b"\n_START_ARTICLE_\nBriaunainis\n_START_SECTION_\nBriaunainio pavir\xc5\xa1ius\n_START_PARAGRAPH_\nApibr\xc4\x97\xc5\xbeian\xc4\x8dioji kone vis\xc5\xb3 briaunaini\xc5\xb3 savyb\xc4\x97 yra ta, kad tik dvi sienos turi vien\xc4\x85 bendr\xc4\x85 briaun\xc4\x85 (vien\xc4\x85 briaun\xc4\x85 lie\xc4\x8dia tik dvi sienos). Lygiai taip pat, kiekviena briauna jungia tik dvi vir\xc5\xa1\xc5\xabnes, po vien\xc4\x85 kiekvienos briaunos galuose. \xc5\xa0ios dvi savyb\xc4\x97s yra dualios viena kitai ir u\xc5\xbetikrina, kad briaunainio pavir\xc5\xa1ius yra vientisas ir nesibaigia tr\xc5\xabkiu ar ply\xc5\xa1iu bei neskyla jokia kryptimi._NEWLINE_D\xc4\x97l tos pa\xc4\x8dios prie\xc5\xbeasties pavir\xc5\xa1ius negali b\xc5\xabti padalintas \xc4\xaf dvi dalis taip, kad kiekviena dalis b\xc5\xabt\xc5\xb3 naujas briaunainis. \xc5\xa0i taisykl\xc4\x97 neleid\xc5\xbeia vienu briaunainiu laikyti susikertan\xc4\x8di\xc5\xb3 briaunaini\xc5\xb3 ar toki\xc5\xb3, kurie lie\xc4\x8diasi tik viena briauna ar tik viena vir\xc5\xa1\xc5\xabne\xc2\xa0\xe2\x80\x93 tai atskiri briaunainiai.\n_START_SECTION_\nSien\xc5\xb3 skai\xc4\x8dius\n_START_PARAGRAPH_\nKlasikin\xc4\x97je geometrijoje briaunainiai dar yra vadinami daugiasieniais arba pagal konkret\xc5\xb3 sien\xc5\xb3 skai\xc4\x8di\xc5\xb3: ketursieniai\xc2\xa0\xe2\x80\x93 tetraedrai; penkiasieniai\xc2\xa0\xe2\x80\x93 pentaedrai, \xc5\xa1e\xc5\xa1iasieniai\xc2\xa0\xe2\x80\x93 heksaedrai, trisde\xc5\xa1imtsieniai\xc2\xa0\xe2\x80\x93 triakontaedrai ir pana\xc5\xa1iai. Kiekvienas paprastas (sav\xc4\x99s nekertantis) briaunainis turi bent dvi sienas, turin\xc4\x8dias vienod\xc4\x85 briaun\xc5\xb3 skai\xc4\x8di\xc5\xb3.\n_START_SECTION_\nTopologin\xc4\x97s savyb\xc4\x97s\n_START_PARAGRAPH_\nBriaunainio topologin\xc4\x97 klas\xc4\x97 apibr\xc4\x97\xc5\xbeiama Oilerio charakteristika ir orientavimo b\xc5\xabdu._NEWLINE_\xc5\xa0iuo po\xc5\xbei\xc5\xabriu, kiekvieno briaunainio pavir\xc5\xa1ius gali b\xc5\xabti klasifikuojamas kaip tam tikros klas\xc4\x97s topologin\xc4\x97 daugdara. Pavyzd\xc5\xbeiui, i\xc5\xa1kilojo arba tiksliau, bet kurio silpnai susieto briaunainio pavir\xc5\xa1ius yra topologin\xc4\x97 sfera.\n_START_SECTION_\nOrientuojamumas\n_START_PARAGRAPH_\nI\xc5\xa1kilieji briaunainiai, kaip ir kai kurie kiti, turi dvi skirtingas pavir\xc5\xa1iaus puses: pavyzd\xc5\xbeiui, vien\xc4\x85 pus\xc4\x99 galima i\xc5\xa1tisai nuda\xc5\xbeyti juoda, o kit\xc4\x85\xc2\xa0\xe2\x80\x93 balta spalva. Tada sakoma, kad tai yra orientuojamasis k\xc5\xabnas._NEWLINE_Bet kai kurie briaunainiai, kaip tetrahemiheksaedras, \xc5\xa1ios savyb\xc4\x97s neturi, nes jie tiesiog yra vienpusiai, turi tik vien\xc4\x85 pavir\xc5\xa1iaus pus\xc4\x99. Tada sakoma, kad tai n\xc4\x97ra orientuojamasis briaunainis._NEWLINE_Joks briaunainis, turintis nelygin\xc4\x99 Oilerio charakteristikos reik\xc5\xa1m\xc4\x99, negali b\xc5\xabti orientuojamasis. Tam tikri k\xc5\xabnai, turintys lygin\xc4\xaf \xcf\x87 < 2 gali b\xc5\xabti arba orientuojamieji, arba neorientuojamieji. Pavyzd\xc5\xbeiui, vienos kiaurym\xc4\x97s toras ir Kleino butelis: abiej\xc5\xb3 \xcf\x87 = 0, bet tik pirmasis yra orientuojamasis, o antrasis\xc2\xa0\xe2\x80\x93 ne.\n_START_SECTION_\nVir\xc5\xa1\xc5\xabn\xc4\x97s planas\n_START_PARAGRAPH_\nVisada galima nustatyti, koks yra bet kurios vir\xc5\xa1\xc5\xabn\xc4\x97s planas (angl. vertex figure) rodantis vietin\xc4\x99 briaunainio vir\xc5\xa1\xc5\xabn\xc4\x97s sandar\xc4\x85. Vir\xc5\xa1\xc5\xabn\xc4\x97s plano apibr\xc4\x97\xc5\xbeimai skiriasi vieni nuo kit\xc5\xb3, bet paprastai galima sakyti, kad vir\xc5\xa1\xc5\xabn\xc4\x97s planas yra daugiakampis, kur\xc4\xaf gautume nupjovus briaunainio vir\xc5\xa1\xc5\xabn\xc4\x99. Jeigu vir\xc5\xa1\xc5\xabn\xc4\x97s plano daugiakampis yra taisyklingas, tai ir pati vir\xc5\xa1\xc5\xabn\xc4\x97 laikoma taisyklinga.\n_START_SECTION_\nBriaunainiai su taisyklingomis sienomis\n_START_PARAGRAPH_\nGreta taisykling\xc5\xb3j\xc5\xb3 ir tolygi\xc5\xb3j\xc5\xb3 briaunaini\xc5\xb3, dar yra kit\xc5\xb3 briaunaini\xc5\xb3 klasi\xc5\xb3, kur briaunainiai taip pat turi taisykling\xc5\xb3 daugiakampi\xc5\xb3 sienas, bet j\xc5\xb3 simetrija yra ma\xc5\xbeesn\xc4\x97.\n_START_SECTION_\nSta\xc4\x8diakampiai briaunainiai\n_START_PARAGRAPH_\nSta\xc4\x8diakampiais briaunainiais laikome tuos briaunainius, kuri\xc5\xb3 visos susisiekian\xc4\x8dios sienos sudaro stat\xc5\xb3 kamp\xc4\x85, o kartu visos briaunos yra lygiagre\xc4\x8dios atitinkamoms sta\xc4\x8diakampi\xc5\xb3 koordina\xc4\x8di\xc5\xb3 sistemos a\xc5\xa1ims. Tik sta\xc4\x8diakampis gretasienis yra i\xc5\xa1kilas briaunainis, visi kiti sta\xc4\x8diakampiai briaunainiai yra nei\xc5\xa1kili. Jie yra plok\xc5\xa1\xc4\x8di\xc5\xb3 sta\xc4\x8diakampi\xc5\xb3 daugiakampi\xc5\xb3 trima\xc4\x8diai analogai. Sta\xc4\x8diakampiai briaunainiai naudojami skai\xc4\x8diuojamojoje geometrijoje, kur j\xc5\xb3 pagrindu konstruojamos strukt\xc5\xabros leid\xc5\xbeia spr\xc4\x99sti problemas, kuri\xc5\xb3 nepavyksta i\xc5\xa1spr\xc4\x99sti naudojant nesta\xc4\x8diakampius briaunainius, pavyzd\xc5\xbeiui, briaunaini\xc5\xb3 pavir\xc5\xa1iaus i\xc5\xa1lankstymas ant daugiakampi\xc5\xb3 tinklo.\n_START_SECTION_\nApibendrintieji briaunainiai\n_START_PARAGRAPH_\nBriaunainiu tapo \xc4\xafprasta vadinti \xc4\xafvairius matematinius objektus, kuri\xc5\xb3 strukt\xc5\xabrin\xc4\x97s savyb\xc4\x97s atitinka klasikiniams briaunainiams.\n_START_SECTION_\nKreivieji briaunainiai\n_START_PARAGRAPH_\nKai kuriose tyrim\xc5\xb3 srityse daroma prielaida, kad briaunainiai gali tur\xc4\x97ti kreivo pavi\xc5\xa1iaus sienas ir kreivas briaunas.\n_START_SECTION_\nTu\xc5\xa1\xc4\x8diasieniai arba karkasiniai briaunainiai\n_START_PARAGRAPH_\nBet kur\xc4\xaf briaunain\xc4\xaf puikiai suvokiame net jei jo sienos n\xc4\x97ra u\xc5\xbepildytos, o turime tik briaunas. Pavyzd\xc5\xbeiui Leonardas da Vin\xc4\x8dis pateik\xc4\x97 taisykling\xc5\xb3 k\xc5\xabn\xc5\xb3 karkasinius modelius Pa\xc4\x8diolio knygai Divina proportione. Dabartinais laikais (1994) B. Griunbaumas (Branko Gr\xc3\xbcnbaum) tirdamas karkasinius briaunainius i\xc5\xa1pl\xc4\x97tojo ankstesn\xc4\x99 id\xc4\x97j\xc4\x85 apie abstrak\xc4\x8dius briaunainius. Jis apibr\xc4\x97\xc5\xbe\xc4\x97, kad briaunainio siena yra cikli\xc5\xa1kai i\xc5\xa1d\xc4\x97styt\xc5\xb3 vir\xc5\xa1\xc5\xabni\xc5\xb3 aib\xc4\x97, tod\xc4\x97l sienos gali b\xc5\xabti tiek kreivos, tiek plok\xc5\xa1\xc4\x8dios.\n_START_SECTION_\nGretutinis naudojimas\n_START_PARAGRAPH_\nAntroje XX a. pus\xc4\x97je buvo atrasta \xc4\xafvairi\xc5\xb3 matematini\xc5\xb3 konstrukt\xc5\xb3, kurie tur\xc4\x97jo savybes, b\xc5\xabdingas briaunainiams. Tod\xc4\x97l nebuvo apsiribota, kad briaunainiais dera vadinti vien trima\xc4\x8dius politopus, ir \xc5\xa1iuo pavadinimu imti vadinti \xc4\xafvairios susijusios, bet kartu skirtingos strukt\xc5\xabros.\n_START_SECTION_\nTopologiniai briaunainiai\n_START_PARAGRAPH_\nTopologinis politopas yra topologin\xc4\x97 erdv\xc4\x97 kartu su specifine jos dekompozicija \xc4\xaf pavidalus, topologi\xc5\xa1kai ekvivalen\xc4\x8dius i\xc5\xa1kiliam politopui, glaud\xc5\xbeiai ir taisyklingai lie\xc4\x8dian\xc4\x8dius vienas kit\xc4\x85._NEWLINE_Tokia fig\xc5\xabra vadinama simpleksine, jei kiekviena jos sritis yra simpleksas, t. y. n mat\xc4\x97je erdv\xc4\x97je kiekviena sritis turi n+1 vir\xc5\xa1\xc5\xabn\xc4\x99. Simpleksinio politopo dualas vadinamas paprastu. Pana\xc5\xa1iai, pla\xc4\x8diai i\xc5\xa1tyrin\xc4\x97ta politop\xc5\xb3 (briaunaini\xc5\xb3) klas\xc4\x97 yra kubiniai briaunainiai, kuri\xc5\xb3 bazinis sudarantysis blokas yra nmatis kubas.\n_START_SECTION_\nIkiistorinis periodas\n_START_PARAGRAPH_\nBriaunainiai sutinkami jau ankstyviausiuose statiniuose, da\xc5\xbeniausiai, sta\xc4\x8diakampiai gretasieniai ir kubai, taip pat keturkamp\xc4\x97s Egipto piramid\xc4\x97s ir kitokie statiniai, i\xc5\xa1lik\xc4\x99 net i\xc5\xa1 akmens am\xc5\xbeiaus._NEWLINE_Kai kuriuos taisyklinguosius briaunainius \xc5\xbeinojo jau etruskai, kuri\xc5\xb3 civilizacija senesn\xc4\x97 nei graik\xc5\xb3, k\xc4\x85 rodo XIX a. pabaigos kasin\xc4\x97jimai prie Padujos (\xc5\xa1iaur\xc4\x97s Italijoje ), kur buvo rastas i\xc5\xa1 talko mineralo uolienos steatito, dar vadinamo muilo akmeniu, ma\xc5\xbedaug prie\xc5\xa1 2500 met\xc5\xb3 padarytas dodekaedras. (Lindemann, 1987)\n_START_SECTION_\nGraik\xc5\xb3 civilizacija\n_START_PARAGRAPH_\nSeniausi \xc5\xbeinomi ra\xc5\xa1ti\xc5\xa1ki briaunaini\xc5\xb3 pamin\xc4\x97jimai sutinkami klasikin\xc4\x97s Graikijos autori\xc5\xb3 darbuose, kur kartu buvo pateikti ir pirmieji \xc5\xa1i\xc5\xb3 fig\xc5\xabr\xc5\xb3 matematiniai apib\xc5\xabdinimai. Senov\xc4\x97s graikai pirmiausia dom\xc4\x97josi taisyklingais i\xc5\xa1kilais briaunainiais, kuriuos v\xc4\x97liau imta vadinti Platono k\xc5\xabnais. Pitagorui buvo \xc5\xbeinomi ne ma\xc5\xbeiau kaip trys \xc5\xa1ie k\xc5\xabnai, o Teatetas (Theaetetus) apie 417 p.m.e. apra\xc5\xa1\xc4\x97 jau visus penkis. Galiausiai Euklidas \xe2\x80\x9eElementuose\xe2\x80\x9c apra\xc5\xa1\xc4\x97 j\xc5\xb3 sandar\xc4\x85. V\xc4\x97liau Archimedas i\xc5\xa1pl\xc4\x97tojo briaunaini\xc5\xb3 studij\xc4\x85 ir apra\xc5\xa1\xc4\x97 tolygius i\xc5\xa1kiliuosius briaunainius, kurie gavo jo vard\xc4\x85 ir dabar vadinami Archimedo k\xc5\xabnias. Pirmin\xc4\x97 Archimedo studija iki m\xc5\xabs\xc5\xb3 laik\xc5\xb3 nei\xc5\xa1liko, bet apie j\xc4\x85 \xc5\xbeinoma i\xc5\xa1 Paposo Aleksandri\xc5\xa1kio darb\xc5\xb3.\n_START_SECTION_\nKinija\n_START_PARAGRAPH_\nKubinis lo\xc5\xa1imo kauliukas Kinijos \xc5\xa1altiniuose minimas ma\xc5\xbedaug nuo 600\xc2\xa0m.p.m.e._NEWLINE_236\xc2\xa0m. Liu Hui apra\xc5\xa1\xc4\x97, kaip nupjauti kub\xc4\x85, kad gautume tetraedr\xc4\x85 ir kitus susijusius briaunainius; jis briaunani\xc5\xb3 junginius naudojo skai\xc4\x8diuodamas statyboms i\xc5\xa1kasamo grunto t\xc5\xabr\xc4\xaf.\n_START_SECTION_\nArab\xc5\xb3 civilizacija\n_START_PARAGRAPH_\nPasibaigus klasikiniam istorijos periodui, arab\xc5\xb3 mokslininkai per\xc4\x97m\xc4\x97 graik\xc5\xb3 \xc5\xbeinias ir jas pl\xc4\x97tojo._NEWLINE_IX a. mokslininkas Tabitas ibn Kura (Thabit ibn Qurra) i\xc5\xa1ved\xc4\x97 \xc4\xafvairi\xc5\xb3 braunaini\xc5\xb3 t\xc5\xabrio skai\xc4\x8diavimo formules, tarp j\xc5\xb3, nupjautin\xc4\x97s piramid\xc4\x97s._NEWLINE_X a. Abu\xe2\x80\x99l Vafa (Ab\xc5\xabl Waf\xc4\x81' B\xc5\xabzj\xc4\x81n\xc4\xab) apra\xc5\xa1\xc4\x97 kai kuriuos sferinius briaunainius.\n_START_SECTION_\nRenesansas\n_START_PARAGRAPH_\nKaip ir daugelis mokslo id\xc4\x97j\xc5\xb3, kurios buvo suformuluotos Senov\xc4\x97s Graikijoje ir i\xc5\xa1pl\xc4\x97totos arab\xc5\xb3 mokslinink\xc5\xb3, renesanso laikotarpiu atgijo dom\xc4\x97jimasis briaunainiais. Meninkai konstravo karkasinius briaunainius, pie\xc5\xa1\xc4\x97 juos i\xc5\xa1 nat\xc5\xabros, tirdami grafin\xc4\x97s perspektyvos ir atspind\xc5\xbeio d\xc4\x97snius. Kai kurie vaizdai buvo \xc4\xafam\xc5\xbeinti tuometin\xc4\x97se med\xc5\xbeio inkrustacijose. Pjeras dela Fran\xc4\x8deska pirm\xc4\x85 kart\xc4\x85 apra\xc5\xa1\xc4\x97 briaunani\xc5\xb3 grafin\xc4\x97s perspektyvos brai\xc5\xbeymo b\xc5\xabdus. Leonardas da Vin\xc4\x8dis padar\xc4\x97 keleto briaunaini\xc5\xb3 karkasinius modelius ir panaudojo j\xc5\xb3 pie\xc5\xa1inius iliustruodamas Pa\xc4\x8diolio knyg\xc4\x85. O ne\xc5\xbeinomo tapytojo nutapytame Pa\xc4\x8diolio portrete matosi stiklinis rombokuboktaedro pavidalo indas pusiau pripiltas vandens._NEWLINE_Renesansui plintant i\xc5\xa1 Italijos \xc4\xaf Europ\xc4\x85, v\xc4\x97lesni menininkai (Jamniceris, Diureris) savo gravi\xc5\xabrose rai\xc5\xbe\xc4\x97 \xc4\xafvairius briaunainius, da\xc5\xbenai anks\xc4\x8diau nevaizduotus.\n_START_SECTION_\n\xc5\xbdvai\xc5\xbediniai briaunainiai\n_START_PARAGRAPH_\nKone 2000 met\xc5\xb3 briaunaniai, kaip i\xc5\xa1kilosios fig\xc5\xabros, buvo suvokiami, remiantis graik\xc5\xb3 matematiniais pasiekimais. Bet renesanso periodu buvo atrasti \xc5\xbevaig\xc5\xbediniai briaunainiai. Venecijos \xc5\xa1v. Marko bazilikos grindyse buvo padaryta marmuro inkrustacija, kurioje vaizduojamas \xc5\xbevaig\xc5\xbedinis dodekaedras. O kai kurie dailininkai, pavyzd\xc5\xbeiui, Jamniceris (Wenzel Jamnitzer) pie\xc5\xa1\xc4\x97 vis sud\xc4\x97tingesnes \xc5\xbevaig\xc5\xbedines fig\xc5\xabras._NEWLINE_Johanas Kepleris (1571\xe2\x80\x931630) naudodamas \xc5\xbevaig\xc5\xbedinius daugiakampius, daugiausia pentagramas, k\xc5\xabr\xc4\x97 \xc5\xbevaig\xc5\xbedinius briaunainius. Kai kurios fig\xc5\xabros turb\xc5\xabt buvo jau atrastos iki Keplerio, bet jis buvo pirmasis, kuris nustat\xc4\x97, kad \xc5\xa1ias fig\xc5\xabras dera laikyti taisyklingomis, jei nesilaikysime reikalavimo, kad taisyklingos fig\xc5\xabros turi b\xc5\xabti i\xc5\xa1kilos. V\xc4\x97liau Lui Puanso nagrin\xc4\x97jo \xc5\xbevaig\xc5\xbedinius vir\xc5\xa1\xc5\xabn\xc4\x97s planus ir atrado dar du taisyklingus \xc5\xbevaig\xc5\xbedinius briaunainius. Augustinas Lui Ko\xc5\xa1i \xc4\xafrod\xc4\x97, kad Puanso s\xc4\x85ra\xc5\xa1as yra i\xc5\xa1samus, o Arturas Keilis (Arthur Cayley) suformulavo j\xc5\xb3 pavadinimus: du Keplerio k\xc5\xabnai buvo pavadinti ma\xc5\xbeuoju \xc5\xbevaig\xc5\xbediniu dodekaedru ir did\xc5\xbeiuoju \xc5\xbevaig\xc5\xbediniu dodekaedru; kiti du (Puanso k\xc5\xabnai)\xc2\xa0\xe2\x80\x93 did\xc5\xbeiuoju ikosaedru ir did\xc5\xbeiuoju dodekaedru. Dabar priimtas kuopinis \xc5\xa1i\xc5\xb3 k\xc5\xabn\xc5\xb3 pavadinimas yra Keplerio-Puanso briaunainiai._NEWLINE_Keplerio-Puanso briaunainius galima sukonstruoti i\xc5\xa1 Platono k\xc5\xabn\xc5\xb3 stelacijos b\xc5\xabdu. Daugelis fig\xc5\xabr\xc5\xb3, gaunam\xc5\xb3 stelacijos metu, yra netaisyklingos. 1938 metais Platono k\xc5\xabn\xc5\xb3 stelacijos tyrimus smarkiai past\xc5\xabm\xc4\x97jo Kokseteris ir kiti geometrai, i\xc5\xa1leisdami veikal\xc4\x85 \xe2\x80\x9ePenkiasde\xc5\xa1imt devyni ikosaedrai\xe2\x80\x9c (The Fifty-Nine Icosahedra)._NEWLINE_Stelacijai atvirk\xc5\xa1tinis procesas yra vadinamas i\xc5\xa1duobimu. Jei paimsime bet kok\xc4\xaf politop\xc4\x85 ir jo dual\xc4\x85, tai taikydami pirminiam politopui stelacij\xc4\x85, o dualui\xc2\xa0\xe2\x80\x93 i\xc5\xa1duobim\xc4\x85, gauname \xc5\xbevaig\xc5\xbedinus briaunainius, kurie taip pat yra dual\xc5\xabs. Taisyklingus \xc5\xbevaig\xc5\xbedinius briaunainius dar galima gauti i\xc5\xa1duobiant Platono k\xc5\xabnus. Nuo knygos \xe2\x80\x9ePenkiasde\xc5\xa1imt devyni ikosaedrai\xe2\x80\x9c pasirodymo yra atrasta daugiau \xc5\xa1i\xc5\xb3 fig\xc5\xabr\xc5\xb3 ir paie\xc5\xa1kos dar t\xc4\x99siasi.\n_START_SECTION_\nOilerio charakteristika ir topologija\n_START_PARAGRAPH_\nBriaunani\xc5\xb3 teorijai didel\xc4\x99 \xc4\xaftak\xc4\x85 tur\xc4\x97jo \xc5\xa1iuolaikiniai matematiniai tyrimai._NEWLINE_1750 metais vokie\xc4\x8di\xc5\xb3 matematikas Leonardas Oileris pirm\xc4\x85 kart\xc4\x85 istorijoje i\xc5\xa1tyr\xc4\x97 briaunaini\xc5\xb3 savybes ir atrado \xc5\xbeymi\xc4\x85j\xc4\x85 charakteristik\xc4\x85, kuri susieja briaunainio vir\xc5\xa1\xc5\xabni\xc5\xb3, briaun\xc5\xb3 ir sien\xc5\xb3 skai\xc4\x8di\xc5\xb3 \xc4\xaf bendr\xc4\x85 formul\xc4\x99. \xc5\xa0is faktas laikomas topologijos mokslo prad\xc5\xbeia (kartais topologija dar vadinama t\xc4\x85saus lak\xc5\xa1to geometrija), o XIX a. pabaigoje pranc\xc5\xabz\xc5\xb3 matematikas Anri Puankar\xc4\x97 suformulavo pagrindines \xc5\xa1io mokslo nuostatas. Tai leido i\xc5\xa1spr\xc4\x99sti nema\xc5\xbeai problem\xc5\xb3, susijusi\xc5\xb3 su briaunainiais._NEWLINE_1900 metais Vokietijoje buvo i\xc5\xa1leista Briuknerio (Br\xc3\xbcckner) knyga \xe2\x80\x9eDaugiakampiai ir briaunainiai: teorija ir istorija\xe2\x80\x9c (Vielecke und Vielflache: Theorie und Geschichte). \xc5\xa0i i\xc5\xa1sami knyga vis dar ma\xc5\xbeai \xc5\xbeinoma._NEWLINE_Pana\xc5\xa1iai tuo metu, giliau nagrin\xc4\x97jant daugiamates geometrijas, briaunainius prad\xc4\x97ta laikyti daugiama\xc4\x8di\xc5\xb3 politop\xc5\xb3 trima\xc4\x8diais atvejais.\n_START_SECTION_\nXX am\xc5\xbeiaus tyrimai\n_START_PARAGRAPH_\nXX am\xc5\xbeiaus prad\xc5\xbeioje matematikos tyrimai persik\xc4\x97l\xc4\x97 \xc4\xaf kitas sritis ir geometrijai buvo skiriama nedaug d\xc4\x97mesio. Kartu su Kokseterio analize, pateikta jo (su bendraautoriais) knygoje \xe2\x80\x9ePenkiasde\xc5\xa1imt devyni ikosaedrai\xe2\x80\x9c (1938), prasid\xc4\x97jo \xc5\xa1iuolaikini\xc5\xb3 graf\xc5\xb3 teorijos ir kombinatorikos id\xc4\x97j\xc5\xb3 taikymas briaunaini\xc5\xb3 studijoms, tuo pa\xc4\x8diu buvo atgaivintas dom\xc4\x97jimasis geometrija._NEWLINE_Kokseteris \xc4\x97m\xc4\x97si pirm\xc4\x85 kart\xc4\x85 suskai\xc4\x8diuoti tolygius \xc5\xbevaig\xc5\xbedinius briaunainius. Plok\xc5\xa1tumos klojinius jis taip pat laik\xc4\x97 braunainiais ir taip atrado taisyklingus \xc4\xaf\xc5\xbeambius briaunainius, o kartu suk\xc5\xabr\xc4\x97 teorij\xc4\x85, apra\xc5\xa1an\xc4\x8di\xc4\x85 sud\xc4\x97tinius briaunainius, kuriuos 1952 metais apra\xc5\xa1\xc4\x97 \xc5\xa0eperdas (Shephard), taip pat i\xc5\xa1 esm\xc4\x97s prisid\xc4\x97jo prie kit\xc5\xb3 geometrijos sri\xc4\x8di\xc5\xb3._NEWLINE_Antroje XX a. pus\xc4\x97je Griunbaumas (Gr\xc3\xbcnbaum) paskelb\xc4\x97 svarbi\xc5\xb3 veikal\xc5\xb3, svarbi\xc5\xb3 dviem po\xc5\xbei\xc5\xabriais. Pirmas, i\xc5\xa1kilieji politopai, kur jis atkreip\xc4\x97 d\xc4\x97mes\xc4\xaf, kad \xc5\xa1iuolaikinai matematikai traktuoja braunainius skirtingai ir, kartais, nesuderinamai, siekdami siauro, jiems svarbaus tikslo. Kitas, eil\xc4\x97je savo k\xc5\xabrini\xc5\xb3 jis i\xc5\xa1pl\xc4\x97tojo briaunaini\xc5\xb3 apibr\xc4\x97\xc5\xbeimus, o kartu apra\xc5\xa1\xc4\x97 nema\xc5\xbeai nauj\xc5\xb3 taisykling\xc5\xb3j\xc5\xb3 briaunaini\xc5\xb3. XX ir XXI am\xc5\xbei\xc5\xb3 sand\xc5\xabroje v\xc4\x97lyvosios id\xc4\x97jos buvo papildytos naujov\xc4\x97mis apie incidentumo kompleksus (angl. incidence complex) ir buvo sukurta nauja abstrak\xc4\x8diojo briaunainio id\xc4\x97ja (kitaip, abstraktus trimatis politopas), prie kurios suk\xc5\xabrimo ypa\xc4\x8d prisid\xc4\x97jo Makmulenas (McMullen) ir \xc5\xa0atlas (Schulte).\n_START_SECTION_\nBriaunainiai gamtoje\n_START_PARAGRAPH_\nKokie taisyklingieji briaunainai randami gamtoje, skaitykite atskirame straipsnio Platono k\xc5\xabnai skirsnyje._NEWLINE_Netaisyklingieji briaunainiai gamtoje da\xc5\xbeniausiai sutinakami kaip kristalai."