b"\n_START_ARTICLE_\nDualus briaunainis\n_START_PARAGRAPH_\nGeometrijoje, briaunainiai tarpusavyje yra susij\xc4\x99 poromis, vadinamomis dualiais briaunainiais, arba tiesiog vienas kito dualais: dviej\xc5\xb3 duali\xc5\xb3 briaunaini\xc5\xb3 poroje, vieno briaunainio vir\xc5\xa1\xc5\xabn\xc4\x97s tiesiogiai atitinka kito briaunainio sienas. Bet kurio briaunainio dualo dualas yra tas pats pradinis briaunainis. Izogono dualas, kadangi (pagal apibr\xc4\x97\xc5\xbeim\xc4\x85) jis privalo tur\xc4\x97ti vir\xc5\xa1\xc5\xabn\xc4\x97ms ekvivalenti\xc5\xa1kas sienas, bus izoedras (ir atvirk\xc5\xa1\xc4\x8diai), o izotokso, kadangi privalo tur\xc4\x97ti ekvivalenti\xc5\xa1kas briaunas,\xc2\xa0\xe2\x80\x93 taip pat bus izotoksas. Taisyklingieji briaunainiai (Platono k\xc5\xabnai ir Keplerio-Puanso k\xc5\xabnai) irgi, kaip ir visi briaunainiai, sudaro dualias poras, tik \xc4\x8dia i\xc5\xa1imt\xc4\xaf sudaro tetraedras, kuris yra dualus pats sau._NEWLINE_Dualumas yra glaud\xc5\xbeiai susij\xc4\x99s su apgr\xc4\x99\xc5\xbeiamumu, arba poliarumu._NEWLINE_Bendrojoje matematikoje, dualumas, pa\xc4\x8dia bendriausia prasme, yra savyb\xc4\x97, leid\xc5\xbeianti pakeisti s\xc4\x85vokas, teoremas ar matematines strukt\xc5\xabras atitinkamai kitomis s\xc4\x85vokomis, teoremomis ar matematin\xc4\x97mis strukt\xc5\xabromis pagal princip\xc4\x85 \xe2\x80\x9evienas prie vieno\xe2\x80\x9c, ir, da\xc5\xbeniausiai (bet ne visuomet), naudojant involiucij\xc4\x85: jei A dualas yra B, tuomet B dualas yra A. \xc5\xa0i involiucija kartais turi fiksuotus \xe2\x80\x9eta\xc5\xa1kus\xe2\x80\x9c, tada A dualas yra tas pats A.\n_START_SECTION_\nTopologinis dualumas\n_START_PARAGRAPH_\nNepaisant, kad kiekvien\xc4\x85 dual\xc4\x85 galima taip deformuoti, jog b\xc5\xabt\xc5\xb3 nebe\xc4\xafmanoma jo gauti (jokioje sferoje) laipsni\xc5\xa1kai transformuojant original\xc4\x85, vis d\xc4\x97lto, \xc5\xa1iuo atveju galima sakyti, kad abu briaunainiai vis dar yra topologiniai arba abstraktieji dualai._NEWLINE_I\xc5\xa1kilo briaunainio vir\xc5\xa1\xc5\xabnes ir briaunas galima suprojektuoti ant sferos pavir\xc5\xa1iaus arba tikrosios plok\xc5\xa1tumos, kur i\xc5\xa1 j\xc5\xb3 gausime graf\xc4\x85, kitaip dar vadinam\xc4\x85 \xc5\xa0l\xc4\x97gelio (Schlegel) diagrama; o tokiu pat b\xc5\xabdu suprojektuoti \xc5\xa1io briaunainio dualo elementai sudaryt\xc5\xb3 pirmajam dual\xc5\xb3 graf\xc4\x85._NEWLINE_Abstraktus briaunainis yra tam tikra nepilnai sutvarkyta element\xc5\xb3 aib\xc4\x97 (angl. partially ordered set; poset), kurioje aib\xc4\x97s element\xc5\xb3 gretimumas ar ry\xc5\xa1iai yra susieti su briaunainio element\xc5\xb3 (sien\xc5\xb3, briaun\xc5\xb3 ir t. t.) gretimumu. Toki\xc4\x85 nepilnai sutvarkyt\xc4\x85 aib\xc4\x99 galima \xe2\x80\x9erealizuoti\xe2\x80\x9c kaip geometrin\xc4\xaf briaunain\xc4\xaf, turint\xc4\xaf toki\xc4\x85 pa\xc4\x8di\xc4\x85 topologin\xc4\x99 strukt\xc5\xabr\xc4\x85. Min\xc4\x97t\xc4\x85 aib\xc4\x99 galima i\xc5\xa1reik\xc5\xa1ti Has\xc4\x97s (Hasse) diagrama. Bet kuri tokia aib\xc4\x97 turi savo dual\xc4\x85. O dualaus briaunainio Has\xc4\x97s diagrama u\xc5\xbera\xc5\xa1oma labai paprastai: tereikia apgr\xc4\x99\xc5\xbeti pirmin\xc4\x99 diagram\xc4\x85.\n_START_SECTION_\nSud\xc4\x97tiniai briaunainiai, dual\xc5\xabs patys sau\n_START_PARAGRAPH_\nPaprastai, bet kurio briaunainio ir jo dualo sud\xc4\x97tinis darinys yra fig\xc5\xabra, duali pati sau._NEWLINE_Jei briaunainis yra dualus pats sau, tada j\xc4\xaf sud\xc4\x97jus su dualu, gausime kongruentin\xc4\xaf briaunain\xc4\xaf. Jei taisyklingai sud\xc4\x97sime du tetraedrus, gausime a\xc5\xa1tuoniakamp\xc4\x99 \xc5\xbevaig\xc5\xbed\xc4\x99, d\xc4\x97l savo taisyklingumo nuo seno \xc5\xbeinom\xc4\x85 lotyni\xc5\xa1ku stella octangula pavadinimu. \xc5\xa0iuo metu tik \xc5\xa1i sud\xc4\x97tin\xc4\x97 fig\xc5\xabra yra \xc5\xbeinoma, kaip visi\xc5\xa1kai kongruenti\xc5\xa1ka.\n_START_SECTION_\nDual\xc5\xabs politopai ir klojiniai\n_START_PARAGRAPH_\nDualum\xc4\x85 galima apibendrinti n-mat\xc4\x97s erdv\xc4\x97s dualiems politopams, kurie dvimat\xc4\x97je erdv\xc4\x97je vadinami dualiais daugiakampiais._NEWLINE_Tegul vieno politopo vir\xc5\xa1\xc5\xabn\xc4\x97s atitinka kito politopo (n \xe2\x88\x92 1)-ma\xc4\x8dius elementus, arba sienas, tada j ta\xc5\xa1kai, kurie apibr\xc4\x97\xc5\xbeia (j \xe2\x88\x92 1)-ma\xc4\x8dius elementus, atitiks j hiperplok\xc5\xa1tumas, kurios susikirsdamos sudaro (n \xe2\x88\x92 j)-ma\xc4\x8dius elementus. Pana\xc5\xa1iai galima apib\xc5\xabdinti ir 'n-ma\xc4\x8dius klojinius bei korius._NEWLINE_Bendru atveju, politopo dualo sienos bus pirminio politopo vir\xc5\xa1\xc5\xabni\xc5\xb3 plano topologiniai dualai. Taisykling\xc5\xb3j\xc5\xb3 ir tolygi\xc5\xb3j\xc5\xb3 politop\xc5\xb3 dual\xc5\xb3 sienos bus poliariai apgr\xc4\x99\xc5\xbetos politopo vir\xc5\xa1\xc5\xabn\xc4\x97s plano fig\xc5\xabros. Pavyzd\xc5\xbeiui, keturmat\xc4\x97je erdv\xc4\x97je, \xc5\xa1e\xc5\xa1ia\xc5\xa1imtaelemen\xc4\x8dio (angl. 600-cell) briaunainio vir\xc5\xa1\xc5\xabn\xc4\x97s planas yra taisyklingasis ikosaedras; \xc5\xa1e\xc5\xa1ia\xc5\xa1imtaelemen\xc4\x8dio dualas yra \xc5\xa1imtasdvide\xc5\xa1imtelementis (angl. 120-cell), kurio sienos yra dodekaedrai, o dodekaedras ir ikosaedras kaip tik yra dualai."