b'\n_START_ARTICLE_\nSimbolin\xc4\x97 logika\n_START_SECTION_\nIstorija\n_START_PARAGRAPH_\nSimbolin\xc4\x97s logikos formavimosi istorijos prad\xc5\xbeia siekia XIX a. vidur\xc4\xaf. 1847\xc2\xa0m. buvo i\xc5\xa1leistas angl\xc5\xb3 matematiko D\xc5\xbeord\xc5\xbeo B\xc5\xablio (George Boole) k\xc5\xabrinys \xe2\x80\x9eMathematical Analysis of Logic\xe2\x80\x9c. Jame D. B\xc5\xablis teig\xc4\x97, jog logika tur\xc4\x97t\xc5\xb3 b\xc5\xabti siejama labiau su matematika nei filosofija. Taip pat matematikas suk\xc5\xabr\xc4\x97 nauj\xc4\x85 algebrin\xc4\x99 kalb\xc4\x85 su trimis pagrindin\xc4\x97mis operacijomis: IR, ARBA, NE. \xc5\xa0i kalba vadinama B\xc5\xablio algebra. Ji buvo papildyta 1854\xc2\xa0m. i\xc5\xa1leistu darbu \xe2\x80\x9eThe Laws of Thought\xe2\x80\x9c._NEWLINE_Simbolin\xc4\x97s logikos formavimuisi did\xc5\xbeiul\xc4\x97s \xc4\xaftakos tur\xc4\x97jo ir kito angl\xc5\xb3 matematiko Augusto De Morgano (Augustus De Morgan) darbai. Pastarasis suformulavo neigimo taisykles, pavadintas De Morgano taisykl\xc4\x97mis._NEWLINE_\xc5\xbdymus vokie\xc4\x8di\xc5\xb3 matematikas, logikas ir filosofas Gotlobas Fr\xc4\x97g\xc4\x97 (Gottlob Frege) 1879\xc2\xa0m. darbe \xe2\x80\x9eBeggriffsschrift\xe2\x80\x9c i\xc5\xa1skyr\xc4\x97 \xe2\x80\x9elogik\xc4\x85 kaip kalb\xc4\x85\xe2\x80\x9c ir suformavo aksiomatin\xc4\x99 predikat\xc5\xb3 logik\xc4\x85, grind\xc5\xbeiam\xc4\x85 funkcij\xc5\xb3, kintam\xc5\xb3j\xc5\xb3 ir kvantori\xc5\xb3 naudojimu. Nors G. Fr\xc4\x97g\xc4\x97s darbai nesulauk\xc4\x97 d\xc4\x97mesio tarp tuometini\xc5\xb3 intelektual\xc5\xb3, v\xc4\x97liau jie buvo atgaivinti D\xc5\xbeiuzep\xc4\x97s Peano (Giuseppe Peano) ir Bertrano Raselo (Bertrand Russell), kurie pateik\xc4\x97 juos naujoms matematik\xc5\xb3 ir filosof\xc5\xb3 kartoms. Pastarasis supaprastino gana sud\xc4\x97ting\xc4\x85 G. Freg\xc4\x97s simbolik\xc4\x85. I\xc5\xa1 daugelio B. Raselo nuopeln\xc5\xb3 simbolinei logikai galime i\xc5\xa1skirti \xc5\xbeymiojo Raselo paradokso ir jo pl\xc4\x97tros tip\xc5\xb3 teorij\xc4\x85. Ji akcentuojama veikale \xe2\x80\x9ePrincipia Mathematica\xe2\x80\x9c, kuri\xc4\x85 B. Raselas para\xc5\xa1\xc4\x97 kartu su Alfredu Nortu Vaithedu (Alfred North Whitehead). \xc5\xa0\xc4\xaf darb\xc4\x85 sudar\xc4\x97 aksiom\xc5\xb3 rinkiniai ir samprotavimo taisykl\xc4\x97s simbolin\xc4\x97je logikoje, kuriomis gal\xc4\x97t\xc5\xb3 b\xc5\xabti \xc4\xafrodomos visos matematikos tiesos. Kitaip tariant, buvo bandoma pastatyti matematik\xc4\x85 ant tvirto logikos pagrindo. \xe2\x80\x9ePrincipia Mathematica\xe2\x80\x9c yra laikomas vienu i\xc5\xa1 \xc4\xaftakingiausi\xc5\xb3 XX am\xc5\xbeiaus darb\xc5\xb3, su ja yra siejamas naujas matematin\xc4\x97s logikos vystymosi etapas._NEWLINE_Nuo 1890\xc2\xa0m. iki 1905\xc2\xa0m. buvo i\xc5\xa1leisti trys tomai Ernsto \xc5\xa0rioderio (Ernst Schr\xc3\xb6der) darbo, pavadinimu \xe2\x80\x9eVorlesungen uber die Algebra der Logik\xe2\x80\x9c. \xc5\xa0is k\xc5\xabrinys apibendrino ir prat\xc4\x99s\xc4\x97 D. B\xc5\xablio, A. De Morgano ir \xc4\x8carlzo Pirso (Charles Pierce) (login\xc4\x97s semiotikos pradininkas, suk\xc5\xabr\xc4\x99s teisingumo matric\xc5\xb3 metod\xc4\x85) darb\xc4\x85 ir ai\xc5\xa1kiai nusako kaip simbolin\xc4\x97 logika buvo suvokta XIX am\xc5\xbeiuje._NEWLINE_Ankstyvaisiais XX am\xc5\xbeiaus de\xc5\xa1imtme\xc4\x8diais pagrindiniai studijuojami objektai buvo aibi\xc5\xb3 teorija ir formalioji logika. Didel\xc4\x99 \xc4\xaftak\xc4\x85 padar\xc4\x97 ir atrasti aibi\xc5\xb3 teorijos paradoksai._NEWLINE_1900\xc2\xa0m. Deividas Hilbertas (David Hilbert) i\xc5\xa1leido naujojo am\xc5\xbeiaus 23 problem\xc5\xb3 s\xc4\x85ra\xc5\xa1\xc4\x85. Bandymas i\xc5\xa1spr\xc4\x99sti \xc5\xa1ias problemas nurod\xc4\x97 krypt\xc4\xaf simbolinei logikai XX am\xc5\xbeiuje. Kitas D. Hilberto k\xc5\xabrinys \xe2\x80\x9eEntscheidungsproblem\xe2\x80\x9c, kuriame buvo i\xc5\xa1d\xc4\x97stytas siekis sukurti algoritm\xc4\x85, norint i\xc5\xa1siai\xc5\xa1kinti, ar formalizuotas matematinis sakinys yra teisingas ar klaidingas, buvo i\xc5\xa1leistas 1928\xc2\xa0m._NEWLINE_\xc4\xaetakingi simbolinei logikai buvo XX am\xc5\xbeiaus pirmojoje pus\xc4\x97je i\xc5\xa1leisti austr\xc5\xb3-amerikie\xc4\x8di\xc5\xb3 matematiko Kurto Giodelio (Kurt G\xc3\xb6del) darbai. 1931\xc2\xa0m., b\xc5\xabdamas 25-eri\xc5\xb3, jis paskelb\xc4\x97 dvi nepilnumo teoremas. Pirmoji teig\xc4\x97, jog neprie\xc5\xa1taringose formaliose sistemose yra formuli\xc5\xb3, kuri\xc5\xb3 negalima nei \xc4\xafrodyti, nei paneigti. Antrojoje buvo teigiama, jog neprie\xc5\xa1taringumas, pa\xc4\x8dios formalios sistemos priemon\xc4\x97mis n\xc4\x97ra \xc4\xafrodomas.\n_START_SECTION_\nMatematin\xc4\x97 logika\n_START_PARAGRAPH_\nTeorin\xc4\x97 matematika yra klas\xc4\x97 vis\xc5\xb3 formuluot\xc4\x97s p implikuoja q teigini\xc5\xb3, kur p ir q teiginiai turintys vien\xc4\x85 ar daugiau kintam\xc5\xb3j\xc5\xb3, toki\xc5\xb3 pa\xc4\x8di\xc5\xb3 kaip dviejuose teiginiuose ir nei p nei q neturi joki\xc5\xb3 konstant\xc5\xb3 i\xc5\xa1skyrus logines konstantas. O login\xc4\x97s konstantos yra visos s\xc4\x85vokos apibr\xc4\x97\xc5\xbeiamos \xc5\xa1iais terminais: implikacija, termino santykis su klase, kurios narys jis yra, s\xc4\x85voka kaip tokia, santykio s\xc4\x85voka ir kitos s\xc4\x85vokos, kurios gali b\xc5\xabti \xc4\xaftrauktos \xc4\xaf bendras anks\xc4\x8diau i\xc5\xa1vardyt\xc5\xb3 teigini\xc5\xb3 formas. Be to, matematika vartoja s\xc4\x85vok\xc4\x85, kuri n\xc4\x97ra sud\xc4\x97tin\xc4\x97 dalis teigini\xc5\xb3, kuriuos ji aptaria, b\xc5\xabtent \xe2\x80\x93 tiesos s\xc4\x85voka._NEWLINE_Iki visai neseniai matematiniuose principuose buvo susidurta su ypatingu keblumu. Atrod\xc4\x97, kad matematika susideda i\xc5\xa1 dedukcijos, vis tik vis\xc5\xb3 priimtos dedukcijos tarpusavio pretenzijos buvo did\xc5\xbei\xc4\x85ja dalimi visi\xc5\xa1kai implikuotos egzistuojan\xc4\x8diai matematikai. Ne tik aristotelin\xc4\x97 silogistikos teorija, bet taip pat moderniosios simbolin\xc4\x97s logikos doktrinos buvo arba teori\xc5\xa1kai neadekva\xc4\x8dios matematiniams samprotavimams, arba bet kuriame ta\xc5\xa1ke reikalavo toki\xc5\xb3 dirbtini\xc5\xb3 konstatavimo form\xc5\xb3, kurios negal\xc4\x97jo b\xc5\xabti prakti\xc5\xa1kai pritaikomos. \xc5\xa0ioje vietoje pateikiamas kanti\xc5\xa1kasis po\xc5\xbei\xc5\xabris, kuris parei\xc5\xa1kia, kad matematinis samprotavimas n\xc4\x97ra grie\xc5\xbetai formalus, bet visada naudojasi intuicijomis, i.e. \xc3\xa0 priori erdv\xc4\x97s ir laiko \xc5\xbeinojimas. D\xc4\x97ka simbolin\xc4\x97s logikos progreso, \xc5\xa1i\xc4\x85 kanti\xc5\xa1k\xc4\x85j\xc4\x85 filosofij\xc4\x85 dabar galima galutinai ir negr\xc4\x85\xc5\xbeinamai atmesti. De\xc5\xa1imties dedukcini\xc5\xb3 princip\xc5\xb3 pagalba ir de\xc5\xa1imties kit\xc5\xb3 visuotin\xc4\x97s logikos prigimties premis\xc5\xb3 (pvz., implikacija yra santykis), visos matematikos gali b\xc5\xabti grie\xc5\xbetai ir formaliai i\xc5\xa1vestos. Visos esyb\xc4\x97s, kurios pasitaiko matematikoje gali b\xc5\xabti apib\xc5\xabdintos tomis s\xc4\x85lygomis, kurios pasitaiko tuose dvide\xc5\xa1imtyje premis\xc5\xb3. Taigi, matematik\xc4\x85 sudaro ne tik aritmetika ir analiz\xc4\x97, bet taip pat ir geometrija (euklidi\xc5\xa1koji ir ne-euklidi\xc5\xa1koji), racionalioji dinamika ir begalinis skai\xc4\x8dius dar negimusi\xc5\xb3 ar esan\xc4\x8di\xc5\xb3 ankstyvoje stadijoje studij\xc5\xb3. Faktas, kad visos matematikos yra simbolin\xc4\x97 logika, yra vienas i\xc5\xa1 did\xc5\xbeiausi\xc5\xb3 m\xc5\xabs\xc5\xb3 am\xc5\xbeiaus atradim\xc5\xb3._NEWLINE_Pagrindin\xc4\x97 doktrina, pagal kuri\xc4\x85 visos matematikos yra loginiais principais dedukuojamos i\xc5\xa1 logini\xc5\xb3 princip\xc5\xb3, buvo stipriai ginama G. Leibnico (jis primygtinai si\xc5\xabl\xc4\x97, kad aksiomos privalo b\xc5\xabti \xc4\xafrodytos ir visa tai i\xc5\xa1skyrus kelias fundamentali\xc4\x85sias s\xc4\x85vokas privalo b\xc5\xabti apibr\xc4\x97\xc5\xbeta). Bet galimai d\xc4\x97l klaidingos logikos (d\xc4\x97l tik\xc4\x97jimo logine Euklido geometrijos b\xc5\xabtinybe), jis buvo nuvestas \xc4\xaf bevilti\xc5\xa1kas klaidas pastangose \xc4\xaftikinti detaliu vaizdu, kuris, dabar yra \xc5\xbeinoma, buvo teisingas. Tikroji Euklido teorema, neseka i\xc5\xa1 logini\xc5\xb3 princip\xc5\xb3 viena; \xc5\xa1io fakto suvokimas nuved\xc4\x97 I. Kant\xc4\x85 prie jo inovacij\xc5\xb3 jo pa\xc5\xbeinimo teorijoje. Bet nuo ne-euklidin\xc4\x97s geometrijos augimo, paai\xc5\xa1k\xc4\x97jo, kad teorin\xc4\x97 matematika neturi problem\xc5\xb3 su klausimu ar Euklido aksiomos ir teiginiai laikosi u\xc5\xbe konkre\xc4\x8dios erdv\xc4\x97s ar ne: tai yra klausimas taikomajai matematikai apspr\xc4\x99sti, kol kas bet kokie sprendimai yra galimi pagrind\xc5\xbeiant eksperimentais ir steb\xc4\x97jimais. Tai, k\xc4\x85 teorin\xc4\x97 matematika tvirtina, yra papras\xc4\x8diausiai tai, kad eukleidi\xc5\xa1kieji teiginiai seka i\xc5\xa1 eukleidi\xc5\xa1k\xc5\xb3j\xc5\xb3 aksiom\xc5\xb3\xe2\x80\x93i.e. tai teigia implikacija: bet kuri erdv\xc4\x97 turi tokias ir tokias ypatybes bei taip pat turi tokias ir kitokias ypatybes. Vadinasi, kaip buvo susitvarkyta su teorine matematika, eukleidi\xc5\xa1koji ir ne-eukleidi\xc5\xa1koji geometrijos yra vienodai teisingos: kiekvienoje viskas yra nepatvirtintina i\xc5\xa1skyrus implikacijas. Visi teiginiai i\xc5\xa1 tikr\xc5\xb3j\xc5\xb3 egzistuoja taip kaip erdv\xc4\x97, kurioje mes gyvename. Jie priklauso eksperimentiniams ar empiriniams mokslams, o ne matematikai._NEWLINE_Matematiniai teiginiai yra apib\xc5\xabdinami ne tik kaip tvirtinantys implikacijas, bet taip pat kaip nepastov\xc5\xabs. Nepastovumo s\xc4\x85voka yra viena sud\xc4\x97tingiausi\xc5\xb3 logikoje sutinkam\xc5\xb3. Visose matematikos teiginiuose yra kintamum\xc5\xb3, net ten, kur i\xc5\xa1 pirmo \xc5\xbevilgsnio jie gali atrodyti nesantys. Elementari aritmetika gali b\xc5\xabti apm\xc4\x85styta kaip i\xc5\xa1imties forma: 1+1=2 atrodo nei tai yra susij\xc4\x99 su nepastovumu, nei tvirtina implikacij\xc4\x85. Bet jei x yra 1 ir y yra 1, ir x skiriasi nuo y, tada x ir y yra 2. Ir \xc5\xa1is teiginys kintamumus ir tvirtinimus talpina \xc4\xaf implikacijas. Taigi, \xc5\xa1ie teiginiai gali b\xc5\xabti i\xc5\xa1reik\xc5\xa1ti tokia forma: bet koks vienetas ir bet koks kitas vienetas yra du vienetai._NEWLINE_Skirtumas tarp kintam\xc5\xb3j\xc5\xb3 ir konstant\xc5\xb3 yra u\xc5\xbetemdytas matematin\xc4\x97s vartosenos. Konstanta yra ka\xc5\xbekas absoliu\xc4\x8diai apibr\xc4\x97\xc5\xbeto, be joki\xc5\xb3 dviprasmybi\xc5\xb3. Vadinasi, 1, 2, 3, e, \xcf\x80, Sokratas, \xc5\xbemon\xc4\x97s, \xc5\xbemoni\xc5\xb3 ras\xc4\x97, praeitis, dabartis, ateitis yra konstantos. Teiginys, implikacijos, klas\xc4\x97 ir t. t. taip pat yra konstantos, bet bet koks teiginys, kai kurie teiginiai yra ne konstantos. \xc5\xa0ioms fraz\xc4\x97ms n\xc4\x97ra vieno tiksliai apibr\xc4\x97\xc5\xbeto objekto. Taigi tai, kas yra vadinama kriterijais yra papras\xc4\x8diausi kintamieji. Pavyzd\xc5\xbeiui, paimkime lygt\xc4\xaf ax + by + c = 0, apm\xc4\x85styta kaip lygyb\xc4\x97 tiesiai linijai plok\xc5\xa1tumoje. \xc4\x8cia tariame, kad x ir y yra kintamieji, kol a, b, c yra konstantos. Bet nebent mes turime reikal\xc4\x85 su tam tikra linija, tarkime linija i\xc5\xa1 tam tikro ta\xc5\xa1ko Londone \xc4\xaf tam tikr\xc4\x85 ta\xc5\xa1k\xc4\x85 Kembrid\xc5\xbee, arba a, b, c yra ne apibr\xc4\x97\xc5\xbeti numeriai, bet atstovauja bet kokius numerius ir taip pat yra kintamieji. Bet geometrijoje niekas neturi reikalo su tam tikromis specifin\xc4\x97mis linijomis, aptariamos bet kurios linijos. Esm\xc4\x97 tame, kad mes renkame kintam\xc5\xb3j\xc5\xb3 poras x, y \xc4\xaf klases, kiekvien\xc4\x85 klas\xc4\x99 apib\xc5\xabdindami kaip tas poras, kurios turi tam tikr\xc4\x85 pastov\xc5\xb3 santyk\xc4\xaf vienai triadai (a, b, c). Bet i\xc5\xa1 klasi\xc5\xb3 \xc4\xaf klases a, b, c taip pat kinta ir d\xc4\x97l to yra tinkami kintamieji._NEWLINE_Matematikoje \xc4\xafprasta \xc5\xbei\xc5\xabr\xc4\x97ti \xc4\xaf kintamuosius kaip apribotas tam tikras klases. Pavyzd\xc5\xbeiui, teiginys x yra y implikuoja (x+y)\xc2\xb2 = x\xc2\xb2 + 2xy + y\xc2\xb2 vis tiek i\xc5\xa1liks vienodas, jei x ir y mes pakeisime \xc4\xaf Sokrat\xc4\x85 ir Platon\xc4\x85: abi hipotez\xc4\x97s ir konsekventai \xc5\xa1iuo atveju bus klaidingi, bet implikacija toliau bus teisinga. Taigi kiekviename teorin\xc4\x97s matematikos teiginyje, kai jis yra visi\xc5\xa1kai suformuluotas, kintamieji turi absoliu\xc4\x8diai neribot\xc4\x85 sfer\xc4\x85: bet kokia suvokiama esyb\xc4\x97 gali b\xc5\xabti pakeista bet kuriuo i\xc5\xa1 kintam\xc5\xb3j\xc5\xb3 nesusilpninant teigini\xc5\xb3 teisingumo._NEWLINE_Matematikos ir logikos ry\xc5\xa1ys yra nepaprastai glaudus. Faktas, kad matematin\xc4\x97s konstantos yra login\xc4\x97s konstantos ir kad visi matematikos premisai yra susij\xc4\x99 su \xc5\xa1iais, duoda ai\xc5\xa1k\xc5\xb3 tvirtinim\xc4\x85, i\xc5\xa1 kurio filosofai leido sau teigti, kad matematika yra \xc3\xa0 priori. Nuo tada, kai logika buvo priimta, visa matematika nei\xc5\xa1vengiamai ja seka. Login\xc4\x97s konstantos pa\xc4\x8dios i\xc5\xa1 sav\xc4\x99s yra apib\xc5\xabdinamos tik i\xc5\xa1skai\xc4\x8diavimo, nes jos tokios fundamentalios, kad visos ypatyb\xc4\x97s, kuriomis j\xc5\xb3 klas\xc4\x97 gali b\xc5\xabti apib\xc5\xabdinta, suponuoja kai kuriuos klas\xc4\x97s terminus. Bet prakti\xc5\xa1kai logini\xc5\xb3 konstant\xc5\xb3 atradimo metodas yra simbolin\xc4\x97s logikos analiz\xc4\x97. Matematikos ir logikos skiriamoji savyb\xc4\x97 yra labai nepagr\xc4\xafsta. Logika susideda i\xc5\xa1 matematini\xc5\xb3 premis\xc5\xb3, kartu su visais kitais teiginiais, kurie yra i\xc5\xa1skirtinai susij\xc4\x99 su login\xc4\x97mis konstantomis ir su kintamaisiais. Matematika susideda i\xc5\xa1 vis\xc5\xb3 koncekvent\xc5\xb3, kurie tvirtina formalias implikacijas talpinan\xc4\x8dius kintamuosius, kartu su tokiais premisais turin\xc4\x8diais \xc5\xa1ias \xc5\xbeymes. Taigi kai kurie i\xc5\xa1 matematini\xc5\xb3 premis\xc5\xb3 (e.g. silogizmo principas, jei p implikuoja q ir implikuoja r, tada p implikuoja r) priklausys matematikai, kol kiti, taip kaip implikacija yra santykis, priklausys logikai, bet ne matematikai. Norint tvirtai laikytis vartosenos nuomon\xc4\x97s, mes galime identifikuoti matematik\xc4\x85 ir logik\xc4\x85 ir apib\xc5\xabdinti jas abi kaip teigini\xc5\xb3 klas\xc4\x99 sudaran\xc4\x8di\xc4\x85 tik kintamuosius ir logines konstantas.\n_START_SECTION_\nKompiuteri\xc5\xb3 mokslas\n_START_PARAGRAPH_\nVisa simbolin\xc4\x97 logika dirbant su skai\xc4\x8diais yra sudarytas i\xc5\xa1 vienet\xc5\xb3 ir nuli\xc5\xb3. Ko rezultate D\xc5\xbe. B\xc5\xablio sugalvotos naujov\xc4\x97s matematikoje \xc4\xafne\xc5\xa1\xc4\x97 naujovi\xc5\xb3 kompiuteri\xc5\xb3 moksle. \xc5\xa0iandien visi kompiuteriai naudoja b\xc5\xabli\xc5\xa1k\xc4\x85j\xc4\x85 (Boolean) logikos sistem\xc4\x85 (Boolean data type), kurioje mikroschemos sudarytos i\xc5\xa1 t\xc5\xabkstan\xc4\x8di\xc5\xb3 ma\xc5\xbey\xc4\x8di\xc5\xb3 elektronini\xc5\xb3 jungikli\xc5\xb3 i\xc5\xa1d\xc4\x97styt\xc5\xb3 \xc4\xaf loginius "vartus" \xe2\x80\x93 tris pagrindines AND, OR, NOT sistemas. Jos duoda galimas ir patikimas i\xc5\xa1vadas bei leid\xc5\xbeia kompiuteriams \xc4\xafvykdyti operacijas naudojant dvejetain\xc4\x99 skai\xc4\x8diavimo sistem\xc4\x85.\n_START_SECTION_\nSantyki\xc5\xb3 logikos pagrindai matematikai\n_START_PARAGRAPH_\n\xc5\xa0i\xc4\x85 tem\xc4\x85 pirmasis \xc4\x97m\xc4\x97si pl\xc4\x97toti C. S. Peirce. Atidi matematini\xc5\xb3 samprotavim\xc5\xb3 analiz\xc4\x97 parod\xc4\x97, jog santyki\xc5\xb3 tipai verti atskiros temos. Taigi, santyki\xc5\xb3 logika tur\xc4\x97t\xc5\xb3 grei\xc4\x8diau atsi\xc5\xbevelgti \xc4\xaf matematik\xc4\x85 nei \xc4\xaf klases ar teiginius, ir vienintel\xc4\x97 yra galima bet kokia teori\xc5\xa1kai teisinga ir tinkama matematini\xc5\xb3 ties\xc5\xb3 i\xc5\xa1rai\xc5\xa1ka._NEWLINE_Peirce ir Ernstas \xc5\xa0rioderis suprato \xc5\xa1ios temos svarb\xc4\x85, deja, j\xc5\xb3 metodai buvo pagr\xc4\xafsti ne D. Peano, o kur kas senesne simboline logika, gauta (su pakeitimais) i\xc5\xa1 Boole, tod\xc4\x97l dauguma program\xc5\xb3, kurios tur\xc4\x97t\xc5\xb3 b\xc5\xabti \xc4\xafvykdytos yra prakti\xc5\xa1kai ne\xc4\xafmanomos._NEWLINE_Ne\xc5\xbei\xc5\xabrint \xc4\xaf senosios simbolin\xc4\x97s logikos tr\xc5\xabkumus, j\xc5\xb3 metodas pasitarnauja techni\xc5\xa1kai ta prasme, jog ji i\xc5\xa1 esm\xc4\x97s laiko santykius tarsi por\xc5\xb3 klases, tod\xc4\x97l reikia detaliau paai\xc5\xa1kinti tiesiog santykius. Toks po\xc5\xbei\xc5\xabris kil\xc4\x99s, grei\xc4\x8diausiai nes\xc4\x85moningai, i\xc5\xa1 filosofin\xc4\x97s klaidos: buvo \xc4\xafprasta manyti, jog santyki\xc5\xb3 teiginiai ma\xc5\xbeiau svarb\xc5\xabs nei klasi\xc5\xb3 teiginiai (ar predikat\xc5\xb3 teiginiai, kurie su klasi\xc5\xb3 teiginiais yra nuolat mai\xc5\xa1omi).\n_START_SECTION_\nNauji primityv\xc5\xabs teiginiai\n_START_PARAGRAPH_\nJeigu R yra santykis, mes tai i\xc5\xa1reik\xc5\xa1ime kaip xRy; teiginys x tur\xc4\x97s ry\xc5\xa1\xc4\xaf R su teiginiu y._NEWLINE_Reikt\xc5\xb3 primityvaus (nereikalaujan\xc4\x8dio \xc4\xafrodymo) teiginio parodyti, jog xRy yra teiginys su visomis x ir y reik\xc5\xa1m\xc4\x97mis. Turime apsvarstyti sekan\xc4\x8dias klases: termin\xc5\xb3 klas\xc4\x99, kuri turi ry\xc5\xa1\xc4\xaf R su kitu terminu, kuris vadinamas referent\xc5\xb3 klase atsi\xc5\xbevelgiant \xc4\xaf R; ir termin\xc5\xb3 klas\xc4\x99, kur kai kurie terminai turi ry\xc5\xa1\xc4\xaf su R, kurie vadinami relata klase. Tod\xc4\x97l jei R b\xc5\xabt\xc5\xb3 t\xc4\x97vyst\xc4\x97, referentai b\xc5\xabt\xc5\xb3 t\xc4\x97vai, o relatos \xe2\x80\x93 vaikai. Taip pat reikt\xc5\xb3 atsi\xc5\xbeelgti \xc4\xaf atitinkamas klases, atkreipiant d\xc4\x97mes\xc4\xaf \xc4\xaf tam tikrus terminus ar klasi\xc5\xb3 terminus._NEWLINE_Toks santyki\xc5\xb3 vaizdas \xc4\x8dia veda link to, jog du santykiai gali tur\xc4\x97ti t\xc4\x85 pat\xc4\xaf pl\xc4\x97tin\xc4\xaf net neb\xc5\xabdami identi\xc5\xa1ki. Yra pasakyta, kad du santykiai R ir R\xe2\x80\xb2 yra lyg\xc5\xabs, lygiaver\xc4\x8diai arba turintys ta pat\xc4\xaf pl\xc4\x97tin\xc4\xaf, kai xRy rei\xc5\xa1kia ir yra numanomas xR\xe2\x80\xb2 y su visoms x ir y reik\xc5\xa1m\xc4\x97ms. Ta\xc4\x8diau \xc4\x8dia n\xc4\x97ra jokios prasm\xc4\x97s primityviam teiginiui, kaip buvusi\xc5\xb3 klasi\xc5\xb3 atveju, siekiant i\xc5\xa1gauti santyk\xc4\xaf, kuris yra apibr\xc4\x97\xc5\xbetas kai pl\xc4\x97tinys apibr\xc4\x97\xc5\xbetas. Galime pakeisti santyk\xc4\xaf R iki login\xc4\x97s sumos arba santykio klas\xc4\x97s produkto, kuris yra lygus R, t. y., kai kuri\xc5\xb3 arba vis\xc5\xb3 santyki\xc5\xb3 teigimas; ir tai yra identi\xc5\xa1ka loginiui sumos arba santyki\xc5\xb3 klas\xc4\x97s produktui, kuris lygus R\xe2\x80\xb2 , jeigu R\xe2\x80\xb2 b\xc5\xabt\xc5\xb3 lygus R._NEWLINE_\xc4\x8cia panaudojamas dviej\xc5\xb3 klasi\xc5\xb3 tapatumas, kuris priklauso nuo primityvaus teiginio kaip sukurti klas\xc4\x97s tapatyb\xc4\x99. Nustatyti dviej\xc5\xb3 santyki\xc5\xb3 tapatyb\xc4\x99 \xe2\x80\x93 proced\xc5\xabra, kuri negal\xc4\x97jo b\xc5\xabti pritaikyta klas\xc4\x97ms be \xc5\xa1io u\xc5\xbeburto rato._NEWLINE_Primityvus pasi\xc5\xablymas \xe2\x80\x93 kiekvienas santykis turi prie\xc5\xa1ingyb\xc4\x99, t. y., kad jei R b\xc5\xabt\xc5\xb3 bet koks santykis, yra santykis R\xe2\x80\xb2 , toks kaip xRy yra lygus yR\xe2\x80\xb2 x ir atitinka visas x ir y reik\xc5\xa1mes. Remiantis \xc5\xa0rioderiu, reik\xc4\x97t\xc5\xb3 pa\xc5\xbeym\xc4\x97ti, kad R yra prie\xc5\xa1ingas R\xcc\x86. Didesnis ar ma\xc5\xbeesnis, prie\xc5\xa1 ar po, rei\xc5\xa1kia ar suponuoja, yra tarpusavyje prie\xc5\xa1ingi santykiai. Su kai kuriais santykiais, kaip antai asmens, \xc4\xafvairov\xc4\x97s, lygyb\xc4\x97s, nelygyb\xc4\x97s, prie\xc5\xa1ingyb\xc4\x97 yra pats santykio originalas; tokie santykiai vadinami simetri\xc5\xa1kais. Kai prie\xc5\xa1ingyb\xc4\x97 yra nesuderinama su pirminiu jos santykiu, tokiais atvejais kaip daugiau ir ma\xc5\xbeiau, santykis vadinamas asimetri\xc5\xa1ku; tarpiniais atvejais ne simetri\xc5\xa1ku._NEWLINE_Svarbiausia i\xc5\xa1 primityvi\xc5\xb3 teigini\xc5\xb3 \xc5\xa1ioje temoje yra tai, kad tarp bet kuri\xc5\xb3 dviej\xc5\xb3 s\xc4\x85lyg\xc5\xb3 yra ry\xc5\xa1ys, kuris nesisieja su bet kuriomis kitomis dviejomis s\xc4\x85lygomis._NEWLINE_Tai yra analogi\xc5\xa1kas principas, kad bet kokia s\xc4\x85lyga yra vienintelis tam tikos klas\xc4\x97s narys. \xc5\xa0ioje vietoje bei\xc5\xa1siple\xc4\x8diantis santyki\xc5\xb3 vaizdas turi prana\xc5\xa1um\xc4\x85, bet prana\xc5\xa1umas gali pasirodyti nusveriantis kitus motyvus. Kai santykiai yra laikomi \xc4\xaftemptais gali atrodyti, jog galima prad\xc4\x97ti abejoti, ar min\xc4\x97tas principas yra teisingas. Ta\xc4\x8diau, bet kokiu atveju, paprastai bus pripa\xc5\xbeinta, kad bet kurios dvi s\xc4\x85lygos bus teisingos nors tokios b\xc5\xabti netur\xc4\x97t\xc5\xb3, nes j\xc5\xb3 vietoje bus panaudotos visi\xc5\xa1kai kitos dvi s\xc4\x85lygos._NEWLINE_Jei tai b\xc5\xabt\xc5\xb3 patvirtinta, anks\xc4\x8diau min\xc4\x97tas principas b\xc5\xabt\xc5\xb3 palaikytas, remiantis logi\xc5\xa1ko vis\xc5\xb3 santyki\xc5\xb3 produkto, tarpiniu pirm\xc5\xb3j\xc5\xb3 s\xc4\x85lyg\xc5\xb3 principu. Nors ir min\xc4\x97tas principas gal\xc4\x97t\xc5\xb3 b\xc5\xabti pakeistas pastaruoju, kuris yra lygus jam: jeigu xRy rei\xc5\xa1kia x\xe2\x80\xb2 Ry\xe2\x80\xb2 , kad ir koks b\xc5\xabt\xc5\xb3 R, kol R yra santykis, tuomet x ir x\xe2\x80\xb2 , ir y, ir y\xe2\x80\xb2 yra atitinkamai identi\xc5\xa1ki. Ta\xc4\x8diau \xc5\xa1is principas parodo login\xc4\x99 dilem\xc4\x85 nuo kurios ligi \xc5\xa1iol nepab\xc4\x97gta, \xc4\xafvardinant \xc4\xafvairius apribotus laukus; nebent R yra santykis, xRy n\xc4\x97ra teiginys. Net jei tai b\xc5\xabt\xc5\xb3 tiesa ar netiesa, ir taip R, gal\xc4\x97t\xc5\xb3 atrodyti, negali pasiimti vis\xc5\xb3 reik\xc5\xa1mi\xc5\xb3 \xe2\x80\x93 tik tokias kaip santykiai.\n_START_SECTION_\nSantykiniai produktai\n_START_PARAGRAPH_\nKitos reikalingos prielaidos yra tokios, jog santykio neigimas yra santykis ir, kad logi\xc5\xa1kas klas\xc4\x97s produktas i\xc5\xa1 santyki\xc5\xb3 yra santykis. Taip pat santykinis produktas sudarytas i\xc5\xa1 dviej\xc5\xb3 santyki\xc5\xb3 turi b\xc5\xabti ry\xc5\xa1ys. Santykinis produktas i\xc5\xa1 dviej\xc5\xb3 santyki\xc5\xb3 R ir S yra santykis, kuris yra tarp x ir z, neatsi\xc5\xbevelgiant ar yra s\xc4\x85lyga y i\xc5\xa1 kurios x turi ry\xc5\xa1\xc4\xaf su R ir kuri turi z ry\xc5\xa1\xc4\xaf su S._NEWLINE_Taigi, nors ry\xc5\xa1ys tarp, i\xc5\xa1 motinos pus\xc4\x97s, senelio ir jo an\xc5\xabko yra gimini\xc5\xa1kas t\xc4\x97vo ir motinos produktas; to pavyzd\xc5\xbeiu senel\xc4\x97 savo an\xc5\xabkei yra gimini\xc5\xa1kas jos t\xc4\x97v\xc5\xb3 produktas. Santykinis produktas, kaip rodo \xc5\xa1ie rodikliai, yra bendrai jungiamas ir apskritai n\xc4\x97ra pakl\xc5\xb3stantis pagrindiniam tautologijos principui. Santykinis produktas yra labai didel\xc4\x97s svarbos s\xc4\x85voka. Kadangi jis nepakl\xc5\xabsta tautologijos principui, tai veda prie santyki\xc5\xb3 gali\xc5\xb3: santyki\xc5\xb3 kvadratas t\xc4\x97vams ir jo vaikui yra ry\xc5\xa1ys tarp senelio ir an\xc5\xabko ir taip toliau. Peirce ir Schr\xc3\xb6der svarsto tai kaip jie patys vadina ry\xc5\xa1iu tarp dviej\xc5\xb3 sum\xc5\xb3 R ir S, kuri yra tarp x ir z tada, kai y yra bet kokia kita s\xc4\x85lyga ir x turi y santykis R arba y turi z santykis S._NEWLINE_Tai sud\xc4\x97tinga s\xc4\x85voka, kuri i\xc5\xa1vesta, siekiant i\xc5\xa1saugoti sud\xc4\x97ties ir daugybos dvilypum\xc4\x85. \xc5\xa0is dvilypumas turi tam tikro techninio \xc5\xbeavesio, kai objektas yra laikomas nepriklausoma matematikos \xc5\xa1aka, bet kai jis yra aptariamas i\xc5\xa1imtinai tik atsi\xc5\xbevelgiant \xc4\xaf matematikos principus, tas dvilypumas pasirodo neturi visi\xc5\xa1kai jokios filosofin\xc4\x97s reik\xc5\xa1m\xc4\x97s.\n_START_SECTION_\nPriskirt\xc5\xb3 sri\xc4\x8di\xc5\xb3 santykiai\n_START_PARAGRAPH_\nMatematika reikalauja, tiek, kiek \xc5\xbeinoma, tik dviej\xc5\xb3 kit\xc5\xb3 primityvi\xc5\xb3 teigini\xc5\xb3. Pirmas, kad materiali reik\xc5\xa1m\xc4\x97 yra santykis, o kita, kad \xe2\x88\x88 (termino santykis su klase, kuriai jis priklauso) yra ry\xc5\xa1ys. Dabar galima sukurti matematin\xc4\x99 visum\xc4\x85 be papildom\xc5\xb3 prielaid\xc5\xb3 ar neapibr\xc4\x97\xc5\xbetum\xc5\xb3. Kai kurie teiginiai santyki\xc5\xb3 logikoje nusipelno b\xc5\xabti pamin\xc4\x97ti, nes jie yra svarb\xc5\xabs ir gali b\xc5\xabti abejoni\xc5\xb3 ar jie yra patikrinti formali\xc5\xb3 \xc4\xafrodym\xc5\xb3. Jei u, v yra bet kuri\xc5\xb3 dviej\xc5\xb3 klasi\xc5\xb3, tuomet yra santykis R teiginys, kuris tarp bet kuri\xc5\xb3 dviej\xc5\xb3 s\xc4\x85vok\xc5\xb3 x ir y yra lygiavertis teiginiui, kad x priklauso u ir y priklauso v. Jei u yra bet kurios klas\xc4\x97s, kuris n\xc4\x97ra lygus nuliui, tuomet yra santykis, kuris turi visas s\xc4\x85lygas ir kuris neturi daugiau joki\xc5\xb3 kit\xc5\xb3 termin\xc5\xb3 por\xc5\xb3. Jei R yra bet koks santykis ir u yra bet kokia klas\xc4\x97 turinti referent\xc4\x85 R klas\xc4\x97je, tuomet yra ry\xc5\xa1ys, kuris turi u referentus savo klas\xc4\x97je ir visa tai yra lygu R visoje toje klas\xc4\x97je; \xc5\xa1is ry\xc5\xa1ys yra tas pats kaip ir R pad\xc4\x97tis, bet turi daug grie\xc5\xbetesn\xc4\xaf domen\xc4\x85. Nuo \xc5\xa1io ta\xc5\xa1ko pirmyn, objekto k\xc5\xabrimas yra techninis dalykas: ypating\xc5\xb3 tip\xc5\xb3 santykiai yra laikomi matematikos rezultatu ir specialia matematikos \xc5\xa1aka.'