b'\n_START_ARTICLE_\nLauko teorija (matematika)\n_START_PARAGRAPH_\nLauko teorija yra matematikos sritis, kuri tiria matematini\xc5\xb3 lauk\xc5\xb3 savybes. Laukas yra matematin\xc4\x97 strukt\xc5\xabra, kurioje apibr\xc4\x97\xc5\xbetos sud\xc4\x97ties, atimties, daugybos ir dalybos operacijos.\n_START_SECTION_\nIstorija\n_START_PARAGRAPH_\nS\xc4\x85voka laukas buvo netiesiogiai panaudota Nylso Henriko Abelio ir Evaristo Galua darbe lygties i\xc5\xa1sprend\xc5\xbeiamumas._NEWLINE_1871 metais, Ri\xc4\x8dardas Dedekinas, pavadino "lauku" - reali\xc5\xb3 arba kompleksini\xc5\xb3 skai\xc4\x8di\xc5\xb3 aib\xc4\x99, kuri yra u\xc5\xbedara keturi\xc5\xb3 aritmetini\xc5\xb3 operacij\xc5\xb3 at\xc5\xbevilgiu._NEWLINE_1881 metais, Leopoldas Kronekeris terminu "racionalumo sritis" apib\xc5\xabdino tai, kas i\xc5\xa1 tikr\xc5\xb3j\xc5\xb3 yra polinom\xc5\xb3 laukas \xc5\xa1iuolaikiniuose matematikos apibr\xc4\x97\xc5\xbeimuose._NEWLINE_1893 metais, Henrikas V\xc4\x97beris dav\xc4\x97 pirm\xc4\x85 ai\xc5\xa1k\xc5\xb3 apibr\xc4\x97\xc5\xbeim\xc4\x85 abstrak\xc4\x8diam laukui._NEWLINE_1910 Ernestas Steinitzas publikavo svarb\xc5\xb3 straipsn\xc4\xaf Algebrin\xc4\x97 lauk\xc5\xb3 teorija. \xc4\x8cia jis tyrin\xc4\x97jo aksiomines lauk\xc5\xb3 savybes ir apibr\xc4\x97\xc5\xbe\xc4\x97 labai reik\xc5\xa1mingas, svarbias teorines lauko s\xc4\x85vokas, tokias kaip pagrindinis laukas, tobulas laukas ir transcendenti\xc5\xa1kumo laipsnis lauko pl\xc4\x97tinyje._NEWLINE_Galua, kuris net mintyse netur\xc4\x97jo termino "laukas", yra laikomas pirmuoju matematiku, apjungusiu grupi\xc5\xb3 teorij\xc4\x85 ir lauko teorij\xc4\x85. Galua teorija pavadinta jo garbei. Vis d\xc4\x97lto tik Emilis Artinas pirmasis nustat\xc4\x97 ry\xc5\xa1\xc4\xaf tarp grupi\xc5\xb3 ir lauk\xc5\xb3 1928-1942 metais.\n_START_SECTION_\n\xc4\xaevadas\n_START_PARAGRAPH_\nLaukai yra svarb\xc5\xabs objektai algebros moksle nuo to laiko, kai jie suteikia nauding\xc4\x85 daugyb\xc4\x97s skai\xc4\x8di\xc5\xb3 sistem\xc5\xb3 apibendrinim\xc4\x85, tok\xc4\xaf kaip racional\xc5\xabs skai\xc4\x8diai, realieji skai\xc4\x8diai ir kompleksiniai skai\xc4\x8diai. Juose ypa\xc4\x8d svarbios asociatyvumo, komutatyvumo ir distributyvumo taisykl\xc4\x97s. Laukai taip pat yra daugelyje kit\xc5\xb3 matematikos sri\xc4\x8di\xc5\xb3 (\xc5\xbei\xc5\xabr\xc4\x97ti pavyzd\xc5\xbeius, esan\xc4\x8dius \xc5\xbeemiau)._NEWLINE_Kada pirm\xc4\x85 kart\xc4\x85 buvo formuluojama abstrak\xc4\x8dioji matematika, lauko apibr\xc4\x97\xc5\xbeimas neap\xc4\x97m\xc4\x97 komutatyvios daugybos. Laukas \xc5\xa1iais laikais vadinamas lauku arba komutatyviu lauku arba racionali sritis. \xc5\xa0iuolaikiniame vartojime, laukas visada yra komutatyvus. Strukt\xc5\xabra, kuri atitinka lauko savybes, i\xc5\xa1skyrus galb\xc5\xabt komutatyvum\xc4\x85, \xc5\xa1iandien yra vadinama \xc5\xbeiedas su dalyba arba kartais asimetri\xc5\xa1kas laukas, bet taip pat nekomutatyvus laukas yra vis dar pla\xc4\x8diai naudojamas. Vis d\xc4\x97lto, kitos kalbos yra i\xc5\xa1saugoj\xc4\x99 sen\xc4\x85 vartojim\xc4\x85. Pranc\xc5\xabzi\xc5\xa1kai, \xc5\xbeiedas su dalyba vadinamas corps (pa\xc5\xbeod\xc5\xbeiui, k\xc5\xabnu). Tai yra nevienintelis lauko pavadinimas, paprastai yra vadinama corps commutatif (komutatyvus k\xc5\xabnas). Voki\xc5\xa1kai \xc5\xbeodis k\xc5\xabnas yra K\xc3\xb6rper ir \xc5\xa1is pavadinimas yra naudojamas i\xc5\xa1reik\xc5\xa1ti laukus; taigi naudojama pary\xc5\xa1kinta \\mathbb K \xc5\xbeymi lauk\xc4\x85._NEWLINE_Lauk\xc5\xb3 s\xc4\x85voka pirm\xc4\x85 kart\xc4\x85 buvo panaudota \xc4\xafrodyti, kad n\xc4\x97ra bendros formul\xc4\x97s reali\xc5\xb3 auk\xc5\xa1tesnio nei ketvirto laipsnio daugianari\xc5\xb3 \xc5\xa1aknims skai\xc4\x8diuoti (t. y. algebrin\xc4\x97 lygtis nei\xc5\xa1sprend\xc5\xbeiama radikalais)._NEWLINE_Svarbiausia Galua teorijos id\xc4\x97ja yra algebrinis pl\xc4\x97tinys polinom\xc5\xb3 laukui. Tai paprastai ma\xc5\xbeiausias laukas, susidedantis i\xc5\xa1 polinom\xc5\xb3 ir jo \xc5\xa1akn\xc5\xb3 lauko. Algebri\xc5\xa1kai u\xc5\xbedaras laukas yra laukas, kuris kiekviename daugianaryje turi \xc5\xa1akn\xc4\xaf. Pavyzd\xc5\xbeiui, algebrini\xc5\xb3 skai\xc4\x8di\xc5\xb3 laukas yra algebrinis racionali\xc5\xb3j\xc5\xb3 skai\xc4\x8di\xc5\xb3 lauko pl\xc4\x97tinys, o kompleksini\xc5\xb3 skai\xc4\x8di\xc5\xb3 laukas yra algebrinis reali\xc5\xb3j\xc5\xb3 skai\xc4\x8di\xc5\xb3 lauko pl\xc4\x97tinys._NEWLINE_Lauko s\xc4\x85voka yra naudojama apibr\xc4\x97\xc5\xbeiant, pavyzd\xc5\xbeiui, vektorius ir matricas, dvi strukt\xc5\xabras tiesin\xc4\x97je algebroje, kuri\xc5\xb3 komponentai taip pat gali b\xc5\xabti lauko elementais._NEWLINE_Baigtiniai laukai yra naudojami skai\xc4\x8di\xc5\xb3 teorijoje, Galua teorijoje ir simboli\xc5\xb3 teorijoje, taip pat algebriniai pl\xc4\x97tiniai, kurie yra yra svarb\xc5\xabs \xc4\xafrankiai \xc5\xa1iuolaikin\xc4\x97je matematikoje._NEWLINE_Dvejetainiai laukai, laukai su savybe 2, yra naudingi informatikoje.\n_START_SECTION_\nFormul\xc4\x97s\n_START_PARAGRAPH_\nGradientas: grad u=\\frac{\\partial u}{\\partial x}i+\\frac{\\partial u}{\\partial y}j+\\frac{\\partial u}{\\partial z}k  . Kryptin\xc4\x97 i\xc5\xa1vestin\xc4\x97: \\frac{\\partial u}{\\partial s}=\\frac{\\partial u}{\\partial x}\\cos\\alpha+\\frac{\\partial u}{\\partial y}\\cos\\beta+\\frac{\\partial u}{\\partial z}\\cos\\gamma. Vektorin\xc4\xaf lauk\xc4\x85 F=P(x, y, z)i+Q(x, y, z)j+R(x, y, z)k charakterizuoja divergencija div F=\\frac{\\partial P}{\\partial x}+\\frac{\\partial Q}{\\partial y}+\\frac{\\partial R}{\\partial z} ir rotorius rot F=\\begin{vmatrix} i & j & k \\\\ \\frac{\\partial }{\\partial x} & \\frac{\\partial }{\\partial y} & \\frac{\\partial }{\\partial z} \\\\ P & Q & R \\end{vmatrix} =\\left(\\frac{\\partial R}{\\partial y}-\\frac{\\partial Q}{\\partial z}\\right)i+\\left(\\frac{\\partial P}{\\partial z}-\\frac{\\partial R}{\\partial x}\\right)j+\\left(\\frac{\\partial Q}{\\partial x}-\\frac{\\partial P}{\\partial y}\\right)k.'