b'\n_START_ARTICLE_\nPredikat\xc5\xb3 logika\n_START_PARAGRAPH_\nPredikat\xc5\xb3 logika yra matematin\xc4\x97s logikos r\xc5\xab\xc5\xa1is, kuri tyrin\xc4\x97ja po\xc5\xbeymio priskyrimo objektui login\xc4\x99 rai\xc5\xa1k\xc4\x85. Teiginys savyje turi subjekt\xc4\x85 ir predikat\xc4\x85, tam tikr\xc4\x85 objekt\xc4\x85 ir po\xc5\xbeym\xc4\xaf, kuris nusako ar apib\xc5\xabdina t\xc4\x85 objekt\xc4\x85, arba atvirk\xc5\xa1\xc4\x8diai, po\xc5\xbeymis, kuris nepriskiriamas ar netinkamas objektui. Objektas gali b\xc5\xabti bet kas, apie k\xc4\x85 galima k\xc4\x85 nors pasakyti ir suteikti tam tikr\xc4\x85 po\xc5\xbeym\xc4\xaf. Yra trys skirtingos po\xc5\xbeymi\xc5\xb3 r\xc5\xab\xc5\xa1ys: savyb\xc4\x97s, santykiai ir vardai. Vardai yra priskiriami prie po\xc5\xbeymi\xc5\xb3, dar kitaip vadinam\xc5\xb3 predikat\xc5\xb3, ta\xc4\x8diau vardai yra nagrin\xc4\x97jami login\xc4\x97je semantikoje.\n_START_SECTION_\nSavybi\xc5\xb3 samprata\n_START_PARAGRAPH_\nSavyb\xc4\x97 yra kiekvienam objektui b\xc5\xabdingas po\xc5\xbeymis. Savyb\xc4\x99 gali tur\xc4\x97ti keli skirtingi objektai. Ta\xc4\x8diau savybi\xc5\xa1kumas, skirtingai nei santykis, gali apsiriboti ir tik vienu objektu, t. y. jis nereikalauja santykinio ry\xc5\xa1io. Pvz. \xe2\x80\x9eDangus yra m\xc4\x97lynas\xe2\x80\x9c arba \xe2\x80\x9eG\xc4\x97l\xc4\x97 yra m\xc4\x97lyna\xe2\x80\x9c, \xc5\xa1ie teiginiai b\xc5\xabdami teisingi ir prasmingi, nesudaro privalomojo santykinio ry\xc5\xa1io.\n_START_SECTION_\nI\xc5\xa1rai\xc5\xa1k\xc5\xb3 pertvarkymas\n_START_PARAGRAPH_\nSavybi\xc5\xb3 teorijos i\xc5\xa1rai\xc5\xa1kos \xc4\xafvairiai pertvarkomos, i\xc5\xa1 vien\xc5\xb3 i\xc5\xa1rai\xc5\xa1k\xc5\xb3 i\xc5\xa1vedant kitas joms ekvivalentes i\xc5\xa1rai\xc5\xa1kas. _NEWLINE_D\xc4\x97sniai: _NEWLINE_; _NEWLINE_ _NEWLINE_nurodo, jog kurioje nors i\xc5\xa1rai\xc5\xa1koje pakeit\xc4\x99 kintam\xc4\x85j\xc4\xaf kitu kintamuoju, gausime jai ekvivalent\xc4\x99 i\xc5\xa1rai\xc5\xa1k\xc4\x85. Taip pat ir i\xc5\xa1rai\xc5\xa1koje: _NEWLINE_ _NEWLINE_kintam\xc4\x85j\xc4\xaf x pakeit\xc4\x99 kintamuoju y gausime ekvivalent\xc4\x99 i\xc5\xa1rai\xc5\xa1k\xc4\x85: _NEWLINE_ _NEWLINE_Kei\xc4\x8diant kintam\xc4\x85j\xc4\xaf kitu, privaloma pakeisti visus kintamuosius, ir negalima pakeisti laisv\xc5\xb3j\xc5\xb3 kintam\xc5\xb3j\xc5\xb3 suvar\xc5\xbeytaisiais kintamaisiais, ar atvirk\xc5\xa1\xc4\x8diai, pavyzd\xc5\xbeiui: _NEWLINE_ _NEWLINE_tokios i\xc5\xa1rai\xc5\xa1kos negalima pakeisti \xc4\xaf i\xc5\xa1rai\xc5\xa1k\xc4\x85: _NEWLINE_, _NEWLINE_nes y kintamasis pirmojoje i\xc5\xa1rai\xc5\xa1koje yra laisvas, o antrojoje pakei\xc4\x8diamas \xc4\xaf suvar\xc5\xbeyt\xc4\x85 kintam\xc4\x85j\xc4\xaf x. I\xc5\xa1rai\xc5\xa1ka, kurios savybi\xc5\xb3 teorijos i\xc5\xa1rai\xc5\xa1kas pertvarkant taip, kad kvantoriai i\xc5\xa1keliami prie\xc5\xa1 visus kitus i\xc5\xa1rai\xc5\xa1k\xc4\x85 sudaran\xc4\x8dius simbolius \xc4\xafgauna normali\xc4\x85j\xc4\x85 form\xc4\x85, pavyzd\xc5\xbeiui: _NEWLINE_ _NEWLINE_i\xc5\xa1rai\xc5\xa1kos normalioji forma yra: _NEWLINE_, _NEWLINE_kuri\xc4\x85 skaitome taip: kiekvienam x ir kiekvienam y teisinga, kad x turi savyb\xc4\x99 F arba y turi savyb\xc4\x99 G. Taikant kvantori\xc5\xb3 ekvivalencijos bei teigini\xc5\xb3 logikos d\xc4\x97snius, savybi\xc5\xb3 teorijos i\xc5\xa1rai\xc5\xa1kas \xc4\xafmanoma pertvarkyti taip, kad neigimas tekt\xc5\xb3 tiktai savyb\xc4\x97ms. _NEWLINE_ _NEWLINE_i\xc5\xa1rai\xc5\xa1ka skaitoma: netiesa, kad jei yra koks x, kuris turi savyb\xc4\x99 F, tai kiekvienas y turi savyb\xc4\x99 G. \xc5\xa0iai i\xc5\xa1rai\xc5\xa1kai pritaikius teigini\xc5\xb3 logikos d\xc4\x97sn\xc4\xaf: _NEWLINE_ _NEWLINE_gausime i\xc5\xa1rai\xc5\xa1k\xc4\x85: _NEWLINE_ _NEWLINE_Jeigu pritaikysime kvantori\xc5\xb3 ekvivalencijos d\xc4\x97sn\xc4\xaf: _NEWLINE_, _NEWLINE_tuomet gausime i\xc5\xa1rai\xc5\xa1k\xc4\x85: _NEWLINE_ _NEWLINE_Gautoje i\xc5\xa1rai\xc5\xa1koje, neigimas taikomas tiktai savyb\xc4\x97ms.\n_START_SECTION_\nFormalioji implikacija\n_START_PARAGRAPH_\nTeiginys, kurio forma yra tokia: \xe2\x80\x9ei\xc5\xa1 to, kad x turi predikat\xc4\x85 F, visuomet seka, kad x turi predikat\xc4\x85 G\xe2\x80\x9c \xc5\xa0is teiginys vadinamas formali\xc4\x85ja implikacija, kurios i\xc5\xa1rai\xc5\xa1ka yra  tokia: _NEWLINE_ _NEWLINE_Formalioji implikacija rei\xc5\xa1kiama materiali\xc4\x85ja implikacija bei bendrumo kvantoriumi, kurios reik\xc5\xa1m\xc4\x97: kiekvienas objektas, turintis predikat\xc4\x85 F, turi predikat\xc4\x85 G. _NEWLINE_Galimi du atvejai: _NEWLINE_1. Objekt\xc5\xb3 klas\xc4\x97 x yra baigtin\xc4\x97 ir jos elementai \xc5\xbeinomi. Pavyzd\xc5\xbeiui,  ant \xc5\xbeem\xc4\x97s guli 10 obuoli\xc5\xb3. Tuomet tokio teiginio, kaip \xe2\x80\x9ekiekvienas x, jei x yra obuolys, gulintis ant \xc5\xbeem\xc4\x97s, tai x yra raudonas\xe2\x80\x9c, teisingumas yra nustatomas per\xc5\xbei\xc5\xabrint visus obuolius. Tokiu atveju i\xc5\xa1rai\xc5\xa1ka: _NEWLINE_ _NEWLINE_turi konjunkcijos prasm\xc4\x99: [F(x1) \xe2\x86\x92 G (x1)] \xe2\x80\xa2 [F(x2) \xe2\x86\x92 G (x2)] \xe2\x80\xa2 [F(x3) \xe2\x86\x92 G (x3)] ... [F(xn) \xe2\x86\x92 G (xn)]. \xc5\xa0i formalioji implikacija yra teisinga tokiu atveju, jeigu jos visi konjunkcijos nariai (visos atskiros implikacijos) yra teisingos. _NEWLINE_2. Objekt\xc5\xb3 x klas\xc4\x97 yra nesuskai\xc4\x8diuojama. Tokiu atveju, formaliosios implikacijos teisingumas negali b\xc5\xabti rei\xc5\xa1kiamas atskir\xc5\xb3 implikacij\xc5\xb3 konjunkcija. Pavyzd\xc5\xbeiui, teiginio, \xe2\x80\x9ekiekvienas x, jei x yra automobilis, tai x yra b\xc5\xabdingas vidaus degimo variklis\xe2\x80\x9c teisingumo negalima nustatyti stebint pavienius objektus, nes t\xc5\xb3 objekt\xc5\xb3 neina suskai\xc4\x8diuoti. Formalioji implikacija reikalinga formalizuoti vienam i\xc5\xa1 jungties \xe2\x80\x9ejei..., tai\xe2\x80\x9c vartojimo variant\xc5\xb3, siekiant i\xc5\xa1reik\xc5\xa1ti prasmin\xc4\xaf antecedento ir konsekvento ry\xc5\xa1\xc4\xaf.\n_START_SECTION_\nSavybi\xc5\xb3 teorijos d\xc4\x97sniai\n_START_PARAGRAPH_\nSavybi\xc5\xb3 teorijos d\xc4\x97sniai, skiriasi nuo santyki\xc5\xb3 teorijos d\xc4\x97sni\xc5\xb3 tuo, kad savybi\xc5\xb3 teorijoje d\xc4\x97sniai yra taikomi tuo atveju, kai egzistuoja bent vienas objektas (santyki\xc5\xb3 teorijoje privalomi du objektai tarp kuri\xc5\xb3 i\xc5\xa1reik\xc5\xa1tas santykis.) _NEWLINE_Pagrindin\xc4\x97 s\xc4\x85voka santyki\xc5\xb3 teorijoje yra kvantoriaus s\xc4\x85voka. Kvantorius yra tam tikra funkcija, kuri i\xc5\xa1rei\xc5\xa1kia tam tikr\xc4\x85 m\xc4\x85stymo objekt\xc5\xb3 kiek\xc4\xaf. Kadangi gali b\xc5\xabti daug m\xc4\x85stom\xc5\xb3 objekt\xc5\xb3 ir ma\xc5\xbeai m\xc4\x85stom\xc5\xb3 objekt\xc5\xb3, tai pat egzistuoja kvantoriai, kuriais naudojantis formalizacijos metodu yra u\xc5\xbera\xc5\xa1omas objekt\xc5\xb3 kiekis. _NEWLINE_ _NEWLINE_Kvantoriai yra skirstomi \xc4\xaf egzistencijos kvantori\xc5\xb3 ir bendr\xc4\x85j\xc4\xaf kvantori\xc5\xb3. Egzistencijos kvantorius yra \xc5\xbeymimas , kuris rei\xc5\xa1kia, kad egzistuoja bent vienas objektas. Bendrumo kvantorius, kuris \xc5\xbeymimas   rei\xc5\xa1kia, kad kiekvienas arba visi turi tam tikr\xc4\x85 savyb\xc4\x99. Susipa\xc5\xbeinus su kvantori\xc5\xb3 \xc5\xbeym\xc4\x97jimais ir reik\xc5\xa1m\xc4\x97mis prieisime prie j\xc5\xb3 naudojimo kartu su savyb\xc4\x97mis. _NEWLINE_Naudojant egzistencijos kvantori\xc5\xb3, prie jo priskiriant savyb\xc4\x99 F(x) sakoma, kad egzistuoja bent vienas objektas, kuris turi savyb\xc4\x99 F(x) pvz.: jei automobilis yra raudonas, tai sakoma, kad egzistuoja bent vienas automobilis, kuris turi savyb\xc4\x99 b\xc5\xabti raudonu. Formalus \xc5\xa1ios i\xc5\xa1rai\xc5\xa1kos u\xc5\xbera\xc5\xa1as yra: _NEWLINE_ _NEWLINE_apie tai ar visi automobiliai raudoni mes ne\xc5\xbeinome. Naudosime bendrumo kvantori\xc5\xb3  kai apie jo priskiriam\xc4\x85 savyb\xc4\x97 F(x) bus sakoma, kad visi arba kiekvienas objektas turi savyb\xc4\x99 F(x), pvz.: kiekvienas va\xc5\xbeiuojantis automobilis turi ratus, \xc5\xa1ios i\xc5\xa1rai\xc5\xa1kos formalus u\xc5\xbera\xc5\xa1as yra: _NEWLINE_ _NEWLINE_rei\xc5\xa1kia, kad kiekvienas va\xc5\xbeiuojantis automobilis turi savyb\xc4\x99 b\xc5\xabti ratuotam. _NEWLINE_Savybi\xc5\xb3 teorijos d\xc4\x97sniai. _NEWLINE_Keturi d\xc4\x97sniai, kurie yra taikomi vieniems kvantoriams paver\xc4\x8diant kitais. Tai yra egzistencijos kvantorius galima paversti bendraisiais kvantoriais ir bendrumo kvantorius galima paversti egzistencijos kvantoriais. Kvantori\xc5\xb3 keitimas yra pagr\xc4\xafstas kvantori\xc5\xb3 neigimu, kai yra neigiamas pats kvantorius arba jo savyb\xc4\x97. _NEWLINE_Kvantori\xc5\xb3 tapatyb\xc4\x97s arba d\xc4\x97sniai yra keturi: _NEWLINE_1.)  _NEWLINE_Teiginys: \xe2\x80\x9ekiekviena knyga turi puslapius\xe2\x80\x9c ekvivalentus teiginiui \xe2\x80\x9eNetiesa, kad yra tokia knyga, kuri netur\xc4\x97t\xc5\xb3 puslapi\xc5\xb3.\xe2\x80\x9c_NEWLINE_2.)  _NEWLINE_Teiginys: \xe2\x80\x9ekadangi netiesa, kad kiekvienas \xc5\xbemogus yra doras, tai yra \xc5\xbemoni\xc5\xb3, kurie n\xc4\x97ra dori.\xe2\x80\x9c _NEWLINE_3.)  _NEWLINE_Teiginys: \xe2\x80\x9ekadangi yra dor\xc5\xb3 \xc5\xbemoni\xc5\xb3, tai netiesa, kad kiekvienas \xc5\xbemogus nedoras.\xe2\x80\x9c _NEWLINE_4.)  _NEWLINE_Teiginys: \xe2\x80\x9enetiesa, kad m\xc5\xabs\xc5\xb3 grup\xc4\x97je yra toks studentas, kuris moka Est\xc5\xb3 kalb\xc4\x85 ekvivalentus teiginiui: kiekvienas m\xc5\xabs\xc5\xb3 grup\xc4\x97s studentas Est\xc5\xb3 kalbos nemoka.\xe2\x80\x9c _NEWLINE_Egzistuoja d\xc4\x97sniai kurie nurodo, kaip kvantoriai gali b\xc5\xabti \xc4\xafkelti \xc4\xaf skliaustus ir i\xc5\xa1kelti i\xc5\xa1 j\xc5\xb3. \xc5\xa0ie d\xc4\x97sniai vadinami kvantori\xc5\xb3 i\xc5\xa1skaidymo ir jungimo d\xc4\x97sniais. _NEWLINE_D\xc4\x97sniai yra \xc5\xa1ie: _NEWLINE_1.)Bendrumo kvantoriaus i\xc5\xa1skaidymas konjunkcijoje: _NEWLINE_ _NEWLINE_Pvz.: teiginys: \xe2\x80\x9ekiekviename universitete yra fakultetai ir katedros\xe2\x80\x9c ekvivalentus teiginiui: \xe2\x80\x9ekiekviename universitete yra fakultetai ir kiekviename universitete yra katedros.\xe2\x80\x9c _NEWLINE_2.) Kitaip i\xc5\xa1skaidomas egzistavimo kvantorius konjunkcijoje: _NEWLINE_ _NEWLINE_Pvz.: teiginys: \xe2\x80\x9eyra toks sportininkas, kuris pasiek\xc4\x97 geriausi\xc4\x85 rezultat\xc4\x85 pasaulyje iet\xc4\x97s metimo rungtyje 1960m. ir yra toks sportininkas, kuris pasiek\xc4\x97 geriausi\xc4\x85 rezultat\xc4\x85 pasaulyje iet\xc4\x97s metimo rungtyje 2000m.\xe2\x80\x9c _NEWLINE_3.) Egzistavimo kvantoriaus i\xc5\xa1skaidymas disjunkcijoje: _NEWLINE_ _NEWLINE_Pvz.: teiginys: \xe2\x80\x9eyra toks automobilis kuris yra raudonas arba juodas tai yra ekvivalentu i\xc5\xa1rai\xc5\xa1kai: yra toks automobilis kuris yra raudonas arba yra toks automobilis kuris yra juodas.\xe2\x80\x9c _NEWLINE_4.) Bendrumo kvantoriaus i\xc5\xa1skaidymas implikacijoje: _NEWLINE_ _NEWLINE_Pvz.: teiginys: \xe2\x80\x9evisi automobiliai, jei jie yra su paauksuotais ratlankiais yra brang\xc5\xabs, i\xc5\xa1 to i\xc5\xa1plaukia, kad jei kiekvienas automobilis yra su paauksuotais ratlankiais, kiekvienas automobilis yra brangus.\xe2\x80\x9c_NEWLINE_5.) Bendrumo kvantoriaus jungimas konjunkcijoje: _NEWLINE_ _NEWLINE_Pvz.: teiginys: \xe2\x80\x9ekiekvienas automobilis turi veidrod\xc4\x97lius ir kiekvienas automobilis turi langus yra ekvivalentu, kad kiekvienas automobilis turi veidrod\xc4\x97lius ir langus.\xe2\x80\x9c _NEWLINE_6.) Bendrumo kvantoriaus jungimas disjunkcijoje: _NEWLINE_ _NEWLINE_Pvz.: teiginys: \xe2\x80\x9etarkime, kad kiekvienas m\xc5\xabs\xc5\xb3 grup\xc4\x97s narys keliavo Nerimi arba kiekvienas m\xc5\xabs\xc5\xb3 grup\xc4\x97s narys keliavo Nemunu. I\xc5\xa1 \xc4\x8dia seka, kad kiekvienas m\xc5\xabs\xc5\xb3 grup\xc4\x97s narys keliavo Nerimi arba Nemunu.\xe2\x80\x9c _NEWLINE_7.) Egzistavimo kvantoriaus jungimas disjunkcijoje: _NEWLINE_ _NEWLINE_ _NEWLINE_Pvz.: teiginys: \xe2\x80\x9eegzistuoja automobilis kuris yra juodas arba egzistuoja automobilis kuris turi dureles, ekvivalentus i\xc5\xa1rai\xc5\xa1kai egzistuoja automobilis kuris yra juodas arba turi dureles.\xe2\x80\x9c _NEWLINE_8.) Egzistavimo kvantoriaus jungimas implikacijoje: _NEWLINE_ _NEWLINE_Pvz.: teiginys: \xe2\x80\x9ejei egzistuoja komanda kuri yra var\xc5\xbeyb\xc5\xb3 dalyv\xc4\x97, tai egzistuoja komanda kuri laimi, i\xc5\xa1 to i\xc5\xa1plaukia, kad jei ka\xc5\xbekokia komanda egzistuoja kaip var\xc5\xbeyb\xc5\xb3 dalyv\xc4\x97 tai ji laimi.\xe2\x80\x9c\n_START_SECTION_\nSantyki\xc5\xb3 samprata\n_START_PARAGRAPH_\nSantyki\xc5\xb3 teorija nagrin\xc4\x97ja tokius po\xc5\xbeymius, kurie priskiriami dviem, trims, keturiems ar daugiau objekt\xc5\xb3, ta\xc4\x8diau negali b\xc5\xabti priskiriami vienam objektui. Turi b\xc5\xabti ma\xc5\xbeiausiai du objektai. Tikrov\xc4\x97s objekt\xc5\xb3 s\xc4\x85veikos logi\xc5\xa1kai rei\xc5\xa1kiamos santykiais. Kalboje gausu \xc5\xbeod\xc5\xbei\xc5\xb3, kurie rei\xc5\xa1kia santykius, pavyzd\xc5\xbeiui: ma\xc5\xbeiau, brolis, puolimas, t\xc4\x97vas, b\xc5\xabti tarp, prie\xc5\xa1as, jud\xc4\x97jimas ir taip toliau. Santyki\xc5\xb3 teorijoje objektai \xc5\xbeymimi ma\xc5\xbeosiomis raid\xc4\x97mis x, y, z, o patys santykiai \xe2\x80\x93 did\xc5\xbeiosiomis raid\xc4\x97mis R, S, T. Tokia i\xc5\xa1rai\xc5\xa1ka, kaip  skaitoma taip: tarp objekt\xc5\xb3 x ir y yra santykis R. Toki\xc4\x85 strukt\xc5\xabra turi teiginys: \xe2\x80\x9eMed\xc5\xbeiotojas nu\xc5\xa1ov\xc4\x97 \xc5\xa1ern\xc4\x85\xe2\x80\x9c (Med\xc5\xbeiotojas yra x, nu\xc5\xa1ov\xc4\x97 \xe2\x80\x93 R, \xc5\xa1ernas \xe2\x80\x93 y). _NEWLINE_ _NEWLINE_Santykis, esantis tarp dviej\xc5\xb3 objekt\xc5\xb3, vadinamas dvivie\xc4\x8diu santykiu, ta\xc4\x8diau santykiai, kurie yra tarp trij\xc5\xb3, keturi\xc5\xb3 ir daugiau objekt\xc5\xb3, sakoma, kad santykis yra tarp trij\xc5\xb3, keturi\xc5\xb3 ir taip toliau viet\xc5\xb3. Jeigu savyb\xc4\x97s yra vienvie\xc4\x8diai predikatai, tokiu atveju santykiai yra daugiavie\xc4\x8diai predikatai. _NEWLINE_Tokiame teiginyje, kaip \xe2\x80\x9eKat\xc4\x97 yra tarp stalo ir k\xc4\x97d\xc4\x97s\xe2\x80\x9c reikalauja trij\xc5\xb3 objekt\xc5\xb3. Kat\xc4\x99 pa\xc5\xbeym\xc4\x97jus raide x, stal\xc4\x85 \xe2\x80\x93 y, k\xc4\x97d\xc4\x99 \xe2\x80\x93 z, gaunama formul\xc4\x97 \xe2\x80\x93 R(x,y,z), kuri skaitoma: tarp objekt\xc5\xb3 x, y, z yra santykis R. \xc5\xbdodis \xe2\x80\x9eduoti\xe2\x80\x9c, taip pat yra trivietis santykis, nes kas nors kam nors duoda k\xc4\x85 nors, pavyzd\xc5\xbeiui, senel\xc4\x97 duoda an\xc5\xabk\xc4\x97liui saldain\xc4\xaf. \xc5\xbdodis \xe2\x80\x9emainai\xe2\x80\x9c \xe2\x80\x93 keturvietis santykis, nes kas nors su kuo nors kei\xc4\x8dia k\xc4\x85 nors \xc4\xaf k\xc4\x85 nors, pavyzd\xc5\xbeiui, berniukas su mergaite kei\xc4\x8dia apelsin\xc4\x85 \xc4\xaf obuol\xc4\xaf. _NEWLINE_Dauguma po\xc5\xbeymi\xc5\xb3, kurie dabar laikomi santykiais, ka\xc5\xbekada buvo laikomi savyb\xc4\x97mis. Terminas \xe2\x80\x9eb\xc5\xabti geresniam\xe2\x80\x9c yra trij\xc5\xb3 viet\xc5\xb3 santykis, kadangi x geresnis u\xc5\xbe y z po\xc5\xbei\xc5\xabriu, pavyzd\xc5\xbeiui mokinys x geresnis u\xc5\xbe mokin\xc4\xaf y pa\xc5\xbeymi\xc5\xb3 at\xc5\xbevilgiu z. _NEWLINE_Pagrindinis santykis logini\xc5\xb3 santyki\xc5\xb3 teorijoje yra santykis tarp dviej\xc5\xb3 objekt\xc5\xb3, kuris \xc5\xbeymimas i\xc5\xa1rai\xc5\xa1ka . Santyki\xc5\xb3 teorijoje taip pat pla\xc4\x8diai naudojami kvantoriai. Tokios i\xc5\xa1rai\xc5\xa1ko, kaip: x mokosi geriau u\xc5\xbe y; x \xc4\xafveik\xc4\x97 y, yra ne teiginiai, o propozicin\xc4\x97s funkcijos. Santyki\xc5\xb3 teorijoje teiginiai i\xc5\xa1 propozicini\xc5\xb3 funkcij\xc5\xb3 sudaromi pana\xc5\xa1iai, kaip savybi\xc5\xb3 teorijoje. Lengviausias b\xc5\xabdas tai padaryti yra kintamuosius dyd\xc5\xbeius pakeisti objekt\xc5\xb3 vardais, pavyzd\xc5\xbeiui: Justas mokosi geriau u\xc5\xbe Ar\xc5\xabn\xc4\x85; imtynininkas \xc4\xafveik\xc4\x97 boksinink\xc4\x85. Kitas b\xc5\xabdas propozicin\xc4\x99 funkcij\xc4\x85 pakeisti teiginiu, tai susieti j\xc4\x85 kvantoriais: _NEWLINE_ (x mokosi geriau u\xc5\xbe y); _NEWLINE_ (x \xc4\xafveik\xc4\x97 y), kuriuos skaitome: yra toks x ir yra toks y, i\xc5\xa1 kuri\xc5\xb3 x mokosi geriau u\xc5\xbe y; yra toks x ir yra toks y, i\xc5\xa1 kuri\xc5\xb3 x \xc4\xafveik\xc4\x97 y. \xc5\xa0ie teiginiai yra teisingi, nes kiekvienoje mokyklos klas\xc4\x97je gali b\xc5\xabti du moksleiviai, i\xc5\xa1 kuri\xc5\xb3 vienas mokosi geriau, nei kitas; daug yra toki\xc5\xb3 imtinink\xc5\xb3, kurie \xc4\xafveikia boksininkus. _NEWLINE__NEWLINE_Santyki\xc5\xb3 teorijoje propozicin\xc4\x97s funkcijos gali b\xc5\xabti susiejamos \xc4\xafvairiais kvantoriais. Tokia i\xc5\xa1rai\xc5\xa1ka, kaip _NEWLINE_ yra skaitoma: kiekvienam x ir kiekvienam y teisinga, kad tarp j\xc5\xb3 yra santykis R. _NEWLINE__NEWLINE_I\xc5\xa1rai\xc5\xa1ka  skaitoma: yra toks x, kuris su kiekvienu y yra santykyje R, pavyzd\xc5\xbeiui, yra gyv\xc5\xabn\xc5\xb3, kurie pamat\xc4\x99 ugn\xc4\xaf bando j\xc4\x85 u\xc5\xbegesinti. _NEWLINE__NEWLINE_I\xc5\xa1rai\xc5\xa1k\xc4\x85 susiejantiems kvantoriams esant vienodiems, galima juos sukeisti vietomis, taip nepakei\xc4\x8diant i\xc5\xa1rai\xc5\xa1kos esm\xc4\x97s, pavyzd\xc5\xbeiui: _NEWLINE_ ar , prasm\xc4\x97 nesikei\xc4\x8dia. Bet jeigu i\xc5\xa1rai\xc5\xa1k\xc4\x85 susiejantys kvantoriai nevienodi, tuomet sukeitus juos vietomis pasikeist\xc5\xb3 i\xc5\xa1rai\xc5\xa1kos prasm\xc4\x97 ir tod\xc4\x97l j\xc5\xb3 keisti negalima. _NEWLINE_ _NEWLINE_Santyki\xc5\xb3 teorijoje yra ir toki\xc5\xb3 i\xc5\xa1rai\xc5\xa1k\xc5\xb3, kai ne visi kintamieji yra susieti kvantoriais, tai yra, ne visi kintamieji suvar\xc5\xbeyti, b\xc5\xabna ir laisv\xc5\xb3 kintam\xc5\xb3j\xc5\xb3, pavyzd\xc5\xbeiui, tokioje i\xc5\xa1rai\xc5\xa1koje, kaip:  kintamasis x suvar\xc5\xbeytas, o y \xe2\x80\x93 laisvas.\n_START_SECTION_\nTeigini\xc5\xb3 formalizacija\n_START_PARAGRAPH_\nSantyki\xc5\xb3 teorijoje formalizuojant teiginius, pasinaudojama ir savybi\xc5\xb3 teorijoje nustatytomis priemon\xc4\x97mis. _NEWLINE__NEWLINE_Teiginio \xe2\x80\x9eKiekvienam automobiliui reikia atsargini\xc5\xb3 detali\xc5\xb3\xe2\x80\x9c dalin\xc4\x97 formalizacija yra tokia: (automobilis )  (atsargin\xc4\x97s detal\xc4\x97s )   reikia . Savyb\xc4\x99 \xe2\x80\x9eb\xc5\xabti automobiliu\xe2\x80\x9c pa\xc5\xbeym\xc4\x97jus raide F, o savyb\xc4\x99 \xe2\x80\x9eb\xc5\xabti reikalingumu\xe2\x80\x9c pa\xc5\xbeym\xc4\x97j\xc4\x99 raide G, galima visi\xc5\xa1kai formalizuoti: _NEWLINE_ _NEWLINE_\xc5\xa0i i\xc5\xa1rai\xc5\xa1ka skaitoma: kiekvienam x yra tokie y, kad, jei x turi savyb\xc4\x99 F ir y turi savyb\xc4\x99 G, tai tarp x ir y yra santykis R. _NEWLINE__NEWLINE_Teiginio \xe2\x80\x9eesama \xc5\xa1un\xc5\xb3, kurie nepakl\xc5\xabsta \xc5\xa1eimininkams\xe2\x80\x9c dalin\xc4\x97 formalizacija yra tokia: (\xc5\xa1unys )   (\xc5\xa1eimininkai )  ( nepakl\xc5\xabsta ). Visi\xc5\xa1ka formalizacija: _NEWLINE_ _NEWLINE_kuri skaitoma: yra tokie x ir yra tokie y, kad jei x turi savyb\xc4\x99 F ir y turi savyb\xc4\x99 G, tai tarp x ir y n\xc4\x97ra santykio R. _NEWLINE_Teiginio \xe2\x80\x9ejoks gyv\xc5\xabnas nei\xc5\xa1g\xc4\x97r\xc4\x97 viso vandens\xe2\x80\x9c dalin\xc4\x97 formalizacija yra tokia: (gyv\xc5\xabnas )  (visas vanduo )  ( nei\xc5\xa1g\xc4\x97r\xc4\x97 ). Visi\xc5\xa1ka formalizacija: _NEWLINE_ _NEWLINE_kuri skaitoma: kiekviename x yra toks y, kad, jei x turi savyb\xc4\x99 F ir y turi savyb\xc4\x99 G, tai tarp x ir y n\xc4\x97ra santykio R.\n_START_SECTION_\nVeiksmai su santykiais\n_START_PARAGRAPH_\nSantykiai yra s\xc4\x85vokos, tod\xc4\x97l, atliekant veiksmus su santykiais, gaunami nauji santykiai ir tuo pa\xc4\x8diu kuriamos naujos s\xc4\x85vokos. Jie taip pat i\xc5\xa1rei\xc5\xa1kia did\xc5\xbei\xc4\x85j\xc4\x85 dal\xc4\xaf \xc5\xbemogaus m\xc4\x85styme naudojam\xc5\xb3 s\xc4\x85vok\xc5\xb3, kaip antai paprastus santykius tarp objekt\xc5\xb3 (daugiau, lygu, b\xc5\xabti tarp) s\xc4\x85vokas, nusakan\xc4\x8dias laiko, erdv\xc4\x97s, socialinius santykius (v\xc4\x97liau, ar\xc4\x8diau, brolis, uo\xc5\xa1vis, \xc4\xafstabesnis) bei veiksmus (x atsiskaito y, x perduoda y, x nem\xc4\x97gsta y).\n_START_SECTION_\nSantykio neigimas\n_START_PARAGRAPH_\nSantyk\xc4\xaf neigiant, vir\xc5\xa1 arba \xc5\xa1alia santykio ra\xc5\xa1omas neigimo \xc5\xbeenklas. I\xc5\xa1rai\xc5\xa1k\xc4\x85 , kai ji yra neigiama, skaitome: netiesa, kad tarp x ir y yra santykis R; tarp x ir y n\xc4\x97ra santykio R. Pavyzd\xc5\xbeiui, teiginyje \xe2\x80\x9enetiesa, kad tvarka ir teisingumas sutampa" nurodoma, kad tarp \xc5\xa1i\xc5\xb3 objekt\xc5\xb3 tokio santykio n\xc4\x97ra. \xc5\xa0is neigimas i\xc5\xa1rei\xc5\xa1kiamas formule: _NEWLINE_ _NEWLINE_Kalboje santykio neigimo reik\xc5\xa1m\xc4\x97 atitinka teiginio, kuris i\xc5\xa1rei\xc5\xa1kia santyk\xc4\xaf, tarinio neigim\xc4\x85. Pavyzd\xc5\xbeiui, teiginio \xe2\x80\x9eautomobilis yra gara\xc5\xbee\xe2\x80\x9c neigimo \xe2\x80\x93 \xe2\x80\x9enetiesa, kad automobilis yra gara\xc5\xbee\xe2\x80\x9c prasm\xc4\x97 bus \xe2\x80\x9eautomobilio n\xc4\x97ra gara\xc5\xbee\xe2\x80\x9c. _NEWLINE__NEWLINE_Santykio dvigubas neigimas lygus santykiui.\n_START_SECTION_\nSantykio konversija\n_START_PARAGRAPH_\nJeigu turime santyk\xc4\xaf xAy, tai santykio A konversija bus toks santykis A\xe2\x81\xbb\xc2\xb9 (da\xc5\xbenai \xc5\xbeymimas \xc3\x82), kuris u\xc5\xbera\xc5\xa1omas atvirk\xc5\xa1\xc4\x8dia kintam\xc5\xb3j\xc5\xb3 x ir y tvarka, ta\xc4\x8diau i\xc5\xa1laiko t\xc4\x85 pa\xc4\x8di\xc4\x85 prasm\xc4\x99: _NEWLINE_x\xc3\x82y \xe2\x86\x94 yA\xe2\x81\xbb\xc2\xb9x _NEWLINE_Santykio x yra y t\xc4\x97vas" konversija - tai santykis y yra x s\xc5\xabnus. Kalboje, jeigu santykis yra veiksmas, o j\xc4\xaf rei\xc5\xa1ki\xc4\x85s \xc5\xbeodis yra veiksma\xc5\xbeodis, tai santykio konversija rei\xc5\xa1kiama neveikiam\xc4\x85ja dalyvio r\xc5\xab\xc5\xa1imi (pasyvu). _NEWLINE__NEWLINE_Pa\xc5\xbeym\xc4\x97tina, kad konversijos neigimas nieko nekei\xc4\x8dia (A-A), tod\xc4\x97l konversijos neigimas ekvivalentus konversijos neigimui. Galima konversuoti ir santyki\xc5\xb3 konjunkcij\xc4\x85 ar disjunkcij\xc4\x85. _NEWLINE_Pvz.: (y\xe1\xb5\xa2,x\xe1\xb5\xa2) \xe2\x88\x88 A\xe2\x81\xbb\xc2\xb9 \xe2\x86\x92 (x\xe1\xb5\xa2, y\xe1\xb5\xa2) \xe2\x88\x88 A _NEWLINE__NEWLINE_Tegul A \xc5\xbeymi santyk\xc4\xaf "perskaityti", o S - santyk\xc4\xaf \xe2\x80\x9epara\xc5\xa1yti". Sudarom teigin\xc4\xaf: \xe2\x80\x9ex perskait\xc4\x97 y arba x para\xc5\xa1\xc4\x97 y". J\xc4\xaf konversav\xc4\x99, gausime: \xe2\x80\x9ey buvo x-so perskaitytas arba y buvo x-so para\xc5\xa1ytas".\n_START_SECTION_\nSantyki\xc5\xb3 sud\xc4\x97tis\n_START_PARAGRAPH_\nTai veiksmas, kai i\xc5\xa1 dviej\xc5\xb3 santyki\xc5\xb3  ir  gaunamas naujas santykis , kur\xc4\xaf sudaro poros (x, y), gautos sujungus santykio R ir santykio S x-s\xc5\xb3 ir y-k\xc5\xb3 poras: _NEWLINE_ _NEWLINE_Pvz.: jei  \xe2\x80\x93 santykis \xe2\x80\x9ex-as yra y-ko t\xc4\x97vas\xe2\x80\x9c,  \xe2\x80\x93 santykis \xe2\x80\x9ex-as yra y-ko motina\xe2\x80\x9c,_NEWLINE_tai  \xe2\x80\x93 santykis \xe2\x80\x9ex-as yra y-ko gimdytojas\xe2\x80\x9c, bus: _NEWLINE_ _NEWLINE_i\xc5\xa1 to i\xc5\xa1plaukia: \xe2\x80\x9eb\xc5\xabti gimdytoju rei\xc5\xa1kia b\xc5\xabti arba t\xc4\x97vu, arba motina\xe2\x80\x9c.\n_START_SECTION_\nSantyki\xc5\xb3 daugyba\n_START_PARAGRAPH_\nTai toks veiksmas, kai i\xc5\xa1 dviej\xc5\xb3 santyki\xc5\xb3  ir  gaunamas naujas santykis , kur\xc4\xaf sudaro poros (x, y), bendros santykiui R ir santykiui S. _NEWLINE_ _NEWLINE_Pvz.: jei  \xe2\x80\x93 santykis \xe2\x80\x9ex-as d\xc4\x97sto y-ui angl\xc5\xb3 k.\xe2\x80\x9c,  \xe2\x80\x93 santykis \xe2\x80\x9ex-as d\xc4\x97sto y-ui rus\xc5\xb3 k.\xe2\x80\x9c, tai santykis: _NEWLINE_ _NEWLINE_reik\xc5\xa1 poras t\xc5\xb3 student\xc5\xb3 y, kurie pas tuos pa\xc4\x8dius d\xc4\x97stytojus x mokosi ir angl\xc5\xb3, ir rus\xc5\xb3 kalbos.\n_START_SECTION_\nSantyki\xc5\xb3 kompozicija\n_START_PARAGRAPH_\nSantyki\xc5\xb3 kompozicija yra vadinamas veiksmas, kai i\xc5\xa1 dviej\xc5\xb3 santyki\xc5\xb3 sudaromas naujas sud\xc4\x97tinis santykis. Santykiai \xe2\x80\x9ebrolio draugas", \xe2\x80\x9emotinos motina" ir pan. gaunami santykius komponuojant. Santyki\xc5\xb3 kompozicija \xc5\xbeymima taip: . _NEWLINE__NEWLINE_Santyki\xc5\xb3 kompozicija - veiksmas, veiksmas, kai i\xc5\xa1 dviej\xc5\xb3 santyki\xc5\xb3  ir  d\xc4\x97l j\xc5\xb3 bendro elemento z gaunamas naujas santykis , kur\xc4\xaf sudaro poros (x, y), gautos i\xc5\xa1 por\xc5\xb3 (x, z) ir (z, y) kra\xc5\xa1tini\xc5\xb3 element\xc5\xb3, kai j\xc5\xb3 viduriniai elementai z sutampa: _NEWLINE_ _NEWLINE_Tokiu atveju egzistuoja objektas z, su kuriuo x yra santykyje R ir kuris yra santykyje S su y: . _NEWLINE_Pvz.: santykis d\xc4\x97d\xc4\x97 (D) gaunamas i\xc5\xa1 santykio brolis (BR) ir santykio gimdytojas (GI): _NEWLINE_ _NEWLINE_Skaitome \xe2\x80\x9ex-as yra d\xc4\x97d\xc4\x97 y-ui tada ir tik tada, kai egzistuoja ka\xc5\xbekas, kam x-as yra brolis, ir kas yra gimdytojas y-ui\xe2\x80\x9c. Sukomponav\xc4\x99 santykius \xe2\x80\x9egimdytojas" ir \xe2\x80\x9ebrolis", gavome nauj\xc4\x85 santyk\xc4\xaf \xe2\x80\x9ebrolio s\xc5\xabnus". _NEWLINE__NEWLINE_Galima santyki\xc5\xb3 kompozicijos konversija: _NEWLINE_ _NEWLINE_Tegul R \xc5\xbeymi santyk\xc4\xaf \xe2\x80\x9eb\xc5\xabti mokytoju", S - \xe2\x80\x9eb\xc5\xabti vyresniuoju draugu". Kompozicijos \xe2\x80\x9ex yra z mokytojas, o z yra y vyresnysis draugas" konversija bus tokia: \xe2\x80\x9ey yra x mokinio jaunesnysis draugas". Tegul x \xc5\xbeymi Sokrat\xc4\x85, y - Aristotel\xc4\xaf, z - Platon\xc4\x85. Teiginio \xe2\x80\x9eSokratas yra Platono mokytojas, o Platonas yra Aristotelio vyresnysis draugas" konversija yra teiginys \xe2\x80\x9eAristotelis yra Sokrato mokinio (Platono) jaunesnysis draugas.\n_START_SECTION_\nLogin\xc4\x97s santyki\xc5\xb3 savyb\xc4\x97s\n_START_PARAGRAPH_\nNors pasaulyje be galo daug objekt\xc5\xb3 ir \xc4\xafvairiausi\xc5\xb3 santyki\xc5\xb3 tarp j\xc5\xb3, ta\xc4\x8diau santykiai turi tam tikr\xc5\xb3 savybi\xc5\xb3. Santykiai \xe2\x80\x93 tai labai didel\xc4\x97 m\xc5\xabs\xc5\xb3 m\xc4\x85styme dalyvaujan\xc4\x8di\xc5\xb3 s\xc4\x85vok\xc5\xb3 grup\xc4\x97, ir yra prasminga panagrin\xc4\x97ti pa\xc4\x8di\xc5\xb3 santyki\xc5\xb3, kaip toki\xc5\xb3, logines savybes.\n_START_SECTION_\nRefleksyvumas\n_START_PARAGRAPH_\nRefleksyviu vadinamas toks santykis, kai objektas yra tame santykyje su pa\xc4\x8diu savimi. Lygyb\xc4\x97s, tapatyb\xc4\x97s, pana\xc5\xa1umo santykiai yra refleksyv\xc5\xabs, nes kiekvienas objektas lygus pats sau, tapatus pats sau ir pan. _NEWLINE_,  _NEWLINE_Jeigu santykis  refleksyvus, tai jam b\xc5\xabtinai priklauso ir abiej\xc5\xb3, j\xc4\xaf sudaran\xc4\x8di\xc5\xb3 element\xc5\xb3 poros:\n_START_SECTION_\nAntirefleksyvumas\n_START_PARAGRAPH_\nSantykis  vadinamas antirefleksyviu, jeigu nei vienam aib\xc4\x97s x elementui x\xe1\xb5\xa2, jo pora su pa\xc4\x8diu savimi (x\xe1\xb5\xa2, x\xe1\xb5\xa2) n\xc4\x97ra santykio R elementas: _NEWLINE_,  _NEWLINE_ _NEWLINE_Antirefleksyvi\xc5\xb3 santyki\xc5\xb3 pavyzd\xc5\xbeiais gali b\xc5\xabti: , . _NEWLINE_Santykiai gali b\xc5\xabti ir nei refleksyv\xc5\xabs, nei antirefleksyv\xc5\xabs, jei \xc4\xaf juos \xc4\xafeina kai kurios, bet ne visos poros (x\xe1\xb5\xa2, x\xe1\xb5\xa2). Pavyzd\xc5\xbeiui, santyk\xc4\xaf  tenkina poros: (1,2), (2,2), (3,2), ta\xc4\x8diau netenkins nei poros (1,1), nei poros (3,3).\n_START_SECTION_\nSimetri\xc5\xa1kumas\n_START_PARAGRAPH_\nSimetri\xc5\xa1ku vadinamas toks santykis, kai, b\xc5\xabdamas tarp objekt\xc5\xb3 x ir y, jis yra tarp objekt\xc5\xb3 y ir x. Simetri\xc5\xa1kumo santykis u\xc5\xbera\xc5\xa1omas: _NEWLINE_ _NEWLINE_Santykis \xe2\x80\x9es\xc4\x97d\xc4\x97ti greta" simetri\xc5\xa1kas, nes jei x s\xc4\x97di greta y, tai y s\xc4\x97di greta x. Skirtumo santykis taip pat simetri\xc5\xa1kas: x skiriasi nuo y, o y skiriasi nuo x. Jei santykio, kuris yra tarp objekt\xc5\xb3 x ir y, n\xc4\x97ra tarp objekt\xc5\xb3 y ir x, jis vadinamas nesimetri\xc5\xa1ku. Nesimetri\xc5\xa1kumo santykis u\xc5\xbera\xc5\xa1omas: _NEWLINE_ _NEWLINE_Santykiai \xe2\x80\x9eb\xc5\xabti motina", \xe2\x80\x9eb\xc5\xabti auk\xc5\xa1tesniam" - nesimetri\xc5\xa1ki: jei x yra y motina, tai y yra x s\xc5\xabnus arba dukt\xc4\x97; jei x auk\xc5\xa1tesnis u\xc5\xbe y, tai y yra \xc5\xbeemesnis u\xc5\xbe x. Kartais negalima pasakyti, ar santykis simetri\xc5\xa1kas, ar nesimetri\xc5\xa1kas. Pavyzd\xc5\xbeiui, jei x myli y, tai vien logikos priemon\xc4\x97mis ne\xc4\xafmanoma nustatyti, ar y myli x, ar nemyli. _NEWLINE_Santykis  vadinamas antisimetriniu, jeigu esant kintam\xc5\xb3j\xc5\xb3 porai , b\xc5\xabtinai nebus kintam\xc5\xb3j\xc5\xb3 poros , nebent . Tai rei\xc5\xa1kia, kad abu santykiai  ir  galimi drauge tada ir tik tada, kai . _NEWLINE__NEWLINE_Antisimetrini\xc5\xb3 santyki\xc5\xb3 pavyzd\xc5\xbeiais gali b\xc5\xabti santykiai: x nedalus i\xc5\xa1 y, x didesnis u\xc5\xbe y, x\xe2\x89\xa5y. _NEWLINE_Santykis  vadinamas asimetriniu, jeigu esant kintam\xc5\xb3j\xc5\xb3 porai (x\xe1\xb5\xa2, y\xe2\xb1\xbc)\xe2\x88\x88R, b\xc5\xabtinai nebus kintam\xc5\xb3j\xc5\xb3 poros (y\xe2\xb1\xbc, x\xe1\xb5\xa2)\xe2\x88\x88R: _NEWLINE_R\xe2\x88\x88X\xc3\x97Y\xe2\x88\xa9R\xe2\x81\xbb\xc2\xb9\xe2\x88\x88X\xc3\x97Y=\xc3\xb8 _NEWLINE_arba, _NEWLINE_\xe2\x88\x80x\xe2\x88\x80y((x\xe1\xb5\xa2,y\xe2\xb1\xbc)\xe2\x88\x88R\xe2\x86\x94(y\xe2\xb1\xbc,x\xe1\xb5\xa2)\xe2\x88\x89R) _NEWLINE_Asimetrini\xc5\xb3 santyki\xc5\xb3 pavyzd\xc5\xbeiais gali b\xc5\xabti santykiai: x>y, x \xc4\xafsp\xc5\xabdingesnis u\xc5\xbe y, x lakesnis u\xc5\xbe y.\n_START_SECTION_\nTranzityvumas\n_START_PARAGRAPH_\nTranzityviu vadinamas toks santykis, kuris, b\xc5\xabdamas tarp objekt\xc5\xb3 x ir y, ir tarp objekt\xc5\xb3 y ir z, yra taip pat tarp objekt\xc5\xb3 x ir z. Tranzityvumo santykis u\xc5\xbera\xc5\xa1omas: _NEWLINE_ _NEWLINE_Santykiai \xe2\x80\x9elygus", \xe2\x80\x9edidesnis", \xe2\x80\x9eankstesnis" - tranzityv\xc5\xabs: jei x \xc4\xafvyko anks\xc4\x8diau u\xc5\xbe y, o y \xc4\xafvyko anks\xc4\x8diau u\xc5\xbe z, tai x \xc4\xafvyko anks\xc4\x8diau u\xc5\xbe z. _NEWLINE__NEWLINE_Netranzityviu vadinamas santykis, kuris, b\xc5\xabdamas tarp objekt\xc5\xb3 x ir y ir tarp objekt\xc5\xb3 y ir z, n\xc4\x97ra tarp objekt\xc5\xb3 x ir z. Netranzityvumo santykis u\xc5\xbera\xc5\xa1omas: _NEWLINE_ _NEWLINE_Pavyzd\xc5\xbeiui, jei x yra y t\xc4\x97vas ir y yra z t\xc4\x97vas, tai x jau ne z t\xc4\x97vas, o senelis. Kartais vien logikos priemon\xc4\x97mis ne\xc4\xafmanoma nustatyti, ar santykis tranzityvus, ar netranzityvus. Pavyzd\xc5\xbeiui, jei x yra y draugas, o y yra z draugas, tai dar ne\xc5\xbeinia, ar x yra z draugas. _NEWLINE_ _NEWLINE_Santyki\xc5\xb3 savyb\xc4\x97s nustatomos apibendrinant patirt\xc4\xaf - tai semantikos sritis.\n_START_SECTION_\nVienareik\xc5\xa1mi\xc5\xa1kumas\n_START_PARAGRAPH_\nDa\xc5\xbenai svarbu nustatyti kiek\xc4\xaf objekt\xc5\xb3, tarp kuri\xc5\xb3 yra kuris nors santykis. Kiekvienas turi tik vien\xc4\x85 t\xc4\x97v\xc4\x85 ir vien\xc4\x85 motin\xc4\x85, tuo tarpu pastarieji gali tur\xc4\x97ti ir daugiau vaik\xc5\xb3. _NEWLINE_Vienareik\xc5\xa1miu vadinamas toks santykis, kai santykyje  kiekvien\xc4\x85 objekt\xc4\x85 y atitinka tik vienas objektas x. Santykis \xe2\x80\x9ex yra y pirmasis mokytojas" - vienareik\xc5\xa1mis. Kiekvienas (y), pirm\xc4\x85 kart\xc4\x85 at\xc4\x97j\xc4\x99s \xc4\xaf mokykl\xc4\x85, turi savo pirm\xc4\x85j\xc4\xaf mokytoj\xc4\x85 (x). Ta\xc4\x8diau pirmasis mokytojas turi ne vien\xc4\x85 mokin\xc4\xaf, o vis\xc4\x85 klas\xc4\x99. Vienareik\xc5\xa1mi\xc5\xa1kumo santykis u\xc5\xbera\xc5\xa1omas: _NEWLINE_ _NEWLINE_Jei x yra y motina, tai z yra x s\xc5\xabnus ir x = z, nes y tegali tur\xc4\x97ti vien\xc4\x85 motin\xc4\x85. _NEWLINE_Abipusiai vienareik\xc5\xa1mis santykis yra tada, kai santykyje  kiekvien\xc4\x85, objekt\xc4\x85 y atitinka tik vienas objektas x, ir atvirk\xc5\xa1\xc4\x8diai: kiekvien\xc4\x85 objekt\xc4\x85 x atitinka tik vienas objektas y. Teiginyje \xe2\x80\x9eM. Ma\xc5\xbevydas i\xc5\xa1leido pirm\xc4\x85j\xc4\x85 lietuvi\xc5\xa1k\xc4\x85 knyg\xc4\x85" i\xc5\xa1reik\xc5\xa1tas abipusiai vienareik\xc5\xa1mis santykis. Turimomis \xc5\xbeiniomis, pirm\xc4\x85j\xc4\x85 lietuvi\xc5\xa1k\xc4\x85 knyg\xc4\x85 i\xc5\xa1leido vienas asmuo - M. Ma\xc5\xbevydas, ir atvirk\xc5\xa1\xc4\x8diai: M. Ma\xc5\xbevydas i\xc5\xa1leido vienintel\xc4\x99 pirm\xc4\x85j\xc4\x85 lietuvi\xc5\xa1k\xc4\x85 knyg\xc4\x85. Abipusio vienareik\xc5\xa1mi\xc5\xa1kumo santykis u\xc5\xbera\xc5\xa1omas i\xc5\xa1rai\xc5\xa1ka:\n_START_SECTION_\nTapatyb\xc4\x97\n_START_PARAGRAPH_\nTapatyb\xc4\x97s pagrindinis d\xc4\x97snis yra x lygus y. Visi x po\xc5\xbeymiai turi b\xc5\xabti tapat\xc5\xabs ir su y po\xc5\xbeymiais, kad jie reik\xc5\xa1t\xc5\xb3 t\xc4\x85 pat\xc4\xaf. Tapatyb\xc4\x99 \xc5\xbeym\xc4\x97sime , o savybes raide  ir tapatyb\xc4\x97s pagrindin\xc4\xaf d\xc4\x97sn\xc4\xaf i\xc5\xa1reik\xc5\xa1tume taip: _NEWLINE_ _NEWLINE_Tai skaitytusi taip: x tapatus y, jei ir tik jei kiekvien\xc4\x85 po\xc5\xbeym\xc4\xaf Q, kai j\xc4\xaf turi objektas x, tai j\xc4\xaf turi objektas y, ir prie\xc5\xa1ingai. _NEWLINE_Kadangi kyla problema, kad n\xc4\x97ra dviej\xc5\xb3 lygiai toki\xc5\xb3 pa\xc4\x8di\xc5\xb3 daikt\xc5\xb3, i\xc5\xa1 to kyla kitas d\xc4\x97snis kuris teigia, kad x yra tapatus tik sau. J\xc4\xaf u\xc5\xbera\xc5\xa1utyme \xc5\xa1itaip: _NEWLINE_ _NEWLINE_Taip pat kyla problema, d\xc4\x97l daikto tapatyb\xc4\x97s i\xc5\xa1laikymo laike, ta\xc4\x8diau visuotiniame kitime yra santykinio pastovumo momentas. \xc5\xa0io santykinio objekt\xc5\xb3 pastovumo momento atsispind\xc4\x97jimas m\xc4\x85styme yra loginis tapatyb\xc4\x97s d\xc4\x97snio aspektas: kiekviena mintis tapati sau. \xc5\xa0is d\xc4\x97snis u\xc5\xbera\xc5\xa1omas i\xc5\xa1rai\xc5\xa1ka kurioje A simbolizuoja mint\xc4\xaf: _NEWLINE_ _NEWLINE_I\xc5\xa1 to i\xc5\xa1plaukia, kad s\xc4\x85vokas galima naudoti tik vienareik\xc5\xa1mi\xc5\xa1kai, nes kai tarkime \xc5\xbemogus sako \xc5\xbeod\xc4\xaf \xe2\x80\x9cgro\xc5\xbeis\xe2\x80\x9d jo pa\xc5\xa1nekovas gali t\xc4\x85 gro\xc5\xbe\xc4\xaf suprasti tik tapat\xc5\xb3 su savo mintyse atsispindin\xc4\x8dia gro\xc5\xbeio s\xc4\x85voka.\n_START_SECTION_\nSantyki\xc5\xb3 i\xc5\xa1rei\xc5\xa1kimas savybi\xc5\xb3 teorijos terminais\n_START_PARAGRAPH_\nSantykiai galimi tarp individuali\xc5\xb3 objekt\xc5\xb3, objekt\xc5\xb3 klasi\xc5\xb3 ir pa\xc4\x8di\xc5\xb3 santyki\xc5\xb3. Skirtumas tarp savybi\xc5\xb3 ir santyki\xc5\xb3 n\xc4\x97ra absoliutus. Santykis atlieka t\xc4\x85 pat\xc4\xaf vaidmen\xc4\xaf, kaip ir savyb\xc4\x97, bet tarp dviej\xc5\xb3, trej\xc5\xb3 ar keturi\xc5\xb3 objekt\xc5\xb3 ir nusako \xc5\xa1i\xc5\xb3 objekt\xc5\xb3 eili\xc5\xa1kum\xc4\x85, tarkim, santykio \xe2\x80\x9edaugiau\xe2\x80\x9c atveju, negalima sakyti, kad objektas, kuris yra kiekybi\xc5\xa1kai ma\xc5\xbeesnis u\xc5\xbe lyginam\xc4\x85 su juo objekt\xc4\x85, b\xc5\xabt\xc5\xb3 prie\xc5\xa1 \xe2\x80\x9edaugiau\xe2\x80\x9c. Norint savyb\xc4\x99 paversti santykiu, reikia i\xc5\xa1skaidytus narius sujungti \xc4\xaf vien\xc4\x85, pavyzd\xc5\xbeiui: \xe2\x80\x9e\xc5\xbevejys yra pagav\xc4\x99s \xc5\xbeuv\xc4\xaf\xe2\x80\x9c ir \xe2\x80\x9e\xc5\xbeuvis yra pagauta \xc5\xbevejo\xe2\x80\x9c yra savyb\xc4\x97s; \xe2\x80\x9a\xc5\xbevejys pagavo \xc5\xbeuv\xc4\xaf\xe2\x80\x9c yra santykis.\n_START_SECTION_\nSantyki\xc5\xb3 teorijos d\xc4\x97sniai\n_START_PARAGRAPH_\nSantyki\xc5\xb3 teorijoje d\xc4\x97sniai i\xc5\xa1vedami i\xc5\xa1 teigini\xc5\xb3 logikos d\xc4\x97sni\xc5\xb3. Teigini\xc5\xb3 logikos nariai pakei\xc4\x8diami santykiais, o login\xc4\x97s konstantos lieka. Tarkim, norint gauti dvigubo neigimo d\xc4\x97sn\xc4\xaf santyki\xc5\xb3 teorijoje naudojama i\xc5\xa1rai\xc5\xa1ka ,  pakeitus , jos i\xc5\xa1rai\xc5\xa1ka yra: _NEWLINE_ _NEWLINE_skaitoma: kiekvienam x ir kiekvienam y yra teisinga, kad teiginys \xe2\x80\x9enetiesa, kad tarp x ir y n\xc4\x97ra santykio R\xe2\x80\x9c ekvivalenti\xc5\xa1ka teiginiui \xe2\x80\x9etarp x ir y yra santykis R. _NEWLINE_Teigini\xc5\xb3 logikos i\xc5\xa1rai\xc5\xa1koje esant keliems kintamiesiems, santyki\xc5\xb3 teorijoje visi jie pakei\xc4\x8diami skirtingais santyki\xc5\xb3 kintamaisiais: p pakei\xc4\x8diams xRy, o q pakei\xc4\x8diamas xSy. Implikacijos d\xc4\x97snis: _NEWLINE_ _NEWLINE_santyki\xc5\xb3 teorijoje atrodo taip: _NEWLINE_ _NEWLINE_skaitoma: kiekvienam x ir kiekvienam y yra teisinga, jeigu tarp x ir y yra santykis R, tarp j\xc5\xb3 n\xc4\x97ra santykio S. _NEWLINE_Kontrapozicijos d\xc4\x97snis: _NEWLINE_ _NEWLINE_jeigu p yra xRy, o q yra xSy kei\xc4\x8diamas:_NEWLINE_ _NEWLINE_skaitome: kiekvienam  x ir kiekvienam y teisinga, kad jei tarp j\xc5\xb3 yra santykis R, tai tarp j\xc5\xb3 yra santykis S; i\xc5\xa1 to i\xc5\xa1plaukia, kad jei tarp x ir y n\xc4\x97ra santykio S, tai tarp j\xc5\xb3 n\xc4\x97ra santykio R.\n_START_SECTION_\nI\xc5\xa1pl\xc4\x97stin\xc4\x97 predikat\xc5\xb3 logika\n_START_PARAGRAPH_\nI\xc5\xa1pl\xc4\x97stin\xc4\x97 predikat\xc5\xb3 logika (dar kitaip siauroji predikat\xc5\xb3 logika) \xe2\x80\x93 logikos r\xc5\xab\xc5\xa1is, kur kvantoriai suvar\xc5\xbeo individualius kintamuosius (x,y,z) \xe2\x80\x93 anks\xc4\x8diau nagrin\xc4\x97ti atvejai. Auk\xc5\xa1tesn\xc4\x97s eil\xc4\x97s predikat\xc5\xb3 logikoje kvantoriai suvar\xc5\xbeo propozicinius (p,q,r...) ir predikatinius (F,G,R,S....) kintamuosius. Pavyzd\xc5\xbeiai: _NEWLINE_ _NEWLINE_Skaitoma: kiekvienam p teisinga, kad \xe2\x80\x9enetiesa, kad ne p\xe2\x80\x9c yra ekvivalenti\xc5\xa1ka p._NEWLINE_ _NEWLINE_Skaitoma: yra tokia savyb\xc4\x97 F, kuri\xc4\x85 turi visi x.\n_START_SECTION_\nPredikat\xc5\xb3 logika filosofijoje\n_START_PARAGRAPH_\nPredikat\xc5\xb3 logika pad\xc4\x97jo i\xc5\xa1spr\xc4\x99sti sen\xc4\x85 login\xc4\xaf gin\xc4\x8d\xc4\x85 ir m\xc4\x85stymo prie\xc5\xa1taravim\xc4\x85, kur\xc4\xaf atrado senov\xc4\x97s graik\xc5\xb3 filosofas Zenonas El\xc4\x97jietis. Gin\xc4\x8dai ir prie\xc5\xa1taravimai kildavo d\xc4\x97l m\xc4\x85stymo paradoks\xc5\xb3, kurie yra vadinami aporijomis. Daugiausia \xc5\xbeinomos Zenono El\xc4\x97jie\xc4\x8dio aporijos (Zenono paradoksai). Vienoje i\xc5\xa1 Zenono aporij\xc5\xb3 apie str\xc4\x97l\xc4\x99 sakoma, kad nuo ta\xc5\xa1ko A str\xc4\x97l\xc4\x97 pasiekia ta\xc5\xa1k\xc4\x85 B per tam tikr\xc4\x85 laiko atkarp\xc4\x85, kuri\xc4\x85 \xc5\xbeym\xc4\x97sime t\xe2\x82\x81-t\xe2\x82\x82. Kiekviename laiko t\xe2\x82\x81-t\xe2\x82\x82 momente str\xc4\x97l\xc4\x97 turi b\xc5\xabti kuriame nors tarpiniame laiko ta\xc5\xa1ke. Tod\xc4\x97l, str\xc4\x97l\xc4\x97 b\xc5\xabdama kuriame nors laiko ta\xc5\xa1ke, turi, tuo laiko momentu (nors ir itin trumpai), b\xc5\xabti rimtyje, tai rei\xc5\xa1kia nejud\xc4\x97ti. Atsiranda paradoksas, nes taip i\xc5\xa1eina, kad rimties b\xc5\xabvi\xc5\xb3 suma sudaro jud\xc4\x97jim\xc4\x85. Tod\xc4\x97l Zenonas daro i\xc5\xa1vada, jog str\xc4\x97l\xc4\x97s jud\xc4\x97jimo protas \xc4\xafrodyti negali._NEWLINE_Pabandykime i\xc5\xa1analizuoti \xc5\xa1i\xc4\x85 aporij\xc4\x85 predikat\xc5\xb3 logikos terminais: _NEWLINE_ - jud\xc4\x85s k\xc5\xabnas (str\xc4\x97l\xc4\x97);_NEWLINE_ - bet kuris laiko t\xe2\x82\x81-t\xe2\x82\x82 momentas;_NEWLINE_ - bet kuris erdv\xc4\x97s ta\xc5\xa1kas._NEWLINE_Teigin\xc4\xaf, kad kiekvienu laiko t\xe2\x82\x81-t\xe2\x82\x82 momentu yra toks erdv\xc4\x97s ta\xc5\xa1kas m, kuriame str\xc4\x97l\xc4\x97 a turi b\xc5\xabti, u\xc5\xbera\xc5\xa1ome: _NEWLINE_ (a yra ta\xc5\xa1ke m laiko t\xe2\x82\x81-t\xe2\x82\x82 momentu T)_NEWLINE_Ta\xc4\x8diau i\xc5\xa1 to dar neseka, kad str\xc4\x97l\xc4\x97 laiko tarpu t\xe2\x82\x81-t\xe2\x82\x82 yra rimties b\xc5\xabvio. Str\xc4\x97l\xc4\x97 per laik\xc4\x85 t\xe2\x82\x81-t\xe2\x82\x82 b\xc5\xabt\xc5\xb3 rimties b\xc5\xabvio tuo atveju, jei i\xc5\xa1 teiginio \xe2\x80\x9ebet kuriuo laiko t\xe2\x82\x81-t\xe2\x82\x82 momentu T yra toks erdv\xc4\x97s ta\xc5\xa1kas m, kuriame str\xc4\x97l\xc4\x97 a turi b\xc5\xabti" b\xc5\xabt\xc5\xb3 galima i\xc5\xa1vesti teigin\xc4\xaf \xe2\x80\x9eyra toks erdv\xc4\x97s ta\xc5\xa1kas m, kuriame str\xc4\x97l\xc4\x97 a turi b\xc5\xabti bet kuriuo laiko t\xe2\x82\x81-t\xe2\x82\x82 momentu T". \xc5\xa0\xc4\xaf antr\xc4\x85 teigin\xc4\xaf u\xc5\xbera\xc5\xa1ysime: _NEWLINE_ (a yra ta\xc5\xa1ke m laiko t\xe2\x82\x81-t\xe2\x82\x82 momentu T)_NEWLINE_Vadinasi, Zenono \xc4\xafrodin\xc4\x97jimas, kad str\xc4\x97l\xc4\x97 nejuda, b\xc5\xabt\xc5\xb3 teisingas, jei b\xc5\xabt\xc5\xb3 teisinga implikacija: _NEWLINE_ (a yra ta\xc5\xa1ke m laiko t\xe2\x82\x81-t\xe2\x82\x82 momentu T)   (a yra ta\xc5\xa1ke m laiko t\xe2\x82\x81-t\xe2\x82\x82 momentu T) _NEWLINE_Ta\xc4\x8diau \xc5\xa1i implikacija yra neteisinga, n\xc4\x97ra logikos d\xc4\x97snis, nes i\xc5\xa1 teiginio: _NEWLINE_ (a yra ta\xc5\xa1ke m laiko t\xe2\x82\x81-t\xe2\x82\x82 momentu T)_NEWLINE_negalima i\xc5\xa1vesti teiginio _NEWLINE_ (a yra ta\xc5\xa1ke m laiko t\xe2\x82\x81-t\xe2\x82\x82 momentu T)._NEWLINE_Toks antecedento kvatori\xc5\xb3 \xe2\x88\x80T\xe2\x88\x83m sukeitimas vietomis konsekvente \xe2\x88\x83m\xe2\x88\x80T neleistinas tod\xc4\x97l, kad i\xc5\xa1rai\xc5\xa1ka:_NEWLINE_n\xc4\x97ra predikat\xc5\xb3 logikos d\xc4\x97snis. Ta\xc4\x8diau predikat\xc5\xb3 logikos d\xc4\x97snis yra i\xc5\xa1rai\xc5\xa1ka:_NEWLINE_. _NEWLINE_Pagal \xc5\xa1i\xc4\x85 i\xc5\xa1rai\xc5\xa1k\xc4\x85, nagrin\xc4\x97jant str\xc4\x97l\xc4\x97s keli\xc4\x85 erdv\xc4\x97je, tegalima pasakyti: i\xc5\xa1 teiginio \xe2\x80\x9eyra toks erdv\xc4\x97s ta\xc5\xa1kas m, kuriame str\xc4\x97l\xc4\x97 a turi b\xc5\xabti bet kuriuo laiko t\xe2\x82\x81-t\xe2\x82\x82 momentu T" seka teiginys \xe2\x80\x9ebet kuriuo laiko t\xe2\x82\x81-t\xe2\x82\x82 momentu T yra toks erdv\xc4\x97s ta\xc5\xa1kas m, kuriame str\xc4\x97l\xc4\x97 a turi b\xc5\xabti". Ta\xc4\x8diau i\xc5\xa1 to neseka i\xc5\xa1vada, kad str\xc4\x97l\xc4\x97 laiko tarpu t\xe2\x82\x81-t\xe2\x82\x82 yra rimties b\xc5\xabvio. _NEWLINE__NEWLINE_Vadinasi, Zenono El\xc4\x97jie\xc4\x8dio samprotavime, kad str\xc4\x97l\xc4\x97 nejuda, slypi tiesiog login\xc4\x97 klaida. Pateiktas pavyzdys parodo, kad naudojant simbolin\xc4\x99 kalb\xc4\x85 galima i\xc5\xa1spr\xc4\x99sti loginius prie\xc5\xa1taravimus ir koki\xc4\x85 naud\xc4\x85 teikia filosofijai bei kitiems mokslams.'