b'\n_START_ARTICLE_\nPolitopas\n_START_PARAGRAPH_\nElementarioje geometrijoje politopas yra geometrinis objektas, turintis plok\xc5\xa1\xc4\x8dias sienas ir egzistuojantis n matavimuose kaip\xc2\xa0 n-matis politopas arba n-politopas. Pavyzd\xc5\xbeiui, dvimatis daugiakampis yra 2-politopas, o trimatis briaunainis yra 3-politopas._NEWLINE_Kai kurios teorijos apibendrina pla\xc4\x8diau ir \xc4\xaftraukia tokius objektus, kaip beribes aibes (apeirotopus ir plok\xc5\xa1tumos klojinius), kreiv\xc5\xb3j\xc5\xb3 daugdar\xc5\xb3 dekompozicijas ar plok\xc5\xa1tumos klojinius, tarp kuri\xc5\xb3 yra sferiniai briaunainiai, taip pat, aibi\xc5\xb3 teorijoje nagrin\xc4\x97jami, abstrakt\xc5\xabs politopai._NEWLINE_Politopus, turin\xc4\x8dius daugiau nei tris matavimus, pirmasis apra\xc5\xa1\xc4\x97 Ludwigas Schl\xc3\xa4fli. Pat\xc4\xaf termin\xc4\x85 "politopas" suk\xc5\xabr\xc4\x97 matematikas Reinholdas Hoppe, ra\xc5\xa1\xc4\x99s voki\xc5\xa1kai, o \xc4\xaf angl\xc5\xb3 kalb\xc4\x85 \xc5\xa1\xc4\xaf termin\xc4\x85 \xc4\xafved\xc4\x97 angl\xc5\xb3 matematik\xc4\x97 Alicia Boole Stott.\n_START_SECTION_\nApibr\xc4\x97\xc5\xbeimo problema\n_START_PARAGRAPH_\nPolitopas \xc5\xa1iuo metu yra terminas, apimantis didel\xc4\x99 objekt\xc5\xb3 klas\xc4\x99, ir matematikos \xc5\xa1altiniuose jis apibr\xc4\x97\xc5\xbeiamas nevienodai. Yra apibr\xc4\x97\xc5\xbeim\xc5\xb3, kurie net n\xc4\x97ra ekvivalenti\xc5\xa1ki vienas kitam, tad susiduriama su problema, kad politopais vadinamos skirtingos objekt\xc5\xb3 aib\xc4\x97s._NEWLINE_Pradiniai politopo apibr\xc4\x97\xc5\xbeimai r\xc4\x97m\xc4\x97si Liudvigu \xc5\xa0lafli, Thoroldu Gossetu (Thorold Gosset) ir kitais autoriais, grindusiais politop\xc4\x85 kaip fig\xc5\xabr\xc4\x85, u\xc5\xbeiman\xc4\x8di\xc4\x85 keturmat\xc4\x99 ar n-mat\xc4\x99 erdv\xc4\x99, kai po\xc5\xbei\xc5\xabris \xc4\xaf matavimus buvo ple\xc4\x8diamas pagal dvima\xc4\x8dio daugiakampio ir trima\xc4\x8dio briaunainio analogij\xc4\x85 \xc4\xaf keturmat\xc4\x99 ir auk\xc5\xa1tesni\xc5\xb3 dimensij\xc5\xb3 erdv\xc4\x99. _NEWLINE_M\xc4\x97ginimai apibendrinti briaunaini\xc5\xb3 Oilerio charakteristik\xc4\x85 auk\xc5\xa1tesni\xc5\xb3 matavim\xc5\xb3 politopams paskatino topologijos raid\xc4\x85, taip pat, dekompozicij\xc5\xb3, arba CW kompleks\xc5\xb3 (angl. CW-complex), prilyginim\xc4\x85 politopams. Tada politop\xc4\x85 galima laikyti klojiniu arba tam tikros daugdaros dekompozicija. Taigi politop\xc4\x85 (\xc5\xa1iuo atveju) galima apibr\xc4\x97\xc5\xbeti kaip aib\xc4\x99 ta\xc5\xa1k\xc5\xb3, leid\xc5\xbeian\xc4\x8di\xc5\xb3 simpleksin\xc4\x99 dekompozicij\xc4\x85. Pagal \xc5\xa1\xc4\xaf apibr\xc4\x97\xc5\xbeim\xc4\x85, politopas yra suskai\xc4\x8diuojamos simpleks\xc5\xb3 aib\xc4\x97s junginys, kuriame simpleksai \xc4\xafgyja papildom\xc4\x85 savyb\xc4\x99: bet kuriems dviems simpleksams, turintiems netu\xc5\xa1\xc4\x8di\xc4\x85 sankirt\xc4\x85, ta sankirta yra j\xc5\xb3 abiej\xc5\xb3 vir\xc5\xa1\xc5\xabn\xc4\x97, briauna arba auk\xc5\xa1tesnio matavimo siena. Bet \xc5\xa1is apibr\xc4\x97\xc5\xbeimas neleid\xc5\xbeia kalb\xc4\x97ti apie \xc5\xbevaig\xc5\xbedinius politopus, turin\xc4\x8dius vidin\xc4\x99 strukt\xc5\xabr\xc4\x85, tod\xc4\x97l jo taikymas yra ribotas._NEWLINE_Prad\xc4\x97jus intensyviai tyrin\xc4\x97ti \xc5\xbevaig\xc5\xbedinius briaunainius ir kitas ne\xc4\xafprastas fig\xc5\xabras, imta samprotauti, kad briaunainis yra tik ribinis pavir\xc5\xa1ius, tad jo vid\xc5\xb3 galima ignoruoti. Taip vertinant, i\xc5\xa1kilas p-mat\xc4\x97s erdv\xc4\x97s politopas yra ekvivalenti\xc5\xa1kas klojiniui ant (p\xe2\x88\x921)-sferos, o kitokie (nei\xc5\xa1kili) politopai gali b\xc5\xabti klojiniai ant kitoki\xc5\xb3 (p\xe2\x88\x921)-pavir\xc5\xa1i\xc5\xb3: eliptini\xc5\xb3, plok\xc5\xa1\xc4\x8di\xc5\xb3 ar toroidini\xc5\xb3. Tada briaunainis laikomas pavir\xc5\xa1iumi, kurio sienos yra daugiakampiai; keturmatis politopas (4-politopas) \xe2\x80\x93 hiperpavir\xc5\xa1iumi, kurio sienos (cel\xc4\x97s) yra briaunainiai ir t. t._NEWLINE_Mintis, kad auk\xc5\xa1tesnio matavimo politop\xc4\x85 galima konstruoti i\xc5\xa1 \xc5\xbeemesnio matavimo fig\xc5\xabr\xc5\xb3, kartais yra i\xc5\xa1ple\xc4\x8diama ir prie\xc5\xa1inga, dimensij\xc5\xb3 ma\xc5\xbe\xc4\x97jimo kryptimi, kai briaunos laikomos vienma\xc4\x8diu politopu (1-politopu), kur\xc4\xaf riboja ta\xc5\xa1k\xc5\xb3 pora, o ta\xc5\xa1kas, arba vir\xc5\xa1\xc5\xabn\xc4\x97, yra 0-politopas. Tokia prieiga taikoma, pavyzd\xc5\xbeiui, abstrak\xc4\x8di\xc5\xb3j\xc5\xb3 politop\xc5\xb3 teorijoje.\n_START_SECTION_\nI\xc5\xa1kilieji politopai\n_START_PARAGRAPH_\nPolitopas (kaip ir briaunainis) gali b\xc5\xabti i\xc5\xa1kilas. I\xc5\xa1kilieji politopai yra papras\xc4\x8diausia politop\xc5\xb3 atmaina ir j\xc5\xb3 pagrindu kuriami apibendrinimai visiems politopams. I\xc5\xa1kilas politopas kartais yra laikomas puserdvi\xc5\xb3 (angl. half-space) aib\xc4\x97s element\xc5\xb3 sankirta. Toks apibr\xc4\x97\xc5\xbeimas leid\xc5\xbeia traktuoti politop\xc4\x85 kartu ir kaip neapr\xc4\x97\xc5\xbet\xc4\x85, ir kaip apr\xc4\x97\xc5\xbet\xc4\x85 objekt\xc4\x85. Toks politopo apibr\xc4\x97\xc5\xbeimas naudingai naudojamas tiesin\xc4\x97je geometrijoje. Politopas yra apr\xc4\x97\xc5\xbetas, jei egzistuoja toks baigtinio spindulio rutulys, \xc4\xaf kur\xc4\xaf jis telpa. Politopas vadinamas smailiu, jei jis turi bent vien\xc4\x85 vir\xc5\xa1\xc5\xabn\xc4\x99. Kiekvienas apr\xc4\x97\xc5\xbetas nenulinio matavimo politopas yra smailus. Nesmailaus politopo pavyzdys yra aib\xc4\x97 . Politopas yra apr\xc4\x97\xc5\xbetas, jei j\xc4\xaf galima nusakyti baigtiniu objekt\xc5\xb3 skai\xc4\x8diumi, pavyzd\xc5\xbeiui, kaip baigtinio skai\xc4\x8diaus puserdvi\xc5\xb3 sankirt\xc4\x85.\n_START_SECTION_\n\xc5\xbdvaig\xc5\xbediniai politopai\n_START_PARAGRAPH_\nNei\xc5\xa1kilieji politopai gali kirsti patys save; \xc5\xa1i politop\xc5\xb3 klas\xc4\x97 apima \xc5\xbevaig\xc5\xbedinius politopus, kartu reikia nepamir\xc5\xa1ti, kad keletas \xc5\xbevaig\xc5\xbedini\xc5\xb3 politop\xc5\xb3 yra taisyklingieji.\n_START_SECTION_\nIstorija\n_START_PARAGRAPH_\nDaugiakampiai ir briaunainiai yra \xc5\xbeinomi nuo seniausi\xc5\xb3 laik\xc5\xb3._NEWLINE_Pirmosios u\xc5\xbeuominos apie auk\xc5\xa1tesnius matavimus sutinkamos nuo 1827 met\xc5\xb3, kai Augustas Ferdinandas M\xc4\x97bijus (August Ferdinand M\xc3\xb6bius) atrado, kad du k\xc5\xabnai, kurie yra veidrodiniai vienas kito atspind\xc5\xbeiai, gali b\xc5\xabti sutapatinti, pasukant vien\xc4\x85 i\xc5\xa1 j\xc5\xb3 aplinkui matematinio ketvirtojo matavimo a\xc5\xa1\xc4\xaf. XIX a. \xc5\xa1e\xc5\xa1tame de\xc5\xa1imtmetyje visa eil\xc4\x97 kit\xc5\xb3 matematik\xc5\xb3 (pavyzd\xc5\xbeiui, Cayley, Grassman) taip pat nagrin\xc4\x97jo auk\xc5\xa1tesnius matavimus._NEWLINE_Liudvigas \xc5\xa0lafli buvo pirmasis, kuris prad\xc4\x97jo nagrin\xc4\x97ti daugiakampi\xc5\xb3 ir briaunaini\xc5\xb3 analogus auk\xc5\xa1tesnio matavimo erdv\xc4\x97je. 1852 m. jis apra\xc5\xa1\xc4\x97 \xc5\xa1e\xc5\xa1is i\xc5\xa1kilus taisyklingus 4-politopus, bet \xc5\xa1is jo darbas buvo publikuotas tik 1901 m., \xc5\xa1e\xc5\xa1eri metai po autoriaus mirties. 1854 metais savo veikale Habilitationsschrift Berhardas Rymanas tvirtai pagrind\xc4\x97 daugiamat\xc4\x97s geometrijos teorij\xc4\x85 ir nuo tada imta naudoti n-ma\xc4\x8dio politopo s\xc4\x85voka. Schl\xc3\xa4fli\'o apra\xc5\xa1yti politopai buvo net keliskart atrandami i\xc5\xa1 naujo dar jam esant gyvam._NEWLINE_1882 metais voki\xc5\xa1kai ra\xc5\xa1\xc4\x99s matematikas Reinoldas Hop\xc4\x97 (Reinhold Hoppe) suk\xc5\xabr\xc4\x97 pa\xc4\x8di\xc4\x85 politopo s\xc4\x85vok\xc4\x85, apibendrinan\xc4\x8di\xc4\x85 daugiakampi\xc5\xb3 ir briaunaini\xc5\xb3 savybes. O pana\xc5\xa1iai tuo pa\xc4\x8diu metu Alisija B\xc5\xable Stot (Alicia Boole Stott), login\xc4\x97s algebros teoretiko Georgo B\xc5\xablio (George Boole) dukra, \xc4\xafved\xc4\x97 \xc5\xa1\xc4\xaf termin\xc4\x85 \xc4\xaf angl\xc5\xb3 kalb\xc4\x85._NEWLINE_1895 metais Toroldas Gosetas (Thorold Gosset) ne tik dar kart\xc4\x85 \xe2\x80\x9eatrado\xe2\x80\x9c Schl\xc3\xa4fli\'o taisyklinguosius politopus, bet taip pat nagrin\xc4\x97jo pustaisyklingius politopus ir daugiamat\xc4\x99 erdv\xc4\x99 u\xc5\xbepildan\xc4\x8dius klojinius. Lygiagre\xc4\x8diai imta studijuoti politop\xc5\xb3 savybes neeuklidin\xc4\x97je erdv\xc4\x97je, pavyzd\xc5\xbeiui, hiperbolin\xc4\x97je._NEWLINE_Svarbus tyrim\xc5\xb3 etapas prasid\xc4\x97jo 1948 metais, po to kai buvo publikuota Kokseterio (H. S. M. Coxeter) knyga Regular Polytopes (Taisyklingieji politopai), kurioje buvo apibendrinti ligi to meto atlikti \xc5\xa1ios srities tyrimai, taip pat juos papild\xc4\x97 svarbios paties Kokseterio atrastos naujov\xc4\x97s._NEWLINE_Tuo metu pranc\xc5\xabz\xc5\xb3 matematikas Anri Puankar\xc4\x97 jau buvo i\xc5\xa1pl\xc4\x97toj\xc4\x99s topologines id\xc4\x97jas apie politop\xc4\x85 kaip apie topologin\xc4\x97s daugdaros dekompozicij\xc4\x85 \xc4\xaf dalis, t. y. \xc4\xaf CW kompleksus (angl. CW-complex). Kitas matematikas, Branko Griunbaumas (Branko Gr\xc3\xbcnbaum), savo \xc4\xaftaking\xc4\x85 veikal\xc4\x85 apie i\xc5\xa1klius politopus i\xc5\xa1leido 1967 metais._NEWLINE_1952 metais \xc5\xa0eperdas (Shephard) apibendrino kompleksini\xc5\xb3 politop\xc5\xb3 id\xc4\x97j\xc4\x85 kompleksin\xc4\x97je erdv\xc4\x97je, kur kiekvien\xc4\x85 real\xc5\xb3j\xc4\xaf matavim\xc4\x85 atitinka menamas. \xc5\xa0i\xc4\x85 teorin\xc4\x99 id\xc4\x97ja i\xc5\xa1pl\xc4\x97tojo Kokseteris._NEWLINE_Kompleksini\xc5\xb3 politop\xc5\xb3 savyb\xc4\x97s (nei\xc5\xa1kilumas, dualumas ir kiti rei\xc5\xa1kiniai) paskatino Griunbaum\xc4\x85 ir kitus mokslininkus ie\xc5\xa1koti dar gilesni\xc5\xb3 apibendrinim\xc5\xb3, susijusi\xc5\xb3 su abstrak\xc4\x8diomis kombinatorin\xc4\x97mis savyb\xc4\x97mis, b\xc5\xabdingomis vir\xc5\xa1\xc5\xabn\xc4\x97ms, briaunoms, sienoms ir kitiems elementams. Kartu buvo i\xc5\xa1samiai studijuojama \xc4\xafvairi\xc5\xb3 element\xc5\xb3 tarpusavio s\xc4\x85veika. Tai leido sukurti abstrak\xc4\x8di\xc5\xb3j\xc5\xb3 politop\xc5\xb3 teorij\xc4\x85, pagal kuri\xc4\x85 politopas yra toki\xc5\xb3 element\xc5\xb3 dalin\xc4\x97 sutvarkytoji aib\xc4\x97 (angl. partially ordered set, poset). 2002 metais buvo publikuota svarbi Makmuleno (McMullen) ir \xc5\xa0ult\xc4\x97s (Schulte) knyga Abstract Regular Polytopes (Abstrakt\xc5\xabs taisyklingieji politopai)._NEWLINE_\xc5\xa0iuo metu svarbi tyrim\xc5\xb3 problema yra tolygi\xc5\xb3 politop\xc5\xb3 (i\xc5\xa1kili\xc5\xb3 ir nei\xc5\xa1kili\xc5\xb3) nomenklat\xc5\xabros sudarymas._NEWLINE_XXI am\xc5\xbeiuje teorin\xc4\x97s \xc5\xbeinios apie politopus ir su jais susijusius elementus bei savybes yra pla\xc4\x8diai taikomos pa\xc4\x8diose \xc4\xafvairiausiose srityse: kompiuterin\xc4\x97s grafikos, matematinio optimizavimo, paie\xc5\xa1kos sistem\xc5\xb3, kosmologijos, kvantin\xc4\x97s mechanikos ir kitose. \xc4\x8cia dar verta pamin\xc4\x97ti, kad 1913 metais atrastas amplituedras leido \xc5\xbeymiai supaprastinti kai kuriuos teorin\xc4\x97s fizikos skai\xc4\x8diavimus.'