b'\n_START_ARTICLE_\nHomomorfizmas\n_START_PARAGRAPH_\nHomomorfizmas matematikoje rei\xc5\xa1kia atvaizd\xc4\xaf tarp dviej\xc5\xb3 algebrini\xc5\xb3 objekt\xc5\xb3 (pvz., grupi\xc5\xb3, vektorini\xc5\xb3 erdvi\xc5\xb3), i\xc5\xa1saugant\xc4\xaf t\xc5\xb3 objekt\xc5\xb3 strukt\xc5\xabr\xc4\x85 ir juose apibr\xc4\x97\xc5\xbetas operacijas (kompozicijos d\xc4\x97snius). \xc5\xbdodis homomorfizmas kil\xc4\x99s i\xc5\xa1 gr. homo, rei\xc5\xa1kian\xc4\x8dio \xe2\x80\x9etas pat\xe2\x80\x9c ir morphi, rei\xc5\xa1kian\xc4\x8dio \xe2\x80\x9eforma\xe2\x80\x9c. Nepainioti su terminu homeomorfizmas.\n_START_SECTION_\nPopuliarus \xc4\xafvadas\n_START_PARAGRAPH_\nAlgebra nagrin\xc4\x97ja aibes su jose \xc4\xafvestomis operacijomis (kompozicijos d\xc4\x97sniais). \xc4\xaedomiausi yra atvaizd\xc5\xbeiai, kurie i\xc5\xa1saugo tas operacijas. Tokie atvaizd\xc5\xbeiai vadinami homomorfizmais (kartais tiesiog morfizmais, nors i\xc5\xa1 ties\xc5\xb3 tai yra platesnis terminas)._NEWLINE_Pavyzd\xc5\xbeiui, panagrin\xc4\x97kime nat\xc5\xabraliuosius skai\xc4\x8dius ir sud\xc4\x97ties operacij\xc4\x85. Atvaizdis (funkcija) f, kuri i\xc5\xa1saugo sud\xc4\x97ties operacij\xc4\x85 turi tur\xc4\x97ti savyb\xc4\x99: f(a + b) = f(a) + f(b). Tarkime, f(x) = 3x yra toks homomorfizmas, kadangi f(a + b) = 3(a + b) = 3a + 3b = f(a) + f(b). \xc5\xa0is homomorfizmas atvaizduoja nat\xc5\xabraliuosius skai\xc4\x8dius atgal \xc4\xaf juos pa\xc4\x8dius._NEWLINE_Ta\xc4\x8diau homomorfizmai neb\xc5\xabtinai turi b\xc5\xabti atvaizd\xc5\xbeiai tarp aibi\xc5\xb3 su tokiomis pat operacijomis. Tarkim egzistuoja homomorfizmas tarp reali\xc5\xb3j\xc5\xb3 skai\xc4\x8di\xc5\xb3 su sud\xc4\x97ties operacija ir tarp teigiam\xc5\xb3 reali\xc5\xb3j\xc5\xb3 skai\xc4\x8di\xc5\xb3 su daugybos operacija: f(a + b) = f(a) * f(b). \xc5\xa0iuo atveju apibr\xc4\x97\xc5\xbekime f, kaip eksponentin\xc4\x99 funkcij\xc4\x85 f(x) = e\xcb\xa3. Tuomet 2 + 3 = 5 transformuojasi \xc4\xaf e\xc2\xb2 * e\xc2\xb3 = e\xe2\x81\xb5._NEWLINE_Ypatingai svarbi homomorfizm\xc5\xb3 savyb\xc4\x97 yra ta, kad jei vienoje aib\xc4\x97je yra neutralusis elementas (kitaip\xc2\xa0\xe2\x80\x93 vienetinis elementas), jis visuomet yra atvaizduojamas \xc4\xaf kitos aib\xc4\x97s neutral\xc5\xb3j\xc4\xaf (vienetin\xc4\xaf) element\xc4\x85. Tarkim pirmame pavyzdyje f(0) = 0, o antrame f(0) = 1 (0 yra vienetas sud\xc4\x97\xc4\x8diai, 1 yra vienetas daugybai)._NEWLINE_Jeigu aib\xc4\x97je yra keli kompozicijos d\xc4\x97sniai (tarkim sud\xc4\x97tis ir daugyba), tai homomorfizmas tur\xc4\x97t\xc5\xb3 i\xc5\xa1saugoti jas abi (antraip tai nebus homomorfizmas).'