant duot\xc4\x85 algoritm\xc4\x85._NEWLINE_Daugindami du -skaitmen\xc5\xb3 skai\xc4\x8dius \xc4\xafprastu mokykliniu stulpelio metodu, gauname, kad . 1956 m. A. N. Kolmogorovas i\xc5\xa1k\xc4\x97l\xc4\x97 hipotez\xc4\x99, jog bet kurio daugybos metodo apatinis  r\xc4\x97\xc5\xbeis taip pat yra  eil\xc4\x97s, t. y., negalima apskai\xc4\x8diuoti dviej\xc5\xb3  skaitmen\xc5\xb3 skai\xc4\x8di\xc5\xb3 sandaug\xc4\x85 grei\xc4\x8diau negu naudojant  operacij\xc5\xb3 (vadinamoji Kolmogorovo  hipotez\xc4\x97).  hipotez\xc4\x97 atrod\xc4\x97 realistin\xc4\x97, kadangi visa skai\xc4\x8di\xc5\xb3 daugybos istorija naudojosi eil\xc4\x97s  sed\xc4\x97tingumu, ir jei greitesnis metodas b\xc5\xabt\xc5\xb3 egzistav\xc4\x99s, jis tikriausiai jau b\xc5\xabt\xc5\xb3 surastas._NEWLINE_1960 m. Anatolijus Karacuba surado nauj\xc4\x85  \xc5\xbeenkl\xc5\xb3 skai\xc4\x8di\xc5\xb3 daugybos b\xc5\xabd\xc4\x85, dabar vadinam\xc4\x85 Karacubos algoritmu, kurio sud\xc4\x97tingumo eil\xc4\x97 . Taigi,  hipotez\xc4\x97 buvo paneigta. Karacuba \xc5\xa1\xc4\xaf rezultat\xc4\x85 1960 m. pristat\xc4\x97 Maskvos Valstybinio Universiteto Kolmogorovo seminare, kuris v\xc4\x97liau nustojo veikti. Pirm\xc4\x85j\xc4\xaf straipsn\xc4\xaf, kuriame buvo i\xc5\xa1d\xc4\x97stytas metodas, paruo\xc5\xa1\xc4\x97 pats Kolmogorovas. Jame buvo pateikti du skirtingi, vienas su kitu nesusij\xc4\x99, jo dviej\xc5\xb3 student\xc5\xb3 rezultatai. Straipsnyje Kolmogorovas ai\xc5\xa1kiai nurod\xc4\x97, jog viena teorema (nesusijusi su greita daugyba) priklauso J. Ofmanui, o kita (su pirmuoju greitosios daugybos algoritmu) yra \xc4\xafrodyta A. Karacubos. V\xc4\x97liau Karacubos metodas buvo pavadintas "Dalyk ir nugal\xc4\x97k" algoritmu. Kiti \xc5\xa1io metodo pavadinimai, priklausomai nuo taikym\xc5\xb3 srities, yra Binarusis skaidymas, Dichotomijos principas ir t. t._NEWLINE_V\xc4\x97liau, remiantis Karacubos id\xc4\x97jomis buvo sukonstruoti t\xc5\xabkstan\xc4\x8diai greit\xc5\xb3j\xc5\xb3 algoritm\xc5\xb3. Dauguma j\xc5\xb3 yra tiesioginiai Karacubos metodo apibendrinimai. Tokie yra \xc5\xa0onhag\xc4\x97s-\xc5\xa0traseno (Sch\xc3\xb6nhage-Strassen) ir \xc5\xa0traseno matric\xc5\xb3 daugybos algoritmai. Pastaraisiais metais "Dalyk ir nugal\xc4\x97k" vardas yra naudojamas operacijoms, kurios problem\xc4\x85 skaldo \xc4\xaf dalis, ir tai paprastai n\xc4\x97ra susij\xc4\x99 su greitais skai\xc4\x8diavimo algoritmais._NEWLINE_Pranc\xc5\xabz\xc5\xb3 matematikas ir filosofas \xc5\xbdanas \xe2\x80\x93 Polis Delaj\xc4\x97 (Jean-Paul Delahaye) laik\xc4\x97 Karacubos daugybos metod\xc4\x85 "vienu i\xc5\xa1 naudingiausi\xc5\xb3 matematikos rezultat\xc5\xb3"._NEWLINE_Anatolijaus Karacubos algoritmas prakti\xc5\xa1kai yra realizuotas \xc5\xa1iuolaikiniuose kompiuteriuose, ne tik programin\xc4\x97je, bet ir technin\xc4\x97je \xc4\xafrangoje.\n_START_SECTION_\nDarbai i\xc5\xa1 skai\xc4\x8di\xc5\xb3 teorijos\n_START_PARAGRAPH_\nStraipsnyje "Apie profesoriaus A. A. Karacubos matematikos darbus", paskelbtame A. A. Karacubos \xc5\xa1e\xc5\xa1iasde\xc5\xa1imtme\xc4\x8dio proga, jo buv\xc4\x99 mokiniai G. I. Archipovas ir V. N. \xc4\x8ciubarikovas i\xc5\xa1skiria tokius A. A. Karacubos mokslini\xc5\xb3 straipsni\xc5\xb3 charakteringus bruo\xc5\xbeus: "Apra\xc5\xa1ant garsi\xc5\xb3 mokslinink\xc5\xb3 darbus, yra nat\xc5\xabralu apibendrinti j\xc5\xb3k\xc5\xabrybinio darbo kai kurias charakteristikas. Tokie i\xc5\xa1siskiriantys profesoriaus Karacubos mokslinio darbo bruo\xc5\xbeai yra \xc4\xafvairiapusis genialumas, fundamentalus charakteris ir rezultat\xc5\xb3 i\xc5\xa1baigtumas"._NEWLINE_Svarbiausi A. A. Karacubos darbai yra paskelbti daugiau negu 160 mokslini\xc5\xb3 straipsni\xc5\xb3 ir monografij\xc5\xb3.\n_START_SECTION_\n$p$-adinis metodas\n_START_PARAGRAPH_\nA. A. Karacuba pastatytas naujas - adin\xc4\xaf metod\xc4\x85 trigonometrini\xc5\xb3 sum\xc5\xb3 teorijoje. Taip vadinam\xc5\xb3  sum\xc5\xb3 pavidalo_NEWLINE_\xc4\xafver\xc4\x8diai, gauti darbe, s\xc4\x85lygojo naujus Dirichl\xc4\x97  funkcij\xc5\xb3 su pirminio skai\xc4\x8diaus laipsnio moduliu nuli\xc5\xb3 \xc4\xafver\xc4\x8dius, Varingo (Waring) lyginio_NEWLINE_ sprendini\xc5\xb3 skai\xc4\x8diaus asimptotin\xc4\x99 formul\xc4\x99, polinomo su sveikais keoficientais moduliu  trupmenini\xc5\xb3 dali\xc5\xb3 pasiskirstymo problemos sprendim\xc4\x85. A. A. Karacuba pirmasis realizavo Oilerio \xe2\x80\x93 Vinogradovo " \xc4\xafd\xc4\x97jimo principo" -adin\xc4\xaf variant\xc4\x85 ir suskai\xc4\x8diavo Vinogradovo -skai\xc4\x8diaus, \xc4\xafvertinan\xc4\x8dio Varingo tipo lyginio sprendini\xc5\xb3 skai\xc4\x8di\xc5\xb3, -adin\xc4\xaf analog\xc4\x85. Tarkime, kad_NEWLINE_ir, be to, , o  yra pirminis skai\xc4\x8dius. Karacuba \xc4\xafrod\xc4\x97, kad tuomet su kiekvienu nat\xc5\xabraliuoju  egzistuoja toks , kad, kai  kiekvienas nat\xc5\xabralusis skai\xc4\x8dius  gali b\xc5\xabti i\xc5\xa1reik\xc5\xa1tas (1) forma su , o kai , egzistuoja tokie , kad (1) lyginys neturi prasm\xc4\x97s._NEWLINE_\xc5\xa0is naujas Karacubos metodas atved\xc4\x97 prie naujo -adinio Vinogradovo vidurki\xc5\xb3 teoremos, sudaran\xc4\x8dios Vinogradovo trigonometrini\xc5\xb3 sum\xc5\xb3 metodo svarbiausi\xc4\x85 dal\xc4\xaf, \xc4\xafrodymo._NEWLINE_Kitas A. A. Karacubos -adinio metodo privalumas yra per\xc4\x97jimas nuo nepilnos lyg\xc4\x8di\xc5\xb3 sistemos prie pilnos -adinio ne\xc5\xbeinom\xc5\xb3j\xc5\xb3 pakeitimo d\xc4\x97ka._NEWLINE_Tegul  yra bet koks nat\xc5\xabralusis skai\xc4\x8dius, , o sveikasis skai\xc4\x8dius  yra apibr\xc4\x97\xc5\xbetas nelygyb\xc4\x97mis  Nagrin\xc4\x97kime lyg\xc4\x8di\xc5\xb3 sistem\xc4\x85_NEWLINE_kurioje  Karacuba parod\xc4\x97, kad \xc5\xa1ios sistemos sprendini\xc5\xb3 skai\xc4\x8diui  kai , yra teisingas \xc4\xafvertis_NEWLINE_Nepilnoms lyg\xc4\x8di\xc5\xb3 sistemoms, kai kintamieji perb\xc4\x97ga skai\xc4\x8dius su ma\xc5\xbeais pirminiais dalikliais, Karacuba pritaik\xc4\x97 multiplikatyv\xc5\xb3 kintam\xc5\xb3j\xc5\xb3 pakeitim\xc4\x85. Tai leido gauti i\xc5\xa1 esm\xc4\x97s naujus trigonometrini\xc5\xb3 sum\xc5\xb3 \xc4\xafver\xc4\x8dius ir nauj\xc4\x85 vidurki\xc5\xb3 teorem\xc4\x85 tokio tipo lyg\xc4\x8di\xc5\xb3 sistemoms.\n_START_SECTION_\nHua-Luogeng\'o problema apie Terio (Terry) problemos singuliariojo integralo rodikli\xc5\xb3 konvergavim\xc4\x85\n_START_PARAGRAPH_\n-adinis A. A. Karacubos metodas leid\xc5\xbeia \xc4\xafvertinti ta\xc5\xa1k\xc5\xb3 aibi\xc5\xb3, sudaryt\xc5\xb3 i\xc5\xa1 ma\xc5\xbe\xc5\xb3 funkcij\xc5\xb3 reik\xc5\xa1mi\xc5\xb3, mat\xc4\x85 t\xc5\xb3 reik\xc5\xa1mi\xc5\xb3 ir j\xc5\xb3 parametr\xc5\xb3 (koeficient\xc5\xb3 ir t. t.) terminais, ir, prie\xc5\xa1ingai, duoda b\xc5\xabd\xc4\x85 t\xc5\xb3 parametr\xc5\xb3 \xc4\xafvertinimui min\xc4\x97tos aib\xc4\x97s mato terminais tiek realioje, tiek ir -adin\xc4\x97je metrikoje. \xc5\xa0i Karacubos metodo pus\xc4\x97 labai ry\xc5\xa1kiai pasirei\xc5\xa1kia trigonometrini\xc5\xb3 integral\xc5\xb3 \xc4\xafvertinime, kuris atved\xc4\x97 prie Hua Luogengo problemos sprendimo. 1979 m. Karacuba kartu su savo mokiniais G. I. Archipovu ir V. N. \xc4\x8ciubarikovu gavo piln\xc4\x85 Hua Lougengo problemos sprendim\xc4\x85, nurodydami integralo_NEWLINE_konvergavimo rodikl\xc4\xaf, kai  yra fiksuotas skai\xc4\x8dius. \xc5\xa0i problema buvo i\xc5\xa1kelta 1937 m. Konvergavimo rodiklis yra reik\xc5\xa1m\xc4\x97 , su kuria integralas  konverguoja, kai  ir diverguoja, kai . \xc4\x8cia  yra kiek norima ma\xc5\xbeas skai\xc4\x8dius. Buvo \xc4\xafrodyta, kad integralas  konverguoja, kai $2k > \\frac{1}{2}(n^{2}+n)+1$, ir diverguoja, kai $2k \\leq \\frac{1}{2}(n^{2}+n)+1$. Tuo pa{\\v c}iu metu pana{\\v s}i problema buvo i\xc5\xa1spr\xc4\x99sta ir integralui_NEWLINE_ \xc4\x8dia  yra sveikieji skai\xc4\x8diai, tenkinantys nelygybes . Karacuba ir jo mokiniai \xc4\xafrod\xc4\x97, jog integralas  konverguoja, kai , ir diverguoja, kai ._NEWLINE_Integralai  ir  atsiranda nagrin\xc4\x97jant taip vadinam\xc4\x85 Pru\xc5\xa1\xc4\x97-Terio-Eskoto (Prouchet-Tarry-Escott) problem\xc4\x85. Karacuba su savo mokiniais gavo eil\xc4\x99 nauj\xc5\xb3 rezultat\xc5\xb3, lie\xc4\x8dian\xc4\x8di\xc5\xb3 daugiamat\xc4\xaf Terio problemos analog\xc4\x85. Be kita ko, jie \xc4\xafrod\xc4\x97, kad jei  yra , , kintam\xc5\xb3j\xc5\xb3 polinomas_NEWLINE_ polinomo  laisvasis narys lygus nuliui, , o  yra  \xe2\x80\x93 matis vektorius, sudarytas i\xc5\xa1 polinomo  koeficient\xc5\xb3, tai tuomet integralas_NEWLINE_konverguoja, kai , \xc4\x8dia  yra did\xc5\xbeiausias i\xc5\xa1 skai\xc4\x8di\xc5\xb3 . \xc5\xa0is rezultatas, nors ir ne galutinis, inspiravo nauj\xc4\x85 trigonometrini\xc5\xb3 integral\xc5\xb3 teorijos srit\xc4\xaf, susijusi\xc4\x85 su integralo  konvergavimo rodiklio \xc4\xafver\xc4\x8dio patikslinimu (I. A. Ikromovas, M. A. \xc4\x8cahkijevas ir kiti).\n_START_SECTION_\nKartotin\xc4\x97s trigonometrin\xc4\x97s sumos\n_START_PARAGRAPH_\n1966\xe2\x80\x931980 Karacuba suk\xc5\xabr\xc4\x97 kartotini\xc5\xb3 Hermano Veilio (Hermann Weyl) trigonometrini\xc5\xb3 sum\xc5\xb3, t. y., sum\xc5\xb3 pavidalo_NEWLINE_su_NEWLINE_ir reali\xc5\xb3 koeficient\xc5\xb3  sistema , teorij\xc4\x85. Centrin\xc4\x97 tos teorijos, kaip ir Vinogradovo trigonometrini\xc5\xb3 sum\xc5\xb3 teorijos, vieta yra tokia vidurki\xc5\xb3 teorema._NEWLINE_Tegul ,  yra nat\xc5\xabralieji skai\xc4\x8diai, , . Be to, tegul  yra  -matis kubas , , , euklidin\xc4\x97je erdv\xc4\x97je ir_NEWLINE_Tuomet su kiekvienu  ir  yra teisingas \xc4\xafvertis_NEWLINE_\xc4\x8dia , , , , o nat\xc5\xabralieji skai\xc4\x8diai  tenkina nelygybes , ._NEWLINE_Vidurki\xc5\xb3 teorema kartu su lema apie daugiama\xc4\x8di\xc5\xb3 gretasieni\xc5\xb3 susikirtimo kartotinum\xc4\x85 sudaro Karacubos gauto kartotini\xc5\xb3 trigonometrini\xc5\xb3 sum\xc5\xb3 \xc4\xafvertinimo pagrind\xc4\x85. Tegul  yra skai\xc4\x8di\xc5\xb3 , tenkinan\xc4\x8di\xc5\xb3 s\xc4\x85lyg\xc4\x85  bendras ma\xc5\xbeiausias kartotinis. Tuomet, kai , galioja \xc4\xafvertis_NEWLINE_\xc4\x8dia  yra skai\xc4\x8diaus  dalikli\xc5\xb3 skai\xc4\x8dius, o  yra skai\xc4\x8diaus  skirting\xc5\xb3 pirmini\xc5\xb3 dalikli\xc5\xb3 skai\xc4\x8dius.\n_START_SECTION_\nHard\xc5\xbeio funkcijos Varingo problemoje \xc4\xafvertis\n_START_PARAGRAPH_\nPritaik\xc4\x99s Hard\xc5\xbeio-Litlvudo-Vinogradovo metodo -adin\xc4\x97 form\xc4\x85 trigonometrini\xc5\xb3 sum\xc5\xb3, kuriose yra sumuojama pagal skai\xc4\x8dius su ma\xc5\xbeais pirminiais dalikliais vertinimui, Karacuba gavo nauj\xc4\x85 \xc4\xafvert\xc4\xaf gerai \xc5\xbeinomoms Hard\xc5\xbeio funkcijoms  Varingo problemoje, kai\n_START_SECTION_\nVaringo problemos daugiamatis analogas\n_START_PARAGRAPH_\nToliau nagrin\xc4\x97damas Varingo problem\xc4\x85, Karacuba gavo tok\xc4\xaf dvimat\xc4\xaf jos apibendrinim\xc4\x85._NEWLINE_Imkime lyg\xc4\x8di\xc5\xb3 sistem\xc4\x85_NEWLINE_kurioje  yra duoti sveikieji teigiami skai\xc4\x8diai su tuo pa\xc4\x8diu augimo grei\xc4\x8diu, ,  ir  yra ne\xc5\xbeinomieji, kurie taip pat yra sveikieji teigiami skai\xc4\x8diai. \xc5\xa0i sistema turi sprendini\xc5\xb3, kai , o kai , tai egzistuoja tokie , kad sistema neturi sprendini\xc5\xb3.\n_START_SECTION_\nArtino (Artin) problema apie lokali\xc4\x85 nulio i\xc5\xa1rai\xc5\xa1k\xc4\x85 duot\xc4\x85ja forma\n_START_PARAGRAPH_\nNagrin\xc4\x97damas Artino problem\xc4\x85 apie -adin\xc4\x99 nulio i\xc5\xa1rai\xc5\xa1k\xc4\x85 bet kokio laipsnio forma, Karacuba prie\xc5\xa1ingai egzistuojan\xc4\x8diai hipotezei, kad nulio i\xc5\xa1rei\xc5\xa1kimui netrivialia forma reikia, jog kintam\xc5\xb3j\xc5\xb3 skai\xc4\x8dius augt\xc5\xb3 polinomi\xc5\xa1kai, \xc4\xafrod\xc4\x97, kad i\xc5\xa1 tikr\xc5\xb3j\xc5\xb3 \xc5\xa1is skai\xc4\x8dius tur\xc4\x97t\xc5\xb3 augti beveik eksponenti\xc5\xa1kai priklausomai nuo formos laipsnio._NEWLINE_Karacuba kartu su savo mokiniu Archipovu \xc4\xafrod\xc4\x97 , kad su kiekvienu nat\xc5\xabraliuoju  egzistuoja toks , kad su visais  yra ma\xc5\xbeesnio negu  laipsnio   kintam\xc5\xb3j\xc5\xb3 su sveikais koeficientais forma  turinti tik triviali\xc4\x85 nulio i\xc5\xa1rai\xc5\xa1k\xc4\x85 -adiniais skai\xc4\x8diais. Pana\xc5\xa1ius rezultatus jie gavo su bet kuriuo nelyginiu pirminiu moduliu .\n_START_SECTION_\nSelbergo hipotez\xc4\x97\n_START_PARAGRAPH_\n1984 m. Karacuba \xc4\xafrod\xc4\x97, kad su fiksuotu ,  , pakankamai dideliu  ir  su  intervale  yra bent  Rymano dzeta funkcijos  reali\xc5\xb3 nuli\xc5\xb3._NEWLINE_\xc5\xa0is nuli\xc5\xb3 skai\xc4\x8dius yra 1942 m. Atl\xc4\x97s Selbergo (Atle Selberg) i\xc5\xa1kelta hipotez\xc4\x97, kuri\xc4\x85 jis pats ir \xc4\xafrod\xc4\x97 atveju _NEWLINE_\xc5\xa0ie Selbergo ir Karacubos \xc4\xafver\xc4\x8diai negali b\xc5\xabti patikslinti augimo eil\xc4\x97s at\xc5\xbevilgiu, kai\n_START_SECTION_\nRymano dzeta funkcijos nuli\xc5\xb3 pasiskirstymas trumpuose kritin\xc4\x97s ties\xc4\x97s intervaluose\n_START_PARAGRAPH_\nKaracuba gavo eil\xc4\x99 rezultat\xc5\xb3 apie funkcijos  nuli\xc5\xb3 pasiskirstym\xc4\x85 kritin\xc4\x97je ties\xc4\x97je. Jis \xc4\xafrod\xc4\x97, jog Selbergo hipotez\xc4\x97s analogas yra teisingas "beveik visiems" intervalams  su , kai  yra kiek norint ma\xc5\xbeas fiksuotas teigiamas skai\xc4\x8dius. 1992 m. Karacuba i\xc5\xa1vyst\xc4\x97 nauj\xc4\x85 Rymano dzeta funkcijos nuli\xc5\xb3 labai trumpuose kritin\xc4\x97s ties\xc4\x97s intervaluose  tyrin\xc4\x97jimo metod\xc4\x85, kai intervalo ilgis  auga l\xc4\x97\xc4\x8diau u\xc5\xbe bet kur\xc4\xaf, kad ir labai ma\xc5\xbe\xc4\x85,  laipsn\xc4\xaf. Be kita ko, jis \xc4\xafrod\xc4\x97, kad su bet kuriais  ir ,  , beveik visuose intervaluose  su  yra bent  funkcijos  nuli\xc5\xb3. Pastarasis \xc4\xafvertis labai ma\xc5\xbeai skiriasi nuo \xc4\xafver\xc4\x8dio, kuris i\xc5\xa1plaukia i\xc5\xa1 Rymano hipotez\xc4\x97s.\n_START_SECTION_\nDzeta funkcijos elgesys kritin\xc4\x97je ties\xc4\x97je\n_START_PARAGRAPH_\nKaracuba gavo eil\xc4\x99 nauj\xc5\xb3 rezultat\xc5\xb3 apie funkcijos , vadinamos Rymano dzeta funkcijos argumentu kritin\xc4\x97je ties\xc4\x97je, elges\xc4\xaf. \xc4\x8cia  yra bet kurios tolyd\xc5\xbeios  \xc5\xa1akos pokytis i\xc5\xa1ilgai lau\xc5\xbet{\\. e}s, jungian{\\v c}ios ta\xc5\xa1kus ,  ir  Tarp t\xc5\xb3 rezultat\xc5\xb3 yra funkcijos  ir jos pirmojo integralo  vidurki\xc5\xb3 teoremos realiosios ties{\\. e}s intervaluose bei teorema, tvirtinanti, jog intervale  su  yra bent  ta\xc5\xa1k\xc5\xb3, kuriuose funkcija  kei\xc4\x8dia \xc5\xbeenkl\xc4\x85. Anks\xc4\x8diau pana\xc5\xa1ius rezultatus atveju  buvo gav\xc4\x99s Selbergas.\n_START_SECTION_\nPaskutini\xc5\xb3j\xc5\xb3 met\xc5\xb3 darbai\n_START_PARAGRAPH_\nPaskutiniaisiais gyvenimo metais be skai\xc4\x8di\xc5\xb3 teorijos tyrim\xc5\xb3 Karacuba nagrin\xc4\x97jo ir kai kurias teorin\xc4\x97s fizikos problemas, ypa\xc4\x8d kvantin\xc4\x97s k\xc5\xabn\xc5\xb3 teorijos srityje. Pritaik\xc4\x99s savo ATS teorem\xc4\x85 ir kai kuriuos kitus skai\xc4\x8di\xc5\xb3 teorijos metodus, jis gavo naujus rezultatus apie D\xc5\xbeeinso-Kamingso (Jaynes-Cummings) model\xc4\xaf kvantin\xc4\x97je optikoje.'