b'\n_START_ARTICLE_\nTaisyklingasis briaunainis\n_START_PARAGRAPH_\nTaisyklingasis briaunainis yra labai simetri\xc5\xa1ka geometrin\xc4\x97 trimat\xc4\x97 fig\xc5\xabra, kurios vienar\xc5\xab\xc5\xa1iai gretimi elementai yra tranzityv\xc5\xabs: vir\xc5\xa1\xc5\xabn\xc4\x97s, briaunos ir sienos. Vadinasi, pasukus per vien\xc4\x85 element\xc4\x85 (kad vir\xc5\xa1\xc5\xabn\xc4\x97 atsidurt\xc5\xb3 vietoj gretimos vir\xc5\xa1\xc5\xabn\xc4\x97s; arba briauna\xc2\xa0\xe2\x80\x93 vietoj gretimos briaunos; arba siena\xc2\xa0\xe2\x80\x93 vietoj gretimos sienos) gausime tok\xc4\xaf pat briaunain\xc4\xaf. Kitaip galima apibr\xc4\x97\xc5\xbeti, kad taisyklingas briaunainis yra toks briaunainis, kurio sienos yra vienodi lygiakra\xc5\xa1\xc4\x8diai taisyklingieji daugiakampiai, vienodai i\xc5\xa1sid\xc4\x97st\xc4\x99 aplinkui kiekvien\xc4\x85 vir\xc5\xa1\xc5\xabn\xc4\x99. Labai formaliai (pagal \xc5\xa1iuolaikin\xc4\x99 politop\xc5\xb3 teorij\xc4\x85) taisyklingasis daugiakampis yra toks ir tik toks briaunainis, kurio simetrijos grup\xc4\x97 yra tranzityvi jo \xe2\x80\x9esimetri\xc5\xa1kumo \xc5\xbeymeniui\xe2\x80\x9c (angl. flag) (tai yra, aibei, kuri\xc4\x85 sudaro vir\xc5\xa1\xc5\xabn\xc4\x97, i\xc5\xa1 jos i\xc5\xa1einanti briauna ir \xc5\xa1i\xc4\x85 vir\xc5\xa1\xc5\xabn\xc4\x99 ir briaun\xc4\x85 lie\xc4\x8dianti siena)._NEWLINE_Taisyklingieji briaunainiai \xc5\xbeymimi tokiu \xc5\xa0l\xc4\x97fli simboliu: {n, m}, kur n yra sienos daugiakampio kra\xc5\xa1tini\xc5\xb3 skai\xc4\x8dius, o m vienoje vir\xc5\xa1\xc5\xabn\xc4\x97je sueinan\xc4\x8di\xc5\xb3 sien\xc5\xb3 skai\xc4\x8dius. \xc4\xaerodyta, kad i\xc5\xa1 viso egzistuoja tik devyni taisyklingieji briaunainiai: penki i\xc5\xa1kili briaunainiai, vadinamieji Platono k\xc5\xabnai (tetraedras {3, 3}, kubas {4, 3}, oktaedras {3, 4}, dodekaedras {5, 3} ir ikosaedras {3, 5}; ir keturi \xc5\xbevaig\xc5\xbediniai briaunainiai, vadinamieji Keplerio-Puanso k\xc5\xabnai (\xc5\xber. \xc5\xbeemiau lentel\xc4\x97je).\n_START_SECTION_\nTaisyklingi briaunainiai\n_START_PARAGRAPH_\nI\xc5\xa1 viso egzistuoja tik penki i\xc5\xa1kili taisyklingi briaunainiai\xc2\xa0\xe2\x80\x93 Platono k\xc5\xabnai ir keturi taisyklingi \xc5\xbevaig\xc5\xbediniai briaunainiai\xc2\xa0\xe2\x80\x93 Keplerio-Puanso k\xc5\xabnai:\n_START_SECTION_\nOilerio charakteristika\n_START_PARAGRAPH_\nVis\xc5\xb3 penki\xc5\xb3 Platono k\xc5\xabn\xc5\xb3 Oilerio charakteristika \xcf\x87 (graik\xc5\xb3 k. ma\xc5\xbeoji chi) yra lygi 2. Dviej\xc5\xb3 Keplerio-Puanso k\xc5\xabn\xc5\xb3\xc2\xa0\xe2\x80\x93 taip pat 2, o kit\xc5\xb3 dviej\xc5\xb3\xc2\xa0\xe2\x80\x93 minus \xc5\xa1e\xc5\xa1i (\xcf\x87=-6).\n_START_SECTION_\nVidaus ta\xc5\xa1kai\n_START_PARAGRAPH_\nTaisyklingojo daugiakampio bet kuris vidaus ta\xc5\xa1kas yra i\xc5\xa1sid\xc4\x97st\xc4\x99s taip, kad jo atstum\xc5\xb3 iki sien\xc5\xb3 suma yra vienodas skai\xc4\x8dius; arba kitaip, bet kurio vidaus ta\xc5\xa1ko atstum\xc5\xb3 iki sien\xc5\xb3 suma yra nepriklausoma nuo ta\xc5\xa1ko pad\xc4\x97ties. (\xc5\xa0\xc4\xaf teigin\xc4\xaf nesunkiai galima patvirtinti remiantis Vivianio teorema lygiakra\xc5\xa1\xc4\x8diams trikampiams.) Bet prie\xc5\xa1ingas teiginys n\xc4\x97ra teisingas; tai yra, jei briaunainio bet kurio vidaus ta\xc5\xa1ko atstumo iki sien\xc5\xb3 suma yra nepriklausoma nuo ta\xc5\xa1ko pad\xc4\x97ties, nerei\xc5\xa1kia, kad briaunainis yra taisyklingasis (tai negalioja net tetraedrui).\n_START_SECTION_\nIkiistorinis periodas\n_START_PARAGRAPH_\nBriaunainiai sutinkami jau ankstyviausiuose statiniuose, da\xc5\xbeniausiai, sta\xc4\x8diakampiai gretasieniai ir kubai, taip pat keturkamp\xc4\x97s Egipto piramid\xc4\x97s ir kitokie statiniai, i\xc5\xa1lik\xc4\x99 net i\xc5\xa1 akmens am\xc5\xbeiaus._NEWLINE_Kai kuriuos taisyklinguosius briaunainius \xc5\xbeinojo jau etruskai, kuri\xc5\xb3 civilizacija senesn\xc4\x97 nei graik\xc5\xb3, k\xc4\x85 rodo XIX a. pabaigos kasin\xc4\x97jimai prie Padujos (\xc5\xa1iaur\xc4\x97s Italijoje ), kur buvo rastas i\xc5\xa1 talko mineralo uolienos steatito, dar vadinamo muilo akmeniu, ma\xc5\xbedaug prie\xc5\xa1 2500 met\xc5\xb3 padarytas dodekaedras.\n_START_SECTION_\nGraik\xc5\xb3 civilizacija\n_START_PARAGRAPH_\nSeniausi \xc5\xbeinomi ra\xc5\xa1ti\xc5\xa1ki briaunaini\xc5\xb3 pamin\xc4\x97jimai sutinkami klasikin\xc4\x97s Graikijos autori\xc5\xb3 darbuose, kur kartu buvo pateikti ir pirmieji \xc5\xa1i\xc5\xb3 fig\xc5\xabr\xc5\xb3 matematiniai apib\xc5\xabdinimai. Senov\xc4\x97s graikai pirmiausia dom\xc4\x97josi taisyklingais i\xc5\xa1kilais briaunainiais, kuriuos v\xc4\x97liau imta vadinti Platono k\xc5\xabnais. Pitagorui buvo \xc5\xbeinomi ne ma\xc5\xbeiau kaip trys \xc5\xa1ie k\xc5\xabnai, o Teatetas (Theaetetus) apie 417 p.m.e. apra\xc5\xa1\xc4\x97 jau visus penkis. Galiausiai Euklidas \xe2\x80\x9eElementuose\xe2\x80\x9c apra\xc5\xa1\xc4\x97 j\xc5\xb3 sandar\xc4\x85. V\xc4\x97liau Archimedas i\xc5\xa1pl\xc4\x97tojo briaunaini\xc5\xb3 studij\xc4\x85 ir apra\xc5\xa1\xc4\x97 tolygius i\xc5\xa1kiliuosius briaunainius, kurie gavo jo vard\xc4\x85 ir dabar vadinami Archimedo k\xc5\xabnais. Pirmin\xc4\x97 Archimedo studija iki m\xc5\xabs\xc5\xb3 laik\xc5\xb3 nei\xc5\xa1liko, bet apie j\xc4\x85 \xc5\xbeinoma i\xc5\xa1 Paposo Aleksandri\xc5\xa1kio darb\xc5\xb3.\n_START_SECTION_\nXVII a. Keplerio tyrimai\n_START_PARAGRAPH_\nSenov\xc4\x97je pitagorie\xc4\x8diai laik\xc4\x97si minties, kad egzistuoja tam tikra derm\xc4\x97 tarp taisykling\xc5\xb3j\xc5\xb3 briaunaini\xc5\xb3 ir Saul\xc4\x97s sistemos planet\xc5\xb3 jud\xc4\x97jimo. XVII am\xc5\xbeiuje Johanas Kepleris \xc4\x97m\xc4\x97si studijuoti planet\xc5\xb3 jud\xc4\x97jimo duomenis, kuriuos dar XVI am\xc5\xbeiuje buvo sukaup\xc4\x99s dan\xc5\xb3 mokslininkas Tiuchas Brah\xc4\x97 (Tycho Brahe), ir m\xc4\x97gino patvirtinti pitagorie\xc4\x8di\xc5\xb3 skelbt\xc4\x85 ideal\xc4\x85, tik\xc4\x97damasis atrasti atitikim\xc4\x85 tarp briaunaini\xc5\xb3 savybi\xc5\xb3 ir planet\xc5\xb3 orbit\xc5\xb3 savybi\xc5\xb3. Nors jo de\xc5\xa1imtmet\xc4\xaf truk\xc4\x99s tyrimas taip ir neatskleid\xc4\x97 ie\xc5\xa1koto idealo, vis d\xc4\x97lto, taisykling\xc5\xb3j\xc5\xb3 briaunaini\xc5\xb3 studijos leido Kepleriui ne tik atrasti nauj\xc4\x85 taisykling\xc5\xb3 briaunaini\xc5\xb3 \xc5\xa1eim\xc4\x85 (Keplerio-Puanso k\xc5\xabnus), bet pasitarnavo ir kosmologijai: buvo nustatyta, kad planet\xc5\xb3 orbitos yra elipsi\xc5\xa1kos, o be to, buvo suformuluoti trys Keplerio d\xc4\x97sniai, kurie yra aktual\xc5\xabs iki \xc5\xa1iol. Keplerio laikais buvo \xc5\xbeinoma tik apie penkias planetas (neskaitant \xc5\xbdem\xc4\x97s), tad nieko nuostabaus, kad buvo m\xc4\x97ginta ie\xc5\xa1koti teorini\xc5\xb3 s\xc4\x85saj\xc5\xb3 tarp dangaus k\xc5\xabn\xc5\xb3 mechanikos ir tobulai atrodan\xc4\x8di\xc5\xb3 Platono k\xc5\xabn\xc5\xb3. Bet paties Keplerio atradimai, taip pat v\xc4\x97liau atrasti Uranas (planeta) ir Plutonas (planeta), galiausiai privert\xc4\x97 atsisakyti pitagorie\xc4\x8di\xc5\xb3 idealo paie\xc5\xa1k\xc5\xb3.\n_START_SECTION_\n\xc5\xbdvai\xc5\xbediniai briaunainiai\n_START_PARAGRAPH_\nKone 2000 met\xc5\xb3 briaunainiai, kaip i\xc5\xa1kilosios fig\xc5\xabros, buvo suvokiami, remiantis graik\xc5\xb3 matematiniais pasiekimais. Bet renesanso periodu buvo atrasti \xc5\xbevaig\xc5\xbediniai briaunainiai. Venecijos \xc5\xa1v. Marko bazilikos grindyse buvo padaryta marmuro inkrustacija, kurioje vaizduojamas \xc5\xbevaig\xc5\xbedinis dodekaedras. O kai kurie dailininkai, pavyzd\xc5\xbeiui, Jamniceris (Wenzel Jamnitzer) pie\xc5\xa1\xc4\x97 vis sud\xc4\x97tingesnes \xc5\xbevaig\xc5\xbedines fig\xc5\xabras._NEWLINE_Johanas Kepleris (1571\xe2\x80\x931630) naudodamas \xc5\xbevaig\xc5\xbedinius daugiakampius, daugiausia pentagramas, k\xc5\xabr\xc4\x97 \xc5\xbevaig\xc5\xbedinius briaunainius. Kai kurios fig\xc5\xabros turb\xc5\xabt buvo jau atrastos iki Keplerio, bet jis buvo pirmasis, kuris nustat\xc4\x97, kad \xc5\xa1ias fig\xc5\xabras dera laikyti taisyklingomis, jei nesilaikysime reikalavimo, kad taisyklingos fig\xc5\xabros turi b\xc5\xabti i\xc5\xa1kilos. V\xc4\x97liau Lui Puanso nagrin\xc4\x97jo \xc5\xbevaig\xc5\xbedinius vir\xc5\xa1\xc5\xabn\xc4\x97s planus ir atrado dar du taisyklingus \xc5\xbevaig\xc5\xbedinius briaunainius. Augustinas Lui Ko\xc5\xa1i \xc4\xafrod\xc4\x97, kad Puanso s\xc4\x85ra\xc5\xa1as yra i\xc5\xa1samus, o Arturas Keilis (Arthur Cayley) suformulavo j\xc5\xb3 pavadinimus: du Keplerio k\xc5\xabnai buvo pavadinti ma\xc5\xbeuoju \xc5\xbevaig\xc5\xbediniu dodekaedru ir did\xc5\xbeiuoju \xc5\xbevaig\xc5\xbediniu dodekaedru; kiti du (Puanso k\xc5\xabnai)\xc2\xa0\xe2\x80\x93 did\xc5\xbeiuoju ikosaedru ir did\xc5\xbeiuoju dodekaedru. Dabar priimtas kuopinis \xc5\xa1i\xc5\xb3 k\xc5\xabn\xc5\xb3 pavadinimas yra Keplerio-Puanso briaunainiai._NEWLINE_Keplerio-Puanso briaunainius galima sukonstruoti i\xc5\xa1 Platono k\xc5\xabn\xc5\xb3 stelacijos b\xc5\xabdu. Daugelis fig\xc5\xabr\xc5\xb3, gaunam\xc5\xb3 stelacijos metu, yra netaisyklingos. 1938 metais Platono k\xc5\xabn\xc5\xb3 stelacijos tyrimus smarkiai past\xc5\xabm\xc4\x97jo Kokseteris ir kiti geometrai, i\xc5\xa1leisdami veikal\xc4\x85 \xe2\x80\x9ePenkiasde\xc5\xa1imt devyni ikosaedrai\xe2\x80\x9c (The Fifty-Nine Icosahedra)._NEWLINE_Stelacijai atvirk\xc5\xa1tinis procesas yra vadinamas i\xc5\xa1duobimu. Jei paimsime bet kok\xc4\xaf politop\xc4\x85 ir jo dual\xc4\x85, tai taikydami pirminiam politopui stelacij\xc4\x85, o dualui\xc2\xa0\xe2\x80\x93 i\xc5\xa1duobim\xc4\x85, gauname \xc5\xbevaig\xc5\xbedinus briaunainius, kurie taip pat yra dual\xc5\xabs. Taisyklingus \xc5\xbevaig\xc5\xbedinius briaunainius dar galima gauti i\xc5\xa1duobiant Platono k\xc5\xabnus. Nuo knygos Penkiasde\xc5\xa1imt devyni ikosaedrai pasirodymo yra atrasta daugiau \xc5\xa1i\xc5\xb3 fig\xc5\xabr\xc5\xb3 ir paie\xc5\xa1kos dar t\xc4\x99siasi.\n_START_SECTION_\nTaisyklingieji briaunainiai gamtoje\n_START_PARAGRAPH_\nVisi penki Platono k\xc5\xabnai vienaip ar kitaip pasirei\xc5\xa1kia gamtoje._NEWLINE_Tetraedras, kubas ir oktaedras yra neretai gamtoje pasitaikan\xc4\x8dios kristal\xc5\xb3 formos. \xc5\xbdinoma, kristal\xc5\xb3 form\xc5\xb3 yra daug daugiau, net 47, bet taisykling\xc5\xb3j\xc5\xb3 briaunaini\xc5\xb3 formos yra lengviausiai atpa\xc5\xbe\xc4\xafstamos. Taisykling\xc5\xb3 ikosaedr\xc5\xb3 ar dodekaedr\xc5\xb3 tarp kristal\xc5\xb3 nesutinkama, bet tarp vadinam\xc5\xb3j\xc5\xb3 kvazikristal\xc5\xb3 (kurie neatitinka grie\xc5\xbet\xc5\xb3 kristalografin\xc4\x97s simetrijos reikalavim\xc5\xb3) sutinkami piritoedrai (pagal mineralo pirito pavadinim\xc4\x85) turi dvylika netaisykling\xc5\xb3 penkiakampi\xc5\xb3 sien\xc5\xb3, kurios i\xc5\xa1d\xc4\x97stytos pana\xc5\xa1iai, kaip taisyklingo dodekaedro._NEWLINE_XX am\xc5\xbeiaus pabaigos technologiniai atradimai leido tyrin\xc4\x97ti sud\xc4\x97tingas anglies molekules, tarp kuri\xc5\xb3 yra Bakminsterio Fulerio teori\xc5\xa1kai nusp\xc4\x97tas ir v\xc4\x97liau, atradus, pavadintas jo vardu, fulerenas. Nors \xc5\xa1i anglies forma laikytina kone sferiniu briaunainiu, labiausiai daugiamolekulin\xc4\x97s jos formos (kaip C\xe2\x82\x82\xe2\x82\x84\xe2\x82\x80, C\xe2\x82\x84\xe2\x82\x88\xe2\x82\x80 ir C\xe2\x82\x89\xe2\x82\x86\xe2\x82\x80), sp\xc4\x97jama, tur\xc4\x97s kiek u\xc5\xbeapvalinto ikosaedro pavidal\xc4\x85, o pati molekul\xc4\x97 bus keli\xc5\xb3 nanometr\xc5\xb3 skersmens._NEWLINE_Gyvojoje gamtoje taip pat sutinkame taisykling\xc5\xb3 briaunaini\xc5\xb3. XX a. prad\xc5\xbeioje Ernstas Hekelis (Ernst Haeckel) apra\xc5\xa1\xc4\x97 vis\xc4\x85 eil\xc4\x99 radioliarij\xc5\xb3, kuri\xc5\xb3 skeletai neretai yra taisykling\xc5\xb3 briaunaini\xc5\xb3 pavidalo. Pamin\xc4\x97tinos r\xc5\xab\xc5\xa1ys: Circoporus octahedrus, Circogonia icosahedra, Lithocubus geometricus ir Circorrhegma dodecahedra; mokslininkas, sudarydamas r\xc5\xab\xc5\xa1ies pavadinimus, atspind\xc4\x97jo s\xc4\x85saj\xc4\x85 su atitinkamais briaunainiais. Daugelio virus\xc5\xb3 i\xc5\xa1orinis baltym\xc5\xb3 apvalkalas susiformuoja kaip taisyklingieji briaunainiai. Pavyzd\xc5\xbeiui, \xc5\xbdIV yra \xc4\xafvilktas \xc4\xaf taisykling\xc4\x85 ikosaedr\xc4\x85._NEWLINE_Kaip jau min\xc4\x97ta, Kepleris atrado kosmologinius planet\xc5\xb3 jud\xc4\x97jimo d\xc4\x97snius tyrin\xc4\x97damas taisykling\xc5\xb3j\xc5\xb3 briaunaini\xc5\xb3 savybes.\n_START_SECTION_\nNaujausi\xc5\xb3j\xc5\xb3 laik\xc5\xb3 apibendrinimai\n_START_PARAGRAPH_\nXX am\xc5\xbeiaus matematikai b\xc5\xabdinga apibendrinimo ir abstraktumo tendencija neaplenk\xc4\x97 ir taisykling\xc5\xb3j\xc5\xb3 briaunaini\xc5\xb3 tyrim\xc5\xb3. Buvo i\xc5\xa1vestos naujos \xc5\xa1i\xc5\xb3 briaunaini\xc5\xb3 klas\xc4\x97s: tasyklingieji \xc5\xa1lyties apeiroedrai, taisyklingieji \xc5\xa1lyties briaunainiai, taisyklingieji neeuklidini\xc5\xb3 erdvi\xc5\xb3 briaunainiai, abstrakt\xc5\xabs taisyklingieji briaunainiai, taisyklingieji sferiniai briaunainiai bei kai kurie kiti.'